高等代数课件(北大版)第四章 矩阵§4-6
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高等代数【北大版】课件
线性规划问题
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
高等代数第4章矩阵1,2,3节
1 2 2 A , 4 5 8
B 18 6,
例
1 4 T A 2 5 ; 2 8
18 B . 6
T
转置矩阵的运算性质
1 A
T T
A;
T
2 A B AT BT ;
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
x1 x2 X , xn
b1 b2 B . bm
性质：1.( AB)C A( BC )
2.k ( AB) (kA)B A(kB) 3. A( B C ) AB AC ( B C ) A BA CA
4. Em Amn Amn , Amn En Amn
5.( kEm ) Amn kAmn , Amn ( kEn ) Amn
全相等
k 0 0 0 k 0 的方阵, 称为数量矩阵. （8）形如 记作 kE (或kEn ). 0 0 k
(9)方阵
1 0 0 0 1 0 E En 0 0 1
4.2.2 矩阵的数乘
数k与矩阵A的乘积记作kA, 规定为
ka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2 n kA [kaij ] . kam1 kam1 kamn 性质： 1.1的数乘：1 A A 2.数乘结合律： ) A k (lA) (kl 3.数乘分配律： l ) A kA lA (k
定义n阶方阵的k次幂为： Ak AA A 显然： Ak Am Ak m k个A
B 18 6,
例
1 4 T A 2 5 ; 2 8
18 B . 6
T
转置矩阵的运算性质
1 A
T T
A;
T
2 A B AT BT ;
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
x1 x2 X , xn
b1 b2 B . bm
性质：1.( AB)C A( BC )
2.k ( AB) (kA)B A(kB) 3. A( B C ) AB AC ( B C ) A BA CA
4. Em Amn Amn , Amn En Amn
5.( kEm ) Amn kAmn , Amn ( kEn ) Amn
全相等
k 0 0 0 k 0 的方阵, 称为数量矩阵. （8）形如 记作 kE (或kEn ). 0 0 k
(9)方阵
1 0 0 0 1 0 E En 0 0 1
4.2.2 矩阵的数乘
数k与矩阵A的乘积记作kA, 规定为
ka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2 n kA [kaij ] . kam1 kam1 kamn 性质： 1.1的数乘：1 A A 2.数乘结合律： ) A k (lA) (kl 3.数乘分配律： l ) A kA lA (k
定义n阶方阵的k次幂为： Ak AA A 显然： Ak Am Ak m k个A
高等代数课件PPT之第4章矩阵
策中甲的得分矩阵，规定胜者得1分，败者得-1分， 平手各得零分
0
1
–1
–1
0
1
1
–1
0
石头 剪子 布
乙方
石头 甲
剪子 方
布
0 1 1 答案 : 1 0 1 .
1 1 0
2.矩阵的线性运算（矩阵加法、 数乘） （1）矩阵相等
定义 设有两个m×n矩阵
a11
A
a21
am1
a12 a22
am2
总利润:862.5元
C矩其(1阵中)定AA义c与Baaij 12B设11的a矩i1乘baa阵 1积12j22是a一Ai 2b个2 jmaaa×i 12j ssnm矩sa阵,bbiBs12b11sCj bbbi12sj22ascinki b.j kjmbbn12nn,
a m1 i
a1m,22,, m; aj ms1,2,bs,1n
矩阵,也就是一个数.
4 1 0
例8
求
矩
阵A
1 2
0 1
3 0
21与B
1
2
1
1 0 3
3的 1
乘 积AB.
4
解
4 1 0
C AB
1 2
0 1
3 0
1
2
1
2
1
1 0 3
3 1 4
14 01 32 11 11 01 30 13 10 0 3 31 14
24 11 0 2 21
30
32
34
利润矩阵
由已知得
B
15
17.5
20
1220.5
总3.问A利B题2333润80241W:10521的这2L18330销一C售天31560F8利内7B1106.润，O5 总最0322B2和A小5711是号1.22这275500..多55牛里 设9少仔为7A.？裤5A23915872778.05..65521432.5（
0
1
–1
–1
0
1
1
–1
0
石头 剪子 布
乙方
石头 甲
剪子 方
布
0 1 1 答案 : 1 0 1 .
1 1 0
2.矩阵的线性运算（矩阵加法、 数乘） （1）矩阵相等
定义 设有两个m×n矩阵
a11
A
a21
am1
a12 a22
am2
总利润:862.5元
C矩其(1阵中)定AA义c与Baaij 12B设11的a矩i1乘baa阵 1积12j22是a一Ai 2b个2 jmaaa×i 12j ssnm矩sa阵,bbiBs12b11sCj bbbi12sj22ascinki b.j kjmbbn12nn,
a m1 i
a1m,22,, m; aj ms1,2,bs,1n
矩阵,也就是一个数.
4 1 0
例8
求
矩
阵A
1 2
0 1
3 0
21与B
1
2
1
1 0 3
3的 1
乘 积AB.
4
解
4 1 0
C AB
1 2
0 1
3 0
1
2
1
2
1
1 0 3
3 1 4
14 01 32 11 11 01 30 13 10 0 3 31 14
24 11 0 2 21
30
32
34
利润矩阵
由已知得
B
15
17.5
20
1220.5
总3.问A利B题2333润80241W:10521的这2L18330销一C售天31560F8利内7B1106.润，O5 总最0322B2和A小5711是号1.22这275500..多55牛里 设9少仔为7A.？裤5A23915872778.05..65521432.5（
高等代数课件(北大版)第四章-矩阵§4-2
0 a12 a12 0 a1n a2n
则称 A 为反对称矩阵.
a1n a2n
ann
a1n a2n
0
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
数学与计算科学学院
性质
(1) A, B 对称 A B, A B 对称 ; A, B 反对称 A B, A B 反对称．
(2) A 对称，k P kA 对称 ； A 反对称，k P kA 反对称．
(3) 奇数级反对称矩阵的行列式等于零．
A A A A A (1)n A ,
n 为奇数时，A A A 0.
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
数学与计算科学学院
想一想 A, B 皆为 n 级对称矩阵， i) A, B 对称，积 AB对称吗? ii) A, B 反对称，积 AB 反对称吗?
例7 已知 A, B 皆为 n 级对称矩阵，证明：
AB 对称 AB BA.
证： 若AB对称，则有
AB ( AB) BA BA .
反过来，若AB=BA，则有 ( AB) BA BA AB. 所以 AB 对称.
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
数学与计算科学学院
例8 设 A 为 n 级实对称矩阵，且 A2 0，证明：
1
1,
12,
1 3
23
3,
An 3n1
1
3n1 3n1 A 3n1 2
3
1 2 1
3 2
1
3 2
3 1
.
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
数学与计算科学学院
附: 共轭矩阵
定义
当 A aij 为复矩阵时，用 aij 表示 aij 的共轭 复数, 记 A aij ， A 称为 A 的共轭矩阵.
则称 A 为反对称矩阵.
a1n a2n
ann
a1n a2n
0
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
数学与计算科学学院
性质
(1) A, B 对称 A B, A B 对称 ; A, B 反对称 A B, A B 反对称．
(2) A 对称，k P kA 对称 ； A 反对称，k P kA 反对称．
(3) 奇数级反对称矩阵的行列式等于零．
A A A A A (1)n A ,
n 为奇数时，A A A 0.
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
数学与计算科学学院
想一想 A, B 皆为 n 级对称矩阵， i) A, B 对称，积 AB对称吗? ii) A, B 反对称，积 AB 反对称吗?
例7 已知 A, B 皆为 n 级对称矩阵，证明：
AB 对称 AB BA.
证： 若AB对称，则有
AB ( AB) BA BA .
反过来，若AB=BA，则有 ( AB) BA BA AB. 所以 AB 对称.
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
数学与计算科学学院
例8 设 A 为 n 级实对称矩阵，且 A2 0，证明：
1
1,
12,
1 3
23
3,
An 3n1
1
3n1 3n1 A 3n1 2
3
1 2 1
3 2
1
3 2
3 1
.
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
数学与计算科学学院
附: 共轭矩阵
定义
当 A aij 为复矩阵时，用 aij 表示 aij 的共轭 复数, 记 A aij ， A 称为 A 的共轭矩阵.
第四章 矩阵
8）A为反对称矩阵 对n维向量，有ZAZ 0
Ch5 P234 习题4（1）
13.正交矩阵
定义7：P370CH9
1.正交矩阵的充要条件
A
（a
）正交（A是实矩阵）
ij
A为正交阵
A1为正交阵
A为正交阵
A*为正交阵
A1 A
2）A正交，则A的特征值的模为1；
3）A正交，则 A 1； 4） A、B正交，则AB正交.
,A )为准对角阵，则 S
秩A=秩A +秩A
1
2
L
秩AS
4）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 1
2
,L
,B ) S
那么 AB diag( A1B1,L , AS BS )
5）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 12
,L
,B ) S
8) 设A为n m复矩阵，则 秩A=秩A=秩AA=秩AA
9) A,B为n n矩阵，AB=0,则 秩A+秩B n,(P200.18)
10) A为n n矩阵, A2 E,则
秩（A+E）+秩(A-E)=n；（P .3） 203
11) A为n n矩阵, A2 A,则
秩A+秩(A-E)=n；（P .4） 203
1）设 A, B 为n阶矩阵，则
① tr(A B) trA trB
② tr(kA) ktrA
③ trA trA ④ trAB trBA
2）A ~ B 那么 trA trB
3) A为n阶方阵，则A的特征多项式为
则有 E A
n
b n1 n1
Ch5 P234 习题4（1）
13.正交矩阵
定义7：P370CH9
1.正交矩阵的充要条件
A
（a
）正交（A是实矩阵）
ij
A为正交阵
A1为正交阵
A为正交阵
A*为正交阵
A1 A
2）A正交，则A的特征值的模为1；
3）A正交，则 A 1； 4） A、B正交，则AB正交.
,A )为准对角阵，则 S
秩A=秩A +秩A
1
2
L
秩AS
4）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 1
2
,L
,B ) S
那么 AB diag( A1B1,L , AS BS )
5）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 12
,L
,B ) S
8) 设A为n m复矩阵，则 秩A=秩A=秩AA=秩AA
9) A,B为n n矩阵，AB=0,则 秩A+秩B n,(P200.18)
10) A为n n矩阵, A2 E,则
秩（A+E）+秩(A-E)=n；（P .3） 203
11) A为n n矩阵, A2 A,则
秩A+秩(A-E)=n；（P .4） 203
1）设 A, B 为n阶矩阵，则
① tr(A B) trA trB
② tr(kA) ktrA
③ trA trA ④ trAB trBA
2）A ~ B 那么 trA trB
3) A为n阶方阵，则A的特征多项式为
则有 E A
n
b n1 n1
(完整word版)高等代数教案北大版第四章
来刻划，相仿地，我们引入
定义7 级方阵 称为可逆的，如果有 级方阵 ，使得
, (1)
这里 是 级单位矩阵.
首先我们指出，由于矩阵的乘法规则，只有方阵才能满足(1).其次，对于任意的矩阵 ，适合等式(1)的矩阵 是唯一的(如果有的话).
定义8如果矩阵 适合(1)，那么 就称为 的逆矩阵，记为 .
三、可逆矩阵的逆矩阵的求法
为了说明这个方法，下面看一个例子.在矩阵
中， 表示级单位矩阵，而
.
在矩阵
中，
.
在计算 时，把 都看成是由这些小矩阵组成的，即按2级矩阵来运算.于是
,
其中
,
.
因之
.
不难验证，直接按4级矩阵乘积的定义来作，结果是一样的.
一般，设 ，把 分成一些小矩阵
,(1)
,(2)
其中每个 是 小矩阵，每个 是 小矩阵，于是有
.
显然， 矩阵的转置是 矩阵.
矩阵的转置适合以下的规律：
,(16)
, (17)
,(18)
.(19)
(16)表示两次转置就还原，这是显然的.
例4设 求 .
讨论、练习与作业
课后反思
授课内容
第三讲矩阵乘积的行列式与秩、矩阵的逆
教学时数
2
授课类型
讲授
教学目标
使学生能掌握矩阵乘积的行列式与秩的相关理论，会判断一个矩阵是否可逆，并进一步求其逆矩阵。
,(3)
其中
(4)
这个结果是由矩阵乘积的定义直接验证即得.
应该注意，在分块(1),(2)中矩阵的列的分法必须与矩阵的行的分法一致.
以下会看到，分块乘法有许多方便之处.常常在分块之后，矩阵间相互的关系看得更清楚.
定义7 级方阵 称为可逆的，如果有 级方阵 ，使得
, (1)
这里 是 级单位矩阵.
首先我们指出，由于矩阵的乘法规则，只有方阵才能满足(1).其次，对于任意的矩阵 ，适合等式(1)的矩阵 是唯一的(如果有的话).
定义8如果矩阵 适合(1)，那么 就称为 的逆矩阵，记为 .
三、可逆矩阵的逆矩阵的求法
为了说明这个方法，下面看一个例子.在矩阵
中， 表示级单位矩阵，而
.
在矩阵
中，
.
在计算 时，把 都看成是由这些小矩阵组成的，即按2级矩阵来运算.于是
,
其中
,
.
因之
.
不难验证，直接按4级矩阵乘积的定义来作，结果是一样的.
一般，设 ，把 分成一些小矩阵
,(1)
,(2)
其中每个 是 小矩阵，每个 是 小矩阵，于是有
.
显然， 矩阵的转置是 矩阵.
矩阵的转置适合以下的规律：
,(16)
, (17)
,(18)
.(19)
(16)表示两次转置就还原，这是显然的.
例4设 求 .
讨论、练习与作业
课后反思
授课内容
第三讲矩阵乘积的行列式与秩、矩阵的逆
教学时数
2
授课类型
讲授
教学目标
使学生能掌握矩阵乘积的行列式与秩的相关理论，会判断一个矩阵是否可逆，并进一步求其逆矩阵。
,(3)
其中
(4)
这个结果是由矩阵乘积的定义直接验证即得.
应该注意，在分块(1),(2)中矩阵的列的分法必须与矩阵的行的分法一致.
以下会看到，分块乘法有许多方便之处.常常在分块之后，矩阵间相互的关系看得更清楚.
高等代数 矩阵.
(2) 矩阵相似于对角形的条件：
a. A有n个线性无关的特征向量 A相似于对角形
b. A有n个不同的特征根，则A相似于对角形。
c.设n阶矩阵A有s个不同的特征根 1, 2 , , s ,A
s
的属于 i 的线性无关特征向量的个数为ni， ni n i 1
A相似于对角形。
d.A的初等因子都是一次因式 A相似于对角形.
(8)若
1
1
A
若AB=BA, 则B是A的多项式.
1
4.方阵的行列式
(1) 若A是 n 阶矩阵，AT 是 A的转置矩阵，则| AT || A |;
(2) 若A是n阶矩阵，则 | kA | k n | A |; (3) 若A, B都是n阶矩阵，则 | AB || A || B |;
(4) 若A是n阶矩阵，则 | A || A |n1; (5) 若A是n阶可逆矩阵，则 | A1 || A |1;
的特征向量是方程组 (I A)X 0 的所有非零解.
(1) n阶方阵A的特征多项式
f () | I A | n a1n1 an1 an ,
其中
ak (1) k 1i1i2 ik n Aii11
i2 i2
ik
ik
n
特别地， a1 aii , an (1)n | A | . i 1
e.若r(A)=r,则
A
P
Ir
0
00Q,其中| P | 0，| Q | 0.
f. A=TBT-1,其中B是上三角形矩阵且对角线上的元 素是A的特征根。
g. 若r(A)=r,则A=PR，R是上三角形的矩阵，其主 对角线上前r个元素为1，后n-r个元素为0而|P|≠0.
h. A=B·C,其中BT=B,CT=-C. i. 对任意n阶矩阵A有A=BU，其中B是半正定矩阵， U为酉矩阵。
a. A有n个线性无关的特征向量 A相似于对角形
b. A有n个不同的特征根，则A相似于对角形。
c.设n阶矩阵A有s个不同的特征根 1, 2 , , s ,A
s
的属于 i 的线性无关特征向量的个数为ni， ni n i 1
A相似于对角形。
d.A的初等因子都是一次因式 A相似于对角形.
(8)若
1
1
A
若AB=BA, 则B是A的多项式.
1
4.方阵的行列式
(1) 若A是 n 阶矩阵，AT 是 A的转置矩阵，则| AT || A |;
(2) 若A是n阶矩阵，则 | kA | k n | A |; (3) 若A, B都是n阶矩阵，则 | AB || A || B |;
(4) 若A是n阶矩阵，则 | A || A |n1; (5) 若A是n阶可逆矩阵，则 | A1 || A |1;
的特征向量是方程组 (I A)X 0 的所有非零解.
(1) n阶方阵A的特征多项式
f () | I A | n a1n1 an1 an ,
其中
ak (1) k 1i1i2 ik n Aii11
i2 i2
ik
ik
n
特别地， a1 aii , an (1)n | A | . i 1
e.若r(A)=r,则
A
P
Ir
0
00Q,其中| P | 0，| Q | 0.
f. A=TBT-1,其中B是上三角形矩阵且对角线上的元 素是A的特征根。
g. 若r(A)=r,则A=PR，R是上三角形的矩阵，其主 对角线上前r个元素为1，后n-r个元素为0而|P|≠0.
h. A=B·C,其中BT=B,CT=-C. i. 对任意n阶矩阵A有A=BU，其中B是半正定矩阵， U为酉矩阵。
高等代数-高代矩阵
解法2
1
( AB)T
BT AT
7
4 2 2 2 0 0
1 0 17 3 14 13 .
1 3 1 1 2 3 10
48
四、对称矩阵和反对称矩阵
设 A为n阶方阵
A为对称矩阵
AT A
A为反对称矩阵 AT A
aii 0
aij a ji aij a ji
49
? 注：A, B是对称矩阵，AB是对称矩阵
(A
B)k
Ak
C
1 k
Ak
1
B
Ck2 Ak2B2
...
Bk
AB BA .
35
例5
设
A
0
1
0 1 ,
求 Ak .
0 0
解
A2
0
1
0
10
1
0 1
0 0 0 0
2 2 1 0 2 2 .
0
0
2
36
2
A3 A2 A 0
2 2
1 1 2 0
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
表示一个从变量x1, x2,, xn 到变量 y1, y2,, ym的 线性替换. 其中aij为常数.
16
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
a12 a22
a1n a2n
ann
a11
a21 a22
.
an1 an2 ann
i j, aij 0
i j, aij 0
14
三、矩阵与线性变换
高等代数第四章 矩阵PPT
矩阵的定义
定义1 由 m n个数aij i 1,2, ,m; j 1,2, ,n
排成的m行n 列的数表
a11 a12 L
a21
a22
L
M M
am1
am2
L
a1n
a2n
M
amn
称为 m n矩阵. 简记为 A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
高等代数
东北大学秦皇岛分校
第四章 矩 阵
1、矩阵概念的一些背景
矩阵是线性代数中最基本的概念之一， 也 是解决数学问题和实际问题的一个强有力的武 器之一。
2020/3/25
第四章 矩阵
1 1
高等代数
东北大学秦皇岛分校
矩阵在密码学中的应用实例 古罗马皇帝恺撒首先使用了这样一种密码：在保 留明文中的大小写、空格及标点符号的前提下， 把明文中的每一个字母转化为英文字母表中的第 4个字母。人们为了纪念恺撒德，就把这种密码 称为恺撒密码。但是恺撒密码有一个致命的缺陷， 即每个字母与经过转化后的字母分别在明文和密 文出现的频率是相通的。1929 年，Hill 提出了 一种克服恺撒密码缺陷的密码，该密码以矩阵变 换的方法建立字母组间的对应关系，该方法的诞 生从此使密码学进入了以数学方法处理问题的新 阶段。
b2n M bsn
称为A和B的和，记为C＝A+B。
注 1）矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加。相加 的矩阵必须要有相同的行数和列数
2）矩阵加法满足
结合律：A+(B+C)=(A+B)+C； 交换律： A+B=B+A。
2020/3/25
高等代数课件北大版第四章矩阵
高等代数课件(北大版)第四章矩阵第一节：矩阵的概念及基本运算矩阵是现代数学的重要基础，是线性代数理论的核心概念之一。
在数学和应用领域有着重要的应用价值。
1.1 矩阵的定义定义1.1：矩阵是一个有规律的数表，其中的每一个数称为矩阵的一个元素，通常用一个大写字母表示。
例如:$$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}$$其中 $a_{ij}$ 称为矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素。
1.2 矩阵的基本运算1.2.1 矩阵的加法定义1.2：设 $A=(a_{ij})_{m \times n},B=(b_{ij})_{m \times n}$，则其和 $C=A+B$ 定义为矩阵 $C$ 的元素为 $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$。
例如：$$A=\begin{pmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\7 & 8 & 9\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}-1 & -2 & -3 \\-4 & -5 & -6 \\-7 & -8 & -9\end{pmatrix},$$则 $C=A+B$ 得：$$C=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$1.2.2 矩阵的数乘定义1.3：设 $A=(a_{ij})_{m \times n}$，$k \in K$，则矩阵 $kA$ 定义为矩阵 $kA$ 的元素为 $ka_{ij}$。
高等代数课件--第四章 矩阵§4.4 矩阵的逆
１．伴随矩阵 定义： 设Aij矩阵A=(aij)nn中元素aij的 代数余子式，矩阵
A11 A 12 A* A1 n A21 A22 A2 n An1 An 2 adj A Ann
称为A的伴随矩阵．
性质 若A为n级方阵，则AA*=A*A=|A|En。
§4.4
矩阵的逆
一、可逆矩阵的定义：
设A为n级方阵，若有n级方阵B，使
AB=BA=En B为A的逆矩阵. 则称A为一个可逆矩阵，
注：
① 对于n级矩阵A，如果存在n级矩阵B， 使得AB=E，则A是可逆矩阵吗？
1=E
．
二、可逆矩阵的判定、求法
且(AB) 1=B 1A1.
问题：3）能否推广到有限个的情况?
4) 若A可逆，则A可逆,且(A ) 1=(A1).
5) 若A可逆, 则A*可逆且(A*) 1 =A/|A
6) 若A可逆, 则Ak可逆，且(Ak) 1 =(A1)k. 注：当|A|0时，定义A0=E，Ak =( A1)k。 当A, B可逆时，A+B不一定可逆。
的 逆 矩 阵 , an
其 中 a i 0, i 1, 2, ..., n .
推论
设A,B为n级方阵, 若AB=E，则A, B都 可逆，且 A1=B， B1= A．
三、逆矩阵的性质
1) 若A可逆，则A1可逆，且(A1) 1=A,
2) 若A可逆,0,则A可逆,且(A) 1= 1A1. 3) 若A,B为n级可逆方阵,则AB可逆,
例3
设方阵A满足A2 3A 10E=0，证明：
A，A 4E都可逆,并求它们的逆矩阵． 解：因为A(A3E)=10E, 所以A可逆,且 A1=(A-3E)/10 又(A+E)(A4E)=6E ,所以A4E可逆,且 (A4E)1=(A+E)/6
A11 A 12 A* A1 n A21 A22 A2 n An1 An 2 adj A Ann
称为A的伴随矩阵．
性质 若A为n级方阵，则AA*=A*A=|A|En。
§4.4
矩阵的逆
一、可逆矩阵的定义：
设A为n级方阵，若有n级方阵B，使
AB=BA=En B为A的逆矩阵. 则称A为一个可逆矩阵，
注：
① 对于n级矩阵A，如果存在n级矩阵B， 使得AB=E，则A是可逆矩阵吗？
1=E
．
二、可逆矩阵的判定、求法
且(AB) 1=B 1A1.
问题：3）能否推广到有限个的情况?
4) 若A可逆，则A可逆,且(A ) 1=(A1).
5) 若A可逆, 则A*可逆且(A*) 1 =A/|A
6) 若A可逆, 则Ak可逆，且(Ak) 1 =(A1)k. 注：当|A|0时，定义A0=E，Ak =( A1)k。 当A, B可逆时，A+B不一定可逆。
的 逆 矩 阵 , an
其 中 a i 0, i 1, 2, ..., n .
推论
设A,B为n级方阵, 若AB=E，则A, B都 可逆，且 A1=B， B1= A．
三、逆矩阵的性质
1) 若A可逆，则A1可逆，且(A1) 1=A,
2) 若A可逆,0,则A可逆,且(A) 1= 1A1. 3) 若A,B为n级可逆方阵,则AB可逆,
例3
设方阵A满足A2 3A 10E=0，证明：
A，A 4E都可逆,并求它们的逆矩阵． 解：因为A(A3E)=10E, 所以A可逆,且 A1=(A-3E)/10 又(A+E)(A4E)=6E ,所以A4E可逆,且 (A4E)1=(A+E)/6
高等代数课件(北大版)第四章 矩阵§4-4
立即可得,
a11 a 21 * AA a n1 a12 a 22 an2 a1n a2n a nn A1 1 A 2 1 A1 2 A 2 2 A1 n A 2 n
d 0 0 0 d 0 dE . 0 0 d数学与计算科学学院 2012-9-22 §4.4 矩阵的逆
AB A 2B
求矩阵B．
解：由
，得 ( A
2 E ) B A ，又
2 3 3 A 2 E 1 1 0 2 0 1 2 1
A 2E
可逆，且
(A 2E )
1
1 1 3 3 1 1 3 2 1 1 1
0 3 3 1 B ( A 2 E ) A 1 2 3 1 1 0
数学与计算科学学院
1 1 E 1
A
1
§4.4 矩阵的逆
2012-9-22
三、逆矩阵的运算规律
1 若 A 可逆 , 则 A 亦可逆 , 且 A
1 1 1
A.
2 若 A 可逆 , 数 0 , 则 A 可逆 , 且
§4.4 矩阵的逆
2012-9-22
X A CB
1
1
.
数学与计算科学学院
3. 矩阵积的秩
定理4
A s n ,
若 Ps s , Q n n 可逆，则
R( A) R( PA) R( AQ ) R( PAQ )
证： 令
B PA,
由定理2， R ( B ) R ( A ),
数学与计算科学学院
高等代数 北大 课件
拉普拉斯定理与因式分解
总结词
拉普拉斯定理的表述、应用和因式分解的方法。
详细描述
拉普拉斯定理是行列式计算中的重要定理，它提供了计算行列式的一种有效方法。因式分解是将多项式分解为若 干个因子的过程，是解决代数问题的重要手段之一。
CHAPTER 04
矩阵的分解与二次型
矩阵的分解
01
02
03
矩阵的三角分解
矩阵的乘法
矩阵的乘法满足结合律和分配律，但不一定满足 交换律。
பைடு நூலகம்
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆
对于一个非奇异矩阵，存在一个逆矩阵，使得原矩阵 与逆矩阵相乘等于单位矩阵。
行列式的定义
行列式是一个由矩阵元素构成的数学量，可以用于描 述矩阵的某些性质。
行列式的性质
行列式具有一些重要的性质，如交换律、结合律、分 配律等。
将一个矩阵分解为一个下 三角矩阵和一个上三角矩 阵之积。
矩阵的QR分解
将一个矩阵分解为一个正 交矩阵和一个上三角矩阵 之积。
矩阵的奇异值分解
将一个矩阵分解为若干个 奇异值和若干个奇异向量 的组合。
二次型及其标准型
二次型的定义
一个多项式函数，可以表示为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n} sum_{ j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$，其中 $a_{ij}$是常数。
VS
二次型的标准型
通过线性变换，将一个二次型转化为其标 准形式，即一个平方项之和减去另一个平 方项之和。
正定二次型与正定矩阵
正定二次型的定义
对于一个二次型，如果对于所有 的非零向量$x$，都有$f(x) > 0$ ，则称该二次型为正定二次型。
代数方法 第四章__高等代数选讲之矩阵
分析 因为可逆矩阵的定义式是矩阵相乘可交换次序 的等式，所以可将等式进行恒等变形，变成 CD E（或
DC E ）的形式，此时有 DC E（或 CD E ）。利用 此可证明矩阵乘积可交换的命题。
由 AB A B 得 AB A B O ，即 AB A B E E 于是有 A E B E E 证 因为 A E 与 B E 为 n 阶方阵，则由上式知 A E 可逆 且 B E 为 A E 的逆矩阵，从而有 B E A E E 即 BA A B E E 故
A
k T
k
T
k 1
T T
k 1
A
注
当 A 可分解为 A T 时，可知 r A 1.
方法4 分块对角矩阵求方幂：对于分块对角矩阵
A1 A AN A1k 有 Ak
A' A, AA' A2 0
2 2 a11 a12 a12n 0 2 2 2 a21 a22 a2 n 0 则有 2 2 2 an1 an 2 ann 0
又 aij R 则有 aij 0， i, j 1,2,n
xy y2 yz
xz 1 1 1 yz 1 1 1 z 2 1 1 1 1，于是 T x2 y 2 z 2 3.
例2.
12
13
14
15
AB 例3、设 A, B 为 n 阶方阵，且 AB A B ，证明： BA.
3
T 例3、设 A 是 n 阶矩阵，满足 AA E，且 A 0 ，
高等代数第四章矩形
间的关系，完全可以通过公式中系数所排成的如下 2 2 矩阵
cos sin
sin cos
(2)
表示出来. 通常，矩阵 (2) 称为坐标变换 (1) 的矩阵. 在空间的情形，保持原点不动的仿射坐标系的变换 有公式
x a11 x a12 y a13 z , y a21 x a22 y a23 z , z a x a y a z . 31 32 33
d e f
以后我们会看到， 这种表示法不只是 形式的. 事实上，矩 阵(6)的行列式就是 解析几何中二次曲 线的不变量 I3，这 表明了矩阵(6)的性 质确实反映了它所 表示的二次曲线的 性质.
引例 3 经济中的矩阵
在讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵 . 例如，假设在某一地区，某一种物资，比如说煤， 有 s 个产地 A1 , A2 , … , As 和 n 个销地B1 , B2 ,…,Bn ,
d e f
( 6)
来表示. 通常，(6) 称为二次曲线 (5) 的矩阵.
从方程到矩阵的过程如下： 方程 ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0
研究 抽象
表格
x y 1 x a b d y b c e
1
d
efBiblioteka 简 化矩阵a b b c d e
x x cos y sin , (1) 图4-1 有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问 y x sin y cos , 归结成矩阵问题以后却是相同的 . 这就使矩阵成 x OM OS TQ 其中 为 x 轴与 x 轴的夹角. 显然，新旧坐标之 y ON SQ TP
高等代数【北大版】课件
多项式的因式分解与根的性质
总结词
多项式的因式分解、根的性质和求解方 法
VS
详细描述
多项式的因式分解是将多项式表示为若干 个线性因子乘积的过程。通过因式分解， 可以更好地理解多项式的结构，简化计算 和证明。此外，多项式的根是指满足多项 式等于0的数。根的性质包括根的和与积、 重根的性质等。求解多项式的根的方法有 多种，如求根公式、因式分解法等。
性方
02
线性方程组的解法
高斯消元法 通过行变换将增广矩阵化为阶梯形矩 阵，从而求解线性方程组。
选主元高斯消元法
选择主元以避免出现除数为0的情况， 提高算法的稳定性。
追赶法
适用于系数矩阵为三对角线矩阵的情 况，通过逐步消去法求解。
迭代法
通过迭代逐步逼近方程组的解，常用 的方法有雅可比迭代法和SOR方法。
向量空间的子空间与基底
总结词
子空间与基底
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，它也满足向量空间的定义和性质。基底是 向量空间中一个线性独立的集合，它可以用来表示向量空间中的任意元素。基 底中的向量个数称为向量空间的维数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量空间的维数与基底的关系
总结词
维数与基底的关系
详细描述
向量空间的维数与基底密切相关。一个向量空间的维数等于其基底的向量个数。 如果一个向量空间有n个基底，则它的维数为n。同时，如果一个向量空间有有限 个基底，则它的维数是有限的。
行列式
06
行列式的定义与性质
总结词
行列式的定义和性质是高等代数中的 基础概念，包括代数余子式、余子式、 转置行列式等。
详细描述
行列式是由n阶方阵的n!项组成的代数 式，按照一定规则排列，具有一些重 要的性质，如交换律、结合律、代数 余子式等。这些性质在后续章节中有 着广泛的应用。
高等代数第四章
§1 二次型及其矩阵表示教学目的: 使学生了解及掌握二次型及其矩阵的表示方法 重点: 矩阵的表示方法及矩阵合同关系 难点: 矩阵合同关系的性质 课时: 2学时 教学方法: 讲授法 教学内容:一、二次型及其矩阵表示设P 是一个数域,一个系数在数域P 中的n x x ,,1 的二次齐次多项式)1(222),,,(2222222112112211121nnn n n n n n x a x x a x a x x a x x a x a x x x f ++++++++= 称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型.定义1 设n n y y x x ,,;,,11 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111,, (2)称为由n x x ,,1 到n y y ,,1 的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式≠ij c ,那么线性替换(2)就称为非退化的.线性替换把二次型变成二次型.令.,j i a a ji ij <=由于,i j j i x x x x =所以二次型(1)可写成)3(),,,(11222112222221221112112211121∑∑===++++++++++++=ni nj ji ij n nn n n n n nn nn n x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x f把(3)的系数排成一个n n ⨯矩阵,212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A (4) 它称为二次型(3)的矩阵.因为,,,2,1,,n j i a a ji ij ==所以A A ='把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型的矩阵都是对称的.令()()∑∑===⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='ni nj ji ij n nn n n n n n n n n nn n n n n n x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x x x a a a a a a a a a x x x AX X 11221122221211212111212121222211121121,,,,,,或AX X x x x f n '=),,,(21应该看到二次型(1)的矩阵A 的元素,当j i ≠时ji ija a =正是它的j i x x 项的系数的一半,而ii a 是2i x 项的系数，因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此可得,若二次型BX X AX X x x x f n '='=),,,(21且B B A A ='=',,则B A =.令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n nn n n n n y y y Y c c c c c c c c c C21212222111211,,于是线性替换（4）可以写成⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n n y y y c c c c c c c c c x x x 2121222211121121 或者CY X =.经过一个非退化的线性替换，二次型还是变成二次型，替换后的二次型与原来的二次型之间有什么关系，即找出替换后的二次型的矩阵与原二次型的矩阵之间的关系.设A A AX X x x x f n '='=,),,,(21 (7)是一个二次型，作非退化线性替换CY X = (8)得到一个n y y y ,,,21 的二次型BY Y ' ，例1 试写出2211ni ji i j nxx x =≤< ≤+∑∑的矩阵解:111122211112221111222A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭例2写出11211(,,,)n n i i i f x x x ix x -+==∑ 的矩阵解:122334123(1)n n f x x x x x x n x x -=++++-∴100212022202102102A n n ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭例3写出222121211n n n n n x x x x x x x ---+++++ 的矩阵解:(21)(21)121211212n n n n A -⨯-→⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭行列二、矩阵的合同关系 现在来看矩阵A 与B 的关系. 把（8）代入（7），有.)()()(),,,(21BY Y Y AC C Y ACYC Y CY A CY AX X x x x f n '=''=''='='=易看出，矩阵AC C '也是对称的，由此即得AC C B '=.这是前后两个二次型的矩阵的关系。
高等代数课件--第四章 矩阵§4.2 矩阵的运算
A, B为反对称矩阵,则AB不一定反对称； ⑥ A为方阵, 则A+AT为对称矩阵, AAT
为反对称矩阵；A可表示为一个对称矩
阵与一个反对称矩阵之和。
例4 A反对称，B对称．证明： 1）A2对称．2）ABBA对称； AB+BA反对 称． 3）AB反对称的充要条件为 AB=BA． 例5 A为n级实对称矩阵,且A2＝0,证明:A=0。
§4.2 矩阵的运算
一、加法
1. 定义
设A=(aij)sn, B=(bij)sn 则矩阵
C = (cij)sn=(aij+bij)sn 称为矩阵A与B的和，记作 C=A+B．
2．性质
1）交换律 2）结合律 3） A+0=A 4） A+(A)=0 A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C )
3．减法：A B= A+(B)
1. 定义
设A=(aij)sn, kP, 记矩阵
B = (kaij)sn 称B为矩阵A与k的数量乘积，记作 B=kA．
2．性质：
1) (k+l)A=kA + lA 2) k (A+B)= kA + kB 3) k(lA)=(kl)A 4) 1A=A
5) k (AB)= (kA)B= A(kB)
6) 若A是n级方阵，则|kA|=
(AB)k与AkBk 是否相等？如果不等，
又需要添加什么条件？
7) 对于两个n级矩阵A, B,当AB=0时， R(A) + R(B) n 8) 对于n级矩阵A, 当A2=0时，
R(A+E) + R(AE) = n
9) 对于n级矩阵A, 当A2=A时， R(A) + R(AE) = n三、数量乘法（数乘） Nhomakorabea 性质：
为反对称矩阵；A可表示为一个对称矩
阵与一个反对称矩阵之和。
例4 A反对称，B对称．证明： 1）A2对称．2）ABBA对称； AB+BA反对 称． 3）AB反对称的充要条件为 AB=BA． 例5 A为n级实对称矩阵,且A2＝0,证明:A=0。
§4.2 矩阵的运算
一、加法
1. 定义
设A=(aij)sn, B=(bij)sn 则矩阵
C = (cij)sn=(aij+bij)sn 称为矩阵A与B的和，记作 C=A+B．
2．性质
1）交换律 2）结合律 3） A+0=A 4） A+(A)=0 A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C )
3．减法：A B= A+(B)
1. 定义
设A=(aij)sn, kP, 记矩阵
B = (kaij)sn 称B为矩阵A与k的数量乘积，记作 B=kA．
2．性质：
1) (k+l)A=kA + lA 2) k (A+B)= kA + kB 3) k(lA)=(kl)A 4) 1A=A
5) k (AB)= (kA)B= A(kB)
6) 若A是n级方阵，则|kA|=
(AB)k与AkBk 是否相等？如果不等，
又需要添加什么条件？
7) 对于两个n级矩阵A, B,当AB=0时， R(A) + R(B) n 8) 对于n级矩阵A, 当A2=0时，
R(A+E) + R(AE) = n
9) 对于n级矩阵A, 当A2=A时， R(A) + R(AE) = n三、数量乘法（数乘） Nhomakorabea 性质：
扬州大学高等代数课件(北大三版)--第四章 矩阵
3
2
kj
zj)
a
k 1 j 1
3
2
ik
bkj z j
a
j 1 k 1
2
3
ik
bkj z j
( a
j 1 k 1
2
3
ik
bkj ) z j
c
j 1
2
ij
zj
（ i 1, 2, 3, 4 ） →
即
x1 a11 c21 z1 c22 z2 高 (3) , c31 z1 c32xz2 a 21 2 等 x3 c41 z1 c42 z2 a 31 代 换一个角度认识问题： a 41 x4 数
高 等 代 数
补充： 设 矩 阵 a11 a 21 ( 1 , 2 , , n ) as1 b11 b 21 ( 1 , 2 , , m ) bs1 a12 a22 as 2 b12 b22 bs 2 a1n a2 n , asn b1m b2 m , bsm
B1 B2 B3 1 B 3 2 1 2 1 4 2 4 A 1 2 A2
4
3 A B 2 3 1 23
2 1 3 3
B1 B2 B3 72 11
矩 阵
2 4 4 3 2 5
9 2
6 A 1 5 A2
k 1
称 C 为 A，B 的乘积. 矩阵乘法的意义： cij aik bkj ai1b1 j ai 2b2 j ainbnj ；
n
4
a11 AB i ai1 a s1 a12 ai 2 as 2
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数学与计算科学学院
0 1 0 0 1 0
0 0 , 1 0 0 . 1
§4.6 初等矩阵
的矩阵等价，称之为 A 的标准形, 且主对角线上1 的个数 r 等于R(A)(1的个数可以是零).
§4.6 初等矩阵
2012-9-22 数学与计算科学学院
2) 矩阵A、B等价 存在初等矩阵
P1 , P2 , , P s , Q 1 , Q 2 , , Q t ,
使
B P1 P2 P s A Q 1 Q 2 Q t .
r1 2 r3
r 2 5 r3
1 0 10 r2 2） （ 3 1 A 0 1 0 r3 1） （ 2 0 0 11
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
1 3 3 3 2 1
3 2 2 5 5 3 . 2 2 1 1 1
1
E , 1 CA
T T
即可得 Y CA
.
( A , C ) 作初等行变换，
T
（A ,C ) 即可得 Y
T
列变换
1 T T T 1
( E , ( A ) C ), ) C (A ) C ,
T
T
1
T
(A
即可求得
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
Y.
数学与计算科学学院
1 1 k 第 i 行 P ( i , j ( k )) 第 j 行 1 1
(消法矩阵)
§4.6 初等矩阵
2012-9-22 数学与计算科学学院
初等矩阵的性质
1 初等矩阵皆可逆，且 其逆仍为初等矩阵.
P (i, j)
1
P ( i , j ),
P ( i ( k ))
1
P (i(
1 k
)),
P ( i , j ( k ))
1
P ( i , j ( k )).
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
数学与计算科学学院
2 引理 对任一矩阵 A 作一初等行(列)变换相当于 对 A 左(右)乘一个相应的初等矩阵．
3 5 6
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
数学与计算科学学院
r1 r2
r3 r2
1 0 2 1 1 0 r 2r 3 1 0 2 5 2 1 0 r 2 5 r3 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 2 0 2 r 2） 2 （ 0 3 6 5 （ r3 1） 1 1 1 1 0 1 3
一、初等矩阵 二、等价矩阵 三、用初等变换求矩阵的逆
2012-9-22
数学与计算科学学院
一、初等矩阵
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的
矩阵，称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵:
1 . 对调两行或两列； 2 . 以数 k 0 乘某行或某列； 3 . 以数 k 乘某行（列）加到另一
第 i 行
(倍法矩阵)
§4.6 初等矩阵
2012-9-22 数学与计算科学学院
3 、以数 k 0 乘某行 ( 列 ) 加到另一行
( 列 ) 上去
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 [ 或以 k 乘 E 的第 i 列加到第
i 行上 ( ri kr j )
j 列上 ( c j kc i )，
2012-9-22
等价矩阵的秩相等．
数学与计算科学学院
§4.6 初等矩阵
矩阵等价的有关结论
1) 定理5
1 0 0
任一 s n 矩阵 A 都与一形式为
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Er 0 0 0
2 3 ， 3
3 X 2 1
2 3 . 3
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
数学与计算科学学院
如果要求 Y CA A 列变换 C
也可改为对
T
1
, 则可对矩阵
A 作初等列变换， C
1 c 3
A P3 P1 E P2 P4 P3 P1 P2 P4 .
1 P1 0 0 1 P3 0 0
2012-9-22
0 0 1 0 1 0
0 1 , 0 0 0 , 1
1 P2 0 2 1 P4 0 0
行（列）上去．
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
数学与计算科学学院
1、 对调两行或两列
对调 E 中第 i , j 两行，即
( ri r j )，得初等方阵
1 1 0 1 1 P (i, j) 1 1 0 1 1
三、利用初等变换求逆阵
原理:
1
当 A 0时，由
1 1
A P1 P2 Pl，有
Pl Pl 1 P1 E A
1 1 1 1
Pl Pl 1 P1 A E , 及 Pl Pl 1 P1
1 1 1 1 1
,
A E
1 1 1 1
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
数学与计算科学学院
r1 2 r3
r 2 5 r3
1 0 0
0 2 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 3 2 1
3 4 1
2 6 3
r2 2） 1 （ 0 r3 1） （ 0
Pl Pl 1 P1 A Pl Pl 1 P1 E
E
A
1
E 就变成 A
1
即对 n 2 n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
.
数学与计算科学学院
例１ 设
1 A 2 3 2 2 4 2 2 2
思考题
1 将矩阵 A 2 0 的乘积 . 0 0 1 0 1 表示成有限个初等方阵 0
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
数学与计算科学学院
解 A可以看成是由3阶单位矩阵 E 经4次初等变换,
r2 r3 , c1 2 c 3 ,
1 r3 ,
第i 行
第 j 行
(换法矩阵)
§4.6 初等矩阵
2012-9-22 数学与计算科学学院
2 、以数
k 0 乘某行或某列
以数 k 0 乘单位矩阵的第期 i 行 初等矩阵
1 1 P ( i ( k )) k 1 1
( ri k ), 得
P ( i , j ( k )) A A P ( i , j ( k ))
2012-9-22
：A 的第 i 列乘以 k 加到第 j 列．
数学与计算科学学院
§4.6 初等矩阵
二、等价矩阵
定义 若矩阵B可由A经过一系列初等变换得到，
则称A与B等价的．（也称A与B相抵） 注： ① 矩阵的等价关系具有： 反射性、对称性、传递性. ②
数学与计算科学学院
利用初等行变换求逆阵 矩阵 A
1
的方法，还可用于求
B .
A
1
(A B) (E
A
1
B)
即
(A B)
初等行变换
E
A B
1
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
数学与计算科学学院
例２ 求矩阵 X , 使 AX B ，其中
1 A 2 3 2 2 4 3 1 , 3
2 2 2 0 2 0 0 2 0
3 5 6 2 5 1 0 0 1
2 1 2 1 1 1 3 4 1
5 9 12 4 9 3 2 6 3
r3 r2
r1 2 r3
r 2 5 r3
B ห้องสมุดไป่ตู้AQ .
由此得定理5的另一种叙述： 对任一 s n 矩阵A，存在可逆矩阵
E 0 PAQ r 0 0
Ps s , Q n n
,使
，其中 r R ( A ) ．
推论2 可逆矩阵可经一系列初等行(列)变换化成 单位矩阵.
§4.6 初等矩阵
2012-9-22 数学与计算科学学院
P (i, j) A : A P ( i , j ): P ( i ( k )) A A P ( i ( k ))
对换 A 的 i , j 两行； 对换 A 的 i , j 两列．
：用非零数 k 乘 A 的第 i 列； ：用非零数 k 乘 A 的第 i 列．
A ： 的第 j 行乘以 k 加到第 i 行 ;
3) n 级方阵A可逆
A的标准形为单位矩阵E. A与单位矩阵E等价.
4) n 级方阵A可逆 定理6
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
A能表成一些初等矩阵的积, 即
A Q 1Q 2 Q t .
数学与计算科学学院
推论1 两个 s n 矩阵A、B等价
存在 s 级可逆矩阵P及 n 级可逆矩阵Q, 使
2 2 4 3 1 3
3 1 1 ,求 A . 3 1 0 0 1 2 3 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 r1 r2 0 r3 r2 1
解
1 A E 2 3 1 r2 2 r1 0 r3 3 r1 0
0 1 0 0 1 0
0 0 , 1 0 0 . 1
§4.6 初等矩阵
的矩阵等价，称之为 A 的标准形, 且主对角线上1 的个数 r 等于R(A)(1的个数可以是零).
§4.6 初等矩阵
2012-9-22 数学与计算科学学院
2) 矩阵A、B等价 存在初等矩阵
P1 , P2 , , P s , Q 1 , Q 2 , , Q t ,
使
B P1 P2 P s A Q 1 Q 2 Q t .
r1 2 r3
r 2 5 r3
1 0 10 r2 2） （ 3 1 A 0 1 0 r3 1） （ 2 0 0 11
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1 3 3 3 2 1
3 2 2 5 5 3 . 2 2 1 1 1
1
E , 1 CA
T T
即可得 Y CA
.
( A , C ) 作初等行变换，
T
（A ,C ) 即可得 Y
T
列变换
1 T T T 1
( E , ( A ) C ), ) C (A ) C ,
T
T
1
T
(A
即可求得
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Y.
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1 1 k 第 i 行 P ( i , j ( k )) 第 j 行 1 1
(消法矩阵)
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初等矩阵的性质
1 初等矩阵皆可逆，且 其逆仍为初等矩阵.
P (i, j)
1
P ( i , j ),
P ( i ( k ))
1
P (i(
1 k
)),
P ( i , j ( k ))
1
P ( i , j ( k )).
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2 引理 对任一矩阵 A 作一初等行(列)变换相当于 对 A 左(右)乘一个相应的初等矩阵．
3 5 6
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r1 r2
r3 r2
1 0 2 1 1 0 r 2r 3 1 0 2 5 2 1 0 r 2 5 r3 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 2 0 2 r 2） 2 （ 0 3 6 5 （ r3 1） 1 1 1 1 0 1 3
一、初等矩阵 二、等价矩阵 三、用初等变换求矩阵的逆
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一、初等矩阵
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的
矩阵，称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵:
1 . 对调两行或两列； 2 . 以数 k 0 乘某行或某列； 3 . 以数 k 乘某行（列）加到另一
第 i 行
(倍法矩阵)
§4.6 初等矩阵
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3 、以数 k 0 乘某行 ( 列 ) 加到另一行
( 列 ) 上去
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 [ 或以 k 乘 E 的第 i 列加到第
i 行上 ( ri kr j )
j 列上 ( c j kc i )，
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等价矩阵的秩相等．
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§4.6 初等矩阵
矩阵等价的有关结论
1) 定理5
1 0 0
任一 s n 矩阵 A 都与一形式为
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Er 0 0 0
2 3 ， 3
3 X 2 1
2 3 . 3
§4.6 初等矩阵
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如果要求 Y CA A 列变换 C
也可改为对
T
1
, 则可对矩阵
A 作初等列变换， C
1 c 3
A P3 P1 E P2 P4 P3 P1 P2 P4 .
1 P1 0 0 1 P3 0 0
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0 0 1 0 1 0
0 1 , 0 0 0 , 1
1 P2 0 2 1 P4 0 0
行（列）上去．
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1、 对调两行或两列
对调 E 中第 i , j 两行，即
( ri r j )，得初等方阵
1 1 0 1 1 P (i, j) 1 1 0 1 1
三、利用初等变换求逆阵
原理:
1
当 A 0时，由
1 1
A P1 P2 Pl，有
Pl Pl 1 P1 E A
1 1 1 1
Pl Pl 1 P1 A E , 及 Pl Pl 1 P1
1 1 1 1 1
,
A E
1 1 1 1
§4.6 初等矩阵
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r1 2 r3
r 2 5 r3
1 0 0
0 2 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 3 2 1
3 4 1
2 6 3
r2 2） 1 （ 0 r3 1） （ 0
Pl Pl 1 P1 A Pl Pl 1 P1 E
E
A
1
E 就变成 A
1
即对 n 2 n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的
§4.6 初等矩阵
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.
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例１ 设
1 A 2 3 2 2 4 2 2 2
思考题
1 将矩阵 A 2 0 的乘积 . 0 0 1 0 1 表示成有限个初等方阵 0
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
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解 A可以看成是由3阶单位矩阵 E 经4次初等变换,
r2 r3 , c1 2 c 3 ,
1 r3 ,
第i 行
第 j 行
(换法矩阵)
§4.6 初等矩阵
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2 、以数
k 0 乘某行或某列
以数 k 0 乘单位矩阵的第期 i 行 初等矩阵
1 1 P ( i ( k )) k 1 1
( ri k ), 得
P ( i , j ( k )) A A P ( i , j ( k ))
2012-9-22
：A 的第 i 列乘以 k 加到第 j 列．
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二、等价矩阵
定义 若矩阵B可由A经过一系列初等变换得到，
则称A与B等价的．（也称A与B相抵） 注： ① 矩阵的等价关系具有： 反射性、对称性、传递性. ②
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利用初等行变换求逆阵 矩阵 A
1
的方法，还可用于求
B .
A
1
(A B) (E
A
1
B)
即
(A B)
初等行变换
E
A B
1
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例２ 求矩阵 X , 使 AX B ，其中
1 A 2 3 2 2 4 3 1 , 3
2 2 2 0 2 0 0 2 0
3 5 6 2 5 1 0 0 1
2 1 2 1 1 1 3 4 1
5 9 12 4 9 3 2 6 3
r3 r2
r1 2 r3
r 2 5 r3
B ห้องสมุดไป่ตู้AQ .
由此得定理5的另一种叙述： 对任一 s n 矩阵A，存在可逆矩阵
E 0 PAQ r 0 0
Ps s , Q n n
,使
，其中 r R ( A ) ．
推论2 可逆矩阵可经一系列初等行(列)变换化成 单位矩阵.
§4.6 初等矩阵
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P (i, j) A : A P ( i , j ): P ( i ( k )) A A P ( i ( k ))
对换 A 的 i , j 两行； 对换 A 的 i , j 两列．
：用非零数 k 乘 A 的第 i 列； ：用非零数 k 乘 A 的第 i 列．
A ： 的第 j 行乘以 k 加到第 i 行 ;
3) n 级方阵A可逆
A的标准形为单位矩阵E. A与单位矩阵E等价.
4) n 级方阵A可逆 定理6
§4.6 初等矩阵
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A能表成一些初等矩阵的积, 即
A Q 1Q 2 Q t .
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推论1 两个 s n 矩阵A、B等价
存在 s 级可逆矩阵P及 n 级可逆矩阵Q, 使
2 2 4 3 1 3
3 1 1 ,求 A . 3 1 0 0 1 2 3 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 r1 r2 0 r3 r2 1
解
1 A E 2 3 1 r2 2 r1 0 r3 3 r1 0