圆锥曲线与向量的综合性问题
专题四 平面向量与圆锥曲线综合应用
专题四 平面向量与圆 曲线 鬻 锥 曲线 冀 嚣
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！
⑤了解圆锥曲线的初步应用．
３ 矗鸯命 题规 律 ： ．
（ ） 面向量 常 以选 择题 、 １平 填空 题 及 与三 角 函 数 、 解析 几 何 、 体 几 何 等单 元 综 合 成 解答 题 的 ｉ 立 形式 出现． 主要 考 查平 面 向量 的概 念 、 质 、 何 意义 、 面 向量 的数 量积 、 面 向量 的坐 标 运算 和 性 几 平 平 几何 运算 等 ， 出向量 自身性 质 的考查 和 向量 工具 性 的考查 ． 突
ｉ
； 垂直的问题 ， 向量垂直的条件． 掌握
ｔ Βιβλιοθήκη 移公式． ⑦掌握正弦定理 、 余弦定理 ， 并能初步运用它们解斜三角形．
；
：
（） ２ 直线 ： ①理解直线的倾斜角和斜率的概念 ， 掌握过两点的直线的斜率公式． 掌握直线方程 的点斜式、
两点式 、 一般 式 ， 能根 据条 件熟 练地求 出直线 方程． 并
个向 ” 解成“ 个向 量分 两 量：
Ａ 外心 ．
麓
Ｂ ．内心
Ｃ 重心 ．
Ｄ 垂心 ．
（） １ 解法 一 （ 特例 法 ） ：
之和” ‘ 向量之： 或把‘ 两个 和 写 一 量” ” 成“ 个向 ． ：
（） ２ 掌握共线 （ 平行 ） ：
设 ＡＡ Ｃ是一个 直 角三 角形 ， ０为 斜 边 中点 ， Ｂ 则 日点 为 直 角顶 点 ， 这 时有 明 ＝Ｏ Ａ＋Ｏ Ｂ＋Ｏ ．ｍ：１ Ｃ，． ’ ． 解 法二 （ 接推 导 ） 直 ：
的数量积． 平面两点间的距离． 平移． ｉ 直线的倾斜角和斜率． 直线方程的点斜式和两点式． 直线方程的一般式． ｉ 两 条直 线平 行与 垂直 的条件 ． 两条 直线 的交 角． 点到 直线 的距离 ． ｉ 用二元一次不等式表示平面区域． 简单 的线性规划问题． ’
圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案)
圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程． （2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程. 解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③ 由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．∴所求椭圆方程为1315422=+y x 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,13412252222b a ba 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a （1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程．解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1.（2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ， 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠， 由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r，于是12120x x y y +=，即()()21212110ky y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ）Θe c a =∴=2422， Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±334分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分） （III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN⊥MQ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN⊥MQ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。
向量与圆锥曲线的综合应用
￣Ｐ ｌｌ ｊ・ Ｏ —
由
【 析】 ’ １ ） 解 ． ，， ‘ Ｏ
由 吖 十 Ｄ 得 ＋ Ｆ 产３ ．
由抛物线焦半径公式可得：Ｉ Ｉ Ｂ Ｉ ＋ｌ ＋ Ｆ
ｌ Ｃ Ｉ ｌ １ ： Ｆ №
答案 Ｂ
４￣孕所 ． ｘ 一 柳 ① ｏ ｃ ＝ Ｌ 二一 ｌ Ｊ 一 — 坪 ｔ ＇ ， ＝ 又为 Ｐ｜ 线 一一 ，以 因点在 曲吾善ｌ所 双 上
平面 内的 动 点，满 足 Ｉ ＋ Ｉ・ｌ Ｉ ＭＮ ＭＰ
Ｎ ＝， Ｐ Ｏ 则动 Ａｐｘ ） （， 的轨 迹 方 程 为 （ ） ｙ －
・
Ａ． ￣Ｓ Ｂ． 一８ Ｃ． ４ Ｄ． 一 ｘ ｙ＝ ｘ ｙ ｘ ／＝ ｘ １ ４ ，
【 解析 】
， 由题意知 Ｍ （ ，、 ２ ） ＿０ Ｎ（ｏ， ２） ， ２ ，Ｐ （ Ｚ ． Ｎ ＝ — ｘ
［ ￣ ｌ （）ｆＰ — Ｎ ／ ｉ １ Ｊ— Ｉ Ｆ ＪＦ ・Ｐ ２
，
Ｉ Ｎ Ｉ４ ， Ｍ ＝ 则 Ｖ ４ ）ｆ ，， ０
由 Ｉ ＡＩ・Ｉ Ｉ Ⅳ・ ７ ， ｒ Ｍ ＋ ＾ Ｏ４／ｃ２＋ ＋ 一 ）０化简整理得 一 ｌ （ 。 ， ｘＪ ） ４ ２＝ ， Ｊ ｆ ＋ ＝ ．
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２ 一＼ ｌ八
一
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２ 、
： ＝ 从而 一 ｏ
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ＥＩ・ｆ Ａ・Ｅ Ｂ Ｂ ＞ ０‘ Ｅ ．０ ． ．
＜ｅ ＜ 即ｅ 为锐 角． 【 析 】 （） 解 １设 Ｄ ｌ ） ， ， ， Ａ ＝ａ ， ￣ Ｄ ｔＢ －
【 ６ 设抛物线Ｃ ｉ 例 】 的焦点为 Ｆ 动 点Ｐ ， 在 直线ｈ — 一 ＝ 上运动 ， Ｐ作抛物线 ｃ的两条切 Ｙ ２０ 过 线 Ｐ Ｐ 且与抛 物线 ｃ分别相切于 Ａ、 Ａ、 Ｂ， Ｂ两点．
2011年高考两类圆锥曲线综合题
＝
＝
１ （＋ ＋ ＋ ＋２ ４ ） １ ＋２ 告） １ ｔ （＋ｋ ＋
＝ ４ ＋） ＋ ２ 古 １ ８（ 古≥ ４ √ ・＝ ＋％ ８ × ６
当且仅当ｋ＝ 即ｋ １， ． 取最小值 １． ：± ／ Ｈ， 赢 ６
评 注： 由于向量既能体现 “ ” 形 的直 观位置特 征 ， 又具有
“ ” 良好运算性质 ， 数 的 是数形 结合与转 换 的桥 梁和纽带． 而 解析几何也具有数形结合与转换 的特 征 ， 以在 向量与解 析 所 几何知识 的交汇处设计试题 ， 已逐渐 成为高考命 题 的一个新 亮 点． 通常涉及 到 夹角 、 平行 、 垂直 、 共线 、 迹 等 问题 的 处 轨 理， 目标是将 几何 问题坐标化 、 号化 、 符 数量 化 ， 而将推 理 从
Ｙ＝ 一１ ， 依据 向量 的坐标 运算Ａ ・ 的值用 的 函 （ ）再 动
数来表示 。
解： （Ｉ） 程 略 ， 案 ： 点 Ｐ 的轨 迹 Ｃ 的方 程 为 ，２＝ 过 答 动 ｙ
４ （ ＞０ 和 Ｙ＝ （ ＜ ） ｘ ｉ ） ０ ０ ．
（ 由题意知 ， Ⅱ） 直线 ｌ 的斜率存 在且 不为 ０ 设为 ｋ 则 ， ，
１ 的方 程 为 Ｙ＝ 一１ ． 。 （ ）
由ｙ良 一 ， ｚ一 ４ ＋ ： ｛＝ ¨得 （ｚ ） ０ １‘ ｚ ２＋ ： ．
【 ＝４ Ｙ ｘ
转化为运算． 这类 问题 的难度 在高 考 中一 般处 于 中等偏 上 ，
也 可 能 以压 轴题 的 “ 份 ” 身 出现 ． ２ 方 程 、 等 式 与 圆锥 曲线 综 合 ． 不
￣
／ ３ ） ．ｔ） — ｋｚ （ ｔ— ＋ ２ ＝
由 Ｉ ＧＩ＝ｌＤｌ ＥＩ解得 ｔ ｋ Ｏ Ｏ ・ｌ ， Ｏ ＝ 因此 直线 ｌ 的方 程为 Ｙ＝ （ ｋ ｘ＋１ ， 以直线 ｌ 过顶 点 ）所 恒
圆锥曲线综合练习题(有答案)
圆锥曲线综合练习一、 选择题：1．已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上,若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．82．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）A B ．12 C D ．233．设双曲线22219x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．若m 是2和8的等比中项,则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ )A B C D 5．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ，两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 6．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．7．双曲线221259x y -=上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为（ ）A ．22或2B ．7C ．22D ．28．P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+= 上的点，则||||PM PN -的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．99．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上,且P 到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为( ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．1610．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，，向量12DE BC =，则以B C ，为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为（ ）A B 1 C 1 D 111．两个正数a b ，的等差中项是92,一个等比中项是a b >，则抛物线2by x a=-的焦点坐标是（ ）A ．5(0)16-， B ．2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1(0)5， 12．已知12A A ，分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点,椭圆C 上异于12A A ，的点P恒满足1249PA PA k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．49 B ．23 C ．59D 513．已知2212221(0)x y F F a b a b+=>>、分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆 上，且满足0OA OB +=(O 为坐标原点)，2120AF F F ⋅=2， 则直线AB 的方程是( ) A ． 22y =B ．22y x =C ．3y =D ．3y = 14．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(02)M ，的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为A ．3B 17C 5D ．9215．若椭圆221x y m n+=与双曲线221(x y m n p q p q -=，，，均为正数）有共同的焦点F 1,F 2，P 是两曲线的一个公共点，则12||||PF PF ⋅等于 ( ）A ．m p +B ．p m -C ．m p -D ．22m p -16．若()P a b ，是双曲线22416(0)x y m m -=≠上一点，且满足20a b ->，20a b +>，则该点P 一定位于双曲线（ ) A ．右支上 B ．上支上 C ．右支上或上支上 D ．不能确定17．如图，在ABC △中，30CAB CBA ∠=∠=，AC BC ，边上的高分别为BD AE ，，则以A B ， 为焦点，且过D E ，的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（ ) A ．3 B ．1 C ．32D ．218221sin 2sin 3cos 2cos 3=--表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线19．已知12F F ，是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,点P 在椭圆上,且122F PF π∠=记线段1PF 与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若1FOQ △与四边形2OF PQ 的面积之比为1:2,则该椭圆的离心率等于 （ ） A ．23 B ．33 C ．43- D 3120．已知双曲线方程为2214y x -=，过(21)P -，的直线L 与双曲线只有一个公共点，则直线l 的条数共有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 21．已知以1(20)F -，,2(20)F ，为焦点的椭圆与直线340x y +=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ） A ．2 B ．6 C ．7 D ．222．双曲线22221x y a b-=与椭圆22221x y m b +=(00)a m b >>>，的离心率互为倒数，那么以a b m ，，为边长的三角形是（ )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形23．已知点(10)(10)A B -，，，及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值为（ ） A ．3 B ．2 CD24．设12F F ，是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32x a =上一点,21F PF △是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为( ）A ．12B ．23C ．34D ．4525．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A B ，两点，||AB =则C 的实轴长为（ ）AB． C ．4 D ．826．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A B ，两点,||12AB =，P 为C 准线上一点，则ABP △的面积为（ )A ．18B ．24C ．36D ．48 27．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(42)-，，则它的离心率为（ ） ABCD28．椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A B ，两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则ab的值为（ ） AB. C.29．若椭圆221(00)x y m n m n +=>>，与曲线22||x y m n +=-无焦点,则椭圆的离心率e 的取值范围是（ )A．1) B．(0 C．1) D．(0 30．已知12F F ，分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与1F A 的延长线、12F F 的延长线以及线段2AF 相切，若(0)M t ，为一个切点,则（ ）A ．2t =B ．2t >C ．2t <D ．t 与2的大小关系不确定31．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A B ，,交其准线于点C ，若||2||BC BF =，且||3AF =，则此抛物线方程为（ ）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x = D．2y32．已知椭圆2214x y +=的焦点为12F F 、，在长轴12A A 上任取一点M,过M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于P ，则使得120PF PF ⋅<的M 点的概率为( D ） ABC ．12D33．以O 为中心,12F F ，为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足12||2||2||MF MO MF ==，则该椭圆的离心率为( ） AB ．23CD34．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（ ） A． B ．2 C ．1 D ．035．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为1242x x =-=，的两点,过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线的顶点坐标为（ ) A ．(29)--， B ．(05)-， C ．(29)-， D ．(16)-，36．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．837．直线3440x y -+=与抛物线24x y =和圆22(1)1x y +-=从左到右的交点依次为A B C D ，，，，则||||AB CD 的值为（ )A ．16B ．116 C ．4 D ．1438．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，A C ，分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点,F 是双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点DBDF 的余弦是（ ）ABC D39．设双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( ）A ．(12]，B ．2]C ．2)D ．(12)，40．已知11()A x y ，是抛物线24y x =上的一个动点，22()B x y ，是椭圆22143x y +=上的一个动点,(10)N ，是一个定点，若AB ∥x 轴,且12x x <，则NAB △的周长l 的取值范围为（ )A ．10(5)3，B ．8(4)，C ．10(4)3，D ．11(5)3，41．2=e ，右焦点(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个根分别为1x ，2x ，则点12()P x x ，在（ ）A ．圆1022=+y x 内 B ．圆1022=+y x 上 C ．圆1022=+y x 外 D ．以上三种情况都有可能42．过双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P ,若M 为线段FP 的中点, 则双曲线的离心率是( )A B C ．2 D43．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不存在点P 使得右焦点F 关于直线OP(O 为双曲线的中心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值范围为（ )A ．)+∞B ．)+∞C ．D ．44．已知以椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D 45的左准线l ，左．右焦点分别为F 1．F 2，抛物线C 2的准线为l ，焦点是F 2，C 1与C 2的一个交点为P ，则｜PF 2 ）A B C ．4 D ．846．已知F 1、F 2是双曲线 12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两焦点,以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ） A ．4+32 Ｂ．3+1 Ｃ．3—1 Ｄ．213+47．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左顶点、右焦点分别为A 、F,点B （0，b ）,-=+,则该双曲线离心率e 的值为（ ）A ．213+ B C ．215- D ．248．直线l 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右准线,以原点O 为圆心且过双曲线焦点的圆被直线l 分成弧长为2：1的两段，则双曲线的离心率为( )A ．B ．C ．2D ．49．从双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F 引圆222a y x =+的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MT MO -与a b -的大小关系为 A ．a b MT MO ->- B ．a b MT MO -=- C ．a b MT MO -<-D ．不确定．50．点P 为双曲线1C :()0,012222>>=-b a by a x 和圆2C :2222b a y x +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，其中21,F F 为双曲线1C 的两个焦点,则双曲线1C 的离心率为( ） A ．3B ．21+C ．13+D ．251．设圆锥曲线r 的两个焦点分别为12F F ，，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4：3：2，则曲线r 的离心率等于 A ．1322或B ．23或2C ．12或2 D ．2332或 52．已知点P 为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，右支上一点，12F F ，分别为双曲线的左、右交点，I 为22PF F △的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立，则λ的值为( )AB C ．b a D ．ab二、填空题:53．已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点,过1F 的直线交椭圆于A B ，两点．若22||||12F A F B +=，则||AB = ． 54．中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为4，离心率为12的椭圆的方程为 ． 55．9．已知双曲线221y x a-=的一条渐近线与直线230x y -+=垂直,则a = .56．已知P 为椭圆22194x y +=上的点,12F F ，是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=，则12F PF △ 的面积是 ． 57．已知双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，和椭圆221169x y +=有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 ．58．若双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线与椭圆22143x y +=的焦点在x 轴上的射影恰为该椭圆的焦点,则双曲线的离心率为 ． 59．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，过点2F 做与x 轴垂直的直线与双曲线一个焦点P ，且1230PF F ∠=，则双曲线的渐近线方程为 ．60．已知12F F 、分别为椭圆221259x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上一点,Q 是y 轴上的一个动点，若12||||4PF PF -=，则12()PQ PF PF ⋅-= 。
圆锥曲线的综合问题
[例 1] P(1,1)为椭圆x42＋y22＝1 内的一定点，过 P 点引一 弦，与椭圆相交于 A、B 两点，且 P 恰好为弦 AB 的中点，如 图所示，求弦 AB 所在的直线方程及弦 AB 的长度．
解析：设弦 AB 所在的直线方程为 y－1＝k(x－1)，A、B 两点坐标分别为 (x1，y1)，(x2，y2)，则 x12＋2y21＝4，① x22＋2y22＝4.② ①－②得： (x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∵P(1,1)为弦 AB 的中点，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2. ∴k＝xy11－－xy22＝－12.
上述两种情形联立方程组消元后，二次项系数为 0，即只 能得到一个一次方程．
思想方法技巧
一、向量法 向量的坐标可以用其起点、终点的坐标表示，因此向量 与解析几何保持着天然的联系．通过向量的坐标可以把解析 几何的很多问题向量化，利用向量的共线、垂直、夹角、距 离等公式巧妙地解决解析几何问题．
二、点差法 涉及到直线被圆锥曲线截得弦的中点问题(即中点弦问题) 时，常用根与系数的关系及点差法求解．
(1)求点 M 的轨迹方程； (2)过点 F(0,1)作互相垂直的两条直线 l1、l2，l1 与点 M 的 轨迹交于点 A、B，l2 与点 M 的轨迹交于点 C、Q，求A→C·Q→B的 最小值．
解析：(1)设 M(x，y)，E(a,0)，由条件知 D(0，－8)， N(a＋2 x，2y＋0)，∵N 在 y 轴上，∴x＝－a， ∵E→D⊥E→M，∴E→D·E→M＝(－a，－8)·(x－a，y)＝－a(x－ a)－8y＝2x2－8y＝0，∴x2＝4y(x≠0)， ∴点 M 的轨迹方程为 x2＝4y(x≠0)．
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，Q(x4，y4)，直线 l1： y＝kx＋1(k≠0)，则直线 l2：y＝－1kx＋1，
圆锥曲线综合题向量PPT
2
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求证： k1k2 k3k4且k1 k2 k3 k4 0;
( x1 , y1 )、 [解析] (1) 设 点P、Q的 坐 标 分 别 为 x y ( x 2 , y 2 ), 则 1, a b 2 2 x2 y2 2 1, 2 a b
2 2 2
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由OA OB ( x1 x 2 , y1 y2 ), a ( 3,1), OA OB与a共 线, 得 3( y1 y2 ) ( x1 x2 ) 0, 又y1 x1 c , y2 x 2 c , 3( x1 x2 2c ) ( x1 x 2 ) 0, 3 2a c 3c 2 2 x1 x 2 c , 即 2 , a 3 b . 2 2 a b 2 6a c 6 c a b ,故 离 心 率 e . 3 a 3
2 2 4
a a a c 2 2 2 即(b 2 ) x 2 2 cx ( 2 a b ) 0, b b b 4 2 a c 2 2 ( 2 a b ) b x1 x 2 0, 4 a 2 b 2 b 4 4 b a .
2
4
4
4 2
即b a , c a a .
a ab P ( , ). OA 、 OB 、 OF 成 等 比 数 列 , c c 2 a ab A( ,0). PA (0, ). c c
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a ab OP ( , ), c c 2 b ab FP ( , ), c c
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题
解几综合题1.如图，()A m 和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12OA OB ⋅=-，O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+.（Ⅰ）求m n ⋅的值；（Ⅱ）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（Ⅲ）若直线l 过点E （2，0）交（Ⅱ）中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN =，求l 的方程.2. 如图，在平面直角坐标系中，已知动点()y x P ,，y PM ⊥轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称， 4=⋅MN OP（1）求动点P 的轨迹W 的方程（2）若点Q 的坐标为()0,2，A 、B 为W 上的两个动点，且满足QB QA ⊥，点Q 到直线AB 的距离为d ，求d 的最大值3. 已知直线l 过椭圆E:2222x y +=的右焦点F ，且与E 相交于,P Q 两点. ① 设1()2OR OP OQ =+（O 为原点），求点R 的轨迹方程；② 若直线l 的倾斜角为060，求1||PF4. 在双曲线1131222=-x y 的上半支有三点A ，B ，C ，其中B 是第一象限的点，F 为双曲的上焦点.若线段AC 的中点D 在直线y=6上，且|AF|，|BF|，|CF|构成等差数列. （Ⅰ）求点B 的坐标；（Ⅱ）若直线l 经过点D ，且在l 上任取一点P （不同于D 点），都存在实数λ，使得 ||||(CP AP +=λ证明：直线l 必过定点，并求出该定点的坐标。
5. 如图，椭圆两焦点F 1、F 2与短轴两端B 1、B 2正好是正方形的四个顶点，且焦点到椭圆上一点最近距离为.12-（I ）求椭圆的标准方程；（II ）过D(0，2)的直线与椭圆交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设λ=||DN DM ，求λ的取值范围.6. 已知F 1、F 2分别是椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，其左准线与x 轴相交于点N ，并且满足，.2||,221121==F F NF F F （1）求此椭圆的方程；（2）设A 、B 是这个椭圆上的两点，并且满足]31,51[,∈=λλ当NB NA 时，求直线AB 的斜率的取值范围.7. 已知O 为坐标原点，点E 、F 的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =（1m >），0MN AF =⋅，1()2ON OA OF =+，//AM ME ．（Ⅰ）求点M 的轨迹W 的方程； （Ⅱ）点0(,)2mP y 在轨迹W 上，直线PF 交轨迹W 于点Q ，且PF FQ λ=，若12λ≤≤，求实数m 的范围．8. 已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图.（I ）若△POM 的面积为25，求向量OM 与OP 的夹角； （II ）试探求点O 到直线PQ 的距离是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.9. 设不等式组⎩⎨⎧x ＋y >0，x －y >0表示的平面区域为D ．区域D 内的动点P 到直线x ＋y ＝0和直线x －y ＝0的距离之积为1．记点P 的轨迹为曲线C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点F (2，0)的直线与曲线C 交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求线段AB 的长．10. 如图，在△OSF 中，c OF a OS OSF ==︒=∠,,90（c a ,均为正常数），E 、P 是平面OSF内的动点，且满足0=⋅OF SE ，),(R ∈=λλ向量PE c PF a +与PE c PF a -垂 直。
圆锥曲线中的向量问题大题分类精练(学生版)-高中数学
圆锥曲线中的向量问题大题分类精练目录类型1 向量的数量积问题类型2 向量的单共线问题类型3 向量的双共线问题类型4 利用向量解决三点共线问题类型5向量长度关系转化为向量关系高考题型归纳【类型1 向量的数量积问题】1(2023·四川成都·成都七中校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l :x =-2与x 轴交于点A ，过l 右侧的点P 作PM ⊥l ，垂足为M ，且PA =PM +OA ．(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)过点B 1,0 的动直线l交轨迹C 于S ,T ，设Q -3,0 ，证明：QS ⋅QT为定值．2(2023·全国·高三专题练习)已知圆心为H 的圆x 2+y 2+2x -15=0和定点A 1,0 ，B 是圆上任意一点，线段AB 的中垂线l 和直线BH 相交于点M ，当点B 在圆上运动时，点M 的轨迹记为曲线C ．(1)求C 的方程．(2)如图所示，过点A 作两条相互垂直的直线分别与曲线C 相交于P ，Q 和E ，F ，求PE ⋅QF的取值范围3(2022上·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的焦点到渐近线的距离为2，渐近线的斜率为2．(1)求双曲线C 的方程；(2)设过点0,2 的直线l 与曲线C 交于M ,N 两点，问在y 轴上是否存在定点P ，使得PM ⋅PN 为常数？若存在，求出点P 的坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．4(2023·江苏扬州·统考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦PQ =AF =3．(1)求△APQ 的内心坐标；(2)是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于M ,N ，交PQ 于点R ，且满足MR ⋅ND =MD ⋅RN若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．【类型2 向量的单共线问题】1(2023·吉林长春·东北师大附中校考一模)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于M (0,m )点，若存在实数m ，使得OA +3OB=4OM ，求m 的取值范围．2(2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测)已知圆O 1：x +1 2+y 2=14，圆O 2：x -1 2+y 2=494，圆M 与圆O 1外切，且与圆O 2内切．(1)求圆心M 的轨迹C 的方程；(2)若A ，B ，Q 是C 上的三点，且直线AB 不与x 轴垂直，O 为坐标原点，OQ =λOA +μOB，则当△AOB的面积最大时，求λ2+μ2的值．3(2023·江苏·高三校联考阶段练习)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的两条渐近线分别为l 1:y=x 2，l 2:y =-x 2.(1)求双曲线E 的离心率；(2)O 为坐标原点，过双曲线上一点P 22,1 作直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、第四象限)，且PB =2AP，求△AOB 的面积.4(2023·辽宁葫芦岛·高三统考期末)已知圆C :x -23 2+y 2=12，定点M -23,0 ，N 为圆C 上一动点，线段MN 的中垂线与直线CN 交于点P ．(1)证明：PC -PM 为定值，并求出点P 的轨迹C 的方程；(2)若曲线C 上一点Q ，点A ，B 分别为l 1:y =3x 在第一象限上的点与l 2:y =-3x 在第四象限上的点，若AQ =λQB ，λ∈13,2，求△AOB 面积的取值范围．【类型3 向量的双共线问题】1(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点Q 1,-22 ，且离心率e =22，直线l 与E 相交于M ，N 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于C ，D 两点，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的方程；(2)判断是否存在直线l ，满足2OC =OM +OD ,2OD =ON +OC若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．2(2023上·云南昆明·高三统考期中)已知动点P 到定点F 0,4 的距离和它到直线y =1距离之比为2；(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)直线l 在x 轴上方与x 轴平行，交曲线C 于A ，B 两点，直线l 交y 轴于点D .设OD 的中点为M ，是否存在定直线l ，使得经过M 的直线与C 交于P ，Q ，与线段AB 交于点N ，PM =λPN ，MQ =λQN均成立；若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由.3(2023·贵州贵阳·高三校联考阶段练习)已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的离心率为13，上焦点F 到上顶点的距离为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点F 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，与定直线l 1：y =9交于点D ，设DP =λPF ，DQ =μQF，证明：λ+μ为定值.4(2023·河北·模拟预测)已知抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点为F ，圆D :x -1 2+y -2 2=4恰与C 的准线相切.(1)求C 的方程及点F 与圆D 上点的距离的最大值；(2)O 为坐标原点，过点M 0,1 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，直线AD ，BD 分别与y 轴相交于点P ，Q ，MP =mMO ，MQ =nMO ，求证：mn m +n为定值.【类型4 利用向量解决三点共线问题】1(2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测)阿基米德(公元前287年-公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系Oxy 中，椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的面积为23π，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.过点1,0 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为P ，Q ，直线PA 与直线x =4交于点F ，试证明B ，Q ，F 三点共线.2(2023·陕西西安·统考一模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为63，右焦点F 2c ,0 与抛物线y 2=8x 的焦点重合.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左焦点为F 1，过点D -3,0 的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点，A 关于x 轴对称的点为M ，证明：M ,F 1,B 三点共线.3(2023下·江苏南京·高三江苏省南京市第十二中学校考阶段练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线的倾斜角为π6,右焦点F 到其中一条渐近线的距离为1．(1)求双曲线C 的标准方程;(2)已知直线l 与x 轴不垂直且斜率不为0,直线l 与双曲线C 交于M ,N 两点．点M 关于x 轴的对称点为M ,若M ,F ,N 三点共线,证明:直线l 经过x 轴上的一个定点．4(2022·全国·高三课时练习)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A ，B ，F 1F 2 =2，AB =4.(1)求椭圆C 的方程.(2)过F 2的直线与椭圆C 交于M ，N 两点(均不与A ，B 重合)，直线MB 与直线x =4交于G 点，证明：A ，N ，G 三点共线.【类型5 向量长度关系转化为向量关系】1(2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知动圆过点F 12,0，且与直线x +12=0相切，设动圆圆心的轨迹为曲线C ；过点F 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，曲线C 在A ，B 两点处的切线交于点E .(1)证明：EF ⊥AB ；(2)设AF =λFB ，当λ∈13,12时，求△ABE 的面积S 的最小值.2(2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模)设椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过点M 2,1 ，且左焦点为F 1-2,0 ．(1)求椭圆E 的方程；(2)△ABC 内接于椭圆E ，过点P 4,1 和点A 的直线l 与椭圆E 的另一个交点为点D ，与BC 交于点Q ，满足AP QD =AQ PD ，证明：△PBC 面积为定值，并求出该定值．3(2023·江西·校联考二模)已知过曲线C :x 2a 2+y 2b2=1a ,b >0 上一点x 0,y 0 作椭圆C 的切线l ，则切线l 的方程为x 0x a 2+y 0y b 2=1.若P 为椭圆C 1:x 22+y 2=1上的动点，过P 作C 1的切线l 0交圆C 2:x 2+y 2=4于M ,N ，过M ,N 分别作C 2的切线l 1,l 2，直线l 1,l 2交于点Q .(1)求动点Q 的轨迹E 的方程；公众号：慧博高中数学最新试题(2)已知R 为定直线x =4上一动点，过R 的动直线m 与轨迹E 交于两个不同点A ,B ，在线段AB 上取一点T ，满足AR TB =AT RB ，试证明动点T 的轨迹过定点.4(2023·浙江绍兴·统考模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距为2，且经过点E1,32．(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C内接四边形MNQP的对角线交于点T1,1，满足MTTQ=NTTP=3，试问：直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．11。
圆锥曲线考点解析
＋Ｉ Ｆ Ｉ Ｐ ．）
・ ． ‘
１ 相于点、 椭的心 ｅ足 ≤ ＝ 交两 Ａ． 圆离率满字 ｅ ， ０ Ｂ 当 ≤
： （ ０ ０为坐 标原 点 ） 求 椭 圆长 轴长 的取 值 范 时，
点 Ｐ在椭 圆上 ，．１ Ｉ Ｐ ｌ ＝８ ． Ｏ ： ， ． Ｐ ‘ ＋ＩＦ １ ＭＩ ４ Ｉ
于 由 ＝ Ｉ可 一 砌ｔ ＝ Ｉ即ｎ 是 ．Ｉ ２ 得 ÷ Ｉａ ｔ＝ ｓｍ ａ ｍ２ ａ Ｊ １
一
故依 题意 ， 曲线 ｃ的方程 为
一 ２ ｙ＝
．
．
当 ｍ ＜ 一１时 ， 线 Ｃ的 方 程 为 ＋ 曲
＝１ Ｃ是 焦 ，
综 上可得 ：
点在 Ｙ轴上 的椭 圆 ； 当 ｍ：一１时 ， 曲线 ｃ的方程为
，
＋ ） ， ｃ 上不存在 时 在 。
满 足 条 件 的点 Ｊ ７ ＼ ７ ．
点评 ： 开放探 索型问题是 近年来 高考命题 中的一个新方 向， 其解 法灵 活且 具有 一定 的探 索性 ． 本小 题来源 于课 本 ， 又 高于课本． 主要考 查曲线与方程 、 圆锥 曲线 等基础知识 ， 同时
．
ＡＰ ＮＭ ￣ △ Ｐ Ｍ Ｆ１
论的结合点 ， 问题获解． 使
・
．
．
Ｍ 是 线 段 Ⅳ 的 中点 ，Ｐ ＝Ｉ Ｆ ｌ Ｆ ＩＮＩ Ｐ ，
Ｉ ＯＭ Ｉ： １
－ －
・
． ．
Ｉ Ｉ÷Ｉ Ｉｌ１ ÷ Ｉ Ｉ Ｆ ＝ （２＋Ⅳ ＝ （￣ ２ Ｎ Ｆ ） Ｐ Ｐ Ｆ Ｐ
一
【 】 知椭圆Ｃ： ＋ ＝ （ ＞ ＞ ） 例５已 告 １口 ｂ ０与直线 ｙ
，
焦点在 轴上 的椭圆 ； 当 ｍ＞ ｏ时 ， 曲线 Ｃ的方程 为 一
考点20 圆锥曲线的综合问题
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考点20 圆锥曲线的综合问题1.（2010·上海高考文科·Ｔ１3）在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为，1(2,1)e =，2(2,1)e =-分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P ，若21e b e a OP +=（a ，b R ∈），则a ，b 满足的一个等式是 ． 【命题立意】本题考查双曲线性质与向量的有关知识，属中档题．【思路点拨】先设出双曲线的方程，再由渐近线的方向向量及焦点坐标求出实半轴长和虚半轴长，得到双 曲线方程.由向量相等，建立P 点横纵坐标与a,b 的关系，将P 点坐标代入双曲线方程就能找到a ，b 满足的等式．【规范解答】可设双曲线方程为)0,0(12222>>=-n m n y m x ，因为1(2,1)e =，2(2,1)e =-分别是两条渐近线的方向向量，所以21=m n ①. 又由已知可得双曲线中c=5，所以522=+n m ②.由①②可得⎩⎨⎧==12n m ，，所以双曲线方程为1422=-y x.设P （x ，y ），则)1,2()1,2(),(-+=b a y x ，所以代入双曲线方程,得41=ab .【答案】41=ab2.（2010·上海高考理科·Ｔ１3）如图所示，直线x=2与双曲线Γ：1422=-y x 的渐近线交于1E ,2E 两点， 记1122,OE e OE e ==，任取双曲线Γ上的点P ， 若12OP ae be (a,b R)=+∈，则a ，b 满足的 一个等式是 .【命题立意】本题考查双曲线的性质与向量的有关知识．【思路点拨】先求出双曲线的渐近线方程，再确定1E ,2E 的坐标，由向量相等，建立P 点横纵坐标与a,b 的关系，将P 点坐标代入双曲线方程就能找到a ，b 满足的等式． 【规范解答】易得)1,2(),1,2(21-E E ， 所以)1,2(),1,2(2211-====OE e OE e .设),(y x P ,则),(y x OP =，所以)1,2()1,2(),(-+=b a y x ，即⎩⎨⎧-=+=ba y ba x 22，，代入双曲线方程,得41=ab . 【答案】41=ab【方法技巧】求双曲线22221x y a b -=的渐近线时，可令22220x y a b -=即可解出渐近线方程．3.（2010·江西高考文科·Ｔ２１）已知抛物线1C ：22x by b +=经过椭圆2C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点.(1) 求椭圆2C 的离心率.(2) 设(3,)Q b ，又,M N 为1C 与2C 不在y 轴上的两个交点，若QMN ∆的重心在抛物线1C 上，求1C 和2C 的方程.【命题立意】本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等基础知识，考查三角形的重心性质，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想.【思路点拨】（1）将焦点坐标直接代入即可得.（2）利用对称特点先求两个交点M ，N 的坐标，然后将求出的重心坐标代入方程求出字母系数即可. 【规范解答】（1）因为抛物线1C 经过椭圆2C 的两个焦点12(,0),(,0)F c F c -，所以220c b b +⨯=，即22c b =.由22222a b c c =+=得椭圆2C的离心率2e =.（2）由（1）可知222a b =，椭圆2C 的方程为222212x y b b += .与抛物线1C 的方程22x by b +=联立消去x 得：2220y by b --=. 解得：2b y =-或y b =（舍去）.所以2x =± ，即(,),(,)2222b b M N ---，所以QMN ∆的重心坐标为(1,0).因为重心在1C 上，所以2210b b +⨯=，得1b =.所以22a =.所以抛物线1C 的方程为21x y +=，椭圆2C 的方程为2212x y +=.4.（2010·江西高考理科·Ｔ２１）设椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，抛物线222:C x by b +=．（1）若2C 经过1C 的两个焦点，求1C 的离心率.（2）设5(0,),)4A b Q b ，又M ，N 为1C 与2C 不在y 轴上的两个交点，若AMN ∆的垂心为3(0,)4B b ，且QM N ∆的重心在2C 上，求椭圆1C 和抛物线2C 的方程．【命题立意】本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力，体现了函数与方程思想及数形结合思想.【思路点拨】（1）将焦点坐标直接代入即可得.（2）利用对称特点先求两个交点M ，N 的坐标，然后将求出的重心坐标代入方程求出字母系数即可.【规范解答】（1）因为抛物线2C 经过椭圆1C 的两个焦点1(,0)F c -，2(,0)F c ，可得22c b =.由22222a b c c =+=，有2212c a =，所以椭圆1C的离心率2e =（2）由题设可知M ，N 关于y 轴对称，设1111(,),(,),(0)M x y N x y x ->x 1＞0，则由AMN ∆ 的垂心为B ，有0BM AN ⋅=，所以21113()()04x y b y b -+--= ①.由于点11(,)N x y 在2C 上，故有2211x by b += ②.由①②得,41b y -=或b y =1（舍去），所以,251b x =故),4,25(),4,25(b b N b b M --- 所以QMN ∆的重心为b 4，）.因重心在2C 上，可得,4322b b =+所以),21,5(),21,5(,2---=N M b . 又因为N M ,在1C 上，所以,14)21()5(222=-+±a 得.3162=a 所以椭圆1C 的方程为,1431622=+y x 抛物线2C 的方程为.422=+y x5.（2010·四川高考理科·Ｔ20）已知定点1020A(,),F(,)-，定直线12l :x =，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍.设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B,C 两点，直线AB,AC 分别交l 于点M,N. （1）求E 的方程.（2）试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由.【命题立意】本题主要考查轨迹方程、直线方程、直线和双曲线交点问题、圆的性质等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及推理运算能力.【思路点拨】（1）可直接设点，利用已知条件求轨迹方程，属送分题.（2）结合图形，要判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，一从长度判断：点F 到MN 的中点的距离是否是线段MN 长度的一半，这个计算量更大些；二从位置关系判断：若F 在以MN 为直径的圆上，则MFN ∠为直角， 即FM ⊥FN,因平面坐标系内点的坐标易求，从而转化为向量的坐标运算，即判断FM FN=0是否成立.【规范解答】（1）设(,)(0)P x y y ≠122x =-，整理可得221(0)3y x y -=≠. ∴E 的方程为221(0)3y x y -=≠.（2）①当直线BC 与x 轴不垂直时，设BC 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，由221,3(2).y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得（3-k 2）222(3)4(43)0k x k x k -+-+=.由题意知，230k -≠且0∆>.设11(,)B x y ，22(,)C x y ，则212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-. ∴[]2212121212(2)(2)2()4y y k x x k x x x x =--=-++22222224389(4)333k k k k k k k +-=-+=---.∵x 1x 2≠-1，∴直线AB 的方程为11(1)1y y x x =++, 因此M 点的坐标为1131(,)22(1)y x +,1133(,)22(1)y FM x =-+.同理可得2233(,)22(1)y FN x =-+. ∴1212933()()224(1)(1)y y FM FN x x ⋅=-⨯-+++22222281999304344444(1)33k k k k k k --=+=-=+++--.∴FM FN ⊥,即以线段MN 为直径的圆过点F .②当直线BC 与x 轴垂直时，其方程为2x =，则不妨令(2,3),(2,3)B C -,AB 的方程为1y x =+，因此M 点的坐标为13(,)22，33(,)22FM =-.同理可得33(,)22FN =--. ∴3333()()02222FM FN ⋅=-⨯-+-⨯=（）33()=022⨯-.∴FM FN ⊥,即以线段MN 为直径的圆过点F . 综上，以线段MN 为直径的圆过点F .【方法技巧】利用方程组求解直线和圆锥曲线的交点问题是通用方法，判断垂直的问题可借助向量的数量积解决.注重数形结合的思想，很多几何性质从图形可直观体现出来.6.（2010·上海高考理科·Ｔ23）已知椭圆Γ的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，点P 的坐标为（-a ，b ）.（1）若直角坐标平面上的点M ，A(0,-b)，B(a ，0)满足1PM =(PA +PB)2→→→,求点M 的坐标.（2）设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C ，D 两点，交直线22:l y k x =于点E .若2122b k k a⋅=-，证明：E 为CD 的中点.（3）对于椭圆Γ上的点Q （a cos θ，b sin θ）（0＜θ＜π），如果椭圆Γ上存在不同的两个交点1P ，2P 满足12PP +PP =PQ →→→,写出求作点1P ，2P 的步骤，并求出使1P ，2P 存在的θ的取值范围.【命题立意】本题综合性较强，其涉及椭圆的方程及性质、直线与椭圆的位置关系、椭圆的参数方程、向量的应用等有关知识．【规范解答】（1）由题知)2,(b a PA -=，),2(b a PB -=，)23,23()(21ba PB PA -=+. 设),(y x M ，则),(b y a x PM -+=.由1PM =(PA +PB)2→→→，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+2323b b y a a x ，，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==22b y a x ，，所以点M 的坐标为)2,2(b a M -． （2）设),(11y x C ，),(22y x D ，则1221221=+b y a x ，1222222=+b y a x .两式相减整理得2121222121y y x x a b x x y y ++⋅-=--， 所以2121221y y x x a b k ++⋅-=.又因为2122b k k a ⋅=-， 所以21212x x y y k ++=.设CD 的中点为)2,2(2121y y x x N ++，则点N 在直线1l 上.又点N 坐标满足2l 方程，所以点N 在直线2l 上，即N 为直线1l 与2l 的交点，由题设1l 与2l 交于点E,所以点E 与点N 重合，即E 为CD 的中点．(3)由PQ PP PP =+21，且点21,P P 在椭圆上， 由向量的几何性质可知四边形21QP PP 为平行 四边形.作法：设椭圆的中心为O ， ①取PQ 中点为F ；②作直线OF 交椭圆于点N ； ③过N 作椭圆的切线t ； ④过F 作直线t 的平行线l ，则这条线与椭圆的两个交点就是所求的点21,P P ．要使这样的点21,P P 存在，只需线段PQ 的中点F 在椭圆内部，易得)2sin ,2cos (bb a a F +-θθ.由12sin 2cos 222<⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-b b b a a a θθ，解得42)4sin(<-πθ，所以42arcsin 4<-πθ. 又0＜θ＜π，所以42arcsin40+<<πθ．θ的取值范围为42arcsin40+<<πθ．【方法技巧】（1）直线与椭圆相交的问题中，设出弦端点的坐标，代入椭圆方程作差整理后，可以得到直线的斜率与弦中点坐标的关系；（2）“直线与椭圆有两个交点”等价于“弦中点在椭圆内部”，可以将弦中点的坐标代入椭圆方程，将方程中的“=”改为“<”，其作用等价于联立方程后的判别式大于0. 7.（2010·湖北高考理科·Ｔ19）已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差是1. (1)求曲线C 的方程.(2)是否存在正数m ，对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线，都有0FA FB ∙< ? 若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【命题立意】本题主要考查如何求曲线方程、抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系等，同时考查考生的推理和运算求解能力．【思路点拨】(1)按求曲线方程的步骤求对应的曲线方程.(2)假设存在符合条件的m ，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由0FA FB <⇔1212(1)(1)x x y y --+ =121212()10x x x x y y -+++<,再利用根与系数的关系找出m 的值或范围.【规范解答】(1)设(,)P x y 是曲线C 上的任意一点，则由题意(,)P x y 一定满足：1(0)x x =>，化简得：24(0)y x x =>.2sin cos 222<⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝-b b b a a a θθ(2)设过点(,0)(0)M m m >的直线l 与曲线C 的交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ,直线l 的方程为x ty m =+，由24x ty m y x=+⎧⎨=⎩，得2440y ty m --=，2Δ=(4t)41(4m)=⨯⨯---216()0t m ∆=+>.于是 121244y y t y y m+=⎧⎨=-⎩，①. 又11(1,)FA x y =-，22(1,)FB x y =-,12120(1)(1)FA FB x x y y <⇔--+=121212()10x x x x y y -+++< ②，又24y x =，于是不等式②等价于2222121212()104444y y y y y y +-++<⇔212()16y y +21212121[()2]104y y y y y y -+-+< ③.把①代入，则不等式③等价于22614m m t -+< ④.因对任意实数t ，24t 的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于2610m m -+<，即322322m -<<+由此可知，存在正数m ，对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线，都有0FA FB ∙<，且m 的取值范围是. 【方法技巧】1.直线和圆锥曲线的交点个数问题求解时可以将直线和圆锥曲线的方程联立，转化为方程根的个数问题（有些题目也可借用数形结合），其中一定要注意对∆的符号加以验证，必要时还须注意根的范围.2.形如0FA FB ∙<的不等式一般都要借用数量积先进行转化，然后借用根与系数的关系进行处理.关闭Word 文档返回原板块。
圆锥曲线题型总结：圆锥曲线与向量结合的三种题型【精品】
圆锥曲线题型总结：圆锥曲线与向量结合的三种题型【精品】圆锥曲线与向量的结合——圆锥曲线题型总结一、AP=λPB解题方法总结如下：设直线AB与圆锥曲线C相交于点A、B，P为直线AB上的任意一点，A（x1，y1），B（x2，y2），则可以得到AP=λPB。
利用这个条件，可以构造两根之和与两根之积，消去x2，然后利用XXX定理求解。
例如，对于题目“设双曲线C：2-x^2/a^2=y^2/b^2（a>b）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．设直线l与y轴的交点为P，且PA=5PB．求a的值．”，可以按照上述方法解题。
首先联立方程组，得到两个交点的坐标。
然后利用构造两根之和与两根之积的方法，消去x2，得到一个关于a的方程。
最后利用XXX定理求解，得到a的值。
二、PR/PQ的取值范围对于题目“已知x-1>0（x>1），设直线y=-2x+m与y轴交于点P，与双曲线C相交于点Q、R，且|PQ|＜3/2|PR|，求PR/PQ的取值范围．”，可以采用向量的方法解题。
设向量PQ 为a，向量PR为b，则PR/PQ=|b|/|a|。
根据向量的定义，可以得到a和b的表达式。
然后根据题目中的条件，可以列出一个关于m的不等式。
最后，通过分析不等式的解集，可以得到PR/PQ的取值范围。
已知直线 $C:x-1=0$（$x\neq 1$ 且 $x\neq -1$），设直线$y=x+m$（$m>0$）与 $y$ 轴交于点 $P$，与轨迹 $C$ 相交于点 $Q$、$R$，且 $|PQ|<|PR|$，求 $m$ 的取值范围。
解法一：设 $Q(x_1,y_1)$，$R(x_2,y_2)$，联立$\begin{cases} 4x^2-y^2-4=PRx \\ 3x-2mx-m-4=0 \end{cases}$。
则可设 $x_2=-\lambda x_1$（$\lambda>1$），即 $-x_1x_2=\lambda x_2^2$，此时$y_P=x_P+m$，$y_Q=x_Q+m$。
高考数学复习：圆锥曲线7大题型及解答技巧总结
学好圆锥曲线的几个关键点1核心的知识点是基础，好多同学在做圆锥曲线题时，特别是小题，比如椭圆，双曲线离心率公式和范围记不清，焦点分别在x轴，y轴上的双曲线的渐近线方程也傻傻分不清，在做题时自然做不对。
2计算能力强的同学学圆锥曲线相对轻松一些，计算能力是可以通过多做题来提升的。
后期可以尝试训练自己口算得到联立后的二次方程，然后得到判别式，两根之和，两根之积的整式。
当然也要掌握一些解题的小技巧，加快运算速度。
3拿到圆锥曲线的题，很多同学说无从下手，从表面感觉很难。
老师建议：山重水复疑无路，没事你就算两步。
大部分的圆锥曲线大题，都有共同的三部曲：一设二联立三韦达定理。
一设：设直线与圆锥曲线的两个交点，坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线方程为y=kx+b。
二联立：通过快速计算或者口算得到联立的二次方程。
三韦达定理：得到二次方程后立马得出判别式，两根之和，两根之积。
走完三部曲之后，在看题目给出了什么条件，要求什么。
例如涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化。
总结起来：找值列等量关系，找范围列不等关系，通常结合判别式，基本不等式求解。
4圆锥曲线中常见题型总结1、直线与圆锥曲线位置关系这类问题主要采用分析判别式，有△＞0，直线与圆锥曲线相交；△=0，直线与圆锥曲线相切；△＜0，直线与圆锥曲线相离．若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论。
2、圆锥曲线与向量结合问题这类问题主要利用向量的相等，平行，垂直去寻找坐标间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合应用，体现数形结合的思想，达到简化计算的目的。
3、圆锥曲线弦长问题弦长问题主要记住弦长公式：设直线l与圆锥曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则：4、定点、定值问题（1）定点问题可先运用特殊值或者对称探索出该定点，再证明结论，即可简化运算；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。
向量“搭台” 曲线“唱戏”——向量与圆锥曲线综合问题例谈
０ 引言
平面 向量 是 高 中数 学 大 纲 版 教材 的新 增 内
且 斜率为 ｋ 点 ） （ ＞Ｏ 的直 线与 Ｃ相 交 于 Ａ、 Ｂ两 点．
若 一３ ， 志 商 则 ＝（ ） ．
（ １ Ａ） （ Ｂ） （ Ｃ） （ ２ Ｄ）
容， 是高 中数 学新课 程教材 的必修 内容． 圆锥 曲线 是 高中数学 的重点 内容 ， 是高考 中的重 头“ ． 也 戏”
收 稿 日期 ：０ ００ —０ ２ １—８２ ．
作者简介： 珠（ ６一， 甘肃庆阳 兰化总校 李平 １ ２ 男， ９ ） 人， 二中 高级教师， 省级骨干教师， 要从事高中 圭 数学教学 研究．
是解 直线 与圆锥 曲 线 问题 的通 法 ， 常用 于 做解 答
１ 小题 大 做 ， 隐含 失分
例 Ｉ （０ ０全 国卷 Ⅱ文 、 １ ） ２１ 理 ２ 已知 椭圆 Ｃ：
ｘ ２
１＿
ｙ ＝１Ⅱ ＞ｏ 的离 心率 为 ， （＞６ ） 过右 焦点 Ｆ
２
厅
题 （ 考大题 ） 此法 思 维量 不 大 ， 运 算 量大 ， 高 ． 但 对
者掌握 的情况 ， 这部 分试 题 在 高考 数 学 试题 中 占
２２ 一一２ ｔｓ＋４ ， ＝一ｔ （ ＋４ ， √ （。 ） 一３ ｚ ｓ ／。 ）
消 去 Ｙ 得 ， ／ ， 一１ ｓ＝√ ． ２ ｓ一１ ２ 七 ／ ２ 故选 Ｂ ．
解析 ２ 设直线 ｚ 为椭 圆的右 准线 ， 为离 心 ｅ 率 ， Ａ， 过 Ｂ分 别 作 ＡＡ，ＢＢ ， 垂 直 于 ｚＡ－Ｂ 为 ， ， 垂 足 ， Ｂ作 Ｂ 垂 直 于 Ａ 过 Ｅ Ａ。与 Ｅ， 由第 二定 义
ＮＯ ２ Ｏ Ｖ． Ｏ１
高三数学一轮复习圆锥曲线的综合问题
备考例题 3
已知
F1，F2
为椭圆x2＋y2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A a2 b2
是椭圆上位于第一象限内的一点，点
B
也在椭圆上，且满足O→A＋O→B＝
0(O 为坐标原点)，且A→F2·F→1F2＝0，若椭圆的离心率等于 2. 2
(1)求直线 AB 的方程；
(2)若△ABF2 的面积为 4 2，求椭圆的方程；
则 P 到直线 y＝ 2x 的距离为 2
|2
2cosθ－2 6
2sinθ|＝4 3
6|cos(θ＋π)|≤4 43
6＜4，故椭圆上不存在点 M 使△MAB 面积为 8
3.
2
题型四
圆锥曲线与其他知识交汇的问 题
1－ky0－1＋ky0
∴kEF＝yxEE－ －yxFF＝(1－kky
－k 0)2－(1＋ky
0)2
k2
k2
2
＝ k ＝－ 1 (定值)， －4ky0 2y0
k2 所以直线 EF 的斜率为定值.
题型二 最值与范围问题
①正确理解圆锥曲线的定义、标 思维提 准方程；
示 ②联立方程组，对有关参数进行 讨论.
[解] (1)∵F0(c,0)，F1(0， b2－c2)，F2(0，－ b2－c2)，
∴|F0F1|＝ (b2－c2)＋c2＝b＝1，
|F1F2|＝2 b2－c2＝1⇒c2＝3， 4
于是 a＝1 (x≥0) 7
所求“果圆”的方程为 y2＋4x2＝1 (x≤0)
.
m2 m2－1
(2)设 Q(x1，y1)， ∵P(m，y0)，P→F＝λF→Q，
2
1－m＝λ(x1－1)
∴2
，
－y0＝λy1
圆锥曲线与向量的综合性问题
设 ，由 点在 轴的负半轴上，则
又 ，
又 ，
所以，点 的轨迹 的方程为
（解法二） ，故 为 的中点．
设 ，由 点在 轴的负半轴上，则 -
又由 ，故 ，可得
由 ，则有 ，化简得：
所以，点 的轨迹 的方程为
例2、已知椭圆的方程为 ，它的一个焦点与抛物线 的焦点重合，离心率 ，过椭圆的右焦点 作与坐标轴不垂直的直线 ，交椭圆于 、 两点．
解（Ⅰ）设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
依据题意，有
动点 所在曲线 的方程是
（Ⅱ）因直线 过点 ，且斜率为 ，故有
联立方程组 ，消去 ，得
设 、 ，可得 ，于是 .
又 ，得 即
而点 与点 关于原点对称，于是，可得点若ຫໍສະໝຸດ 段 、 的中垂线分别为 和 ， ，则有
联立方程组 ，解得 和 的交点为
因此，可算得
∴ ＞
∴点G的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，又
∴
（2）∵. 四边形OASB为平行四边行，
假设存在直线1，使 四边形OASB为矩形
若1的斜率不存在，则1的方程为
由 ＞0.
这与 相矛盾，∴1的斜率存在.
设直线1的方程
，化简得：
∴
∴
由 ∴
∴存在直线1： 或 满足条件.
二、针对性练习
1.已知过抛物线 的焦点，斜率为 的直线交抛物线于 ,
且 ， ，不妨设 ，
即
把 代入 得
，
故所求抛物线方程为
(Ⅱ)设 ，
则过抛物线上 、 两点的切线方程分别是 ，
两条切线的交点 的坐标为
设 的直线方程为 ，代入 得
故 的坐标为 点 的轨迹为
直线圆锥曲线有关向量的问题(精品)
直线圆锥曲线有关向量的问题高考考什么知识要点：1．直线与圆锥曲线的公共点的情况00),(02=++⇒⎩⎨⎧==++C Bx Ax y x f c by ax 曲线：直线：)0'''(2=++C y B yA 或（1）没有公共点 → 方程组无解 （2）一个公共点 → 0,0)0)=∆≠→=→A ii A i 相切相交（3）两个公共点 → 0,0>∆≠A2．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：1212AB x y =-=-3．以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题 4.几何与向量综合时可能出现的向量内容（1） 给出直线的方向向量或；（2）给出与相交,等于已知过的中点;（3）给出,等于已知是的中点;（4）给出,等于已知A 、B 与PQ 的中点三点共线;（5） 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即 （7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。
（8）给出,等于已知是的平分线。
（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在中，给出等于已知通过的内心；（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16）在中，给出,等于已知是中边的中线;高考怎么考主要题型：1．三点共线问题；2．公共点个数问题；3．弦长问题；4．中点问题；5．定比分点问题；6．对称问题；7．平行与垂直问题；8．角的问题。
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圆锥曲线与向量的综合性问题一、常见基本题型：在向量与圆锥曲线相结合的题目中，主要是利用向量的相等、平行、垂直去寻找坐标之间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合运用。
(1) 问题的条件以向量的形式呈现，间接的考查向量几何性质、运算性质，例1、设(1,0)F ，M 点在x 轴的负半轴上，点P 在y 轴上，且,MP PN PM PF =⊥． 当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程； 解：（解法一）MP PN =，故P 为MN 的中点．设(,)N x y ，由M 点在x 轴的负半轴上，则(,0),(0,),(0)2yM x P x ->又(1,0)F ，(,),(1,)22y yPM x PF ∴=--=-又PM PF ⊥，204y PM PF x ∴⋅=-+=所以，点N 的轨迹C 的方程为24(0)y x x => （解法二）MP PN =，故P 为MN 的中点．设(,)N x y ，由M 点在x 轴的负半轴上，则(,0),(0,),(0)2yM x P x -> -又由,MP PN PM PF =⊥，故FN FM =，可得22FN FM = 由(1,0)F ，则有222(1)(1)x y x -+=--，化简得：24(0)y x x => 所以，点N 的轨迹C 的方程为24(0)y x x =>例2、已知椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，离心率5e =，过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆 于A 、B 两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点(1,0)M ，且()MA MB AB +⊥，求直线l 的方程；解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为(,0)c ，因为28y x =的焦点坐标为(2,0)，所以2c =因为c e a ==25a =，21b =故椭圆方程为：2215x y +=（Ⅱ）由（I ）得(2,0)F ，设l 的方程为(2)y k x =-（0k ≠）代入2215x y +=，得， 设1122(,),(,),A x y B x y 则2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++， 12121212(4),()y y k x x y y k x x ∴+=+--=-112212122121(1,)(1,)(2,),(,)MA MB x y x y x x y y AB x x y y ∴+=-+-=+-+=--12212112()0,(2)()()()0MA MB AB x x x x y y y y +⋅=∴+--+-+=2222220420,310,5151k k k k k k ∴--=∴-==++所以直线l的方程为2020x x -=-=或（2）所求问题以向量的形式呈现例3、已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线2y =（1）求椭圆E 的方程；（2）过点C （—1，0），斜率为k 的动直线与椭圆E 相交于A 、B 两点，请问x 轴上 是否存在点M ，使⋅为常数若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请 说明理由。
解：（1）根据条件可知椭圆的焦点在x 轴，且a c ea ====又b =故== 故所求方程为221,553x y +=即5322=+y x ， （2）假设存在点M 符合题意，设AB ：),1(+=x k y 代入53:22=+y x E 得：0536)13(2222=-+++k x k x k)0,(),,(),,(2211m M y x B y x A 设则1353,136********+-=+-=+k k x x k k x x22221211(1)()()MA MB k x x k m x x k m ⋅=++-+++ 221614233(31)m m m k +=+--+ 要使上式与k 无关，则有6140,m += 解得73m =-，存在点)0,37(-M 满足题意。
例4、线段AB 过y 轴上一点()0,N m ，AB 所在直线的斜率为()0k k ≠，两端点A 、B 到y 轴的距离之差为4k .(Ⅰ)求出以y 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点的抛物线方程；(Ⅱ)过该抛物线的焦点F 作动弦CD ，过C 、D 两点分别作抛物线的切线，设 其交点为M ，求点M 的轨迹方程，并求出2FC FD FM⋅的值.解：(Ⅰ)设AB 所在直线方程为m kx y +=，抛物线方程为py x 22=， 且()11,y x A ， ()22,y x B ，不妨设01>x ，02<x ∴k x x 421=- 即k x x 421=+把m kx y +=代入py x 22=得0222=--pm pkx x ∴pk x x 221=+，∴k pk 42=∴2=p 故所求抛物线方程为y x 42=(Ⅱ)设⎪⎭⎫ ⎝⎛23341,x x C ，⎪⎭⎫ ⎝⎛24441,x x D则过抛物线上C 、D 两点的切线方程分别是 2334121x x x y -=，2444121x x x y -=∴两条切线的交点M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+4,24343x x x x设CD 的直线方程为1+=nx y ，代入y x 42=得0442=--nx x∴443-=x x 故M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-+1,243x x 点M 的轨迹为1-=y⎪⎭⎫ ⎝⎛-=→--141,233x x FC ⎪⎭⎫⎝⎛-=→--141,244x x FD∴()14141412423242343++-⋅+=⋅→--→--x x x x x x FD FC ()1411242343++-+=x x x x ()2412423-+-=x x而()224321102--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=→--x x FM ()2414422423432423++=+++=x x x x x x 故12-=⋅→--→--→--FMFB FA(3)问题的条件及待求的问题均已向量的形式呈现例5、在直角坐标系xOy 中，1的线段的两端点C 、D 分别在x 轴、y 轴上 滑动，2CP PD =．记点P 的轨迹为曲线E ．（I ）求曲线E 的方程；（II ）经过点（0，1）作直线l 与曲线E 相交于A 、B 两点，,OM OA OB =+当点M 在曲线E 上时，求cos ,OA OB <>的值． 解：（Ⅰ）设C (m ，0)，D (0，n )，P (x ，y )． 由CP →＝2PD →，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －m ＝－2x ，y ＝2(n －y )，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝(2＋1)x ，n ＝2＋12y ，由|CD →|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2，∴(2＋1)2x 2＋(2＋1)22y 2＝(2＋1)2，整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1．（Ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM →＝OA →＋OB →，知点M 坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0， 则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2．y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2，由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)22＝1，即4k 2(k 2＋2)2＋8(k 2＋2)2＝1，解得k 2＝2．这时x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 2＋x 2)＋1＝－34，(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)＝(2－x 21)(2－x 22)＝4－2(x 21＋x 22)＋(x 1x 2)2＝4－2[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋(x 1x 2)2＝3316，cosOA →，OB →＝x 1x 2＋y 1y 2(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)＝－3311．二、针对性练习 1. 已知圆M ：22(5)36x y ++=及定点(5,0)N ，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上， 且满足.0,2=⋅=NP GQ NQ NP（1）求点G 的轨迹C 的方程；（2）过点K （2，0）作直线,l 与曲线C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，设OS OA OB =+ ,是否存在这样的直线,l 使四边形OASB 的对角 线相等若存在，求出直线,l 的方程； 若不存在，说明理由.解：（1）由Q NP GQ NQNP ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=02为PN 的中点，且GQ PN GQ ⇒⊥是PN 的中垂线，PG GN ∴=， ∴6PM GM GP GM GN =+=+=＞.52 ∴点G 的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，又.25,3=⇒==b c a∴.14922=+y x （2） ∵.⇒+=OB OA OS 四边形OASB 为平行四边行，假设存在直线1，使⇒=AB OS 四边形OASB 为矩形.OB OA ⊥⇒ 若1的斜率不存在，则1的方程为,2=x由2222169943x x OA OB x y y ==⎧⎧⎪⎪⇒⇒⋅=⎨⎨+=±⎪⎪⎩⎩＞0. 这与0=⋅OB OA 相矛盾， ∴1的斜率存在. 设直线1的方程()()()11222,,,,.y k x A x y B x y =-()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=149222y x x k y ，化简得：()().013636492222=-+-+k x k x k∴(),49136,493622212221+-=+=+k k x x k k x x ∴()()()[]4920422.222212122121+-=++-=--=k k x x x x k x k x k y y由121200OA OB x x y y ⋅=⇒+=∴().2304920491362222±=⇒=+-+-k k k k k ∴存在直线1：0623=--y x 或0623=-+y x 满足条件. 二、针对性练习1.已知过抛物线()022>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于12(,)A x y ,()22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ． （1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OB OA OC λ+=，求λ的值． 解：（1）直线AB的方程是)2py x =-,与22y px =联立， 消去y ，得22450x px p -+=，所以4521p x x =+， 由抛物线定义得：921=++=p x x AB ，所以p=4， 抛物线方程为：x y 82=（2）由p=4，,05x 422=+-p px 化简得0452=+-x x ， 从而,4,121==x x 24,2221=-=y y ,从而A(1,22-),B(4,24)设)24,4()22,1()(3,3λ+-==→y x OC =)2422,41(λλ+-+， 又因为3238x y =，即()[]=-21222λ8（41+λ），即14)12(2+=-λλ，解得2,0==λλ或2、在平面直角坐标系内已知两点(1,0)A -、(1,0)B ，若将动点(,)P x y 的横坐标保持不变，倍后得到点()Q x ，且满足1AQ BQ ⋅=.（Ⅰ）求动点P 所在曲线C 的方程；（Ⅱ）过点B作斜率为的直线l 交曲线C 于M 、N 两点，且0OM ON OH ++=， 又点H 关于原点O 的对称点为点G ，试问M 、G 、N 、H 四点是否共圆若共 圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由.解（Ⅰ）设点P 的坐标为(,)x y ，则点Q的坐标为()x ，依据题意，有(1,2),().AQ x y BQ x =+=-221,12 1.AQ BQ x y ⋅=∴-+=∴动点P 所在曲线C 的方程是221.2x y +=（Ⅱ）因直线l 过点B，且斜率为k =:1).l y x =- 联立方程组22121)x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去y ，得22210.x x --=设11(,)M x y 、22(,)N x y ，可得1212112xx x x +=⎧⎪⎨=-⎪⎩，于是12121x x y y +=⎧⎪⎨+⎪⎩.又0OM ON OH ++=，得1212(,),OH x x y y =----即(1,H - 而点G 与点H 关于原点对称，于是，可得点2G若线段MN 、GH 的中垂线分别为1l 和2l，GH k =121:),:.2l y x l y --=联立方程组1)2y x y ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，解得1l 和2l的交点为11(,8O因此，可算得1||O H =1||O M =所以M 、G 、N 、H四点共圆，且圆心坐标为11(,8O。