考察典型非线性系统通向混沌的途径

考察典型非线性系统通向混沌的途径

一混沌简介

混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性－－不可重复、不可预测，这就是混沌现象。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。

在非线性科学中，混沌现象指的是一种确定的但不可预测的运动状态。它的外在表现和纯粹的随机运动很相似，即都不可预测。但和随机运动不同的是，混沌运动在动力学上是确定的，它的不可预测性是来源于运动的不稳定性。或者说混沌系统对无限小的初值变动和微绕也具于敏感性，无论多小的扰动在长时间以后，也会使系统彻底偏离原来的演化方向。

二通向混沌的途径

可由非线性动力学方程求解通向考察混沌的道路，或者由非线性时间序列相空间重建方法通向考察混沌道路。具体方法如下：

1 倍周期分岔进入混沌是一种典型的混沌产生途径。系统运动变化的周期行为是一种有序行为，但在一定的条件下，系统经过周期加倍，会逐步丧失周期行为而进入混沌。设系统有参数 u，只考虑单参数并不失一般性。当系统有多个参数时，可以设定其余参数而让其中一个变化。如果 u= u0时系统的稳态运动有周期T，随着u 变化，到u=u1 时，稳态运动的周期变为2T，这种运动性质的突然改变称为倍周期分叉。一般的，u = u m时稳态运动的周期为2m ∙T，则u=u m+1时发生倍周期分叉使系统稳定运动变为周期2m+1∙Y 。由于周期不断加倍，最后变为周期无穷大的运动，也就是非周期运动。从庞加莱映射可观察到：1个点变为2个点,2个点变为4个点等等，随着倍周期分又的不断进行，最终变为无穷点集，周期运动相应地转化为混沌运动。值得注意的是，倍周期分叉值u 所构成无穷序列{ui}的差商极限是一个常数，而且多种不同的系统可能有相同的常数，因而被称作普适常数。普适常数的存在反映了倍周期分叉产生混沌途径的特点。

2阵发性是又一种典型的混沌产生途径。这里的阵发性是指系统较长时间尺度的规则运动和较短时间尺度的无规则运动的随机交替变化现象。若振动系统在特定参数下呈现阵发性，

随着参数的变化，阵发性中无规则运动突发得越来越频繁，系统由周期振动转化为混沌振动。伴随产生混沌的阵发性途径也具有普适特性。

3准周期环面破裂也是一种典型的混沌产生途径。初始处于平衡状态的系统当参数变化通过某一临界值后可能由平衡转化为周期运动，这种运动性质的突变即为霍普夫分叉。参数继续变化，系统再经历分叉而出现耦合的极限环而成为环面。若两个极限环代表的周期运动的频率不可有理通约，则系统做准周期运动。

三典型例子

Lorenz方程：

dx/dt= -a(x-y)

dy/dt= -xz+cx-y

dz/dt=xy-bz

取a=10，c=28，b=8/3,

MATLAB程序编辑：

function dXYZ=lorfun(t,XYZ)

X=XYZ(1)

Y=XYZ(2)

Z=XYZ(3)

dX=10*(Y-X)

dY=28*X-Y-X*Z

dZ=-8/3*Z+X*Y

dXYZ=[dX;dY;dZ]

取初值x=1.0,y=1.0,z=2.0,编程：

XYZ0=[1.0;1.0;2.0]

T=[0 100]

[t,XYZ]=ode45('lorfun',T,XYZ0)

X=XYZ(:,1)

Y=XYZ(:,2)

Z=XYZ(:,3)

plot3(X,Y,Z)

hold on

xlabel('x')

ylabel('y')

zlabel('z')

title('Strang Attactor') 运行结果：

时间序列：

X-Y二维图像：

X-Y-Z三维图像：

改变初值：x1=1.0,y1=1.0,z1=2.00001 运行结果：

时间序列：

X-Y二维图像:

X-Y-Z三维图像：

两次运行结果对比：红色为Z0=2.0，蓝色为Z1=2.0001

从上述图像可以看出混沌运动对初始条件的强烈敏感性。反映了“蝴蝶效应”（1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。从此以后，所谓“蝴蝶效应”之说就不胫而走，名声远扬了。从科学的角度来看，“蝴蝶效应”反映了混沌运动的一个重要特征：系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性）。此外，混沌运动的特征还有极为有限的可预测性和混沌的内部存在着超载的有序。