高中数学全套讲义 必修4 正弦型函数图像与性质 中等教师版

目录

正弦型函数的图像与性质 (2)

模块一：正弦型函数图像与性质 (2)

考点1：正弦型函数性质 (3)

考点2：五点法作正弦型函数图像 (6)

考点3：求正弦型函数解析式 (7)

课后作业： (10)

正弦型函数的图像与性质模块一：正弦型函数图像与性质1．正弦函数sin

=．

y x

2

3．函数()sin y A x ωϕ=+的性质

⑴ 周期性：函数()sin y A x ωϕ=+（其中A ωϕ，，为常数，且00A ω≠>，）的周期仅与自变量的系数有关．最小正周期为2π

T ω

=．

⑵ 值域：[]A A -，

⑶ 奇偶性：当()π k k ϕ=∈Z 时，函数()sin y A x ωϕ=+为奇函数；

当()π

π 2

k k ϕ=

+∈Z 时，函数()sin y A x ωϕ=+为偶函数． ⑷ 单调区间：求形如()sin y A ωx φ=+或()cos y A ωx φ=+（其中0A ≠，0ω>）的函数

的单调区间可以通过图象的直观性求解，或根据解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“()0ωx φω+> 视为一个“整体 ．②0A >()0A <时，

所列不等式的方向与()sin y x x =∈R 、()cos y x x =∈R 的单调区间对应的不等式的方向相同（反）．

⑸ 对称轴方程：0x x =，其中()0π

π 2

x k k ωϕ+=

+∈Z ． ⑹ 对称中心：()00x ，

，其中()0π x k k ωϕ+=∈Z ． 考点1：正弦型函数性质

例1.（1）（2019春•南平期末）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于直线3

x π

=

对称，则

ϕ可能取值是( )

A ．

2

π

B ．12

π

-

C ．

6

π D ．6

π

-

解：函数

故选：D ．

（2）（2019春•娄底期末）函数5()3cos(4)6

f x x π

=+

图象的一个对称中心是( )

A ．(,0)12

π

B ．(,0)6

π

C ．(,0)3

π

D ．5(

,0)6

π

故选：B ．

（3）（2019•武邑县校级一模）设函数()sin(2)4f x x π

=+，则下列结论错误的是( )

A ．()f x 的一个周期为2π

B ．()f x 的图形关于直线8x π

=对称 C ．()f x 的一个零点为8

x π

=-

D ．()f x 在区间(0,)4

π

上单调递减

故选项A 正确．

故选项B 正确．

故选项C 正确． 故选：D ．

（4）（2019春•昆明期末）已知函数()sin (02)f x x ωω=<<的图象关于直线34

x π

=

对称，则( ) A ．()f x 在3[0,

]4

π

上单调递减 B ．()f x 在33[

,]42

ππ

上单调递增 C ．()f x 在[,]4

π

π--上单调递减

D ．()f x 在3[,0]4

π

-

上单调递增 解：函数k Z ∈，

故选：D ．

（5）（2019•辽宁三模）已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x R ∈，()()3

f x f π

，恒成立，若函数()y f x =在[0，]a 上单调递减，则a 的最大值是( ) A ．

6

π B ．

3

π C ．

23

π D ．56

π

)()3x f π

，

223

x k π

πππ++，6

3

k x

k π

π

ππ-

++，则函数()y f x =在[0,]3π

上单调递减，的最大值是3

π． 故选：B ．

例2.（2018秋•定远县期末）已知函数())4f x x π

=-，x R ∈．

（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数()f x 在区间[,]ππ

-

上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．

224

x k π

πππ-

+，即58

8

x k π

π

π+

)的单调递减区间是5]8

k π

π+

，）

[8x π

∈-

，]2π，则2

π

-，3]4π，cos(2)4x -∈)2x =

考点2：五点法作正弦型函数图像

例3.（1）（2019春•东胜区校级期中）已知函数11()sin()cos()3336

f x x x ππ

=++-．

（1）用五点作图法画出()f x 在长度为一个周期的区间上的图象； （2）)求函数()f x 的单调递增区间；

【解答】解：（1）

，

根据题意列出表格得：

描点，连线可得函数图象如下：