第二章 刚体转动
刚体定轴转动概述
m
已知： m , m1 , m2 , r , 0 0
r
求： t ?
m2
m1
思路：质点平动与刚体定轴转 动关联问题，隔离法，分别列 方程，先求角加速度, 再
23
N
β
r
解：在地面参考系中，分别以 m1 , m2 , m 为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第 二定律和转动定律建立方程。 对于 m 1
3 、物理意义：转动惯性的量度 .
I 大 转动惯性大
4、转动惯量的计算
若质量离散分布 若质量连续分布
I＝ mi ri
i
2
I r dm
2
O m2
例：如图m1 ，m2绕OO′转动，
它们距轴的距离分别为
2 1 l l 3 、 3
m1
2 l 3 1 l 3
则，系统的转动惯量为
2 1 I = m1 l m2 l 3 3
dm 2rdr l
l
3
R
O
r
dr
dI r dm 2lr dr
2
I
dI
R
0
m 1 2 I mR R 2l 2
1 4 2lr dr R l 2
3
可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量 也是mR2/2。
m1 g T1 m1a1 (1)
T2 m2 g m2 a2 (2)
2
T2 mg
T1
对于 m 2
对于滑轮 m T r T r I 1 mr 2 (3) 1 2
T2
a2
T1
m2 g
思考：
大学物理_第二章_刚体
2rdr
m
R2
2
rdr
(2) 求 d J
利用上题结果 dJ = r2 dm
r 0
(3) 求 J
dr
J
r 2dm
m
Rr2
0
m
R2
2
rdr
1 mR 2 2
J 1 mR 2
2
例3：求均匀细杆对中心轴及边缘轴的转动惯量
对质心轴 （1） dm dx m dx
l
mO
在半径为r、宽度为dr的面积元dS上的质元
0
具有相同的线速度v。则dS上阻力的大小为:
dF f dS f 2 r dr
考虑盘的上下表面，故阻力矩大小为
dM 2 r dF
总阻力矩
R
M dM 0 (2r f 2 r)dr
m
R
0 (2r kv 2 r)dr
与力的作用点的位置和方向都有关。即，只有力矩才
能改变刚体的转动。当M=0时，刚体匀速转动或静止
r
f11 f
f⊥
m
M
r
f
M r f11 f rf11 r f
对转动没影响 M r f r f
大小f：应 M 理 r解f s为 in在方转向动：平沿面r 内f
2
1 3
mL2
又如求均匀圆盘对于通过其边缘一点 O 的平行
轴的转动惯量:
JO JC md2
Jo
1 2
mR2
mR2
3 mR2 2
刚体旋转知识点总结图解
刚体旋转知识点总结图解一、刚体的定义刚体是指形状和大小在一定范围内不改变，结构完整，部分不会随着外力的作用而发生形变的物体。
刚体的旋转是指刚体绕着某个固定轴线旋转的运动。
二、刚体的转动定律1. 刚体的角位移：刚体绕固定轴线旋转时，每个质点的位移方向都与该质点的运动轨迹相切，并且线速度不同，但角速度相同。
2. 刚体的角加速度：刚体绕固定轴线旋转时，各质点的加速度虽然大小不同，但方向都垂直于该质点的运动轨迹，并与其对应的线速度方向一致。
3. 刚体的角动量：刚体绕固定轴线旋转时，当刚体的转动轴不经过质心时，刚体的角动量等于该点相对于质心的角动量之和。
三、刚体的转动定律1. 角动量定理：刚体绕固定轴线旋转时，刚体的角动量与外力矩之和等于刚体对旋转轴的角动量的变化率。
2. 动能定理：刚体绕固定轴线旋转时，刚体的动能等于刚体的角动量的变化率与角速度的乘积之和。
3. 动量矩定理：刚体绕固定轴线旋转时，刚体的角动量改变的原因是外力矩。
如果外力矩为零，则刚体的角动量是守恒的。
四、刚体的转动惯量1. 刚体的转动惯量：刚体绕固定轴线旋转时，刚体对于该轴线的转动惯量等于各质点到该轴线距离的平方与质点质量乘积之和。
2. 转动惯量的计算方法：刚体对于不同轴线的转动惯量计算是以刚体某一坐标轴为基准，按照平行轴定理或垂直轴定理进行转动惯量的计算。
3. 转动惯量的应用：刚体绕固定轴线旋转时，转动惯量的大小决定了刚体旋转的惯性大小。
转动惯量越大，刚体绕轴旋转越困难。
五、刚体的转动动力学1. 合力与合力矩：刚体绕固定轴线旋转时，合力是刚体质心的动力学性质，而合力矩是刚体绕轴线旋转的动力学性质。
2. 麦克尔斯定理：刚体绕固定轴线旋转时，如果刚体受到合力矩的作用，则该合力矩等于刚体在质心处受到的效力矩与刚体到该轴的距离的乘积。
3. 角动量矩定理：刚体绕固定轴线旋转时，角动量矩定理描述了刚体对旋转轴的角动量的变化率等于刚体受到的外力矩。
六、刚体的平衡与稳定1. 刚体的平衡：刚体绕固定轴线旋转时，刚体处于平衡状态可以分为静平衡和动平衡，其中静平衡是指刚体的合外力和合外力矩均为零，而动平衡是指刚体的合外力为零。
第02章_刚体转动
2-2 力矩与转动定律
2r
2r
球体转轴沿直径
球壳转轴沿直径
2mr J 5
2
2mr J 3
2
36
2-2 力矩与转动定律
例3 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置，其 下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动 . 由于此 竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小 扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转 动 .试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度 和角速度 . 解 细杆受重力和
8
目录
2-1 转动的描述 2-2 力矩与转动定律 2-3 角动量与角动量守恒定律 2-4 刚体绕定轴转动的动能定理 2-5 工程中的刚体转动
9
2-1 转动的描述
一、平动与转动
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物 体 。（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）
刚体的运动形式：平动、转动。
15
右手螺旋方向
2-1 转动的描述
刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角 速度的正负来表示 。 单位：弧度/秒，rad/s,
>0
z
z
转/分，rev/minFra bibliotek2 1rev/min rad/s 60 -1
<0
0.105 s d 角加速度 dt
M
O
M
r
F
*
作用在刚体上点 P , 且在转动 平面内, r 为由点O 到力的 作用点 P 的径矢 。 F 对转轴 Z 的力矩
z
M r F M Fr sin Fd
d
P
理论力学 第二章 刚体的基本运动
0
nπ 式中n为转速 单位：转/ 分(r/min) 。 山东大学 土建与水利学院工程力学系 THEORETICAL MECHANICS 30
§ 2.2 刚体绕定轴的转动
3.角加速度
描述角速度变化的快慢程度
2
d d lim 2 t 0 t dt dt
单位：弧度/秒2 (rad/s2 ) α与同号，刚体加速转动；
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
§2.4 轮系的传动比
1 n1 r2 Z2 i1,2 2 n2 r1 Z1
此结论对于锥齿轮传动和带 轮传动同样适用。 在一些复杂轮系（如变速器） 中包含有几对齿轮。可将每一对 齿轮的传动算出后，将它们连乘 起来，变为可得总的传动比。
392.8 62.5 转 2π
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
例 题
例2- 3 轮子绕O点作定轴转动，其加速度方向和轮的半径
成60度角，求轮的转动方程，以及角速度和转角之间的关系。
00, 0.
M
O
a
60
THEORETICAL MECHANICS
解 ： AB 杆 为 平 移 ， O1A 为 定 轴 转 动 。 根 据 平移的特点，在同一瞬 时，M、A两点具有相同 的速度和加速度。
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
例 题
A点作圆周运动，其运动方程为
s O1 A 3π t
ds dv vA 3π （m/s) a A t 0 dt dt
§ 2.1 刚体的平行移动
鲁科版高中物理选修2-2：刚体的转动及平衡
情况。
画出直杆的受力分析 示意图（如图右）
从实验数据可以看出
F1 + F2 = G + G1 或 F1 + F2 – G – G1 = 0
以A为转动轴，计算 各力对A轴的力矩的 代数和，得到
F2×AB – G×AC – G1×AD = 0 若以B为转动轴，计算各力对B轴的力矩的代 数和，可得到
需将力分别向垂直于轴以及平行于 轴方向做正交分解，如图所示
对轴的有效力矩应为：
MM
rFr
siFn
Fh
(3)力矩迭加原理
MM MMii
力矩方向？
z
r
F
z
F//
F
h
r
A
F
6
三、刚体转动定律
第i个质元 Fi fi miai
切线方向 Fi fi miai
z L mivi ri miri2 ( miri2 ) J
i
i
i
2、刚体定轴转动的角动量定理
dL
d
(J) J d
J M
dt dt
dt
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律
O ri
v i
mi
若 M 0 则 L J =常量
13
刚体平衡
14
•刚体平衡的条件：
选用不容易变形的 直杆代表扁担。用弹 簧测力计测出它自身 的重量G，再设法测
出杆的重心C。
用细线拴住杆的A、B两点，把它挂在两个弹
簧测力计下面，并在D处挂4个钩码（其总重量G1 ），如图所示。调节测力计的高低，使杆在水平 方向上平衡。
第二章刚体转动
第⼆章刚体转动《⼤学物理》综合练习(⼆)——刚体定轴转动班级学号：姓名：⽇期：⼀、选择题(把正确答案的序号填⼊括号内)1．两个⼩球质量分别为m 和m 3，⽤⼀轻的刚性细杆相连。
对于通过细杆并与之垂直的轴来说，轴应在图中什么位置处物体系对该轴转动惯量最⼩?(A)cm 10=x 处； (B)cm 20=x 处； (C)cm 5.22=x 处； (D)cm 25=x 处。
[ C ]2．⼀匀质杆质量为m ，长为l ，绕通过⼀端并与杆成θ⾓的轴的转动惯量为(A)3/2ml ； (B) 12/2ml ； (C) 3/sin 22θml ； (D) 2/cos 22θml 。
[ C ]3．⼀正⽅形均匀薄板，已知它对通过中⼼并与板⾯垂直的轴的转动惯量为J 。
若以其⼀条对⾓线为轴，它的转动惯量为(A)3/2J ； (B)2/J ； (C)J ； (D)不能判定。
[ B ]4．如图所⽰，A 、B 为两个相同的定滑轮，A 滑轮挂⼀质量为m 的物体，B 滑轮受拉⼒F ，⽽且mg F =，设A 、B 两滑轮的⾓加速度分别为A β和B β，不计滑轮轴的摩擦，这两个滑轮的⾓加速度的⼤⼩⽐较是 (A)B A ββ=； (B)B A ββ>； (C)B A ββ<； (D)⽆法⽐较。
[ C ]5．关于⼒距有以下⼏种说法：B题1图题4图(1)内⼒矩不会改变刚体对某个定轴的⾓动量； (2)作⽤⼒和反作⽤⼒对同⼀轴的⼒矩之和必为零；(3)质量相等形状和⼤⼩不同的两个刚体，在相同⼒矩作⽤下，它们的⾓加速度⼀定相等。
在上述说法中:(A)只有(2)是正确的； (B)(1)、(2)是正确的； (C)(2)、(3)是正确的； (D)(1)、(2)、(3)都是正确的。
[ B ]6．⼀⽔平圆盘可绕固定的铅直中⼼轴转动，盘上站着⼀个⼈，初始时整个系统处于静⽌状态，忽略轴的摩擦，当此⼈在盘上随意⾛动时，此系统 (A)动量守恒； (B)机械能守恒；(C)对中⼼轴的⾓动量守恒； (D)动量、机械能和⾓动量都守恒； (E)动量、机械能和⾓动量都不守恒。
简明大学物理教程(上)1刚体定轴转动01
的圆环。
圆环质量 dm 2π rdr
O
RR
r
dr
圆环对轴的转动惯量
dJ r2dm 2π r3dr
J R 2π r3dr π R4
0
2
哈尔滨工程大学理学院
而 m π R2
所以 J 1 mR2 2
基本概念与转动定律
第2章 刚体定轴转动
（3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消。
哈尔滨工程大学理学院
M ij
O
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M ji
Mij M ji
基本概念与转动定律
2.3.2 转动定律
（1）单个质点m与转 轴刚性连接。
Ft mat mr
M rF sin
M rFt mr 2 M mr 2
力可略去不计。问：（1） 两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体 B 从
A mA
C
mC
静止落下距离y时，其 速率是多少？（3）若 滑轮与轴承间的摩擦
mB B
力不能忽略，并设它
们间的摩擦力矩为Mf， 再求线加速度及绳的
张力。
哈尔滨工程大学理学院
基本概念与转动定律
A
mA
z
l dl
O
xy
df
df dm g 方向如图
dm对O 点的 力矩为：
dM l df l df (k ) l dm g(k )
gl dl(k )
M
dM
大学物理(刚体部分)39页PPT
y y
θ一定,每一质点位置一定.
x
(t) t11,t22 2 1 角位移
o o
xx
4
四、角速度与角加速度
lim d
v
t0 t dt
lddit m t0减 加 t 速 速dd与 与 t反 同ddt2向 向 2. ，转右轴手转螺动旋平,轴面向
0 t
匀加速转动: 0tt2 2
202 2
5
五、线量和角量的关系
内滑轮转过的圈数.(4)开始上升后,t=1s末滑轮 边缘上一点的加速度(设绳索与滑轮之间不打滑).
解:(1) at r a t r ar 0 .8 ra ds2
(2) 0t t4rads
(3) t2 210rad n21.6圈 r
(4) at a, a nr2rt20 .3 2m s2
a
概念、规律、方法与质点力学对照学习！
2
§1 刚体定轴转动及其描述
一、刚体
物体受力作用时,组成它的各质量元之间的 相对位置保持不变.有大小,形状不变. 二、平动和转动 （刚体运动的基本形式)
平动：刚体内任意两点连线的空间指向始终 保持不变,各点的运动情况完全相同.
转动：刚体内各质点在运动中都绕同一直线 作圆周运动.该直线称转轴. 转轴固定不动---定轴转动.
加a速度at2与滑an 2轮0 边.5缘1m 切s线2方向ar夹cta角naa.nt 38.7
7
§2 转动定律
一、力矩
Ft
F
转动效果原因---力矩
o
r
M F d Fsrin d F n F F
矢量式 M r F 右手螺旋 针对某参考点
当外力不在转动平面内,可分解成垂直轴
和平行轴的两分量,后者对转动无贡献. o R
物理学02习题
第二章 刚体的转动习 题1、两个半径相同的飞轮用一皮带相连，作无滑动转动时，大飞轮边缘上各点的线速度的大小是否与小飞轮边缘上各点的线速度的大小相同？角速度又是否相同？2、当刚体转动时，如果它的角速度很大，是否说明刚体的角加速度一定很大？3、如果作用在刚体上的合力矩垂直于刚体的角动量，则刚体角动量的大小和方向会发生变化吗？4、一个人随着转台转动，两手各拿一只重量相等的哑铃，当他将两臂伸开，他和转台的转动角速度是否改变？5、直径为0.6 m 的转轮，从静止开始做匀变速转动，经20 s 后，它的角速度达到100π rad/s,求角加速度和在这一段时间内转轮转过的角度。
6、求质量为m ，长为l 的均匀细棒对下面几种情况的转动惯量。
（1） 转轴通过棒的中心并与棒成垂直； （2） 转轴通过棒的一端并与棒垂直；（3） 转轴通过棒上离中心为h 的一点并与棒成垂直； （4） 转轴通过棒中心并和棒成θ角。
7、如图2-19所示，一铁制飞轮，已知密度ρ=7.8 g/cm 3，R 1=0.030 m ，R 2=0.12 m ，R 3=0.19 m ，b =0.040 m ，d =0.090 m ，求它对转轴的转动惯量。
8、一飞轮直径为0.3 m ，质量为5 kg ，边缘绕绳，现用恒力拉绳一端，使它由静止均匀地加速，经0.5 s 转速达到10 rev/s,假定飞轮可看做实心圆柱体，试求：（1）飞轮的角加速度及其在这段时间内转过的转数；（2）从拉动后t =10 s 时飞轮的角速度及轮边缘上一点的速度和加速度。
（3）拉力及拉力所作的功；9、用线绕于半径R =1 m ，质量m =100 kg 的圆盘上，在绳的一端作用10 N 的拉力，设圆盘可绕过盘心垂直于盘面的定轴转动。
试求： （1）圆盘的角加速度；（2）当线拉下5 m 时，圆盘所得到的动能。
10、两个质量为m 1和m 2的物质分别系在两条绳上，这两条绳又分别绕在半径为r 1和r 2并装在同一轴的两鼓轮上，如图2-20所示。
(物理学)第二章刚体转动
第二章 刚体的转动一、计算题2、求质量为m ，长为l 的均匀细棒对下面几种情况的转动惯量。
转轴通过棒中心并和棒成θ角。
4、一飞轮直径为0.3 m ，质量为5 kg ，边缘绕绳，现用恒力拉绳一端，使它由静止均匀地加速，经0.5 s 转速达到10 rev/s,假定飞轮可看做实心圆柱体，求：（1）飞轮的角加速度及其在这段时间内转过的转数；（2）从拉动后t =10 s 时飞轮的角速度及轮边缘上一点的速度和加速度。
（3）拉力及拉力所作的功；5、用线绕于半径R=1 m ，质量m=100 kg 的圆盘上，在绳的一端作用10 N 的拉力，设圆盘可绕过盘心垂直于盘面的定轴转动。
求（1）圆盘的角加速度；（2）当线拉下5 m 时，圆盘所得到的动能。
11、一根质量为m ，长为l 的均匀细棒，绕一水平光滑转轴O 在竖直平面内转动。
O 轴离A 端距离为3l，此时的转动惯量为91ml2,今使棒从静止开始由水平位置绕O 轴转动，求： （1） 棒在水平位置上刚起动时的的角加速度； （2） 棒转到竖直位置时角速度和角加速度；（3） 转到垂直位置时，在A 端的速度及加速度。
（重力作用点集中于距支点6l处）12、如图2-8所示，一圆形飞轮可绕垂直轴转动，边缘绕有绳子，在绳子下端挂以质量m ＝20kg 的物体。
已知圆形飞轮半径R ＝2.0m ，质量M ＝300kg 。
求：（已知转动惯量I ＝21MR2） (1) 圆形飞轮的角加速度；(2) 绳子下端挂的物体下落4m 后圆形飞轮的角速度和转动动能。
14、固定的发动机飞轮，转动惯量为2000㎏·㎡，在恒外力矩的作用下，飞轮从静止开始转动，经过100s 后，转速达15rev/s ，求：(1) 外力矩的大小。
(2)此时的转动动能的大小。
(3)经过100s 时，发动机飞轮转过的圈数。
参考答案二、计算题2、解：（1）如图2-9（a ）所示，取质量元x lmm d d =，由转动惯量的定义，得x x lm m x I d d d 22== 则2220121d 2d l m x x l m I I I l ===⎰⎰ （2）由平行轴定理，得g图2-822231121)2(ml ml l m I =+⋅=（3）由平行轴定理，得：22121ml mh I += （4）如图2-9（b ）所示，求质量元x lmmd d =，绕转轴oo ′的转动惯量 x l mx I d )sin (d 2⋅=θ，则222022d 2sin d 1sin 12l m I I x x lml θθ==⋅=⎰⎰4、 解：飞轮绕轴的转动惯量228121d m mR I ==（1）飞轮在恒力作用下，作匀加速转动，由ω=βt 得ππωβ405.0210=⨯=t＝rad/s2又由221t βθ＝得 2140π055π2.θ=⨯⨯= rad 则转过的圈数为5π252π.N== （2）由转动定律M =I β和Fd R F M 21=⋅=得 21150340π15πN 44I F md d ββ.===⨯⨯⨯=拉力所作的功21115π035π1125πJ 22..W F S F R Fd θθ=⋅=⋅==⨯⨯⨯=（3）由ω=βt 得ω=40 π×10＝400 π rad/s边缘上一点的速度v =ωR=400 π×0.15= 60 π m/s切向加速度π0.615.040=⨯==πβτR a m/s2法向加速度222n (400π)01524000π.a R ω==⨯= m/s2加速度的大小图2-9（b ）n 2n 2τa a a a ≈+=（n τa a << ）5、解：圆盘绕轴的转动惯量222m kg 5011002121⋅⨯⨯==＝mR I （1）由转动定律M =I β得5150110＝⨯=⋅==I R F I M β rad/s2 （2）外力矩所作的功等于圆盘动能的 增加，即2k 110550J 2E I F S ω==⋅=⨯= 11、解：转轴到A 端的距离为3l ，即转轴到细棒的质心的距离为6l。
刚体的转动及平衡-鲁科版选修2-2教案
刚体的转动及平衡-鲁科版选修2-2教案一、引言在物理学中，刚体是指一个物理系统，在任何外力的作用下，其形状始终保持不变的体系。
在本教案中，我们将学习刚体的转动及平衡。
二、刚体的转动1. 刚体的转动定义刚体的转动是指刚体绕一个轴线旋转的运动。
在这种转动中，刚体上各点绕同一轴线旋转，因而它们的线速度和角速度相等。
刚体的转动分为平面转动和空间转动两种。
2. 转动的基本量刚体的转动有几个基本量，包括角速度、角加速度、转动惯量、角动量和转矩等。
3. 转动的运动学规律在刚体转动中，有以下两个运动学规律：•旋转定理：一个质点绕定轴旋转时，其角动量等于该质点到轴线的距离和该质点的线速度的乘积。
•角动量守恒定律：刚体绕定轴转动时，其角动量守恒，即角动量在转动过程中始终保持不变。
三、刚体的平衡1. 稳定平衡和不稳定平衡刚体的平衡分为以下几种：•稳定平衡：当一个平衡位置的刚体稍微偏离该位置时，由于力矩的作用而继续偏离该位置。
•不稳定平衡：当一个平衡位置的刚体稍微偏离该位置时，由于力矩作用而进一步远离平衡位置。
•中立平衡：当一个平衡位置的刚体稍微偏离该位置时，受到的力矩为零，继续停留在该位置。
2. 平衡条件一个刚体能够处于平衡状态，需要满足以下平衡条件：•受力平衡条件：在所有方向上，刚体所受的合力为零，即$\\sum\\limits_{i=1}^n F_i=0$。
•转矩平衡条件：在所有方向上，刚体所受的合转矩为零，即$\\sum\\limits_{i=1}^n \\vec{r_i}\\times\\vec{F_i}=0$。
3. 稳定平衡和重心当一个物体处于稳定平衡状态时，我们可以通过物体的重心来判断物体是否稳定。
只有当物体重心下降的趋势被有效抑制时，物体才会处于稳定平衡状态。
四、结语在刚体的转动和平衡中，有许多的基本量和规律需要熟记和掌握。
只有当我们深入掌握了这些理论知识，才能够更好地解决实际问题，如刚体力学和机械原理等。
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《大学物理》综合练习(二)——刚体定轴转动班级学号： 姓 名： 日 期： 一、选择题(把正确答案的序号填入括号内)1．两个小球质量分别为m 和m 3，用一轻的刚性细杆相连。
对于通过细杆并与之垂直的轴来说，轴应在图中什么位置处物体系对该轴转动惯量最小?(A)cm 10=x 处； (B)cm 20=x 处； (C)cm 5.22=x 处； (D)cm 25=x 处。
[ C ]2．一匀质杆质量为m ，长为l ，绕通过一端并与杆成θ角的轴的转动惯量为(A)3/2ml ； (B) 12/2ml ； (C) 3/sin 22θml ； (D) 2/cos 22θml 。
[ C ]3．一正方形均匀薄板，已知它对通过中心并与板面垂直的轴的转动惯量为J 。
若以其一条对角线为轴，它的转动惯量为(A)3/2J ； (B)2/J ； (C)J ； (D)不能判定。
[ B ]4．如图所示，A 、B 为两个相同的定滑轮，A 滑轮挂一质量为m 的物体，B 滑轮受拉力F ，而且mg F =，设A 、B 两滑轮的角加速度分别为A β和B β，不计滑轮轴的摩擦，这两个滑轮的角加速度的大小比较是 (A)B A ββ=； (B)B A ββ>； (C)B A ββ<； (D)无法比较。
[ C ]5．关于力距有以下几种说法：B题1图题4图(1)内力矩不会改变刚体对某个定轴的角动量； (2)作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零；(3)质量相等形状和大小不同的两个刚体，在相同力矩作用下，它们的角加速度一定相等。
在上述说法中:(A)只有(2)是正确的； (B)(1)、(2)是正确的； (C)(2)、(3)是正确的； (D)(1)、(2)、(3)都是正确的。
[ B ]6．一水平圆盘可绕固定的铅直中心轴转动，盘上站着一个人，初始时整个系统处于静止状 态，忽略轴的摩擦，当此人在盘上随意走动时，此系统 (A)动量守恒； (B)机械能守恒；(C)对中心轴的角动量守恒； (D)动量、机械能和角动量都守恒； (E)动量、机械能和角动量都不守恒。
[ C ]7．一质量为kg 60的人站在一质量为kg 60、半径为1ｍ的均匀圆盘的边缘，圆盘可绕与盘面相垂直的中心竖直轴无摩擦地转动，系统原来是静止的。
后来人沿圆盘边缘走动，当他相对圆盘的走动速度为m /s 2时，圆盘角速度为 (A)rad/s 1； (B)rad/s 2； (C)rad/s 3/2； (D)rad/s 3/4。
[ B ]8．水平刚性轻细杆上对称地串着两个质量均匀为m 的小球，如图所示。
在外力作用下细杆绕通过中心的竖直轴转动，当转速达到0ω时两球开始向杆的两端滑动，此时使撤去外力任杆自行转动(不考虑转轴和空气的摩擦)。
(1)此后过程中球、杆系统 E(A)动能和动量守恒； (B)动能和角动量守恒； (C)只有动量守恒； (D)只有角动量守恒； (E)动量和角动量守恒。
(2)当两球都滑至杆端时系统的角速度为(A)0ω； (B)02ω； (C)016.0ω； (D)]二、填充题(单位制为SI)cm 4=dcm 20=l 题8图1．当一汽车发动机以1800转/分的角速率转动时，它输出的功率是100马力(4105.7⨯ 瓦)，则其输出的力矩为m N 1098.32⋅⨯。
2．一滑轮的半径为cm 10，转动惯量为24cm g 100.1⋅⨯。
一变力23.05.0t t F +=(F 的单位为牛顿，t 的单位为秒)沿着切线方向作用在滑轮的边缘上。
如果滑轮最初处于静止状态，那么它在0.3秒后的角速度为rad/s 1095.42⨯。
3．将一根米尺m)1(=l 竖直地立在地板上，而后让它倒下。
设接触地板的一端不因倾倒而滑动，则当它撞击地板时，顶端的速率为m /s 42.5。
4．如图所示的装置可测轮子的转动惯J ，若m 由静止开始下降，t 秒后下降的距离为h ，则=J ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1222h gt mR 。
5．长为l 质量为m 的均匀细棒，一端悬挂在过O 点的无靡擦的水平转轴上，在此转轴上另有一长为r 的轻绳悬挂一小球，质量也为m ，当小球悬线偏离铅直方向某一角度θ时由静止释放(如图示)，小球在悬挂点正下方与静止的细棒发生弹性碰撞，且碰后小球刚好静止，则=r L 33；若︒=60θ，则碰后细棒的角速度=ωL g 3。
6．一长为l 质量为m 的均匀细棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可在竖直平面内转动。
最初棒静止在水平位置，则它由此下摆θ角时的角加速度=βg cos 3θ，角速度·O〇lrθ ·AOθl v·Rmh题3图题4图题5图题6图=ωL g θsin 3，端点A 的速度=A v θsin 3Lg ，切向加速度2cos 3θg a t =,法向加速度θsin 3g a n =。
Δ棒受轴的力的大小1sin 9941222+=+=θmg F F F n t ，力的方向θθβsin 10cos arctan arctan ==n t F F 。
三、计算题1．质量M 、半径R 的均匀球壳可绕装在光滑轴承上的竖直轴转动，如图所示。
一根轻绳绕在球壳赤道上，又跨过转动惯量为0J 、半径r 的滑轮，然后系在一质量为m 小物体上，这个小物体在重力的作用下下降。
试问当它从静止下落距离h 时，它的速率为多大?1． 设1T 、2T 分别为物体m 与滑轮间、球壳与滑轮间绳的张力，J 为球壳绕竖直轴的转动惯量，a 为物体m 的加速度大小，方向竖直向下。
由转动定律和牛顿第二定律，得球壳： RaMR R a JJ R T 2232===α （1） 滑轮： raJ J r T T 00021)(==-α （2）物体： ma T mg =-1 （3） 由（1）~（3）式解得：2032r J M m mga ++=，ah v 2=20322rJ M m mgh++=2．在一根长为2.1m 质量为4.6kg 的均匀钢棒的两端各装上质量为06.1kg 的小球。
这钢棒只能绕通过其中点的竖直轴在水平面内转动。
在某一时刻，其转速为0.39转/秒。
由于轴的摩擦作用，在0.32s 后它就停止转动。
假如摩擦力矩恒定不变，试计算: (1)轴摩擦力所作的总功； (2)在0.32s 的时间内转过的转数；(3)如果已知摩擦力矩不是恒定的，那么(1)(2)中有没有什么量仍然可以计算出来而无需任何附加条件?请求出它的数值。
钢棒绕其转轴的转动惯量2222221m Kg 53.122.106.122.14.6121221212⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⨯+=+=l m Ml J J J(1) 由动能定理得轴摩擦力所做的总功AJ 1060.421420⨯-=-=∆=ωJ E A k(2) 恒定力矩的功 n M M A πθ2==，故在s 32内转过的转数(rev)9.62439253.120.321060.4224=⨯⨯⨯⨯⨯===ππαππJ A M A n(3) 当摩擦力矩不恒定时，只有力矩作功可以计算，无需任何附加条件，且 J 1060.44⨯-=A3．一个转动惯量为J 的圆盘绕一固定轴转动，初始角速度为0ω。
设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即ωK M -=(K 为大于零的常数)，求： (1)它的角速度从0ω变为2/0ω所需的时间； (2)在上述过程中阻力矩所作的功。
(1) 由转动定律 ωωK tJ-=d d ，积分 ⎰⎰-=2/000d d ωωωωt t J K ，得2ln KJt = (2) 由动能定理 20220832122112ωωωJ J J E E A k k -=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=4．一均匀细杆长l ，可绕离其一端4/l 的水平轴在竖直平面内转动。
当杆自由悬挂时，给它一个起始角速度0ω，若杆能持续转动而不摆动(一切摩擦不计)，问ω为多少?取杆自由悬挂时的质心所在位置为势能零点，杆对离其一端4/l 的水平轴的转动惯量为2224874121ml l m ml J =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=系统在整个运动过程中机械能守恒，故有22120l mg J =ω，l g 7340=ω，0ωω> 5．如图所示，水平桌面上有一长m 0.1=l 、质量kg 0.31=m 的均质细杆，细杆可绕通过O 点的铅直轴转动，杆与桌面间的动摩擦系数20.0=μ。
开始时杆静止，有一子弹质量g 202=m ，速率m /s 400=v ，沿水平方向以与杆成︒=30θ角入射杆的中点，且留在杆中。
求：(1)子弹射入后，细杆开始转动的角速度； (2)细杆停下来时转过的角度。
(1) 碰撞过程不计摩擦力的影响，系统对O 点的角动量守恒02122210234330sin 2ωωωl m l m l m J v m l≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==︒ 23325.040002.03230sin 2120=⨯⨯⨯=⨯︒=l m v lm ωrad/s(2) 在距O 点r 处取一长为r d 质元，摩擦力大小为 r lgm mg f d d d 1μμ==，f d 对O 点的力矩 r r l gm f r M d d d 1μ-=-=，则整个细杆所受的摩擦力对O 点的力矩为 ⎰⎰-=-==l l gl m r r l g m M M 00112d d μμ由动能定理 2022121ωωθJ J M -=rad 68.08.92.03232321212201202120=⨯⨯==-⨯-=-=g l gl m l m M J μωμωωθ6．一根质量为m 、长为l 2的均匀细棒，可以在竖直平面内绕通过其中心的水平轴转动。
开始时细棒在水平位置，一质量为m '的小球以速度u垂直落到棒的端点，与棒作完全弹性碰撞，求碰撞后小球的回跳速度及棒的角速度各为多少?·u m '系统对通过其中心的水平轴的角动量守恒vl m J ul m '-='ω即 ωω231)(ml J l v u m ==+' （1）因小球和细杆作弹性碰撞，系统机械能守恒222212121ωJ v m u m +'=' （2） 由（1）和（2）式解得m m m m u v '+'-=3)3(，l m m u m )3(6'+'=ω7．如图所示，质量为m 、半径为R 的匀质圆盘，初角速度为0ω，不计轴承处的摩擦，若空气对圆盘表面单位面积的摩擦力正比于该处的线速度，即kv f -=，k 为常数，求： (1) 圆盘在任一角速度ω时所受的空气阻力矩； (2) 圆盘在停止转动前转过的圈数。
(1) 在距圆心r 处取一宽度为r d 的圆环，其上所受的阻力大小为f d ，则r kr r r kr s kv f d 4d 4d d 2πωπω===圆盘所受的空气阻力矩为⎰⎰⎰-=-=-==RRkR r kr f r M M 043d 4d d πωπω(2) 由转动定律θωωθθωωπωd d d d d d d d 4J t J t JkR M ===-=ω积分⎰⎰-=θωωπθ0040d d kR J得 2040240221kR m kR mR kR J πωπωπωθ=== 22042kRm n πωπθ==。