第2章 平面问题的基本理论_习题.

(b)
3F , 0 2 b 3F ( ) x d x b, 0 y y 0 4 b F ( ) d x 。 0 yx y 0 2
b
( y ) y 0 d x
在列力矩的条件时两边均是 对原点O的力矩来计算的。
对于y = h的小边界可以 不必校核。
四、按位移求解（位移法）的优缺点： 适用性广─ 可适用于任何边界条件。 求函数式解答困难，但在近似解法 （变分法、差分法、有限单元法） 中有着广泛的应用。 例1 考虑两端固定的一维杆件。 图(a)， 只受重力作用，fx=0 , fy=ρg。 试用位移法求解。 解：为了简化，设μ = 0 位移u = 0,v = v ( y ) 按位移求解，位移应满足式(b),(c),(d)。 代入式(b),第一式自然满足， 第二式成为
第二章 平面问题的 基本理论
例如：深梁问题
例1（习题2-3） 试分析不受面力的空间体表面薄层中的应力状态。
选择坐标系如图。 因该表面无任何面力，fx、fy、fz = 0,故表面上 (σz , τzx , τzy)=0 在近表面很薄一层 (σz , τzx , τzy)→0 ∴ 接近平面应力问题。
例2（习题2-4） 按平面应变问题特征来分析， 本题中
Fx2 y Fy3 Fy3 Fl 2 Fh2 u ( ) y, 2 EI 6 EI 6 IG 2 EI 8IG Fxy2 Fx3 Fxl2 Fl3 v 。 2 EI 6 EI 2 EI 3EI
o
l
x
o
x
g
g
y
y
2v g . 2 y E
y = 0 , l ，位移边界条件 (v)y=0=0 ∴ B=0 (v)y=l=0 ∴ A
g
2E l.
v
g
2E
y 2 Ay B.
2E g y (l 2 y ), 2E g σy (l 2 y ). 2
y
l
σy
yx
q1
y h 边界, 2 x (σ y ) y h q , ( τ yx ) y h 0. 2 2 l y h 边界, 2 (σ y ) y h 0, ( τ yx ) y h q1.
2 2
例2 列出边界条件：
y b边界： (σ y ) y b 0, ( τ yx ) y b 0. x a边界： (σ x ) x a y 2 q( ) , ( τ xy ) x a 0. b
思考题 1.试证明微分体绕 z 轴的平均转动分量是 (
1 v u ). 2 x y
2.当应变为常量时，εx=a , εy=b , γxy=c ，试求出对应的位移分量。
选择习题 2—7、2—19。
思考题
1.试证：由主应力可以求出主应变，且两者方向一致。
2.试证：三个主应力均为压应力，有时可以产生拉裂现象。 试根据空间问题的物理方程进行解释。
q b b q
a o
a
q x
yx xy
q
σx
σy
y
思考题
M
x o q n y
(a )
o
σy
A
x
百度文库g
A
x
y
(b )
y
(d )
B
(c )
A
1、若在斜边界面上，受有常量的法向分布压力q作用，试列出应力边界条件，(图(a))。 2、证明在无面力作用的0A边上，σy不等于零（图 (b)）。 3、证明在凸角A点附近，当无面力作用时，其应力为零（图(c)）。 4、试导出在无面力作用时，AB边界上的 σx , σy , τxy 之间的关系。(图(d))。 5、试比较平面应力问题和平面应变问题的基本方程和边界条件的异同，并 进一步说明它们的解答的异同。 选择习题 2—13
ox
z
y
只有
x x x,y , y y x,y , xy xy x,y
思考题 设有厚度很大(即 z 向很长)的基础梁放置在地基上,如果 想把它近似地简化为平面问题处理,问应如何考虑?
思考题
1.试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来 检验方程的正确性）。 2.将条件ΣMc=0 ,改为对某一角点的ΣM=0，将得出什么结 果？ 3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，将得出什么结 果？

h/2
h / 2 h/2
( x ) x 0 d y F , ( x ) x 0 y d y M , ( xy ) x 0 d y Fs。
在小边界x = l，当平衡微分方程和其它各 边界条件都已满足的条件下，三个积分的边 界条件必然满足，可以不必校核。
h / 2 h/2
h / 2
例2 试列出图中的边界条件。 解：(a)在主要边界x= 0, b，应精确满足下列边界 条件：
O
F
300
x
b/2 b/2
gy
h q y (h b, 1)
x0 xl
σ x gy, σ x 0,
xy 0; xy q。
在小边界y = 0应用圣维 南原理，列出三个积分 的近似边界条件，当板 厚δ =1时， 注意：
v
g
(ly y 2 ),
o
思考题 1、 试用位移法求解图(b)的位移和 应力。 2、试将弹性力学中平面问题的位移 法与结构力学的位移法相比，有那 些相同 和不同之处？ 选择习题 2—10。
l
x
o
x
g
g
y
图(a)
y
图 (b )
例2 厚度δ =1的悬臂梁，受一端的集中力 F 的作用。已求得其位移的解答是
例1 试列出图中的边界条件。 解：(a)在主要边界y = ±h/2应精确满足下列边 界条件：
x y q( ) 2 , l y h / 2, y 0, y h / 2,
xy 0; xy q1.
在小边界x = 0应用圣维 南原理，列出三个积分 的近似边界条件，当板 厚δ =1时，
3.试证：在自重作用下，圆环（平面应力问题） 比圆筒（平面应变问题）的变形大。 试根据它们的物理方程来解释这种现象。
例1 列出边界条件：
h/2 h/2
σy
q
yx
x 0边界, (u ) x 0 0, x l边界, (σ x ) x l 0,
o
x
xy
σx
(v) x 0 0. ( τ xy ) x l 0.