第3节 球体及组合体(轻巧夺冠)

第3节 球体及组合体
课标要求： 1.利用实物、计算机软件等观察球及简单组合体的结构特征，能利用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.知道球体的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题
.
知 识 梳 理
1.球体的体积
一个底面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积与一个半径为R 的半球的体积关系 ．
用任一水平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆
环面.有上述可知：
圆环大圆半径为R ，小圆半径为l ，面积
πππ()S R l R l =-=-22222.所以，S S =12.根据祖暅原理，这两个几何体体积相等.即
所以球的体积
2.球体的表面积
如图,将球的表面分成n 个小球面，每个小球面的顶点与球心O 连接起来，近似的看作是一个棱锥，其高近似的看作是球的半径.则球的体积约为这n 个小棱锥的体积和，表面积是这n 个小球面的面积和.当n 越大时，分割得越细密，每个小棱锥的高就越接近球的半径，于是当n 趋近于无穷大时(即分割无限加细)，小棱锥的高就变
成了球的半径(这就是极限的思想).所有小棱锥的体积和
就是球的体积.最后根据球的体积公式就可以推导出球
的表面积公式.
3.球体的组合体
规则的几何体，如正方体、长方体、正棱柱等能够
和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，
通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
[微点提醒]
1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面， 截线是圆。

大圆--截面过球心，半径等于球半径；小圆--截面不过球心．
2：球心和截面圆心的连线垂直于截面．
3：球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 有下面的关系： 4：正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则
(1)若球为正方体的外接球，则2R ＝ ；
(2)若球为正方体的内切球，则2R ＝ ；
(3)若球与正方体的各棱相切，则2R ＝ .
(1)(2)图6
基 础 自 测
1．给出下列命题：
①过球面上任意两点只能作球的一个大圆；
②球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径；
③用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；
④球面也可看作到定点的距离等于定长的所有点的集合；
⑤半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转所形成的曲面叫做球面．
其中正确的个数是( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
2．两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9π和16π，则这两个平面间的距离是( )
A ．1
B ．7
C ．3或4
D ．1或7
3．半径为2的球的表面积为
A ．4π
B ．8π
C ．12π
D ．16π
4.(2019北京师大附中模拟)已知正方体的外接球的体积是323
π，则正方体的棱长等于 ． 5.(2019眉山市期末)若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于 . 6．(2019宿迁期末)如图，一个底面水平放置的倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水，水深为 h . 若在容器内放入一个半径为 1 的铁球后，水面所在的平面恰好经过铁球的球心 O （水没有溢出），则 h 的值为（ ）
考点一 球的体积
【例1】一个平面截一球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离为4，则这个球的体积为（ ）
A ．
100π3 B ．208π3 C ．500π3 D ．3
规律方法 1.求球的体积关键是求出球的半径，代入公式即可；
2.求球的半径的问题往往会涉及到关于半径的方程的问题，如涉及截面的问题；
3.球的体积公式是关于半径的三次函数，在遇到两个球的体积相关关系的问题的时候，可以从公式的函数关于出发，找到突破．
【训练1】 (1)将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的 倍．
(2)一种空心钢球的质量是732π g ，外径是5 cm ．求它的内径．（钢密度9 g/cm 3
求空心钢球的体积．
考点二 球的表面积
【例2－1】若一个实心球对半分成两半后表面积增加了4π cm 2，则原来实心球的表面积为
A ．4π cm 2
B ．8π cm 2
C ．12π cm 2
D ．16π cm 2 【例2－2】 三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ）
A.1倍
B.2倍
C.59倍
D.4
7倍.
规律方法 1.求球的表面积关键是求出球的半径，代入公式即可；
2.求球的半径的问题往往会涉及到关于半径的方程的问题，如涉及截面的问题；
3.球的表面积公式是关于半径的二次函数，在遇到两个球的表面积相关关系的问题的时候，可以从公式的函数关系出发，找到突破．
【训练2】正三棱柱ABC –A 1B 1C 1中，底面边长AB 3=，侧棱长AA 1＝2，则该棱柱的外接球表面积等于（ ）
A ．20π
B ．24π
C ．8π
D ．12π
【训练3】边长为4的正方体，它的外接球的表面积为（ ）
A ．24π
B ．36π
C ．48π
D ．72π
考点三 球的组合体的体积与表面积 典例迁移 【例3】 已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，求该球
的体积．
【迁移探究1】正四棱柱1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的
侧面积有最值为.
【迁移探究2】正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为（）A．64πB．32πC．16πD．8π
规律方法在研究与球的组合体的表面积和体积的时候常常会用到下列结论
1.正方体与球的切、接常用结论
正方体的棱长为a，球的半径为R，
(1)若球为正方体的外接球，则2R＝3a；
(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；
(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.
2.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.
3.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
【训练4】正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为.
[思维升华]
在各类考试中，与球有关组合的问题往往是：
1.一个几何体的所有顶点在球上，此球即为外接球，确定其半径的方法主要是：
①将几何体补为长方体或正方体，化为这两种特殊几何体的外接球问题；
②利用外接球的球心的特点（到几何体所有顶点的距离相等，先确定球心的轨迹，再列等式，解得半径；
2.内切球
也即球在几何体内部，与其所有侧面均相切，这种球的半径往往用体积公式来确定，此类问题出现较少。