精品-勾股定理综合性难题及答案

勾股定理练习题

1、如图，已知：在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等．

2、直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）

（A ）22d S d ++ （B ）2d S d -- （C ）222d S d ++ （D ）

22d S d ++ 3、如图所示，在Rt ABC ∆中,90,,45BAC AC AB DAE ∠=︒=∠=︒,且3BD =,

4CE =,求DE 的长.

4、如图在Rt △ABC 中,3,4,90==︒=∠BC AC C ，在Rt △ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：

要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形

的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形）5．已知：如图，△ABC中，∠C = 90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且BC = 8cm，

CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于cm

6．如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，请说明：AB2－AP2=PB×PC。

7．在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处；另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?

8．长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______m．

9．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE ⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．

C

O

A B

D

E

F

第5题图

A

B

P

C

第6题图

10．已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝

CB

4

1

，

求证：AF⊥FE．

11．已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．12．已知a、b、c是△ABC的三边，且a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断三角形的形状．

13．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?

14. 三角形的三边长为

ab c b a 2)(2

2+=+,则这个三角形是( ) （A ） 等边三角形 （B ） 钝角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 锐角三角形.

.

勾股定理练习题答案

1、如图，已知：在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等．

2、直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）

（A 22d S d + （B 2d S d - （C ）222d S d + （D ）

22d S d + 解:设两直角边分别为,a b ,斜边为c ,则2c d =,

1

2S ab

=

. 由勾股定理,得222a b c +=.

所以

()2

22222444a b a ab b c S d S

+=++=+=+.

所以22a b d S +=+所以

a b c ++=222d S d +.故选（C ）

3、如图所示，在Rt ABC ∆中,90,,45BAC AC AB DAE ∠=︒=∠=︒,且3BD =,

4CE =,求DE 的长.

解:如右图：因为ABC ∆为等腰直角三角形,所以45ABD C ∠=∠=︒. 所以把AEC ∆绕点A 旋转到AFB ∆,则AFB AEC ∆≅∆.

所以4,,45BF EC AF AE ABF C ===∠=∠=︒.连结DF . 所以DBF ∆为直角三角形.

由勾股定理,得222222

435DF BF BD =+=+=.所以5DF =.

因为45,DAE ∠=︒所以45DAF DAB EAC ∠=∠+∠=︒. 所以

()

ADE ADF SAS ∆≅∆. 所以5DE DF ==.

4、如图在Rt △ABC 中,3,4,90==︒=∠BC AC C ，在Rt △ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：

要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn 的黑色签字笔画出正确的图形）

解：要在Rt △ABC 的外部接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识。

下图中的四种拼接方法供参考。

5．已知：如图，△ABC中，∠C = 90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且BC = 8cm，

CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于cm

6．如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，请说明：AB2－AP2=PB×PC。

作AD⊥BC交BC于D，AB²=BD²+AD²（1）AP²=PD²+AD²（2）

（1）-（2）得：AB²-AP²=BD²-PD²，

∴AB²-AP²=（BD+PD）（BD-PD），∵AB=AC，∴D是BC中点，

∴BD+PD=PC，BD-PD=PB，∴AB²-AP²=PB·PC

7．在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处；另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?

10

C

O

A B

D

E

F

第5题图

A

B

P

C

第6题图