第2章 平面问题的基本理论_习题.
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弹性力学复习思考题
其中： 为曲梁圆周边界上的分布载荷。 其中： q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。 M， Q分别为梁截面上弯矩与剪力。 分别为梁截面上弯矩与剪力。 分别为梁截面上弯矩与剪力 应力函数： 结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数：
2 σθ = 2 r
= f (r)
= f (r) sin θ
= f (r) cosθ
力偶、 （9）半无限平面体在边界上作用力偶、集中力、分布力下，应力函数 ）半无限平面体在边界上作用力偶 集中力、分布力下 、应力分量、位移分量的确定？ 应力分量、位移分量的确定？ 应力分量、位移分量的确定？ （10）圆孔附近应力集中问题应力函数 、应力分量、位移分量的确定？ ） （11）叠加法的应用。 ）叠加法的应用。
X = l(1+ )αT,
Y = m(1+ )αT
（5）温度应力问题求解的基本思路与方法： ）温度应力问题求解的基本思路与方法： （a）求出满足位移平衡方程（6-18）的一组特解（此时，无需满足 ）求出满足位移平衡方程（ ）的一组特解（此时， 边界条件；用位移势函数求解）。 边界条件；用位移势函数求解）。 （b）不计变温，求出满足平衡方程（6-18）的一组补充解（常由应 ）不计变温，求出满足平衡方程（ ）的一组补充解（ 力函数求解，其边界条件为特解给出的面力）。 力函数求解，其边界条件为特解给出的面力）。 的概念； 与位移分量的关系； （6）位移势函数 ψ 的概念；位移势函数 ψ 与位移分量的关系；温 ） 度应力问题中， 满足的方程； 度应力问题中，位移势函数 ψ 满足的方程；应力分量的位移势 的表示。 函数 ψ 的表示。
王俊民 编 徐秉业 编
《弹性力学学习方法及解题指导》 弹性力学学习方法及解题指导》
同济大学出版社 机械工业出版社
弹性力学-2-平面问题的基本理论
2015-1-16
4 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
弹性力学空间问题共有应力、应变和位
移共15个未知函数，且均为 f (x, y, z)。
弹性力学平面问题共有应力、应变和位
移8个未知函数，且均为f (x, y,)。
2015-1-16
5 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
什么条件下 空间问题可简化为平面问题
px n l l
py n m m
又由于：
px xl xy m p y xyl y m
32 弹性力学
2015-1-16
2.2 平面问题中一点的应力状态 问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0， 求此斜面上的主应力σ和应力主方向α 从而可得
2015-1-16 25 弹性力学
2.2 平面问题中一点的应力状态 应力是与作用面有关的。σx，σy和τxy作为 基本未知函数，只是表示一点的坐标平面上的 应力分量（左图）。而校核强度时需要知道过 此点的任意斜面上的应力p。斜面上的应力p可 以按坐标轴分解为（px,py），也可沿法向和切 向分解为正应力σn和切应力τn（右图）。
z , zx , zy 0
2015-1-16 10 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
因此，此类问题的未知量只剩下Oxy面内 的三个应力分量： x , y , xy
所以此类问题称为平面应力问题。 由于板很薄，等厚度，外力和约束沿z 方向不变，因此应力也沿厚度z方向均匀分 布，应力x，y和xy只是坐标x, y的函数。
取如图所示的微分三角板或三棱柱
PAB，当平面AB无限接近于P点时， 该平面上的应力即为所求。
理论力学平面力系的简化和平衡
原力偶系的合力偶矩
n
M Mi i 1
只受平面力偶系作用的刚体平衡充要条件：
n
M Mi 0 i 1
对BC物块对B点取矩，以逆时针为正列方程应为：
M 2 M B (FC ) M FCY a FCx b M FC (b a) cos45 0
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m1m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
两轴不平行即 条件：x 轴不 AB
可，矩心任意
连线
mA (Fi ) 0 mB (Fi ) 0 mC (Fi ) 0
③三矩式 条件：A,B,C不在
同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
4. 平面一般力系的简化结果分析
简化结果： 主矢R ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② R =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
解除约束，可把支反
力直接画在整体结构
的原图上）
解除约束
由
mA (Fi
)
0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0 XA 0
Y 0 YB NB P0,
YA
P 3
2.5物体系统的平衡、静定与超静定问题
1、物体系统的平衡问题 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。 [例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
N2个物体受平面汇交力系（或平面平行力系）
X 0 Y 0
2*n2个独立平衡方程
N3个物体受平 X 0 面任意力系 Y 0
弹性力学9-位移分量的求出、简支梁均布荷载
其中有三个关于 y 的待定函数：f（y）， f（y1） ， f（y2）。
第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
(3)由相容方程求应力函数
将上步所得应力函数的一般形式代入无体力情况下的相 容方程，整理后有
1 4 f ( y ) 2 4 f1 ( y ) 4 f 2 ( y) 2 f ( y) x x 2 0 4 4 4 2 2 y y y y
代入第三式，并整理可得
v
M
2 EI
y f 2 ( x)
2
df1 ( y ) df 2 ( x) M x dy dx EI
第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出
（2 ）位移分量
df1 ( y ) df 2 ( x) M x dy dx EI
等式左右两边分别为 y 和 x 的函数，要想对于所有的 y 和 x 均成立，只可能两边都等于同一常数w：
M
l
1、形变分量与位移分量
M
x
1
h
（1）形变分量 将上节所求应力分量代入物理方程 y (2-8) 1 x ( x y ) E M x y 1 I y ( y x ) E y xy 0 2(1 ) xy xy E
M x y EI M y y EI xy 0
（c）几何方程积分计算位移表达式 （d）利用位移边界条件，确定常数。
第二章 平面问题的基本理论 本节内容 3.4 简支梁受均布荷载
内容要点： 用半逆解法求解梁的平面问题；体会理解半逆解法的 解题过程。
第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
半逆解法步骤回顾：
(1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、 受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论，如材料力学 得到的初等结论，假设部分或全部应力分量的函数形式； (2)按式(2-24)，由应力推出应力函数 的一般形式（ 含待定函数项）；
弹性力学 第二讲 平面问题的基本理论
第二讲 平面问题的基本理论
本讲学习指南
本讲将系统地平面问题的基本理论－基本方程和边 界条件，及两种基本解法，是弹性力学中最具典型性和 代表性的内容，是后续内容学习的基础。要求掌握的内 容如下： 1、两类平面问题的定义； 2、关于一点应力状态的分析； 3、平面区域内的平衡微分方程、几何方程与物理 方程； 4、平面边界上的应力和位移边界条件的建立，及 圣维南原理的应用； 5、按位移求解方法和按应力求y x
fy 0
2q0 3 s y 3 xy f ( x) y g ( x) hl
主要内容
平面应力问题与平面应变问题 平面问题的平衡微分方程 平面问题中的一点应力状态分析 平面问题的几何方程与刚体位移 平面问题的物理方程 平面问题的边界条件 圣维南原理及应用 按位移法求解平面问题 按应力求解平面问题及相容方程 常体力情况下的简化与应力函数
平面AB上的正应力sn即为上
面所求的全应力p向法线方向n 的投影： s lp mp
n x y
平面AB上的切应力tn即为上
面所求的全应力P向切线方向的 投影： 2 2 2 t n px p y s n 或
t n mpx lp y
过一点任意斜面的主应力与主方向
问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0，求此斜
§2.2 平面问题的平衡微分方程
平面问题的平衡微分方程是考虑平面问题的静力学条 件，根据弹性体内微分单元的静力平衡条件来推导出应力 分量与体力分量之间的关系。
如图，在弹性体内任一点
取一微小的正平行六面体，其 x、y方向的尺寸分别为dx、dy ，为计算方便，设它在z方向 的尺寸为单位长度1。
平面问题的平衡微分方程
本讲学习指南
本讲将系统地平面问题的基本理论－基本方程和边 界条件，及两种基本解法，是弹性力学中最具典型性和 代表性的内容，是后续内容学习的基础。要求掌握的内 容如下： 1、两类平面问题的定义； 2、关于一点应力状态的分析； 3、平面区域内的平衡微分方程、几何方程与物理 方程； 4、平面边界上的应力和位移边界条件的建立，及 圣维南原理的应用； 5、按位移求解方法和按应力求y x
fy 0
2q0 3 s y 3 xy f ( x) y g ( x) hl
主要内容
平面应力问题与平面应变问题 平面问题的平衡微分方程 平面问题中的一点应力状态分析 平面问题的几何方程与刚体位移 平面问题的物理方程 平面问题的边界条件 圣维南原理及应用 按位移法求解平面问题 按应力求解平面问题及相容方程 常体力情况下的简化与应力函数
平面AB上的正应力sn即为上
面所求的全应力p向法线方向n 的投影： s lp mp
n x y
平面AB上的切应力tn即为上
面所求的全应力P向切线方向的 投影： 2 2 2 t n px p y s n 或
t n mpx lp y
过一点任意斜面的主应力与主方向
问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0，求此斜
§2.2 平面问题的平衡微分方程
平面问题的平衡微分方程是考虑平面问题的静力学条 件，根据弹性体内微分单元的静力平衡条件来推导出应力 分量与体力分量之间的关系。
如图，在弹性体内任一点
取一微小的正平行六面体，其 x、y方向的尺寸分别为dx、dy ，为计算方便，设它在z方向 的尺寸为单位长度1。
平面问题的平衡微分方程
弹性力学-第二章 平面问题基本理论 (徐芝纶第五版)
基本方程是二维的。
平面应力问题
平面应变问题
3
1.平面应力问题
支承板
z x
y
(2) 受力特性
外力(体力、面力)和约束，仅平行于 板面作用，沿z方向不变化。
(1) 几何特性
一个方向的尺寸比另两个 方向的尺寸小得多。
——平板
4
1.平面应力问题
(3) 应力特征
由于板面上不受力，有
sx =sx(x,y)
sy =sy(x,y)
53
54
55
56
习题
57
第二章 教学参考资料 （一）本章学习要求及重点
本章系统地介绍了平面问题的基本理论： 基本方程和边界条件，及两种基本解法。这 些内容在弹性力学中具有典型性和代表性。 因此，学好平面问题的基本理论，就可以方 便地学习其他各章。为此，我们要求学生深 入地理解本章的内容，掌握好以下几点：
)
f
y
0.
68
（2）用位移表示的应力边界条件
E
1
2
[l
(
u x
v
y
)m12
(
u y
v x
)]s
fx,
E
1
2
[m(
v y
u
x
)l12
(
u y
v x
)]s
fy.
（在s 上ss）
69
（3）位移边界条件
(u)s u , (v)s v.
(在Su上)
70
4、按应力求解平面问题（平面应力问题），
应力分量 σ x , σ y ,t x必y 须满足下列全部条件：
sx =sx(x,y) sy =sy(x,y) txy =txy(x,y) sz =sz (x,y) txz =tyz =0
平面应力问题
平面应变问题
3
1.平面应力问题
支承板
z x
y
(2) 受力特性
外力(体力、面力)和约束，仅平行于 板面作用，沿z方向不变化。
(1) 几何特性
一个方向的尺寸比另两个 方向的尺寸小得多。
——平板
4
1.平面应力问题
(3) 应力特征
由于板面上不受力，有
sx =sx(x,y)
sy =sy(x,y)
53
54
55
56
习题
57
第二章 教学参考资料 （一）本章学习要求及重点
本章系统地介绍了平面问题的基本理论： 基本方程和边界条件，及两种基本解法。这 些内容在弹性力学中具有典型性和代表性。 因此，学好平面问题的基本理论，就可以方 便地学习其他各章。为此，我们要求学生深 入地理解本章的内容，掌握好以下几点：
)
f
y
0.
68
（2）用位移表示的应力边界条件
E
1
2
[l
(
u x
v
y
)m12
(
u y
v x
)]s
fx,
E
1
2
[m(
v y
u
x
)l12
(
u y
v x
)]s
fy.
（在s 上ss）
69
（3）位移边界条件
(u)s u , (v)s v.
(在Su上)
70
4、按应力求解平面问题（平面应力问题），
应力分量 σ x , σ y ,t x必y 须满足下列全部条件：
sx =sx(x,y) sy =sy(x,y) txy =txy(x,y) sz =sz (x,y) txz =tyz =0
弹性力学简明教程 第2章 平面问题的基本理论
一 、求AB面上的正应力σn和切应力τn
设px、py为斜面AB的应力p在x、y 轴上的投影。斜面 AB的长度为 ds, 则AB=ds, PB=lds, PA=mds 。 由平衡条件∑Fx=0 得：
l ds m d s p x ds x l ds xy m ds f x 0 2
除以ds ,然后令ds→0, 得：
B'
一、位移与形变
刚体位移
如果各点(或部分点）间的相对距离发生变化， 则物体发生了变形。这种变形一方面表现在微 线段长度的变化，称为线应变；一方面表现在 微线段间夹角的变化，称为切应变。
O
A
O
A'
B
B'
二、几何方程
几何方程——描述任一点的微线段上形变分量 与位移分量之间的关系。 P点的形变分量与位移分量的关系？
0 l 1
当 l2 = 1 时，
0 l 2 1
n nmax 1 ( 1 2 ) 2 1
当 l2 = 0 时，
n n min 2
可见：两个主应力就是最大与最小的正应力。
五、求最大与最小的切应力
任意斜面上的切应力 n lm( y x ) (l 2 m 2 ) xy
y
二、几何方程
PA的线应变在小变形
时是由x 方向的位移 引起的，因此PA的线 应变为
P' A' PA x PA
o u
P
x
u
dx
v
P'
A
u dx x
A'
v
v dx x
y
u (u dx) u AA' PP' u x dx PA x v (v dx) v v x PA的转角为 dx x
第2章 平面问题的基本理论
u = u ( x, y ) ,v = v ( x, y )
例2（习题 ） （习题2-4） 按平面应变问题特征来分析， 按平面应变问题特征来分析， 本题中
ox
z
y
只有
ε x = ε x ( x, y ) ,ε y = ε y ( x, y ) ,γ xy = γ xy ( x, y )
思考题 设有厚度很大(即 向很长)的基础梁放置在地基上 的基础梁放置在地基上,如果 设有厚度很大 即 z 向很长 的基础梁放置在地基上 如果 想把它近似地简化为平面问题处理,问应如何考虑 问应如何考虑? 想把它近似地简化为平面问题处理 问应如何考虑
2、平面应变问题 (1) 几何特征： 几何特征： 常截面的柱体，长度>>截面的长 截面的长、 常截面的柱体，长度>>截面的长、宽； (2) 受力特征： ∥xy面，沿厚度不变； 受力特征： xy面 沿厚度不变； 体力f 作用于体内； 体力fx、fy作用于体内； 面力f 作用于柱面； 面力fx、fy作用于柱面； 约束u 作用于柱面。 约束u、v 作用于柱面。
一、斜截面上的应力 求解： 边长 求解： AB=ds, PB=lds, PA=mds. AB=ds, PB=lds, PA= l=cos(n,x), m=sin(n,y) =cos(n =sin(n (1) 求（px,py）
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力 l=cos(n,x), m=sin(n,y) =cos(n =sin(n (2) 求（ σn , τn ）
ω
─ 表示物体绕原点的刚体转动。 表示物体绕原点的刚体转动。
v = f 2 ( x ) = v0 + ω x
结论： 形变确定， 结论： 形变确定，位移不完全确定 ： 从物理概念看， 、 确定 物体还可作刚体位移。 确定， 从物理概念看，ε、γ确定，物体还可作刚体位移。
例2（习题 ） （习题2-4） 按平面应变问题特征来分析， 按平面应变问题特征来分析， 本题中
ox
z
y
只有
ε x = ε x ( x, y ) ,ε y = ε y ( x, y ) ,γ xy = γ xy ( x, y )
思考题 设有厚度很大(即 向很长)的基础梁放置在地基上 的基础梁放置在地基上,如果 设有厚度很大 即 z 向很长 的基础梁放置在地基上 如果 想把它近似地简化为平面问题处理,问应如何考虑 问应如何考虑? 想把它近似地简化为平面问题处理 问应如何考虑
2、平面应变问题 (1) 几何特征： 几何特征： 常截面的柱体，长度>>截面的长 截面的长、 常截面的柱体，长度>>截面的长、宽； (2) 受力特征： ∥xy面，沿厚度不变； 受力特征： xy面 沿厚度不变； 体力f 作用于体内； 体力fx、fy作用于体内； 面力f 作用于柱面； 面力fx、fy作用于柱面； 约束u 作用于柱面。 约束u、v 作用于柱面。
一、斜截面上的应力 求解： 边长 求解： AB=ds, PB=lds, PA=mds. AB=ds, PB=lds, PA= l=cos(n,x), m=sin(n,y) =cos(n =sin(n (1) 求（px,py）
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力 l=cos(n,x), m=sin(n,y) =cos(n =sin(n (2) 求（ σn , τn ）
ω
─ 表示物体绕原点的刚体转动。 表示物体绕原点的刚体转动。
v = f 2 ( x ) = v0 + ω x
结论： 形变确定， 结论： 形变确定，位移不完全确定 ： 从物理概念看， 、 确定 物体还可作刚体位移。 确定， 从物理概念看，ε、γ确定，物体还可作刚体位移。
理论力学试题题目含参考答案
理论力学部分第一章 静力学基础一、是非题1．力有两种作用效果，即力可以使物体的运动状态发生变化，也可以使物体发生变形。
（ ）2．两端用光滑铰链连接的构件是二力构件。
（ ）3．作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同，大小相等，方向相反。
（ ）4．作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。
（ ）5．三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡。
（ ）6．约束反力的方向总是与约束所能阻止的被约束物体的运动方向一致的。
（ ）二、选择题1．若作用在A 点的两个大小不等的力1F 和2F ，沿同一直线但方向相反。
则其合力可以表示为 。
① 1F －2F ；② 2F －1F ；③ 1F ＋2F ；2．三力平衡定理是 。
① 共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点；② 共面三力若平衡，必汇交于一点；③ 三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡。
3．在下述原理、法则、定理中，只适用于刚体的有 。
① 二力平衡原理； ② 力的平行四边形法则；③ 加减平衡力系原理； ④ 力的可传性原理；⑤ 作用与反作用定理。
4．图示系统只受F 作用而平衡。
欲使A 支座约束力的作用线与AB 成30︒角，则斜面的倾角应为________。
① 0︒； ② 30︒；③ 45︒； ④ 60︒。
5．二力A F 、B F 作用在刚体上且0=+B A F F ，则此刚体________。
①一定平衡； ② 一定不平衡；③ 平衡与否不能判断。
三、填空题1．二力平衡和作用反作用定律中的两个力，都是等值、反向、共线的，所不同的是。
2．已知力F沿直线AB作用，其中一个分力的作用与AB成30°角，若欲使另一个分力的大小在所有分力中为最小，则此二分力间的夹角为度。
3．作用在刚体上的两个力等效的条件是。
4．在平面约束中，由约束本身的性质就可以确定约束力方位的约束有，可以确定约束力方向的约束有，方向不能确定的约束有（各写出两种约束）。
第2章——平面问题的基本理论5
2 2 1 f x f y 2 2 ( x y ) 1 x y x y
特殊情况 特殊情况： 当体力 fx、fy为常数时，两种平面问题的相容 方程相同，即
（ 2 2-25 25 ） ( ) 0 x y x 2 y 2
特解取为： x f x x, y f y y, xy 0 （ d） 将齐次微分方程（c）中前一个方程改写为： x ( xy y)
x y
x xy 0 x y （ c） y xy 0 y x
( ) 0
§2 10 §2-10
常体力情况下的简化
应力函数
( x y ) 0
2
结论: 在单连体的应力边界问题中，如果两个弹 性体具有相同的边界形状，并受到同样分布的 外力 那么 不管这两个弹性体的材料是否相 外力，那么，不管这两个弹性体的材料是否相 同，也不管它们是在平面应力情况下或是在平 的分布是相 、 面应变情况下，应力分量 应变情 应 分量 、 分布是相 同的（两种平面问题中的应力分量 z ，以及 形变和位移，却不一定相同）。
函数 Φ 称为平面问题的应力函数，也称为艾 瑞应力函数。 为了使应力分量（1）同时也能满足相容 方程（b），将（ ） 将（1）代入式（b），即得： ） 即得：
2 2 2Φ 2Φ ( 2 2 )( 2 f x x 2 f y y ) 0 x y y x 2 2 2Φ 2Φ 上式可简化为： ( 2 2 )( 2 2 ) 0 x y x y
因而一定存在某一个函数 因而 定存在某 个函数 Φ ( x, y ) ，使得： 使得
Φ A y Φ B x
《弹性力学》第二章_平面问题的基本理论
o
xy
x
y
P
yx
y
A
XN
x
设AB面在xy平面内的长度为dS， 厚度为一个单位长度，N为该面的外 法线方向，其方向余弦为：
B
N
N
N
cos(N , x) l , cos(N , y) m
9
YN S
图2 － 4
斜面AB上全应力沿x轴及y轴的投影分别为XN和YN。由PAB 的平衡条件 Fx 0 可得： X N dS xldS yxmdS
2.主应力的方向
1 与 2 互相垂直。
11
§2-4
几何方程、刚体位移
在平面问题中，弹性体中各点都可能产生任意方向的位移。 通过弹性体内的任一点P，取一单元体PAB，如图2-5所示。弹性 体受力以后P、A、B三点分别移动到P′、A′、B′。 一、P点的正应变
u (u dx) u u x x dx x
二、P点的剪应变
线段PA的转角：
同理可得线段PB的转角：
u y
所以
xy
v u x y
13
因此得到平面问题的几何方程：
u x x v y y v u xy x y
由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，形变 分量即可完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分 量却不能完全确定。
z
E
( x y )
16
二、平面应变问题的物理方程 1 2 x ( x y ) E 1 1 2 y ( y x ) E 1 2(1 ) xy xy E 三、平面应力的应力应变关系式与平面应变的关系式之间的 变换关系 1 ( ) y 将平面应力中的关系式： x E x
第二章平面问题的基本理论
第二章平面问题的基本理论两类平面问题平面问题的基本方程平面问题的边界条件圣维南原理两种求解途径1． 两类平面问题的基本概念一般情况下，弹性力学问题都是空间问题，但是，当弹性体具有某种特殊形状，受有某种特殊的外力时，空间问题可以简化为平面问题，即弹性体的几何参数和所受的外力只是二维坐标（例如x ，y ）的函数（与z 无关）；只需要确定oxy 平面内的应力、应变和位移分量（且只是x 、y 的函数），其它分量或不存在、或可用oxy 平面内的分量表示出来；所得基本方程也都是二维的。
平面问题分两种情况，平面应力问题和平面应变问题。
这两类平面问题的基本特征见表2-1。
图2-1图2-2综上所述，无论是平面应力问题，还是平面应变问题，它们所具有的独立未知量是相同的，3个应力分量（xy t x τσσ,,）、3个应变分量（xy y x γεε,,）、2个位移分量（v u ,），并且都是x ，y 的函数，与z 无关。
2. 平面问题的基本方程解答弹性力学问题必须从静力学、几何学和物理学三个方面考虑，建立其基本方程。
（1）平衡微分方程 从弹性体内任一点取出微元体，建立弹性体内一点的应力分量与体力分量之间的关系。
得到平衡微分方程。
,0=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂Y yxX y x y xy yxx σστσ. (2-1)（2）几何方程三个应变分量与两个位移分量之间的关系。
x v y u yv xuxy y x ∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=γεε,,. (2-2)注意：① 从几何方程（2-2）可以看到，三个应变分量由两个位移分量表示，这说明三个应变分量之间要满足一定的协调关系，不能任意选取。
这个协调关系称为相容方程：.22222y x x y xyy x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε (2-3)② 对按应力求解弹性力学问题来说，由于两个平衡微分方程中含有三个应力分量，所以相容方程（2-3）是必须满足的基本方程之一。
否则，就不能由所给出的应力求出连续的位移。
第2章 平面问题的基本理论
(l 2σ x + m 2σ y + 2l mτ xy ) 2
13
设经过P点的某一斜面上的切应力等于零，则该斜 面上的正应力称为P点的一个主应力，而该斜面称 为P点的一个应力主面，该斜面的法线方向(即主 应力的方向)称为P点的一个应力主向。
t x = lσ lσ x + mτ xy = lσ t y = mσ mσ y + lτ xy = mσ
，
9
∫ ∫ ∫
h/2
−h / 2 h/2
σx τ xy
x =l
dy = P dy = Q dy = M
−h / 2 h/2
x =l
−h / 2
yσ x
x =l
10
§2 — 7 按位移求解平面问题 平衡方程：
E ∂ 2u 1 − υ ∂ 2u 1 + υ ∂ 2 v ( 2 + + ) + fx = 0 2 2 2 ∂y 2 ∂x∂y 1 − υ ∂x E ∂ 2 v 1 − υ ∂ 2 v 1 + υ ∂ 2u ( 2 + + ) + fx = 0 ， 2 2 2 ∂x 2 ∂x∂y 1 − υ ∂y
弹性力学：微分体平 衡 思考题： 思考题：
微分体上的应力按线性分布，试推导平衡方程 不取规则的微分体，而取任意形状脱离体 能否建立相同的平衡方程 在边界上取微分体，力矩平衡会导致什么结果
5
§2 — 3 几何方程 刚体位移
εx =
εy =
，
∂u ∂x
∂v ∂y
， ，
，
γ xy
∂v ∂u = + ∂x ∂y
平面应力问题和平面应变问题都适用 适用条件：连续性，小变形
第2章 平面问题的基本理论汇总
一、单元体的受力图
t= 1
平面应力：z方向应力为零。 平面应变：z方向应力自成平衡。
应用的基本假定： 连续性假定─应力用连续函数来表示。 小变形假定─用变形前的尺寸代替
变形后的尺寸。
二、平衡微分方程(平面任意力系)
合力 = 应力×面积，体力×体积； 以正向物理量来表示。
平面问题中可列出三个平衡条件:
例2（习题2-4） 按平面应变问题特征来分析， 本题中
ox z
y
只有
x x x, y , y y x, y , xy xy x, y
思考题 设有厚度很大(即 z 向很长)的基础梁放置在地基上,如果
想把它近似地简化为平面问题处理,问应如何考虑?
2-2 平面问题的平衡微分方程
将（px,py）向法向、切向投影，得
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力
2-4 几何方程 刚体位移
一、几何方程:表示应变与位移之间的关系
x x x, y , y y x, y , xy xy x, y u u x, y,v v x, y
罗建辉
第二章
平面问题的 基本理论
2-1 平面应力问题和平面应变问题
一、弹性力学空间问题的简化
(在特定的条件下)
空间问题
平面问题
二、弹性力学平面问题
1、平面应力问题 (1) 几何特征：
等厚度的薄板，厚度<<长、宽； (2) 受力特征： ∥xy面，沿板厚不变；
体力fx、fy作用于体内； 面力fx、fy作用于板边； 约束u、v 作用于板边。
思考题
1.试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来 检验方程的正确性）。
t= 1
平面应力：z方向应力为零。 平面应变：z方向应力自成平衡。
应用的基本假定： 连续性假定─应力用连续函数来表示。 小变形假定─用变形前的尺寸代替
变形后的尺寸。
二、平衡微分方程(平面任意力系)
合力 = 应力×面积，体力×体积； 以正向物理量来表示。
平面问题中可列出三个平衡条件:
例2（习题2-4） 按平面应变问题特征来分析， 本题中
ox z
y
只有
x x x, y , y y x, y , xy xy x, y
思考题 设有厚度很大(即 z 向很长)的基础梁放置在地基上,如果
想把它近似地简化为平面问题处理,问应如何考虑?
2-2 平面问题的平衡微分方程
将（px,py）向法向、切向投影，得
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力
2-4 几何方程 刚体位移
一、几何方程:表示应变与位移之间的关系
x x x, y , y y x, y , xy xy x, y u u x, y,v v x, y
罗建辉
第二章
平面问题的 基本理论
2-1 平面应力问题和平面应变问题
一、弹性力学空间问题的简化
(在特定的条件下)
空间问题
平面问题
二、弹性力学平面问题
1、平面应力问题 (1) 几何特征：
等厚度的薄板，厚度<<长、宽； (2) 受力特征： ∥xy面，沿板厚不变；
体力fx、fy作用于体内； 面力fx、fy作用于板边； 约束u、v 作用于板边。
思考题
1.试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来 检验方程的正确性）。
弹性力学3-应力状态、几何方程
s x ,s y ,t xy t yx
应力张量： tsyxx
t xy sy
t t
xz yz
t zx t zy s z
s x t xy
t yx
s
y
第二章 平面问题的基本理论 2.3 平面问题中一点的应力状态
一点的应力状态可以用以下三种方法表示：
用包围该点的微元体（微正六面体）表征 过该点的任意斜截面上的应力 用一点的主应力与主方向表征
2.1 平面应力与平面应变 2.2 平衡微分方程 2.3 一点的应力状态 2.4 几何方程 2.5 物理方程 2.6 边界条件 2.7 圣维南原理 2.8 按位移求解平面问题 2.9 按应力求解平面问题 2.10 常体力情况下的简化
第二章 平面问题的基本理论 2.4几何方程
几何方程：应变分量与位移分量之间的关系。
fx
dxdy 2
1 0
上式分别将dx、dy用ds 表达：
pxds
s xlds
t yxmds
fx
ldsmds 2
0
ds趋于零时
O
x
t yx s y
P
A
t t xy
Px
n
px ls x mt xy
(2-3a)
sx
微元体竖直静力平衡条件： Fy 0 可得：
Py s n n
B
y pyds 1 s ydx 1 t xydy 1
过P点的微小三角形，两个边分别 O
平行于坐标轴，当面积SAPB无限减小， 趋近于P点时，平面AB上的应力即成
x
t yx s y
P
A
为过P点斜面上的应力。
P点应力分量（直角坐标面上的应
力）已知：s x ,s y ,t xy t yx
弹性力学简明教程
弹性力学简明教程第一章绪论1-1 弹性力学的内容1-2 弹性力学中的几个基本概念1-3 弹性力学中的基本假定习题第二章平面问题的基本理论2-1 平面应力问题与平面应变问题2-2 平衡微分方程2-3 平面问题中一点的应力状态2-4 几何方程刚体位移2-5 物理方程2-6 边界条件2-7 圣维南原理及其应用2-8 按位移求解平面问题2-9 按应力求解平面问题相容方程2-10 常体力情况下的简化应力函数习题第三章平面问题的直角坐标解答3-1 逆解法与半逆解法多项式解答 .3-2 矩形梁的纯弯曲3-3 位移分量的求出3-4 简支梁受均布荷载3-5 楔形体受重力和液体压力习题第四章平面问题的极坐标解答4-1 极坐标中的平衡微分方程4-2 极坐标中的几何方程及物理方程4-3 极坐标中的应力函数与相容方程4-4 应力分量的坐标变换式4-5 轴对称应力和相应的位移4-6 圆环或圆筒受均布压力4-7 压力隧洞4-8 圆孔的孔口应力集中4-9 半平面体在边界上受集中力4-10 半平面体在边界上受分布力习题第五章用差分法和变分法解平面问题5-1 差分公式的推导5-2 应力函数的差分解5-3 应力函数差分解的实例5-4 弹性体的形变势能和外力势能5-5 位移变分方程5-6 位移变分法5-7 位移变分法的例题习题..第六章用有限单元法解平面问题6-1 基本量及基本方程的矩阵表示6-2 有限单元法的概念6-3 单元的位移模式与解答的收敛性6-4 单元的应变列阵和应力列阵6-5 单元的结点力列阵与劲度矩阵6-6 荷载向结点移置单元的结点荷载列阵6-7 结构的整体分析结点平衡方程组6-8 解题的具体步骤单元的划分6-9 计算成果的整理6-10 计算实例6-11 应用变分原理导出有限单元法基本方程习题第七章空间问题的基本理论7-1 平衡微分方程7-2 物体内任一点的应力状态7-3 主应力最大与最小的应力7-4 几何方程及物理方程7-5 轴对称问题的基本方程习题。
《弹性力学》第二章平面问题的基本理论
平面问题研究方法
01
02
03
解析法
通过弹性力学的基本方程 和边界条件，求解出满足 条件的应力、应变和位移 分量。
数值法
利用计算机进行数值计算， 如有限元法、差分法等， 求解出弹性体的应力、应 变和位移分布。
实验法
通过实验手段，如光弹性 实验、应变电测实验等， 直接测定弹性体的应力、 应变和位移。
02 基本方程与定解条件
物理方程反映了材料的力学性质，是弹性力学中的重要基础。
03
定解条件（边界条件与初始条件）
01
02
03
定解条件是弹性力学问 题中必须满足的附加条 件，包括边界条件和初
始条件。
边界条件描述了物体边 界上的应力、位移等物 理量的已知情况，是求 解弹性力学问题的重要
依据。
初始条件描述了物体在 初始时刻的应力、位移 等物理量的已知情况， 对于动态问题和瞬态问
04 平面问题解法及实例分析
按位移求解平面问题
位移边界条件
在位移边界上，物体受到的约束可以 转化为在给定位移边界上各点的位移。
平衡微分方程
根据弹性力学的基本方程，可以建立 以位移表示的平衡微分方程。
应力边界条件
在应力边界上，物体受到的面力可以 转化为应力边界上各点的应力分量。
求解方法
通过联立平衡微分方程和应力边界条 件，可以求解出位移分量，进而求得 应力分量。
复杂应力函数求解技巧
复杂应力函数的特点
复杂应力函数可能具有复杂的数学形式和边界条件，求解难度较大。
求解技巧
针对复杂应力函数的求解，可以采用变量分离法、积分变换法、复 变函数法等数学工具进行简化处理，降低求解难度。
实例分析
以一个复杂的弹性力学问题为例，介绍如何运用上述技巧求解复杂 应力函数，并给出相应的应力分量分布图。
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v
g
(ly y 2 ),
o
思考题 1、 试用位移法求解图(b)的位移和 应力。 2、试将弹性力学中平面问题的位移 法与结构力学的位移法相比，有那 些相同 和不同之处？ 选择习题 2—10。
l
x
o
x
g
g
y
图(a)
y
图 (b )
例2 厚度δ =1的悬臂梁，受一端的集中力 F 的作用。已求得其位移的解答是
思考题 1.试证明微分体绕 z 轴的平均转动分量是 (
1 v u ). 2 x y
2.当应变为常量时，εx=a , εy=b , γxy=c ，试求出对应的位移分量。
选择习题 2—7、2—19。
思考题
1.试证：由主应力可以求出主应变，且两者方向一致。
2.试证：三个主应力均为压应力，有时可以产生拉裂现象。 试根据空间问题的物理方程进行解释。
y
l
σy
yx
q1
y h 边界, 2 x (σ y ) y h q , ( τ yx ) y h 0. 2 2 l y h 边界, 2 (σ y ) y h 0, ( τ yx ) y h q1.
2 2
例2 列出边界条件：
y b边界： (σ y ) y b 0, ( τ yx ) y b 0. x a边界： (σ x ) x a y 2 q( ) , ( τ xy ) x a 0. b
3.试证：在自重作用下，圆环（平面应力问题） 比圆筒（平面应变问题）的变形大。 试根据它们的物理方程来解释这种现象。
例1 列出边界条件：
h/2 h/2
σy
0, x l边界, (σ x ) x l 0,
o
x
xy
σx
(v) x 0 0. ( τ xy ) x l 0.
h/2
h / 2 h/2
( x ) x 0 d y F , ( x ) x 0 y d y M , ( xy ) x 0 d y Fs。
在小边界x = l，当平衡微分方程和其它各 边界条件都已满足的条件下，三个积分的边 界条件必然满足，可以不必校核。
h / 2 h/2
o
l
x
o
x
g
g
y
y
2v g . 2 y E
y = 0 , l ，位移边界条件 (v)y=0=0 ∴ B=0 (v)y=l=0 ∴ A
g
2E l.
v
g
2E
y 2 Ay B.
2E g y (l 2 y ), 2E g σy (l 2 y ). 2
h / 2
例2 试列出图中的边界条件。 解：(a)在主要边界x= 0, b，应精确满足下列边界 条件：
O
F
300
x
b/2 b/2
gy
h q y (h b, 1)
x0 xl
σ x gy, σ x 0,
xy 0; xy q。
在小边界y = 0应用圣维 南原理，列出三个积分 的近似边界条件，当板 厚δ =1时， 注意：
Fx2 y Fy3 Fy3 Fl 2 Fh2 u ( ) y, 2 EI 6 EI 6 IG 2 EI 8IG Fxy2 Fx3 Fxl2 Fl3 v 。 2 EI 6 EI 2 EI 3EI
第二章 平面问题的 基本理论
例如：深梁问题
例1（习题2-3） 试分析不受面力的空间体表面薄层中的应力状态。
选择坐标系如图。 因该表面无任何面力，fx、fy、fz = 0,故表面上 (σz , τzx , τzy)=0 在近表面很薄一层 (σz , τzx , τzy)→0 ∴ 接近平面应力问题。
例2（习题2-4） 按平面应变问题特征来分析， 本题中
ox
z
y
只有
x x x,y , y y x,y , xy xy x,y
思考题 设有厚度很大(即 z 向很长)的基础梁放置在地基上,如果 想把它近似地简化为平面问题处理,问应如何考虑?
思考题
1.试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来 检验方程的正确性）。 2.将条件ΣMc=0 ,改为对某一角点的ΣM=0，将得出什么结 果？ 3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，将得出什么结 果？
q b b q
a o
a
q x
yx xy
q
σx
σy
y
思考题
M
x o q n y
(a )
o
σy
A
x
g
A
x
y
(b )
y
(d )
B
(c )
A
1、若在斜边界面上，受有常量的法向分布压力q作用，试列出应力边界条件，(图(a))。 2、证明在无面力作用的0A边上，σy不等于零（图 (b)）。 3、证明在凸角A点附近，当无面力作用时，其应力为零（图(c)）。 4、试导出在无面力作用时，AB边界上的 σx , σy , τxy 之间的关系。(图(d))。 5、试比较平面应力问题和平面应变问题的基本方程和边界条件的异同，并 进一步说明它们的解答的异同。 选择习题 2—13
(b)
3F , 0 2 b 3F ( ) x d x b, 0 y y 0 4 b F ( ) d x 。 0 yx y 0 2
b
( y ) y 0 d x
在列力矩的条件时两边均是 对原点O的力矩来计算的。
对于y = h的小边界可以 不必校核。
四、按位移求解（位移法）的优缺点： 适用性广─ 可适用于任何边界条件。 求函数式解答困难，但在近似解法 （变分法、差分法、有限单元法） 中有着广泛的应用。 例1 考虑两端固定的一维杆件。 图(a)， 只受重力作用，fx=0 , fy=ρg。 试用位移法求解。 解：为了简化，设μ = 0 位移u = 0,v = v ( y ) 按位移求解，位移应满足式(b),(c),(d)。 代入式(b),第一式自然满足， 第二式成为
例1 试列出图中的边界条件。 解：(a)在主要边界y = ±h/2应精确满足下列边 界条件：
x y q( ) 2 , l y h / 2, y 0, y h / 2,
xy 0; xy q1.
在小边界x = 0应用圣维 南原理，列出三个积分 的近似边界条件，当板 厚δ =1时，