数学模型差分方程【精选】

合集下载

数学建模：差分方程模型

差分方程模型
差分方程建模
•处理动态的离散型的问题
•处理对象虽然涉及的变量(如时间)是连续的，
但是从建模的目的考虑，把连续变量离散化更为合适，将连续变量作离散化处理，从而将连续模型(微分方程)化为离散型(差分方程)问题
差分方程模型
一、银行复利问题
二、抵押贷款买房问题
三、市场经济中的蛛网模型
四、减肥计划——节食与运动
当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定
蛛网模型
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
消费者的需求关系
生产者的供应关系
y y0 0
需求函数
yk f ( xk )
减函数
供应函数 xk 1 h( yk ) 增函数
yk g ( xk 1 )
f g P0 x0
f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点一旦xk=x0，则yk=y0,
P0是不稳定平衡点
P3 f P0 P1 x0 x
P3
P2
曲线斜率
K f Kg
P1 x1 x
g
P4
y0 0
P2
K f Kg
x2 x0 x3
方程模型 yk f ( xk )
在P0点附近用直线近似曲线
yk y0 ( xk x0 ) ( 0) xk 1 x0 ( yk y0 ) ( 0)
模型假设
记号
1. 储蓄的年利率为 r 2. 任何时候都可以存款，但存款利息只从下一时期开始计算，如时间段开始第一天的存款即开始计算利息
y ( t ) : t期结束时的总存款
x ( t ) : 第t期内的新存款
模型
y(t ) (1 rn ) y(t 1) x(t )

第4次课：差分方程模型

模型的差分方程与分析点 P ( x0 , y0 ) 满足 y0 f ( x0 ), x0 g ( y0 ) ，在 P 0 0 点附近取直线来近似曲线 y f ( x), x g ( y) ：
yk y0 ( xk x0 ), 0 xk 1 x0 ( yk y0 ), 0
... 0 ... 0 ... 0 ... ... ... 1
考虑收获的情况，设收获向量为 y ( y1 , y2 ,..., yn ) ,
T

根据假设（3），砍伐的总数和补种的幼苗数相等， n n 记矩阵为 1 1 ... 1 y1 y2 ... yn 0 0 ... 0 0 R ,则 R y ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0
7.2 供需平衡问题
7.2.1 问题的背景与提出
在自由竞争的社会中，很多领域会出现供需平衡问题。供大于需时，供给减少；需大于供时，供给增加。这种现象在经济领域中尤其突出，从自由集市上某种商品的供需变化中可以看到，在某一时期，商品的上市量过于大于需求量时，就会引起价格的下跌。生产者觉得无利可图就会减产或转产，从而导致上市量大减。一段时间之后，随着产量的下降，带来的供不应求又会导致价格上涨，生产者见有利可图就会增产或转回该商品的生产，随之而来的，又会出现商品过剩，价格下降。在没有干预的情况下，这种现象将循环下去。
*
yn1 qn2 xn2 q x
*
……
* 3 3
（7）
* n 1 n 1
yn q x
* n 1 n 1
因为 y 是收获向量，则 yi 0, i 1,2,..., n 。又由于幼苗的经济价值为0，故不砍伐幼苗，即 y1 0 。 xk 代替 xk * ，从式（7）有仍用

(完整版)差分方程模型(讲义)

差分方程模型一. 引言数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。

1. 确定性连续模型1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。

2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。

3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。

4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。

2. 确定性离散模型1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。

2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。

3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。

4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。

随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。

在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。

有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。

例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。

这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。

二. 差分方程简介在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。

有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。

但是，往往都需要用计算机求数值解。

这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。

差分方程-精选文档

2a6
-0.693134
2a7
0.133772
2a8
0.837689
2a9
0.771438
2 a10
-0.004068
NUDT
差分方程及其应用
数列与函数增减性和凹凸性判别方法比较
函数 y f (x)
增减性凹凸性
数列{ a n }
f ( x ) 0 fx ( ) 增 a 0 { a } 增 n n
一阶差分方程
x (1 t ) f ( x ( t ) ) , t 0 , 1 , 2 ,
x f ( x ) , k 0 , 1 , 2 , k 1 k
n 阶差分方程
x ( t 1 )f (x () t ,x () t , ,x () t) 1 1 1 2 n x t 1 )f2(x () t ,x () t , ,x () t) 2( 1 2 n t 0 ,1 ,2 , x t 1 )fn(x () t ,x () t , ,x () t) n( 1 2 n

NUDT
差分方程及其应用
影响虫口的因素周围环境提供的空间和食物有限虫子之间为了生存互相竞争而咬斗传染病及天敌对虫子生存的威胁简化——规律咬斗和接触是发生在两只虫子之间的事件
P n 只虫子配对的事件总数
1 1 2 Pn ( Pn 1) P n (P n 2 2
1 )
影响虫口的因素量化 b P n 2
NUDT
差分方程及其应用
一、差分方程的概念
1. 差分的概念及简单性质
a } : a , a , , a , 实数序列 { n 1 2 n
一阶差分 a a ( n 1 , 2 , ) 差分算子 n n 1a n

7.数学建模-差分方程法

pt 发生动态等幅振荡;
ab t ) p* (5) 当 0 < ab < 2 , pt ( A1 sin kt A2 cos kt)( 2 ab ab t 1 ( ) 为衰减因子 2 2

pt → p*
( t → + ∞ ) , pt 动态发展趋于稳定 .
5．差分形式的生物数量 ic（阻滞增长）模型及其稳定性研究描述生物生长受到环境约束的微分方程模型是 Logistic（阻滞增长）模型。其形式是： y
0
这时还贷公司需要还清银行的债务的时限变为:
b ln b ry0 x 503.5 ( 半月) 21年 . ln(1 r )
这表明还贷公司只用 21 年就可还清银行的债务, 由此 , 还贷公司赚了购房人一年的钱: 24 × 316 = 7584 ( 元 ) . 故问题 (2) 的解答是 : 此方案对还贷公司而言是有利可图的。
模型II . 模型假设: (1) t 时刻的商品价格 pt 是商品数量 xt 的直线下降函数: pt = pM - a xt ; (2) 这一时期的商品数量 xt 是前两个时期的商品价格 pt-1 与 pt-2 的算术平均值的直线上升函数（企业对市场的分析、判断应更成 b( pt 1 pt 2 ) 熟一些）: 模型建立:
p ( 0 ) = p0 ，p(1) = p1 ( 初始价格 ) . （二阶线性常系数差分方程）
r1, 2
ab ab(ab 8) 4
p M axm p* 1 ab
(2) 当 ab = 8 时,
ab t pt ( A1 A2 t )( ) p * ( A1 A2 t )(2) t p * 4 ab t ) p* (3) 当 ab < 8 时, pt ( A1 sin kt A2 cos kt)(

差分方程

y 3 ay2 a (ay1 ) a 3 y 0 y x a y0
x
y x ka x
当 a 1 时通解为 y x k
k 为任意常数
例求 y x 1 4 y x 0 满足 y 0 1 的特解解：通解为 y k 4 ,
x
y0 k4 x
x0
例 y x sin x, 求y x
解：y x sin(x 1) sin x
性质：
(1) ky x ky x ( 2 ) y x z x y x z x ( k为常数)
( 3 ) y x z x y x 1 z x z x y x y x z x y x y x z x ( 4 ) z z x z x 1 x
一差分定义：
设函数 y f ( x ), 记 y x f ( x ) , 当 x {0,1,2,3, , n }时, y x 的值可以排成一列数y 0 , y1 , , y n , ,
称差y x y x 1 y x 为函数 y f ( x ) 的(向前)一阶差分
y * 1 ( x 1) A( x 1) 2 B( x 1) C x
代入方程

2x 2
y * 1 y * x 3 ( A A) x 2 (3 A B B) x(3 A 2B C C ) ( A B C ) x x
y 0 1, y1 1, y 2 y 0 y1 , , y x 2 y x y x 1 ,
y x 2 y x y x 1 所以定解问题为 y 0 1, y1 1

数学建模之差分方程

差分方程对连续型变量而言，我们常常回导致到微分方程的问题. 对离散型变量将导致一类的问题.一、差分的定义定义设)(x y y =是一个函数, 自变量从x 变化到x +1, 这时函数的增量记为)()1(x y x y y x -+=∆, 我们趁这个量为)(x y 在点x 步长为1的一阶差分,简称为)(x y 的一阶差分. 为了方便我们也记)(),1(1x y y x y y x x =+=+,即 x x x y y y -=∆+1.称x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分,简记为x y 2∆.同样记)(2x y ∆∆为x y 3∆,并称为三阶差分.一般记)(1x n x n y y -∆∆=∆,称为n 阶差分.且有i n x i ni i n x ny C y -+=-=∆∑)1(0. 性质: 当a,b,C 是常数, y x 和z x 是函数时,(1) Δ(C )=0;(2) Δ(Cy x )= C Δ(y x );(3) Δ(ay x + b z x )= a Δy x + b Δ z x ;(4) Δ(y x z x )= z x+1Δy x +y x Δ z x = y x+1Δz x +z x Δy x ;(5) 1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x x x z z z y y z z z z y y z z y . 例已知),0(≠=x x y x α求Δ(y x ).解 Δ(y x )= ααx x -+)1(.特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )= i n n i i n x C -=∑1, 阶数降了一阶.推论若m, ,n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式,则0)(=∆x P m .例已知),10(≠<=a a y x x 求Δ(y x ).解 Δ(y x )= )1(1-=-+a a a a x x x .二、差分方程定义设是含有未知函数差分的等式，称为差分方程。

差分方程数学建模举例

差分方程建模举例差分方程建模方法的思想与与一般数学建模的思想是一致的，也需要经历背景分析、确定目标、预想结果、引入必要的数值表示（变量、常量、函数、积分、导数、差分、取最等）概念和记号、几何形式（事物形状、过程轨迹、坐标系统等），也就是说要把事物的性态、结构、过程、成分等用数学概念、原理、方法来表现、分析、求解。

当然，由于差分方程的特殊性，首先应当把系统或过程进行特别分解，形成表现整个系统的各个部分的离散取值形式，或形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量。

然后通过内在的机理分析，找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而得到差分方程。

另外，有时有可能通过多个离散变量的关系得到我们关心的变量的关系，这实际上建立的是离散向量方程，它有着非常重要的意义。

有时还需要找出决定变量的初始条件。

有时还需要将问题适当分成几个子部分，分别求解。

模型1 种群生态学中的虫口模型：在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变化，他的变化规律是：每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。

建立数学模型来表现虫子数目的变化规律。

模型建立：假设第n 年的虫口数目为n P ，每年一个成虫平均产卵c 个（这个假设有点粗糙，应当考虑更具体的产卵分布状况），则有：n n cP P =+1，这是一种简单模型；如果进一步分析，由于成虫之间会有争斗以及传染病、天敌等的威胁，第n+1年的成虫数会减少，如果考虑减少的主要原因是虫子之间的两两争斗，由于虫子配对数为)1(21-n n p p 221n p ≈，故减少数应当与它成正比，从而有： 21n n n bP cP P -=+这个模型可化成：)1(1n n n x x x -=+λ，这是一阶非线性差分方程。

这个模型的解的稳定性可以用相应一阶差分方程的判断方法来获得。

如果还考虑其它的影响成虫孵卵及成活的因素的定量关系，这个模型在此基础上仍可进一步改进，更加符合实际情形。

数学模型(差分方程)

定义为
X ( z ) Z [ x(k )] x(k ) z k
k 0 k

其中z是复变量，因此级数 x(k ) z 的收敛域为某个圆的外部。
k 0
X ( z)
的Z反变换记作 x(k ) Z 1[ X ( z)]
(k )

1.几个常用离散函数的变换
一部分为当月新生的，而由题设知当月新生的兔子对数等于上上月
兔子对数，所以
h(n) h(n 1) h(n 2), n 3 h(1) h(2) 1
一、常系数线性齐次差分方程的求解方法-解析法形如
h(n) a1h(n 1) a2h(n 2) ak h(n k ) 0 (n k , k 1,) (1)
h(n) h(n 1) 3h(n 2) 5h(n 3) 2h(n 4) 0 ( n 4,5, )
的特解 . 解：该差分方程对应的特征方程为
x 4 x3 3x 2 5 x 2 0
x 其根为：1 x2 x3 1, x4 2 ，所以
令l k N
特别地 Z[ x(k 1)] z[ X ( z) X (0)] 证： Z[ x(k N )] x(k N ) z
k 0 N
l l 0
k

x(l ) z
l N
l N
z
N
=z [ x(l ) z x(l ) z l ] z N [ X ( z ) x(k ) z k ]
差分方程的通解为：
t
mi
重根，则该
h(n) h1 (n) h2 (n) ht (n) hi (n)

差分方程模型PPT课件

回到全国竞赛题。这里提出了新的问题： (1)潜伏期病人如何描述？ (2)死亡病人在模型中的描述。 (3)需要考虑人口的迁移影响，如何描述？ (4)如何控制疾病的蔓延？
问题的图示
b O
a
d
d
利用简单的几何关系即得到 yk1 f ( yk ), y1 b
例2：按年龄分组的种群增长模型。
问题考虑两个要点：增长和人口分布人口分布：对于连续问题，可以利用分布函数和密度函数描绘。
我们也可以利用离散的方法描述人口分布。把t时
刻人口从小到大分为n组，第k 组人数xk(t)，则离散人口分布可以利用向量
试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。
附录1 《国家人口发展战略研究报告》附录2 人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部分数据）及其说明
差分方程建模：设第k天病人所占比例为i(k)，健康人数量为s(k)，则第k天病人数量变化为
Ni(k 1) Ni(k) s(k)Ni(k) Ni(k)
第k天健康人数量变化为
Ns(k 1) Ns(k) s(k)Ni(k)
把两个式子化简即得到差分方程组。
差分方程和微分方程的建模过程没有差异，差别在于：变化率和的意义不同。
一阶线性差分方程组的稳定性：设一阶线性差分方程组的解为{Xk}, 而受扰动解为 {Yk}。记扰动误差为
k X k Yk 则扰动误差满足
k1 A k
对任意初始扰动0，k0的充分必要条件为
( A) 1
这就是差分方程的稳定性条件。

数学建模差分方程

数学建模课程设计实验报告题目：差分阻滞增长模型问题研究姓名：班级：日期：摘要该文以生物数量增长的预测为例，建立了logistic 阻滞增长的微分方程模型，并把它离散化而得相应的差分方程模型。

将logistic 阻滞增长模型的差分形式进行简化并对简化差分形式进行迭代求解。

做出随固有增长率的变化，按logistic 阻滞增长模型的差分形式增长的序列{k y }收敛、 2倍周期、 4倍周期......直至一片混乱的图形。

以参数b 为横坐标、序列{k y }的收敛点为纵坐标，用数学软件模拟展示了这一简单差分方程从收敛、分叉、倍周期收敛进入混沌现象的过程。

为部分工程领域的混沌现象的研究提供了模拟方法。

关键词：logistic 模型分叉倍周期收敛混沌现象一：问题分析生物数量在增长过程中，由于环境因素与自然资源的作用，受到阻滞。

此时，其增长率呈现递减趋势。

基于此的logistic 模型可以对类似问题进行分析。

但是，现实对象的活动一般都是具有周期性的，所以采用离散化的时间比采用连续的时间更为方便，于是采用差分形式的离散模型。

对于平衡点的稳点问题，我们知道，logistic 模型中x*=N 是稳定平衡点，x*=0不是稳定平衡点，那么对于差分形式的离散模型)1(1k k k x bx x -=+，k=0,1,2，... 是否还具有同样的性质?以下，我们将对模型从平衡点和稳定性的角度进行分析并借助计算机对倍周期收敛、分岔和混沌的现象进行分析；二：模型假设（1）自然资源，环境条件等对生物的增长起着阻滞作用，并随着数量的增加阻滞作用越来越大。

（2）自然资源与黄精条件所容纳的最大生物数量，现有生物数量和固有增长率已知。

（3）阻滞作用体现在对增长率的影响上，使得增长率随着生物数量表的增加而下降。

（4）所研究该对象每年有固定的周期性活动。

三：模型建立与图解模型建立设当前（即 t=0时）生物数量为0x ,固有增长率为r 生物数量为x 。

差分方程模型介绍

function x=zwfz(x0,n,b) c=10;a1=0.5;a2=0.25; p=a1*b1*c; q=a2*b*91-a1)*b*c; x(1)=x0; x(2)=p*x(1); for k=3:n x(k)=p*x(k-1)+q*x(k-2); end
结果分析：Xk= pXk-1 + qXk-2
∗ 以k=0时X0=M代入，递推n次可得n年后本息为
xn = (1 + r ) M
n
∗ 例2 污水处理厂每天可将处理池的污水浓度降低一个固定比例q，问多长时间才能将污水浓度降低一半？ ∗ 记第k天的污水浓度为Ck,则第k+1天的污水浓度为 Ck+1=(1q)Ck, k=0,1,2,···· 从k=0开始递推n次得
模型及其求解
∗ 记一棵植物春季产种的平均数为C,种子能活过一个冬天的 (1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（2岁种子）比例仍为b,1岁种子发芽率a1，2岁种子发芽率a2。 ∗ 设C,a1,a2固定，b是变量，考察能一直繁殖的条件 ∗ 记第k年植物数量为Xk，显然Xk与Xk-1,Xk-2有关，由Xk-1决定的部分是 a1bCXk-1,由Xk-2决定的部分是 a2b(1-a1)bCXk-2
• 用矩阵表示
x1 (k + 1) 0.6 0.2 0.1 x1 (k ) x2 (k + 1) = 0.3 0.7 0.3 x2 ( k ) x (k + 1) 0.1 0.1 0.6 x ( k ) 3 3
λ1,2 < 1, xk → 0(k → ∞)
λ 1, 2 > 1, x k → ∞ ( k → ∞ )

第1讲：差分方程模型

• 预报对象特征的未来性态预报对象特征的未来性态
特征
• 研究控制对象特征的手段研究控制对象特征的手段
在研究实际问题时, 在研究实际问题时, 我们常常不能直接得出变量之间的关系, 之间的关系,但却能容易得出包含变量导数在内的关系这就是微分方程. 式,这就是微分方程. 在现实社会中,又有许多变量是离散变化的, 在现实社会中,又有许多变量是离散变化的,如人口数、生产周期与商品价格等, 口数、生产周期与商品价格等, 而且离散的运算具有可操作性, 差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁. 可操作性, 差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁. 不管是微分方程还是差分方程模型，不管是微分方程还是差分方程模型，有时无法得到其解析解(必要时,可以利用计算机求其数值解), ),既到其解析解(必要时,可以利用计算机求其数值解),既使得到其解析解,尚有未知参数需要估计( 使得到其解析解,尚有未知参数需要估计(这时可利用参数估计方法). 参数估计方法). 而在实际问题中,讨论问题的解的变化趋势很重要，而在实际问题中,讨论问题的解的变化趋势很重要，因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论. 因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论.
若有常数a是差分方程的解若有常数是差分方程(1)的解即是差分方程的解, F (n; a, a, … , a ) = 0, 则称 a是差分方程的平衡点. 是差分方程(1)的平衡点是差分方程又对差分方程(1)的任意由初始条件确定的解又对差分方程的任意由初始条件确定的解 xn= x(n)都有都有 →∞), xn→a (n→∞ →∞ 则称这个平衡点a是稳定的则称这个平衡点是稳定的. 一阶常系数线性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中 b为常数且a ≠-1, 0)的通解为其中a, 为常数, 其中为常数的通解为 xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点由上式知当且仅当是其平衡点, 易知是其平衡点由上式知, |a|＜1时, b/(a +1)是稳定的平衡点是稳定的平衡点. ＜时是稳定的平衡点

第三章_差分方程模型

第三章差分方程模型§1、差分方程设有未知序列{}k y ，称0),,,;(1=++n k k k y y y k F （1）为n 阶差分方程。

若有)(k y y k =，满足0))(,),1(),(;(=++n k y k y k y k F则称)(k y y k =是差分方程（1）的解，包含n 个任意常数的解称为（1）的通解，当110,,,-n y y y 为已知时，称其为（1）的初始条件，通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为（1）的特解。

[例1] 设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月后长成成兔，同时即第三月开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。

设第k 月末共有k y 对兔子，试建立关于k y 的差分方程。

[解] 因为第2+k 月末的兔子包括两部分，一部分为上月留下的，另一部分为当月新生的，而由题设当月生的小兔数等于前月末的兔数，所以有⎩⎨⎧==+=++1,01012y y y y y k k k 这是著名的裴波那契数列。

[例2] 汉诺塔问题将k 个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩A 上，大的在下，小的在上。

现将此k 个盘移到空桩B 或C 上，但要求一次只能移动一个盘且移动过程中，始终保持大盘在下，小盘在上，移动过程中桩A 也可利用。

设移动k 个盘的次数为k y ，试建立k y 的差分方程。

[解] 先将桩A 上的k 个大小不同的圆盘按题设要求移到C 上，这需要移动k y 次，再将A 上的最大盘移到B 上，这需要移动一次，最后将C 上的k 个盘按要求移到B 上，这又需要移动k y 次。

所以，差分方程为⎩⎨⎧=+=+01201y y y k k§2、差分方程的解法一.常系数线性齐次差分方程形如 0110=+++-++k n n k n k y a y a y a ——（1）其中n a a a ,,,10 为常数，且0,00≠≠n a a ，称为n 阶常系数齐次线性差分方程。

数学建模中的差分法

步数n可任意大，但n太大，会有误差积累。
优点：容易编程计算。
西北大学数学系
例2 从 t0 出发并取 t 1
的近似解。 dN rN , dt
，求下列初值问题 N (0) N0
解 t0 0, N (0) N0
t1 t0 t 1 t2 t1 t 2 t3 3
(t, x, t) (1 ) f (t, x) f (x t , y t f (t, x)) 2 2
西北大学数学系
(t, x, t) (1 ) f (t, x) f (x t , y t f (t, x)) 2 2
(t, x, t) f (t, x)

yn1

yn

g(tn ,
xn ,
yn )t
步数n可任意大，但n太大，会有误差积累。
西北大学数学系
对捕食模型
dx dt

3x

xy

dy
dt

xy

2
y
用Euler法求出前三次逼近，初始条件为
t0 0, x0 1, y0 2, t 0.1
解 t1 t0 t 0.1 t2 t1 t 0.2 t3 0.3
xk1 axk b, k 0,1,2,,
(1)
满足方程 x ax b 的解，称为上方程的平衡点。
即平衡点为 x b . 1 a
当k 时，xk x, 则称 x 是稳定的，否则是不稳定的。
西北大学数学系
xk1 axk b, k 0,1,2,,
(4)
平衡点为 x 0. 为了得到（4）零点的稳定性
我们求解方程（4）。

差分方程模型

结果分析：可以看到，对于不同的b，xk的变化规律有较大差别。为了研究这种差别的机理，需要得到方程（10）的表达式。注意到一阶差分方程（3）的解为（5）式，对于二阶差分方程可以寻求形如xk=λk的解，将其代入（10）式得 2 p q 0 （11）代数方程（11）称为差分方程（10）的特征方程，方程（11）的根 p p 2 4q 1,2 丘鹤数量的变化趋势，即 k→∞时xk的极限状态。在自然环境下（3）式的解得形式为 xk =akx0， a=1+r， k=0,1,2,… （5）显然当a>1（即r>0）时xk →∞，而a<1（即r<0）时 xk →0，表明在中等及较差的自然环境下沙丘鹤将濒于灭绝。在人工孵化条件下由（4）式可得 xk=akx0 +b(1+a+…+ak-1) =akx0 +b(1- ak-1)/(1-a) ， k=0,1,2,… （6）当a<1（即r<0）时xk →x= b/(1-a) 。对于充分大的k用（4）式计算xk的结果如图表示：
例2 污水处理厂每天可将处理池的污水（中含污物）浓度降低一个固定比例q，问多长时间才能使污水浓度降低一半？
记第k天的污水浓度为ck ，则第k+1天的污水浓度为 ck+1=(1-q) ck, k=0,1,2,… （2）从K=0开始递推n次可得cn=(1+r)n c0,以cn=c0/2， lg 2 n 代入可解出，n天后污水浓度降低一半。
function x=minos1(x0,n,r)%建立名为minos1的函数M文件，x0， n，r可以调节 a=1+r; x=x0;%赋初值 for k=1:n x(k+1)=a*x(k);%按照（3）迭代计算 End >> k=(0:20)'; >> y1=minos1(100,20,0.0194); >> y2=minos1(100,20,-0.0324); >> y3=minos1(100,20,-0.0382); >> round([k,y1',y2',y3']),%对结果四舍五入取整数 >> plot(k,y1,k,y2,‘*’,k,y3,‘--’)%将三条线画在一个图上 >> gtext('r=0.0194'),gtext('r=-0.0324'),gtext('r=-0.0382'),%在图上做标记 >> grid on

数学建模常见差分方程方法

(a
1),
xt

(a
1)N
Pt

,于是(2)式又可改写为
xt1 bxt (1 xt ) f ( xt ), t 0,1,2,
（3）
虽然，（3）式是一个非线性差分方程，但对确定的初值x0，其差微后分分的方方程程x1（稳可定3利）性用有的方两讨程个论确平，定衡非的点线递，性推即差关x分系*=方迭0和程代平求衡出x*点。的b稳b。1定类性似也于
r(xm ) 0
s r r(x) r(1 x )
xm
xm
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx rx dt
dx/dt
dx r(x)x rx(1 x )
dt
xm
x
xm
xm/2
0
xm/2 xm x
x(t)
xm
1 ( xm 1)e rt
x0
x0
0
t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
Fn

c1

1
2
5
n

c2

1
2
5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
由初始条件 F1 1, F2 1 得
1 c1 2
5
c2
1 2
5

1
2
2
1 5
c1
2

c2
1 2
5

1
联立解得:
c1
xk b1xk1 L bk 0
(2)
称为差分方程（1）的特征方程，其根称为特征根。
{ 例:求Fibonacci数的通项: