拉普拉斯定理_行列式乘法
§8拉普拉斯(Laplace)定理·行列式的乘法规则
这里 cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj , i , j = 1,2,L , n.
∴ D = ( −1)
1+ 2+L+ n+ ( n+1)+L+ 2 n
cij ( −1) = cij
n
从而
aij bij = cij ,
cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj , i , j = 1,2,L , n.
按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列 按照原来次序组成一个 ，称为行列 级子式； 式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 n − k 级 行列 余子式； 式 M ′ ，称为 k 级子式 M 的余子式；
中所在的行、 若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是
−1 2 = 5 A = ( −1)1+ 3+1+ 2 0 1 = 0 , 4 , 1 3 0 1 0 2 = 0 , A = ( −1)1+ 3+1+ 2 0 −1 = 0 . 6 0 3 0 1
4+1+1+ 3
∴ D = (−2) 1 + 0 (−2) + (−1) 5 + 2 0 + 6 0 + (−1) 0 = −7
又对D作初等行变换： 又对 作初等行变换： 作初等行变换
ri = ai 1rn+1 + ai 2 rn+ 2 + L + ain r2 n , i = 1,2,L , n.
一、k 级子式 余子式 代数余子式
中所在的行、 若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是
i1 , i2 ,L , ik ; j1 , j2 ,L , jk ，则在 M 的余子式 M ′ 前
( −1)i1 + i2 +L+ ik + j1 + j2 +L+ jk 后称之为 M 的代数 后称之为 加上符号
余子式， 余子式，记为 A = ( −1)
c d −a −b b −a d −c
d −c b −a c −d −a b d c −b −a
a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0 0 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 = 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 0 a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
Laplace 定理
设在行列式 D 中任意取 k ( 1 ≤ k ≤ n − 1 )行， 行 元素所组成的一切k级子式与它们的 由这 k 行元素所组成的一切 级子式与它们的 代数余子式的乘积和等于 D．即 ． 若 D 中取定 k 行后，由这 k 行得到的 k 级子式 行后， 为 M 1 , M 2 ,L , M t ，它们对应的代数余子式分别为 它们对应的代数余子式分别为
M 3 = 1 4 = −1, 1 3 M 5 = 2 4 = 6, 0 3
它们的代数余子式为
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
2 1 = 2, M4 = 0 1 M 6 = 1 4 = −1 1 3
A1 = ( −1)
线性代数课件--ch-1-3 拉普拉斯定理 行列式的乘法公式
定义 1
拉普拉斯定理
行列式的乘法公式
在 n 阶 行 列 式 D 中 任 取 k 行 ( 第 i1 , i2 , , ik
1 k n .位于这些行和列的 行) k 列(第 j1 , j2 , , jk 列)，
交叉点上的元素按原来 相应的位置组成一个 k 阶行列式
N ，称为行列式 D 的一个 k 阶子式．
0 0 0 0
0 0 a 11 a 1n b 11 b 1m
b 1m an1 ann bm1 bmm bmm
a11 a1n b11 b1m (1)mn an1 ann bm1 bmm
a11 a1n an1 ann c11 c1m
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定理 1（拉普拉斯定理） 设在行列式
D 中任意取定 D．
D 按某
k (1 k n 1) 行．由这 k 行元素所组成的一切 k 阶子
式与它们相应代数余子式的乘积之和等于行列式
称对行列式 D 应用拉普拉斯定理为将行列式
k 个行展开．
假如把行换成列，则称将行列式
D 按某 k
证明
North University of China
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例 4 试计算下列行列式的平方，从而求出 D ．
a D b c d
b a d c
c d a b
d c b a
.
T 解 首先，根据行列式的性质，D D ， 其次，
a D DD
2 T
b a d c
N1
5 6 1 5
19 ， N 2
5 0 1 6
30 ， N 3
拉普拉斯定理
例1 计算5阶行列式
1 2 0 0 1 0 1 2 3 0 D 1 3 0 0 0 0 2 2 1 0 0 3 4 1 3
解: 对D的第1,3 行用Laplace定理,在第1,3 行 中不为零的二阶子式分别是
1 1 1 1 2 1 N1 1, N2 1, N3 3 2 3 1 0 3 0
它们各自对应的代数余子式是
2 3 0
1 2 3
A1 2 1 0 12, A2 2 2 1 6, A3 0 4 1 3 3 4 1
所以 D=12－6=6.
例2 计算2n阶行列式
a1 a2 an 1 D2 n bn 1 b2 b1 an bn bn an an 1 a2 a1 bn 1 b2 b1
解 对的第n,n+1行应用Laplace定理（按第n, n+1 行展开）得
a1 a2 D2 n an bn bn an b2 b1
2 2 (an bn ) D2 n 2
b1 b2 an 1 bn 1 bn 1 an 1 a2 a1
利用这个递推关系式有定理拉普拉斯拉普拉斯定律拉普拉斯变换拉普拉斯定理行列式拉普拉斯展开定理拉普拉斯方程拉普拉斯算子陶哲轩拉普拉斯分布
*
拉普拉斯定理
定义1
在 n 阶行列式中，任取r 行 r 列
2
（ 1 k n}, 位于这些行列交叉处的r 个元 素按原来的次序所构成 的r阶行列式，称 为行列式 的 一个r 阶子式.在 n 阶行列式中， 划去某个r 阶子式M所在的行与列后 ,剩下的 n r 行 n r 列上的元也构成一个 n r阶子 式N。我们称这一对子式 M与N互为余子式。
设r 阶子式M是由行列式中第 i1 , i2 ,, ir 行和 第j1 , j2 ,, jr 列相交处的元也构成的 ，而且 N是M的余子式。则称带有正 或负号
§2.8拉普拉斯(Laplace)定理
从而
a ij b ij c ij ,
c ij a i 1 b1 j a i 2 b 2 j a in b n j ,
i , j 1, 2 , , n .
§2.8 Laplace定理
例2：证明齐次性方程组
ax1 bx1 cx 1 dx1 bx2 ax2 dx2 cx 2 cx 3 dx3 ax3 bx3 dx4 cx 4 bx4 ax4 0 0 0 0
A 1 , A 2 , , A t , 则 D M 1 A 1 M 2 A 2 M t A t. .
§2.8 Laplace定理
注：
① k 1 时，D M 1 A1 M 2 A 2 M t A t 即为行列式 D 按某行展开；
a11 a1 k 0 a k 1 a kk 0 D b1 1 * br 1 0 a 1 1 a 1 k b1 1 b1 r 0 b1 r a k 1 a k k b r 1 b rr b rr
只有零解．其中 a , b , c , d 不全为0．
§2.8 Laplace定理
证：系数行列式
a b c d b a d c D c d a b d c b a a b c d b a d c c d a b d c b a
D
2
a b c d b a d c DD c d a b d c b a
二、拉普拉斯(Laplace)定理
引理
行列式 D 的任一子式 M 与它的代数余子式 A的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中 的一项，而且符号也一致．
§2.8 Laplace定理
2.8 Laplace定理(简介)
a
k 1
n
ik kj
b
(i, j 1, 2, , n) .
cij ai1b1 j ai 2b2 j ainbnj aik bkj ，即乘积为 n 级行列式，其第 i
k 1
n
行、 j 列上元素 cij 为行列式 D1 中第 i 行元素与行列式 D2 中第 j 行对应 第 元素乘积的和. 该定理也称为行列式的乘法定理，其意义在第四章讨论.
1 0 例 1： D 0 0 2 1 0 0 1 2 2 1 4 1 中选定第 1，3 行，第 2，4 列得 2 级子式： 1 3
M
2 0
4 , 1
M 的余子式：M /
a12 a22 a32 a42 a52 a13 a23 a33 a43 a53 a14 a24 a34 a44 a54
D
3. 定理 7
a11 D1 ai1 an1
a12 a1n a11 a1 j a1n a21 a2 j a2 n ai 2 ain , D2 an1 anj ann an 2 ann
c11 c1 j c1n D1 D2 C ci1 cij cin , 其中 cij cn1 cnj cnn
k级（代数）余子式的概念 Laplace定理 行列式乘法规则
拉普拉斯（749-1827）：法国数 学家，物理学家,16岁入开恩大学 学习数学，后为巴黎军事学院教授. 曾任拿破仑的内政部长,后被拿破仑 革职.也曾担任过法兰西学院院长. 写了《天体力学》（共5卷）,《关 于几率的分析理论》的不朽著作， 赢得‚法兰西的牛顿‛的美誉.拉普拉斯的成就巨大 ， 现在数学中有所谓的拉普拉斯变换、拉普拉斯方程、 拉普拉斯展开式等. 他正好死于牛顿死亡的第100年 ，他的最后一句话是‘我们知之甚少，不知道的却 甚多’.
§8拉普拉斯(Laplace)定理·行列式的乘法规则
即 D 0，故方程组只有零解．
1 1 M2 0 , 1 1 2 4 M5 6 , 0 3 1 4 M6 1 . 1 3
它们的代数余子式为
A1 ( 1)
1 31 2
0 1 0 A ( 1)1 3 2 4 1 1 2 , , 2 1 1 0 1 1 2 5 A ( 1)1 31 2 0 1 0 , 4 , 1 3 0 1 0 2 0 , A ( 1)1 31 2 0 1 0 . 6 0 3 0 1
A3 ( 1) A5 ( 1)
1 3 2 3
411 3
∴ D ( 2) 1 0 ( 2) ( 1) 5 2 0 6 0 ( 1) 0 7
三、行列式乘法法则
设有两个n 级行列式 a11 a12 a1n b11 b12 a21 a22 a2 n b21 b22 D1 , D2
M .
注： ① k 级子式不是唯一的.
k k （任一 n 级行列式有 C n C n个 k 级子式）．
② k 1 时，D中每个元素都是一个1级子式；
k n 时，D本身为一个n级子式．
二、拉普拉斯(Laplace)定理
引理
行列式 D 的任一子式 M 与它的代数余子式 A的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中 的一项，而且符号也一致．
一、k 级子式与余子式、代数余子式
二、拉普拉斯(Laplace)定理
三、行列式乘法法则
一、k 级子式与余子式、代数余子式
定义 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列
2 k ( k n)，位于这些行和列的交叉点上的 个元素
按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列 式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 n k 级 行列 式 M ，称为 k 级子式 M 的余子式；
拉普拉斯(Laplace)定理
行运用Laplace 定理结果． 定理结果． 为行列式 D 取定前 k 行运用
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
1 0 例1：计算行列式 D = 1 ： 0
M 1 = 1 2 = −2, 解： 1 0
2 1 4 −1 2 1 0 1 3 1 3 1 M 2 = 1 1 = 0, 1 1
从而
aij bij = cij ,
cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + ⋯ + ainbnj , i , j = 1,2,⋯ , n.
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
例2：证明齐次性方程组 ：
ax1 + bx2 + cx3 + dx4 bx1 − ax2 + dx3 − cx4 cx − dx − ax + bx dx1 + cx2 − bx3 − ax4 2 3 4 1
c d −a −b b −a d −c
d −c b −a c −d −a b d c −b −a
a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0 0 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 = 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
级子式与余子式、 一、k 级子式与余子式、代数余子式
定义 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列
k 2个元素 ( k ≤ n)，位于这些行和列的交叉点上的 位于这些行和列的交叉点上的
按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列 按照原来次序组成一个 ，称为行列 级子式； 式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 n − k 级 行列 余子式； 式 M ′ ，称为 k 级子式 M 的余子式；
线性代数重要公式定理大全
线性代数重要公式定理大全线性代数是数学中的一个重要分支，它研究矩阵、向量、线性方程组等基本概念和性质，并运用线性代数的理论和方法解决实际问题。
在学习线性代数时，了解一些重要的公式和定理，不仅可以帮助我们更好地理解和应用线性代数的知识，还能为进一步学习和研究提供基础。
在线性代数中，有许多公式和定理与行列式、矩阵、向量、线性变换和特征值等相关。
下面我将介绍一些重要的公式和定理，希望对你的学习有所帮助。
一、行列式的公式和定理1. 行列式的定义：设有n阶方阵A，它的行列式记作，A，或det(A)，定义为：A，=a₁₁A₁₁-a₁₂A₁₂+...+(-1)^(1+n)a₁ₙA₁其中，a₁₁，a₁₂，...，a₁ₙ分别是矩阵第一行元素，A₁₁，A₁₂，...，A₁ₙ是矩阵去掉第一行和第一列的余子式。
2.行列式的性质：（1）行互换改变行列式的符号，列互换改变行列式的符号。
（2）行列式相邻行（列）对换，行列式的值不变。
（3）行列式其中一行（列）中的各项都乘以同一个数k，行列式的值也乘以k。
（4）互换行列式的两行（列），行列式的值不变。
（5）若行列式的行（列）的元素都是0，那么行列式的值为0。
（6）行列式的其中一行（列）的元素都是两数之和，那么行列式的值等于两个行列式的值之和。
3.行列式的计算：（1）按第一行展开计算行列式：将行列式的第一行元素与其所对应的代数余子式相乘，然后加上符号，得到行列式的值。
（2）按第一列展开计算行列式：将行列式的第一列元素与其所对应的代数余子式相乘，然后加上符号，得到行列式的值。
4.行列式的性质定理：（1）拉普拉斯定理：行列式等于它的每一行（列）的元素与其所对应的代数余子式的乘积之和。
（2）行（列）对阵定理：行列式的值等于它的转置矩阵的值。
（3）行列式的转置等于行列式的值不变。
二、矩阵的公式和定理1.矩阵的定义：将一个复数域上的m行n列数排成一个长方形，并按照一定的顺序进行排列，这个排列称为一个m×n矩阵，其中m是矩阵的行数，n是矩阵的列数。
2§8 拉普拉斯(Laplace)定理
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例3 在行列式
1 D= 1 0 2 0 1 1 4 1 3 3 1 0 −1 2 1
中取定第1，2行。得到六个子式：
1 2 1 1 1 4 M1 = , M2 = , M3 = , 0 −1 0 2 0 1
M4 = 2 1 −1 2 , M5 = 2 4 −1 1 , M6 = 1 4 2 1 .
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根据拉普拉斯定理，将D按前n行展开，则因D中前 n行除去左上角那个n级子式外，其余的n 级子式都 等于0，所以
a11 a21 D= ⋮ an1 a12 ⋯ a1n a22 ⋯ a2 n ⋮ ⋮ an 2 ⋯ ann b11 b12 ⋯ b1n b21 b22 ⋯ b2 n ⋅ = D1 D2 . ⋮ ⋮ ⋮ bn1 bn 2 ⋯ bnn
b12 ⋯ b1n b22 ⋯ b2 n ⋮ ⋮
−1 bn1 bn 2 ⋯ bnn
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a1n bn1 a1n bn 2 ⋯ a1n bnn
⋯
a12b21 a12b22 ⋯ a12b2n
a11 a12 ⋯ a1n
+ +
⋯
+ +
+
⋯
+ + +
a12 a11
a1n
⋮
a21 a22 ⋯ a2 n ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann −1 0 ⋯ 0 0 −1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ −1
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定理6 拉普拉斯定理） 定理6（拉普拉斯定理）
设在行列式D中任意取定了k（1≤k≤n+1）个行， 由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子 式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D。 证明：设D中取定k行后得到的子式为 证明： M 1 , M 2 ,⋯, M t , 它们的代数余子式为A1 , A2 ,⋯, At , 定理要求证明：
一k级子式余子式代数余子式
一k级子式余子式代数余子式余子式二、拉普拉斯(Laplace)定理拉普拉斯(Laplace)定理三、行列式乘法法则级子式与余子式、一、k级子式与余子式、代数余子式定义在一个n级行列式D中任意选定k行k列k2个元素(k≤n),位于这些行和列的交叉点上的位于这些行和列的交叉点上的按照原来次序组成一个k级行列式M,称为行列按照原来次序组成一个，称为行列级子式；式D的一个k级子式；在D中划去这k行k列后余下的元素按照原来的次序组成的nk级行列余子式；式M′,称为k级子式M的余子式；§2.8Laplace定理Laplace定理中所在的行、若k级子式M在D中所在的行、列指标分别是i1,i2,L,ik;j1,j2,L,jk,则在M的余子式M′前(1)i1+i2+L+ik+j1+j2+L+jk后称之为M的代数后称之为加上符号余子式，余子式，记为A=(1)i1+i2+L+ik+j1+j2+L+jkM′.注：①k级子式不是唯一的级子式不是唯一的.kk级子式).(任一n级行列式有CnCn个k级子式).②k=1时，D中每个元素都是一个级子式；中每个元素都是一个1级子式中每个元素都是一个级子式；k=n时，D本身为一个级子式.本身为一个n级子式本身为一个级子式.§2.8Laplace定理Laplace定理二、拉普拉斯(Laplace)定理拉普拉斯定理引理行列式D的任一子式M与它的代数余子式A的乘积中的每一项都是行列式D的展开式中的乘积中的每一项都是行列式的一项，而且符号也一致.的一项，而且符号也一致.§2.8Laplace定理Laplace定理Laplace定理设在行列式D中任意取k(1≤k≤n1)行，行元素所组成的一切k级子式与它们的由这k行元素所组成的一切级子式与它们的代数余子式的乘积和等于D.即.若D中取定k行后，由这k行得到的k级子式行后，为M1,M2,L,Mt,它们对应的代数余子式分别为它们对应的代数余子式分别为A1,A2,L,At,则D=M1A1+M2A2+L+MtAt..§2.8Laplace定理Laplace定理注：①k=1时，D=M1A1+M2A2+L+MtAt按某行展开；即为行列式D按某行展开；a11La1k0L0LLLLLLaL11ak1Lakk0L0=LL②D=b11Lb1raLk1某LLLbr1Lbrra1kLakkb11Lbr1LLLb1rLbrr行运用Laplace定理结果.定理结果.为行列式D取定前k行运用§2.8Laplace定理Laplace定理10例1:计算行列式D=1:0M1=12=2,解：10214121013131M2=11=0,11M3=14=1,13M5=24=6,03它们的代数余子式为§2.8Laplace定理Laplace定理21=2,M4=01M6=14=113A1=(1)1+3+1+201=0A=(1)1+3+2+411=2,,2110112=5A=(1)1+3+1+201=0,4,130102=0,A=(1)1+3+1+201=0.60301A3=(1)A5=(1)1+3+2+34+1+1+3∴D=(2)1+0(2)+(1)5+20+60+(1)0=7§2.8Laplace定理Laplace定理三、行列式乘法法则设有两个n设有两个级行列式a11a12La1nb11b12a21a22La2nb21b22D1=,D2=MMMMMMan1an2Lannbn1bn2LLMLb1nb2nMbnnc11c12Lc1nc21c22Lc2n则D1D2=MMMMcn1cn2Lcnnn其中cij=ai1b1j+ai2b2j+L+ainbnj=∑aikbkj,i,j=1,2,L,n§2.8Laplace定理Laplace定理k=1证：作一个级的行列式作一个2n级的行列式a11La1n0LLLLan1Lann0D=b111OL1bn1由拉普拉斯定理LLLLLL0L0b1nLbnna11La1nb11Lb1nD=LLLLLL=aijbijan1Lannbn1Lbnn§2.8Laplace定理Laplace定理又对D作初等行变换：又对作初等行变换：作初等行变换ri=ai1rn+1+ai2rn+2+L+ainr2n,i=1,2,L,n.可得0L0c11LLLL0L0cn1D=b111OL1bn1LLLLLLc1nLcnnb1nLbnn这里cij=ai1b1j+ai2b2j+L+ainbnj,i,j=1,2,L,n.§2.8Laplace定理Laplace定理∴D=(1)1+2+L+n+(n+1)+L+2ncij(1)n=cij从而aijbij=cij,cij=ai1b1j+ai2b2j+L+ainbnj,i,j=1,2,L,n.§2.8Laplace定理Laplace定理例2:证明齐次性方程组：a某1+b某2+c某3+d某4b某1a某2+d某3c某4c某d某a某+b某d某1+c某2b某3a某42341=0=0=0=0只有零解.不全为0.只有零解.其中a,b,c,d不全为.§2.8Laplace定理Laplace定理证：系数行列式a2′=bD=DDcdaD=bcdbadccdabbadcdcbaabcdcdabbadcdcbacdabdcbaa2+b2+c2+d2000000a2+b2+c2+d2=00a2+b2+c2+d20a2+b2+c2+d2000§2 .8Laplace定理Laplace定理=(a+b+c+d)22224a,b,c,d不全为，有(a2+b2+c2+d2)4≠0不全为0,由故方程组只有零解.即D≠0,故方程组只有零解.§2.8Laplace定理Laplace定理。
拉普拉斯定理行列式乘法课件
课件将按照知识点介绍、例题解析、练习与测试的顺序展开，确保内容的连贯 性和完整性。
02
拉普拉斯定理详解
拉普拉斯定理定义
定义
拉普拉斯定理是一种关于行列式的展开定理，它建立了n阶行 列式与其子行列式之间的关系。
定理表述
在一个n阶行列式中，任取k行、k列（k≤n），则由这k行、k 列元素所构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积之和等于 行列式的值。
04
拉普拉斯定理在行 列式乘法中应用
利用拉普拉斯定理简化计算过程
定理内容
拉普拉斯定理是行列式展开定理 的推广，可用于简化行列式的计
算过程。
展开方式
通过选取适当的行或列进行展开， 将复杂行列式化为简单行列式的和 ，降低计算难度。
应用实例
通过具体实例展示如何利用拉普拉 斯定理简化行列式的计算过程，包 括数值型行列式、字母型行列式等 。
应用实例
通过具体实例展示克拉默法则在解决实际问 题中的应用，如工程问题、经济问题等。同 时，强调克拉默法则与拉普拉斯定理之间的 联系与区别。
05
总结与回顾
关键知识点总结
拉普拉斯定理
01
描述了如何从一个大行列式中根据所选的行和列挑选出一些小
行列式，并将它们组合在一起得到原行列式的展开式。
行列式乘法的性质
行列式乘法简介
行列式乘法原则
行列式乘法遵循一定的原则，包括行 列式相乘、对应元素相乘等，用于求 解两个行列式的乘积。
注意事项
行列式乘法需要注意符号的确定、元 素的对应关系以及计算过程中的化简 等。
课件目的与结构
目的
本课件旨在帮助学生理解和掌握拉普拉斯定理及行列式乘法的原理和应用，提 高解题能力。
线性代数 1.5 行列式按 k 行(列)展开——拉普拉斯(Laplace)定理
第一章 行列式
1.5 行列式按 k 行(列)展开 ——拉普拉斯(Laplace)定理
一、 拉普拉斯定理 二、 小结、思考题
. #;
一、拉普拉斯定理
定义（见课本 P32-33）
方阵的 k 阶子式
k 阶子式的余子式
k 阶子式的代数余子式
例如:
a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25
A 为 5 阶方阵, | A | a31 a32 a33 a34 a35
a41 a42 a43 a44 a45
a51 a52 a53 a54 a55
比较元素 aij 的余子式、代数余子式.
. #;
再例:
a11 a12 a13 | A | a21 a22 a23
a31 a32 a33
A 的第1, 2行元素 组成的 2 阶子式:
(a 2 b2 )2 D2(n2) (a 2 b2 )n1 D2
(a2 b2 )n1 a b (a2 b2 )n . ba
证明二：（数学归纳法）见课本 P34 .
. #;
a1 0 b1 0 例 计算 4 阶行列式 : 0 c1 0 d1 .
b2 0 a2 0 0 d2 0 c2
a12 a13 a22 a23
a11 a13 a21 a23
a11 a12 a21 a22
2 阶子式的余子式:
a31
a32
a33
2 阶子式的 代数余子式:
(1)(12)(23) a31 a31 (1)(12)(13) a32 a32 (1)(12)(12) a33 a33
. #;
观察 3 阶行列式 aij 按第三行展开式 :
. #;
拉普拉斯定理与行列式的乘法
c12 c22 ... b12 b22 ...
... c1n ... c2 n ... ...
cn 2 ... cnn ... b1n ... b2 n ... ...
− 1 0 ... 0 − 1 ... ... 0 ... 0 ...
... − 1 bn1 bn 2 ... bnn
其中 cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ... + ainbnj (i, j = 1,2,..., n).把上 面的行列式按前n行展开 由拉普拉斯定理,得 面的行列式按前 行展开,由拉普拉斯定理 得 行展开 由拉普拉斯定理
按第1,2两行展开.
1 D = 0 0
2 c 4 =6个2阶子式: 解: 由第1,2两行可以得到
2 1 2 0 2 0 s1 = = 3, s2 = = 2, s3 = = 0, 1 2 1 1 1 0 s4 = 1 0 2 1 = 1, s5 = 1 0 2 0 = 0, s6 = 0 0 1 0 = 0.
证明:
作2n阶行列式
a11 a21 ...
a12 a22 ...
... a1n ... a2 n ... ... 0 0 ...
0 0 ... 0 b11 b21 ...
0 0 ... 0 b12 b22 ...
... ... ... ...
0 0 ... 0
D=
an1 −1 0 ... 0
an 2 ... ann 0 ... − 1 ... ... 0 ... ...
定理2
的乘积等于一个n阶行列式
c11
c21 c22 ... c2 n D1 = , ... ... ... ... cn1 cn 2 ... cnn
拉普拉斯定理行列式的乘法规则
拉普拉斯定理行列式的乘法规则det(A) = ∑(−1)^(i+j) * a_ij * M_ij其中，det(A)表示矩阵A的行列式；a_ij表示矩阵A的第i行第j 列的元素；M_ij表示矩阵A的第i行第j列元素的代数余子式，它是将a_ij从矩阵中删去后所形成的(n-1) × (n-1)次方阵的行列式。
A=[a11,a12,a13][a21,a22,a23][a31,a32,a33]根据拉普拉斯定理，我们可以计算出该矩阵的行列式为：det(A) = a11 * M_11 - a12 * M_12 + a13 * M_13其中，M_11,M_12和M_13分别是由删去第1行第1列、第1行第2列和第1行第3列元素所形成的2×2次方阵的行列式。
以M_11为例，它的计算公式为：M_11=a22*a33-a23*a32类似地，可以计算出M_12和M_13的值。
将它们代入行列式的展开式中，即可得到方阵A的行列式的数值。
行列式的乘法规则是指两个方阵的行列式相乘的规则。
设有两个n × n的方阵A和B，它们的行列式分别为det(A)和det(B)，则它们的乘积的行列式为：det(A * B) = det(A) * det(B)这个规则的意义在于，可以通过行列式的乘积来求解两个矩阵的乘积的行列式。
在实际计算中，我们可以先计算两个矩阵的行列式，再将它们相乘，从而避免了直接计算矩阵乘积的复杂性。
行列式的乘法规则也可以用于计算矩阵的幂。
设有一个n × n的方阵A，它的行列式为det(A)，则A的k次幂的行列式为：det(A^k) = [det(A)]^k这个公式表明，矩阵的乘幂的行列式等于该矩阵的行列式的k次幂，用于快速计算矩阵的高次幂的行列式十分有效。
拉普拉斯定理和行列式的乘法规则在许多领域都有广泛的应用，特别是在线性方程组的求解中。
通过拉普拉斯定理，我们可以将线性方程组转化为行列式的计算问题，从而可以方便地求解线性方程组的解。
拉普拉斯定理
a1α1 a 2α 2 " a kα k a k +1, β k +1 a k + 2, β k + 2 " a nβ n
其前面所带符号为 (−1)τ (α1α 2 "α k ) +τ (( β k +1 − k )( β k + 2 − k )"( β n − k )) = (−1)τ (α1α 2 "α k β k +1β k + 2 "β n ) ，于是，这个乘积项 是行列式 D 的展开式中的一项，而且符号也一致。 下证一般情形： 设子式 M 位于 D 的第 i1 、 i2 、…、 ik 行，第 j1 、 j 2 、…、 j k 列，其中 i1 < i2 < " < ik ；
1
a11 # D= ak1 a k +1,1 # a n1
" M " % "
a1k # a kk # a nk
a1,k +1 # a k ,k +1 a k +1,k +1 # a n ,k +1
" % "
a1n # a kn
" a k +1,k
" a k +1,n # M′ " a nn
此时， M 的代数余子式 A 为 A = (−1) (1+ 2+"+ k ) + (1+ 2+"+ k ) M ′ = M ′ M 的每一项可写作 a1α1 a 2α 2 " a kα k ，其中 α 1 、 α 2 、…、 α k 为 1、2、…、 k 的一个排列， 其前面所带符号为 (−1)τ (α1α 2 "α k ) ；
利用拉普拉斯定理计算行列式
㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０１９ １９利用拉普拉斯定理计算行列式利用拉普拉斯定理计算行列式Һ马佳奇㊀(青海师范大学ꎬ青海㊀西宁㊀８１０００８)㊀㊀ʌ摘要ɔ拉普拉斯定理是行列式按行按列展开定理的推广ꎬ可用于简洁快速地解决某些高阶行列式的计算和证明.本文首先介绍了拉普拉斯定理的内容ꎬ然后介绍了拉普拉斯定理在证明分块矩阵乘法方面的应用ꎬ最后利用拉普拉斯定理计算某些高阶的行列式.ʌ关键词ɔ行列式ꎻ拉普拉斯ꎻ子式ꎻ代数余子式高等代数在行列式这一章中介绍了行列式按行(列)展开定理和拉普拉斯定理ꎬ前者每次展开只能降低一阶ꎬ对计算某些高阶行列式而言使用效果不佳ꎻ而拉普拉斯定理降阶速度快ꎬ对计算某些高阶行列式来说十分方便ꎬ所以为了推广这种方法ꎬ本文归纳了拉普拉斯定理ꎬ并给出了该定理在行列式计算中的应用.一㊁拉普拉斯定理(一)拉普拉斯定理定理１[１]㊀设在行列式Ｄ中任意取定了ｋ(１ɤｋɤｎ－１)行ꎬ由这ｋ行元素所组成的一切ｋ级子式为Ｍ１ꎬＭ２ꎬ ꎬＭｔ(ｔ＝Ｃｋｎ)ꎬ它所对应的代数余子式为Ａ１ꎬＡ２ꎬ ꎬＡｉꎬ则Ｄ＝Ｍ１Ａ１＋Ｍ２Ａ２＋ ＋ＭｔＡｉ＝ðｔｉ＝１ＭｉＡｉ.(二)拉普拉斯定理求行列式的两个重要结论定理２[２]㊀(１)ｍ＋ｎ阶行列式Ａｍˑｍ０ＢｎˑｍＣｎˑｎ＝｜Ａｎˑｍ｜｜Ｃｎˑｎ｜ꎻ(２)ｍ＋ｎ阶行列式０ＡｍˑｍＣｎˑｎＢｎˑｍ＝(－１)ｍｎ｜Ａｍˑｍ｜｜Ｃｎˑｎ｜.(二)拉普拉斯定理的应用１.利用拉普拉斯定理证明相关命题定理３[３]㊀设ＡꎬＢ是ｎ阶方阵ꎬ则｜ＡＢ｜＝｜Ａ｜｜Ｂ｜.定理４㊀Ａ１００００Ａ２００００⋱００００Ａｓ＝｜Ａ１｜｜Ａ２｜ ｜Ａｓ｜ꎬ其中Ａｉ是ｎｉ阶方阵ꎬｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｓ.定理４由定理２易得.２.利用拉普拉斯定理计算行列式例１㊀计算行列式Ｄ＝ａ００ｂ０ｃｄ００ｅｆ０ｇ００ｈ.解㊀由于Ｄ的第一㊁四行中只有一个２阶子式不为零ꎬ因此ꎬ取这两行ꎬ然后根据拉普拉斯定理展开得Ｄ＝ａｂｇｈ(－１)(１＋４)＋(１＋４)ｃｄｅｆ＝ａｃｆｈ－ａｄｅｈ＋ｂｅｄｇ－ｂｃｇｈ.例２㊀设Ａ＝３４００４－３００００２０００２２ꎬ求｜Ａ８｜及Ａ４.解㊀若记ＡＡ１００Ａ２æèçöø÷ꎬ其中Ａ１＝３４４－３æèçöø÷ꎬＡ２＝２０２２æèçöø÷ꎬ则Ａ成为一个分块对角矩阵.于是｜Ａ８｜＝｜Ａ｜８＝(｜Ａ１｜｜Ａ２｜)８＝｜Ａ１｜８｜Ａ２｜８＝１０１６ꎻＡ４＝Ａ４１００Ａ４２æèçöø÷.因为ꎬＡ２１＝２５００２５æèçöø÷ꎬ所以Ａ４１＝５４ＥꎻＡ２＝２１０４１æèçöø÷.代入即得Ａ４＝５４００００５４００００２４０００２６２４æèççççöø÷÷÷÷.三㊁结束语利用拉普拉斯定理对某些高阶行列式计算和证明ꎬ可以对高阶行列式更快地降阶ꎬ并且简单易操作ꎬ因而ꎬ学习者应重视拉普拉斯定理的学习应用.ʌ参考文献ɔ[１]王文省.高等代数[Ｍ].济南:山东大学出版社ꎬ２００４.[２]朱亚茹ꎬ牛泽钊.谈拉普拉斯定理及其应用[Ｊ].科技信息ꎬ２００９(３１):４９８－４９９.[３]蓝以中.高等代数学习指南[Ｍ].北京:北京大学出版社ꎬ２００８.[４]肖马成ꎬ周概容.线性代数㊁概率论与数理统计证明题５００例解析[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２００８.。
拉普拉斯(Laplace)定理-行列式的乘法规则
§8 拉普拉斯（Laplace ）定理 行列式的乘法规则一、拉普拉斯定理定义9 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列（n k ≤）,位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ,称为行列式D 的一个k 级子式。
在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式.从定义立刻看出，M 也是M '的余子式.所以M 和M '可以称为D 的一对互余的子式.例1 在四级行列式310120012104121-=D中选定第一、三行，第二、四列得到一个二级子式M ：1042=M ,M 的余子式为1020='M 。
例2 在五级行列式555453525125242322211514131211a a a a a a a a a a a a a a a D=中454342252322151312a a a a a a a a a M =和54513431a a a a M =' 是一对互余的子式.定义10 设D 的k 级子式M 在D 中所在的行、列指标分别是k k j j j i i i ,,,;,,,2121 ，则M 的余子式M '前面加上符号)()(2121)1(k k j j j i i i +++++++- 后称做M 的代数余子式。
因为M 与M '位于行列式D 中不同的行和不同的列，所以有下述引理 行列式D 的任一个子式M 与它的代数余子式A 的乘积中的每一项都是行列式D 的展开式中的一项,而且符号也一致。
定理6（拉普拉斯定理） 设在行列式D 中任意取定了k (11-≤≤n k ）个行。
由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D 。
例3 利用拉普拉斯定理计算行列式131310112104121-=D从这个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的。
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a41 a42 a43 a44
选定2、3行得子式和代数余子式分别为
M1
a21 a31
a22 a32
M2
a21 a31
a23 a33
M3
a21 a31
a24 a34
A1
a13 a43
a14 a44
A2
a12 a42
a14 a44
A3
a12 a41
a13 a43
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
1 2 14
例3：计算行列式
D
0 1
1 0
2 1
1 3
0 1 31
解：选定一二行得六个子式
M1
1 1
2 0
2,
M2
1 1
1 1
0,
M3
1 1
4 3
1,
M4
2 0
1 1
2,
M5
2 0
4 3
6,
M6
1 1
4 3
D1
a21 M
a22 M
L M
a2n M
,
an1 an2 L ann
b11 b12 L b1n
D2
b21 M
b22 M
M
2 0
4 1
M的余子式和代数余子式分别为
M
0 0
2 1
A=(-1)1+3+2+4M
0 0
2 1
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
例2：五阶行列式 a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25
D a31 a32 a33 a34 a35 a41 a42 a43 a44 a45 a51 a52 a53 a54 a55
中
a12 a13 a15 M a22 a23 a25
a42 a43 a45
与
M
a31 a51
a34 a54
是一对互余的子式.
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
二、拉普拉斯(Laplace)定理
引理
行列式 D 的任一子式 M 与它的代数余子式 A的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中 的一项，而且符号也一致．
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
注：
① k 1 时，D M1 A1 M2 A2 L Mt At
即为行列式 D 按某行展开；
a11 L a1k 0 L 0
LL ② D ak1 L
*
L akk
LL 0L b11 L LL
L 0 b L
一、k 级子式 余子式 代数余子式 二、拉普拉斯(Laplace)定理 三、行列式乘法法则
一、k 级子式与余子式、代数余子式
定义 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列
(k n)，位于这些行和列的交叉点上的 k 2个元素 按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列 式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 n k 级 行列 式 M，称为 k 级子式 M 的余子式；
a11 a12 a13 a14
D
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24 a34
a41 a42 a43 a44
M4
a22 a32
a23 a33
M5
a22 a32
a24 a34
A4
a11 a41
a14 a44
A5
a11 a41
a13 a43
M6
a23 a33
a24 a34
A6
a1k b11 L LLL akk br1 L
b1r L brr
br1 L brr
为行列式 D 取定前 k 行运用Laplace 定理结果．
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
例 对于四阶行列式
a11 a12 a13 a14
D
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24 a34
注： ① k 级子式不是唯一的.
（任一 n 级行列式有 CnkCnk个 k 级子式）． ② k 1 时，D中每个元素都是一个1级子式；
k n 时，D本身为一个n级子式．
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
例1：四阶行列式
1 2 14
D
0 0
1 0
2 2
1 1
0 0 13
选定1、3行，2、4列的一个二级子式M
0 0
2 3
0
,
A6
(1)1312
0 0
1 1
0
.
∴
D (2)1 0 (2) (1) 5 2 0 6 0 (1) 0 7
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
三、行列式乘法法则
设有两个n 级行列式
a11 a12 L a1n
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
Laplace 定理
设在行列式 D 中任意取 k (1 k n 1 )行， 由这 k 行元素所组成的一切k级子式与它们的 代数余子式的乘积和等于 D．即
若 D 中取定 k 行后，由这 k 行得到的 k 级子式 为 M1, M2 ,L , Mt ，它们对应的代数余子式分别为 A1, A2 ,L , At , 则 D M1 A1 M2 A2 L Mt At. .
1
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
它们的代数余子式为
A1
(1)1312
0 0
1 1
0
,
A2
(1)1324
1 1
1 1
2
,
A3 (1)1323
1 1
2 3
5,
A4
( 1)1 31 2
0 0
1 1
0
,
A5
(1)4113
a11 a41
a12 a42
∴ D M1 A1 M2 A2 M3 A3 M4 A4 M5 A5 M6 A6
M6A6
a23 a33
a24 a11 a34 a41
a12 a42
a23a34 a24a33
a11a42 a12a41
a23a34a11a42 a23a34a12a41 a24a33a11a42 a24a33a12a41
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是 i1, i2 ,L , ik ; j1, j2 ,L , jk ，则在 M 的余子式 M 前
加上符号 (1)i1i2L ik j1 j2L jk 后称之为 M 的代数
余子式，记为 A (1)i1i2L ik j1 j2L jk M .