求函数解析式方法

函 数 解 析 式 的 六 种 求 法

一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法．

它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。

例1 设

)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ．

二、配凑法：已知复合函数

[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法．但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域．

例2 已知

221)1(x

x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式．

三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式．用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。

例3 已知

x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ．

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．

例4已知：函数

)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式．

五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式． 例5 设

,)1(2)()(x x

f x f x f =-满足求)(x f ．

例6 设

)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式

小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、

1()f x ；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。

六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简

单化，从而求得解析式．

例7 已知：

1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f ．

例5：已知

(0)1,()()(21),f f a b f a b a b =-=--+求()f x 。

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求函数的解析式

例1．已知f (x )= 22x x -，求f (1x -)的解析式． （ 代入法 / 拼凑法 ）

变式1．已知f (x )= 21x -， 求f (2x )的解析式．

变式2．已知f (x +1)＝223x x ++，求f (x )的解析式．

例2．若f [ f (x )]＝4x ＋3，求一次函数f (x )的解析式． （ 待定系数法 ）

变式1．已知f (x )是二次函数，且()()211244f x f x x x ++-=-+，求f (x )．

例3．已知f (x )-2 f (－x )＝x ，求函数f (x )的解析式． （ 消去法/ 方程组法 ）

变式1．已知2 f (x )- f (-x )＝x ＋1 ，求函数f (x )的解析式．

变式2．已知2 f (x )-f 1x ⎛⎫

⎪⎝⎭

＝3x ，求函数f (x )的解析式．

例4．设对任意数x ，y 均有()()222233f x y f y x xy y x y +=++-++， 求f （x ）的解析式． （ 赋值法 / 特殊值法）

变式1．已知对一切x ，y ∈R ，()()()21f x y f x x y y -=--+都成立，且f （0）=1， 求f （x ）的解析式．