二次根式及其性质
八年级下册数学二次根式笔记
八年级下册数学二次根式笔记
一、二次根式的定义
1. 二次根式：形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。
2. 二次根式的性质：非负性，即被开方数是非负数。
二、二次根式的性质和运算法则
1. 二次根式的乘法运算法则：√a × √b = √(a×b)（a≥0，b≥0）。
2. 二次根式的除法运算法则：√a ÷ √b = √(a÷b)（a≥0，b>0）。
3. 二次根式的乘方运算法则：√a^n = a^(n/2)（a≥0，n是正整数）。
4. 二次根式的加减运算法则：同类二次根式可以进行加减运算。
三、二次根式的化简
1. 完全平方公式：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2；a^2-2ab+b^2=(a-b)^2。
2. 平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
3. 完全立方公式：a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3。
4. 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)。
5. 二次根式化简的一般步骤：去括号、合并同类项、化简。
四、二次根式的应用
1. 在实际问题中，经常需要求解一些与二次根式有关的数学问题，如长度、面积、体积等。
2. 在数学证明中，二次根式也经常被用来证明一些重要的数学定理，如勾股定理、毕达哥拉斯定理等。
五、练习与巩固
为了更好地掌握二次根式的知识，需要多做一些练习题，通过练习巩固所学知识。
可以参考教材上的练习题或找一些相关的练习册进行练习。
在练习过程中，要注意解题的思路和方法，掌握各种运算法则和公式的应用，提高解题的速度和准确性。
二次根式及其性质课件
1 •下列式子一定是二次根式的是( C )
知1－练
2 •(中考·武汉)若代数式 C
•则x的取值范围是( )
在实数范围内有意义，
•A．x≥－2 B．x>－2 C．x≥2 D．x≤2
知识点 2 二次根式的性质
知2－导
做一做
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
4 9 ____, 4 9 _____; 4 _____, 4 _____;
•
的根指数为2，所以
是二次根式．
• (7)是．理由：因为|x|≥0，且 根式．
的根指数为2，所以
是二次
总结
知1－讲
二次根式是在初始的外在情势上定义的，不能从化 简结果上判断，如 是二次根式. 像 （a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式 的式子，不能称为二次根式.
知1－讲
• 例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意 义？
知识点 1 二次根式的定义
知1－讲
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式． 其中a为整式或分式，a叫做被开方式． 特点：①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
知1－讲
导引： 判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根
式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知3－练
1 (中考·淮安)下列式子为最简二次根式的是( A )
2 在下列根式中，不是最简二次根式的是( D )
1. 当a≥0时， 2. 当a≥0时， •3.
完成教材P43,习题T1-T4
谢谢！
知2－讲
知识点
商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法
初中数学二次根式知识点整理
初中数学二次根式知识点整理二次根式是初中数学中的重要知识点之一，也是数学学习中的基础。
它包含了平方根、分数指数和有理化的相关内容。
掌握了二次根式的知识，对于解决问题和提高数学能力具有重要的作用。
下面将对二次根式的相关知识点进行整理和总结。
一、二次根式的定义与性质二次根式是指具有形如√a（其中a≥0）的表达式。
其中，a被称为被开方数，√a被称为二次根式的根号部分。
除此之外，我们还需要了解以下性质：1. 二次根式的值是非负的实数或零：√a≥0；2. 二次根式的值大于零的情况下，可以化简：√a=0，a=0；二、二次根式的运算1. 二次根式的加减运算当被开方数相同时，二次根式的加减可以合并为一个根号内的运算，即√a±√a=2√a。
当被开方数不同但可以合并时，可以通过有理化的方法进行化简，具体操作如下：例如：√3+√12=√3+√(4×3)=√3+2√3=3√3；再例如：√8-√32=√(4×2)-√(16×2)=2√2-4√2=-2√2；2. 二次根式的乘除运算二次根式的乘法运算可以通过根式的合并和简化进行：例如：√2×√3=√(2×3)=√6；类似地，二次根式的除法运算可以通过根式的合并和简化进行：例如：√20÷√4=√(20÷4)=√5；需要注意的是，对于根号内含有非完全平方数的情况，需要通过化简为最简根式。
例外：对于根号内含有互质数的情况，乘法运算可以直接合并；例如：√7×√5=√(7×5)=√35；而除法运算同样可以进行简化：例如：√28÷√7=√(28÷7)=√4=2；三、二次根式的有理化有理化是将含有根号的式子转化成不含根号的式子，常用的方法有以下两种：1. 乘以去根号因式：当分母含有根号时，可以乘以分母的共轭形式，即乘以√a-√b；例如：1/（√2+√5）×（√2-√5）=√2-√5；2. 利用平方的性质进行有理化：当分母是二次根式时，可以通过平方的性质进行有理化；例如：1/√3=√3/（√3×√3）=√3/3；需要注意的是，有理化后的结果通常会更便于计算和使用。
二次根式的概念和性质
基础知识
1、二次根式的定义：
我们已经知道：每一个正实数有且只有两个平方根，一个记作a，称为a的。
算术平方根；另一个是a
我们把形如a的式子叫作二次根式，根号下的数a叫作被开方数.
由于在实数围，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数围有意义．
2、二次根式的性质
3、二次根式的积的算数平方根的性质
4、最后的计算结果，具有以下特点：
（1）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；
（2）被开方数不含分母.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.
注意：①化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.
②化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.
③今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平
方号以后移到根号外（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）.题型一、二次根式的概念和条件
【例1】
【例2】
【例3】
【例4】
【例5】
【例6】
题型二、二次根式的性质【例7】计算
【例8】
【例9】【练一练】
4、
5、
6、7、
8、
题型三积的算数平方根的性质【例10】
【例11】
【例12】
【例13】
【例14】
题型四二次根式的化简【例题精析】
【例15】
【例16】【例17】【例18】
【练一练】
4、
5、6、6、
7、。
初中二次根式知识点总结
初中二次根式知识点总结二次根式是初中数学的一个重要内容，它涉及到实数的非负数平方根、根式的性质、根式的乘除法、根式的加减法等内容。
以下是关于二次根式的重要知识点总结：1. 二次根式的定义：形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。
其中，a是实数。
2. 非负数的平方根：对于任何非负数a，都有实数平方根，记作√a。
3. 根式的性质：√a² = a（a表示a的绝对值）。
√ab = √a × √b（当a≥0，b≥0时）。
√(a/b) = √a / √b（当a≥0，b>0时）。
4. 根式的乘除法：当两个根式相乘或相除时，可以直接对它们的被开方数进行乘除运算。
例如：√a × √b = √(a×b)，√a / √b = √(a/b)。
5. 根式的加减法：当两个根式相加或相减时，需要先将它们化为最简二次根式，然后再对被开方数进行加减运算。
例如：√a + √b 和√a - √b 不能直接合并，除非它们有相同的被开方数。
6. 最简二次根式：满足以下三个条件的二次根式被称为最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式没有重复；被开方数中不含有分母；根号内没有剩余的被开方数。
7. 负数的平方根：负数没有实数平方根。
在实数范围内，只有非负数有实数平方根。
8. 无理数：无法表示为两个整数的比的数被称为无理数。
常见的无理数包括π和√2等。
9. 代数运算：在二次根式的运算中，经常需要使用代数的基本运算规则，如分配律、结合律等。
以上是关于二次根式的重要知识点总结。
在学习二次根式时，需要理解并掌握这些知识点，以便能够正确地进行二次根式的运算和化简。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳定义：一般的，式子a ( a ≥ 0 ) 叫做二次根式。
其中“”叫做二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数。
性质：1、2≥0,等于a;a<0,等于-a 3、4、 反过来:56、最简二次根式：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．7、同类二次根式：几个二次根次化成最简二次根式以后如果被开数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式8、数的平方根与二次根式的区别：①4的平方根为±2，算术平方根为2；②4=2，二次根式即是算术平方根9、二次根式化运算及化简：①先化成最简 ②合并同类项二次根式中考试题精选一.选择题：1.【05宜昌】化简20的结果是 （ ）.A. 25B.52C. .D.54 2.【05南京】9的算术平方根是 （ ）.A.-3B.3C.± 3D.813.【05南通】已知2x <, ）.A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -A ．a 2＋a 3=a 5B ．(－2x)3=－2x 3C ．(a －b)(－a ＋b)=－a 2－2ab －b 2D =5.【05无锡】下列各式中，与y x 2是同类项的是（ ）A 、2xyB 、2xyC 、－y x 2D 、223y x 6.【05武汉】若a ≤1，则化简后为（ ）.A.B. C. D.7.【05绵阳】化简时，甲的解法是：==，乙的解法是：，以下判断正确的是（ ）.A. 甲的解法正确，乙的解法不正确B. 甲的解法不正确，乙的解法正确C. 甲、乙的解法都正确D. 甲、乙的解法都不正确8.【05杭州】设22a b c ===,则,,a b c 的大小关系是: （ ）. (A)a b c >> (B)a c b >> (C)c b a >> (D)b c a >> 9.【05丰台】4的平方根是（ ）. A. 8B. 2C. ±2D. ±210.【05北京】下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ）. A.24B.12C.32D.1811.【05南平】下列各组数中，相等的是（ ）.A.(-1)3和1B.(-1)2和-1C.|-1|和-1 和112.【05宁德】下列计算正确的是（ ）.A 、x 2·x 3＝x 6B 、(2a 3)2＝4a 6C 、(a －1)2＝a 2－1D 、 4 ＝±213.【05毕节―a 的正整数a 的值有( ).A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14.【05黄岗】已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（ ）.A ．3B ．– 3C ．1D ．– 115.【05湘潭】下列算式中，你认为错误的是 ( ). A ．aa b ++b a b+=1 B ．1÷b a×a b=1 C +1 D ．21()a b +·22a b a b--=1a b+二、填空题1.【05连云港】计算：)13)(13(-+= ．2.【05南京】10在两个连续整数a 和b 之间，a<10<b, 那么a , b 的值分别是 。
二次根式的3个基本性质
二次根式的3个基本性质
二次根式是由一个二次多项式除去x，剩下的部分称为二次根式，一般形式如
ax²+bx+c=0。
其中a、b、c都是实数，a≠0，这里我们就来看看关于二次根式的三个基本
性质。
首先，二次根式的解可以用公式求出。
根据二次公式的方程式ax²+bx+c=0的解的公
式可以由a、b、c求得：x=（-b±根号(b²-4ac)）/2a。
其次，二次根式的解存在特殊的规律。
比如，当根号(b²-4ac)＞0时，二次根式的解
的个数为2；当根号(b²-4ac)=0时，二次根式的解只有1个；而当根号(b²-4ac）＜0时，就没有二次根式的解了。
最后，二次根式与通项式之间存在联系。
当然，如果通项式有两个或两个以上的系数，就可以将其分解为二次根式。
也就是说，任意一个通项式，都可以分解为多个二次根式来
求解。
比如，ax²+bx+cx+d=0可以分解为(ax+d)(cx+ss)(bx+d)=0，这时a、b、c、d四个
系数就可以分成三个部分，分别为(ax+d)、(cx+d)、(bx+d)，而每一个部分的形式分别为ax²+dx+0，cx²+dx+0和bx²+dx+0，就都可以用二次根式的解法来求解了。
总的来说二次根式具有三个基本性质：第一，可以用公式求解；第二，存在特定的规律；第三，与通项式之间存在联系，允许将复杂的通项式分解为多个二次根式。
二次根式的有关概念和性质
专题01二次根式的概念和性质（知识点考点串编）【思维导图】例．（2022·浙江·九年级专题练习）当0x =的值等于（ ）A ．4B ．2CD ．0练习1．（2021·全国·八年级专题练习）当a 为实数时，下列各式中是二次根式的是（）个A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个练习2．（2021·河北·结果相同的是（ ）．◉知识点一：二次根式的定义知识点技巧：二次根式概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
【注意】1.二次根式，被开方数a 可以是一个具体的数，也可以是代数式。
2.二次根式是一个非负数。
3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（a ≥0）就表示a 的算术平方根。
A ．321-+B ．321+-C ．321++D ．321--练习3．（2021·河南林州·八年级期末）已知当12a <<a -的值是（ ）A ．3-B ．12a-C ．32a-D ．23a -例．（2021·n 的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8练习1．（2020·甘肃·酒泉市第二中学八年级期中）若x 、y 为实数，且0x +=，则2019x y æöç÷èø的值( )A ．-2B ．1C ．2D练习2．（2020·江苏·丰县欢口镇欢口初级中学八年级阶段练习）如果3y ，则2x y -的平方根是（ ）A ．-7B．1C ．7D ．±1练习3．（2021·全国·n 的值是( )A ．B ．1C ．2D ．5例．（2022·全国·九年级专题练习）在函数1y =中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＜2B ．x ≥2C．x ＞2D ．x ≠2练习1．（2022·全国·九年级专题练习）函数y =x 的取值范围是（ ）A ．x ≥2B ．x ＞﹣2C ．x ≤2D ．x ＜2练习2．（2022·全国·九年级专题练习）函数y 中自变量x 的取值范围是（）◉知识点二：二次根式有意义的条件知识点技巧：二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
二次根式的总结
二次根式的总结二次根式是数学中的一种常见形式，它可以表示为一个含有平方根的代数表达式。
在代数学中，二次根式是一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将从不同角度介绍二次根式的定义、性质以及在实际问题中的应用。
一、二次根式的定义二次根式是指含有平方根的代数表达式，通常可以写成√a的形式，其中a是一个非负实数。
二次根式可以分为整式二次根式和分式二次根式两种形式。
整式二次根式是指分母为整数的二次根式，如√2、√3等；分式二次根式是指分母为其他代数式的二次根式，如1/√2、1/√3等。
二、二次根式的性质1. 二次根式可以进行加减乘除运算。
在加减运算中，只有当二次根式的根指数和被开方数相同才能进行合并；在乘法运算中，可以通过化简或因式分解进行计算；在除法运算中，可以通过有理化的方法将分母中的二次根式消去。
2. 二次根式可以进行化简。
当二次根式的被开方数可以被分解成两个平方数的乘积时，可以进行二次根式的化简。
3. 二次根式的大小可以比较。
对于两个非负实数a和b，如果a > b，则√a > √b；如果a < b，则√a < √b。
三、二次根式的应用1. 几何问题中的应用：二次根式可以用来表示几何图形的边长、面积、体积等。
例如，在计算正方形的对角线长度时，可以使用二次根式来表示。
2. 物理问题中的应用：二次根式可以用来表示物理量之间的关系。
例如，在计算自由落体运动中物体的位移、速度、加速度等时，常常会涉及到二次根式的运算。
3. 经济问题中的应用：二次根式可以用来表示经济指标之间的关系。
例如，在计算某种商品的价格弹性时，常常会使用二次根式来表示价格的变动和需求量的变动之间的关系。
总结：二次根式作为一种重要的代数表达式，具有广泛的应用。
通过对二次根式的定义、性质和应用的介绍，我们可以更好地理解和应用二次根式。
在实际问题中，合理运用二次根式可以简化计算、解决复杂的数学问题，为各个领域的研究和实践提供了有力的工具。
二次根式的性质与运算
二次根式的性质与运算二次根式是指形如√a的数，其中a是非负实数。
在数学中，二次根式是一种常见的数学表达式，它具有一些特定的性质与运算规则。
本文将探讨二次根式的性质与运算，帮助读者更好地理解和运用二次根式。
1. 二次根式的简化与化简二次根式可以通过简化和化简来使得表达更简洁、易读。
简化是指通过寻找因式分解或者找到平方数的形式来减少根号下的数字。
例如，√12可以简化为2√3。
化简是指将数的乘方分解成不包含二次根式的形式。
例如，√16可以化简为4。
2. 二次根式的加减运算在进行二次根式的加减运算时，需要满足被加减数的被开方数相同。
例如，√2 + √3无法进行直接运算，但可以通过换元化简为(√2 + √3)(√2 + √3)。
运用公式(a + b)(a + b) = a² + 2ab + b²，可以得到√2 + √3 = √2 +√3 + (√2)(√3)。
因此，二次根式的加减运算可以转化为求和的形式。
3. 二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算可以通过将两个二次根式相乘，并通过关键的化简步骤来简化最终结果。
例如，√2 * √3 = √6。
如果需要计算更复杂的二次根式乘法，可以利用公式√a * √b = √(ab)进行化简。
4. 二次根式的除法运算二次根式的除法运算也是通过适当的化简步骤来求解。
例如，√6 /√2 = √3。
类似于乘法运算，可以利用公式√a / √b = √(a/b)进行化简。
5. 二次根式的幂运算二次根式也可以进行幂运算，即将二次根式的指数设置为非负整数。
例如，(√2)² = 2。
值得注意的是，在进行幂运算时，需要将指数应用于根号内的数字，并对结果进行简化。
6. 二次根式的有理化有理化是将二次根式与分母中的二次根式相消，使得根号仅出现在被开方数中。
例如，将分数1/√3有理化，可以通过乘以√3 / √3进行，得到√3 / 3。
综上所述，二次根式具有许多特定的性质与运算规则。
二次根式的概念和性质是什么
二次根式的概念和性质是什么一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。
下面是店铺给大家整理的二次根式的概念和性质简介，希望能帮到大家!二次根式的概念和性质定义如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。
即：若，则叫做a的.平方根，记作x= 。
其中a叫被开方数。
其中正的平方根被称为算术平方根。
关于二次根式概念，应注意：被开方数可以是数，也可以是代数式。
被开方数为正或0的，其平方根为实数;被开方数为负的，其平方根为虚数。
最简二次根式最简二次根式条件：1.被开方数的因数是整数或字母，因式是整式;2.被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
二次根式化简一般步骤：1.把带分数或小数化成假分数;2.把开方数分解成质因数或分解因式;3.把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外;4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号;5.约分。
算术平方根非负数的平方根统称为算术平方根，用(a≥0)来表示。
负数没有算术平方根，0的算术平方根为0。
二次根式的性质1. 任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
如正数a的算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣ ;最简形式中被开方数不能有分母存在。
2. 零的平方根是零，即 ;3. 负数的平方根也有两个，它们是共轭的。
如负数a的平方根是。
4. 有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。
5. 无理数可用连分数形式表示，如: 。
6. 当a≥0时， ; 与中a取值范围是整个复平面。
7. [任何一个数都可以写成一个数的平方的形式;利用此性质可以进行因式分解。
8. 逆用可将根号外的非负因式移到括号内，如(a>0) ， (a<0)，﹙a≥0﹚， (a<0)。
9.注意：，然后根据绝对值的运算去除绝对值符号。
10.具有双重非负性，即不仅a≥0而且≥0。
二次根式概念知识点总结
二次根式概念知识点总结一、二次根式的概念1. 二次根式的定义二次根式是一种形如√a的代数式，其中a为一个实数，且a≥0。
在二次根式中，√称为根号，a称为被开方数。
被开方数a的平方根就是等于a的正实数。
2. 二次根式的特点- 被开方数a必须是非负实数，即a≥0。
- 二次根式可以是整数、小数、分数或无理数。
- 二次根式可以化简为最简形式，即根号下的被开方数不含有平方因子。
3. 二次根式的分类根据被开方数的性质，二次根式可以分为完全平方数根式和非完全平方数根式两种情况。
完全平方数根式是指被开方数是一个完全平方数的二次根式，非完全平方数根式则是指被开方数是一个非完全平方数的二次根式。
二、二次根式的化简1. 化简方法对于二次根式的化简，主要有以下几种方法：- 求被开方数的因式分解，将根号下的一些平方因子化简出来。
- 利用完全平方公式，将二次根式化为一个完全平方根式。
- 使用等价变形的方法，将二次根式化为最简形式。
2. 化简步骤（1）对于完全平方数根式，只需将根号下的被开方数进行因式分解，并将平方因子提出来，即可将二次根式化为最简形式。
例如：√100=√(2²×5²)=2×5=10（2）对于非完全平方数根式，可以利用完全平方公式将二次根式化为最简形式。
例如：√50=√(25×2)=√25×√2=5√2（3）对于一般的二次根式，可以利用等价变形的方法进行化简。
例如：√72=√(36×2)=√36×√2=6√2三、二次根式的运算1. 二次根式的加减对于二次根式的加减运算，主要是要求二次根式的根号下的被开方数相同，然后分别将二次根式的系数进行加减运算。
例如：√18+2√18=3√182. 二次根式的乘除对于二次根式的乘除运算，可以利用分配律和乘法公式进行运算。
例如：(3√5)×(4√5)=123. 二次根式的混合运算对于二次根式的混合运算，可以根据运算法则依次进行加、减、乘、除等运算，最终得到最简形式的结果。
二次根式及其性质
二次根式及其性质
1、二次根式
一般地，我们把形如(≥0)的式子叫做二次根式，其中为整式或分式，叫做被开方式．
2、二次根式有意义的条件
二次根式有意义的条件是≥0，即被开方式是非负数．
3、二次根式的性质
(3)
4、积的算术平方根的性质
(a≥0，b≥0)
即两个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．
5、商的算术平方根的性质
(a≥0，b＞0)
商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．
6、最简二次根式
如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且被开方式中不含有能开得尽方的因式，这样的二次根式称为最简二次根式．
二、重难点知识归纳
1、从二次根式的定义看出，二次根式的被开方数可以是一个数，也可以是一个式子，
且被开方数必须是非负数．
2、二次根式的性质具有双重非负性，即二次根式中被开方数非负（a≥0）,算术平方根非负(≥0).
3、利用得到成立，可以把任意一个非负数或式写成
一个数或式的平方的形式．如．
4、注意逆用二次根式的性质，即，，
利用这两个性质可以对二次根式进行化简．
5、运用二次根式的性质化简时，最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式．最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方式中不含分母；(2)被开方式中不含能开得尽
方的因数或因式．。
二次根式的概念与性质
二次根式一考点、热点回顾1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
如不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而，，5，都是最简二次根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
如, , 就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2。
4.二次根式的性质：1.(a≥0)是一个非负数, 即≥0;2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)；3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=·（a≥0,b≥0）。
5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即=5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．ab=a ·b （a≥0，b≥0）；b b aa=（b≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 二 典型例题例1下列各式(1)x21, 1)2(-, 5)3(2+x , 2)3()4(-, 44)5(2+-x x其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x --+315；（2）22)-(x (3)121--x x例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ）A ．1) 2)B ．3) 4)C ．1) 3)D ．1) 4) 例4、计算32)2145051183(÷-+的值例5、要使1213-+-x x 有意义，则x 应满足（ ）A.321≤≤x B. 3≤x 且21≠x C.21 ＜x ＜3 D.21 ＜x ≤3例6. 将根号外的a 移到根号内，得 ( ) A.； B. －； C. －； D.例7. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式 例8、已知x 满足xx x =-+-20112010，那么22010-x 的值为_____________例9、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---三 课后练习一、填空题1．在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个． 2. 当x = 时，二次根式1+x 取最小值，其最小值为 3. 化简82-的结果是_____________4. 计算： 若22m n +-和3223m n -+都是最简二次根式，则_____,______m n ==。
二次根式主要知识点
二次根式主要知识点二次根式是一个重要的数学概念，主要涉及到一些基本定义、性质和运算法则。
以下是关于二次根式的主要知识点的详细解释：1.二次根式的定义：对于非负实数a，它的二次根式表示为√a。
如果a是一个非负实数的平方，则√a是一个实数。
否则，√a是一个虚数。
2.二次根式的符号：一般情况下，√a表示正根式。
我们通常将正根式表示为√a=b，其中b≥0。
负根式表示为-√a=-b，其中b≥0，它们之间的关系是：-√a=√a*(-1)。
3.二次根式的基本性质：a)正根式的值总是非负实数。
b)负根式的值总是负实数或者是虚数。
c)对于任何非负实数a和b，如果a=b，则√a=√b。
d)对于任何非负实数a，(√a)^2=a。
4.二次根式的化简：当二次根式的被开方数有一个因子是一些完全平方数时，可以将其化简。
例如，√16=√(4*4)=45.二次根式的加减法：a)当两个二次根式的被开方数相同时，可以进行加减法。
例如，√5+√5=2√5b)当两个二次根式的被开方数不同时，无法进行加减法。
6.二次根式的乘法：对于任何非负实数a和b，有√(a*b)=√a*√b。
例如，√2*√3=√67.二次根式的除法：对于任何非负实数a和b，有√(a/b)=√a/√b。
例如，√6/√2=√38.混合根式：混合根式是指含有不同次方的根式。
例如，√(2+√3)。
对于混合根式，通常需要根据具体情况进行化简或者进行运算。
9.二次根式的大小比较：对于任何非负实数a和b，如果a>b，则√a>√b。
例如，√2>√110.二次根式的应用：二次根式在数学和物理等领域有广泛的应用。
例如，在几何学中，二次根式可以表示长度、面积和体积等量；在物理学中，二次根式可以表示速度、加速度和力等物理量。
总结起来，二次根式是数学中的一个重要概念，它涉及到一些基本定义、性质和运算法则，如根式的符号、基本性质、化简、加减法、乘除法、大小比较和应用等。
掌握这些知识点，有助于我们更好地理解和运用二次根式。
初中数学二次根式知识点总结
初中数学二次根式知识点总结一、二次根式的定义和性质1.二次根式：形如√a（其中a≥0）的数叫做二次根式，其中a叫做被开方数。
2.平方数：一些数的平方的结果叫做平方数，如1、4、9等。
平方数的平方根是有理数。
3.二次根式化简：将二次根式中含有相同因式的项合并，并将二次根式的指数化简为最简整数。
4.二次根式的乘除法：二次根式的乘除法可以通过对被开方数和指数进行运算和化简来进行。
二、二次根式的运算1.二次根式的加减法：a)加法：将两个二次根式的被开方数相加，并将其指数化简。
b)减法：将两个二次根式的被开方数相减，并将其指数化简。
2.二次根式的乘法：a)二次根式的乘法使用分配律，将被开方数和指数分别相乘，并将结果进行化简。
b)若二次根式与实数相乘，则可将实数与二次根式的被开方数相乘，并将指数进行化简。
3.二次根式的除法：a)二次根式的除法可以通过将分子和分母的被开方数相除，并将指数进行化简来进行。
b)若二次根式除以实数，可以将实数除以二次根式的被开方数，并将指数进行化简。
三、二次根式的化简1.二次根式化简的基本方法：a)将被开方数分解成素数的乘积。
b)将二次根式的指数约分为最简整数。
c)将二次根式的含有相同因式的项合并。
2.平方根的化简：a)平方根下的分数：将分子和分母分别进行开方，然后化简。
b)分数的平方根：将分子和分母分别进行开方，然后化简。
c)同解式的平方根：可以适用平方根的基本性质将二次根式进行化简。
四、二次根式的应用1.几何意义：二次根式可以表示一些图形的边长或斜边的长度。
a)两点间的距离：利用两点间的距离公式可以将二次根式化简为实数。
b)直角三角形的斜边：利用勾股定理可以将二次根式化简为实数。
2.分数的运算：在分数运算中，往往会出现二次根式，需要将二次根式进行化简并进行运算。
3.实际问题的应用：解决实际问题时，需利用已知条件建立方程，通过方程的求解，将二次根式进行化简。
综上所述，初中数学二次根式是重要的基础知识点，掌握二次根式的运算和化简方法，了解二次根式的几何意义和实际应用，在解决问题中能熟练运用二次根式的相关知识，将有助于提高数学解题能力。
二次根式定义及性质
二次根式定义及性质教学内容：1.学习目标：理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．2.重点：；，及其运用．3.难点：利用，，解决具体问题.知识点一：二次根式的概念一般地，我们把形如(a≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．知识点二：二次根式的性质1.；2.；3.；4. 积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.知识点三：代数式形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression).经典例题透析类型一：二次根式的概念例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)；不是二次根式的有：、、、．例2、当x是多少时，在实数范围内有意义？思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥当x≥时，在实数范围内有意义．总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．举一反三【变式1】x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？(1)；(2)；解：(1)由≥0，解得：x取任意实数∴当x取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义.(2)由x-1≥0，且x-1≠0，解得：x＞1∴当x＞1时，二次根式在实数范围内都有意义.【变式2】当x是多少时，+在实数范围内有意义？思路点拨：要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的2x+3≥0和中的x+1≠0．解：依题意，得由①得：x≥-由②得：x≠-1当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义．类型二：二次根式的性质例1、计算：(1)(2)(3)(4)(5)(b≥0)(6)思路点拨：我们可以直接利用(a≥0)的结论解题．解：(1) (2)=；(3)；(4)=；(5)；(6)．举一反三【变式1】计算：(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：(1)因为x≥0，所以x+1＞0；(2)a2≥0；(3)a2+2a+1=(a+1)2≥0；(4)4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2≥0．所以上面的4题都可以运用的重要结论解题．解：(1)因为x≥0，所以x+1＞0；(2)∵a2≥0，∴；(3)∵a2+2a+1=(a+1)2又∵(a+1)2≥0，∴a2+2a+1≥0，∴=a2+2a+1；(4)∵4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2又∵(2x-3)2≥0∴4x2-12x+9≥0，∴=4x2-12x+9.例2、化简:(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：因为(1)9=32，(2)(-4)2=42，(3)25=52，(4)(-3)2=32，所以都可运用去化简．解：(1)==3；(2)==4；(3)==5；(4)==3.例3、填空：当a≥0时，=____；当a＜0时，=______，•并根据这一性质回答下列问题．(1)若=a，则a可以是什么数？(2)若=-a，则a可以是什么数？(3)＞a，则a可以是什么数？思路点拨：∵=a(a≥0)，∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“( )2”中的数是正数，因为，当a≤0时，=，那么-a≥0．(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根据(1)、(2)可知，而要大于a，只有什么时候才能保证呢？解：(1)因为，所以a≥0；(2)因为，所以a≤0；(3)因为当a≥0时，要使，即使a＞a所以a不存在；当a＜0时，，要使，即使-a＞a，即a＜0；综上，a＜0.类型三：二次根式性质的应用例1、当x=-4时，求二次根式的值.思路点拨：二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同.解：将x=-4代入二次根式，得=.例2、(1)已知y=++5，求的值．(2)若+=0，求的值．解：(1)由可得，，(2)例3、在实数范围内分解因式：(1)x2-5；(2)x3-2x；解:(1)原式.(2)原式.学习成果测评基础达标一、选择题1.下列式子中，不是二次根式的是( )A．B．C．D．2.已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是( )A．5 B．C．D．以上皆不对3.(福建省福州市)若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为( )A．x＞0 B．x≥0 C．x ≠0D．x≥0且x ≠ 14．的值是( )A．0 B．C．4D．以上都不对5．a≥0时，、、，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是( ) A．B．C．D．6.(辽宁省大连市) 如图，数轴上点N表示的数可能是()A．B．C．D．二、填空题1.若，则x = ____________.2.若有意义，则的取值范围是____________.3．-=________．4.=____________.5.=____________.6.若，则____________.7.若，则____________；若，则____________.8.化简：=__________.9. 计算：(1)=_______；(2)=________；(3) =________。
二次根式的有关概念及性质
二次根式的有关概念及性质概念1.二次根式：式子a (a ≥0) 叫做二次根式。
2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式（即不含分数线）；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
如3a 根号下不是整式，8不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，再如b a 2也不是。
3. 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
如2、8、18就是同类二次根式，因为8=22，18=23。
性质 1.a (a ≥0)是一个非负数, 即a ≥0;2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2a =a(a ≥0)； 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=2a a =⎩⎨⎧<-≥)0(,)0(,a a a a ； 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即b a ab •=（a ≥0,b ≥0）； 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即ba b a =（a ≥0,b>0）。
练习一、当x 的值为何范围时，下列各式才有意义？（1） 66-+-x x （2） 21-+x x （3）12+x （4）12-x x 以第4小题为例解析：首先看该式子含有分母，则01≠-x ，即1≠x 且0≥x ，再看分子则02≥x ，即0≥x ；综上，0≥x 且1≠x 。
前三小题留给同学们自己试试吧！答案：（1）6=x ；（2）2>x ；（3）x 取全体实数二、计算：（1） ()29.0- （2）212 （3）()221- （4）2331⎪⎭⎫ ⎝⎛- 以第4小题为例解析：首先负号在平方的括号内，所以可以直接去掉化简为2331⎪⎭⎫ ⎝⎛，又因为()222b a ab ⋅= 所以上式()2391⋅⎪⎭⎫⎝⎛=31391=⨯=。
前三小题留给同学们自己试试吧！ 答案：（1）0.9 （2）2（3）12-。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结二次根式是数学中常见的一种表达式形式，它涉及到根号以及平方的运算。
在学习二次根式的过程中，需要掌握它的性质、化简方法、解题技巧等知识点。
本文将对二次根式的相关知识进行总结和介绍。
一、二次根式的定义和性质1. 定义：二次根式是指具有形如√a（其中a≥0）的表达式。
2. 性质：a) √a * √b = √(a * b)：两个二次根式相乘时，可将根号下的因子相乘并开平方。
b) √(a / b) = √a / √b：两个二次根式相除时，可将根号下的因子相除并开平方。
c) √(a + b)≠√a + √b：两个二次根式相加时，一般不能直接合并，需要进行特殊处理。
d) 当a>b时，√a±√b=√a±√(a-b)；当a<b时，√a±√b=√a±i√(b-a)（其中i为虚数单位）。
二、二次根式的化简方法化简是指将一个较为复杂的二次根式写成最简形式的过程。
常见的化简方法有以下几种：1. 合并同类项法：将根号下的因子合并，并进行运算。
例如：√3 + √12 = √3 + 2√3 = 3√32. 有理化分母法：将二次根式的分母有理化，即将分母中的根号去掉。
例如：1 / (√2 + √3) = (√2 - √3) / ((√2 + √3) * (√2 - √3)) = (√2 - √3) / (-1) = -√2 +√33. 平方差公式法：利用平方差公式将二次根式的平方进行变换，使得表达式更简单。
例如：(2 + √5)(2 - √5) = 4 - 5 = -14. 有理化分子法：将二次根式的分子有理化，即将分子中的根号去掉。
例如：(1 + √3) / (√2 - 1) = ((1 + √3) * (√2 + 1)) / ((√2 - 1) * (√2 + 1)) = (√2 + √6 + √2√3 + √3) / (2 - 1) = √2 + √6 + √6 + √3三、二次根式的运算在解题过程中，经常需要进行二次根式的运算。
二次根式的有关概念及性质
二次根式的有关概念及性质二次根式的概念及性质一、二次根式的概念：1.二次根式：形如$\sqrt{a}$（$a\geq 0$）的式子。
2.最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式称为最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
例如，$\sqrt{4}$含有可开得尽方的因数4，不是最简二次根式；而$\sqrt{5}$、$\sqrt{x}$都是最简二次根式。
3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就是同类二次根式。
例如，$\sqrt{2}$、$2\sqrt{2}$、$\sqrt{18}$就是同类二次根式。
4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。
例如，$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=2-1=1$是有理化因式。
二、二次根式的性质：1.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：$(\sqrt{a})^2=a$（$a\geq 0$）。
2.非负数的算术平方根是非负数，即$\sqrt{a}\geq0$（$a\geq 0$）。
3.某数的平方的算术平方根等于该数的绝对值，即$\sqrt{a^2}=|a|$。
4.非负数的积的算术平方根等于各因式的算术平方根的积，即$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$（$a\geq 0,b\geq 0$）。
5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a\geq 0,b>0$）。
三、例题：例1.求$x$的取值范围，使得以下各式有意义：1) $\frac{1}{\sqrt{6-x}}$；(2) $\sqrt{x^2+3}$；(3)$\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{3-x}}$；(4) $\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-1}$；(5) $\sqrt{4-x^2}$；(6) $\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-x}$。
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二次根式及其性质（2）
鄌郚镇中学 郑全河
教学目标：
1. 会根据 ，以及 进行化简。
2. 知道什么是最简二次根式，会辨别最简二次根式。
3. 掌握二次根式乘、除法运算法则，会熟练进行计算，并将结果写为最简二次根式。
重点、二次根式的性质及运算法则 难点、（1）
化简的分类讨论。
（2）熟练进行二次根式的乘、除法运算及将二次根式化为最简二次根式。
教学过程：
一、观察与思考：
当a ≥0时，a 2的算术平方根是多少？由此你能得到一个怎样的等式? 当a ≥0时, =
a
例3 化简：
（1）16， （2）2)5(- 解：16＝4 2)5(-＝5
想一想，当a ≥0时, 表示a 的算术平方根，因此有 ，
二、交流与发现：
计算下列各式，观察结果，你有什么发现？ ［1］ 94⨯ 94⨯ ［2］ 2516⨯ 2516⨯ ［3］ 4936⨯ 4936⨯ ［4］ 8164⨯ 8164⨯
［5］ 121100⨯ 121100⨯
这就是说，积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积［注：在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数。
］ 探一探
用你发现的规律填空［判断是否相等］：
ab a b a 0b 0=≥≥（
，）
32⨯____________ 6 52⨯____________ 10 例4 化简
8116⨯ ； 324b a 解：8116⨯= 324b a = 三、二次根式的性质
的化简：
（1）
对于 的化简，注意对被开方数 ，需考察它的正负数，若a 为非
负数，即
，则
；若a 为负数，则。
显然这和绝对值的化
简是一致的，所以对这一性质，也可以记出中间过程 。
（2）公式 与公式
的比较
①公式 的左边是对a 先进行开平方再平方，a 是被开方数，所
以必须有
的条件，否则
在实数范围内无意义；而公式
的左边是对a 先平方再开平方， 是被开方数，所以a 取任何实数，总有
，因
此公式
在实数范围内总有意义。
②只有在 时， 四、交流与发现：
计算下列各式，观察结果，你有什么发现？ 小结：一般的，
这就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
例5 化简 解：（让同学上黑板演示）
跟踪练习： 阶段小结：（1）怎样形式才算是最简二次根式？ ②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。
注：对最简二次根式可作如下理解： ①被开方数不含分母。
()()2925210031y x 972)1()2
81
(2)025x x >
②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1。
（2）化二次根式为最简二次根式的一般步骤：
①把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化为假分数，把绝对值小于1的小数化成分数。
②被开方数是多项式的要进行因式分解。
③使被开方数不含分母。
④将被开方数中能开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面。
⑤化去分母中的根号。
⑥约分。
例6、把下列各式化成最简二次根式：
（1）（2）解：（1）
（2）
课堂小结：
在本节的学习过程中，我们认识了二次根式以及二次根式的性质与乘除法运算，并且知道了二次根式运算结果为最简二次根式，如何将二次根式化为最简二次根式，要抓住概念和运算法则及性质的本质，灵活、准确地进行运算及分析。
课堂检测：
1. 当时，化简结果是（）
A. B.
C. D.
2、当x___________时，二次根式在实数范围内有意义。
3. 化简的结果是___________。
4. 当x___________时，成立。
5. 当时，___________。