圆锥曲线与向量的综合性问题

圆锥曲线与向量的综合性问题

一、常见基本题型：

在向量与圆锥曲线相结合的题目中，主要是利用向量的相等、平行、垂直去寻找坐标之间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合运用。

(1) 问题的条件以向量的形式呈现，间接的考查向量几何性质、运算性质，

例1、设(1,0)F ，M 点在x 轴的负半轴上，点P 在y 轴上，且,MP PN PM PF =⊥． 当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程； 解：（解法一）MP PN =，故P 为MN 的中点．

设(,)N x y ，由M 点在x 轴的负半轴上，则(,0),(0,),(0)2y

M x P x ->

又(1,0)F ，(,),(1,)22y y

PM x PF ∴=--=-

又

PM PF ⊥，2

04

y PM PF x ∴⋅=-+=

所以，点N 的轨迹C 的方程为24(0)y x x => （解法二）MP PN =，故P 为MN 的中点．

设(,)N x y ，由M 点在x 轴的负半轴上，则(,0),(0,),(0)2y

M x P x -> -

又由,MP PN PM PF =⊥，故FN FM =，可得2

2

FN FM = 由(1,0)F ，则有222(1)(1)x y x -+=--，化简得：24(0)y x x => 所以，点N 的轨迹C 的方程为24(0)y x x =>

例2、已知椭圆的方程为22221(0)x y a b a b

+=>>，它的一个焦点与抛物线2

8y x =的焦点

重合，离心率5

e =

，过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆 于A 、B 两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点(1,0)M ，且()MA MB AB +⊥，求直线l 的方程；

解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为(,0)c ，因为2

8y x =的焦点坐标为(2,0)，所以2c =

因为c e a =

=

25a =，21b =

故椭圆方程为：2

215

x y +=

（Ⅱ）由（I ）得(2,0)F ，设l 的方程为(2)y k x =-（0k ≠）

代入2

215

x y +=，得， 设1122(,),(,),A x y B x y 则22121222

20205

,5151

k k x x x x k k -+=

=++， 12121212(4),()y y k x x y y k x x ∴+=+--=-

112212122121(1,)(1,)(2,),(,)MA MB x y x y x x y y AB x x y y ∴+=-+-=+-+=--

12212112()0,(2)()()()0MA MB AB x x x x y y y y +⋅=∴+--+-+=

2222220420,310,5151k k k k k k ∴--=∴-==++

所以直线l

的方程为2020x x -=-=或

（2）所求问题以向量的形式呈现

例3、已知椭圆E

的长轴的一个端点是抛物线2

y =

（1）求椭圆E 的方程；

（2）过点C （—1，0），斜率为k 的动直线与椭圆E 相交于A 、B 两点，请问x 轴上 是否存在点M ，使⋅为常数若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请 说明理由。

解：（1）根据条件可知椭圆的焦点在x 轴，

且a c ea ===

=又

b =

故== 故所求方程为

22

1,55

3

x y +=即5322=+y x ， （2）假设存在点M 符合题意，设AB ：),1(+=x k y 代入53:2

2

=+y x E 得：0536)13(2

2

2

2

=-+++k x k x k

)0,(),,(),,(2211m M y x B y x A 设则1

35

3,136********+-=+-=+k k x x k k x x

2222

1211(1)()()MA MB k x x k m x x k m ⋅=++-+++ 2

2

1614

233(31)

m m m k +=+-

-+ 要使上式与k 无关，则有6140,m += 解得73m =-

，存在点)0,3

7

(-M 满足题意。 例4、线段AB 过y 轴上一点()0,N m ，AB 所在直线的斜率为()0k k ≠，两端点A 、B 到y 轴的距离之差为4k .

(Ⅰ)求出以y 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点的抛物线方程；

(Ⅱ)过该抛物线的焦点F 作动弦CD ，过C 、D 两点分别作抛物线的切线，设 其交点为M ，求点M 的轨迹方程，并求出

2

FC FD FM

⋅的值.

解：(Ⅰ)设AB 所在直线方程为m kx y +=，抛物线方程为py x 22

=， 且()11,y x A ， ()22,y x B ，不妨设01>x ，02

把m kx y +=代入py x 22

=得0222

=--pm pkx x ∴pk x x 221=+，∴k pk 42=

∴2=p 故所求抛物线方程为y x 42

=

(Ⅱ)设⎪⎭⎫ ⎝⎛23341,x x C ，⎪⎭⎫ ⎝

⎛24441,x x D

则过抛物线上C 、D 两点的切线方程分别是 2

3341

21x x x y -=，2

4441

21x x x y -=

∴两条切线的交点M 的坐标为⎪⎭

⎫

⎝⎛+4,24343x x x x

设CD 的直线方程为1+=nx y ，代入y x 42

=得0442

=--nx x

∴443-=x x 故M 的坐标为⎪⎭

⎫

⎝⎛-+1,243x x 点M 的轨迹为1-=y