数列知识点常用结论

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高中数学数列知识点总结(精华版)

高中数学数列知识点总结(精华版)

..一、数列1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项.⑴数列中的数是按一定“次序〞排列的,在这里,只强调有“次序〞,而不强调有“规律〞.因此,如果组成两个数列的数一样而次序不同,那么它们就是不同的数列.⑵在数列中同一个数可以重复出现.⑶项a n与项数n是两个根本不同的概念.⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,但函数不一定是数列2.通项公式:如果数列a n的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式,即af(n)n.3.递推公式:如果数列a n的第一项〔或前几项〕,且任何一项a n与它的前一项a〔或前几项〕间的关系可以用一个式子来表示,即a n f(a n1)或a n f(a n1,a n2),n1那么这个式子叫做数列a的递推公式.如数列an中,a11,a n2a n1,其中na n2a n1是数列a n的递推公式.4.数列的前n项和与通项的公式①Sn a1a2a;②nS(n1)1a n.SS(n2)nn15.数列的表示方法:解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类:有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;有界数列,无界数列.①递增数列:对于任何nN,均有a n1a n.②递减数列:对于任何nN,均有a n1a n.③摆动数列:例如:1,1,1,1,1,.④常数数列:例如:6,6,6,6,⋯⋯.⑤有界数列:存在正数M使a n M,n N.⑥无界数列:对于任何正数M,总有项a使得a n M.n1、n*a2(nN)nn156,那么在数列{}a的最大项为__〔答:n125〕;2、数列{}a的通项为nana n,其中a,b均为正数,那么a n与a n1的大小关系为___〔答:bn1aa n1〕;n23、数列{a}中,a是递增数列,XX数的取值X围〔答:3〕;ann,且{}nnn4、一给定函数yf(x)的图象在以下图中,并且对任意a(0,1),由关系式a n1f(a n)1*得到的数列{}a满足a n1a n(nN),那么该函数的图象是〔〕〔答:A〕neord完美格式..二、等差数列1、等差数列的定义:如果数列a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫等差数列的公差。

高中数学_数列知识点汇总

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必修5 数列知识点小结【等差数列】1. 证明方法:①递推关系(定义):)(1*+∈=-N n d da a n n 为常数,②等差中项法:112+-+=n n n a a a )1(>n判断方法:③通项公式q pn d n a a n +=-+=)1(1(其中p,q 为常数) ④前n项和Bn An 2+=-+=+=d n n n a a a n S n n 2)1(2)(11(A,B 为常数)2. 等差中项:b A a ,,成等差数列,A 称为b a 与的等差中项(其中b a 与为任意实数, A 存在且唯一),2b a A b a A +=⇔的等差中项与为即3. 等差数列性质:(1) 任两项关系:nm a a mn a a d n m m n --=--=(其中n m ≠)(2) 任两项关系:d m n a a m n )(-+=(其中n m ≠)(3) 是递增数列;数列}a {,0d n >是递减数列;数列}a {,0d n <是常数列数列}a {,0d n =。

(4) 两和式项数相同,下标和相等,则两式相等,如:112+-+=n n n a a a (其中n>1, n n n a a a +=2) k n k n n a a a +-+=2(其中n-k>0, n n n a a a +=2)特别若q p n m a a a a q p n m +=++=+则,k q p s n m a a a a a a k q p s n m ++=++++=++则,(5) {}{}n n b a ,为项数相同的等差数列(或无穷数列),则:①:k m a +、k m a 2+、k m a 3+、k m a 4+…成等差数列(其中k m ,为常数) ②:{}k a n +、{}n n b q a p ∙+∙为等差数列,(其中q p k ,,为常数)(6) 前n 项和性质:①:成等差数列,,,232k k k k k S S S S S --②:⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列。

数列复习基本知识点及经典结论总结+练习题

数列复习基本知识点及经典结论总结+练习题

数列复习基本知识点及经典结论总结1、数列的概念:数列是按一定次序排成的一列数。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n })的特殊函数,如果数列{}a n 的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示,则这个公式就叫做这个数列的通项公式。

数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

如(1)已知*2()156n n a n N n =∈+,则在数列{}n a 的最大项为__(答:125);(2)数列}{n a 的通项为1+=bn an a n ,其中b a ,均为正数,则n a 与1+n a 的大小关系为___(答:n a <1+n a );(3)已知数列{}n a 中,2n a n n λ=+,且{}n a 是递增数列,求实数λ的取值范围(答:3λ>-);(4)一给定函数)(x f y =的图象在下列图中,并且对任意)1,0(1∈a ,由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+,则该函数的图象是()(答:A )A B C D递推关系式:已知数列{}a n 的第一项(或前几项),且任何一项a n 与它的前一项a n 1-(前n 项)间的关系可以用一个式子来表示,则这个式子就叫数列的递推关系式。

数列的前n 项和:a a a a s n n ++++=...321.已知s n 求a n 的方法(只有一种):即利用公式 a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥=--)2(,)1(,11n n s s s n n注意:一定不要忘记对n 取值的讨论!最后,还应检验当n=1的情况是否符合当n ≥2的关系式,从而决定能否将其合并。

2.等差数列的有关概念: 1、 等差数列的定义:即)2,*(1≥∈=--n N n d a a n n 且.(或)*(1N n d a a n n ∈=-+). (1) 等差数列的判断方法:①定义法:)(1常数d a a n n =-+⇔{}a n 为等差数列。

数列极限知识点归纳总结

数列极限知识点归纳总结

数列极限知识点归纳总结数列是数学中的一个重要概念,由一系列有序的数字组成。

数列极限是数列在无穷项处的趋势或趋近的值。

在数学分析中,数列极限是一个基本的概念,具有广泛的应用。

本文将对数列极限的相关知识进行归纳总结,并以此为标题。

一、数列的定义和性质1. 数列的定义:数列是按照一定的规律排列的一系列数字。

2. 数列的通项公式:数列中的每一项可以用一个公式来表示,这个公式称为数列的通项公式。

3. 数列的性质:数列可以是有界的或无界的,可以是递增的或递减的,还可以是周期性的或非周期性的。

二、数列的极限1. 数列的极限定义:对于一个数列,如果随着项数的增加,数列中的元素逐渐接近一个确定的值,那么这个确定的值就是数列的极限。

2. 数列极限的表示:数列极限常用符号lim表示,写作lim(an)=a,其中an为数列的第n项,a为数列的极限。

3. 数列极限的存在性:数列的极限可能存在,也可能不存在。

如果数列极限存在,则称数列收敛;如果数列极限不存在,则称数列发散。

三、数列极限的计算方法1. 直接计算法:对于一些简单的数列,可以通过对数列的通项公式进行计算,得到数列的极限。

2. 套路法:对于一些特殊的数列,可以利用一些已知的极限结果和数列运算的性质,通过一些套路求得数列的极限。

3. 夹逼准则:对于一些复杂的数列,可以通过夹逼准则来求得数列的极限。

夹逼准则指的是如果数列a(n)≤b(n)≤c(n),且lim(a(n))=lim(c(n))=a,那么lim(b(n))=a。

四、数列极限的性质1. 唯一性:如果数列极限存在,则极限值唯一。

2. 保号性:如果数列的极限为正数(负数),那么数列的项数足够大时,数列的元素大于(小于)零。

3. 有界性:如果数列的极限存在,则数列有界。

五、数列极限的应用1. 函数极限:函数极限是数列极限的推广,通过将自变量取为数列,将函数值作为数列的项,就可以研究函数的极限。

2. 数列极限在微积分中的应用:数列极限在微积分中有广泛的应用,如计算导数、积分等。

数列知识点归纳总结讲义

数列知识点归纳总结讲义

数列知识点归纳总结讲义数列是数学中常见的一个概念,它在各个领域都有广泛的应用。

正如其名称所示,数列是一系列按照特定规律排列的数的集合。

在学习和应用数列时,我们需要了解一些基本概念和常见的数列类型。

本文将对数列的知识点进行归纳总结,帮助读者更好地理解和掌握相关概念。

一、数列的基本概念1. 数列的定义:数列是按照一定的规律排列的一组数,用字母表示为{a₁,a₂,a₃,...}。

2. 项与序号:数列中的每个数称为项,对应的位置称为序号。

第一项为a₁,第二项为a₂,以此类推。

3. 通项公式:数列中每个项与它所在的序号之间存在着一定的关系,这种关系用通项公式来表示,通常用aₙ表示第n个项的值。

4. 数列的有穷与无穷:当数列中的项有限个时,称其为有穷数列;当数列中的项无限多时,称其为无穷数列。

二、常见的数列类型1. 等差数列:等差数列是一种最为常见的数列类型,其特点是每个项之间的差值相等。

通项公式:aₙ = a₁ + (n - 1)d其中,a₁为首项,d为公差,n为项数。

例如:2,5,8,11,14...就是一个以3为公差的等差数列。

2. 等比数列:等比数列是指数列中每个项与它前一项的比值相等的数列。

通项公式:aₙ = a₁ * r^(n-1)其中,a₁为首项,r为公比,n为项数。

例如:1,2,4,8,16...就是一个以2为公比的等比数列。

3. 斐波那契数列:斐波那契数列是指从第3项开始,每个项都是前两项的和。

通项公式:aₙ = aₙ₋₂ + aₙ₋₁其中,a₁和a₂为斐波那契数列的前两项。

例如:1,1,2,3,5,8,13...就是一个斐波那契数列。

4. 平方数列:平方数列是指数列中每个项都是某个整数的平方。

通项公式:aₙ = n²其中,n表示项数。

例如:1,4,9,16,25...就是一个平方数列。

5. 等差数列与等比数列混合:有时数列中既存在等差关系,又存在等比关系,称其为等差数列与等比数列混合数列。

数列的相关知识点总结

数列的相关知识点总结

数列的相关知识点总结一、数列的定义数列是按照顺序排列的一组数字。

数列中的每个数字称为这个数列的项,通常用字母来表示数列的项,例如a₁, a₂, a₃, …, aₙ。

其中n代表数列的项数,称为数列的长度或者规模。

数列通常用一个通用公式来表示,这个公式描述了数列中每一项与前一项的关系,通常用递推公式或者递归公式来表示。

例如,斐波那契数列就是一个典型的递推数列,它的通用公式为Fn = Fn-1 + Fn-2,其中F₁ = 1, F₂ = 1。

二、常见的数列类型1. 等差数列:等差数列是指数列中相邻两项的差值是一个常数的数列,这个常数称为公差。

等差数列的通用公式为an = a1 + (n-1)d,其中a₁为第一项,d为公差,n为项数。

2. 等比数列:等比数列是指数列中相邻两项的比值是一个常数的数列,这个常数称为公比。

等比数列的通用公式为an = a₁ * rⁿ⁻¹,其中a₁为第一项,r为公比,n为项数。

3. 斐波那契数列:斐波那契数列是一个非常特殊的数列,它的每一项都等于前两项的和。

这个数列的通用公式为Fn = Fn-1 + Fn-2,其中F₁ = 1, F₂ = 1。

三、数列的性质1. 数列的有界性:如果数列中的所有项都不大于一个常数M,那么这个数列就是有上界的;如果数列中的所有项都不小于一个常数N,那么这个数列就是有下界的。

如果一个数列既有上界又有下界,则称其为有界数列。

2. 数列的单调性:如果数列中任意相邻两项的大小关系保持不变,那么这个数列就是单调数列。

如果数列中的每一项都大于前一项,那么这个数列就是严格递增的;如果数列中的每一项都小于前一项,那么这个数列就是严格递减的。

3. 数列的极限性质:数列的极限是指数列中的项随着项数趋向于无穷大时的极限值。

如果一个数列存在有限的极限,则称其为收敛数列;如果数列的项随着项数趋向于无穷大时趋向于无穷大或者无穷小,则称其为发散数列。

四、数列的求和公式1. 等差数列的求和公式:等差数列的前n项和可以通过以下公式来计算:Sn = n/2 * (a₁ + an),其中Sn表示前n项和,a₁表示第一项,an表示第n项。

高二数学必修五--数列知识点总结及解题技巧(含答案)---强烈-推荐

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数学数列部分知识点梳理一数列的概念1)数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21; ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n2)数列的分类:①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1)通项公式d n a a n )1(1-+=,1a 为首项,d 为公差。

前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 2)等差中项:b a A +=2。

3)等差数列的判定方法:⑴定义法:d a a n n =-+1(+∈N n ,d 是常数)⇔{}n a 是等差数列;⑵中项法:212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.4)等差数列的性质:⑴数列{}n a 是等差数列,则数列{}p a n +、{}n pa (p 是常数)都是等差数列;⑵在等差数列{}n a 中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列,公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=;b an a n +=(a ,b 是常数);bn an S n +=2(a ,b 是常数,0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ,则q p n m a a a a +=+;⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ,则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列; ⑹当项数为)(2+∈N n n ,则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶;当项数为)(12+∈-N n n ,则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列,则(是常数)是公差为的等差数列;(8)设,,,则有;(9)是等差数列的前项和,则;(10)其他衍生等差数列:若已知等差数列,公差为,前项和为,则①.为等差数列,公差为;②.(即)为等差数列,公差;③.(即)为等差数列,公差为.二、等比数列 1)通项公式:11-=n n q a a ,1a 为首项,q 为公比 。

数列知识点归纳总结

数列知识点归纳总结

数列是数学中的一个重要概念,它是由一系列按照一定规律排列的数组成的。

数列知识点归纳总结如下:一、数列的定义1. 数列是由有限个或无限个数字组成的序列。

2. 数列中的数字按照一定的顺序排列。

3. 数列中的每个数字都有一个对应的位置或项数。

二、数列的分类1. 按项数分类:有限数列和无限数列。

2. 按项的性质分类:整数数列、实数数列、复数数列等。

3. 按项的规律分类:等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

三、等差数列1. 等差数列是指从第二项起,每一项与它的前一项的差都相等的数列。

2. 等差数列的通项公式为:an = a1 + (n-1)d,其中an表示第n项,a1表示第一项,d表示公差。

3. 等差数列的求和公式为:Sn = n/2 * (a1 + an),其中Sn表示前n项和。

四、等比数列1. 等比数列是指从第二项起,每一项与它的前一项的比都相等的数列。

2. 等比数列的通项公式为:an = a1 * r^(n-1),其中an表示第n项,a1表示第一项,r表示公比。

3. 等比数列的求和公式为:Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r),其中Sn表示前n项和。

五、斐波那契数列1. 斐波那契数列是指从第三项起,每一项都是前两项之和的数列。

2. 斐波那契数列的前几项为:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...3. 斐波那契数列没有通项公式,但可以用递归或循环的方式生成。

六、递推关系与通项公式1. 递推关系是指数列中相邻两项之间的关系。

2. 递推关系可以用来推导出数列的通项公式。

3. 通项公式是用来表示数列中任意一项的公式。

4. 通项公式可以通过递推关系、图形法、矩阵法等方式推导得出。

七、数列的应用1. 数列在数学中有广泛的应用,如级数求和、概率计算、线性方程组求解等。

2. 数列在自然科学、经济学、计算机科学等领域也有重要的应用。

八、数列的极限1. 数列的极限是指当项数趋向无穷大时,数列的项趋向于一个确定的数值。

数列极限的知识点总结

数列极限的知识点总结

数列极限的知识点总结一、数列极限的定义1.1 数列首先要了解数列的概念。

数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的有序集合。

数列通常用符号{an}表示,其中an代表数列的第n个元素。

数列是数学中一种基本的数学概念,它在许多数学问题中都起着重要的作用。

1.2 数列极限接着要了解数列的极限。

数列{an}的极限是指当n趋向于无穷大时,数列中的元素an的值趋近于一个常数L,即lim(an) = L。

如果这样一个数L存在,那么我们就说数列{an}收敛,并且把L称为数列的极限,记作lim(an) = L。

如果这样一个数L不存在,那么我们就说数列{an}发散。

1.3 数列极限的形式化定义对于给定的数ε,如果存在一个正整数N,使得当n大于N时,|an - L| < ε恒成立,那么称L是数列{an}的极限。

这样的N存在的话,就称这N是数L和ε的函数。

1.4 无穷大数列如果数列{an}中的元素an当n趋向于无穷大时,它的绝对值|an|趋向于无穷大,那么就称数列{an}是无穷大的。

对于无穷大数列,我们通常用符号lim(an) = ±∞来表示。

1.5 注意事项在讨论数列极限的问题时,需要注意以下几点:1) 数列的极限可能是一个有限的常数,也可能是无穷大。

2) 一般来说,数列的极限不一定存在,也可能有多个极限(一般在不同n的取值范围内)。

3) 要特别注意当n趋于无穷大时,数列中的元素an的绝对值的行为,关系到数列是否是无穷大数列。

以上是数列极限的基本概念和定义,下面我们将介绍数列极限的相关性质。

二、数列极限的相关性质2.1 唯一性如果数列{an}收敛,那么它的极限是唯一的。

换句话说,如果lim(an) = L1和lim(an) = L2,那么L1 = L2。

2.2 有界性如果数列{an}收敛,那么它一定是有界的,即存在一个正实数M,使得|an| < M(n∈N)。

2.3 保号性如果数列{an}收敛到一个有限的极限L,那么当n充分大时,数列{an}的元素和L有相同的正负号。

数列知识点总结

数列知识点总结

数列知识点总结等差数列知识要点1.递推关系与通项公式m n a a d n a a d d n a a dm n a a dn a a da a m nn n m n n n n --=--=--=-+=-+==-+1;)1()()1(1111变式:推广:通项公式:递推关系: 为常数)即:特征:m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(),(1+==-+= ),为常数,(m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。

2.等差中项:若c b a ,,成等差数列,则b 称c a 与的等差中项,且2c a b +=;c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。

3.前n 项和公式 2)(1n a a S n n += ; 2)1(1d n n na S n -+= ),()(,)2(22212为常数即特征:B A Bn An S BnAn n f S n d a n d S n n n +=+==-+=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。

4.等差数列{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+,则若反之,不成立。

⑵d m n a a m n )(-=-⑶m n m n n a a a +-+=2⑷n n n nn S S S S S 232,,--仍成等差数列。

5.判断或证明一个数列是等差数列的方法:①定义法:)常数)(*+∈=-N n d a a n n (1⇒{}n a 是等差数列②中项法:)221*++∈+=N n a a a n n n (⇒{}n a 是等差数列③通项公式法: ),(为常数b k b kn a n +=⇒{}n a 是等差数列④前n 项和公式法:),(2为常数B A Bn An S n +=⇒{}n a 是等差数列等比数列知识要点1. 定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,记为)0≠q q ,(。

完整版)数列知识点归纳

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完整版)数列知识点归纳数列一、等差数列性质总结1.等差数列的定义式为:$a_n-a_{n-1}=d$(其中$d$为常数,$n\geq2$);2.等差数列通项公式为:$a_n=a_1+(n-1)d$(其中$a_1$为首项,$d$为公差)推广公式为:$a_n=a_m+(n-m)d$。

因此,$d=\frac{a_n-a_m}{n-m}$;3.等差数列中,如果$a$、$A$、$b$成等差数列,那么$A$叫做$a$与$b$的等差中项,即$A=\frac{a+b}{2}$;4.等差数列的前$n$项和公式为:$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}=\frac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}$。

特别地,当项数为奇数$2n-1$时,$a_n$是项数为$2n-1$的等差数列的中间项,且$S_{2n-1}=n\cdot a_n$;5.等差数列的判定方法:1)定义法:若$a_n-a_{n-1}=d$或$a_{n+1}-a_n=d$(常数$n\in N^*$),则$\{a_n\}$是等差数列;2)等差中项:数列$\{a_n\}$是等差数列,当且仅当$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$($n\geq2$,$n\in N^*$);3)数列$\{a_n\}$是等差数列,当且仅当$a_n=kn+b$(其中$k$、$b$为常数);4)数列$\{a_n\}$是等差数列,当且仅当$S_n=An^2+Bn$(其中$A$、$B$为常数);6.等差数列的证明方法:定义法:若$a_n-a_{n-1}=d$或$a_{n+1}-a_n=d$(常数$n\in N^*$),则$\{a_n\}$是等差数列;等差中项性质法:$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$($n\geq2$,$n\in N^+$)。

7.提醒:1)等差数列的通项公式及前$n$项和公式中,涉及到5个元素:$a_1$、$d$、$n$、$a_n$及$S_n$,其中$a_1$、$d$称作为基本元素。

高考数学知识点总结之数列公式及结论总结

高考数学知识点总结之数列公式及结论总结

高考数学知识点总结之数列公式及结论总结一、高中数列基本公式:1、一般数列的通项an与前n项和Sn的干系:an=2、等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (此中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d0时,an是关于n的一次式;当d=0时,an是一个常数。

3、等差数列的前n项和公式:Sn=Sn=Sn=当d0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a10),Sn=na1是关于n的正比例式。

4、等比数列的通项公式: an= a1 qn-1 an= ak qn-k(此中a1为首项、ak为已知的第k项,an0)5、等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=n a1 (是关于n的正比例式);当q1时,Sn=Sn=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列{an}的恣意一连m项的和组成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等差数列。

2、等差数列{an}中,若m+n=p+q,则3、等比数列{an}中,若m+n=p+q,则4、等比数列{an}的恣意一连m项的和组成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等比数列。

5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。

6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列{anbn}、仍为等比数列。

7、等差数列{an}的恣意等隔断的项组成的数列仍为等差数列。

8、等比数列{an}的恣意等隔断的项组成的数列仍为等比数列。

9、三个数成等差数列的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d10、三个数成等比数列的设法:a/q,a,aq;四个数成等比的错误设法:a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?) 11、{an}为等差数列,则(c0)是等比数列。

12、{bn}(bn0)是等比数列,则{logcbn} (c0且c1) 是等差数列。

数列知识点、公式总结

数列知识点、公式总结

数列知识点、公式总结一、数列的概念 1、数列的概念:一般地,按一定次序排列成一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项,数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a ,简记为数列{}n a ,其中第一项1a 也成为首项;na 是数列的第n 项,也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集N *(或它的子集)的函数,当自变量从小到大取值时,该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类:按数列中项的多数分为:(1) 有穷数列:数列中的项为有限个,即项数有限; (2) 无穷数列:数列中的项为无限个,即项数无限.3、通项公式:如果数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成()n a f n =,那么这个式子就叫做这个数列的通项公式,数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征:一般地,一个数列{}n a ,如果从第二项起,每一项都大于它前面的一项,即1n n a a +>,那么这个数列叫做递增数列;如果从第二项起,每一项都小于它前面的一项,即1n n a a +<,那么这个数列叫做递减数列;如果数列{}n a 的各项都相等,那么这个数列叫做常数列.5、递推公式:某些数列相邻的两项(或几项)有关系,这个关系用一个公式来表示,叫做递推公式.二、等差数列 1、等差数列的概念:如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的差是同一个常数,那么这个数列久叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=(常数),这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式:设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,则通项公式为:()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.3、等差中项:(1)若a A b 、、成等差数列,则A 叫做a 与b 的等差中项,且=2a bA +; (2)若数列{}n a 为等差数列,则12,,n n n a a a ++成等差数列,即1n a +是n a 与2n a +的等差中项,且21=2n n n a a a +++;反之若数列{}n a 满足21=2n n n a a a +++,则数列{}n a 是等差数列.4、等差数列的性质: (1)等差数列{}n a 中,若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+,若2m n p +=,则2m n p a a a +=;(2)若数列{}n a 和{}n b 均为等差数列,则数列{}n n a b ±也为等差数列;(3)等差数列{}n a 的公差为d ,则{}0n d a >⇔为递增数列,{}0n d a <⇔为递减数列,{}0n d a =⇔为常数列.5、等差数列的前n 项和n S :(1)数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈;(2)数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系:11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩(3)设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ,则前n 项和()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+6、等差数列前n 和的性质:(1)等差数列{}n a 中,连续m 项的和仍组成等差数列,即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等差数列(即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列);(2)等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭当0d ≠时,n S 可看作关于n 的二次函数,且不含常数项;(3)若等差数列{}n a 共有2n+1(奇数)项,则()11==,n S n S S a S n++-奇奇偶偶中间项且若等差数列{}n a 共有2n (偶数)项,则1==.n nS a S S nd S a +-偶奇偶奇且7、等差数列前n 项和n S 的最值问题: 设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ,则(1)100a d ><且(即首正递减)时,n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和;(2)100a d <>且(即首负递增)时,n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列 1、等比数列的概念:如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的比是同一个不为零的常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q 表示(0q ≠). 即()1n na q q a +=为非零常数,这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式:设等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为q ,则通项公式为:()11,,n n m n m a a q a q n m n m N --+==≥∈、.3、等比中项:(1)若a A b 、、成等比数列,则A 叫做a 与b 的等比中项,且2=A ab ;(2)若数列{}n a 为等比数列,则12,,n n n a a a ++成等比数列,即1n a +是n a 与2n a +的等比中项,且212=n n n a a a ++⋅;反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++⋅,则数列{}n a 是等比数列.4、等比数列的性质: (1)等比数列{}n a 中,若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ⋅=⋅,若2m n p +=,则2m n p a a a ⋅=;(2)若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列,则数列{}n n a b ⋅也为等比数列;(3)等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为q ,则{}1100101na a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩或为递增数列,{}1100011n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或为递减数列,{}1n q a =⇔为常数列.5、等比数列的前n 项和:(1)数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈;(2)数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系:11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩(3)设等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为()0q q ≠,则()11,1.1,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知,已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个,便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n 项和性质:设等比数列{}n a 中,首项为1a ,公比为()0q q ≠,则(1)连续m 项的和仍组成等比数列,即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m ma a a +++++,仍为等比数列(即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列); (2)当1q ≠时,()()11111111111111n n n n n a q a a a a aS q q q qq q q q q -==⋅-=-⋅=⋅-------, 设11a t q =-,则n n S tq t =-.四、递推数列求通项的方法总结 1、递推数列的概念:一般地,把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系,把表达递推关系的式子叫做递推公式,而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列. 2、两个恒等式: 对于任意的数列{}n a 恒有:(1)()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-(2)()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈3、递推数列的类型以及求通项方法总结: 类型一(公式法):已知n S (即12()n a a a f n +++=)求n a ,用作差法:{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥类型二(累加法):已知:数列{}n a 的首项1a ,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈,求n a 通项.给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3,……,n-1,可得到下面n-1个式子:()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-可得:()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-类型三(累乘法):已知:数列{}n a 的首项1a ,且()()1,n na f n n N a ++=∈,求n a 通项.给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3,……,n-1,可得到下面n-1个式子:()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得:()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-类型四(构造法):形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1(q p b k ,,,为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后,再求n a 。

《数列》知识点、题型、解法全方位解析

《数列》知识点、题型、解法全方位解析

《数列》知识点、题型、解法全方位解析 内蒙古赤锋阿旗天山一中:尹国玉数列的基础知识与一般性结论:(一)数列的概念:项,项数。

一般式:}{n a 或 ,,,,,4321n a a a a a注:①数列与函数的关系:数列可以看作是一个定义域为正自然数集N 或它的有限子集{1,2,3,……,n}的函数.当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,通项公式a n =f(n)就是该函数的解析表达式,数列的图象是一个点列.因此在学习数列时还应学会用函数的观点、方法研究数列.②数列分有穷数列与无穷数列。

(二)数列的有关公式:(注:并不是所有的数列都有各种公式,)1.递推公式:如)(1n n a f a =+或),(12n n n a a f a ++=等,即由数列的前若干项表示后一项的关系式,2.通项公式:a n =f(n)即由项数来表示项的关系式,即第n 项,3.前n 项和公式:①有穷数列和:即用n 表示前n 项和的式子,(有时也用售含有项和项数的混合式子表示,如2)(1n n a a n S +=)注:掌握数列的通项n a 与前n 项和n S (前项积n G )之间的关系式n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n .n a =11(1)(2)n n G n G n G -=⎧⎪⎨≥⎪⎩②*无究数列和(前n 项和的极限): n n S lin S →+∞=(三)定义数列的方式方法:1.用递推公式定义:①简单一阶线性递归数列:等差等比数列等. ②简单一阶分式递归数列(倒数成等差数列) ③简单的周期数列; ④其它形式:2.用通项公式定义:3.用和或和与项的关系定义. (四)数列的图象(五)数列的单调性及最值 (六)数列的分类1.从项的个数上分:有穷数列,无穷数列.2.从”函数”类型及项与项的关系分:①简单数列:等差数列;等比数列;调和数列;幂级数.②复杂数列(数列的组合):复合数列;组合数列;分段数列;子数列. 3.从数列的性质分:单调数列;摆动数列;周期数列;不规则数列。

数列知识点总结及结论

数列知识点总结及结论

数列知识点总结及结论一、数列的概念及分类数列是按照一定的顺序排列的一组数的集合。

在数学中,数列是一个非常重要的概念,它被广泛应用在各个领域,如微积分、概率论、离散数学等。

数列有多种分类方式,根据数列的各个项之间的关系不同可以将数列分为等差数列、等比数列、递推数列等。

在日常生活中,数列也有着广泛的应用,如金融领域中的利息计算,物理学中的等速运动等。

二、等差数列等差数列是一种非常简单的数列,其特点是数列中每一项与前一项的差是一个常数。

等差数列的通项公式为An = A1 + (n-1)d。

其中An表示等差数列中第n项的值,A1表示等差数列的首项,d表示等差数列的公差。

例如,1,3,5,7,9就是一个公差为2的等差数列。

在等差数列中,我们可以根据已知的条件,求出数列的首项、公差、任意项的值,以及数列的前n项和等一系列问题。

三、等比数列等比数列是另一种常见的数列,其特点是数列中每一项与前一项的比是一个常数。

等比数列的通项公式为An = A1 * q^(n-1)。

其中An表示等比数列中第n项的值,A1表示等比数列的首项,q表示等比数列的公比。

例如,1,2,4,8,16就是一个公比为2的等比数列。

在等比数列中,也可以根据已知的条件,求出数列的首项、公比、任意项的值,以及数列的前n项和等一系列问题。

四、递推数列递推数列是一种通过前一项来定义后一项的数列。

其通项公式并不是一个固定的公式,而是通过给定的递推关系来确定。

例如,斐波那契数列就是一个著名的递推数列,其定义为F(1)=1, F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)。

通过这个递推关系,我们可以得到斐波那契数列的每一项的值。

递推数列在计算机科学中有着广泛的应用,如动态规划算法、图论算法等。

它们的特点是可以通过已知的前几项来求得后面的项,而不需要知道整个数列的所有项。

五、数列的运算数列的运算是数列学习中的重要内容之一。

在数列的运算中,主要包括数列的加法、减法、乘法、除法等。

数列的知识点公式总结

数列的知识点公式总结

数列的知识点公式总结一、数列的概念数列是按照一定的顺序排列的一系列数字的集合。

数列中的每一个数字被称作数列的项,用泛指变量表示,通常用字母表示。

通常我们用 {an} 表示一个数列,其中 n 表示数列的项数。

例如,{1, 2, 3, 4, 5, ...} 就是一个自然数列,其中的每一项都是自然数。

数列的项数可以是有限个,也可以是无限个。

当数列的项数是有限个时,这样的数列被称为有限数列;而当数列的项数是无限个时,这样的数列被称为无限数列。

数列中每一项的下标也称为项数,通常用 n 表示。

当数列的项数是有限个时,数列通常按照从小到大的顺序排列;当数列的项数是无限个时,数列可能有很多不同的排列方式。

数列的项可能是整数、分数、小数等各种类型的数。

而数列的项之间的关系按照一定的规律排列,这种规律可以通过不同的方式进行描述,如递推关系、通项公式等。

二、等差数列等差数列是一种常见的数列类型,其中相邻两项之间的差值是一个常数。

等差数列通常用{an} 表示,其中 a1、a2、a3、... 分别表示数列中的第一项、第二项、第三项等。

等差数列的通项公式可以表示为:an = a1 + (n-1)d,其中 a1 表示数列的第一项,d 表示数列的公差,n 表示数列的项数。

例如,数列 {3, 6, 9, 12, 15, ...} 就是一个等差数列,其中公差为 3。

这个数列的通项公式可以表示为 an = 3 + (n-1)×3。

如果给定一个等差数列的前 n 项和 Sn,那么其求和公式为:Sn = n/2×(a1 + an),其中 a1表示数列的第一项,an 表示数列的第 n 项。

等差数列有一个重要的性质,即等差数列的中项等于其首项与末项的算术平均数。

即(an + a1)/2 = an表示数列的中项。

三、等比数列等比数列是另一种重要的数列类型,在等比数列中,相邻两项的比值是一个常数。

等比数列通常用{an} 表示,其中a1、a2、a3、... 分别表示数列中的第一项、第二项、第三项等。

数列知识点及常用结论

数列知识点及常用结论

数列知识点及常用结论数列是数学中一个重要的概念,它在数学中的应用非常广泛。

在学习数列时,我们不仅需要掌握数列的定义和性质,还需要了解数列的分类、递推关系以及求和公式等常用结论。

下面将详细介绍数列的相关知识点及常用结论。

首先,数列是由一串有序的数按照一定规律排列而成的序列。

数列中的每一个数称为该数列的项,用字母表示。

数列中的项可以是整数、小数或者分数。

根据数列的特点,我们可以将数列分为以下几类:1.等差数列:等差数列是指数列中的相邻两项之差为常数的数列。

常数差值称为等差数列的公差,用字母d表示。

等差数列的通项公式为:an = a1 + (n-1)d,其中an表示第n项的值,a1表示第一项的值,n表示项数。

等差数列的求和公式为:Sn = (n/2)(a1 + an),其中Sn表示前n项和。

2.等比数列:等比数列是指数列中的相邻两项之比为常数的数列。

常数比值称为等比数列的公比,用字母q表示。

等比数列的通项公式为:an = a1 * q^(n-1),其中an表示第n项的值,a1表示第一项的值,n表示项数。

等比数列的求和公式分为两种情况:-当公比q不等于1时,求和公式为:Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。

-当公比q等于1时,求和公式为:Sn=n*a13.奇数列和偶数列:奇数列和偶数列是指数列中的奇数项和偶数项所构成的数列。

奇数列和偶数列之间存在对应关系。

4.斐波那契数列:斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项的和。

斐波那契数列的通项公式为:Fn=Fn-1+Fn-2,其中Fn表示第n项的值,F1=1,F2=1除了上述数列的分类,我们还需要掌握一些数列的常用结论,包括:1.数列的最大值和最小值:对于递增数列,最大值为最后一项;对于递减数列,最大值为第一项。

同理,对于递增数列,最小值为第一项;对于递减数列,最小值为最后一项。

2.数列的递推关系:数列中的每一项都可以通过前几项的值来确定。

递推关系可以是线性的,如等差数列和等比数列;也可以是非线性的,如斐波那契数列。

数学数列知识点归纳总结

数学数列知识点归纳总结

数学数列知识点归纳总结数学中,数列是一系列按照特定顺序排列的数。

数列在数学和实际问题中都扮演着重要的角色。

理解和掌握数列的性质和特点,对于解决数学问题和应用数学于实际生活中具有重要意义。

本文将对数学数列相关的知识点进行归纳总结,帮助读者更好地理解和应用数列。

一、数列的定义和分类数列是指按一定顺序排列的数的集合。

根据数列的性质和特点,可以将数列分为等差数列、等比数列、递增数列、递减数列等。

1. 等差数列:等差数列是指数列中相邻两项之间的差恒定的数列。

等差数列可以用公式an = a1 + (n - 1)d来表示,其中a1为首项,d为公差,n为项数。

2. 等比数列:等比数列是指数列中相邻两项之间的比恒定的数列。

等比数列可以用公式an = a1 * r^(n - 1)来表示,其中a1为首项,r为公比,n为项数。

3. 递增数列:递增数列是指数列中每一项都比前一项大的数列。

4. 递减数列:递减数列是指数列中每一项都比前一项小的数列。

二、数列的性质和运算了解数列的性质和运算规则,对于推导和计算数列的各种问题具有重要作用。

1. 数列的通项公式:数列的通项公式是指用一个公式来表示数列的每一项。

根据数列的性质和规律,可以通过观察和推导得到数列的通项公式。

2. 数列的前n项和:数列的前n项和是指数列中前n项的和。

对于等差数列、等比数列以及其他一些特殊数列,可以通过一定的方法得到前n项和的表达式。

3. 数列的运算:数列之间可以进行加法、减法和乘法运算。

对于等差数列和等比数列,可以通过运算得到新的数列,便于求解特定问题。

三、数列在实际问题中的应用数列在实际问题中的应用非常广泛,可以帮助解决各种计数、推导和预测等问题。

1. 数列的应用于数学问题:数列可以用于解决各种与数学相关的问题,如计数问题、排列组合问题、函数图像的刻画等。

2. 数列的应用于自然科学:数列在自然科学中的应用也非常广泛,可以用于描述自然界中一些变化的规律,如物种数量的变化、天体运动的轨迹等。

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数列知识点及常用结论一、等差数列(1)等差数列的基本公式①通项公式:1(1)n a a n d =+- (从第1项1a 开始为等差)()n m a a n m d =+- (从第m 项m a 开始为等差)()n m n m n m a a nd a a n m d a a d n m -=⎧⎪=+-⇒⎨-=⎪-⎩②前n 项和公式:11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ (2)证明等差数列的法方①定义法:对任意的n ,都有1n n a a d +-=(d 为常数)⇔{}n a 为等差数列 ②等差中项法:122n n n a a a ++=+(n ∈*N )⇔{}n a 为等差数列③通项公式法:n a =pn+q (p ,q 为常数且p ≠0) ⇔{}n a 为等差数列即:通项公式位n 的一次函数,公差d p =,首项1a p q =+④前n 项和公式法:2n S pn qn =+ (p , q 为常数) ⇔{}n a 为等差数列即:关于n 的不含常数项的二次函数(3)常用结论①若数列{}n a ,{}n b 为等差数列,则数列{}n a k +,{}n k a ,{}n n a b ±,{}n ka b + (k , b 为非零常数)均为等差数列.②若m+n=p+q (m ,n ,p ,q ∈*N ),则n m a a +=p q a a +.特别的,当n+m=2k 时,得n m a a +=2k a③在等差数列{}n a 中,每隔k(k ∈*N )项取出一项,按原来的顺序排列,所得的数列仍为等差数列,且公差为(k+1)d(例如:1a ,4a ,7a ,10a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅仍为公差为3d 的等差数列)④若数列{}n a 为等差数列,则记12k k S a a a =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+,2122k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+,3221223k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+,则k S ,2k k S S -,32k k S S -仍成等差数列,且公差为2k d ⑤若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,则数列{}n S n 也为等差数列. ⑥ 11,(1),(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 此性质对任何一种数列都适用 ⑦求n S 最值的方法:I: 若1a >0,公差d<0,则当100k k a a +≥⎧⎨≤⎩时,则n S 有最大值,且k S 最大; 若1a <0,公差d>0,则当100k k a a +≤⎧⎨≥⎩时,则n S 有最小值,且k S 最小; II :求前n 项和2n S pn qn =+的对称轴,再求出距离对称轴最近的正整数k ,当n k = 时,k S 为最值,是最大或最小,通过n S 的开口来判断。

二、等比数列(1)等比数列的基本公式①通项公式:11n n a a q -= (从第1项1a 开始为等比)n m n m a a q -= (从第m 项m a 开始为等差)②前n 项和公式:1(1),(1)1n n a q S q q-=≠-,1,(1)n S na q == (2)证明等比数列的法方①定义法:对任意的n ,都有1(0)n n n a qa a +=≠⇔1n na q a +=(q ≠0) ⇔{}n a 为等比数列②等比中项法:211n n n a a a +-=(11n n a a +-≠0)⇔{}n a 为等比数列③通项公式法:1(,0n n a aq a q -=是不为的常数)⇔{}n a 为等比数列(3)常用结论①若数列{}n a ,{}n b 为等比数列,则数列1{}n a ,{}n k a ,2{}n a ,21{}n a -,{}n n a b {}n n a b (k 为非零常数) 均为等比数列.②若m+n=p+q (m , n , p , q ∈*N ),则n m a a =p q a a .特别的,当n+m=2k 时,得n m a a =2k a③在等比数列{}n a 中,每隔k(k ∈*N )项取出一项,按原来的顺序排列,所得的数列仍为等比数列,且公比为1k q + (例如:1a ,4a ,7a ,10a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅仍为公比3q 的等比数列) ④若数列{}n a 为等差数列,则记12k k S a a a =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+,2122k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+,3221223k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+,则k S ,2k k S S -,32k k S S -仍成等比数列,且公差为k q三、求任意数列通项公式n a 的方法(1)累加法:若n a 满足a n+1=a n +f(n)利用累加法求:n a 12132431()()()()n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+- 例题:若11=a ,且12+=+n n a a n ,求:n a练习题:若数列n a 满足1120++--=n n n a a ,且10=a(2)累乘法:若n a 满足1()+=⋅n n a f n a 利用累乘法求:n a 32411231()()()()n n n a a a a a a a a a a -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 例题:在数列{a n }中,1111,2++==n n n a a a n,求:n a .练习题:在数列{a n }中,11a =且1n n a na +=,求:n a (提示:123......!n n ⨯⨯⨯=)(3)递推公式中既有n S ,又有n a ,用逐差法11n n n S a S S -⎧=⎨-≥⎩ n=1 n 2特别注意:该公式对一切数列都成立。

(4)若n a 满足1,()+=+≠n n a pa q p q ,则两边加:1=-q x p ,在提公因式P ,构造出一个等比数列,再出求:n a 例题:已知数列{}n a ,满足:121+=+n n a a ,且11=a ,求:n a习题1:已知数列{}n a 满足:131+-=n n a a 且11=a ,求:n a习题2:已知数列{}n a 满足:12a =,且n n S a n +=,求:n a(5)若n a 满足1++=+n k n n a pa p ,则两边同时除以:1+n p ,构造出一个等差数列,再求出:n a例题:已知n a 满足:11=a 1122-+=+n n n a a ,求:n a解:111122222-++=+⇒=+n n n n n n n a a a a ,既有:11222+-=n n n n a a 所以:2⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n a 是首项为:1122=a ,公差12=d 的等差数列11(1)2222=+-⨯=∴n n a n n 所以:1222-=⋅=⋅n n n n a n习题1:已知1133++-=n n n a a 且11=a ,求:n a习题2:已知11232n n n a a -+=+⋅且11a =,求:n a(六)待定系数法:若{}n a 满足以下关系:()1n n a ka f n +=+ 都可用待定系数法转变成一个等比数列来:温馨提示:提k ,对()f n 待定系数例题1:已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+⨯=,,求数列{}n a 的通项公式. 解:11152(5)235++++⋅=+⋅⇒=-⋅n n n n n n n a x a x a a x ,与原式对应得,1=-x1111552(5)25++++--=-⇒=-∴n n nn n n n n a a a a 所以:{}5-n n a 是首项1151-=a ,公比2=q 的等比数列既有:115252---=⇒=+n n n n n n a a例题2:已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+⨯+=,,求数列{}n a 的通项公式. 解:11123(2)322++++⋅+=+⋅+⇒=+⋅+n n n n n n n a x y a x y a a x y ,与原式对应得:5,2==x y11115225223(522)3522+++++⋅++⋅+=+⋅+⇒=+⋅+∴n n n n n n n n a a a a所以:{}522+⋅+n n a 是首项为:1152213+⋅+=a ,公比3=q 的等比数列既有:11522133133522--+⋅+=⋅⇒=⋅-⋅-n n n n n n a a(七)颠倒法:若{}n a 满足:1n n n C a a a C+⋅=+,用颠倒法; 11111n n n n n n nn n n C a a C a C a a C a C a C a C a C a ++⋅+=⇒==+=++⋅⋅⋅ 所以:1111n n a a C +-=,所以:1{}n a 是以首项为:11a ,公差1d C=的等差数列例题1:已知122n n n a a a +⋅=+,且12a =,求:n a例题2:已知1133n n n n a a a a ++⋅=-,且11a =,求:n a(八)倒数换元法:若数列{}n a 满足:1+⋅=⋅+n n n A a a B a C ,则颠倒变成111n n n n B a C C B a A a A a A+⋅+==⋅+⋅ 然后再用两边加:1-q p 或者待定系数法既可求出1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a ,再颠倒就可得到:{}n a 例题:若数列{}n a 满足:123+=+n n n a a a ,且11=a ,求:n a 解:1121311322++=⇒=⋅++n n n n n a a a a a ,两边加:1得:11313122++=⋅+n n a a 111113131(1)1221+++∴+=+⇒=+n n n na a a a , 所以:11⎧⎫+⎨⎬⎩⎭n a 是首项为:1112+=a ,公比:32=q 的等比数列; 既有:122121213132212()2232--------+=⋅⇒=⇒=-n n n n n n n n n n a a a 若用待定系数法:11121311131()3222+++=⇒=⋅+⇒+=++n n n n n n na a x x a a a a a11131313112222+++=+⇒=+n n n n x x x a a a a 与原式子对应得1=x ,然后的方法同上;习题:已知1132n n n n a a a a ++⋅=-且11a =,求:n a四、求前n 项和S n 的方法(1)错位相减求和主要适用于等差数列和等比数列乘积的数列的前n 项和;或者是等差与等比的商的前n 项和;(是商的时候,适当转变一下就变成了乘积形式)。

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