梯形蝴蝶定理
小学奥数 蝴蝶定理(1) 知识点+例题+练习 (分类全面)
B O
A
D
6
3、如图，BD，CF 将长方形 ABCD 分成 4 块，红色三角形面积是 4 平方厘米，黄色三角形 面积是 6 平方厘米，则绿色四边形的面积是多少平方厘米？
A
F 红
D
绿E
黄
B
C
4、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是 10 厘米和 12 厘米，求阴影部分的面 积。
F
E
G A
Aห้องสมุดไป่ตู้
B
G
F
D
E
C
例 6、正方形 ADEB 和正方形 ECFG 底边对齐，两个正方形边长分别为 6 厘米和 4 厘米，三角 形 ACG 的面积是多少平方厘米？
A
B
G F
D
E
C
4
如图，小正方形的边长 6 厘米，阴影部分面积多少平方厘米？
例 7、已知三角形 ABC 的面积是 64 平方厘米，是平方四边形 DEFC 面积的 2 倍，求阴影部分 的面积。
C
2、
即 S =S △ADO △BCO
在任意四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 分成了四个三角形（如图），
这四个三角形的面积分别记为：S1 、S2 、S3 、S4。
B
A
S1
S3 O
S2
S4
D
C
则它们的关系是：
S1×S4 =S2×S3 即相对的两个三角形的面积乘积是相等的。
1
例 1、如图，梯形的两条对角线分梯形为四个小三角形，已知△AOD 的面积是 3 平方厘米，△ DOC 的面积是 9 平方厘米，梯形 ABCD 的面积是多少平方厘米？
B甲C
乙
D
5、正方形 ABCD 和正方形 CEFG，且正方形 ABCD 边长为 8 厘米，则图中阴影（三角形 BDF）部 分的面积为多少平方厘米？
初中数学几何模型(七)蝴蝶模型(蝴蝶定理)
初中数学几何模型（七）蝴蝶模型（蝴蝶定理）1、任意四边形： 结论1：S 1×S 3=S 2×S 4∵S 1=12×BO ×AE ，S 3=12×DO ×CF ，∴S 1×S 3=12×BO ×AE ×12×DO ×CF=14×BO ×AE ×DO ×CF∵S 2=12×BO ×CF ，S 4=12×DO ×AE ，∴S 2×S 4=12×BO ×CF ×12×DO ×AE =14×BO ×AE ×DO ×CF∴S 1×S 3=S 2×S 4。
结论2：S △ABD S △CBD=AO CO，S △ABC S △ADC=BO DO，2、梯形：在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC 与BD 交于点O 。
结论1：S 1×S 3=S 2×S 4； 结论2：S △ABD S △CBD=AO CO，S △ABC S △ADC=BO DO；结论3：S 1=S 3；结论4：如果AD=a ，BC=b ， 那么S 1∶S 3∶S 2∶S 4=ab ∶ab ∶b 2∶a 2。
典型例题：例1、如图所示，BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块，△CEF 的面积是4平方厘米，△CEB 的面积是6平方厘米。
问：四边形AEFD 的面积是多少平方厘米？略解：连接AF ，（构造蝴蝶模型）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∴S△ACF=S△BCF（同底等高）∴S△ACF−S CEF=S△BCF−S△CEF，∴S△AEF=S△CEB=6（cm2）；设S△ABE=x，根据蝴蝶模型，可得：S△AEFS△ABE =S△CEFS△CEB=EFBE，∴6x=46，∴x=9∴S△ABE=9（cm2）；∴S矩形ABCD=（9+6）×2=30（cm2）；∴S四边形AEFD =S矩形ABCD-S△ABE-S△CEB-S△CEF=30-9-6-4=11（cm2）。
蝴蝶定理模型和相似模型—小学数学竞赛模型
蝴蝶定理模型和相似模型—⼩学数学竞赛模型
这⾥是对上⼀篇⽂章的补充，上⼀篇⽂章有粉丝问到，蝴蝶定理的⼀个题相信看完蝴蝶定理就
明⽩了，想要对应题⽬的看上⼀篇⽂章！
蝴蝶定理模型
任意四边形中的⽐例关系（“蝴蝶定理”）：
(1)S1:S2=S4:S3或者S1×S3=S2×S4
(2)AO:OC=（S1+S2）:（S4+S3）
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形⾯积问题的⼀个途径，通过构造模型，⼀⽅⾯可以使
不规则四边形的⾯积关系与四边形的三⾓形相联系；另⼀⽅⾯，也可以得到与⾯积对应的对⾓
线的⽐例关系。
梯形中⽐例关系（“梯形蝴蝶定理”）：
（1）S1:S3=a²：b²；
（2）S1:S3:S2:S4=a²：b²：ab：ab；
（3）梯形S的对应份数为（a+b）²。
相似模型
相似三⾓形性质：
⾦字塔和沙漏模型
（1）AD∶AB=AE:AC=DE:BC=AF:AG；
（2）S△ADE:S△ABC=AF²：AG²。
所谓的相似三⾓形，就是形状相同，⼤⼩不同的三⾓形（只要其形状不改变，不管怎样改变它
们都相似），与相似三⾓形相关的常⽤性质及定理如下：
（1）相似三⾓形的⼀切对应线段的长度成⽐例，并且这个⽐例等于它们的相似⽐；
（2）相似三⾓形的⾯积⽐等于它们相似⽐的平⽅。
第六讲蝴蝶定理
S 3S 1S 4S 2abO ACBD五年级秋季第六讲——蝴蝶模型——学而思范基程老师【知识点总结】一、来源：蝴蝶模型是几何图形中非常重要的模型之一，分为任意四边形与梯形中的蝴蝶模型，因形似蝴蝶而得名。
二、模型： 1、任意四边形中的蝴蝶定理：① S 1：S 2=S 4：S 3或者S 1×S 3=S 2×S 4②AO:OC =(S 1+S 2):(S 3+S 4) {DO:BO =(S 1+S 4):(S 2+S 3)}2、梯形中的蝴蝶定理： 如果AD:BC=:① S 1：S 3=：② S 2= S 4 ③S 1 : S 3: S 2: S 4=::④ 梯形面积所对应的份数为：3、总结：无论是在任意四边形还是梯形当中的蝴蝶模型，都为我们提供了一种解决四边形或梯形面积的新的方法。
任意四边形当中，将不规则四边形的面积与四边形内的三角形结合了起来；而梯形当中，我们只需要知道梯形上下底之间的比例，就可以得出被对角线所分成的四个三角形的面积之间的比例关系，进而知道每个三角形的面积所对应的份数。
258OACDBF E【例题精讲】（2007年“数学解题能力展示”读者评选高年级组初赛）如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中三块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为_________平方厘米。
【解析】连结DE 、CF 。
（1）在梯形EFCD 中，根据蝴蝶模型，有三角形EOF 与三角形DOC 的面积比为2:8，所以得到DF ：DC=1:2。
那么，三角形EOF 与三角形EOD 的面积比为1:1×2=1:2，所以三角形EOD 的面积为4（平方厘米），三角形COF 的面积也为4（平方厘米）。
因为四边形OEAD 的面积为5（平方厘米），所以，三角形ADE 的面积为1（平方厘米）。
（2）在长方形ABCD 中，三角形ECD 的面积是长方形ABCD 面积的一半，是8+4=12（平方厘米）那么剩下的部分（三角形ADE 与三角形BCE 的面积和也是12），又因为三角形ECF 的面积为2+4=6（平方厘米），所以三角形BCF 的面积为12-1-6=5（平方厘米）。
蝴蝶定理和风筝定理
创作时间：二零二一年六月三十日第三讲蝴蝶定理和风筝定理之阿布丰王创作一、引入 1、蝴蝶定理在梯形ABCD 中, 由对角线AC 与BD 分成的左右两个三角形（△ADO 和△BCO, 把这两个三角形称为蝴.△ADO △BCO2、风筝定理在任意四边形ABCD 中, 对角线AC 、BD 分成了四个三角形（如图）,这四个三角形的面积分别记为：S 1、S 2、S 3、S 4. 则它们的关系是：S 1×S 4=S 2×S 3即相对的两个三角形的面积乘积是相等的. 二、新授课【例1】如图, 梯形的两条对角线分梯形为四个小三角形, 已知△AOD 的面积是3平方厘米, △DOC 的面积是9ABCD 的面积是几多平方厘米？ 练习1、如图, 2BO=DO, 且阴影部份的面积是4cm 2, 那么梯形ABCD 的ABDO S 1 S 2S 3S 4面积是几多平方厘米？2、如图, 阴影部份面积是4cm 2, OC=2AO,【例2】如图, BD, CF 将长方形ABCD 分成四块积是4平方厘米, 黄色三角形的面积是8边形的面积是几多平方厘米？练习1、如图, BD, CF 将长方形ABCD 分成4块, 红色三角形面积是4平方厘米, 黄色三角形面积是6平方厘米, 是几多平方厘米？2、如图, 平行四边形ABCD 的面积是36平方厘米, 对角线AC 、BD 交于O 点, E 为CD 上一点, 已知四边形EFOG 厘米, 则阴影部份的面积为几多平方厘米？【例3】如图, 四边形ABCD 是边长为18的长是ED 的2倍.求：（1）三角形CEF 的面积, （2）DF 的长度 练习正方形ABCD 的边长是12厘米, 已知DE 是EC DEF 的面积是几多平方厘米？CF 长几多厘米？【例4】正方形ABCD 和正方形CEFG, 且正方形厘米, 则图中三角形BDF 面积为几多平方厘米？练习 C1、如图, 甲、乙两图形都是正方形, 它们的边长分别是10厘米和12厘米, 求阴影部份的面积.2、三个正方形ABCD 、BEFG 、FHKP 是3厘米, 求三角形DEK 的面积.1、如图, 阴影部份的面积是12cm 22、如图, 梯形ABCD 的上底AB 长为3而三角形ADO 的面积是12平方厘米平方厘米？3、如图, 长方形ABCD 中, 方厘米, OD 的长是16厘米, OB 的长是4厘米, 那么四边形OECD 的面积是几多平方厘米？4、如图, 平行四边形ABCD 面积是12A 点的中点.AC 与BE 相交于点F, 厘米？5、在直角梯形ABCD 中, AB=15厘米, AD=12厘米, 阴影部份的面积为15平方厘米, 梯形ABCD 的面积是几多平方厘米？6、梯形ABCF 的下底BC 是12厘米, 高求DF.K7、正方形ADEB 和正方形ECFG 底边对齐, 两个正方形边长分别为6厘米和4厘米, 三角形ACG 8、正方形ADEB 和正方形ECFG 6厘米和4厘米, 三角形BDF学生姓名：____________1、如图, 在梯形ABCD 中, 三角形ADO 的面积是6平方厘米, 且DC 的长是AB 的2倍.请问梯形ABCD 2、如图, 平行四边形ABCD 面积是72D 点的三等分点.BD 与CE 相交于点F, 平方厘米？3、正方形ABCD 的边长是6厘米, 已知形DEF 的面积是几多平方厘米？CF4、如图, 年夜、小正方形的边长分别是8份面积几多平方厘米？5、如图, 四边形ABCD 是直角梯形, AB=4厘米, AD=6厘米, DE=3厘米, 那么三角形BOC 6、如图, 四边形ABCD 积是35平方厘米, 阴影三角形CEF7、正方形ABCD 和正方形CEFG, 则图中阴影（三角形BDF FF8、已知三角形ABC的面积是64平方厘米, 是平方四边形DEFC面创作时间：二零二一年六月三十日。
小学奥数 蝴蝶定理 知识点+例题+练习 (分类全面)
小学奥数蝴蝶定理知识点+例题+练习(分类全面)教学内容：蝴蝶定理教学目标：掌握蝴蝶定理公式，并能够灵活运用。
重点：蝴蝶定理公式。
难点：蝴蝶定理公式的应用。
教学过程：蝴蝶定理：在梯形ABCD中，对角线AC与BD分成的左右两个三角形（△ADO和△BCO）形状有点像一对蝴蝶翅膀，把这两个三角形称为蝴蝶三角形，蝴蝶三角形的面积相等，即S△ADO = S△BCO。
在任意四边形ABCD中，对角线AC、BD分成了四个三角形，这四个三角形的面积分别记为：S1、S2、S3、S4.则它们的关系是：S1×S4 = S2×S3，即相对的两个三角形的面积乘积是相等的。
例1：在图中的梯形中，已知△AOD的面积是3平方厘米，△DOC的面积是9平方厘米，求梯形ABCD的面积。
例2：在图中的梯形中，已知阴影部分的面积是4平方厘米，OC=2AO，求梯形的面积。
例3：在图中的长方形ABCD中，BD、CF将其分成四块，红色三角形的面积是4平方厘米，黄色三角形的面积是8平方厘米，求绿色四边形的面积。
例4：在图中，四边形ABCD是边长为18厘米的正方形，已知CE的长是ED的2倍。
求：（1）三角形CEF的面积，（2）DF的长度。
例5：在图中，正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中三角形BDF面积为多少平方厘米？注：小幅度改写后，文章已经没有问题，但是例5的图中缺少一些关键信息，无法回答问题。
例6：两个正方形底边对齐，边长分别为6厘米和4厘米，求三角形ACG的面积。
解：首先画出图形，如下所示：因为正方形底边对齐，所以可以把两个正方形拼成一个长方形，如下所示：由此可以看出，三角形ACG的底边为10厘米，高为4厘米，所以面积为20平方厘米。
例7：已知三角形ABC的面积是64平方厘米，是平行四边形DEFC面积的2倍，求阴影部分的面积。
解：首先画出图形，如下所示：由题可知，平行四边形DEFC的面积为32平方厘米，而阴影部分是平行四边形DEFC面积的一半，即16平方厘米。
小学几何之蝴蝶定理
小学几何之蝴蝶定理在小学几何的奇妙世界里，有一个充满趣味和智慧的定理，那就是蝴蝶定理。
它就像一把神奇的钥匙，能帮助我们轻松解开许多几何难题。
让我们先来直观地感受一下蝴蝶定理是什么。
想象一下有一个四边形，它的两条对角线相交于一点。
然后分别从这个交点向四边形的四个顶点连线，这样就把四边形分成了四个三角形。
奇妙的是，这四个三角形的面积之间存在着一种特殊的关系，这就是蝴蝶定理所描述的内容。
蝴蝶定理的基本形式是：在一个梯形中，两条对角线相交，位于对角线交点两侧的三角形面积相等。
比如说，有一个梯形 ABCD，对角线 AC 和 BD 相交于点 O。
那么三角形 AOD 的面积就等于三角形 BOC 的面积。
为什么会有这样神奇的结论呢？我们来试着证明一下。
假设梯形的上底是 a，下底是 b，高是 h。
那么三角形 ABD 的面积可以用公式“底×高÷2”来计算，也就是（a ＋ b)×h÷2。
而三角形 AOD 和三角形 AOB 分别以 AO 和 BO 为底边，它们的高是相同的，都等于梯形的高 h。
假设三角形 AOD 的面积是 S1，三角形 AOB 的面积是 S2，那么根据三角形面积公式，我们可以得到：S1 ： S2 ＝ AO ： BO同样地，三角形 BOC 和三角形 DOC 的面积比也是 BO ： AO。
因为三角形 ABD 和三角形 ABC 的面积是固定的，所以：S1 ＋ S2 ＝三角形 ABD 的面积三角形 BOC 的面积S2 ＋ S1 ＝三角形 ABC 的面积三角形 AOD 的面积这就说明三角形 AOD 的面积等于三角形 BOC 的面积，也就是蝴蝶定理的结论。
蝴蝶定理在解决实际问题中非常有用。
比如说，有一道题：在一个梯形中，已知上底是 6 厘米，下底是 10 厘米，其中一条对角线把梯形分成了两个三角形，其中一个三角形的面积是 18 平方厘米，求另一个三角形的面积。
我们就可以利用蝴蝶定理，先求出梯形的高，然后再计算另一个三角形的面积。
关于数学的知识--蝴蝶模型
蝴蝶模型☺知识总览一、蝴蝶模型1、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①S S S S 3421::=或者1324S S S S ⨯=⨯ ②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
2、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．O DCBA s 4s 3s 2s 1A BCDO baS 3S 2S 1S 41、图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？☺典例精讲2、如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？EDCB A76OCDBA3、如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵AG:GC=？☺跟踪练习3、如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．CBOGF EDC BA4、如图，22S =，34S =，求梯形的面积。
随堂练习：如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB △与BOC △的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．☺典例精讲5、梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的23，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比．3525OABCDO ABCD6、如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．☺跟踪练习6、如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ，BD 相交于点O 。
蝴蝶定理模型讲解学习
蝴蝶定理模型蝴蝶定理棋型[1]任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）（1 ） S]:S, = S4:S3或S] xS 3 = S 2xS 4 厂（2）根据5与》的高相等，①与》的高相等可以得到AO:CO = ◎ + S2）: （S3 + S4）[2]梯形中的比例关系（“蝴蝶定理”）（1） S^.S^a 2 :b 2 （a > b 为份数）(2) S,: S 3: S 2:54 = a 2: Z?2: (ab): (ab) ( a > b 为份数)（3）梯形面积的对应份数为:（a + b ）2（a. b 为份数）【例1】已知正方形的面积为12, E 、F 是DC 上三等分点。
求阴影部 分的面积。
【分析提示】:由E 、F 是DC 上三等分点可知，EF:AB = l:3o）份。
又••• S 乂DE = S 乂比=（）0[3] 那么OP = OQ设S 昨=1（份），根据梯形蝴蝶定理1可以知道九n已知四边形ABCD,从而阴影部分的面积为： ____________________________________【例2】如图，四边形ABCD被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积如图所示。
求（1）s”（2）AG\GC o【分析提示】:根据任意四边形中蝴蝶定理可以知道^GC xl= 2x3,那么S沁=6【训练与提高】1 •在直角梯形ABCD中，AB=15厘米，AD=12厘米，阴影部分的面积为15平方厘米。
梯形ABCD的面积是多少平方厘米？解答:连接AE,可得s碍=九必= 15, 再次用蝴蝶定理可求"眩=（所以5A4BCD=（）2.如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原止方形的边平行，现在分别连接大正方形的」 小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部 为多少?解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图 中四个空 白三角形的高均为（），因此空白处的总面积为阴影部分的面积为（都为2,下底都为6,上底、下底之比为（），根据梯形蝴蝶定理，这四 个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之比为（ ），所以 每个梯形中的 空白三角形占该梯形面积的（），阴影部分的面积占该梯形面积 的（），所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的（），那么阴影部分的 面积为（）。
奥数专题：蝴蝶定理和风筝定理
蝴蝶定理和风筝定理引入1、蝴蝶定理在梯形ABCD 中，由对角线AC 与BD 分成的左右两个三角形（△ADO 和△BCO ）形状有点像一对蝴蝶翅膀，把这两个三角形称为蝴蝶三角形（如图），蝴蝶三角形的面积相等。
即S △ADO =S △BCO2、风筝定理在任意四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 分成了四个三角形（如图），这四个三角形的面积分别记为：S 1 、S 2 、S 3 、S 4。
则它们的关系是：S 1×S 4 =S 2×S 3即相对的两个三角形的面积乘积是相等的。
新授课【例1】如图，梯形的两条对角线分梯形为四个小三角形，已知△AOD 的面积是3平方厘米，△DOC 的面积是9平方厘米，梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？练习1、如图，2BO=DO ，且阴影部分的面积是4cm 2，那么梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？2、如图，阴影部分面积是4cm 2，OC=2AO ，求梯形的面积。
A BCD O S 1 S 2S 3 S 4【例2】如图，BD ，CF 将长方形ABCD 分成四块，红色三角形的面积是4平方厘米，黄色三角形的面积是8平方厘米，那么绿色四边形的面积是多少平方厘米？练习1、如图，BD ，CF 将长方形ABCD 分成4块，红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米，则绿色四边形的面积是多少平方厘米？2、如图，平行四边形ABCD 的面积是36平方厘米，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为CD 上一点，已知四边形EFOG 的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积为多少平方厘米？【例3】如图，四边形ABCD 是边长为18厘米的正方形，已知CE 的长是ED 的2倍。
求： （1）三角形CEF 的面积，（2）DF 的长度练习正方形ABCD 的边长是12厘米，已知DE 是EC 长度的2倍。
三角形DEF 的面积是多少平方厘米？CF 长多少厘米？CC【例4】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中三角形BDF 面积为多少平方厘米？练习1、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部分的面积。
关于数学的知识--蝴蝶模型
蝴蝶模型☺知识总览一、蝴蝶模型1、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①S S S S 3421::=或者1324S S S S ⨯=⨯ ②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
2、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．O DCBA s 4s 3s 2s 1A BCDO baS 3S 2S 1S 41、图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？☺典例精讲2、如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？EDCB A76OCDBA3、如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵AG:GC=？☺跟踪练习3、如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．CBOGF EDC BA4、如图，22S =，34S =，求梯形的面积。
随堂练习：如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB △与BOC △的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．☺典例精讲5、梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的23，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比．3525OABCDO ABCD6、如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．☺跟踪练习6、如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ，BD 相交于点O 。
梯形蝴蝶定理对应份数推导
梯形蝴蝶定理对应份数推导今天咱们来一起研究一个特别有趣的关于梯形的小秘密，这个秘密就是梯形蝴蝶定理哦。
咱们先想象一个梯形，就像一个小滑梯一样的梯形。
这个梯形里面呢，有一些很奇妙的关系。
咱们把梯形的上底叫做小底，下底叫做大底。
在这个梯形里画两条对角线，就像在这个小滑梯里面画了两条交叉的线。
这时候呀，这个梯形就被分成了四个部分，就像把一个大蛋糕切成了四块。
咱们来看看这四块之间的份数关系。
比如说，我们有一个梯形，上底是2厘米，下底是4厘米。
最上面那一块小三角形，就像一个小尖尖角。
这个小尖尖角和最下面那一块大三角形，它们的面积份数是和上底与下底的比例有关的。
因为上底是2厘米，下底是4厘米，上底和下底的比就是1:2。
那这个小尖尖角三角形的面积如果看成1份的话，最下面的大三角形面积就是4份呢。
这就像小的东西占1个小格子，大的东西就占4个小格子。
那旁边的两块三角形呢？它们呀，形状有点像蝴蝶的两个翅膀。
这两个翅膀的面积是相等的。
比如说，我们可以想象这两个翅膀都是2份。
咱们再举个例子呀。
假如有个梯形，上底是3厘米，下底是6厘米。
上底和下底的比就是1:2。
最上面小三角形面积是1份，最下面大三角形面积就是4份，两个翅膀的三角形面积就都是2份。
为什么会这样呢？咱们可以这么想。
三角形的面积是底乘以高除以2。
对于那两个翅膀三角形，它们的高是一样的，底呢，一个是上底的一部分，一个是下底的一部分，因为上底和下底有比例关系，所以这两个翅膀三角形面积就相等啦。
而小三角形和大三角形，它们的高也是一样的，底的比例就是上底和下底的比例，所以面积比例也是上底和下底的比例的平方呢。
这样看这个梯形蝴蝶定理是不是很有趣呀？就像我们在梯形这个小世界里发现了一个特别的宝藏，这个宝藏就是这些部分之间的份数关系。
以后我们再看到梯形，画了对角线之后，就可以很快知道这四块的面积大概是几份啦。
梯形蝶形定理
梯形蝶形定理哎，我跟你说，最近我迷上了梯形蝶形定理，真是越学越有意思！以前总觉得几何学就是平面上的那些点、线、面，但梯形蝶形定理不一样，它那方法，真是让人脑洞大开。
那天晚上，我正捧着一本几何书看得入迷，老婆凑过来问：“你这是看啥呢？这么认真。
”我笑着说：“这是梯形蝶形定理，一种几何定理，可有意思了！”老婆撇撇嘴：“梯形蝶形定理？能有啥意思？”我一听，立马来了劲儿，翻开一页给她看：“你看这个，梯形蝶形定理就是把一个梯形分成两个三角形，然后利用三角形的性质，得出梯形的面积。
”老婆一听，来了兴趣：“哟，这梯形蝶形定理是啥玩意儿？”我得意地说：“梯形蝶形定理就是把一个梯形分成两个三角形，然后利用三角形的性质，得出梯形的面积。
你可以在纸上画个梯形试试。
”老婆听得目瞪口呆：“这真是太神奇了！”我笑着说：“可不是嘛，梯形蝶形定理里还有很多这样的神奇方法，比如蝴蝶定理，它是一种几何定理，真是让人脑洞大开！”第二天，我跟几个哥们儿聚会，忍不住跟他们炫耀：“你们知道吗？我最近在学梯形蝶形定理，真是受益匪浅！”老张一脸惊讶：“梯形蝶形定理？那不是小学里的东西吗？你能看懂？”我笑着说：“当然能看懂，而且越看越有意思。
你看这个，梯形蝶形定理就是把一个梯形分成两个三角形，然后利用三角形的性质，得出梯形的面积。
”老李在一旁听得入迷：“哎，你这么一说，我也想看看了。
”我赶紧说：“那咱们一起学吧，梯形蝶形定理里还有很多有趣的东西，比如蝴蝶定理，它是一种几何定理，真是让人脑洞大开！”就这样，我们几个哥们儿开始一起学梯形蝶形定理，每天晚上聚在一起，你一句我一句地讨论。
老张说：“这梯形蝶形定理真是博大精深，学了之后，感觉自己都变得有文化了。
”老李笑着说：“可不是嘛，我现在跟老婆聊天，都能引经据典了！”哎，我跟你说，这梯形蝶形定理真是好东西，学了之后，不仅增长了知识，还提升了思维。
以前总觉得几何学就是平面上的那些点、线、面，但现在觉得，梯形蝶形定理真是让人脑洞大开。
梯形蝴蝶定理
梯形蝴蝶定理如上图，在梯形中，存在以下关系：1.相似图形，面积比等于对应边长比的平方S1：S2=a2/b22.S1:S2:S3:S4= a2:b2:ab:ab3.S3=S44.S1×S2=S3×S4(由S1/S3=S4/S2推导出)5.AO:BO=(S1+S3):(S2+S4)【例】E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F，已知三角形AFD的面积是6，三角形DEF的面积是4，求四边形BCEF的面积为多少？【解】如图，由梯形蝴蝶定理可得△BEF面积等于6，而△ABF的面积为6×6÷4=9因为△BCD面积等于△ABD，所以△BCE面积为9+6-6-4=5因此所求四边形面积为5+6=11。
蝴蝶定理的证明：右上角为A，左下角为BS1和S2的的三角形是相似的（AAA）~~~所以面积比=边长比的平方即a²：b²设梯形高为h，S3+S2=1/2 bh=S4+S2。
所以S3=S4设S3+S1的三角形的AB上的高为h1，可知S3:S1=OB:OA因为S1和S2的的三角形是相似，S3:S1=OB:OA=b：a所以S1︰S2︰S3︰S4= a^2︰b^2︰ab︰ab射影定理公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)^2=AD·DC，（2）(AB)^2=AD·AC ，（3）(BC)^2=CD·CA 。
等积式（4）AB×BC=AC×BD(可用“面积法”来证明）直角三角形射影定理的证明射影定理简图(几何画板)：（主要是从三角形的相似比推算来的）证法一在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴ AD/BD=BD/CD即BD^2=AD·DC。
梯形蝴蝶定理的五个公式
梯形蝴蝶定理的五个公式
梯形蝴蝶定理是指在一个梯形中，蝴蝶的翅膀之间的关系。
具体来说，如果一个梯形的两对边的中点相连，那么相连的线段平方和等于梯形的两腰的平方和。
梯形蝴蝶定理的五个公式如下：
1. 蝴蝶定理：如果一个梯形的两对边的中点相连，那么相连的线段平方和等于梯形的两腰的平方和。
2. 蝴蝶定理的逆定理：如果一个四边形的一对对边的中点相连，且相连的线段平方和等于四边形的两腰的平方和，那么这个四边形是一个梯形。
3. 蝴蝶定理的推广1：如果一个梯形的两对边的中点相连，那么相连的线段的乘积等于梯形的两腰的乘积。
4. 蝴蝶定理的推广2：如果一个四边形的一对对边的中点相连，且相连的线段的乘积等于四边形的两腰的乘积，那么这个四边形是一个梯形。
5. 蝴蝶定理的推广3：如果一个四边形的对边的中点相连，且相连的线段的乘积等于四边形的两腰的乘积，那么这个四边形是一个平行四边形。
蝴蝶定理和风筝定理
第三讲蝴蝶定理和风筝定理C、引入1、蝴蝶定理在梯形ABCD 中，由对角线 AC 与BD 分成的左右两个三角形（厶 ADO 和厶BCO ）形状有 点像一对蝴蝶翅膀，把这两个三角形称为蝴蝶三角形（如图），蝴蝶三角形的面积相等。
2、风筝定理在任意四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 分成了四个三角形 这四个三角形的面积分别记为： S i 、S 2、S 3、S 4。
则它们的关系是：S i x S 4 =S 2 X S 3即相对的两个三角形的面积乘积是相等的。
、新授课［例 1】如图，梯形的两条对角线分梯形为四个小三角形，已知△AOD 的面积是3平方厘米，△ DOC 的面积是9平方厘米，梯形 ABCD练习1、如图，2BO=DO ，且阴影部分的面积是 4cm 2，那么梯形ABCD 的面积是多少平方厘米?即 S AA DO =S A BCOBA S i S 2O S 3S 4C2、如图，阴影部分面积是 4cm2, OC=2AO，求梯形的面积。
CC【例2】如图，BD , CF 将长方形ABCD 分成四块，红色三角形的面积是4平方厘米，黄色三角形的面积是 8平方厘米，那么绿色四边形的面积是多少平方厘米?练习1如图，BD ，CF 将长方形ABCD 分成4块，红色三角形面积是 面积是6平方厘米，则绿色四边形的面积是多少平方厘米？2、如图，平行四边形 ABCD 的面积是36平方厘米，对角线 AC 、BD 交于0点，E 为CD 上一点，已知四边形 EFOG 的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积为多少平方厘米？【例3】如图，四边形ABCD 是边长为18厘米的正方形，已知CE 的长是ED 的2倍。
求:(1)三角形CEF 的面积，(2)DF 的长度练习正方形ABCD 的边长是12厘米，已知DE 是EC 长度的2倍。
三角形DEF 的面积是多少平4平方厘米，黄色三角形DDG F方厘米？ CF长多少厘米?C【例4】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形 ABCD 边长为10厘米，则图中三角形BDF 面积为多少平方厘米？2、三个正方形 ABCD 、BEFG 、FHKP 如图排列，正方形 BEFG 的边长是3厘米，求三角形 DEK 的面积。
蝴蝶定理和风筝定理
、引入1、蝴蝶定理在梯形ABCD 中，由对角线 AC 与BD 分成的左右两个三角形（厶 ADO 和厶BCO ）形状有 点像一对蝴蝶翅膀，把这两个三角形称为蝴蝶三角形（如图），蝴蝶三角形的面积相等。
2、风筝定理在任意四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 分成了四个三角形 这四个三角形的面积分别记为： S i 、S 2、S 3、S 4。
则它们的关系是：S i x S 4 =S 2 X S 3即相对的两个三角形的面积乘积是相等的。
、新授课［例 1】如图，梯形的两条对角线分梯形为四个小三角形，已知△AOD 的面积是3平方厘米，△ DOC 的面积是9平方厘米，梯形 ABCD练习1、如图，2BO=DO ，且阴影部分的面积是 4cm 2，那么梯形ABCD 的面积是多少平方厘米?2、如图，阴影部分面积是 4cm 2, OC=2AO ，求梯形的面积。
即 S A A DO =S A BCOBAS i S 2O S 3S 4C【例2】如图，BD , CF 将长方形ABCD 分成四块，红色三角形的面积是4平方厘米，黄色三角形的面积是 8平方厘米，那么绿色四边形的面积是多少平方厘米?练习1如图，BD ，CF 将长方形ABCD 分成4块，红色三角形面积是 面积是6平方厘米，则绿色四边形的面积是多少平方厘米？2、如图，平行四边形 ABCD 的面积是36平方厘米，对角线 AC 、BD 交于0点，E 为CD 上一点，已知四边形 EFOG 的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积为多少平方厘米？【例3】如图，四边形ABCD 是边长为18厘米的正方形，已知CE 的长是ED 的2倍。
求:(1)三角形CEF 的面积，(2)DF 的长度练习正方形ABCD 的边长是12厘米，已知DE 是EC 长度的2倍。
三角形DEF 的面积是多少平4平方厘米，黄色三角形 DDG F方厘米？CF长多少厘米?【例4】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形 ABCD 边长为10厘米，则图中三角形BDF 面积为多少平方厘米？2、三个正方形 ABCD 、BEFG 、FHKP 如图排列，正方形 BEFG 的边长是3厘米，求三角形 DEK 的面积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
梯形蝴蝶定理
如上图，在梯形中，存在以下关系：
1.相似图形，面积比等于对应边长比的平方S1：S2=a2/b2
2.S1:S2:S3:S4= a2:b2:ab:ab
3.S3=S4
4.S1×S2=S3×S4(由S1/S3=S4/S2推导出)
5.AO:BO=(S1+S3):(S2+S4)
【例】E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F，已知三角形AFD的面积是6，三角形DEF的面积是4，求四边形BCEF的面积为多少？
【解】如图，由梯形蝴蝶定理可得△BEF面积等于6，而△ABF的面积为6×6÷4=9
因为△BCD面积等于△ABD，所以△BCE面积为9+6-6-4=5
因此所求四边形面积为5+6=11。
蝴蝶定理的证明：
右上角为A，左下角为B
S1和S2的的三角形是相似的（AAA）~~~所以面积比=边长比的平方即a²：b²
设梯形高为h，S3+S2=1/2 bh=S4+S2。
所以S3=S4
设S3+S1的三角形的AB上的高为h1，可知S3:S1=OB:OA
因为S1和S2的的三角形是相似，S3:S1=OB:OA=b：a
所以S1︰S2︰S3︰S4= a^2︰b^2︰ab︰ab
射影定理
公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)^2=AD·DC，（2）(AB)^2=AD·AC ，（3）(BC)^2=CD·CA 。
等积式（4）AB×BC=AC×BD(可用“面积法”来证明）
直角三角形射影定理的证明
射影定理简图(几何画板)：
（主要是从三角形的相似比推算来的）
证法一
在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，
∴∠ABD=∠C，
又∵∠BDA=∠BDC=90°
∴△BAD∽△CBD
∴ AD/BD=BD/CD
即BD^2=AD·DC。
其余同理可得可证
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
有射影定理如下：AB^2=AD·AC，BC^2=CD·CA
两式相加得：AB^2+BC^2=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=AC^2 .
即AB^2+BC^2=AC^2（勾股定理结论）。
证法二
已知:三角形中角A=90度，AD是高.
用勾股证射影
∵AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2，
∴2AD^2=AB+AC-BD-CD=BC-BD-CD=(BD+CD)-(BD+CD)=2BD×CD.
故AD^2=BD×CD.
运用此结论可得:AB=BD+AD=BD+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC，AC=CD+AD=CD+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.
综上所述得到射影定理。
同样也可以利用三角形面积知识进行证明。