2018学年高中数学选修4-1课件：第二讲2.3圆的切线的性质及判定定理 精品

[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)垂直于半径的直线是圆的切线．( ) (2) 过 圆 上 一 点 且 垂 直 于 圆 的 半 径 的 直 线 是 圆 的 切 线．( ) (3)过圆心且垂直于切线的直线必过切点．( ) (4)过切点且垂直于切线的直线必过圆心．( )
因为 EM⊥AB， 所以∠ECD＝∠ACM＝90°－∠A. 因为 OA＝OD，所以∠ODA＝∠A. 所以∠EDC＝∠ECD，所以 EC＝ED.
归纳升华 圆的切线的性质的应用
1．已知一条直线是圆的切线时，常作出过切点的半 径，则该半径垂直于切线，从而出现了直角．
2．从圆外一点引圆的两条切线，这点与圆心的连线 平分这两条切线的夹角，这点到切点的切线长相等．
因为∠C＝36°，所以∠BOC＝54°. 又因为∠BOC＝2∠A，所以∠A＝27°. 所以∠ABD＝∠A＋∠C＝27°＋36°＝63°. 答案：B
4．如图所示，AM，AN 分别切⊙O 于 M，N 两点， 点 B 在⊙O 上，且∠MBN＝70°，则∠A＝________．
解析：连接 OM，ON(如图)． 因为∠MON＝2∠MBN＝2×70°＝140°.
的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点 E. (1)若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； (2)若 OA＝ 3CE，求∠ACB 的大小．
(1)证明：连接 AE(如图)，由已知得，AE⊥BC，AC ⊥AB.
在 Rt△AEC 中，由已知得， DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.
类型 3 圆的切线的综合应用
[典例 3] 如图所示，⊙O 的外切四边形 ABCD 是直 角梯形，AD∥BC，∠A＝∠B＝90°.
(1)求证：OC⊥OD. (2)若 CD＝4 cm，∠BCD＝60°， 求⊙O 的半径． (1)证明：因为 AD∥BC，
所以∠BCD＋∠ADC＝180°，
由题意知∠ODC＝12∠ADC， ∠OCD＝12∠BCD， 所以∠ODC＋∠OCD＝12∠ADC＋12∠BCD＝90°， 所以 OC⊥OD.
2．切线的性质定理及其推论 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 温馨提示 1.切线和圆只有一个公共点.2.切线和圆
心的距离等于圆的半径．
3．切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 切线．
解析：(1)不正确，因为垂直于半径的直线不一定是 圆的切线；(2)不正确，因为过圆上一点不一定是半径的 外端点，所以不一定是圆的切线；(3)正确；(4)正确．
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2.如图所示，直线 l 与⊙O 相切，P 是 l 上任一点， 当 OP⊥l 时，则( )
A．P 不在⊙O 上 B．P 在⊙O 上 C．P 不可能是切点 D．OP 大于⊙O 的半径
解析：如图，连接 OC，因为 PC 是⊙O 的切线，
所以 OC⊥PC，
又因为∠CPA＝30°，R＝3， 所以 tan 30°＝OPCC＝P3C， 所以 PC＝ 33＝3 3.
3
答案：3 3
类型 1 性质定理的应用 [典例 1] 如图所示，已知 AB 是⊙O 的 直径，ED 切⊙O 于 D，EM⊥AB 于 M， 交 AD 于 C，交⊙O 于 F.求证：EC＝ED. 证明：法一：连接 BD(如图①所示)， 因为 AB 是⊙O 的直径，
3．连接圆的两条平行切线的切点的线段是圆的直径．
[变式训练] 如图所示，AC 是⊙O 的直径，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，连接 PC 交⊙O 于点 B，连接 AB， 且 PC＝10，PA＝6.求：
(1)⊙O 的半径； (2)cos∠BAC 的值．
解：(1)因为 AC 是⊙O 的直径，PA 是⊙O 的切线， 所以 CA⊥PA，即∠PAC＝90°，因为 PC＝10，PA＝6，
解析：由切线性质定理的推论 1，经过圆心 O 垂直于 切线 l 的直线必过切点，故 P 为切点，P 在⊙O 上应选 B.
答案：B
3.如图所示，CD 切⊙O 于 B，CO 的延长线交⊙O 于 A.若∠C＝36°，则∠ABD 等于( )
A．72° B．63° C．54° D．36°
解析：连接 OB，如图所示， 因为 CD 为⊙O 的切线， 所以∠OBC＝90°.
第二讲 直线与圆的位置关系
2．3 圆的切线的性质及 判定定理
[学习目标] 1.理解切线的性质定理、判定定理及两 个推论(重点)． 2.能应用定理及推论解决相关的几何问 题(重点、难点)． 3.能归纳并正确表述由圆的切线性质 定理和两个推论整合而成的定理(难点)．
[知识提炼·梳理]
1．直线与圆的位置关系 直线与圆有两个公共点，称直线与圆相交；直线与圆 只有一个公共点，称直线与圆相切；直线与圆没有公共点， 称直线与圆相离．
(1)证明：因为 BD 为⊙O 的直径， 所以∠DEB＝∠DFB＝90°， 因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 AD∥BC， 所以∠FBC＝∠DFB＝90°， ∠EDA＝∠BED＝90°， 所以四边形 BEDF 为矩形．
(2)解：直线 CD 与⊙O 的位置关系是相切，理由是： 因为 BD2＝BE·BC，所以BBDE＝BBDC， 因为∠DBC＝∠CBD，所以△BED∽△BDC， 所以∠BDC＝∠BED＝90°，即 BD⊥CD， 所以 CD 与⊙O 相切．
又因为 AM，AN 分别是圆 O 的切线， 所以∠AMO＝∠ANO＝90°. 因此∠A＝360°－140°－90°－90°＝40°. 答案：40°
5.如图所示，圆 O 的直径 AB＝6， P 是 AB 的延长线上一点，过点 P 作圆 O 的切线，切点为 C，连接 AC，若∠CPA＝30°，则 PC ＝________．
2．圆外切四边形的定义． 四边分别与圆相切的四边形称为圆外切四边形．
[变式训练] 如图所示，四边形 ABCD 是平行四边 形，以对角线 BD 为直径作⊙O，分别与 BC，AD 相交于 点 E，F.
(1)求证：四边形 BEDF 为矩形； (2)BD2＝BE·BC，试判断直线 CD 与⊙O 的位置关系， 并说明理由．
(2)解：过点 D 作 DE⊥BC 于点 E(如图)， 则四边形 ABED 是矩形， DE 等于⊙O 的直径， 在 Rt△DEC 中，∠DEC＝90°， ∠ECD＝60°，CD＝4 cm，
所以 CE＝12CD＝2 cm， DE＝ CD2－CE2＝2 3 cm， 所以⊙O 的半径为 3 cm.
归纳升华 1．圆外切三角形的四个性质： (1)圆心是三角形的内心． (2)半径等于圆心到三角形边的距离． (3)圆心与切点的连线与三角形对应的边垂直． (4)圆心和三角形顶点的连线平分三角形对应的角．
图①
图②
所以∠B＝90°－∠A，因为 EM⊥AB，
所以∠ECD＝∠ACM＝90°－∠A.
所以∠ECD＝∠B. 又因为 ED 切⊙O 于 D， 所以∠EDC＝∠B. 所以∠EDC＝∠ECD，所以 EC＝ED. 法二：因为 ED 切⊙O 于 D，连接 OD(如图②所示)． 所以 OD⊥ED，∠EDA＝90°－∠ODA.
1．如果一条直线具备以下三个条件中的任意两个， 就可以推出第三个：①垂直于圆的切线；②过圆的切线 上的切点；③过圆心．于是，在利用切线性质时，通常 作的辅助线是过切点的半径．
2．有两条圆的切线性质应当注意：一是切线和圆只 有一个公共点，二是切线和圆心的距离等于圆的半径．在 许多实际问题中，我们也利用它们来解决．
连接 OE，则∠OBE＝∠OEB. 又∠ACB＋∠ABC＝90°， 所以∠DEC＋∠OEB＝90°， 故∠OED＝90°，DE 是⊙O 的切线．
(2)解：设 CE＝1，AE＝x， 由已知得 AB＝2 3，BE＝ 12－x2. 由射影定理可得，AE2＝CE·BE， 所以 x2＝ 12－x2，即 x4＋x2－12＝0. 解得 x＝ 3，所以∠ACB＝60°.
所以 OE＝OD，即 OE 是⊙O 的半径， 即圆心 O 到直线 AC 的距离等于半径．是： 1．连接圆心和公共点． 2．转化为证明直线过公共点且垂直于所连线段，即 证明圆的切线可转化为证明直线垂直．
[变式训练] (2015·课标全国Ⅰ卷)如图所示，AB 是⊙O
3．牢记切线的性质是解直线和圆相切问题的关 键．另外，应用切线性质解相关题目时往往会用到其他 平面几何图形的性质．
4．证明直线与圆相切一般有以下几种方法：①直线 与圆只有一个公共点；②圆心到直线的距离等于圆的半 径；③切线的判定定理．一般证明题目常用方法③.
类型 2 判定定理的应用 [典例 2] △ABC 为等腰三角形，点 O 是底边 BC 的 中点，⊙O 与腰 AB 相切于点 D.求证：AC 与⊙O 相切． 证明：如图所示，连接 OD，过点 O 作 OE⊥AC，垂 足为点 E.
因为⊙O 与 AB 相切于点 D， 所以 OD⊥AB，且 OD 等于圆的半径． 因为△ABC 为等腰三角形，点 O 是底边 BC 的中点， 所以∠B＝∠C，OB＝OC. 又因为∠ODB＝∠OEC＝90°， 所以△ODB≌△OEC，
所以 AC＝ PC2－PA2＝8， 所以 OA＝12AC＝4，所以⊙O 的半径为 4. (2)因为 AC 是⊙O 的直径，PA 是⊙O 的切线，所以 ∠ABC＝∠PAC＝90°， 所以∠P＋∠C＝90°，∠BAC＋∠C＝90°，
所以∠BAC＝∠P， 在 Rt△PAC 中，cos∠P＝PPAC＝160＝35， 所以 cos∠BAC＝35.