全称命题和特称命题相关参数取值问题辨析(PDF X页)
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全称命题和特称命题相关参数取值问题辨析
至少一 个 函数值 ， 因此 需 ｆ ｉ （ ｚ ） ≥ｇ ｉ （ ｚ ） ．
］ ， 使得 厂 （ ｚ ） ≥ｎ成 立 的条件 为 ｆ （ ） ≥。 ．
２ ）理 论 比 较
（ ｚ ） 一 ｉ １ 一 １ 一 去一 一
一 ０ ， 易 知
ａ ） 和ｂ ） 分别 为 全 称命 题 和特 称 命 题叙 述 的 ２种 基 本类 型 ， 比较 发 现 二 者 存 在 着 相 似 之 处 ， 即对 应 命 题 的题 设表 述 时 除 量 词 之外 ， 其他的表述均一致 ； 同
“ 恒 成立 ” ， 但这 是错 误 的判 断 ， 实质 是 存 在性 问题 ． 再
次 观察题 设 ， ￡ ≤ ３恒成 立 ， 即ｆ （ ｚ ） ≤３ ， 对 比 以上 ４
在 数学 中有 ２ 类 关 于 参 数 取 值 范 围 的问 题 ， 由于 题设 的表 征经 常性 地利用 全 称 或特 称 命题 来 叙 述 ， 故 而 常将 它们称 为恒 成 立 问 题 与存 在 性 问 题． 由于这 ２ 类 问题 的结论 在表 达上 具有 相 似性 ， 经 常为 学 生们 所 混 淆． 同时 ２ 类 问题 在处 理 时 ， 存 在 着 极 大 的弹 性 ， 使 学 生极 难熟 练 掌 握 ， 因此 备受 高 考专 家 青 睐 ， 成 为 高
１ ）理 论 推 导
立， 则口 ≤ｇ （ ） ， 令ｔ —ｘ ＋２ ， ｔ ∈［ ３ ， ４ ３ ， 则 ｇ （ ｚ ） 一
ｔ ２ －４ ｔ － － ｛ ６ 一 ≤１ ・ 故 口 ≤１ ．
ａ ）Ｖ ∈［ ｍ， ］ ， 使得 ，（ ｚ ） ≤ 口成 立 时 ， 口的取 值 范 围．需要 保证 函数 在 区间Ｅ ｍ， ］ 任 意一个 函数值 不 大于 ｎ ， 则 只需保 证 函数 的最 大值小 于或 等于 ｎ即可 ，
］ ， 使得 厂 （ ｚ ） ≥ｎ成 立 的条件 为 ｆ （ ） ≥。 ．
２ ）理 论 比 较
（ ｚ ） 一 ｉ １ 一 １ 一 去一 一
一 ０ ， 易 知
ａ ） 和ｂ ） 分别 为 全 称命 题 和特 称 命 题叙 述 的 ２种 基 本类 型 ， 比较 发 现 二 者 存 在 着 相 似 之 处 ， 即对 应 命 题 的题 设表 述 时 除 量 词 之外 ， 其他的表述均一致 ； 同
“ 恒 成立 ” ， 但这 是错 误 的判 断 ， 实质 是 存 在性 问题 ． 再
次 观察题 设 ， ￡ ≤ ３恒成 立 ， 即ｆ （ ｚ ） ≤３ ， 对 比 以上 ４
在 数学 中有 ２ 类 关 于 参 数 取 值 范 围 的问 题 ， 由于 题设 的表 征经 常性 地利用 全 称 或特 称 命题 来 叙 述 ， 故 而 常将 它们称 为恒 成 立 问 题 与存 在 性 问 题． 由于这 ２ 类 问题 的结论 在表 达上 具有 相 似性 ， 经 常为 学 生们 所 混 淆． 同时 ２ 类 问题 在处 理 时 ， 存 在 着 极 大 的弹 性 ， 使 学 生极 难熟 练 掌 握 ， 因此 备受 高 考专 家 青 睐 ， 成 为 高
１ ）理 论 推 导
立， 则口 ≤ｇ （ ） ， 令ｔ —ｘ ＋２ ， ｔ ∈［ ３ ， ４ ３ ， 则 ｇ （ ｚ ） 一
ｔ ２ －４ ｔ － － ｛ ６ 一 ≤１ ・ 故 口 ≤１ ．
ａ ）Ｖ ∈［ ｍ， ］ ， 使得 ，（ ｚ ） ≤ 口成 立 时 ， 口的取 值 范 围．需要 保证 函数 在 区间Ｅ ｍ， ］ 任 意一个 函数值 不 大于 ｎ ， 则 只需保 证 函数 的最 大值小 于或 等于 ｎ即可 ，
全称命题,特称命题
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新课讲授
存在量词 存在量词
这些命题用到了“存在一个 至少有一 这些命题用到了 存在一个”“至少有一 存在一个 个”这样的词语，这些词语都是表示整体的一 这样的词语， 这样的词语 部分的词叫做存在量词 并用符号“ 表示 存在量词.并用符号 表示. 部分的词叫做存在量词 并用符号 ∃”表示
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复习引入
思考：下列语句是命题吗？ 思考：下列语句是命题吗？ 假如是命题你能判断它的真假吗？ 假如是命题你能判断它的真假吗？ 是整数； （1）2x＋1是整数； ） ＋ 是整数 不是命题 （2）x＞3； ） ＞ ； 不是命题 （3）如果两个三角形全等，那么它们的 ）如果两个三角形全等， 对应边相等； 对应边相等； 真命题 （4）平行于同一条直线的两条直线互相 ） 真命题 平行； 平行； 假命题 （5）对所有的 ∈R，x＞3； ）对所有的x∈ ， ＞ ； 是整数. （6）对任意一个 ∈Z，2x＋1是整数 真命题 ）对任意一个x∈ ， ＋ 是整数
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思考：下列语句是命题吗？ 思考：下列语句是命题吗？ 假如是命题你能判断它的真假吗？ 假如是命题你能判断它的真假吗？ 是整数； （1）2x＋1是整数； ） ＋ 是整数 不是命题 （2）x＞3； ） ＞ ； 不是命题 （3）如果两个三角形全等，那么它们的 ）如果两个三角形全等， 对应边相等； 对应边相等； 真命题 （4）平行于同一条直线的两条直线互相 ） 真命题 平行； 平行； （5）对所有的 ∈R，x＞3； ）对所有的x∈ ， ＞ ； 假命题 是整数. （6）对任意一个 ∈Z，2x＋1是整数 ）对任意一个x∈ ， ＋ 是整数
1.4.1 全称量词 全称量词 1.4.2 存在量词 存在量词
新课讲授
存在量词 存在量词
这些命题用到了“存在一个 至少有一 这些命题用到了 存在一个”“至少有一 存在一个 个”这样的词语，这些词语都是表示整体的一 这样的词语， 这样的词语 部分的词叫做存在量词 并用符号“ 表示 存在量词.并用符号 表示. 部分的词叫做存在量词 并用符号 ∃”表示
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思考：下列语句是命题吗？ 思考：下列语句是命题吗？ 假如是命题你能判断它的真假吗？ 假如是命题你能判断它的真假吗？ 是整数； （1）2x＋1是整数； ） ＋ 是整数 不是命题 （2）x＞3； ） ＞ ； 不是命题 （3）如果两个三角形全等，那么它们的 ）如果两个三角形全等， 对应边相等； 对应边相等； 真命题 （4）平行于同一条直线的两条直线互相 ） 真命题 平行； 平行； 假命题 （5）对所有的 ∈R，x＞3； ）对所有的x∈ ， ＞ ； 是整数. （6）对任意一个 ∈Z，2x＋1是整数 真命题 ）对任意一个x∈ ， ＋ 是整数
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复习引入
思考：下列语句是命题吗？ 思考：下列语句是命题吗？ 假如是命题你能判断它的真假吗？ 假如是命题你能判断它的真假吗？ 是整数； （1）2x＋1是整数； ） ＋ 是整数 不是命题 （2）x＞3； ） ＞ ； 不是命题 （3）如果两个三角形全等，那么它们的 ）如果两个三角形全等， 对应边相等； 对应边相等； 真命题 （4）平行于同一条直线的两条直线互相 ） 真命题 平行； 平行； （5）对所有的 ∈R，x＞3； ）对所有的x∈ ， ＞ ； 假命题 是整数. （6）对任意一个 ∈Z，2x＋1是整数 ）对任意一个x∈ ， ＋ 是整数
1.4.1 全称量词 全称量词 1.4.2 存在量词 存在量词
重内容轻形式-谈谈全称命题与特称命题
否定命题
所以 ¬p : “a,b两个数不都是偶
数”或表达为“在这a,b两个数中，存 在一个数不是偶数”
例3 如P27探究 p“某些平行四边形是菱形”
¬p : 某些平行四边形不是菱形”
等。 （错误） 分析：命题P是特称肯定命题，
它的否定是全称否定命题而不是特称 否定命题
所以 ¬p : “所有的平行四边形都
在前面学习命题的否定时候， 有很多老师补充了常见词语的否定， 如“都是”的否定“不都是”；“都 不是”的否定 “至少有一个是”等 等，仅这些单个词语的否定是无可厚 非的。但现在又学习含有一个量词的 命题的否定，这些词语出现句子中， 究竟是用有“都是”“不都是”还是 “都不是”，像是玩文字游戏一样， 很多学生陷入了形式化的文字困扰之 中，没有对全称命题与特称命题概念 及意义真正的理解，驾驭不了这些词 语。笔者通过对全称命题与特称命题 的引入、探究、应用，从而得到了对 全称命题与特称命题概念及意义真正 的理解，希望对读者有一定的帮助。
重内容轻形式—谈谈全称命题与特称命题
内蒙古乌海市第十中学 任永平
高中数学新课程常用逻辑用语一章 相对比较刻板、传统，为了提高学生的 学习兴趣教科书通过大量的数学实例和 生中的实例理解相关概念，与以往“教 学大纲”相比，现在新增了“全称量词 语与存在量词”的内容，更加重视了对 意义的理解。新课程标准中有明确的说 明：通过生活和数学中的丰富实例,理 解全称量词和存在量词的意义。能正确 地对含有一个量词的命题进行否定。同 一个全称命题和特称命题由于自然语言 的不同，可以有不同的表述形式，只要 内容正确即可。
三、应用 例1 P:所有的矩形都是平行四
边形”
¬p : 所有的矩形都不是平行四边
形” （错误） 分析：命题p是全称肯定命题，
【免费下载】函数与导数中的特称命题与全称命题
的取值范围。
答案：解析：由 f (x) ln x a ,得f的(x定) 义域为( 0, + ) ， f '(x) x a ,
x
当 a 1时， f '(x) x 1 0(x 0), f (x) 在（ 0, ）上单调递增。 x2
（2）由已知得，
g(x0
ax
a 1
令 f ' (x) 0, 得 1 x 1. a 1
当 1 1，即1 a 2 时，令 f ' (x) 0, 得 0 x 1或 x 1 ;
a 1
令 f ' (x) 0, 得1 x 1 . 7 分 a 1
综上，当 a 2 时， f (x) 在定义域上是减函数；
2)
，存在
g(x2 ) ，所以
x2
9
2
，即 2b
x2
1 2
1,
2，使
g(x2 ) ，
x
9
2
x2
11 [
x 24
x1
1, 2，
,
17
(0, 2)
]
，
，
3.设函数 f (x) 1 a x2 ax ln x(a R). 2
(Ⅰ) 当 a 1 时，求函数 f (x) 的极值；
a x
5 ln
x
，其定义域为（
因为 g(x) 在其定义域内为增函数，所以 x (0, ), g '(x) 0, 即 ax2 5x a 0,则a 5x . x2 1
而
5x x2 1
（3）当
全称、特称量词与特称、全称命题教学课件
2. 分析各题中p与q的关系； (1) p: 同位角相等，q: 两直线平行. (2) p: α是第二象限角，q: sinα·tanα <0. mn x (3) p: m,x,n成等差数列，q： . 2
本节主要学习了推断符号的意义，充分条 件与必要条件的概念，以及判断充分条件 与必要条件的方法.
原命题 (真) 否命题(真)
逆命题 (真) 逆否命题 (真)
(3)凡质数都是奇数. 逆命题: 凡奇数都是质数. 否命题: 不是质数就不是奇数. 逆否命题: 不是奇数就不是质数.
原命题 (假) 否命题 (假)
逆命题 (假) 逆否命题 (假)
(1)原命题 否命题 (2)原命题 否命题
( 真) (假) ( 真) (真)
例4 设原命题是“若a=0,则ab=0”.写出它的逆 命题、否命题和逆否命题，并判断这四个命 题的真假. 解: 它的逆命题是“若ab=0 ，则a=0,”. 否命题是“若a≠0 ，则ab≠0”. 逆否命题是“若ab≠0 ，则a≠0”. 可以发现:此例中,原命题与逆否命题都是真命 题,逆命题与否命题是假命题.
解: (1)由于p q，故p是q的充分条件,q是p的必要 条件. (2)由于q p，故q是p的充分条件,p是q的必要条件. (3)由于p q，故p是q的充分条件,q是p的必要条件.
解: (1)由于p q，故p是q的充分条件,q是p的必要 条件. (2)由于p q，故p是q的充分条件,q是p的必要条件. (3)由于p q，故p是q的充分条件,q是p的必要条件.
逆命题 逆否命题 逆命题 逆否命题
(假) (真) (真) (真)
(3)原命题 (假) 否命题 (假) 几条结论:
逆命题 (假) 逆否命题 (假)
•原命题为真，它的逆否命题一定为真. •原命题为真，它的逆命题不一定为真. •原命题为真，它的否命题不一定为真.
2018-2019数学北师大版选修2-1课件：第一章3.3 全称命题与特称命题的否定
栏目 导引
第一章 常用逻辑用语
解析：(1)这是一个特称命题，其否定为：对任意的 k>0， y＝kx－2 的图像不经过第一象限． (2)这是一个特称命题，其否定为：对任意的 a∈R，都有 x2＋ax＋1＝0 无解． (3)这是一个特称命题，其否定为：对任意的 n∈N，都有 2n≤1 000.
栏目 导引
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第一章 常用逻辑用语
[解] (1)其否定为：存在一个能被 3 整除的整数不是奇数． (2)其否定为：存ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一个四边形，它的四个顶点不共圆． (3)其否定为：存在 x∈Z，x2 的个位数字等于 3.
[方法归纳] (1)对全称命题否定的两个过程是：一是把全称量词转换为存 在量词，二是把 p(x)加以否定； (2)对省略全称量词的全称命题可先补上全称量词，再对命题 否定．
栏目 导引
第一章 常用逻辑用语
解析：(1)命题 p 是一个全称命题，其否定为：存在 x1，x2∈R， [f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0. (2)这是一个全称命题，其否定为：存在一个向量与零向量不 共线．
栏目 导引
特称命题的否定
第一章 常用逻辑用语
写出下列特称命题的否定． (1)存在 x∈R，x＋1x＋2＜0； (2)存在一个向量与任意向量垂直； (3)存在实数 m，x2＋x＋m＝0 的两根都是正数． (链接教材 P14 例 2)
栏目 导引
第一章 常用逻辑用语
(2)命题 p：“存在 a∈R，使得 x2＋ax＋1＝0 有解”，则 p 的否定为( C ) A．存在 a∈R，使得 x2＋ax＋1≠0 有解 B．存在 a∈R，使得 x2＋ax＋1＝0 无解 C．任意 a∈R，都有 x2＋ax＋1＝0 无解 D．任意 a∈R，都有 x2＋ax＋1≠0 无解 (3)已知命题 p：存在 n∈N，使得 2n>1 000，则 p 的否定为 __对__任__意__的__n_∈__N__，__都__有__2_n_≤_1_0_0_0_________________．
第一章 常用逻辑用语
解析：(1)这是一个特称命题，其否定为：对任意的 k>0， y＝kx－2 的图像不经过第一象限． (2)这是一个特称命题，其否定为：对任意的 a∈R，都有 x2＋ax＋1＝0 无解． (3)这是一个特称命题，其否定为：对任意的 n∈N，都有 2n≤1 000.
栏目 导引
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第一章 常用逻辑用语
[解] (1)其否定为：存在一个能被 3 整除的整数不是奇数． (2)其否定为：存ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一个四边形，它的四个顶点不共圆． (3)其否定为：存在 x∈Z，x2 的个位数字等于 3.
[方法归纳] (1)对全称命题否定的两个过程是：一是把全称量词转换为存 在量词，二是把 p(x)加以否定； (2)对省略全称量词的全称命题可先补上全称量词，再对命题 否定．
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第一章 常用逻辑用语
解析：(1)命题 p 是一个全称命题，其否定为：存在 x1，x2∈R， [f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0. (2)这是一个全称命题，其否定为：存在一个向量与零向量不 共线．
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特称命题的否定
第一章 常用逻辑用语
写出下列特称命题的否定． (1)存在 x∈R，x＋1x＋2＜0； (2)存在一个向量与任意向量垂直； (3)存在实数 m，x2＋x＋m＝0 的两根都是正数． (链接教材 P14 例 2)
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第一章 常用逻辑用语
(2)命题 p：“存在 a∈R，使得 x2＋ax＋1＝0 有解”，则 p 的否定为( C ) A．存在 a∈R，使得 x2＋ax＋1≠0 有解 B．存在 a∈R，使得 x2＋ax＋1＝0 无解 C．任意 a∈R，都有 x2＋ax＋1＝0 无解 D．任意 a∈R，都有 x2＋ax＋1≠0 无解 (3)已知命题 p：存在 n∈N，使得 2n>1 000，则 p 的否定为 __对__任__意__的__n_∈__N__，__都__有__2_n_≤_1_0_0_0_________________．
全称命题与特称命题
命题点2 含一个量词的命题的否定
例3 (1)命题“∃x0∈R，x2 0－2x0>0”的否定是 B.∃x0∈R，x2 0－2x0≥0 D.∃x0∈R，x2 0－2x0<0
A.∀x∈R，x2－2x<0 C.∀x∈R，x2－2x≤0
将“∃”改为“∀”，对结论中的“>”进行否定，可知C正确.
(2)(2015· 浙江)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是 A.∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞n B.∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n C.∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)＞n0 D.∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0
题型三 含参数命题中参数的取值范围 例4 (1)已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x
的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p∧q是真命题，则实 [－12，－4]∪[4，＋∞) 数a的取值范围是______________________.
若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，
2 x0＋4x0＋a＝0”.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是
由题意知p与q均为真命题，由p为真，可知a≥e，
由q为真，知x2＋4x＋a＝0有解，则Δ＝16－4a≥0，
∴a≤4.
综上可知e≤a≤4.
(2) 已知函数 f(x) ＝ x2 － 2x ＋ 3 ， g(x) ＝ log2x ＋ m ，对任意的 x1 ， x2∈[1,4] (－∞，0) 有f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是__________. f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 当x∈[1,4]时，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m， 则f(x)min>g(x)max，即2>2＋m，解得m<0， 故实数m的取值范围是(－∞，0).
函数与导数中的特称命题与全称命题共9页word资料
函数与导数中的特称命题与全称命题1．已知函数()ln ,()()6ln ,a f x x g x f x ax x x=-=+-其中a R ∈。
（1）当1a =时，判断()f x 的单调性；（2）若()g x 在其定义域内为增函数，求正实数a 的取值范围；（3）设函数2()4,2h x x mx a =-+=当时,若12(0,1),[1,2],x x ∃∈∀∈总有12()()g x h x ≥成立，求实数m 的取值范围。
答案：解析：由()ln ,()a f x x f x x=-∞得的定义域为(0,+)，2'(),x af x x += 当 1a =时，21'()0(0),x f x x x+=>>()f x 在（0,+∞）上单调递增。
（2）由已知得，x x a ax x g ln 50(--=，其定义域为（0,+∞），22255'().a ax x a g x a x x x -+=+-= 因为()g x 在其定义域内为增函数，所以(0,),'()0,x g x ∀∈+∞≥即22550,.1xax x a a x -+≥≥+则而2555112x x x x=≤++，当且仅当x =1时，等号成立，所以52a ≥（3）当a=2时，222252()25ln ,'(),x x g x x x g x x x -+=--=由'()0g x =得，12x =或2x =，当1(0,)2x ∈时， 1()0;(,1)()02g x x g x ''>∈<当时,所以在（0，1）上，max 1()()35ln 22g x g ==-+而“1212(0,1),[1,2],()()x x g x h x ∃∀∈≥总有成立”等价于“()g x 在（0，1）上的最大值不小于()h x 在[1,2]上的最大值”。
又()[1,2](1),(2)h x h h 在上的最大值为max{}, 所以有：所以实数的取值范围是2．已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-()a R ∈. (Ⅰ)当12a ≤时，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设2()2 4.g x x bx =-+当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.（Ⅱ）当14a =时，f(x)在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意1(0,2)x ∈， 有11f(x )f(1)=-2≥，又已知存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，所以21()2g x -≥，[]21,2x ∈，即存在[]1,2x ∈，使21()242g x x bx =-+≤-，即2922bx x ≥+，即922b x x≥+∈1117[,]24，所以1122b ≥，解得114b ≥，即实数b 取值范围是11[,)4+∞。
全称与特称命题参数取值范围计算探究
成才之路作者简介：邢志强（1982－），男，甘肃天水人，中学一级教师，从事数学教学与研究。
【学科教学与成才研究】两类结合最值求参数取值范围的计算问题，由于题目表述经常利用全称或特称命题叙述，故而常将其称为恒成立问题与存在性问题。
这两类问题的结论在表达上具有相似性，学生经常混淆。
这两类问题难度属于中高档，各种题型均有可能出现，学生极难熟练掌握，往往是以“全称命题与特称命题”为载体和其他知识结合进行综合考查，这是高考在该知识点的命题方向。
结合教学实录，探讨解决含参数命题的最值求解问题。
一、关于这两类命题在参数计算方面常见的错因剖析例1：已知命题p：“∀x∈［0，1］，a≥e x”，命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（）。
A.（4，+∞）；B.［1，4］；C.［e,4］；D.（-∞,4］。
对于此题，学生跃跃欲试，感觉题目在自己的能力范围之内，不同学生有不同的想法及具体解法，各有特点：学生甲：p∧q是真命题，则p与q均为真命题，若p真，则∀x∈［0，1］，a≥1；若q真，则x2+4x+a=0有解，Δ=16-4a≥0，∴a≤4，∵p∧q是真命题，∴1≤a≤4，故选B。
学生乙：p真q假，则a≥1且a＞4，∴a＞4，故选A。
学生丙：p假q真，故选D。
学生丁：p∧q是真命题，则p与q均为真命题，若p真，则a≥e，若q真，则a≤4，∴e≤a≤4，故选C。
错因分析：（1）本题易错点：不理解“∀”与“∃”符号的意义，不能利用其意义解出a 的范围或解出的a的范围有误，比如学生甲的解法。
（2）常见误区还有：不能由符合命题p∧q的真假来确定命题p、q的真假情况，比如学生乙、丙的解法。
求参数取值范围时等号的取舍也是易错点，这需要学生解题精细化、准确化。
根据学生的解法，可以探知他们对该问题认知的心路历程，便于教师了解学生的学情及心理盲区，以便在日后教学中对症下药，有的放矢。
全称命题与特称命题的否定教学课件
(2)3>4或3<4，即3≠4. 真 (3) π是整数或分数，即π是有理数. 假
规定:当p,q两个命题中有一个是真命题
时, p q 是真命题;当p,q两个命题中都是
假命题时, p q 是假命题.
有真即真.
p
开关p,q的闭合
对应命题的真假,
q
则整个电路的与假.
例4判断下列命题的真假
解:(1) 1是奇数且是素数. 假
(2)2是素数且3是素数. 真
2.逻辑联结词“或”
思考?
下列三个命题间有什么关系?
(1)P:一元二次方程x2-4x+4=0有两个不同 的实根；
(2)q:一元二次方程x2-4x+4=0有两个相同 的实根.
(3)一元二次方程x2-4x+4=0有两个不同的 实根或两个相同的实根.
(1)2 2;
真
(2)集合A是 A B 的子集或是 A B
的子集;
真
(3)周长相等的两个三角形全等或面积 相等的两个三角形全等. 假
思考?
如果 p q 为真命题,那么 p q一定
是真命题吗?反之,如果 p q 为真命题,
那么 p q 一定是真命题吗?
逻辑联结词中的”或”相当于集合中的” 并集”,它与日常用语中的”或”的含义不同. 日常用语中的”或”是两个中任选一个,不能都 选,而逻辑联结词中的”或”,可以是两个都选, 但又不是两个都选,而是两个中至少选一个,因 此,有三种可能的情况.
(3)在素数中，有一个是偶数；
(4)存在实数x，使得 x2+x-1=0. 4.“有些”“至少有一个”“存在” 表示个别或 一部分的含义，这样的词叫做存在量词.
5.含有存在量词的命题叫做特称命题. 常见的特称量词还有： “有一个”“有的”“对 某个” 等.
规定:当p,q两个命题中有一个是真命题
时, p q 是真命题;当p,q两个命题中都是
假命题时, p q 是假命题.
有真即真.
p
开关p,q的闭合
对应命题的真假,
q
则整个电路的与假.
例4判断下列命题的真假
解:(1) 1是奇数且是素数. 假
(2)2是素数且3是素数. 真
2.逻辑联结词“或”
思考?
下列三个命题间有什么关系?
(1)P:一元二次方程x2-4x+4=0有两个不同 的实根；
(2)q:一元二次方程x2-4x+4=0有两个相同 的实根.
(3)一元二次方程x2-4x+4=0有两个不同的 实根或两个相同的实根.
(1)2 2;
真
(2)集合A是 A B 的子集或是 A B
的子集;
真
(3)周长相等的两个三角形全等或面积 相等的两个三角形全等. 假
思考?
如果 p q 为真命题,那么 p q一定
是真命题吗?反之,如果 p q 为真命题,
那么 p q 一定是真命题吗?
逻辑联结词中的”或”相当于集合中的” 并集”,它与日常用语中的”或”的含义不同. 日常用语中的”或”是两个中任选一个,不能都 选,而逻辑联结词中的”或”,可以是两个都选, 但又不是两个都选,而是两个中至少选一个,因 此,有三种可能的情况.
(3)在素数中，有一个是偶数；
(4)存在实数x，使得 x2+x-1=0. 4.“有些”“至少有一个”“存在” 表示个别或 一部分的含义，这样的词叫做存在量词.
5.含有存在量词的命题叫做特称命题. 常见的特称量词还有： “有一个”“有的”“对 某个” 等.
与全称(或特称)命题真假有关的参数取值范围问题——利用导数解决的方法
与 ７ 的最小公倍数为 ３５ꎬ则该数为:３５ｎ ＋ ３. 当 ｎ ＝ ３ 时ꎬ
该数为 １０８. 故选答案 Ｄ. “ 最 小 公 倍 数 作 周 期ꎬ 余 同 取 余ꎬ 和 同 加 和ꎬ 差 同 减
差”具有普遍实用性. ꎬ利用本文的定理有效地化解一次 同余式ꎬ使得解一次同余式组更加简捷. 从而有效地回避 了孙子定理中要求模互素的情形. 可以归纳ꎬ得到:
３. ｘ 除以 ｎ１ 余 ａ１ ꎬ除以 ｎ２ 余 ａ２ ꎬ除以 ｎ３ 余 ａ３ ꎬ������ꎬ除 以 ｎｉ 余 ａｉ ꎬ若 ｎ１ － ａ１ ＝ ｎ２ － ａ２ ＝ ｎ３ － ａ３ ������ ＝ ｎｋ － ａｋ ＝ ｃꎬ则 ｘ ＝ ｋｎ － ｃꎬｋ∈Ｚꎬ其中 ｎ 为 ｎ１ ꎬｎ２ ꎬｎ３ ꎬ������ꎬｎｉ 的最小公倍数.
－ ２ｎ１ ２１
＋３ ꎬ特别地ꎬ当
ｎ１
＝ １２
时ꎬｎ２
＝ ２３ꎬ则
３６
× ２３
＝
１４４９ꎬ故
ｘ
≡９ ( ｍｏｄ１２０)ꎻｘ ≡０ ( ｍｏｄ６３) ⇔ｘ ≡１４４９ ( ｍｏｄ１２０)ꎻｘ ≡１４４９
(ｍｏｄ６３). 由于 １２０ꎬ６３ 的最小公倍数为 ２５２０ꎬ则 ｘ ＝ ２５２０ｎ ＋
１４４９ꎬｎ∈Ｎꎬ当 ｎ ＝ ０ 时ꎬｘ ＝ １４４９ꎬ即为所求.
例 ３ ( 江西省公务员考试行测 ２００９) 学生在操场上
列队做操ꎬ只知人数在 ９０ － １１０ 之间. 若排成 ３ 排则不多
不少ꎻ排成 ５ 排则少 ２ 人ꎻ排成 ７ 排则少 ４ 人. 则学生人数
是( ).
Ａ. １０２ Ｂ. ９８ Ｃ. １０４ Ｄ. １０８
解析 该数除以 ５ 余 ３ꎬ除以 ７ 余 ３ꎬ余数同为 ３ꎬ且 ５
{ｘ≡１( ｍｏｄ２) ꎻｘ≡１( ｍｏｄ４) ꎻｘ≡ － １( ｍｏｄ５) ꎻ ｘ≡３( ｍｏｄ６) ꎻｘ≡１( ｍｏｄ８) ꎻｘ≡０( ｍｏｄ１) ꎻ ｘ≡０( ｍｏｄ３) ꎻｘ≡０( ｍｏｄ７) ꎻｘ≡０( ｍｏｄ９)
全称命题与特称命题
02 特称命题的定义与特点
特称命题的定义
特称命题是含有存在量词的命题，表 示某类对象中存在某些具有某种性质 的个体。
例如：“存在自然数n，使得 n^2=4”。
特称命题的特点
存在量词
特称命题使用存在量词来表示某类对象中至少有一个 个体满足给定性质。
描述特定个体
特称命题关注的是某类对象确使用全称命题与特称命题
明确范围
在使用全称命题时，需要明确其涵盖的范围，避免出现逻 辑上的漏洞或错误。
01
具体实例
使用特称命题时，需要提供具体的实例 来支持或反驳某个观点，增强论证的说 服力。
02
03
逻辑连贯
在构建论证时，需要确保全称命题和 特称命题之间的逻辑连贯性，避免出 现矛盾或不一致的情况。
简化性
在推理和证明中，全称命题可以简化复杂的问题，使得推理过程更加简洁明了。
全称命题的逻辑形式
全称命题的逻辑形式通常表示为“∀x: P(x)”，其中“∀”表示“对于所有”，x表示个体变量，P(x)表示 关于x的命题。
全称命题的逻辑形式在推理和证明中具有重要意义。通过使用全称命题，我们可以将一个复杂的命题 简化为一个简单的形式，从而更容易进行推理和证明。同时，全称命题也为我们提供了一种有效的工 具，用于描述和表达普遍适用的真理。
全称命题与特称命题的未来发展
1 2
深入研究
随着逻辑学、语言学等学科的发展，全称命题与 特称命题的研究将更加深入和细致。
应用拓展
随着人工智能、大数据等领域的发展，全称命题 与特称命题的应用将更加广泛和深入。
3
跨学科融合
全称命题与特称命题的研究和应用将进一步与其 他学科融合，推动跨学科领域的发展和创新。
14全称命题与特称命题 ppt课件
所以如，果特在称集命合题M“中存找在不两到个 使相 得交p ( 的 x ) 平面成垂立直的于元同素一x，条那直么线这”个是特假称命命题题.
就是假命题.
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方法
总同结化：知识要：判定课特本称命23题页“ 第x20 题M,p(x0)”
答案：是个（真元1命素）题x真0，，命只证题需明要p 在( x 集0 ) 成合立M中即找可一；
整 数 ” 用 符 号 语 言 表 示 .
x N ,x Z
练习：将命题“方程ax2 2x10
(a0)至少存在一个负根”用符
号语言表示.
x 0 ,a 2 2 x x 1 0 ( a 服务学生 成就辉煌
巩固练习： 1．判断下列命题的真假，其中为真命 题的是 （ D ）
如（果2在）集真合命M题中找教不材到第2使6 得 p ( x ) 成就（立是3的假）元 命真素题命x. ，题那页 A么组习这2题个1.特4 称命题
找特例说明特称命题为真， 找不到特例，则该特称命题为假.
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巩固提高：
例 3.将 命 题 “ 任 意 的 自 然 数 都 是
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注： ⑴.p.(x)是关于x的表达式，如：
x R ， s i n 2 x 2 s i n x c o s x
⑵.对以上定义中的x要拓宽视野来看， 可以是其它变量，也可以有多个变量， 如：
n N ,4 n 1 m 2 ,其 中 m N ；
a,b R ,a2b22ab.
（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线；
（3）有些整数只有两个正因数.
分思析解：考(2要：)由判对于定垂 于特直特称于命称同 题命“ 一题条 我x直0 们线M 的,两p(个x0)” 平 个面 相是个是 交真元互 的 怎命素相 平 样题平 面 x 判0，行 垂 ，断只证的 直需其明， 于要真p因 同在( x假此 一集0 ) ？不 条 成合存 直 立M中即在 线找可两 . 一；
就是假命题.
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方法
总同结化：知识要：判定课特本称命23题页“ 第x20 题M,p(x0)”
答案：是个（真元1命素）题x真0，，命只证题需明要p 在( x 集0 ) 成合立M中即找可一；
整 数 ” 用 符 号 语 言 表 示 .
x N ,x Z
练习：将命题“方程ax2 2x10
(a0)至少存在一个负根”用符
号语言表示.
x 0 ,a 2 2 x x 1 0 ( a 服务学生 成就辉煌
巩固练习： 1．判断下列命题的真假，其中为真命 题的是 （ D ）
如（果2在）集真合命M题中找教不材到第2使6 得 p ( x ) 成就（立是3的假）元 命真素题命x. ，题那页 A么组习这2题个1.特4 称命题
找特例说明特称命题为真， 找不到特例，则该特称命题为假.
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巩固提高：
例 3.将 命 题 “ 任 意 的 自 然 数 都 是
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注： ⑴.p.(x)是关于x的表达式，如：
x R ， s i n 2 x 2 s i n x c o s x
⑵.对以上定义中的x要拓宽视野来看， 可以是其它变量，也可以有多个变量， 如：
n N ,4 n 1 m 2 ,其 中 m N ；
a,b R ,a2b22ab.
（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线；
（3）有些整数只有两个正因数.
分思析解：考(2要：)由判对于定垂 于特直特称于命称同 题命“ 一题条 我x直0 们线M 的,两p(个x0)” 平 个面 相是个是 交真元互 的 怎命素相 平 样题平 面 x 判0，行 垂 ，断只证的 直需其明， 于要真p因 同在( x假此 一集0 ) ？不 条 成合存 直 立M中即在 线找可两 . 一；
1.3特称命题全称命题
【提示】 意义相反，即命题②是命题①的否定，同时， 命题①也是对命题②的否定． 特称命题
全称命题的否定是 .
，特称命题的否定
是
全称命题
一般地，对于一个含有一个量词的全称命题的否定有下面的结论 x, p ,))p( x) 的否定 p 全称命题 ： ： x p p ( x p x M p ( x 全称命题 ： 的否定
使p(x0)成立”
“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”，可简记为
全称命题与特称命题的否定
下面有两个命题： ①对任意 x∈R，都有 2x＞0； ②存在 x0∈R，使 2 ≤0. (1)从形式上看，这两个命题有什么不同？
x0
思
【提示】
①是全称命题，判断词是“＞”；
②是特称命题，判断词是“≤”．
(2)从意义上看这两个命题有什么不同？
命题 全称命题 特称命题
（1）所有的 x A，使 p ( x) 成立； （1）存在 x A ，使p ( x) 成立；
表 述 方 法
（2）对一切 x A，使 p ( x) 成立； （2）至少有一个 x A ，使 p ( x) 成 （3）对每一个 x A ，使 p ( x) 成 立； （4）任意一个 x A ，使 p ( x) 成 立； （5）若 x A，则 p ( x) 成立； 立； （3）对有些 x A ，使 p ( x) 成立；
1.3 特称命题与全称命题
【问题导入】
下面有两个命题： ①本节课高二(016)班的每一位学生都没有打瞌睡； ②本节课高二(016)班存在一位学生在打瞌睡． (1)这两个命题的含义相同吗？
【提示】 不同． (2)造成含义不同的原因是什么？ 【提示】 这两个命题使用了不同的量词．命题①使用
全称命题的否定是 .
，特称命题的否定
是
全称命题
一般地，对于一个含有一个量词的全称命题的否定有下面的结论 x, p ,))p( x) 的否定 p 全称命题 ： ： x p p ( x p x M p ( x 全称命题 ： 的否定
使p(x0)成立”
“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”，可简记为
全称命题与特称命题的否定
下面有两个命题： ①对任意 x∈R，都有 2x＞0； ②存在 x0∈R，使 2 ≤0. (1)从形式上看，这两个命题有什么不同？
x0
思
【提示】
①是全称命题，判断词是“＞”；
②是特称命题，判断词是“≤”．
(2)从意义上看这两个命题有什么不同？
命题 全称命题 特称命题
（1）所有的 x A，使 p ( x) 成立； （1）存在 x A ，使p ( x) 成立；
表 述 方 法
（2）对一切 x A，使 p ( x) 成立； （2）至少有一个 x A ，使 p ( x) 成 （3）对每一个 x A ，使 p ( x) 成 立； （4）任意一个 x A ，使 p ( x) 成 立； （5）若 x A，则 p ( x) 成立； 立； （3）对有些 x A ，使 p ( x) 成立；
1.3 特称命题与全称命题
【问题导入】
下面有两个命题： ①本节课高二(016)班的每一位学生都没有打瞌睡； ②本节课高二(016)班存在一位学生在打瞌睡． (1)这两个命题的含义相同吗？
【提示】 不同． (2)造成含义不同的原因是什么？ 【提示】 这两个命题使用了不同的量词．命题①使用
全称命题与特称命题的否定PPT课件
否定的方法：1. 全称量词变成存在量词 2. 否定结论 3. 原命题和命题的否定的真假性相反.
第6页/共15页
例1 写出下列命题的否定: （1）可以被5整除的数，末位是5. （2）能被3整除的数，也能被4整除.
析：(1) （2）隐含的全称量词：所有（任何一个） 解:(1) 存在可以被5整除的数，末位不是5. （2）存在能被3整除的数，不能被4整除.
1.什么是全称命题?什么是特称命题? 含有全称量词的命题叫全称命题,含有 存在量词的命题叫特称命题. 判断下列命题是全称命题还是特称命题 (1)末位数字是0或5的整数,能被5整除; (2)棱柱是多面体; (3)有一个实数,不能作除数.
(1)(2)是全称命题,(3)是特称命题
第1页/共15页
2、判断全称命题、特称命题的真假的方法
判断全称命题是真命题的方法：
——需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立
判断全称命题是假命题的方法：
——只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立 即可（举反例） 判断特称命题是真命题的方法：
——只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)成立 判断特称命题是假命题的方法： ——只需说明在集合M中找不到元素x0，使得p(x0)成立
第8页/共15页
1.要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性 质”是错误的，只要说明？ 解：只要说明所有的对象都不满足这一性质． 2.特称命题的否定是？如何否定？
解:(1) 特称命题的否定是全称命题． （2）1.存在量词变成全称量词 2. 否定结论
3.原命题和命题的否定的真假性有何关系？
解：原命题和命题的否定的真假性相反.
第2页/共15页
判断下列命题是全称命题还是特称命题, 并说明命题的真假: (1)所有的奇数都是素数;
第6页/共15页
例1 写出下列命题的否定: （1）可以被5整除的数，末位是5. （2）能被3整除的数，也能被4整除.
析：(1) （2）隐含的全称量词：所有（任何一个） 解:(1) 存在可以被5整除的数，末位不是5. （2）存在能被3整除的数，不能被4整除.
1.什么是全称命题?什么是特称命题? 含有全称量词的命题叫全称命题,含有 存在量词的命题叫特称命题. 判断下列命题是全称命题还是特称命题 (1)末位数字是0或5的整数,能被5整除; (2)棱柱是多面体; (3)有一个实数,不能作除数.
(1)(2)是全称命题,(3)是特称命题
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2、判断全称命题、特称命题的真假的方法
判断全称命题是真命题的方法：
——需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立
判断全称命题是假命题的方法：
——只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立 即可（举反例） 判断特称命题是真命题的方法：
——只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)成立 判断特称命题是假命题的方法： ——只需说明在集合M中找不到元素x0，使得p(x0)成立
第8页/共15页
1.要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性 质”是错误的，只要说明？ 解：只要说明所有的对象都不满足这一性质． 2.特称命题的否定是？如何否定？
解:(1) 特称命题的否定是全称命题． （2）1.存在量词变成全称量词 2. 否定结论
3.原命题和命题的否定的真假性有何关系？
解：原命题和命题的否定的真假性相反.
第2页/共15页
判断下列命题是全称命题还是特称命题, 并说明命题的真假: (1)所有的奇数都是素数;
2021年高中数学第一章常用逻辑用语1.3.3全称命题与特称命题的否定课件4北师大版选修2_1
抽象概括： 在上述例子中，要说明一个特称命题“存在一些对
象满足某一性质〞是错误的，就要说明所有的对象都不 满足这一性质.实际上是要说明这个特称命题的否认是 正确的.不难发现特称命题的否认是_全__称__命__题__. 对特称命题的否认，有下面的结论：
〔1〕存在量词改为全称量词； 〔2〕再否认命题的结论.
解析： (1)“有些素数是奇数〞是特称命题，其否认 为“所有素数都不是奇数〞，是假命题； (2)“所有二次函数的图像都开口向上〞是全称命题， 其否认为“有些二次函数的图像不是开口向上〞，是 真命题； (3)“不管m取何实数，方程x2+2x-m=0都有实数根 〞是全称命题，其否认为“存在实数m，使得方程 x2+2x-m=0没有实数根〞，是真命题.
只需找出一个反例就可以了.实际上是要说明这个全 称命题的否认是正确的.不难发现全称命题的否认是 _特__称__命__题__. 对全称命题的否认，有下面的结论： 〔1〕全称量词改为存在量词.
〔2〕再否认命题的结论.
练一练：
写出以下全称命题的否认： 〔1〕所有的人都喝水. 〔2〕我们班每个同学的身高都超过1.85 m. 〔3〕每个指数函数都是单调函数. 解析：〔1〕有的人不喝水. 〔2〕我们班有些同学的身高不超过1.85 m. 〔3〕存在一个指数函数，它不是单调函数．
〔1〕∀x∈R，x2＋2x＋2＞0；
〔2〕所有的三角形都不是等边三角形
〔3〕每一个素数都不含三个正因数.
变式训练:写出以下特称命题的否认,并判断其真假. (1)∃x∈R,x2+2x+2≤0; (2)至少有一个实数x,使x3+1=0; (3)有些三角形是锐角三角形.
解:(1)∀x∈R,x2+2x+2>0,真命题. (2)∀x∈R,x3+1≠0. ∵当x=-1时,有x3+1=0 ∴是假命题. (3)所有的三角形不是锐角三角形. 假命题.
全称与特称
全称、特称命题的否定
例25写出下列命题的否定，并判断真假： 1）p:任意两个等边三角形都是相似的； 2）p:x R,x2+2x+2=0；
小结
• 1、全称量词 • 2、存在量词 • 3、全称命题 • 4、特称命题 • 5、 全称量词与特称命题真假的判断
6、含有一个量词的特称命题的否定,有下面 的结论
3) x R, x2 1 0
全称、特称命题的否定
x M,p(x)
x M,p(x)
x M,p(x)
x M,p(x)
x M,p(x) x M,p(x)
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
全称、特称命题的否定
例14 写出下列特称命题的否定： 1）p:x R,x2+2x+3 0； 2）p:有的三角形是等边三角形； 3）p:有一个素数含有三个正因子。
全称、特称命题的否定
探究:含有一个量词的 命题如何否定?
想一想？
全称、特称命题的否定
写出下列命题的否定
1)所有的矩形都是平行四边形；x M,p(x) 2)每一个素数都是奇数； x M,p(x)
3)x R, x2 2x 1 0
x M,p(x)
否定:
1)存在一个矩形不是平行四边形；x M,p(x)
例13写出下列全称命题的否定： 1）p:所有能被3整除的整数都是奇数； 2）p:每一个四边形的四个顶点公圆； 3）p:对任意x Z，x2的个位数字不等于3。
想一想？
写出下列命题的否定 1)有些实数的绝对值是正数；
2)某些平行四边形是菱形； 3)x R, x2 1 p 0
否定: 1)所有实数的绝对值都不是正数; 2)每一个平行四边形都不是菱形;
判断下列全称命题的真假1所有的素数都是奇数2?xrx2203对每一个无理数xx2也是无理数全称量词与全称命题判断全称命题?xmpx是真命题的方法需要对集合m中每个元素x证明px成立判断全称命题?xmpx是假命题的方法只需在集合m中找到一个元素x0使得px0不成立即可举反例观察下列)成 立”
全称命题和特称命题的形式及真假判断ppt课件
学意义是什么？
“对M中任意一个x，有p(x)成立”
.
6
思考5：下列命题是全称命题吗？其真假
如何？ （1）所有的素数是奇数； 假
（2） x∈R，x2＋1≥1； 真
（3）对每一个无理数x，x2也是无理数； 假
（4）所有的正方形都是矩形. 真
.
7
思考6：如何判定一个全称命题的真假？
x∈M，p(x)为真：对集合M中每一个
（3）|x－1|＜1；
有些x0∈R，使|x0－1|＜1.
.
9
思考2：短语“存在一个”“至少有一 个”“有些”等，在逻辑中通常叫做存
在量词，并用符号“ ”表示，你还能
列举一些常见的存在量词吗？
“有一个”，“ 对某个”，“有的”等
.
10
思考3：含有存在量词的命题叫做特称命
题，如“存在一个x0∈R，使2x0＋1＝ 3”，“至少有一个x0∈Z，x0能被2和3
元素x，都有p(x)成立；
x∈M，p(x)为假：在集合M中存在一
个元素x0，使得p(x0)不成立.
.
8
探究(二)：存在量词的含义和表示
思考1：下列各组语句是命题吗？二者有
什么关系？ （1）2x＋1＝3；
存在一个x0∈R，使2x0＋1＝3.
（2）x能被2和3整除；
至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除.
.
13
真
（4）存在两个相交平面垂直于些整数只有两个正因数； 真
（6）有些实数的平方小于0.
假
.
12
思考6：如何判定一个特称命题的真假？
x0∈M，p(x0)为真：能在集合M中找
出一个元素x0，使p(x0)成立；
x0∈M，p(x0)为假：在集合M中，使
“对M中任意一个x，有p(x)成立”
.
6
思考5：下列命题是全称命题吗？其真假
如何？ （1）所有的素数是奇数； 假
（2） x∈R，x2＋1≥1； 真
（3）对每一个无理数x，x2也是无理数； 假
（4）所有的正方形都是矩形. 真
.
7
思考6：如何判定一个全称命题的真假？
x∈M，p(x)为真：对集合M中每一个
（3）|x－1|＜1；
有些x0∈R，使|x0－1|＜1.
.
9
思考2：短语“存在一个”“至少有一 个”“有些”等，在逻辑中通常叫做存
在量词，并用符号“ ”表示，你还能
列举一些常见的存在量词吗？
“有一个”，“ 对某个”，“有的”等
.
10
思考3：含有存在量词的命题叫做特称命
题，如“存在一个x0∈R，使2x0＋1＝ 3”，“至少有一个x0∈Z，x0能被2和3
元素x，都有p(x)成立；
x∈M，p(x)为假：在集合M中存在一
个元素x0，使得p(x0)不成立.
.
8
探究(二)：存在量词的含义和表示
思考1：下列各组语句是命题吗？二者有
什么关系？ （1）2x＋1＝3；
存在一个x0∈R，使2x0＋1＝3.
（2）x能被2和3整除；
至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除.
.
13
真
（4）存在两个相交平面垂直于些整数只有两个正因数； 真
（6）有些实数的平方小于0.
假
.
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思考6：如何判定一个特称命题的真假？
x0∈M，p(x0)为真：能在集合M中找
出一个元素x0，使p(x0)成立；
x0∈M，p(x0)为假：在集合M中，使