仿射变换

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高考数学解析几何专题讲义第28讲--仿射变换

x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) （其中）与过点
A2,0, B 0,1 的直线有只且只有1个公共点 T
，且
椭圆的离心率 e 3 ． 2
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（ Ⅱ ）设 F1, F2 分别为椭圆的焦点， M 为线段 AF2 的中点，求证：
ATM AF1T ．解析：（Ⅰ）如下图
当椭圆的内接四边形的面积 2ab 时，其对应的圆内接四边形的面积就是 2ab 1 2 ，
ab 由平面几何知识知圆的内接正方形的面积为 2 ，
而这样的内接正方形有无数个，
还原到椭圆可知对应的椭圆内接四边形也有无数个，
故选 D．
【例
4】（2014 年高考全国新课标
1 卷理第
20
题）已知点 A0, 2 ，椭圆 E ：
解析：
在伸缩变换
:
x
y
x a y b
下，椭圆（如下图）变成圆，
（Ⅰ）由伸缩变换性质知 kAB
a b
k
AB
a b
, kOP
a b
kOP
a 2b
，
又在椭圆中 P 为 AB 的中点，则在单位圆中 P 为 AB 的中点，
则 OP
AB ，故 kABkOP
a2 2b2
1，
即 a2 2b2 ，
又因为直线 x y 3 0 过椭圆的右焦点，
bk． a
性质 3：线段 AB 中点 E 变成线段 AB 中点 E ．
性质 4：直线与曲线的位置关系保持不变．
性质 5：直线 AB 上线段成比例，则变成直线 AB 上对应的线段仍成比例．
性质
6：
S

仿射变换原理解析

详细描述
平移仿射变换涉及将图形在二维平面内沿某一方向进行移动，而不改变图形之间的相对位置和形状。这种变换通常由一个平移矩阵表示，其中包含平移向量和单位矩阵。平移向量决定了图形移动的距离和方向。
旋转仿射变换
总结词
旋转仿射变换是围绕某一点旋转图形，同时保持图形之间的相对位置和形状不变。
详细描述
旋转仿射变换涉及将图形围绕某一点进行旋转，同时保持图形之间的相对位置和形状不变。这种变换通常由一个旋转矩阵表示，其中包含旋转角度和旋转中心点坐标。旋转角度决定了图形旋转的角度，而旋转中心点坐标决定了旋转的基准点。
缩放仿射变换
总结词
缩放仿射变换是改变图形的大小，同时保持图形之间的相对位置和形状不变。
详细描述
缩放仿射变换涉及将图形的大小进行缩放，同时保持图形之间的相对位置和形状不变。这种变换通常由一个缩放矩阵表示，其中包含缩放因子和缩放中心点坐标。缩放因子决定了图形缩放的程度，而缩放中心点坐标决定了缩放的基准点。
03
图像校正
通过仿射变换，可以将倾斜的图像进行校正，使其恢复水平或垂直状态。
图像拼接
在图像拼接过程中，可以使用仿射变换将多张图像进行对齐，实现无缝拼接。
特征点匹配
通过仿射变换，可以将不同视角下的图像进行对齐，便于特征点匹配和计算。
计算机图形学中的仿射变换
3D模型渲染
在3D模型渲染过程中，可以使用仿射变换对模型进行旋转、缩放和平移等操作，以实现各种视觉
THANKS.
仿射变换的基本性质
仿射变换不改变图形间的相对位置和大小关系，即保持平行性和等比例性。
仿射变换可以分解为一系列基本变换的组合，如平移、旋转、缩放等。
仿射变换可以保持直线的性质，如直线的平行性和垂直性。

仿射变换

159仿射变换与双曲线的标准方程22221x y a b 相比椭圆的标准方程22221x y a b 在形式上极为接近圆的标准方程222x y r ．在这一讲，我们着重讲述利用仿射变换将椭圆变换为圆，再利用圆的良好几何性质解决问题的方法．对椭圆的标准方程22221x y a b ，我们需要在y 轴进行伸缩变换x x b y y a得到方程22221x y a a ．伸缩变换不会改变直线与圆锥曲线的交点个数、也不会改变共线线段长度的比例关系、平行和直线共点关系等等，但是伸缩变换会改变线段的长度，这需要引起充分的注意．【备注】仿射变换（Affine Transform ）是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形的“平直性”（译注： straightness ，即变换后直线还是直线不会打弯，圆弧还是圆弧）和“平行性”（译注：parallelness ，其实是指保二维图形间的相对位置关系不变，平行线还是平行线，而直线上点的位置顺序不变，另特别注意向量间夹角可能会发生变化．仿射变换可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括：平移（Translation ）、缩放（Scale ）、翻转（Flip ）、旋转（Rotation ）和错切（Shear ）．【备注】在伸缩变换①下，椭圆方程2222:1x y E a b变为圆222:E x y a ，椭圆上的点 00,P x y 变为00,a P x y b，因此过圆E 上一点P 的圆的切线方程为:l 200a x x y y a b该直线通过伸缩变换①就可以得到过椭圆E 上一点P 的椭圆的切线方程22002:a l x x y y a b即00221x x y ya b典型例题160例1（2010年上海）已知椭圆22x y ⑴ 设直线l【解析】 ⑴ 作仿射变换，椭圆方程变为222x y a ，则121k k∴C D O E ，根据垂径定理，E 是弦C D 的中点于是E 是CD 的中点．⑵ 如下图，求作点1P 、2P 的步骤为：1．以O 为圆心，椭圆的长轴长a 为半径作圆；2．过O 作射线，使Ox 轴正方向到该射线的角为，射线与圆交于Q ；3．过圆与y 轴正向的交点作y 轴的垂线，过圆与x 轴负向的交点作x 轴的垂线，两条垂线交于点P ；4．连结P Q ，取其中点N ；认识仿射变换1615．连结ON ，过N 作与ON 垂直的直线，交圆于点1P 、2P ； 6．过点1P 、2P 作x 轴的垂线，交椭圆于点1P、2P 即为所求．证明：这样作图相当于作了纵轴方向上的伸缩变换22b y y a，容易证明线段P Q 与12P P互相平分，而坐标轴方向上的伸缩变换不改变线段的比例，因此PQ 与12PP 互相平分．这样就有12121222PQ PN PP PP PP PP【备注】题⑴说明弦中点问题中由点差法得到的结论可以看做是椭圆的“垂径定理”；题⑵利用仿射变换完成纯几何．．．作图，注意椭圆的参数方程在仿射变换图形下获得了确切的几何意义．练习1（2012年湖北理）设A 是单位圆221x y 上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足DM m DA （0m ，且1m ）．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求焦点坐标．【解析】曲线C 的方程为2221yx m．当01m 时，曲线C 为焦点在x轴上的椭圆，焦点坐标为,0；当1m 时，曲线C 为焦点在y轴上的椭圆，焦点坐标为 0,．通过仿射变换可以将椭圆内接三角形变为圆内接三角形，它们之间存在固定的比例关系．而求解圆内接三角形的面积运算量要低很多．例2 （2012年人大附开学考试）已知直线【解析】作仿射变换x x y，则直线l 是椭圆22334y x即2213944x y 的切线．设O 到直线l 的距离为d ，23944d ≤（∵直线l 的斜率存在）12AOB A O B S d△△利用仿射变换处理面积问题等号当且仅当23 2d 时取得．因此AOB△．练习2（2010年朝阳一模文）已知椭圆22162x y中有一内接三角形ABC，其顶点C的坐标 1，AB．当ABC△的面积最大时，求直线AB的方程．B'A'O【解析】将椭圆通过仿射变换x xy y变成圆226xy，则A B C ABCS△△，1A Bk，C 坐标为,．∵直线OC ∥直线A B ，∴A B C OA BS S△△设直线A B 的方程为0x y m，则O到直线AB ，A B12OA BS△3≤∴当232m，即mOA BS△取得最大值3，此时直线A B 的方程为0xy．因此OABS△AB的方程为0x ．练习3（2011年顺义二模）已知椭圆2214xy的左、右顶点分别记为A、B．过A斜率为1的直线交椭圆于另一点S，在椭圆C上的T满足：TSA△的面积为15．试确定点T的个数．【解析】将椭圆通过仿射变换12x xy y变成圆224x y，则225S AT SATS S△△．AS ：22y x，即240x y∴圆心到直线ASAS162163∴T 到直线AS的距离为25142，∴在优弧上存在两个T 点2 T 点．综上，点T 的个数也即点T 的个数是2．练习4 （2010年宣武一模文）直线:220l x y 与椭圆2214y x 的交点为A 、B ．求使PAB 的面积为12的点P 的个数；【解析】 2．练习5（2011年西城二模）设直线l 与椭圆2219x y 交于A 、B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC △面积的最大值．【解析】如图，将坐标系原点平移至C ，则椭圆方程变为22319x y 即22690x x y ．设直线AB 的方程为x my a ，则联立直线方程与椭圆方程有22690x my x x y a ，即266910y m yx a x a而12121y y x x ，∴6910a ，35a ，因此35CD ．将椭圆通过变换3x x y y变为圆229x y ，则13ABC A B C S S △△ O (O')B'A'D (D')C (C')164 ∵35C D ，3O C ，∴3153435A B C O A B S C D S O D△△设O 到A B 的距离为d，1122O A B S A B d d △∴当且仅当29d 时，O A B S △取得最大值92于是13128ABC O A B S S △△≤，即ABC △面积的最大值为38．例3（2011年辽宁）如图，已知椭圆的短轴为MN ，且1C 、C 这四点按纵坐标从大到小依次为【解析】 ⑴ 设2MN a ，则椭圆1C ：2222211e x y a a ；椭圆2C ：2222211e x y a a ； 231e 4BC AD． ⑵ 对椭圆1C 作仿射变换x x y ，则1C ：222x y a ；对椭圆2C 作仿射变换x x ，1y y ，则2C ：222x y a ．BO AN EO EN BO AN k k∥211e EO EN k k设点 cos ,sin E a a （0π ），则sin cos EO k，sin cos 1EN k利用仿射变换处理弦长问题165∴设cos 1cos EO EN k y k，则cos 1cos y ， 1cos 1,11y 因此 ,02,y BO AN ∥2121e，∴当0<e时，不存在；当e 时，存在．利用仿射变换可以将一些题目中“平凡”的条件转化为对解题很有利的“特殊”条件，比如：① 利用仿射变换可以改变斜率，从而可以使得某些与椭圆相关的平行四边形转化为矩形，从而简化问题；② 利用仿射变化可以将椭圆变为圆，从而可以使某些与椭圆相关的平行四边形转化为菱形，从而简化问题．例422x y【解析】作仿射变换，椭圆方程变为224x y ，且OM ON ．（理科）四边形OM P N 为正方形，于是OP M N∴P 点的轨迹方程为圆228x y ，因此P 点的轨迹方程为228x，即22184x y ．∴存在符合题意的点1F 、2F ，坐标为 2,0 ．（即椭圆的两个焦点）（文科）四边形OM P N 为矩形，OP M N ∴P 点的轨迹方程为圆2220x y ，因此P 点的轨迹方程为2220x，即2212010x y ．∴存在符合题意的点F ，坐标为,0．（即椭圆的右焦点）．练习1（2011年海淀一模）设直线:l y kx m （12k ≤）与椭圆22143x y 相交于A 、B 两点，以线利用仿射变换凸显隐藏几何条件166 段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点．求OP 的取值范围．【解析】用仿射变换椭圆转化为圆，于是平行四边形OAPB 变为菱形OA P B ，由12AB k ≤得A B k ≤．根据菱形的对角线互相垂直，于是OP k ≥，因此1P x ≤．也就是说，1P P x x ≤ 于是22222231344P P P P Px x OP x y x133,4因此OP的取值范围是,．练习2（2012年海淀一模理）已知直线1l ：1y kx m 与椭圆G ：2212x y 交于A 、B 两点，直线2l ：2y kx m （12m m ）与椭圆G 交于C 、D 两点，且AB CD ，如图所示．⑴ 证明：120m m ；⑵ 求四边形ABCD 的面积S 的最大值．【解析】考虑用仿射变换．⑴ ABCD 为椭圆内接平行四边形，作仿射变换后变为圆内接平行四边形，为矩形．因此对角线为直径，也就是说椭圆内接平行四边形的对角线互相平分于原点，于是120m m ；⑵ 圆内接矩形当且仅当矩形为正方形时面积最大，最大值为4，于是椭圆内接平行四边形面积．【备注】也可以看作相关直线问题⑴ 设直线y kx m 与椭圆交于两点A 、B ，则联立直线与方程，有22212102k x kmx m∴22AB k22k167∴AB CD 等价于2212m m ，又12m m ，∴12m m ，即120m m⑵ 由①，AB 与CD 关于原点对称，四边形ABCD 为对称中心在原点的平行四边形．不妨设10m ，则4ABCD OABS S△21422k22211221412m k m k≤（当且仅当22112m k时取得等号）． ∴四边形ABCD 的面积S 的最大值是例5Q【解析】如图，将椭圆22182x y通过仿射变换2x x y y变成圆228x y ，则 2,2M 过M 作x 轴的垂线，垂足为H ，交圆228x y 于点N ，则易知 2,2N ． ∵ 2,2N ，∴OM ON ，又OM A B ∥，∴ON A B 根据垂径定理，N 平分弧A B ，于是M N是A M B 的平分线．于是22MP M P M Q MQ k k k k ，又MH PQ ，∴MPQ △是等腰三角形，证毕．【备注】（2012年密云一模理）如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的3倍，且经过点 3,1M ．平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （0m ），且交椭圆于A 、B 两不同点．⑴ 求椭圆的方程； ⑵ 求m 的取值范围；⑶ 求证：直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形．【解析】 ⑴ 221182x y ；168 ⑵ 设直线l ：13y x m （0m ），则 2,00,2m ；⑶ 视为连线垂直问题的推广或用仿射变换均可解决．练习6（2011年四中高二期中考试）已知点 2,1M 是椭圆22182x y 上一点，直线102y x m m 与椭圆相交于A 、B 两点．求MAB 的内心的横坐标．【解析】考虑到图形的特点与求解的问题，考虑使用仿射变换将椭圆转化为圆加以解决．在圆中，容易证明M Q 是B MA 的平分线；于是MQ 是BMA 的平分线．因此MAB 的内心的横坐标为M 的横坐标，也就是2．例6（201122x y【解析】 ⑴ 如图，作仿射变换x x y yC 变为圆C ：223x y ．∴32OP Q OPQ S S△△ 设O 到直线P Q 的距离为d ，则1322d ，解得d 于是P Q ，OP OQ ，因此2212x y ，2221x y 而222211223x y x y ，∴22221212x x x x 3，2222121223y y y y 2 ．综合169⑵ 设PQ 的斜率为k ，则OM 的斜率为23k，OM PQ OM P Q333 设2249k m k ，则43m ≥．3OM PQ 52≤． ⑶∵ODE ODG OEG S S S△△△32OD E OD G OE G S S S △△△ ∴在圆C 中，D E 、D G 、E G 所对的圆心角均为90 因此，不存在满足题意的三角形．练习7 （2013北京昌平二模理）如图，已知椭圆22221x y a b（0a b ）的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直，椭圆的离心率e，F 为椭圆的左焦点，且1AF BF ． ⑴ 求此椭圆的方程；⑵ 设P 是此椭圆上异于A B ，的任意一点，PH x 轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得HP PQ ．连接AQ 并延长交直线l 于点,M N 为MB 的中点，判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．【备注】设AQ 与椭圆交于点R ，则NR 与椭圆相切，此题与⑵均可以利用仿射变换解决．例7已知椭圆22143x y 上的两点A 、点．设直线PB 与椭圆相交于D ，证明：直线利用仿射变换将问题转化为几何问题170【解析】将椭圆通过伸缩变换为圆，则需证明：若点A 、B 为关于圆的直径HG 对称的两点，HG 所在直线上的一点P 与B 点的连线交圆于D ，则AD 与PH 交于定点E ．证明如下：如图，连结AG 、GD ，设PA 与圆交于C ．HG PDBECA∵G 为弧CD 和弧AB 的中点，∴AG 、DH 分别是A 和BDG 的平分线而DG DH ，∴DG 是EDP 的平分线．于是AE DE EGAP DP GP，因此2AE DE EG AP DP GP ，而AE DE EG EH （相交弦定理），AP DP AP CP PG PH （切割线定理）于是EG EH EG EG PG PH PG PG ，即EG PGEH PH ．∵PG PH 为定值（在本例中为13），∴EGEH 为定值，E 为定点（在本例中 1,0E ）．练习8 设直线l ：y kx m 与椭圆2212x y 相交于M 、N 两点，F 是椭圆的右焦点，直线FM 与直线FN 的斜率互为相反数．求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．【解析】直线l 过定点 2,0．本质与例题相同．练习9（2010年江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22195x y 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F ．设过点 9,T m 的直线,TA TB 与此椭圆分别交于点 11,M x y 、 22,N x y ，其中0m ，10y ，20y ．设9t ，求证：直线MN 必过x 轴的一定点（其坐标与m 无关）．171【解析】如下左图所示，利用坐标变换x xa y y b可以把椭圆22221x y a b 变换圆222x y a ，由于伸缩变换不改变共线以及线段长度的比，于是问题就转化为如下右图所示的：已知以AB 为直径圆O ，T 为与AB 垂直的圆外直线上任意一点，连结AT 、BT 与圆O 分别交于M 、N ．求证MN 恒过定点D ．x法1连结AN 、MB 并延长交于点T ，容易知道T 与T 在同一条垂直于AB 的直线上（B 为ATT △的垂心）CT'T对ABT △的割线MN ，根据梅涅劳斯定理有1AD BM T NDB MT NA ；而AM 、NB 、T T 交于一点，根据赛瓦定理有1BM T N ACMT NA CB；于是1AD CB DB AC ，即AD ACDB BC 为定值，因此D 为定点．法2172 CT NM A BOD设4AC a ，TAC ，NAC ，则4cos aAT，2cos AM a ，2cos a BT ，2cos BN a ，AN AD ADN MDB AD AD DM AN AM MB MD AM DM DB MD DB MB BNADM NDB BN DB△∽△△∽△ 而AN AT ANT BMT BM BT △∽△，于是22824AD AT AM a DB BT BN a ．法3PCD O BA M NT设2MOC ，2NOC ，则OC 到OP 的角为，以O 为极点，OC 为极径，那么直线MN 的方程为 cos ,d O MN ，即 cos cos AB 于是ODcos cos AB cos cos sin sin cos cos sin sin AB1tan tan 1tan tan AB而12TAC MAB MOB ，12NAB NOB ，∴tan TC AC ，tan tan BCBTC TC因此11BC AC OD AB BC AC，于是点D 为定点．。

仿射变换

§3 仿射对应
1. 仿射对应图形表示
ÖÐÎ çÑô¹ ß âÏ
代数表示
ÔçÉÏ Ñô¹ ß âÏ
B0 A0
0
C0 B
1
1 1
2
C B' C' A'
µØÃæ
2 11
A

Ç½ ±Ú
仿射对应：有限个平行投影的积称为仿射对应。仿射变换：从平面到自身的仿射对应称为仿射变换。
2 31 4 ( ABC ) 。 2 ( 1) 3 2 1 3
D A C E B
4. 仿射变换的代数表示如图, OP OO OP , 另一方面, OP xe1 ye2 , 所以 xe1 ye2 OO OP 。 OO x 0 e1 y0 e 2 又
。
例2 试确定仿射变换, 使 y 轴, x 轴的象分别为直线 x + y + 1 = 0,
x – y – 1 = 0，且点 (1, 1) 的象为原点。
解：设
hx x y 1, ky x y 1
将 (1, 1) 变为 (0, 0) 得 h = 1 , k = –1，所以
x a x c 1 ( 1) 2 , x b x c 2 ( 1) 3
( ABC )
ya yc 2 0 2 ， yb yc 3 0 3
2 。 3
所以A、B、C三点共线，所以
例2 已知A(1, 1), B(–1, 2), 直线AB交直线2x + 3y – 1 = 0于C，求 (ABC) 。解：
仔细观察下列各图:
A A0 A' B'
B B0 C'

仿射变换opencv原理

仿射变换opencv原理什么是仿射变换？仿射变换是一种几何变换，它保持了平行的线段平行，并且保持线段之间的比率不变。

它是一种线性变换，由一个 2x3 的变换矩阵表示。

仿射变换的类型仿射变换有许多不同的类型，包括：平移：将图像沿水平或垂直方向移动。

缩放：按特定因子缩放图像。

旋转：将图像围绕固定点旋转。

剪切：将图像沿某一特定方向变形。

仿射变换在 OpenCV 中的实现OpenCV 提供了多种用于执行仿射变换的函数，包括：`warpAffine()`：应用仿射变换到图像。

`getAffineTransform()`：计算将一组点映射到另一组点的仿射变换矩阵。

`transform()`：应用仿射变换到点或点集。

使用 OpenCV 执行仿射变换的步骤要使用 OpenCV 执行仿射变换，需要遵循以下步骤：1. 计算仿射变换矩阵。

2. 创建一个目标图像，用于存储变换后的图像。

3. 调用 `warpAffine()` 函数应用仿射变换。

示例代码以下示例代码演示了如何使用 OpenCV 缩放图像：```pythonimport cv2# 读取图像image = cv2.imread('image.jpg')# 计算缩放矩阵scale_factor = 2.0scale_matrix =cv2.getScaleAffineTransform(image.shape[:2], scale_factor) # 创建目标图像scaled_image = cv2.warpAffine(image, scale_matrix, (int(image.shape[1] scale_factor), int(image.shape[0] scale_factor)))# 显示缩放后的图像cv2.imshow('Scaled Image', scaled_image)cv2.waitKey(0)cv2.destroyAllWindows()```仿射变换的应用仿射变换在图像处理和计算机视觉中有着广泛的应用，包括：图像配准和拼接透视校正对象检测和跟踪图像增强。

仿射变换与全仿射变换

仿射变换与全仿射变换
仿射变换和全仿射变换都是数学术语，它们都在仿射几何中发挥作用。

仿射变换是在几何中定义的两个向量空间之间的一个仿射映射（或仿射变换），它由一个非奇异的线性变换接上一个平移变换构成。

在有限维的情况中，每个仿射变换可以由一个矩阵A和一个向量b给出，写作A和附加的列b。

一个仿射变换对应于一个矩阵和一个向量的乘法，而仿射变换的复合对应于普通的矩阵乘法，只要加入一个额外的行到矩阵的底下，这一行全部是0除了最右边是一个1，而列向量的底下要加上一个1。

全仿射变换（Total Affine Transformation）是更一般的概念。

它是从一个坐标系到另一个坐标系的映射，这个映射不仅包括仿射变换，还包括投影变换。

换句话说，全仿射变换是仿射变换和投影变换的总称。

在机器视觉和图形处理等领域中，全仿射变换被广泛使用在各种应用中，如形状建模、图像配准、拼接等。

总结来说，仿射变换和全仿射变换都是用于描述向量空间之间变换的方法，但全仿射变换涵盖的范围更广。

仿射变换原理解析

下旳像依次为A', B', C'. 若A, B, C共线且B在A, C之间, 则有|AB|+|BC|=|AC|. 由正交变
换旳定义有
| AB | | BC || AC | | A' B ' | | B 'C ' || A'C ' | .
即A', B', C'依然为共线三点且B'在A', C'之间. 若A, B, C不共线, 则必有
定理仿射变换是双射.设A表达平面上全体仿射变换旳集合. 则有
(1) , A, 有A.
(2) 恒同变换iA.
(3) S, 存在1A, 满足11i.
上述性质使得A对于变换旳乘法构成一种群, 叫做仿射变换群. 而且MSA.
仿射变换
3. 仿射坐标系
定义设在平面上取定一点O和以O为起点旳两个线性无关向
量ex, ey, 则由此构成平面上一种仿射坐标系(或仿射坐标架), 记作 O-exey. 平面上任一点P旳仿射坐标(x, y)由下式唯一拟定,
x
OPx OEx
(Px ExO)
y
OPy OEy
(Py EyO)
OP xex yey.
反之, 对任意给定旳有序实数偶(x, y), 由 (1.12)式可唯一拟定仿射平面上旳一种点具有坐标(x, y). 建立了仿射坐标系旳平面称为仿射平面, ex, ey称为基向量.
(1.10)
则称为上旳一种以k为相同比旳相同变换.
注. 相同变换旳基本性质 (1) 保持共线三点旳简朴比不变. (2) 使得任意图形变成其相同图形; 使平行直线变为平行直线. (3) 保持任意两条线段旳比值不变. 从而保持两直线夹角不变. (4) 正交变换、位似变换都是其特例.

halcon中的仿射变换逆变换

一、简介Halcon是一种功能强大的机器视觉软件，广泛应用于工业自动化、医疗影像、安防监控等领域。

在Halcon中，仿射变换是一种常见的图像处理技术，用于实现图像的旋转、缩放、平移等操作。

二、仿射变换的基本原理1. 仿射变换是一种线性变换，可以通过矩阵运算来描述。

给定一个二维坐标系下的点P(x, y)，经过仿射变换后，其坐标变为P'(x', y')，可以表示为：x' = a*x + b*y + cy' = d*x + e*y + f其中a、b、d、e为线性变换矩阵的元素，c、f为平移向量的偏移量。

2. 仿射变换可以实现图像的平移、旋转、缩放、错切等操作，是图像处理中常用的技术之一。

三、 Halcon中的仿射变换1. 在Halcon中，可以通过使用affine_trans_image函数来实现图像的仿射变换。

该函数接受输入图像、变换矩阵以及插值方式等参数，可以对图像进行指定的仿射变换操作。

2. 通过设置不同的变换矩阵，可以实现图像的不同变换效果。

通过调整平移向量的偏移量，可以实现图像的平移操作；通过调整线性变换矩阵的元素，可以实现图像的旋转、缩放等操作。

3. Halcon还提供了inverse_affine_trans_image函数，用于实现仿射变换的逆变换操作。

通过逆变换，可以将经过仿射变换后的图像还原到原始状态，实现图像的修正和恢复。

四、仿射变换在机器视觉中的应用1. 仿射变换在机器视觉中具有重要的应用价值。

在工业自动化领域，通过对图像进行仿射变换，可以实现对产品进行检测、定位和识别；在医疗影像领域，可以通过仿射变换对医学图像进行修正和分析；在安防监控领域，可以实现对监控图像的处理和分析等。

2. 通过使用Halcon中的仿射变换技术，可以实现对图像的精准操作和处理，为机器视觉系统的性能和效果提供有力支持。

五、总结1. 仿射变换是图像处理领域常用的技术之一，通过线性变换和平移操作，可以实现图像的平移、旋转、缩放等操作。

仿射变换

159仿射变换与双曲线的标准方程22221x y a b 相比椭圆的标准方程22221x y a b 在形式上极为接近圆的标准方程222x y r ．在这一讲，我们着重讲述利用仿射变换将椭圆变换为圆，再利用圆的良好几何性质解决问题的方法．对椭圆的标准方程22221x y a b ，我们需要在y 轴进行伸缩变换x x b y y a得到方程22221x y a a ．伸缩变换不会改变直线与圆锥曲线的交点个数、也不会改变共线线段长度的比例关系、平行和直线共点关系等等，但是伸缩变换会改变线段的长度，这需要引起充分的注意．【备注】仿射变换（Affine Transform ）是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形的“平直性”（译注： straightness ，即变换后直线还是直线不会打弯，圆弧还是圆弧）和“平行性”（译注：parallelness ，其实是指保二维图形间的相对位置关系不变，平行线还是平行线，而直线上点的位置顺序不变，另特别注意向量间夹角可能会发生变化．仿射变换可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括：平移（Translation ）、缩放（Scale ）、翻转（Flip ）、旋转（Rotation ）和错切（Shear ）．【备注】在伸缩变换①下，椭圆方程2222:1x y E a b变为圆222:E x y a ，椭圆上的点 00,P x y 变为00,a P x y b，因此过圆E 上一点P 的圆的切线方程为:l 200a x x y y a b该直线通过伸缩变换①就可以得到过椭圆E 上一点P 的椭圆的切线方程22002:a l x x y y a b即00221x x y ya b典型例题160例1（2010年上海）已知椭圆22x y ⑴ 设直线l【解析】 ⑴ 作仿射变换，椭圆方程变为222x y a ，则121k k∴C D O E ，根据垂径定理，E 是弦C D 的中点于是E 是CD 的中点．⑵ 如下图，求作点1P 、2P 的步骤为：1．以O 为圆心，椭圆的长轴长a 为半径作圆；2．过O 作射线，使Ox 轴正方向到该射线的角为，射线与圆交于Q ；3．过圆与y 轴正向的交点作y 轴的垂线，过圆与x 轴负向的交点作x 轴的垂线，两条垂线交于点P ；4．连结P Q ，取其中点N ；认识仿射变换1615．连结ON ，过N 作与ON 垂直的直线，交圆于点1P 、2P ； 6．过点1P 、2P 作x 轴的垂线，交椭圆于点1P、2P 即为所求．证明：这样作图相当于作了纵轴方向上的伸缩变换22b y y a，容易证明线段P Q 与12P P互相平分，而坐标轴方向上的伸缩变换不改变线段的比例，因此PQ 与12PP 互相平分．这样就有12121222PQ PN PP PP PP PP【备注】题⑴说明弦中点问题中由点差法得到的结论可以看做是椭圆的“垂径定理”；题⑵利用仿射变换完成纯几何．．．作图，注意椭圆的参数方程在仿射变换图形下获得了确切的几何意义．练习1（2012年湖北理）设A 是单位圆221x y 上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足DM m DA （0m ，且1m ）．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求焦点坐标．【解析】曲线C 的方程为2221yx m．当01m 时，曲线C 为焦点在x轴上的椭圆，焦点坐标为,0；当1m 时，曲线C 为焦点在y轴上的椭圆，焦点坐标为 0,．通过仿射变换可以将椭圆内接三角形变为圆内接三角形，它们之间存在固定的比例关系．而求解圆内接三角形的面积运算量要低很多．例2 （2012年人大附开学考试）已知直线【解析】作仿射变换x x y，则直线l 是椭圆22334y x即2213944x y 的切线．设O 到直线l 的距离为d ，23944d ≤（∵直线l 的斜率存在）12AOB A O B S d△△利用仿射变换处理面积问题162 等号当且仅当232d时取得．因此AOB △．练习2（2010年朝阳一模文）已知椭圆22162x y 中有一内接三角形ABC ，其顶点C 的坐标1，AB．当ABC △的面积最大时，求直线AB 的方程．A'O【解析】将椭圆通过仿射变换x x y y变成圆226xy ，则 A B C ABC S△△，1A B k，C 坐标为,．∵直线OC ∥直线A B ，∴A B C OA B S S △△ 设直线A B 的方程为0x y m ，则 O 到直线AB ，A B12OA B S△3≤∴当232m ，即m OA B S △取得最大值3，此时直线A B 的方程为0xy ．因此OAB S△AB 的方程为0x ．练习3 （2011年顺义二模）已知椭圆2214x y 的左、右顶点分别记为A 、B ．过A 斜率为1的直线交椭圆于另一点S ，在椭圆C 上的T 满足：TSA △的面积为15．试确定点T 的个数．【解析】将椭圆通过仿射变换12x x y y变成圆224x y ，则225S AT SAT S S △△．AS ： 22y x ，即240x y∴圆心到直线ASAS163∴T 到直线AS的距离为25142，∴在优弧上存在两个T 点2 T 点．综上，点T 的个数也即点T 的个数是2．练习4 （2010年宣武一模文）直线:220l x y 与椭圆2214y x 的交点为A 、B ．求使PAB 的面积为12的点P 的个数；【解析】 2．练习5（2011年西城二模）设直线l 与椭圆2219x y 交于A 、B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC △面积的最大值．【解析】如图，将坐标系原点平移至C ，则椭圆方程变为22319x y 即22690x x y ．设直线AB 的方程为x my a ，则联立直线方程与椭圆方程有22690x my x x y a ，即266910y m yx a x a而12121y y x x ，∴6910a ，35a ，因此35CD ．将椭圆通过变换3x x y y变为圆229x y ，则13ABC A B C S S △△ O (O')B'A'D (D')C (C')164 ∵35C D ，3O C ，∴3153435A B C O A B S C D S O D△△设O 到A B 的距离为d，1122O A B S A B d d △∴当且仅当29d 时，O A B S △取得最大值92于是13128ABC O A B S S △△≤，即ABC △面积的最大值为38．例3（2011年辽宁）如图，已知椭圆的短轴为MN ，且1C 、C 这四点按纵坐标从大到小依次为【解析】 ⑴ 设2MN a ，则椭圆1C ：22211e x y a a ；椭圆2C ：22211e x y a a ； 231e 4BC AD． ⑵ 对椭圆1C 作仿射变换x x y ，则1C ：222x y a ；对椭圆2C 作仿射变换x x ，1y y ，则2C ：222x y a ．BO AN EO EN BO AN k k∥211e EO EN k k设点 cos ,sin E a a （0π ），则sin cos EO k，sin cos 1EN k利用仿射变换处理弦长问题165∴设cos 1cos EO EN k y k，则cos 1cos y ， 1cos 1,11y 因此 ,02,y BO AN ∥2121e，∴当0<e时，不存在；当e 时，存在．利用仿射变换可以将一些题目中“平凡”的条件转化为对解题很有利的“特殊”条件，比如：① 利用仿射变换可以改变斜率，从而可以使得某些与椭圆相关的平行四边形转化为矩形，从而简化问题；② 利用仿射变化可以将椭圆变为圆，从而可以使某些与椭圆相关的平行四边形转化为菱形，从而简化问题．例422x y【解析】作仿射变换，椭圆方程变为224x y ，且OM ON ．（理科）四边形OM P N 为正方形，于是OP M N∴P 点的轨迹方程为圆228x y ，因此P 点的轨迹方程为228x，即22184x y ．∴存在符合题意的点1F 、2F ，坐标为 2,0 ．（即椭圆的两个焦点）（文科）四边形OM P N 为矩形，OP M N ∴P 点的轨迹方程为圆2220x y ，因此P 点的轨迹方程为2220x，即2212010x y ．∴存在符合题意的点F ，坐标为,0．（即椭圆的右焦点）．练习1（2011年海淀一模）设直线:l y kx m （12k ≤）与椭圆22143x y 相交于A 、B 两点，以线利用仿射变换凸显隐藏几何条件166 段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点．求OP 的取值范围．【解析】用仿射变换椭圆转化为圆，于是平行四边形OAPB 变为菱形OA P B ，由12AB k ≤得A B k ≤．根据菱形的对角线互相垂直，于是OP k ≥，因此1P x ≤．也就是说，1P P x x ≤ 于是22222231344P P P P Px x OP x y x133,4因此OP的取值范围是,．练习2（2012年海淀一模理）已知直线1l ：1y kx m 与椭圆G ：2212x y 交于A 、B 两点，直线2l ：2y kx m （12m m ）与椭圆G 交于C 、D 两点，且AB CD ，如图所示．⑴ 证明：120m m ；⑵ 求四边形ABCD 的面积S 的最大值．【解析】考虑用仿射变换．⑴ ABCD 为椭圆内接平行四边形，作仿射变换后变为圆内接平行四边形，为矩形．因此对角线为直径，也就是说椭圆内接平行四边形的对角线互相平分于原点，于是120m m ；⑵ 圆内接矩形当且仅当矩形为正方形时面积最大，最大值为4，于是椭圆内接平行四边形面积．【备注】也可以看作相关直线问题⑴ 设直线y kx m 与椭圆交于两点A 、B ，则联立直线与方程，有22212102k x kmx m∴22AB k22k167∴AB CD 等价于2212m m ，又12m m ，∴12m m ，即120m m⑵ 由①，AB 与CD 关于原点对称，四边形ABCD 为对称中心在原点的平行四边形．不妨设10m ，则4ABCD OABS S△21422k22211221412m k m k≤（当且仅当22112m k时取得等号）． ∴四边形ABCD 的面积S 的最大值是例5Q【解析】如图，将椭圆22182x y通过仿射变换2x x y y变成圆228x y ，则 2,2M 过M 作x 轴的垂线，垂足为H ，交圆228x y 于点N ，则易知 2,2N ． ∵ 2,2N ，∴OM ON ，又OM A B ∥，∴ON A B 根据垂径定理，N 平分弧A B ，于是M N是A M B 的平分线．于是22MP M P M Q MQ k k k k ，又MH PQ ，∴MPQ △是等腰三角形，证毕．【备注】（2012年密云一模理）如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的3倍，且经过点 3,1M ．平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （0m ），且交椭圆于A 、B 两不同点．⑴ 求椭圆的方程； ⑵ 求m 的取值范围；⑶ 求证：直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形．【解析】 ⑴ 221182x y ；168 ⑵ 设直线l ：13y x m （0m ），则 2,00,2m ；⑶ 视为连线垂直问题的推广或用仿射变换均可解决．练习6（2011年四中高二期中考试）已知点 2,1M 是椭圆22182x y 上一点，直线102y x m m 与椭圆相交于A 、B 两点．求MAB 的内心的横坐标．【解析】考虑到图形的特点与求解的问题，考虑使用仿射变换将椭圆转化为圆加以解决．在圆中，容易证明M Q 是B MA 的平分线；于是MQ 是BMA 的平分线．因此MAB 的内心的横坐标为M 的横坐标，也就是2．例6（201122x y【解析】 ⑴ 如图，作仿射变换x xC 变为圆C ：223x y ．∴32OP Q OPQ S S△△ 设O 到直线P Q 的距离为d ，则1322d ，解得d 于是P Q ，OP OQ ，因此2212x y ，2221x y 而222211223x y x y ，∴22221212x x x x 3，2222121223y y y y 2 ．综合169⑵ 设PQ 的斜率为k ，则OM 的斜率为23k，OM PQ OM P Q333 设2249k m k ，则43m ≥．3OM PQ 52≤． ⑶∵ODE ODG OEG S S S△△△32OD E OD G OE G S S S △△△ ∴在圆C 中，D E 、D G 、E G 所对的圆心角均为90 因此，不存在满足题意的三角形．练习7 （2013北京昌平二模理）如图，已知椭圆22221x y a b（0a b ）的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直，椭圆的离心率e，F 为椭圆的左焦点，且1AF BF ． ⑴ 求此椭圆的方程；⑵ 设P 是此椭圆上异于A B ，的任意一点，PH x 轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得HP PQ ．连接AQ 并延长交直线l 于点,M N 为MB 的中点，判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．【备注】设AQ 与椭圆交于点R ，则NR 与椭圆相切，此题与⑵均可以利用仿射变换解决．例7已知椭圆22143x y 上的两点A 、点．设直线PB 与椭圆相交于D ，证明：直线利用仿射变换将问题转化为几何问题170【解析】若点A 、B 为关于圆的直径HG 对称的两点，HG 所在直线上的一点P 与B 点的连线交圆于D ，则AD 与PH 交于定点E ．证明如下：如图，连结AG 、GD ，设PA 与圆交于C ．HG PDBECA∵G 为弧CD 和弧AB 的中点，∴AG 、DH 分别是A 和BDG 的平分线而DG DH ，∴DG 是EDP 的平分线．于是AE DE EGAP DP GP，因此2AE DE EG AP DP GP ，而AE DE EG EH （相交弦定理），AP DP AP CP PG PH （切割线定理）于是EG EH EG EG PG PH PG PG ，即EG PGEH PH ．∵PG PH 为定值（在本例中为13），∴EGEH 为定值，E 为定点（在本例中 1,0E ）．练习8 设直线l ：y kx m 与椭圆2212x y 相交于M 、N 两点，F 是椭圆的右焦点，直线FM 与直线FN 的斜率互为相反数．求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．【解析】直线l 过定点 2,0．本质与例题相同．练习9（2010年江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22195x y 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F ．设过点 9,T m 的直线,TA TB 与此椭圆分别交于点 11,M x y 、 22,N x y ，其中0m ，10y ，20y ．设9t ，求证：直线MN 必过x 轴的一定点（其坐标与m 无关）．171【解析】如下左图所示，利用坐标变换x xa y y b可以把椭圆22221x y a b 变换圆222x y a ，由于伸缩变换不改变共线以及线段长度的比，于是问题就转化为如下右图所示的：已知以AB 为直径圆O ，T 为与AB 垂直的圆外直线上任意一点，连结AT 、BT 与圆O 分别交于M 、N ．求证MN 恒过定点D ．x法1连结AN 、MB 并延长交于点T ，容易知道T 与T 在同一条垂直于AB 的直线上（B 为ATT △的垂心）CT'T对ABT △的割线MN ，根据梅涅劳斯定理有1AD BM T NDB MT NA ；而AM 、NB 、T T 交于一点，根据赛瓦定理有1BM T N ACMT NA CB；于是1AD CB DB AC ，即AD ACDB BC 为定值，因此D 为定点．法2172 CT NM A BOD设4AC a ，TAC ，NAC ，则4cos aAT，2cos AM a ，2cos a BT ，2cos BN a ，AN AD ADN MDB AD AD DM AN AM MB MD AM DM DB MD DB MB BNADM NDB BN DB△∽△△∽△ 而AN AT ANT BMT BM BT △∽△，于是22824AD AT AM a DB BT BN a ．法3PCD O BA M NT设2MOC ，2NOC ，则OC 到OP 的角为，以O 为极点，OC 为极径，那么直线MN 的方程为 cos ,d O MN ，即 cos cos AB 于是ODcos cos AB cos cos sin sin cos cos sin sin AB1tan tan 1tan tan AB而12TAC MAB MOB ，12NAB NOB ，∴tan TC AC ，tan tan BCBTC TC因此11BC AC OD AB BC AC，于是点D 为定点．。

仿射变换和非仿射变换

仿射变换和非仿射变换是计算机视觉和图像处理领域中常见的概念。

通过对图像进行变换，可以实现对图像的编辑、处理和分析。

在本文中，将深入探讨仿射变换和非仿射变换的定义、特点以及在实际应用中的差异和优势。

首先，我们来看一下仿射变换的定义。

在数学上，仿射变换是指一个几何对象（例如点、向量、线、多边形等）在保持其原有形状和大小的同时，经过平移、旋转、缩放和错切等操作后得到的新对象。

换句话说，仿射变换保持了几何对象之间的相对位置关系和比例关系。

常见的仿射变换包括平移、旋转、缩放和镜像等。

与仿射变换相对的是非仿射变换。

非仿射变换是指对几何对象进行一系列复杂的变换，不仅改变了对象的位置和大小，还可能改变其形状。

与仿射变换不同，非仿射变换不保持几何对象之间的相对位置关系和比例关系，因此具有更大的灵活性和自由度。

在计算机视觉和图像处理领域，仿射变换和非仿射变换有着广泛的应用。

其中，仿射变换常用于图像的平移、旋转、缩放和镜像等基本编辑操作。

通过仿射变换，可以实现图像的形状修正、图像的对齐和拼接、图像的特征提取等功能。

在图像处理软件和计算机图形学中，仿射变换被广泛应用于图像编辑和图像变换领域。

与仿射变换相比，非仿射变换具有更大的变换空间和更丰富的特征表达能力。

非仿射变换可以通过复杂的变换操作实现对图像的形状变换、透视变换和仿射不变形等功能。

在计算机视觉和模式识别领域，非仿射变换被广泛应用于图像的配准、变形和增强等任务中。

通过非仿射变换，可以实现对图像的更精细化处理和更高级的图像分析。

在实际应用中，仿射变换和非仿射变换通常结合使用，以实现对图像的综合处理和分析。

例如，在人脸识别和目标跟踪领域，通常会先进行仿射变换对图像进行对齐和标定，然后再进行非仿射变换对图像进行特征提取和分类。

通过结合使用仿射变换和非仿射变换，可以实现对图像的更准确的定位和更精细的描述，提高图像处理的效率和准确性。

梳理一下本文的重点，我们可以发现，仿射变换和非仿射变换是计算机视觉和图像处理领域中重要的概念。

仿射变换例子

仿射变换例子
以下是几个仿射变换的例子：
1. 平移：将一个图形沿着指定的方向平行移动一定的距离。

平移可以通过将图形的每个点都加上一个平移向量来实现。

2. 缩放：按照指定的比例因子改变图形的大小。

缩放可以通过将图形的每个点都乘以一个缩放因子来实现。

3. 旋转：围绕某个中心点按照指定的角度进行旋转。

旋转可以通过将图形的每个点都应用旋转矩阵来实现。

4. 剪切：将图形沿着某个方向错切或拉伸。

剪切可以通过将图形的每个点都应用剪切矩阵来实现。

5. 镜像：沿着某个轴将图形进行翻转。

镜像可以通过将图形的每个点都乘以适当的镜像矩阵来实现。

这些是一些常见的仿射变换的例子，它们可以用于对图形进行各种变换和变形操作。

仿射变换公式

仿射变换公式《仿射变换公式》的研究是数学的一个重要分支，它是指在指定的空间中改变物体形状的方式。

仿射变换又称作坐标变换，它是一类非线性变换，可以将任意空间中的点移动到一个新的位置，其中可以包括旋转、移动和缩放。

关于仿射变换，有一个多元一次方程组，它可以表述仿射变换在任意物体上的映射关系，而对于任意变换，都可以用仿射变换表示，因此仿射变换在很多地方有着广泛的应用。

首先，仿射变换可以分为三种：缩放变换、旋转变换和平移变换。

1、缩放变换：指的是把一个多边形的位置改变为更大或更小的位置，它是在一个特定的坐标系不变的情况下进行的，它的公式可以写为：$x=sx,quad y=sy$其中，$(xy$为变换后的坐标，$(x,y)$为变换前的坐标，s为缩放比例。

2、旋转变换：指的是把一个多边形通过旋转变换成另一个任意形状的变换，它的公式可以写为：$x=xcosalpha-ysinalpha,quad y=xsinalpha+ycosalpha$ 其中，$(xy$为变换后的坐标，$(x,y)$为变换前的坐标，$alpha$为旋转角度。

3、平移变换：指的是把多边形从一个点移动到另一个点的变换，它的公式可以写为：$x=x+h,quad y=y+k$其中，$(xy$为变换后的坐标，$(x,y)$为变换前的坐标， h为横坐标的偏移量，k为纵坐标的偏移量。

上述三种变换是最常见的，但是它们只是仿射变换的一部分，仿射变换可以用以下公式表达：$x=ax+by+h,quad y=cx+dy+k$其中，$(xy$为变换后的坐标，$(x,y)$为变换前的坐标，a,b,c,d,h,k为变换系数。

仿射变换的应用也是非常广泛的，在平面图形的绘制及分析，几何变换的研究，图像处理等方面都有重要的应用，从历史上看，古希腊几何学家就研究过仿射变换。

在大量的数据处理以及图像处理中，仿射变换是最常用的变换之一，因为仿射变换可以保证多边形的完整性，也可以保持多边形形状的尺寸比例不变。

仿射变换原理解析

仿射变换原理解析仿射变换是一种常用的几何变换方法，它可以对图像进行平移、旋转、缩放、错切等操作。

在计算机图形学和计算机视觉中，仿射变换被广泛应用于图像配准、图像纠正、图像合成等领域。

仿射变换的原理可通过矩阵运算来表示。

一个二维平面上的点P(x,y)，经过仿射变换后的坐标P'(x',y')可以表示为：[x'][abc][x][y']=[def]*[y][1][001][1]其中，a、b、c、d、e、f为变换矩阵的参数，称为仿射变换的系数。

通过改变这些参数的值，可以实现不同的仿射变换效果。

1.平移变换平移变换是将图像在平面上按照一定的平移向量进行移动。

平移变换的变换矩阵为：[1 0 tx][0 1 ty][001]其中，tx和ty分别表示在x轴和y轴方向上的平移量。

平移变换的效果是保持图像的大小、形状和方向不变，只是改变了图像的位置。

2.旋转变换旋转变换是将图像绕着一个固定点旋转一定角度。

旋转变换的变换矩阵为：[cosθ -sinθ 0][sinθ cosθ 0][001]其中，θ为旋转角度。

旋转变换的效果是改变图像的方向和位置，但保持了图像的大小和形状不变。

3.缩放变换缩放变换是改变图像的大小。

缩放变换的变换矩阵为：[sx 0 0][ 0 sy 0][001]其中，sx和sy分别表示在x轴和y轴方向上的缩放比例。

当sx和sy大于1时，图像会放大；当sx和sy小于1时，图像会缩小。

缩放变换可以同时改变图像的大小和形状。

4.错切变换错切变换是将图像在平面上按照一定的角度进行倾斜。

错切变换的变换矩阵为：[1 shx 0][shy 1 0][001]其中，shx和shy分别表示在x轴和y轴方向上的错切值。

错切变换的效果是改变图像的形状，但保持了图像的大小和方向不变。

总结来说，仿射变换可以通过矩阵运算来实现常见的平移、旋转、缩放和错切等几何操作。

它通过改变变换矩阵的参数，可以灵活地控制图像的各种变换效果。

大招7仿射变换

大招7仿射变换大招总结仿射变换,通俗来讲,就是将一个空间内的图形按照一定法则变换,就会在另一个空间内得到与之对应的新图形.在高考数学解析几何题目中,我们可以利用仿射变换将一部分有关椭圆的问题转化为圆的问题,这样就可以借助圆中的特有的一些性质解决问题,从而使问题的解决过程大大简化.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>,经过仿射变换x xa y yb '=⎧⎪⎨'=⎪⎩,则椭圆变为了圆222x y a ''+=,并且变换过程有如下对应关系：(1)点()00,P x y 变为00,a P x y b ⎛⎫' ⎪⎝⎭(2)直线斜率k 变为ak k b '=(3)图形面积S 变为aS S b''=(4)点、线、面位置不变(中点依然是中点,相切依然是相切)(5)弦长关系满足||A B AB ''=因此同一条直线上线段比值不变. 仿射变换一般而言主要应用于选填中快速得出结果,对于大题可以利用仿射变换快速得出结果但是容易丟掉步骤分,因此还是用正常方法写出过程.当出现以下几个场景的时候就可以联想仿射变换去处理:(1)面积问题(尤其是有一个顶点是坐标原点的时候);(2)斜率之积出现22b a-之类;(3)同一条线段的比例问题;(4)其他与之相关联的问题.典型例题例1.(2014-新课标)I 已知点(0,2)A -,椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为2F 是椭圆的右焦点,直线AFO 为坐标原点.+ (I)求E 的方程;(II)设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点,当OPQ ∆的面积最大时,求l 的方程. 分析:这里第二问出现OPQ ∆面积最大,因此可以联想仿射变换化椭为圆去做..解(I)设(,0)F c ,由条件知2c =得c =,又2c a =,所以2222,1a b a c ==-=,故E 的方程2214x y +=.(II)方法1:依题意当l x ⊥轴不合题意,故设直线:2l y kx =-,设()()1122,,,P x y Q x y 将2y kx =-代入2214x y +=,得()221416120k x kx +-+=,当()216430k ∆=->,即234k >时,21,22824314k k x k ±-=+ 从而2221224143||114k k PQ k x x k+⋅-=+-=+ 又点O 到直线PQ 的距离221d k =+,所以OPQ ∆的面积221443||214OPQk S d PQ k∆-==+,设243k t -=,则2440,144OPQt t S t t t∆>==++,当且仅当72,2t k ==±等号成立,且满足0∆>, 所以当OPQ ∆的面积最大时,l 的方程为:722y x =-或722y x =--. 方法2:作变换2x xy y'=⎧⎨'=⎩,椭圆E 变为圆:224x y ''+=,,此时P Q ''过点(0,4)A '-,此时,2OPQ OPQ S S ∆'∆+=因此OPQ S ∆最大时,OP Q S ∆''同样最大.1sin 2sin 22OP Q S OP OQ P OQ P OQ ∆''='⋅'∠''=∠''当且仅当2P OQ π∠''=时最大设直线P Q ''方程为4y k x '=''-,那么O 到直线P Q ''距离2421d k '==+17722PQ k k k ⇒'=±⇒='=± ∴直线l 的方程为722y x =±- 总结思考:当过椭圆外一个定点P 作一条直线与椭圆交于,A B 两点时,AOB ∆面积最大值2ab,当且仅当经过仿射变换之后的A B ''与原点O 所构成的三角形为直角三角形时取到最大值.如果定点P 是圆内点,则有两种情况:(1)如果作仿射变换之后P '到圆心距离大于等于22a ,那么面积最大值仍然是;(2)2ab如果作仿射变换之后P '到圆心距离小于22a ,那么当OP A B '⊥''时面积取到最大值.例2.设1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点.(1)若P 是该椭圆上的一个动点,求12PF PF ⋅的取值范围;(2)设(2,0),(0,1)A B 是它的两个顶点,直线(0)y kx k =>与AB 相交于点D ,与椭圆相交于E 、F 两点.求四边形AEBF 面积的最大值. 解(1)由题意可知2,1a b ==,∵c ==∴12(F F 设 (,)P x y∴2212(,),)3,PF PF x y x y x y ⋅=-⋅=+-+()2221133844x x x =+--=-由椭圆的性质可知,2228384x x -⇒--*()212138[2,1]4PF PF x ∴⋅=-∈- (2)方法1:设()()1122,,,E x kx F x kx ,联立2214y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理可得()22144k x+=12x x ∴==(2,0),(0,1)A B∴直线AB 的方程为:220x y +-=根据点到直线的距离公式可知,点,E F 到直线AB 的距离分别为1212k h ++==2212k h +==∴12h h+=∴||AB ==∴四边形的面积为()1211||22S AB h h =+===4212214k k=++(当且仅当14k k =即12k =时,上式取等号,所以S 的最大值为22. 方法2:作变换2x xy y'=⎧⎨'=⎩之后椭圆变为圆,方程为224x y ''+=+此时(0,2),22,4B A B E F '''=''=当且仅当E F A B ''⊥''时面积取到最大此时1222ABBF AE B F S S '''==四边形四边形例 3.(2017-肇庆三模)已知圆221:(1)16F x y ++=,定点2(1,0),F A 是圆1F 上的一动点,线段24F A的垂直平分线交半径1F A 于P 点.(I)求P 点的轨迹C 的方程;(II)四边形EFGH 的四个顶点都在曲线C 上,且对角线,EG FH过原点O ,若34BG FH k k ⋅=-,求证:四边形EFGH 的面积为定值,并求出此定值.解(1)解:因为P 在线段2F A 的中垂线上,所以2||PF PA =. 所以211112||4PF PF PA PF AF F F +=+==>所以轨迹C 是以12,F F 为焦点的椭圆,且1,2c a ==,所以3b =。

相似变换和仿射变换

相似变换和仿射变换相似变换和仿射变换是几何中的两个重要概念，它们在图形变换中起着非常重要的作用。

本文将从定义、性质、应用等多个方面进行详细介绍。

一、相似变换1.1 定义相似变换是指在平面或空间中，保持两个图形之间的每一对对应点之间的距离比不变的变换。

简单来说，就是将一个图形按照比例因子进行缩放、旋转和平移后得到的新图形与原图形相似。

1.2 性质（1）保持距离比不变；（2）保持角度不变；（3）保持面积比不变。

1.3 应用相似变换在实际生活中有着广泛的应用。

例如地图缩放、建筑设计等都需要利用相似性进行计算和设计。

二、仿射变换2.1 定义仿射变换是指在平面或空间中，保持两个图形之间的每一对对应点之间的距离比和直线上点之间的距离比不变的线性变换。

简单来说，就是将一个图形通过平移、旋转、缩放和错切等操作得到一个新图形。

2.2 性质（1）保持距离比不变；（2）保持角度不变；（3）保持平行线仍为平行线。

2.3 应用仿射变换在计算机图形学中有着广泛的应用。

例如图像处理、计算机视觉等都需要利用仿射变换进行处理和分析。

三、相似变换与仿射变换的区别相似变换和仿射变换是两个重要的几何概念，在定义和性质上有所不同，可以通过以下几点进行区分：（1）相似变换只能进行缩放、旋转和平移操作，而仿射变换还包括错切操作；（2）相似变换只能保持距离比不变，而仿射变换还能保持直线上点之间的距离比不变；（3）相似变换只能将一个图形按照比例因子进行缩放、旋转和平移后得到一个新图形与原图形相似，而仿射变换可以将一个图形通过平移、旋转、缩放和错切等操作得到一个新图形。

四、总结相似变换和仿射变换是几何中的两个重要概念，它们在实际生活中和计算机图形学中都有着广泛的应用。

相似变换只能进行缩放、旋转和平移操作，而仿射变换还包括错切操作；相似变换只能保持距离比不变，而仿射变换还能保持直线上点之间的距离比不变；相似变换只能将一个图形按照比例因子进行缩放、旋转和平移后得到一个新图形与原图形相似，而仿射变换可以将一个图形通过平移、旋转、缩放和错切等操作得到一个新图形。

线性代数仿射变换简介

要确定仿射变换, 就需确定 M 中的 4 个元, 以及 b 的 2 个分量, 共 6 个未知数. 因此, 需要 6 个方程把它们解出来. 现在设begin triangle的三个顶点为 v1 , v2 和v3 , end triangle
的三个顶点为w1 , w2 和w3 , 则通过解如下三个向量方程组

rotation
拉伸和压缩
k 0 1 0 (或 ) , 则当 0 k 1 ( k 1 )时, 取M 0 1 0 k
就得到沿 x 轴(或 y 轴)的压缩(拉伸)变换.
切变
沿 x 轴的切变定义为如下的变换: 平面上的每一点 ( x, y) 沿着平行于 x 轴的方向移动 ky 到达位置 ( x ky, y) ; 沿 y轴的切变定义为如下的变换: 平面上的每一点 ( x, y) 沿着平行于 y 轴的方向移动 kx 到达位置 ( x, y kx) .
为方向向量它在变换下的像为ururururur下图所示为一个单位正方形对其中的每个向量施行特定的线性变换即对每个向量左乘特定的矩阵称为标准矩阵就可对这个正方形实现反射旋转压缩拉伸切变等变换称为基本线性变换为了保持图形的维数不变即不致使正方形变成线或点reflection关于坐标轴的反射则得到一个关于y轴的反射
仍变为一条直线(特殊情况下变为一个点), 证明如下:
2
r u u r r u u r 设 x v0 ts 为平面上的任一直线(此直线过点 v0 ,
r 以 s 为方向向量), 它在变换下的像为 u r r u u r r u u r r u r u r y T ( x) T (v0 ts) T (v0 ) tT (s) v1 ts1 u r u r u r u r u r 而 y v1 ts1 是过点 v1 且以 s1 为方向向量的直线.

仿射变换和等距变换

仿射变换和等距变换我们来了解一下仿射变换。

仿射变换是指保持直线和平行关系的变换。

它是一种非常常见且重要的变换，广泛应用于计算机图形学、计算机视觉、机器学习等领域。

在计算机图形学中，仿射变换可以用来实现图像的平移、旋转、缩放和剪切等操作。

通过对图像进行仿射变换，我们可以改变图像的形状、大小和方向，从而实现各种视觉效果。

比如，在图像处理中，我们可以利用仿射变换将一个图像投射到另一个图像上，实现图像的融合和叠加效果。

在计算机视觉中，仿射变换被广泛应用于图像配准和特征匹配等任务中。

图像配准是指将不同视角或不同时间拍摄的图像对齐，使得它们在几何上或拓扑上相似。

通过对图像进行仿射变换，我们可以将它们对齐到同一个坐标系下，从而方便后续的图像处理和分析。

特征匹配是指在图像中找到相似的特征点，并建立它们之间的对应关系。

通过对特征点进行仿射变换，我们可以将它们映射到另一幅图像上，并进行进一步的特征匹配和目标识别。

接下来，我们来了解一下等距变换。

等距变换是指保持距离不变的变换。

它是一种特殊的仿射变换，能够保持图形的形状、大小和角度等几何特性不变。

在几何学中，等距变换被广泛应用于保持图形的对称性和相似性等任务中。

比如，在建筑设计中，我们可以利用等距变换来保持建筑物的形状和结构不变，同时改变其大小和位置，从而实现建筑物的放缩和平移等操作。

在地图制作中，等距变换可以用来将地球表面的三维地理信息映射到平面上，保持地理位置的几何关系不变。

在计算机图形学和计算机视觉中，等距变换也被广泛应用。

在图像处理中，等距变换可以用来实现图像的旋转、镜像和投影等操作，从而改变图像的视角和视点。

在计算机视觉中，等距变换可以用来进行姿态估计和相机标定等任务，从而实现对图像和三维场景的几何变换和重建。

总结起来，仿射变换和等距变换在几何学中扮演着重要的角色。

它们不仅可以用来实现图像的变换和处理，还可以用来进行图像配准和特征匹配等任务。

通过对图像进行仿射变换和等距变换，我们可以改变图像的形状、大小和方向，实现各种视觉效果，同时保持其几何特性不变。

eigen 仿射变换

eigen 仿射变换（原创版）目录1.Eigen 库简介2.仿射变换的定义3.Eigen 库中的仿射变换4.Eigen 库中仿射变换的应用实例5.总结正文1.Eigen 库简介Eigen 库是一个用于线性代数、矩阵计算、几何算法等领域的 C++库。

该库提供了丰富的矩阵操作和线性代数算法，广泛应用于计算机视觉、图形学、机器人学等领域。

Eigen 库提供了高效的矩阵运算和灵活的编程接口，使得开发者可以方便地进行高性能的矩阵计算。

2.仿射变换的定义仿射变换（Affine Transformation）是指在平面或空间中，将一点或一组点按照某个线性变换进行变换，同时保持原点不变。

仿射变换可以表示为：A * p + t其中，A 是一个非奇异矩阵，表示线性变换；t 是一个向量，表示平移；p 是一个点或一组点。

3.Eigen 库中的仿射变换在 Eigen 库中，仿射变换可以通过`Eigen::AffineTransform`类来表示。

该类提供了一系列的方法，用于进行仿射变换的计算和操作。

4.Eigen 库中仿射变换的应用实例以下是一个使用 Eigen 库进行仿射变换的简单实例：```cpp#include <iostream>#include <Eigen/Dense>#include <unsupported/Eigen/CXX11/Tensor>using namespace Eigen;using namespace std;int main() {// 创建一个 3x3 的矩阵Matrix3d A = Matrix3d::Identity();A(0, 2) = 1; // 矩阵的第二列增加 1// 创建一个包含 3 个点的向量VectorXd p = VectorXd(3);p(0) = 1; // 第一个点的 x 坐标为 1p(1) = 2; // 第二个点的 x 坐标为 2p(2) = 3; // 第三个点的 x 坐标为 3// 创建一个仿射变换对象AffineTransform<double> transform(A, VectorXd(3, 0)); // 对向量进行仿射变换VectorXd p_transformed = transform * p;// 输出变换后的点cout << "Transformed points:" << endl;for (int i = 0; i < 3; ++i) {cout << "Point " << i << ":" << p_transformed(i) << endl;}return 0;}```在这个例子中，我们首先创建了一个 3x3 的矩阵 A，表示线性变换。

仿射变换

第2章仿射变换2．1 平行射影知识点解析平行射影：对应点之间的连线互相平行．平行射影与方向有关，方向变了，就得出了另外的透视仿射．仿射对应：有限次平行射影的复合就是一个仿射对应．仿射变换：平面π到自身的仿射对应，称为仿射变换．平行射影把点映成点，把直线映成直线，这叫做平行射影的保持同素性．点与线的结合性质在平行射影下保持不变．仿射对应也保持同素性与结合性．即，仿射对应把点映成点，把直线映成直线．若A 在a 上，则A '在a '上．注意：仿射对应不一定是平行射影，即，原象点与象点之间的连线不一定平行，反过来，平行射影一定是仿射对应．解题指导练习２－１１．试举例说明在一般仿射对应下，二直线上的对应点的连线不一定是平行的．解设1T 为1a 到2a 的平行射影，2T 为2a 到3a 的平行射影，取3a 为1A 到2A 的延长线，取2A 与3A 重合，显然，在1a 到3a 的仿射对应3112:a a T T →下，直线1a 和3a 上的对应点的连线31A A 和31B B 不平行．２．在仿射对应下，若对应点之间连线相互平行，试问仿射对应是不是平行射影？解由平行射影定义，对应点之间的连线平行于已知直线l ，即与方向l 平行，又因为对应点之间的连线平行，所以，对应点之间的连线都平行于方向l ，因此，是平行射影．３．在仿射对应下，圆的象是什么？解椭圆．２．２仿射不变性与不变量1A 2A 3A 1a 2a 3a 1B2B 3B 题图第1经过平行射影不改变的性质和数，叫做仿射不变性质和仿射不变量．经过仿射对应，它们也是不变的．同素性和结合性都是仿射不变性质．仿射对应把共点的线变成共点的线．仿射对应把共线的点变成共线的点．定理２．１二直线间的平行性是仿射不变性质．即，两条平行直线经过仿射对应后仍然是平行直线．推论２．２平行四边形在仿射对应下还是平行四边形．即，平行四边形经过仿射对应后仍然是平行四边形．定义２．１简比（单比）．BCACABC =）（有向线段的数量之比．（１）当C 在A ，B 之间时，0)(<ABC ；（２）当C 在A ，B 之外时，0)(>ABC ；（３）当A C =时，0)(=ABC ；（４）当B C =时，∞=)(ABC ．定理２．３共线三点的简比是仿射不变量．即，共线三点的简比在仿射对应下不变．定理２．４两条平行线段的比是仿射不变量．即，两条平行线段的比在仿射对应下不变．定理２．５直线上两条线段的比是仿射不变量．即直线上两条线段的比在仿射对应下不变．注意：一般地，任意两条线段的比，不是仿射不变量．即，如果两条线段不平行，则它们的比在仿射对应下会改变．定理２．７在仿射对应下，任何一对对应三角形面积之比等于常数．即，任意两个三角形面积之比是仿射不变量．推论２．８任意两个多边形面积之比是仿射不变量．因此，任意两个图形面积之比是仿射不变量．A B C图定义1.2补充题证明定理２．５直线上两条线段的比是仿射不变量．证明如图，DC D A CD AD ''''=，其中 CD CD BC AB CD AD ++=11+''''+=++=D C C B CD AB CD BC CD AB 1+''''+''''=''''+''+''=''''D C C B D C B A D C D C C B B A D C D A所以D C B A CD AB ''''=．练习２－２１．证明：三角形的重心具有仿射不变性．解因为共线三点的简比具有仿射不变性，所以，仿射对应把三角形中点变成中点；同素性和结合性都是仿射不变性质，仿射对应把共点的线变成共点的线，仿射对应把共线的点变成共线的点，所以，仿射对应把三角形的重心变成三角形重心．２．证明：平行四边形的重心具有仿射不变性．解同第１题．３．证明：梯形在仿射对应下仍为梯形．解因为二直线的平行性是仿射不变性，所以，仿射对应把梯形的上下底变成梯形的上下底，因此，梯形在仿射变换下仍然变成梯形．４．证明：任意两个多边形面积之比是仿射不变量．解将多边形划分成n 个三角形1S ，Λ,2S ，n S ，对应的划分得到对应的三角形1S '，Λ,2S '，n S '，由定理２．７，在仿射对应下，任何一对对应三角形面积之比等于常数．即，任意两个三角形面积之比是仿射不变量，所以有k S S S S S S nn ='=='='Λ2211，于是)(212121n n n S S S k S k S k S k S S S '++'+'='++'+'=+++ΛΛΛ 即k S S S S S S n n='++'+'+++ΛΛ2121A B C DA 'B 'C 'D '补充题图所以，任意两个多边形面积之比是仿射不变量．５．已知平面上的一条定直线l ，P 为平面上的任意一点，P 点的对应点P '是点P 关于直线l 的对称点，这种变换称为反射变换，定直线叫做它的轴．试证明：反射变换是仿射变换．解因为平面上关于反射轴的对称点是唯一确定的，反射变换是平面到自身内的一一对应，所以，由仿射变换的定义，反射变换是仿射变换．２．３仿射变换的代数表达式知识点解析定理2．9 在仿射坐标系下，设共线三点A ，B ，C 的坐标为),(11y x ，),(22y x ，),(33y x ，则三点的交比为23132313)(y y y y x x x x BC AC ABC --=--==定理2．１０不共线的三对对应点决定唯一一个仿射变换．（见习题２－３第４题）．解题指导练习２－３１．在仿射坐标系下，证明直线的方程是一次方程．证明［关键］利用仿射变换的式 ⎩⎨⎧++='++='ya x ab y ya x a a x 22211211［技巧］设直线方程b x k y '+'='，将仿射变换代入．这时，得b y a x a a k y a x a b '+++=++)(12112221 整理得122212222111ka a b b ka x ka a a ka y -'+-+--=可见，仍为直线方程，即一次方程．２．求使三点)0,0(，)1,1(，)1,1(-的对应点分别为)3,2(，)5,2(，)7,3(-的仿射变换式．解［关键］将每对对应点分别代入仿射变换公式⎩⎨⎧++='++='y a x a b y ya x a a x 22211211 ［注意］仿射变换把点),(y x 变成),(y x ''时，有⎩⎨⎧++='++='ya x ab y ya x a a x 22211211 将每对对应点分别代入仿射变换公式⎩⎨⎧++='++='y a x a b y ya x a a x 22211211 得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+=--+=++=++===2221121122211211735232a a b a a a a a b a a a b a解得⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-====6214213222122111a a a a b a代入仿射变换式，得所求的仿射变换式⎪⎩⎪⎨⎧+-='-+='yx y yx x 64321212３．利用仿射变换的表达式证明：直线上三点的简比是仿射不变量．证明［关键］利用仿射变换的式⎩⎨⎧++='++='ya x ab y ya x a a x 22211211设三点),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C 在仿射变换下分别变成),(11y x A '''，),(22y x B '''，),(33y x C '''，代入仿射变换式 ⎩⎨⎧++='++='ya x ab y ya x a a x 22211211 得322321322222121221211312311321221121121111y a x a b y y a x a b y y a x a b y y a x a a x y a x a a x y a x a a x ++='++='++='++='++='++='于是)()()()(23122311131213112313y y a x x a y y a x x a x x x x -+--+-='-''-' （*）由定理２．９，k x x x x y y y y =--=--23132313即，)(2313y y k y y -=-，)(2313x x k x x -=-，代入（*）式得k y y a x x a y y k a x x k a x x x x =-+--+-='-''-')()()()(23122311231223112313同理k y y a x x a y y k a x x k a y y y y =-+--+-='-''-')()()()(23222321232223212313所以23132313x x x x y y y y '-''-'='-''-'即，直线上三点的简比是仿射不变量．４．利用解析方法证明：不共线的三对对应点决定一个仿射变换．证明［关键］利用仿射变换的式⎩⎨⎧++='++='ya x ab y ya x a a x 22211211设不共线的三点),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C 在仿射变换下分别变成),(11y x A '''，),(22y x B '''，),(33y x C '''，代入仿射变换式 ⎩⎨⎧++='++='ya x ab y y a x a a x 22211211 得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++='++='++='++='++='++='322321331231132222212212211212212111121111y a x a b y y a x a a x y a x a b y y a x a a x ya x ab y y a x a a x 注意：三对对应点的坐标为已知数，a ，b ，11a ，12a ，21a ，22a 为未知数，写成矩阵形式为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡''''''2221121133332222111133221110000011000000110000001a a b a a a y x y x y x y x y x y x y x y x y x 记作AX b =计算得212131312)])(())([(y y x x y y x x A ------= 这里0≠A ，因为如果0=A ，则0))(())((12131312=-----y y x x y y x x即12131213x x x x y y y y --=--这时),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C 三点共线，与已知这三点不共线矛盾．所以0≠A ．于是，方程组AX b =有唯一解．即，不共线三对对应点决定一个仿射变换．５．利用仿射变换导出椭圆12222=+by a x 的面积公式．解仿射变换把圆变成椭圆．如图．由推论２．８，任意两个图形面积的比是仿射不变量，有C B A ABCS S S S '''∆∆=椭圆圆b a rr S r ⋅⋅⋅⋅=2212212椭圆π于是ab S π=椭圆．２．４仿射变换的特例知识点解析１．平移变换把点),(y x P 平移到点),(y x Q ''，坐标关系式为⎩⎨⎧+='+='b y y ax x 平移变换保持线段的长度不变．２．旋转变换以原点)0,0(O 为旋转中心，旋转角为θ，点),(y x P 旋转后变成),(y x P '''，坐标关系题图第5式为⎩⎨⎧+='-='θθθθcos sin sin cos y x y y x x其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=θθθθcos sin sin cos A满足I A A A A ='='，即，A 为正交矩阵．３．反射变换在平面上取一定直线l ，使平面上的点P 对应到它关于直线l 的对称点P '，这样的变换叫做反射变换．直线l 上的点都是自对称点，称为反射变换的不动点．直线l 称为反射对称轴．坐标关系式为⎩⎨⎧-='='yy xx４．位似变换在平面上取一定点O 和一个非０常数k ，使O 对应自己，其它的点P 对应P '，三点O ，P ，P '在一条直线上，简比为k P OP =')(，⎩⎨⎧='='kyy kxx位似变换把直线变成与之平行的直线，把图形变成相似形．解题指导练习２－４１．求把点)3,0(变为点)4,2(-的平移变换，并将平移变换作用于曲线06432=--+y x x ．解［关键］将)3,0(P 和)4,2(-'P 代入平移变换公式⎩⎨⎧+='+='by y ax x ．得⎩⎨⎧+=+=-ba3402解得⎩⎨⎧=-=12b a于是，所求的平移变换为⎩⎨⎧+='-='12y y x x将平移变换作用于曲线06432=--+y x x ，就是将变换⎩⎨⎧+='-='12y y x x 的x ，y 解出来代入06432=--+y x x ，代入得08472=+'-'+'y x x２．求把点)3,2(-变为点)3,2(-的旋转变换，并将旋转变换作用于曲线06432=--+y x x ．解把)3,2(-P 和)3,2(-'P 代入旋转变换公式⎩⎨⎧+='-='θθθθcos sin sin cos y x y y x x得⎩⎨⎧+-=---=θθθθcos 3sin 23sin 3cos 22解得0sin =θ， 1cos -=θ 再代入旋转变换公式得⎩⎨⎧-='-='y y xx将这个变换作用于曲线06432=--+y x x ，就是将变换⎩⎨⎧-='-='yy xx 的x ，y 解出来代入06432=--+y x x ，代入得06432=-'+'-'y x x３．求中心在原点，半轴分别为1和２并以直线025=-y x 为对称轴的椭圆方程．解 1=a ，2=b ，中心在原点的椭圆方程为1422=+y x对称轴为025=-y x ，即x y 52=，这时，25tan ==θk于是292tan 11cos 2=+=θθ，295cos 1sin 2=-=θθ，所以，旋转方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+='-='292295295292y x y y x x于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+'='+'=292295295292y x y y x x 代入1422=+y x ，得0116601044122=-''+'+'y x y x ．４．证明：位似变换把直线变成直线．证明［关键］设直线b ax y +=，从位似变换⎩⎨⎧='='ky y kx x 中解出x ，y 代入直线b ax y +=内．代入得kb x a y +'='显然仍为一条直线．５．证明：位似变换把直线变成与自己平行的直线．证明由第４题结果可知，位似变换把直线b ax y +=变成直线kb x a y +'='，因为斜率都为a ，所以二者平行．。

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