第2章电磁场基本方程

D v
2 .1 .3 比奥-萨伐定律, 磁通量密度
F 0
4
Idl (I ' dl'rˆ)
l l'
r2
r是电流元I′dl′至Idl的距离, μ0是真
空的磁导率:
0 4 107 H / m
两个载流回路间的作用力
F l Idl B
B 0
4
l
I ' dl'rˆ r2
0 4
I ' dl'r l' r3
线截面积, 得
F Qv B
对于点电荷q, 上式变成 F qv B
通常将上式作为B的定义公式。点电荷q在静电场中所受的电场
力为qE, 因此, 当点电荷q以速度v在静止电荷和电流附近时, 它所
受的总力为
F q(E v B)
例 2 .1 参看下图, 长2l的直导线上流过电流I。 求真空中P点
S D ds Q
这就是高斯定理的积分形式，即穿过任一封闭面的电通量，等于 此面所包围的自由电荷总电量。对于简单的电荷分布，可方便地 利用此关系来求出D。
若封闭面所包围的体积内的电荷是以体密度ρv分布的, 则所 包围的总电量为
Q V vdv
Ddv
V
V vdv
上式对不同的V都应成立, 则两边被积函数必定相等, 于是，
除电场强度E外，描述电场的另一个基本量是电通量密度D， 又称为电位移矢量。在简单媒质中，电通量密度由下式定义:
D E (C / m2 )
ε是媒质的介电常数，在真空中ε=ε0。则对真空中的点电荷q
有，
D
rˆ
q
4r
2
电通量为
S
D
ds
q
4r2
4r2
q
此通量仅取决于点电荷量q, 而与所取球面的半径无关。根据立体 角概念可知, 当所取封闭面非球面时, 穿过它的电通量将与穿过一 个球面的相同,仍为q。如果在封闭面内的电荷不止一个, 则利用叠 加原理, 穿出封闭面的电通量总和等于此面所包围的总电量
(N
)
式中, q1和q2的单位是库仑(C), r的单位是米(m), ε0是真空的介
电常数:
0
8.854 1012
1
36
109 F
/m
设某点试验电荷q所受到的电场力为F, 则该点的电场强度为
E F (V / m) q
由库仑定律知, 在离点电荷q距离为r处的电场强度为
E
rˆ
q
4 0r2
2 .1 .2 高斯定理, 电通量密度
0 I
lz
4 2 ( z l)2Hale Waihona Puke Baidu
对无限长直导线, l→∞, 有 B ˆ 0I
2
lz
2 ( z l)2
2 .1 .4 安培环路定律, 磁场强度
对于无限长的载流直导线, 若以ρ为半径绕其一周积分B, 可得
B dl l
ˆ 0I l 2
ˆd 0I
B dl I
l 0
在简单媒质中, H由下式定义:
果使穿过封闭面的磁通量恒等于零, 即 B ds 0 S
将左端化为▽·B的体积分知
B 0
2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律
2 .2 .1 法拉第电磁感应定律
静态的电场和磁场的场源分别是静止的电荷和等速运动的电荷。它 们相互独立, 基本方程之间并无联系。但随时间变化的电场和磁场 是相互关联的。这首先由英国科学家法拉第在实验中观察到。即 导 线回路所交链的磁通量随时间改变时, 回路中将感应一电动势, 而且 感应电动势正比于磁通的时间变化率。楞次定律指出了感应电动势 的极性, 即它在回路中引起的感应电流的方向是使它所产生的磁场 阻碍磁通的变化。这两个结果的结合就是法拉第电磁感应定律, 其
s( H ) ds SJ ds
因为S面是任意取的, 所以必有
H J
2 .1 .5 两个补充的基本方程
在静电场中E沿任何闭合路径的线积分恒为零:
l E dl 0
利用斯托克斯定理可将左端化为▽×E的面积分, 从而得
E 0
说明静电场是无旋场即保守场。静电场的保守性质符合能量守
恒定律，它和重力场性质相似。物体在重力场中有一定的位能,
同样地, 电荷在静电场中也具有一定的电位能。从而可引入电位
函数φ:
E
静电场既然是无旋场, 则必然是有散场, 它的通量源就是电荷。 电力线起止于正负电荷。静磁场的特性则正好相反。因为在自 然界中并不存在任何单独的磁荷, 磁力线总是闭合的。这样, 闭 合的磁力线穿进封闭面多少条, 也必然要穿出同样多的条数, 结
矢量B可看作是电流回路l′作用于单位电流元(Idl=1 A·m)的 磁场力, 它是表征电流回路l′在其周围建立的磁场特性的一 个物理量, 称为磁通量密度或磁感应强度。
N Am
V s m2
Wb m2
T
磁通量密度为B的磁场对电流元Idl的作用力为
F Idl B
或用运动速度为v的电荷Q表示, Idl=JAdl=ρvAdlv=Qv, 其中A为细导
的磁通量密度。
［解］ 采用柱坐标, 电流Idz′到P点的距 离矢量是
R ˆ zˆ(z z' ),
R [ 2 ( z z' )2 ]1/ 2
dl'R zˆdz'[ˆ zˆ(z z' )] ˆdz'
B ˆ 0I 4
l l
dz' 2 (z z' )2 3/2
载流直导线
ˆ
2 .1 .1 库仑定律和电场强度
两点电荷间的作用力
F
rˆK
q1q2 r2
其中, K是比例常数, r是两点
电荷间的距离, 为从q1指向q2 的单位矢量。若q1和q2同号, 该力是斥力, 异号时为吸力。
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比例常数K的数值与力, 电荷及距离所用的单位有关。在SI制中,
库仑定律表达为
F
rˆ
q1q2
4 0r2
第二章 电磁场基本方程
2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量(9.10学时)
2.2 法拉弟电磁感应定律和全电流定律
2.3 麦克斯韦方程组 （11.12学时）
2.4 电磁场的边界条件 (13.14学时)
2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量（15.16学时）
2.6 唯一性定理
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第9.10学时 2.1静态电磁场的基本定律和基本场矢量
数学表达式为 d m
dt
上式可写成
l
E
dl
H B ( A/ m)
H称为磁场强度, μ是媒质的磁导率。在真空中μ=μ0, 于是有
l H dl I
该式最先由安培在1823年提出, 故称之为安培环路定律。它 表明, 磁场强度H沿闭合路径的线积分等于该路径所包围的 电流I。这里的I应理解为传导电流的代数和。利用此定律可 方便地计算一些具有对称特征的磁场分布。