华师九年级上册§23.3实践与探索教案(三) 根与系数的关系

23.3.1实践与探索(三)

教学目标

1、引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其此关系的运用。

2、通过观察、实践、讨论等活动，经历从发现问题，发现关系的过程。

3、在积极参与数学活动的过程中，初步体验发现问题，总结规律的态度以及养成

质疑和独立思考的习惯。

重点难点

1、重点：启发学生，观察数字系数的一元二次方程的两个根之和，及两个根之积与原方程系数之间的关系，猜想一般性质、指导学生用求根公式加以确证。

2、难点：对根与系数这一性质进行应用。

教学过程

一、提出问题

解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？

（1）x 2－2x ＝0；

（2）x 2＋3x －4＝0；

（3）x 2－5x ＋6＝0

二、尝试探索，发现规律

1、完成如上表格。

2、猜想一元二次方程的两个解的和与积和原来的方程有什么联系？小组交流。 同学各抒已见后，老师总结：两个根的和等于一元二次方程的一次项系数的相反数，两个根的积等于一元二次方程的常数项。

3、一般地，对于关于x 方程20(,x px q p q ++=为已知常数，2

40)p q -≥，试用求根公式求出它的两个解x 1、x 2，算一算x 1＋x 2、x 1•x 2的值，你能得出什么结果？与上面发现的现象是否一致。

解：

22121244b ac p q

x x x x x p -=-===+===-

12x x q ⋅=== 所以与上面猜想的结论一致。

三、知识应用

1、范例：

（1）不解方程，求方程两根的和两根的积：

①2310x x +-=

②22410x x -+=

解：①123x x +=-

121x x ⋅=-

②122x x += 1212

x x ⋅=- （2）已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值。 解：26055

k x x +-= 设方程的另一根是1x ，那么

1625

x =- 135

x =-

3()255

k -+=- 所以35[()2]75

k =--+=- 答：方程的另一个根是35

-，k 的值是7-。 想一想，还有其他方法吗？

（把2x =代入方程的两边，求出k ）

（3）不解方程，求一元二次方程22310x x +-=两个根的①平方和；②倒数和。 解：231022

x x +-= 设方程的两根是12,x x ，那么 1232x x +=-

1212

x x ⋅=- ① 222

1211222

22

2121212()23113()2()2()224x x x x x x x x x x x x +=+++=+-=--⨯-= ② 1212121131()()322

x x x x x x ++==-÷-= （4）求一元二次方程，使它的两个根是113,2

32

-。 解：所求方程是 21111

(32)(3)(2)03232

x x --++-⨯=

即 2525063x x +-= 或265500x x +-= 2、巩固练习

（1）下列方程两根的和与两根的积各是多少？

①2310x x -+=；②2322x x -=；③2230x x +=；④231x =；

（2）已知方程23190x x m -+=的一个根是1，求它的另一个根及m 的值。

（3）设12,x x 是方程22430x x +-=的两个根，不解方程，求下列各式的值。

①12(1)(1)x x ++；②2112

x x x x + （4）求一个一元次方程，使它的两个根分别为：

①4,7-

；②1+-（5）已知两个数的和等于6-，积等于2，求这两个数

四、小结

本节通过探索得出一元二次方程的解与系数存在的关系。并能灵活地用其解决方法解决一些问题。

五、作业

习题6