数列知识点常用结论
高中数学数列知识点总结(精华版)
..一、数列1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.⑴数列中的数是按一定“次序〞排列的，在这里，只强调有“次序〞，而不强调有“规律〞．因此，如果组成两个数列的数一样而次序不同，那么它们就是不同的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项a n与项数n是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2.通项公式：如果数列a n的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即af(n)n.3.递推公式：如果数列a n的第一项〔或前几项〕，且任何一项a n与它的前一项a〔或前几项〕间的关系可以用一个式子来表示，即a n f(a n1)或a n f(a n1,a n2)，n1那么这个式子叫做数列a的递推公式.如数列an中，a11,a n2a n1，其中na n2a n1是数列a n的递推公式.4.数列的前n项和与通项的公式①Sn a1a2a；②nS(n1)1a n.SS(n2)nn15.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何nN,均有a n1a n.②递减数列:对于任何nN,均有a n1a n.③摆动数列:例如:1,1,1,1,1,.④常数数列:例如:6,6,6,6,⋯⋯.⑤有界数列:存在正数M使a n M,n N.⑥无界数列:对于任何正数M,总有项a使得a n M.n1、n*a2(nN)nn156，那么在数列{}a的最大项为__〔答：n125〕；2、数列{}a的通项为nana n，其中a,b均为正数，那么a n与a n1的大小关系为___〔答：bn1aa n1〕；n23、数列{a}中，a是递增数列，XX数的取值X围〔答：3〕；ann，且{}nnn4、一给定函数yf(x)的图象在以下图中，并且对任意a(0,1)，由关系式a n1f(a n)1*得到的数列{}a满足a n1a n(nN)，那么该函数的图象是〔〕〔答：A〕neord完美格式..二、等差数列1、等差数列的定义：如果数列a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
高中数学_数列知识点汇总
必修5 数列知识点小结【等差数列】1. 证明方法：①递推关系（定义）：)(1*+∈=-N n d da a n n 为常数，②等差中项法：112+-+=n n n a a a )1(>n判断方法：③通项公式q pn d n a a n +=-+=)1(1（其中p,q 为常数） ④前n项和Bn An 2+=-+=+=d n n n a a a n S n n 2)1(2)(11(A,B 为常数）2. 等差中项：b A a ,,成等差数列，A 称为b a 与的等差中项（其中b a 与为任意实数， A 存在且唯一），2b a A b a A +=⇔的等差中项与为即3. 等差数列性质：（1） 任两项关系：nm a a mn a a d n m m n --=--=（其中n m ≠）（2） 任两项关系：d m n a a m n )(-+=（其中n m ≠）（3） 是递增数列；数列}a {,0d n >是递减数列；数列}a {,0d n <是常数列数列}a {,0d n =。
（4） 两和式项数相同，下标和相等，则两式相等，如：112+-+=n n n a a a （其中n>1, n n n a a a +=2） k n k n n a a a +-+=2（其中n-k>0, n n n a a a +=2）特别若q p n m a a a a q p n m +=++=+则,k q p s n m a a a a a a k q p s n m ++=++++=++则,（5） {}{}n n b a ,为项数相同的等差数列(或无穷数列)，则：①：k m a +、k m a 2+、k m a 3+、k m a 4+…成等差数列（其中k m ,为常数） ②：{}k a n +、{}n n b q a p ∙+∙为等差数列，(其中q p k ,,为常数)（6） 前n 项和性质：①：成等差数列,,,232k k k k k S S S S S --②：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列。
数列复习基本知识点及经典结论总结+练习题
数列复习基本知识点及经典结论总结1、数列的概念：数列是按一定次序排成的一列数。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，如果数列{}a n 的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的通项公式。
数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
如（1）已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125）；（2）数列}{n a 的通项为1+=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：n a <1+n a ）；（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；（4）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（）（答：A ）A B C D递推关系式：已知数列{}a n 的第一项（或前几项），且任何一项a n 与它的前一项a n 1-（前n 项）间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子就叫数列的递推关系式。
数列的前n 项和：a a a a s n n ++++=...321.已知s n 求a n 的方法（只有一种）：即利用公式 a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥=--)2(,)1(,11n n s s s n n注意：一定不要忘记对n 取值的讨论！最后，还应检验当n=1的情况是否符合当n ≥2的关系式，从而决定能否将其合并。
2.等差数列的有关概念： 1、 等差数列的定义：即)2,*(1≥∈=--n N n d a a n n 且.(或)*(1N n d a a n n ∈=-+). （1） 等差数列的判断方法：①定义法：)(1常数d a a n n =-+⇔{}a n 为等差数列。
数列极限知识点归纳总结
数列极限知识点归纳总结数列是数学中的一个重要概念，由一系列有序的数字组成。
数列极限是数列在无穷项处的趋势或趋近的值。
在数学分析中，数列极限是一个基本的概念，具有广泛的应用。
本文将对数列极限的相关知识进行归纳总结，并以此为标题。
一、数列的定义和性质1. 数列的定义：数列是按照一定的规律排列的一系列数字。
2. 数列的通项公式：数列中的每一项可以用一个公式来表示，这个公式称为数列的通项公式。
3. 数列的性质：数列可以是有界的或无界的，可以是递增的或递减的，还可以是周期性的或非周期性的。
二、数列的极限1. 数列的极限定义：对于一个数列，如果随着项数的增加，数列中的元素逐渐接近一个确定的值，那么这个确定的值就是数列的极限。
2. 数列极限的表示：数列极限常用符号lim表示，写作lim(an)=a，其中an为数列的第n项，a为数列的极限。
3. 数列极限的存在性：数列的极限可能存在，也可能不存在。
如果数列极限存在，则称数列收敛；如果数列极限不存在，则称数列发散。
三、数列极限的计算方法1. 直接计算法：对于一些简单的数列，可以通过对数列的通项公式进行计算，得到数列的极限。
2. 套路法：对于一些特殊的数列，可以利用一些已知的极限结果和数列运算的性质，通过一些套路求得数列的极限。
3. 夹逼准则：对于一些复杂的数列，可以通过夹逼准则来求得数列的极限。
夹逼准则指的是如果数列a(n)≤b(n)≤c(n)，且lim(a(n))=lim(c(n))=a，那么lim(b(n))=a。
四、数列极限的性质1. 唯一性：如果数列极限存在，则极限值唯一。
2. 保号性：如果数列的极限为正数（负数），那么数列的项数足够大时，数列的元素大于（小于）零。
3. 有界性：如果数列的极限存在，则数列有界。
五、数列极限的应用1. 函数极限：函数极限是数列极限的推广，通过将自变量取为数列，将函数值作为数列的项，就可以研究函数的极限。
2. 数列极限在微积分中的应用：数列极限在微积分中有广泛的应用，如计算导数、积分等。
数列知识点归纳总结讲义
数列知识点归纳总结讲义数列是数学中常见的一个概念，它在各个领域都有广泛的应用。
正如其名称所示，数列是一系列按照特定规律排列的数的集合。
在学习和应用数列时，我们需要了解一些基本概念和常见的数列类型。
本文将对数列的知识点进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握相关概念。
一、数列的基本概念1. 数列的定义：数列是按照一定的规律排列的一组数，用字母表示为{a₁，a₂，a₃，...}。
2. 项与序号：数列中的每个数称为项，对应的位置称为序号。
第一项为a₁，第二项为a₂，以此类推。
3. 通项公式：数列中每个项与它所在的序号之间存在着一定的关系，这种关系用通项公式来表示，通常用aₙ表示第n个项的值。
4. 数列的有穷与无穷：当数列中的项有限个时，称其为有穷数列；当数列中的项无限多时，称其为无穷数列。
二、常见的数列类型1. 等差数列：等差数列是一种最为常见的数列类型，其特点是每个项之间的差值相等。
通项公式：aₙ = a₁ + (n - 1)d其中，a₁为首项，d为公差，n为项数。
例如：2，5，8，11，14...就是一个以3为公差的等差数列。
2. 等比数列：等比数列是指数列中每个项与它前一项的比值相等的数列。
通项公式：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中，a₁为首项，r为公比，n为项数。
例如：1，2，4，8，16...就是一个以2为公比的等比数列。
3. 斐波那契数列：斐波那契数列是指从第3项开始，每个项都是前两项的和。
通项公式：aₙ = aₙ₋₂ + aₙ₋₁其中，a₁和a₂为斐波那契数列的前两项。
例如：1，1，2，3，5，8，13...就是一个斐波那契数列。
4. 平方数列：平方数列是指数列中每个项都是某个整数的平方。
通项公式：aₙ = n²其中，n表示项数。
例如：1，4，9，16，25...就是一个平方数列。
5. 等差数列与等比数列混合：有时数列中既存在等差关系，又存在等比关系，称其为等差数列与等比数列混合数列。
数列的相关知识点总结
数列的相关知识点总结一、数列的定义数列是按照顺序排列的一组数字。
数列中的每个数字称为这个数列的项，通常用字母来表示数列的项，例如a₁, a₂, a₃, …, aₙ。
其中n代表数列的项数，称为数列的长度或者规模。
数列通常用一个通用公式来表示，这个公式描述了数列中每一项与前一项的关系，通常用递推公式或者递归公式来表示。
例如，斐波那契数列就是一个典型的递推数列，它的通用公式为Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F₁ = 1, F₂ = 1。
二、常见的数列类型1. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项的差值是一个常数的数列，这个常数称为公差。
等差数列的通用公式为an = a1 + (n-1)d，其中a₁为第一项，d为公差，n为项数。
2. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项的比值是一个常数的数列，这个常数称为公比。
等比数列的通用公式为an = a₁ * rⁿ⁻¹，其中a₁为第一项，r为公比，n为项数。
3. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个非常特殊的数列，它的每一项都等于前两项的和。
这个数列的通用公式为Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F₁ = 1, F₂ = 1。
三、数列的性质1. 数列的有界性：如果数列中的所有项都不大于一个常数M，那么这个数列就是有上界的；如果数列中的所有项都不小于一个常数N，那么这个数列就是有下界的。
如果一个数列既有上界又有下界，则称其为有界数列。
2. 数列的单调性：如果数列中任意相邻两项的大小关系保持不变，那么这个数列就是单调数列。
如果数列中的每一项都大于前一项，那么这个数列就是严格递增的；如果数列中的每一项都小于前一项，那么这个数列就是严格递减的。
3. 数列的极限性质：数列的极限是指数列中的项随着项数趋向于无穷大时的极限值。
如果一个数列存在有限的极限，则称其为收敛数列；如果数列的项随着项数趋向于无穷大时趋向于无穷大或者无穷小，则称其为发散数列。
四、数列的求和公式1. 等差数列的求和公式：等差数列的前n项和可以通过以下公式来计算：Sn = n/2 * (a₁ + an)，其中Sn表示前n项和，a₁表示第一项，an表示第n项。
高二数学必修五--数列知识点总结及解题技巧(含答案)---强烈-推荐
数学数列部分知识点梳理一数列的概念1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。
前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 2）等差中项：b a A +=2。
3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.4）等差数列的性质：⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有；(9)是等差数列的前项和，则；(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 。
数列知识点归纳总结
数列是数学中的一个重要概念，它是由一系列按照一定规律排列的数组成的。
数列知识点归纳总结如下：一、数列的定义1. 数列是由有限个或无限个数字组成的序列。
2. 数列中的数字按照一定的顺序排列。
3. 数列中的每个数字都有一个对应的位置或项数。
二、数列的分类1. 按项数分类：有限数列和无限数列。
2. 按项的性质分类：整数数列、实数数列、复数数列等。
3. 按项的规律分类：等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
三、等差数列1. 等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差都相等的数列。
2. 等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。
3. 等差数列的求和公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中Sn表示前n项和。
四、等比数列1. 等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比都相等的数列。
2. 等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示第一项，r表示公比。
3. 等比数列的求和公式为：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n项和。
五、斐波那契数列1. 斐波那契数列是指从第三项起，每一项都是前两项之和的数列。
2. 斐波那契数列的前几项为：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...3. 斐波那契数列没有通项公式，但可以用递归或循环的方式生成。
六、递推关系与通项公式1. 递推关系是指数列中相邻两项之间的关系。
2. 递推关系可以用来推导出数列的通项公式。
3. 通项公式是用来表示数列中任意一项的公式。
4. 通项公式可以通过递推关系、图形法、矩阵法等方式推导得出。
七、数列的应用1. 数列在数学中有广泛的应用，如级数求和、概率计算、线性方程组求解等。
2. 数列在自然科学、经济学、计算机科学等领域也有重要的应用。
八、数列的极限1. 数列的极限是指当项数趋向无穷大时，数列的项趋向于一个确定的数值。
数列极限的知识点总结
数列极限的知识点总结一、数列极限的定义1.1 数列首先要了解数列的概念。
数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的有序集合。
数列通常用符号{an}表示，其中an代表数列的第n个元素。
数列是数学中一种基本的数学概念，它在许多数学问题中都起着重要的作用。
1.2 数列极限接着要了解数列的极限。
数列{an}的极限是指当n趋向于无穷大时，数列中的元素an的值趋近于一个常数L，即lim(an) = L。
如果这样一个数L存在，那么我们就说数列{an}收敛，并且把L称为数列的极限，记作lim(an) = L。
如果这样一个数L不存在，那么我们就说数列{an}发散。
1.3 数列极限的形式化定义对于给定的数ε，如果存在一个正整数N，使得当n大于N时，|an - L| < ε恒成立，那么称L是数列{an}的极限。
这样的N存在的话，就称这N是数L和ε的函数。
1.4 无穷大数列如果数列{an}中的元素an当n趋向于无穷大时，它的绝对值|an|趋向于无穷大，那么就称数列{an}是无穷大的。
对于无穷大数列，我们通常用符号lim(an) = ±∞来表示。
1.5 注意事项在讨论数列极限的问题时，需要注意以下几点：1) 数列的极限可能是一个有限的常数，也可能是无穷大。
2) 一般来说，数列的极限不一定存在，也可能有多个极限（一般在不同n的取值范围内）。
3) 要特别注意当n趋于无穷大时，数列中的元素an的绝对值的行为，关系到数列是否是无穷大数列。
以上是数列极限的基本概念和定义，下面我们将介绍数列极限的相关性质。
二、数列极限的相关性质2.1 唯一性如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。
换句话说，如果lim(an) = L1和lim(an) = L2，那么L1 = L2。
2.2 有界性如果数列{an}收敛，那么它一定是有界的，即存在一个正实数M，使得|an| < M（n∈N）。
2.3 保号性如果数列{an}收敛到一个有限的极限L，那么当n充分大时，数列{an}的元素和L有相同的正负号。
数列知识点总结
数列知识点总结等差数列知识要点1．递推关系与通项公式m n a a d n a a d d n a a dm n a a dn a a da a m nn n m n n n n --=--=--=-+=-+==-+1;)1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系： 为常数）即：特征：m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(),(1+==-+= ),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。
2．等差中项：若c b a ,,成等差数列，则b 称c a 与的等差中项，且2c a b +=；c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。
3．前n 项和公式 2)(1n a a S n n += ； 2)1(1d n n na S n -+= ),()(,)2(22212为常数即特征：B A Bn An S BnAn n f S n d a n d S n n n +=+==-+=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。
4．等差数列{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若反之，不成立。
⑵d m n a a m n )(-=-⑶m n m n n a a a +-+=2⑷n n n nn S S S S S 232,,--仍成等差数列。
5．判断或证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1⇒{}n a 是等差数列②中项法：)221*++∈+=N n a a a n n n （⇒{}n a 是等差数列③通项公式法： ),(为常数b k b kn a n +=⇒{}n a 是等差数列④前n 项和公式法：),(2为常数B A Bn An S n +=⇒{}n a 是等差数列等比数列知识要点1． 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为)0≠q q ，（。
完整版)数列知识点归纳
完整版)数列知识点归纳数列一、等差数列性质总结1.等差数列的定义式为：$a_n-a_{n-1}=d$（其中$d$为常数，$n\geq2$）；2.等差数列通项公式为：$a_n=a_1+(n-1)d$（其中$a_1$为首项，$d$为公差）推广公式为：$a_n=a_m+(n-m)d$。
因此，$d=\frac{a_n-a_m}{n-m}$；3.等差数列中，如果$a$、$A$、$b$成等差数列，那么$A$叫做$a$与$b$的等差中项，即$A=\frac{a+b}{2}$；4.等差数列的前$n$项和公式为：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}=\frac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}$。
特别地，当项数为奇数$2n-1$时，$a_n$是项数为$2n-1$的等差数列的中间项，且$S_{2n-1}=n\cdot a_n$；5.等差数列的判定方法：1）定义法：若$a_n-a_{n-1}=d$或$a_{n+1}-a_n=d$（常数$n\in N^*$），则$\{a_n\}$是等差数列；2）等差中项：数列$\{a_n\}$是等差数列，当且仅当$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$（$n\geq2$，$n\in N^*$）；3）数列$\{a_n\}$是等差数列，当且仅当$a_n=kn+b$（其中$k$、$b$为常数）；4）数列$\{a_n\}$是等差数列，当且仅当$S_n=An^2+Bn$（其中$A$、$B$为常数）；6.等差数列的证明方法：定义法：若$a_n-a_{n-1}=d$或$a_{n+1}-a_n=d$（常数$n\in N^*$），则$\{a_n\}$是等差数列；等差中项性质法：$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$（$n\geq2$，$n\in N^+$）。
7.提醒：1）等差数列的通项公式及前$n$项和公式中，涉及到5个元素：$a_1$、$d$、$n$、$a_n$及$S_n$，其中$a_1$、$d$称作为基本元素。
高考数学知识点总结之数列公式及结论总结
高考数学知识点总结之数列公式及结论总结一、高中数列基本公式：1、一般数列的通项an与前n项和Sn的干系：an=2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (此中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d0时，an是关于n的一次式;当d=0时，an是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式：Sn=Sn=Sn=当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a10)，Sn=na1是关于n的正比例式。
4、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k(此中a1为首项、ak为已知的第k项，an0)5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式);当q1时，Sn=Sn=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列{an}的恣意一连m项的和组成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等差数列。
2、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则3、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则4、等比数列{an}的恣意一连m项的和组成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等比数列。
5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。
6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列{anbn}、仍为等比数列。
7、等差数列{an}的恣意等隔断的项组成的数列仍为等差数列。
8、等比数列{an}的恣意等隔断的项组成的数列仍为等比数列。
9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d;四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq;四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?) 11、{an}为等差数列，则(c0)是等比数列。
12、{bn}(bn0)是等比数列，则{logcbn} (c0且c1) 是等差数列。
数列知识点、公式总结
数列知识点、公式总结一、数列的概念 1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a ，简记为数列{}n a ，其中第一项1a 也成为首项；na 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集N *（或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限； （2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成()n a f n =，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列{}n a ，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即1n n a a +>，那么这个数列叫做递增数列;如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列;如果数列{}n a 的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列 1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.3、等差中项：（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且=2a bA +; （2）若数列{}n a 为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是n a 与2n a +的等差中项，且21=2n n n a a a +++；反之若数列{}n a 满足21=2n n n a a a +++，则数列{}n a 是等差数列.4、等差数列的性质： （1）等差数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列；（3）等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔为递增数列，{}0n d a <⇔为递减数列，{}0n d a =⇔为常数列.5、等差数列的前n 项和n S ：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+6、等差数列前n 和的性质：（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等差数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭当0d ≠时，n S 可看作关于n 的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则()11==,n S n S S a S n++-奇奇偶偶中间项且若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，则1==.n nS a S S nd S a +-偶奇偶奇且7、等差数列前n 项和n S 的最值问题： 设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和；（2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列 1、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）. 即()1n na q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：()11,,n n m n m a a q a q n m n m N --+==≥∈、.3、等比中项：（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且2=A ab ;（2）若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列，即1n a +是n a 与2n a +的等比中项，且212=n n n a a a ++⋅；反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++⋅，则数列{}n a 是等比数列.4、等比数列的性质： （1）等比数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ⋅=⋅，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅也为等比数列；（3）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则{}1100101na a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩或为递增数列，{}1100011n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或为递减数列，{}1n q a =⇔为常数列.5、等比数列的前n 项和：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则()11,1.1,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n 项和性质：设等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为()0q q ≠，则（1）连续m 项的和仍组成等比数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m ma a a +++++,仍为等比数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）； （2）当1q ≠时，()()11111111111111n n n n n a q a a a a aS q q q qq q q q q -==⋅-=-⋅=⋅-------， 设11a t q =-，则n n S tq t =-.四、递推数列求通项的方法总结 1、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列. 2、两个恒等式： 对于任意的数列{}n a 恒有：（1）()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-（2）()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈3、递推数列的类型以及求通项方法总结： 类型一（公式法）：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥类型二（累加法）：已知：数列{}n a 的首项1a ,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-可得：()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-类型三（累乘法）：已知：数列{}n a 的首项1a ,且()()1,n na f n n N a ++=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得：()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-类型四（构造法）：形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1（q p b k ,,,为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。
《数列》知识点、题型、解法全方位解析
《数列》知识点、题型、解法全方位解析 内蒙古赤锋阿旗天山一中：尹国玉数列的基础知识与一般性结论：(一)数列的概念：项，项数。
一般式：}{n a 或 ,,,,,4321n a a a a a注:①数列与函数的关系：数列可以看作是一个定义域为正自然数集N 或它的有限子集{1，2，3，……，n}的函数.当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式a n =f(n)就是该函数的解析表达式,数列的图象是一个点列.因此在学习数列时还应学会用函数的观点、方法研究数列.②数列分有穷数列与无穷数列。
(二)数列的有关公式：（注：并不是所有的数列都有各种公式，）1.递推公式：如)(1n n a f a =+或),(12n n n a a f a ++=等，即由数列的前若干项表示后一项的关系式，2.通项公式：a n =f(n)即由项数来表示项的关系式，即第n 项，3.前n 项和公式：①有穷数列和:即用n 表示前n 项和的式子，（有时也用售含有项和项数的混合式子表示，如2)(1n n a a n S +=）注:掌握数列的通项n a 与前n 项和n S （前项积n G ）之间的关系式n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n .n a =11(1)(2)n n G n G n G -=⎧⎪⎨≥⎪⎩②*无究数列和(前n 项和的极限): n n S lin S →+∞=(三)定义数列的方式方法:1.用递推公式定义:①简单一阶线性递归数列:等差等比数列等. ②简单一阶分式递归数列(倒数成等差数列) ③简单的周期数列; ④其它形式:2.用通项公式定义:3.用和或和与项的关系定义. (四)数列的图象(五)数列的单调性及最值 (六)数列的分类1.从项的个数上分:有穷数列,无穷数列.2.从”函数”类型及项与项的关系分:①简单数列:等差数列;等比数列;调和数列;幂级数.②复杂数列(数列的组合):复合数列;组合数列;分段数列;子数列. 3.从数列的性质分:单调数列;摆动数列;周期数列;不规则数列。
数列知识点总结及结论
数列知识点总结及结论一、数列的概念及分类数列是按照一定的顺序排列的一组数的集合。
在数学中，数列是一个非常重要的概念，它被广泛应用在各个领域，如微积分、概率论、离散数学等。
数列有多种分类方式，根据数列的各个项之间的关系不同可以将数列分为等差数列、等比数列、递推数列等。
在日常生活中，数列也有着广泛的应用，如金融领域中的利息计算，物理学中的等速运动等。
二、等差数列等差数列是一种非常简单的数列，其特点是数列中每一项与前一项的差是一个常数。
等差数列的通项公式为An = A1 + (n-1)d。
其中An表示等差数列中第n项的值，A1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差。
例如，1，3，5，7，9就是一个公差为2的等差数列。
在等差数列中，我们可以根据已知的条件，求出数列的首项、公差、任意项的值，以及数列的前n项和等一系列问题。
三、等比数列等比数列是另一种常见的数列，其特点是数列中每一项与前一项的比是一个常数。
等比数列的通项公式为An = A1 * q^(n-1)。
其中An表示等比数列中第n项的值，A1表示等比数列的首项，q表示等比数列的公比。
例如，1，2，4，8，16就是一个公比为2的等比数列。
在等比数列中，也可以根据已知的条件，求出数列的首项、公比、任意项的值，以及数列的前n项和等一系列问题。
四、递推数列递推数列是一种通过前一项来定义后一项的数列。
其通项公式并不是一个固定的公式，而是通过给定的递推关系来确定。
例如，斐波那契数列就是一个著名的递推数列，其定义为F(1)=1, F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)。
通过这个递推关系，我们可以得到斐波那契数列的每一项的值。
递推数列在计算机科学中有着广泛的应用，如动态规划算法、图论算法等。
它们的特点是可以通过已知的前几项来求得后面的项，而不需要知道整个数列的所有项。
五、数列的运算数列的运算是数列学习中的重要内容之一。
在数列的运算中，主要包括数列的加法、减法、乘法、除法等。
数列的知识点公式总结
数列的知识点公式总结一、数列的概念数列是按照一定的顺序排列的一系列数字的集合。
数列中的每一个数字被称作数列的项，用泛指变量表示，通常用字母表示。
通常我们用 {an} 表示一个数列，其中 n 表示数列的项数。
例如，{1, 2, 3, 4, 5, ...} 就是一个自然数列，其中的每一项都是自然数。
数列的项数可以是有限个，也可以是无限个。
当数列的项数是有限个时，这样的数列被称为有限数列；而当数列的项数是无限个时，这样的数列被称为无限数列。
数列中每一项的下标也称为项数，通常用 n 表示。
当数列的项数是有限个时，数列通常按照从小到大的顺序排列；当数列的项数是无限个时，数列可能有很多不同的排列方式。
数列的项可能是整数、分数、小数等各种类型的数。
而数列的项之间的关系按照一定的规律排列，这种规律可以通过不同的方式进行描述，如递推关系、通项公式等。
二、等差数列等差数列是一种常见的数列类型，其中相邻两项之间的差值是一个常数。
等差数列通常用{an} 表示，其中 a1、a2、a3、... 分别表示数列中的第一项、第二项、第三项等。
等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中 a1 表示数列的第一项，d 表示数列的公差，n 表示数列的项数。
例如，数列 {3, 6, 9, 12, 15, ...} 就是一个等差数列，其中公差为 3。
这个数列的通项公式可以表示为 an = 3 + (n-1)×3。
如果给定一个等差数列的前 n 项和 Sn，那么其求和公式为：Sn = n/2×(a1 + an)，其中 a1表示数列的第一项，an 表示数列的第 n 项。
等差数列有一个重要的性质，即等差数列的中项等于其首项与末项的算术平均数。
即(an + a1)/2 = an表示数列的中项。
三、等比数列等比数列是另一种重要的数列类型，在等比数列中，相邻两项的比值是一个常数。
等比数列通常用{an} 表示，其中a1、a2、a3、... 分别表示数列中的第一项、第二项、第三项等。
数列知识点及常用结论
数列知识点及常用结论数列是数学中一个重要的概念，它在数学中的应用非常广泛。
在学习数列时，我们不仅需要掌握数列的定义和性质，还需要了解数列的分类、递推关系以及求和公式等常用结论。
下面将详细介绍数列的相关知识点及常用结论。
首先，数列是由一串有序的数按照一定规律排列而成的序列。
数列中的每一个数称为该数列的项，用字母表示。
数列中的项可以是整数、小数或者分数。
根据数列的特点，我们可以将数列分为以下几类：1.等差数列：等差数列是指数列中的相邻两项之差为常数的数列。
常数差值称为等差数列的公差，用字母d表示。
等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项的值，a1表示第一项的值，n表示项数。
等差数列的求和公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示前n项和。
2.等比数列：等比数列是指数列中的相邻两项之比为常数的数列。
常数比值称为等比数列的公比，用字母q表示。
等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n-1)，其中an表示第n项的值，a1表示第一项的值，n表示项数。
等比数列的求和公式分为两种情况：-当公比q不等于1时，求和公式为：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。
-当公比q等于1时，求和公式为：Sn=n*a13.奇数列和偶数列：奇数列和偶数列是指数列中的奇数项和偶数项所构成的数列。
奇数列和偶数列之间存在对应关系。
4.斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项的和。
斐波那契数列的通项公式为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中Fn表示第n项的值，F1=1，F2=1除了上述数列的分类，我们还需要掌握一些数列的常用结论，包括：1.数列的最大值和最小值：对于递增数列，最大值为最后一项；对于递减数列，最大值为第一项。
同理，对于递增数列，最小值为第一项；对于递减数列，最小值为最后一项。
2.数列的递推关系：数列中的每一项都可以通过前几项的值来确定。
递推关系可以是线性的，如等差数列和等比数列；也可以是非线性的，如斐波那契数列。
数学数列知识点归纳总结
数学数列知识点归纳总结数学中，数列是一系列按照特定顺序排列的数。
数列在数学和实际问题中都扮演着重要的角色。
理解和掌握数列的性质和特点，对于解决数学问题和应用数学于实际生活中具有重要意义。
本文将对数学数列相关的知识点进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用数列。
一、数列的定义和分类数列是指按一定顺序排列的数的集合。
根据数列的性质和特点，可以将数列分为等差数列、等比数列、递增数列、递减数列等。
1. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之间的差恒定的数列。
等差数列可以用公式an = a1 + (n - 1)d来表示，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
2. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之间的比恒定的数列。
等比数列可以用公式an = a1 * r^(n - 1)来表示，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
3. 递增数列：递增数列是指数列中每一项都比前一项大的数列。
4. 递减数列：递减数列是指数列中每一项都比前一项小的数列。
二、数列的性质和运算了解数列的性质和运算规则，对于推导和计算数列的各种问题具有重要作用。
1. 数列的通项公式：数列的通项公式是指用一个公式来表示数列的每一项。
根据数列的性质和规律，可以通过观察和推导得到数列的通项公式。
2. 数列的前n项和：数列的前n项和是指数列中前n项的和。
对于等差数列、等比数列以及其他一些特殊数列，可以通过一定的方法得到前n项和的表达式。
3. 数列的运算：数列之间可以进行加法、减法和乘法运算。
对于等差数列和等比数列，可以通过运算得到新的数列，便于求解特定问题。
三、数列在实际问题中的应用数列在实际问题中的应用非常广泛，可以帮助解决各种计数、推导和预测等问题。
1. 数列的应用于数学问题：数列可以用于解决各种与数学相关的问题，如计数问题、排列组合问题、函数图像的刻画等。
2. 数列的应用于自然科学：数列在自然科学中的应用也非常广泛，可以用于描述自然界中一些变化的规律，如物种数量的变化、天体运动的轨迹等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数列知识点及常用结论一、等差数列（1）等差数列的基本公式①通项公式：1(1)n a a n d =+- （从第1项1a 开始为等差）()n m a a n m d =+- （从第m 项m a 开始为等差）()n m n m n m a a nd a a n m d a a d n m -=⎧⎪=+-⇒⎨-=⎪-⎩②前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ （2）证明等差数列的法方①定义法：对任意的n ，都有1n n a a d +-=（d 为常数）⇔{}n a 为等差数列 ②等差中项法：122n n n a a a ++=+（n ∈*N ）⇔{}n a 为等差数列③通项公式法：n a =pn+q (p ，q 为常数且p ≠0) ⇔{}n a 为等差数列即：通项公式位n 的一次函数，公差d p =，首项1a p q =+④前n 项和公式法：2n S pn qn =+ (p ， q 为常数) ⇔{}n a 为等差数列即：关于n 的不含常数项的二次函数（3）常用结论①若数列{}n a ，{}n b 为等差数列，则数列{}n a k +，{}n k a ，{}n n a b ±，{}n ka b + (k ， b 为非零常数)均为等差数列.②若m+n=p+q (m ，n ，p ，q ∈*N )，则n m a a +=p q a a +.特别的，当n+m=2k 时，得n m a a +=2k a③在等差数列{}n a 中，每隔k(k ∈*N )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公差为(k+1)d(例如：1a ，4a ，7a ，10a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅仍为公差为3d 的等差数列)④若数列{}n a 为等差数列，则记12k k S a a a =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，2122k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，3221223k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，则k S ，2k k S S -，32k k S S -仍成等差数列，且公差为2k d ⑤若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则数列{}n S n 也为等差数列. ⑥ 11,(1),(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 此性质对任何一种数列都适用 ⑦求n S 最值的方法：I: 若1a >0，公差d<0，则当100k k a a +≥⎧⎨≤⎩时，则n S 有最大值,且k S 最大； 若1a <0，公差d>0，则当100k k a a +≤⎧⎨≥⎩时，则n S 有最小值，且k S 最小； II ：求前n 项和2n S pn qn =+的对称轴，再求出距离对称轴最近的正整数k ，当n k = 时，k S 为最值，是最大或最小，通过n S 的开口来判断。
二、等比数列（1）等比数列的基本公式①通项公式：11n n a a q -= （从第1项1a 开始为等比）n m n m a a q -= （从第m 项m a 开始为等差）②前n 项和公式：1(1),(1)1n n a q S q q-=≠-，1,(1)n S na q == （2）证明等比数列的法方①定义法：对任意的n ，都有1(0)n n n a qa a +=≠⇔1n na q a +=(q ≠0) ⇔{}n a 为等比数列②等比中项法：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列③通项公式法：1(,0n n a aq a q -=是不为的常数)⇔{}n a 为等比数列（3）常用结论①若数列{}n a ，{}n b 为等比数列，则数列1{}n a ，{}n k a ，2{}n a ，21{}n a -，{}n n a b {}n n a b (k 为非零常数) 均为等比数列.②若m+n=p+q (m ， n ， p ， q ∈*N )，则n m a a =p q a a .特别的，当n+m=2k 时，得n m a a =2k a③在等比数列{}n a 中，每隔k(k ∈*N )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等比数列，且公比为1k q + (例如：1a ，4a ，7a ，10a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅仍为公比3q 的等比数列) ④若数列{}n a 为等差数列，则记12k k S a a a =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，2122k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，3221223k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，则k S ，2k k S S -，32k k S S -仍成等比数列，且公差为k q三、求任意数列通项公式n a 的方法（1）累加法：若n a 满足a n+1=a n +f(n)利用累加法求：n a 12132431()()()()n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+- 例题：若11=a ，且12+=+n n a a n ，求：n a练习题：若数列n a 满足1120++--=n n n a a ，且10=a（2）累乘法：若n a 满足1()+=⋅n n a f n a 利用累乘法求：n a 32411231()()()()n n n a a a a a a a a a a -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 例题：在数列{a n }中，1111,2++==n n n a a a n，求：n a .练习题：在数列{a n }中，11a =且1n n a na +=，求：n a （提示：123......!n n ⨯⨯⨯=）（3）递推公式中既有n S ，又有n a ，用逐差法11n n n S a S S -⎧=⎨-≥⎩ n=1 n 2特别注意：该公式对一切数列都成立。
（4）若n a 满足1,()+=+≠n n a pa q p q ，则两边加：1=-q x p ，在提公因式P ，构造出一个等比数列，再出求：n a 例题：已知数列{}n a ，满足：121+=+n n a a ，且11=a ，求：n a习题1：已知数列{}n a 满足：131+-=n n a a 且11=a ，求：n a习题2：已知数列{}n a 满足：12a =，且n n S a n +=，求：n a（5）若n a 满足1++=+n k n n a pa p ，则两边同时除以：1+n p ，构造出一个等差数列，再求出：n a例题：已知n a 满足：11=a 1122-+=+n n n a a ，求：n a解：111122222-++=+⇒=+n n n n n n n a a a a ，既有：11222+-=n n n n a a 所以：2⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n a 是首项为：1122=a ，公差12=d 的等差数列11(1)2222=+-⨯=∴n n a n n 所以：1222-=⋅=⋅n n n n a n习题1：已知1133++-=n n n a a 且11=a ，求：n a习题2：已知11232n n n a a -+=+⋅且11a =，求：n a（六）待定系数法：若{}n a 满足以下关系：()1n n a ka f n +=+ 都可用待定系数法转变成一个等比数列来：温馨提示：提k ，对()f n 待定系数例题1：已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式. 解：11152(5)235++++⋅=+⋅⇒=-⋅n n n n n n n a x a x a a x ，与原式对应得，1=-x1111552(5)25++++--=-⇒=-∴n n nn n n n n a a a a 所以：{}5-n n a 是首项1151-=a ，公比2=q 的等比数列既有：115252---=⇒=+n n n n n n a a例题2：已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式. 解：11123(2)322++++⋅+=+⋅+⇒=+⋅+n n n n n n n a x y a x y a a x y ，与原式对应得：5,2==x y11115225223(522)3522+++++⋅++⋅+=+⋅+⇒=+⋅+∴n n n n n n n n a a a a所以：{}522+⋅+n n a 是首项为：1152213+⋅+=a ，公比3=q 的等比数列既有：11522133133522--+⋅+=⋅⇒=⋅-⋅-n n n n n n a a（七）颠倒法：若{}n a 满足：1n n n C a a a C+⋅=+，用颠倒法； 11111n n n n n n nn n n C a a C a C a a C a C a C a C a C a ++⋅+=⇒==+=++⋅⋅⋅ 所以：1111n n a a C +-=，所以：1{}n a 是以首项为：11a ，公差1d C=的等差数列例题1：已知122n n n a a a +⋅=+，且12a =，求：n a例题2：已知1133n n n n a a a a ++⋅=-，且11a =，求：n a（八）倒数换元法：若数列{}n a 满足：1+⋅=⋅+n n n A a a B a C ，则颠倒变成111n n n n B a C C B a A a A a A+⋅+==⋅+⋅ 然后再用两边加：1-q p 或者待定系数法既可求出1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a ，再颠倒就可得到：{}n a 例题：若数列{}n a 满足：123+=+n n n a a a ，且11=a ，求：n a 解：1121311322++=⇒=⋅++n n n n n a a a a a ，两边加：1得：11313122++=⋅+n n a a 111113131(1)1221+++∴+=+⇒=+n n n na a a a ， 所以：11⎧⎫+⎨⎬⎩⎭n a 是首项为：1112+=a ，公比：32=q 的等比数列； 既有：122121213132212()2232--------+=⋅⇒=⇒=-n n n n n n n n n n a a a 若用待定系数法：11121311131()3222+++=⇒=⋅+⇒+=++n n n n n n na a x x a a a a a11131313112222+++=+⇒=+n n n n x x x a a a a 与原式子对应得1=x ，然后的方法同上；习题：已知1132n n n n a a a a ++⋅=-且11a =，求：n a四、求前n 项和S n 的方法（1）错位相减求和主要适用于等差数列和等比数列乘积的数列的前n 项和；或者是等差与等比的商的前n 项和；（是商的时候，适当转变一下就变成了乘积形式）。