导数的概念-离散数学精品课程
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导数的概念ppt课件
解: y x x x,
y x x x
x
x
y' y x
1
x x
x x x x
1 ,当x 0时的值。 x 2x
例3 某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: (1)t=2的瞬时速度； (2) 求该质点的速度； (3)求该质点的加速度.
作业2：航天飞机发射后的一段时间内，第t秒 末 的高度h(t)＝30t2＋45t，其中h的单位是m， t的单位是s．
v在t0的瞬时速度
f (t0 t) t
f (t0 )
当t 0时
以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过
取极限，从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速
度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。
导数的概念
一.导数的概念
函数 y f ( x)在区间（a, b)有定义， x0 （a, b)
(4) f(x) ＝ 1 ； x
并把A
叫做函数 y f (x)在点 x0处的导数 , 记为y x x0
y xx0 f ' ) ,当x 0
x
x
由定义求导数（三步法）
步骤:
(2) 算比值 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
(3) 求y
x x0
xy .在x x
x
0时
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数
解： y [(1 x)2 2] (12 2) 2x (x)2
y 2x (x)2
2 x
x
x
y 2 x,当x 0时 x
y' |x1 2
变题.求y=x2+2在点x=a处的导数
例2.若f (x) (x 1)2 , 求f (2)和( f (2))
y x x x
x
x
y' y x
1
x x
x x x x
1 ,当x 0时的值。 x 2x
例3 某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: (1)t=2的瞬时速度； (2) 求该质点的速度； (3)求该质点的加速度.
作业2：航天飞机发射后的一段时间内，第t秒 末 的高度h(t)＝30t2＋45t，其中h的单位是m， t的单位是s．
v在t0的瞬时速度
f (t0 t) t
f (t0 )
当t 0时
以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过
取极限，从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速
度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。
导数的概念
一.导数的概念
函数 y f ( x)在区间（a, b)有定义， x0 （a, b)
(4) f(x) ＝ 1 ； x
并把A
叫做函数 y f (x)在点 x0处的导数 , 记为y x x0
y xx0 f ' ) ,当x 0
x
x
由定义求导数（三步法）
步骤:
(2) 算比值 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
(3) 求y
x x0
xy .在x x
x
0时
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数
解： y [(1 x)2 2] (12 2) 2x (x)2
y 2x (x)2
2 x
x
x
y 2 x,当x 0时 x
y' |x1 2
变题.求y=x2+2在点x=a处的导数
例2.若f (x) (x 1)2 , 求f (2)和( f (2))
导数的概念-课件-导数的概念
导数的计算 练习
通过计算导数的练 习，我们可以巩固 导数的基本计算方 法。
导数与几何 问题的练习
通过几何问题的练 习，我们可以将导 数与图形之间的关 系运用到实际问题 中。
导数与极值 的练习
通过极值问题的练 习，我们可以运用 导数的概念来解决 优化问题。
导数与凹凸 性的练习
通过凹凸性问题的 练习，我们可以运 用导数的凹凸性判 定方法来分析函数 图像。
2 作用
导数用于研究函数的局部特性、极值、凹凸性和切线斜率等。
3 符号与表示方法
导数通常用f'(x)、dy/dx或y'表示，其中f为函数，x为自变量。
导数的定义
导数的定义涉及函数的极限，几何和物理意义的理解。通过导数的定义，我们能够深入了解导数的本质 和作用。
函数的极限与导数 的定义
通过极限的概念，导数的定 义表达了函数在某一点的切 线斜率的极限值。
总结
导数作为数学的重要概念，具有广泛的应用前景和未来发展趋势。通过深入理解导数的概念和应用，我 们能够提升数学思维和问题解决能力。
参考文献
计算数学导论，陈红，2019 导数在现代物理中的应用，张立，2020 从函数到导数，王海，2018
导数的概念-课件-导数的 概念
导数的概念课件将带领我们深入探索导数的世界。我们将了解导数的定义、 计算方法和应用，以及导数在几何和物理中的意义。
什么是导数
导数是函数在某一点上的变化率，表示了函数的极小变化量与自变量的极小变化量之间的关系。 导数帮助我们理解函数的变化规律。
1 定义
导数是函数变化率的极限，衡量了函数在某一点上的变化速度。
导数的几何意义
导数代表了函数图像在某一 点的切线斜率，可以帮助我 们理解函数的曲线特征。
导数的定义-精品文档
存在, 则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的左导数. 记为
(x f 0) a
2019/10/27
第一节 导数的概念
13
定理
f ( x ) a f ( x ) f ( x ) a 0 0 0
好像见过面啊！
2019/10/27
第一节 导数的概念
14
例2
讨论函数 f ( x ) x 在 x 0 处的可导 .
一. 背景
例1
1、物理背景---非匀速运动物体的速度问题
在真空中,当时间由t变到t+t 时,自由
落体所经过的路程为
物体由t到t+t一段的平均速度是
1 2 12 1 S ( t t ) S ( t ) g ( t t )gt g ( 2 t t t2) 2 2 2
x 0
O
第一节 导数的概念
x
8
小结
解决与速度变化或变化率相关问题的步骤: (1) 建立一个函数关系 y = f (x) xI .
(2) 求函数由 x0 到 x0+ x 的平均变化率：
x x
(3) 求 x 0 的极限：
则称函数 f (x) 在点 x0 处可导, 极限值 a 称为 f (x) 在
点 x0 处的导数. 记为
dy d f ( x0 ) , a. a， f (x0) a ，y'|xx0 a xx 0 dx dx
2019/10/27 第一节 导数的概念 10
如果函数 f (x) 在点 x0 处可导, 则
3、数学背景-平面曲线的切线问题 (TangentLines)
割线MN绕 点M旋转而 趋向极限位 置MT,直线 MT就称为 曲线C在点 M处的切线.
(x f 0) a
2019/10/27
第一节 导数的概念
13
定理
f ( x ) a f ( x ) f ( x ) a 0 0 0
好像见过面啊！
2019/10/27
第一节 导数的概念
14
例2
讨论函数 f ( x ) x 在 x 0 处的可导 .
一. 背景
例1
1、物理背景---非匀速运动物体的速度问题
在真空中,当时间由t变到t+t 时,自由
落体所经过的路程为
物体由t到t+t一段的平均速度是
1 2 12 1 S ( t t ) S ( t ) g ( t t )gt g ( 2 t t t2) 2 2 2
x 0
O
第一节 导数的概念
x
8
小结
解决与速度变化或变化率相关问题的步骤: (1) 建立一个函数关系 y = f (x) xI .
(2) 求函数由 x0 到 x0+ x 的平均变化率：
x x
(3) 求 x 0 的极限：
则称函数 f (x) 在点 x0 处可导, 极限值 a 称为 f (x) 在
点 x0 处的导数. 记为
dy d f ( x0 ) , a. a， f (x0) a ，y'|xx0 a xx 0 dx dx
2019/10/27 第一节 导数的概念 10
如果函数 f (x) 在点 x0 处可导, 则
3、数学背景-平面曲线的切线问题 (TangentLines)
割线MN绕 点M旋转而 趋向极限位 置MT,直线 MT就称为 曲线C在点 M处的切线.
高中数学《导数的概念》公开课优秀课件
高中数学《导数的概念》公开课优秀课件标题：高中数学《导数的概念》公开课优秀课件尊敬的各位老师，大家好！今天我们将一起学习高中数学中一个非常重要的概念——导数的概念。
这个概念在微积分学中占据了重要的地位，对于我们理解函数的变化率，以及在科学、工程、经济和计算机科学等领域都有广泛的应用。
一、导数的定义首先，让我们来看看导数的定义。
假设有一个函数f(x)，在某一点x0的附近取一系列的点，这些点的横坐标是x0+Δx。
那么，函数f(x)在点x0的导数就是这一系列点的纵坐标f(x0+Δx)与横坐标之商的极限，记作f'(x0)。
二、导数的几何意义从几何意义上来看，导数表示函数在某一点处的切线的斜率。
当我们把函数在x0附近的点沿着横坐标逐渐移动时，该点的纵坐标会相应地变化，这个变化率就是导数。
三、导数的应用导数的应用非常广泛，它可以用来解决很多实际问题。
例如，在物理学中，导数被用来描述物体的运动学和动力学问题，如速度和加速度；在经济学中，导数被用来分析成本、收益和价格的变化；在计算机科学中，导数被用来研究图像处理和人工智能的问题。
四、导数的计算导数的计算有很多方法，其中最常见的方法是使用导数的定义。
我们可以根据定义来推导出一些基本的导数公式，如常数函数的导数为0，幂函数的导数与其指数有关，三角函数的导数与其角度有关等。
五、总结与复习今天我们学习了导数的概念和计算方法。
导数是微积分学的基础，它描述了函数在某一点处的变化率。
通过学习导数的定义和基本公式，我们可以解决很多实际问题。
六、作业与扩展阅读为了加深对导数概念的理解，请大家完成以下作业：1、复习并熟练掌握导数的基本定义和公式；2、自行寻找并解决一到两个与导数相关的问题（可以从物理、经济或计算机科学等领域寻找）。
同时，我推荐大家阅读《微积分的概念》这本书，作者是著名的数学家Richard Courant。
这本书对微积分的概念有深入且生动的解释，对于我们深入理解导数的概念非常有帮助。
导数的概念-课件-导数的概念(第一课时)
总结导数的理论知识和实 际应用，鼓励学生深入学 习和探索导数。
小结
1 本次课程的重点
总结本次课程的重点内容，帮助学生加深对导数概念的理解。
2 理解和应用
P强调学生对导数的理解和应用，鼓励他们练习导数的求法和应用方法。
导数的概念-课件-导数的 概念(第一课时)
导数的概念-课件-导数的概念(第一课时) 大纲
引言
1 重要性
深入讲解导数的重要性，为学生明确学习目标。
2 概念的含义
引导学生思考导数概念的含义，激发他们对导数的兴趣。
导数的定义
1 定义及公式
详细讲解导数的定义及公式，帮助学生掌握导数的基本概念。
2 导数与函数的关系
讲解导数对函数的单调性的影响，帮助学生分析 函数图像。
求导法则
简要介绍常数函数、幂函数、指数函数、对数函 数及三角函数的求导法则。
应用
1 使用导数求函数极值 2 其它应用领域
3 理论与实际应用
教授使用导数求函数极值 的方法，帮助学生应用导 数解决实际问题。
介绍导数在其他领域的应 用，引发学生对导数的更 多思考。
解释导数与函数的关系，帮助学生理解导数在函数中的应用。
3 使用举例解释
通过举例解释导数的定义，让学生更好地理解导数的具体应用。
导数的性质
可加性和可乘性
介绍导数的可加性和可乘性，帮助学生理解导数 在数学运算中的灵活性。
图形意义
解释导数在图形上的意义，让学生从图像中探索 导数
高等数学导数的概念ppt课件.ppt
x0 处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
o
x
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定理2. 函数 是
在点 可导的充分必要条件 且
简写为 f (x0) 存在
f(x0 )
定理3. 函数 在点 处右 (左) 导数存在
在点 必 右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
f
(0)
lim
x 0
sin x
x
0
0
1
ax 0
f
(0)
lim
x 0
x0
a
故 a 1 时
此时
在
都存在,
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作业
P49 5 , 7, 9
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 设
存在, 且
求
解: 因为
1 f (1 (x)) f (1)
lim
2 x0
(x)
在闭区间 [a , b] 上可导
与 f(b)
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练习：讨论下列函数在x=0时候的连 续性与可导性.
练习：习题2.1题8
f
x
xk
sin
1 x
,
x0
0, x 0.
若函数在x 0连续，则
lim f x lim xk sin 1 f 0 0,
x0
x0
x
必须满足 lim xk 0， k 0即可. x0
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
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导数的概念课件
解: y x x x,
y x x x
x
x
y' y x
1
x x
x x x x
1 ,当x 0时的值。 x 2x
例3 某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: (1)t=2的瞬时速度； (2) 求该质点的速度； (3)求该质点的加速度.
作业2：航天飞机发射后的一段时间内，第t秒 末 的高度h(t)＝30t2＋45t，其中h的单位是m， t的单位是s．
(4) f(x) ＝ 1 ； x
(1)求第2秒内的平均速度；
(2)求第1秒末的瞬时速度；
(3)它在作匀加速运动吗？ 求其瞬时加速 度．
探讨 若 f x x
判断 f (x) 在 x =0 处是否可导。
如果函数 y=f(x)在点 x=x0 存在导数, 就说函数y=f(x)在点 x0 处可导,如果不存 在导数,就说函数 f(x)在点 x0 处不可导.
几个重要结论: 1.尖点处不可导； 2.断点处不可导； 3.无定义处不可导； 4.可导必连续, 连续未必可导
课堂练习
1：已知函数f(x)＝x2＋x－6． (1)在x＝－3处的导数是多少？ (2) 求f’(0)，f’(3)； (3)求f’(x).
2. 求下列函数的导函数. (1) f(x) ＝kx＋b； (2) f(x) ＝c；(3) f( x0处的导数 , 记为y x x0
y xx0 f ' (x0 )
y f (x0 x) f (x0 ) ,当x 0
x
x
由定义求导数（三步法）
步骤:
(2) 算比值 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
(3) 求y
x x0
xy .在x x
x
y x x x
x
x
y' y x
1
x x
x x x x
1 ,当x 0时的值。 x 2x
例3 某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: (1)t=2的瞬时速度； (2) 求该质点的速度； (3)求该质点的加速度.
作业2：航天飞机发射后的一段时间内，第t秒 末 的高度h(t)＝30t2＋45t，其中h的单位是m， t的单位是s．
(4) f(x) ＝ 1 ； x
(1)求第2秒内的平均速度；
(2)求第1秒末的瞬时速度；
(3)它在作匀加速运动吗？ 求其瞬时加速 度．
探讨 若 f x x
判断 f (x) 在 x =0 处是否可导。
如果函数 y=f(x)在点 x=x0 存在导数, 就说函数y=f(x)在点 x0 处可导,如果不存 在导数,就说函数 f(x)在点 x0 处不可导.
几个重要结论: 1.尖点处不可导； 2.断点处不可导； 3.无定义处不可导； 4.可导必连续, 连续未必可导
课堂练习
1：已知函数f(x)＝x2＋x－6． (1)在x＝－3处的导数是多少？ (2) 求f’(0)，f’(3)； (3)求f’(x).
2. 求下列函数的导函数. (1) f(x) ＝kx＋b； (2) f(x) ＝c；(3) f( x0处的导数 , 记为y x x0
y xx0 f ' (x0 )
y f (x0 x) f (x0 ) ,当x 0
x
x
由定义求导数（三步法）
步骤:
(2) 算比值 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
(3) 求y
x x0
xy .在x x
x
导数的概念.课件.导数的概念(第一课时)课件
3.1 导数的概念
曲线的切线和瞬时速度
3.1 导数的概念
Hale Waihona Puke 1．曲线的切线3.1 导数的概念
例 求曲线f (x)=x2 +1在点P(1,2)处的切线的斜率． 在 y=x2 +1 上取点 P(1,2) 及临近一点 Q(1+Dx，2+Dy),过P、Q两点作割线 PQ，并分别过 P、Q 两点作 x 轴与 y 轴的平行线 PM、MQ 相交于点 M， 设割线的倾斜角为 ，割线PQ的斜 率为 f ( x 0 Dx ) f ( x 0 ) k lim Dx 0 Dx (1 Dx ) 2 1 (1 1) lim Dx 0 Dx 2Dx ( Dx ) 2 lim Dx 0 Dx 2
； /gongxw/8432.html 齐鑫金融
北京四中龙门网络教育技术有限公司 Beijing Etiantian Net Educational Technology Co.,Ltd
平均速度 v 的极限为: Ds v lim v lim 2 g 19.6( m / s ) Dt 0 Dt 0 D t 即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于19.6(m/s). 当时间间隔Dt 逐渐变小时,平均速度 v 就越接近 t0=2(s) 时的瞬时速度v=19.6(m/s)
Ds OA1 OA0 s( t 0 Dt ) s( t 0 )
在时间段( t0+Dt)－ t0 = Dt 内，物体的平均速度为:
s( t 0 Dt ) s( t 0 ) Ds v t 0 Dt t 0 Dt
3.1 导数的概念
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时 刻运动的快慢程度．如果物体的运动规律是 s =s(t )，那么物 体在时刻t 的瞬时速度v，就是物体在t 到 t+Dt 这段时间内， 当 Dt0 时平均速度．
曲线的切线和瞬时速度
3.1 导数的概念
Hale Waihona Puke 1．曲线的切线3.1 导数的概念
例 求曲线f (x)=x2 +1在点P(1,2)处的切线的斜率． 在 y=x2 +1 上取点 P(1,2) 及临近一点 Q(1+Dx，2+Dy),过P、Q两点作割线 PQ，并分别过 P、Q 两点作 x 轴与 y 轴的平行线 PM、MQ 相交于点 M， 设割线的倾斜角为 ，割线PQ的斜 率为 f ( x 0 Dx ) f ( x 0 ) k lim Dx 0 Dx (1 Dx ) 2 1 (1 1) lim Dx 0 Dx 2Dx ( Dx ) 2 lim Dx 0 Dx 2
； /gongxw/8432.html 齐鑫金融
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平均速度 v 的极限为: Ds v lim v lim 2 g 19.6( m / s ) Dt 0 Dt 0 D t 即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于19.6(m/s). 当时间间隔Dt 逐渐变小时,平均速度 v 就越接近 t0=2(s) 时的瞬时速度v=19.6(m/s)
Ds OA1 OA0 s( t 0 Dt ) s( t 0 )
在时间段( t0+Dt)－ t0 = Dt 内，物体的平均速度为:
s( t 0 Dt ) s( t 0 ) Ds v t 0 Dt t 0 Dt
3.1 导数的概念
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时 刻运动的快慢程度．如果物体的运动规律是 s =s(t )，那么物 体在时刻t 的瞬时速度v，就是物体在t 到 t+Dt 这段时间内， 当 Dt0 时平均速度．
高中数学导数的概念课件
优化问题求解
总结词
导数在数学优化中常用于求解最值问题，通过求导可以 找到函数的极值点。
详细描述
在数学优化中，最值问题是最常见的一类问题，导数可 以用来求解这类问题。通过对函数求导，可以找到函数 的极值点，从而确定函数的最值。例如，一个企业要制 定一个营销策略，目标是最大化利润，利润函数为P(x) ，对其求导得到利润函数的导数P'(x)，通过求解P'(x)=0 ，可以找到使利润最大的最优策略。
导数在科学计算中的应用
数值分析
导数可以用于数值分析中，如求 解微分方程、积分方程等，通过 求导数可以得到数值解的近似值
。
图像处理
导数可以用于图像处理中，如边 缘检测、图像滤波等，通过求图 像函数的导数可以得到图像的边
缘信息。
信号处理
导数可以用于信号处理中，如滤 波器设计、信号降噪等，通过求 信号函数的导数可以得到信号的
高中数学导数的概念课件
汇报人：
202X-01-05
CATALOGUE
目 录
• 导数的定义 • 导数的性质 • 导数的应用 • 导数的计算 • 导数在实际问题中的应用案例
01
CATALOGUE
导数的定义
导数的起源
01
导数起源于微积分，最初由牛顿 和莱布尼茨等数学家提出，用于 描述函数在某一点的变化率。
导数与函数极值
总结词
导数等于0的点可能是极值点
详细描述
函数在极值点的一阶导数等于0，但一阶导数为0的点不一定是极值点，需要进一 步判断二阶导数的正负。
导数与函数最值
总结词
导数可以帮助寻找函数最值
详细描述
通过求导数并令其为0，可以找到可能的极值点，再结合一阶或二阶导数的符号变化，判断是极大值还是极小值 ，从而确定函数的最值。
导数的定义学习精品PPT课件
(5) y x( 0)
解 (x ) lim (x h) x
h0
h
[(1 h) 1]x
lim x
h0
h
h lim x x x1
h0 h
(x ) x1. ( R)
特别地 (xn ) nxn1.
例如,
(
x )
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 ) (1) x 11
1 x2
.
x
x
y lim y .
x0 x
(1) y f (x) C(C为常数)
解
f ( x) lim h0
f ( x h) h
f ( x) lim C C h0 h
0.
即 (C) 0.
(2) f (x) sin x, 并求(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
x0 ),f (x0 )
0
例8 求y sinx在x 处的切线方程和法线方 程.
3.可导与连续的关系
定理3.1 y f(x)在x0可导 f ( x)在x0连续,反之未必.
证
设函数
y
f
(
x)在点
x0可导,
lim
x0
x
f (x0 )
lim y lim y x 0
x0
x0 x
函数 f ( x)在点 x0连续 .
lim
x x0
f (x) x
f (x0 ) . x
几何意义:
f (x0 )表示y f (x)在x0处切线的斜率.
物理意义:
s(x0 )表示物体在x0处的瞬时速度.
从变化的观点看: f (x0 )表示函数在x0处的变化率.
导数的概念PPT教学课件
坦因两次掠走遗书、文
物一万多件。
•1908年法国人伯希和从
藏经洞中拣选文书中的
精品，掠走约5000件。
•1910年藏经洞中的劫余
写经，大部分运至北京， 交京师图书馆收藏。
斯坦因和王圆箓像
•1911年日本人橘瑞超和吉川小一郎从王道士处，弄走
约600件经卷。
•1914年俄国人奥尔登堡又从敦煌拿走一批经卷写本，
作业布置
• 一、作业：想一想 议一议 • 二、预学指导：第10课 辽、西
夏和北宋并立
检查预习
• 1、宋辽，宋夏和议共同点是（ ） A辽夏向宋称臣 B北宋割地求和 C北宋送给 辽夏“岁币”D互相禁止边境贸易 2、辽夏吸取南下劫掠遭抵抗的教训，进而 推行（ ） A扩军备战 B用严酷刑罚镇压 C破坏被占领 地区经济 D“以汉制待汉人”
x在 x = 2 处的导数。
解：函数改变量: y= x+x x
算比值, y x x x
1
x
x
x x x
取极限,
y
1
1
lim lim
x0 x x0 x x x 2 x
所以
y 1 2x
y' |x2 f '(2)
2 4
4. 导数的几何意义
函数 y=f(x) 在点x0处的导数的几何意义，就是 曲线 y=f(x) 在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率。
学生展示，教师明确
学习指导（二）
“观者如山”的乐舞 请同学们自由朗读本目内容，先自主
思考以下问题，再与同位之间交流一下。 3分钟后看谁完成的最好。
《秦王破阵乐》的作者是唐朝皇帝 A.唐太宗 B.武则天 C.唐玄宗 D.唐中宗
11-导数的概念课件
例 求曲线 法线方程.
y
sin
x
在点
π 4
,
2 2
处的切线方程和
解
y
sin
x
在点
π 4
,
2 2
处的切线的斜率:
y xπ 4
(sin
x) x π 4
cos x
x π 4
cos
π 4
2 2
y
sin
x
在点
π 4
,
2 2
处的切线方程:
y
2 2
2 2
x
π 4
法线方程:
y
2 2
2
x
π 4
是常值，此值可表示该质点的速度， 该质点作匀速运动.
比如 f (t) t2 , t0 1： t 2 , 3 ； t 3 , 4
t0 t 时， A （位置 f (t0 ) ） B （位置 f (t) ）
A
B
O
t0
s
t
经过的路程 所花的时间
= f (t) f (t0 ) t t0
令 t t0 ，若极限存在，设为 v ,即
例 求函数 f (x) | x | 在 x 0 处的导数.
解 lim f (0 x) f (0) lim | x | 0 lim | x | ，
x0
x
x0 x
x0 x
当 x 0 时， | x | 1 ，故 lim | x | 1 ；
x
x0 x
当 x 0 时， | x | 1，故 lim | x | 1.
y f (x0 x) f (x0 )
若 lim x0
y x
存在，则称函数
y
f
(x) 在点 x0 处可导，
导数的概念 课件
＝A＋A＝2A.
f(a＋4t)－f(a＋5t)
(2)litm→0
t
＝litm→0
f(a＋4t)－f(a)＋f(a)－f(a＋5t) t
＝4litm→0
f(a＋44t)t－f(a)－5litm→0
f(a＋5t)－f(a) 5t
＝4A－5A＝－A.
[点评] 概念是分析解决问题的重要依据，只有熟练掌握概 念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念 进行解题，解决这类问题的关键是等价变形，使问题转化 ．
(3)物体在t＝1时的瞬进速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t＝1附近的平均变化率为
ΔΔst＝f(1＋ΔΔt)t－f(1) ＝29＋3[(1＋Δt)－Δ3]t2－29－3(1－3)2＝3Δt－12. ∴物体在 t＝1 处的瞬时变化率为 Δlitm→0 ΔΔst＝Δlitm→0 (3Δt－12)＝－12. 即物体在 t＝1 时的速度为－12m/s.
• [例1] 已知自由落体的运动方程为s＝ gt2，求： • (1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度； • (2)落体在t0时的瞬时速度； • (3)落体在t0＝2秒到t1＝2.1秒这段时间内的平均速度； • (4)落体在t＝2秒时的瞬时速度．
[分析] 平均速度 v 即平均变化率，而瞬时速度即是平
ΔΔst＝428＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度． ∵物体在t＝0附近的平均变化率为
ΔΔst＝f(0＋ΔΔt)t－f(0) ＝29＋3[(0＋Δt)－Δ3]t2－29－3(0－3)2＝3Δt－18， ∴物体在 t＝0 处的瞬时变化率为 Δlitm→0 ΔΔst＝Δlitm→0 (3Δt－18)＝－18， 即物体的初速度为－18m/s.
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3-1-11
青海师范大学精品课程—离散数学
本节小结
命题 命题的真值 原子命题和复合命题 命题常量和命题变量
3-1-12
青海师范大学精品课程—离散数学
习题
P80，1， 2
3-1-13
若一个命题不包含有更小的命题 , 则称其为 原子命题 (atom) 或简单命题 , 否则称为复合
命题(compound proposition). 原子命题表示： 通常用小写英文字母 p, q, r, s,…或带下标p1, p2, p3, …等来表示原子命题, 如用p: 2 + 3 = 5, q: 今天我们上课.
3-1-10
青海师范大学精品课程—离散数学
3.1 命题的有关概念
4. 逻辑常量和逻辑变量 逻辑常量：把1和0称为逻辑常量(logical constant). 逻辑变量：在逻辑表达式中出现的p, q, r或p1, p2 , p3 等称为命题变元(proposition variable)或逻辑变量(logical variable). 命 题变元可以代表任意命题, 从取值的角度看, 命题变元既可以取1又可以取0.
3-1-6
青海师范大学精品课程—离散数学
3.1 命题的有关概念
命题(proposition, statement)是能判断出真假的 语句. (1)命题必须是一个完整的句子,包括用数学式子如 代表的语句.
(2)所给语句具有真假意义,即有是否符合客观实际 或是否合理之分. 一般来说,只有陈述句才具有 真假意义,祈使句、疑问句和感叹句不具有真假 意义;
青海师范大学精品课程—离散数学
(离散)命题之间的
逻辑关系
还有些什么关系? 认知关系: 我知道… 偏好关系: 他喜欢… ……
3-1-1
青海师范大学精品课程—离散数学
Chapter 3 命题逻辑
逻辑学 是研究思维形式及思维规律尤其是推理 的学科.
亚里士多德(Aristotle, 公元前384~公元前322)是 形式逻辑的创始人.
数学, 物理学, 化学, 天文学, 地学, 生物学,逻辑 学. (MBA, MPA, 招聘等)
3-1-2
青海师范大学精品课程—离散数学
莱布尼茨(G. Leibniz, 1647--1716) 是数理逻辑的 创始人.
传统的数理逻辑(内容包括逻辑演算、公理化集合 论、模型论、递归论和证明论). 应用逻辑,如多值逻辑、模态逻辑、归纳逻辑、时 序逻辑、动态逻辑、模糊逻辑、非单调逻辑、缺省 逻辑、数字逻辑、电路逻辑、算法逻辑及程序逻辑 等, 这些都与计算机科学密切相关 计算机如何进行逻辑思维的—计算思维培养
(3)能判断出真假, 或将来某时候能判断出真假
3-1-7
青海师范大学精品课程—离散数学
3.1 命题的有关概念
例子3-1 判断下列语句是否是命题. (1) 你妈喊你回家吃饭 . (2) 《建国大业》里面有很多大腕儿 . (3) x > 3. (4)立正！ (5)这朵花真漂亮！ (6)你喜欢网络游戏吗? (7)火星上有生物.
3-1-5
青海师范大学精品课程—离散数学
3.1 命题的有关概念
计算机的计算过程就是推理过程,而每一步推理离不 开判断, 判断的对象就是命题. 1. 什么是命题? 命题(proposition, statement)是能判断出真假的 语句. 当判断正确或符合客观实际时，称该命题真 （True），用“T”或“1”表示；否则称该命题 假（False），用“F”或“0”表示
3-1-3
青海师范大学精品课程—离散数学
命题逻辑与谓词逻辑是数理逻辑的基础部分.
命题逻辑的研究对象是命题.
3-1-4
青海师范大学精品课程—离散数学
第三章 命题逻辑
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 命题的相关概念 逻辑联结词 命题公式及其真值表 逻辑等值的命题公式 命题公式的范式 联结词集合的完备性 命题逻辑中的推理
3-1-8
青海师范大学精品课程—离散数学
3.1
命题的有关概念
2. 命题的真值：命题的逻辑取值. 经典逻辑值只有两个: 1和0, 它们是表示事物状 态的两个量.
若一个命题是真命题, 其真值为1;
若一个命题是假命题, 其真值为0.
3-1-9
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3.1 命题的有关概念
3. 原子命题和复合命题
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本节小结
命题 命题的真值 原子命题和复合命题 命题常量和命题变量
3-1-12
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习题
P80，1， 2
3-1-13
若一个命题不包含有更小的命题 , 则称其为 原子命题 (atom) 或简单命题 , 否则称为复合
命题(compound proposition). 原子命题表示： 通常用小写英文字母 p, q, r, s,…或带下标p1, p2, p3, …等来表示原子命题, 如用p: 2 + 3 = 5, q: 今天我们上课.
3-1-10
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3.1 命题的有关概念
4. 逻辑常量和逻辑变量 逻辑常量：把1和0称为逻辑常量(logical constant). 逻辑变量：在逻辑表达式中出现的p, q, r或p1, p2 , p3 等称为命题变元(proposition variable)或逻辑变量(logical variable). 命 题变元可以代表任意命题, 从取值的角度看, 命题变元既可以取1又可以取0.
3-1-6
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3.1 命题的有关概念
命题(proposition, statement)是能判断出真假的 语句. (1)命题必须是一个完整的句子,包括用数学式子如 代表的语句.
(2)所给语句具有真假意义,即有是否符合客观实际 或是否合理之分. 一般来说,只有陈述句才具有 真假意义,祈使句、疑问句和感叹句不具有真假 意义;
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(离散)命题之间的
逻辑关系
还有些什么关系? 认知关系: 我知道… 偏好关系: 他喜欢… ……
3-1-1
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Chapter 3 命题逻辑
逻辑学 是研究思维形式及思维规律尤其是推理 的学科.
亚里士多德(Aristotle, 公元前384~公元前322)是 形式逻辑的创始人.
数学, 物理学, 化学, 天文学, 地学, 生物学,逻辑 学. (MBA, MPA, 招聘等)
3-1-2
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莱布尼茨(G. Leibniz, 1647--1716) 是数理逻辑的 创始人.
传统的数理逻辑(内容包括逻辑演算、公理化集合 论、模型论、递归论和证明论). 应用逻辑,如多值逻辑、模态逻辑、归纳逻辑、时 序逻辑、动态逻辑、模糊逻辑、非单调逻辑、缺省 逻辑、数字逻辑、电路逻辑、算法逻辑及程序逻辑 等, 这些都与计算机科学密切相关 计算机如何进行逻辑思维的—计算思维培养
(3)能判断出真假, 或将来某时候能判断出真假
3-1-7
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3.1 命题的有关概念
例子3-1 判断下列语句是否是命题. (1) 你妈喊你回家吃饭 . (2) 《建国大业》里面有很多大腕儿 . (3) x > 3. (4)立正！ (5)这朵花真漂亮！ (6)你喜欢网络游戏吗? (7)火星上有生物.
3-1-5
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3.1 命题的有关概念
计算机的计算过程就是推理过程,而每一步推理离不 开判断, 判断的对象就是命题. 1. 什么是命题? 命题(proposition, statement)是能判断出真假的 语句. 当判断正确或符合客观实际时，称该命题真 （True），用“T”或“1”表示；否则称该命题 假（False），用“F”或“0”表示
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命题逻辑与谓词逻辑是数理逻辑的基础部分.
命题逻辑的研究对象是命题.
3-1-4
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第三章 命题逻辑
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 命题的相关概念 逻辑联结词 命题公式及其真值表 逻辑等值的命题公式 命题公式的范式 联结词集合的完备性 命题逻辑中的推理
3-1-8
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3.1
命题的有关概念
2. 命题的真值：命题的逻辑取值. 经典逻辑值只有两个: 1和0, 它们是表示事物状 态的两个量.
若一个命题是真命题, 其真值为1;
若一个命题是假命题, 其真值为0.
3-1-9
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3.1 命题的有关概念
3. 原子命题和复合命题