五年级奥数第09讲-数阵(教)

学科教师辅导讲义

知识梳理

一、数阵图

把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图。数阵是一种由幻方演变而来的数字图。

二、数阵图的分类

封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。

三、数阵图的解法

（1）辐射型数阵图

方法一：尝试法，即去掉中间数时剩下的数应该两两一对，每队和相等，因此最中间数只能填最大数、最小数或中间数；

方法二：公式法，线和×线数=数字和+重叠数×重叠次数；重叠次数=线数-1

（2）封闭型数阵图

公式：线和×线数=数字和+重叠数之和

（3）复合型数阵图

综合了辐射型和封闭型数阵图的特点，要具体情况具体分析。

典例分析

考点一：辐射型数阵图

例1、把1～5这五个数分别填在下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

【解析】中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数

=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。

例2、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。

【解析】与例1类似，知道每条边上的三数之和，但不知道重叠数。因为有3条边，所以中间的重叠数重叠了两次。于是得到(1+2+…+7)+重叠数×2=10×3。由此得出重叠数为[10×3-(1+2+…+7)]÷2=1。剩下的六个数中，两两之和等于9的有2，7；3，6；4，5。可得右上图的填法。

如果把例4中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”，其他不变，那么仿照例3，重叠数可能等于几？怎样填？

考点二：封闭型数阵图

例1、将1~6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11.

⨯=，而【解析】此图是封闭3—3图，因为每条边上的和都为11，那么三条边上的数字之和为11 333

1+2+…+5+6=21.所以三角形的三个数之和等于33-21=12，在1~6中选3个和为12的数，且其中任意两个的和不等于11，这样的组合有：12=2+4+6=3+4+5,经试验，填法如图。

例2、将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上。应如何填？

答案：见右图

例3、把1~9 这9 个数，分别填在下图的9个圆中，使得三角形每条边上的4 个圆内数之和都是23。

考点三：复合型数阵

例1：将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。

【解析】所有的数都是重叠数，中心数重叠两次，其它数重叠一次。所以三条边及两个圆周上的所有数之和为(1＋2＋…＋7)×2＋中心数＝56＋中心数。因为每条边及每个圆周上的三数之和都相等，所以这个和应该是5的倍数，再由中心数在1至7之间，所以中心数是4。每条边及每个圆周上的三数之和等于(56＋4)÷5＝12。中心数确定后，其余的数一下还不好直接确定。我们可以试着先从辐射型3-3图开始。中心数是4，每边其余两数之和是12-4=8，两数之和是8的有1，7；2，6；3，5。于是得到左下图的填法。

对于左上图，适当调整每条边上除中心数外的两个数的位置，便得到本题的解(见右上图)。

例2：将1～10这十个数填入图中的圆圈内，使每个正方形的四个数字之和都等于23，应怎样填？

解：共有六解：

实战演练

➢课堂狙击

1、将1～9这九个数分别填入下图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。 (至少找出两种本质上不同的填法)

答案：

2、将1～11这十一个数分别填入下图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。

【解析】中心数是重叠数，并且重叠4次。所以每条直线上的三数之和等于［(1＋2＋…＋11)＋重叠数×4］÷5＝(66＋重叠数×4)÷5。为使上式能整除，重叠数只能是1，6或11。显然，重叠数越大，每条直线上的三数之和越大。所以重叠数是11，每条直线上的三数之和是22。填法见右上图。

3、在右图的六个○内各填入一个质数（可取相同的质数），使它们的和等于20，而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等。

【解析】因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个○，又因为每个三角形顶点上的数字之和相等，所以每个三角形顶点上的数字之和为20÷2＝10。10分为三个质数之和只能是2＋3＋5，由此得到右图的填法。

4、把1～8这八个数字分别填入下图（1）中的圆圈内，使每个圆周上与每条直线上四个数之和都相等，给出一种具体的填法.

答案：不唯

5、将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的

和是30。

【解析】设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1＋2

＋3＋……＋10＋a＋b=30×2，即55＋a＋b=60，a＋b=5。在1——10这十个数中1＋4=5，2＋3=5。

当a和b是1和4时，每个大圆上另外四个数分别是（2，6，8，9）和（3，5，7，10）；当a和b是2和3时，每个大圆上另外四个数分别为（1，5，9，10）和（4，6，7，8）。

6、把5、6、

7、

8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。

【解析】先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意可知：A＋B＋C＋D＋E=35，A＋E＋B＋C＋E＋D=21×2=42。

把两式相比较可知，E=42－35=7，即中间填7。然后再根据5＋9=6＋8便可把五个数填进方格，如图b。

➢课后反击

1、将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。

【解析】设中间三个圆内的数是a、b、c。因为计算三条线上的和时，a、b、c都被计算了两次，根据题意可知：1＋2＋3＋4＋5＋6＋（a＋b＋c）除以3没有余数。1＋2＋3＋4＋5＋6=21，21÷3=7没有余数，那么a＋b＋c的和除以3也应该没有余数。在1——6六个数中，只有4＋5＋6的和最大，且除以3没有余数，因此a、b、c分别为4、5、6。（1＋2＋3＋4＋5＋6＋4＋5＋6）÷3=12，所以有有图的填法。

2、如下图(a)四个小三角形的顶点处有六个圆圈。如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数的和相等。问这六个质数的积是多少？