圆锥曲线与向量的综合性问题

圆锥曲线与向量的综合性问题
一、常见基本题型：
在向量与圆锥曲线相结合的题目中，主要是利用向量的相等、平行、垂直去寻找坐标之间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合运用。

(1) 问题的条件以向量的形式呈现，间接的考查向量几何性质、运算性质，
例1、设(1,0)F ，M 点在x 轴的负半轴上，点P 在y 轴上，且,MP PN PM PF =⊥． 当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程； 解：（解法一）MP PN =，故P 为MN 的中点．
设(,)N x y ，由M 点在x 轴的负半轴上，则(,0),(0,),(0)2y
M x P x ->
又(1,0)F ，(,),(1,)22y y
PM x PF ∴=--=-
又
PM PF ⊥，2
04
y PM PF x ∴⋅=-+=
所以，点N 的轨迹C 的方程为24(0)y x x => （解法二）MP PN =，故P 为MN 的中点．
设(,)N x y ，由M 点在x 轴的负半轴上，则(,0),(0,),(0)2y
M x P x -> -
又由,MP PN PM PF =⊥，故FN FM =，可得2
2
FN FM = 由(1,0)F ，则有222(1)(1)x y x -+=--，化简得：24(0)y x x => 所以，点N 的轨迹C 的方程为24(0)y x x =>
例2、已知椭圆的方程为22221(0)x y a b a b
+=>>，它的一个焦点与抛物线2
8y x =的焦点
重合，离心率5
e =
，过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆 于A 、B 两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点(1,0)M ，且()MA MB AB +⊥，求直线l 的方程；
解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为(,0)c ，因为2
8y x =的焦点坐标为(2,0)，所以2c =
因为c e a =
=
25a =，21b =
故椭圆方程为：2
215
x y +=
（Ⅱ）由（I ）得(2,0)F ，设l 的方程为(2)y k x =-（0k ≠）
代入2
215
x y +=，得， 设1122(,),(,),A x y B x y 则22121222
20205
,5151
k k x x x x k k -+=
=++， 12121212(4),()y y k x x y y k x x ∴+=+--=-
112212122121(1,)(1,)(2,),(,)MA MB x y x y x x y y AB x x y y ∴+=-+-=+-+=--
12212112()0,(2)()()()0MA MB AB x x x x y y y y +⋅=∴+--+-+=
2222220420,310,5151k k k k k k ∴--=∴-==++
所以直线l
的方程为2020x x -=-=或
（2）所求问题以向量的形式呈现
例3、已知椭圆E
的长轴的一个端点是抛物线2
y =
（1）求椭圆E 的方程；
（2）过点C （—1，0），斜率为k 的动直线与椭圆E 相交于A 、B 两点，请问x 轴上 是否存在点M ，使⋅为常数若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请 说明理由。

解：（1）根据条件可知椭圆的焦点在x 轴，
且a c ea ===
=又
b =
故== 故所求方程为
22
1,55
3
x y +=即5322=+y x ， （2）假设存在点M 符合题意，设AB ：),1(+=x k y 代入53:2
2
=+y x E 得：0536)13(2
2
2
2
=-+++k x k x k
)0,(),,(),,(2211m M y x B y x A 设则1
35
3,136********+-=+-=+k k x x k k x x
2222
1211(1)()()MA MB k x x k m x x k m ⋅=++-+++ 2
2
1614
233(31)
m m m k +=+-
-+ 要使上式与k 无关，则有6140,m += 解得73m =-
，存在点)0,3
7
(-M 满足题意。

例4、线段AB 过y 轴上一点()0,N m ，AB 所在直线的斜率为()0k k ≠，两端点A 、B 到y 轴的距离之差为4k .
(Ⅰ)求出以y 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点的抛物线方程；
(Ⅱ)过该抛物线的焦点F 作动弦CD ，过C 、D 两点分别作抛物线的切线，设 其交点为M ，求点M 的轨迹方程，并求出
2
FC FD FM
⋅的值.
解：(Ⅰ)设AB 所在直线方程为m kx y +=，抛物线方程为py x 22
=， 且()11,y x A ， ()22,y x B ，不妨设01>x ，02<x ∴k x x 421=- 即k x x 421=+
把m kx y +=代入py x 22
=得0222
=--pm pkx x ∴pk x x 221=+，∴k pk 42=
∴2=p 故所求抛物线方程为y x 42
=
(Ⅱ)设⎪⎭⎫ ⎝⎛23341,x x C ，⎪⎭⎫ ⎝
⎛24441,x x D
则过抛物线上C 、D 两点的切线方程分别是 2
3341
21x x x y -=，2
4441
21x x x y -=
∴两条切线的交点M 的坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛+4,24343x x x x
设CD 的直线方程为1+=nx y ，代入y x 42
=得0442
=--nx x
∴443-=x x 故M 的坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛-+1,243x x 点M 的轨迹为1-=y
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=→
--141,233x x FC ⎪⎭⎫
⎝⎛-=→
--141,244x x FD
∴()
14
141412
423242343++-⋅+
=⋅→
--→--x x x x x x FD FC ()14
11242343++-
+=x x x x ()
2412
423-+-=x x
而()22
432
1102--+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=→--x x FM ()2414422
423432
423++=+++=
x x x x x x 故
12
-=⋅→--→
--→--FM
FB FA
(3)问题的条件及待求的问题均已向量的形式呈现
例5、在直角坐标系xOy 中，
1的线段的两端点C 、D 分别在x 轴、y 轴上 滑动，2CP PD =
．记点P 的轨迹为曲线E ．
（I ）求曲线E 的方程；
（II ）经过点（0，1）作直线l 与曲线E 相交于A 、B 两点，,OM OA OB =+当点
M 在曲线E 上时，求cos ,OA OB <>的值． 解：（Ⅰ）设C (m ，0)，D (0，n )，P (x ，y )． 由CP →＝2PD →，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧x －m ＝－2x ，y ＝2(n －y )，得⎩
⎪⎨
⎪
⎧m ＝(2＋1)x ，
n ＝2＋12
y ，
由|CD →|＝2＋1，得m 2
＋n 2
＝(2＋1)2
，
∴(2＋1)2x 2
＋(2＋1)2
2
y 2
＝(2＋1)2，
整理，得曲线E 的方程为x 2
＋y 2
2
＝1．
（Ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM →＝OA →＋OB →，知点M 坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 方程，得(k 2
＋2)x 2
＋2kx －1＝0， 则x 1＋x 2＝－
2k k 2
＋2，x 1x 2＝－1
k 2＋2
．
y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4
k 2＋2
，
由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2
＋(y 1＋y 2)
2
2
＝1，
即4k 2
(k 2＋2)2＋8(k 2＋2)
2＝1，解得k 2
＝2．
这时x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝(1＋k 2
)x 1x 2＋k (x 2＋x 2)＋1＝－34，
(x 2
1＋y 2
1)(x 2
2＋y 2
2)＝(2－x 2
1)(2－x 2
2)＝4－2(x 2
1＋x 2
2)＋(x 1x 2)2
＝4－2[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋(x 1x 2)2
＝3316，
cos
OA →，OB →＝
x 1x 2＋y 1y 2(x 2
1
＋y 21)(x 22＋y 2
2)
＝－33
11．
二、针对性练习 1. 已知圆M ：22(5)36x y +
+=及定点(5,0)N ，点
P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上， 且满足.0,2=⋅=NP GQ NQ NP
（1）求点G 的轨迹C 的方程；
（2）过点K （2，0）作直线,l 与曲线C 交于A 、B 两点，
O 是坐标原点，设OS OA OB =+ ,是否存在这样的直线,l 使四边形OASB 的对角 线相等若存在，求出直线,l 的方程； 若不存在，说明理由.
解：（1）由Q NP GQ NQ
NP ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=0
2为PN 的中点，且GQ PN GQ ⇒⊥是PN 的中垂线，
PG GN ∴=， ∴6PM GM GP GM GN =+=+=＞.52 ∴点G 的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，又.25,3=⇒==b c a
∴.14
92
2=+y x （2） ∵.⇒+=OB OA OS 四边形OASB 为平行四边行，
假设存在直线1，使⇒=AB OS 四边形OASB 为矩形.OB OA ⊥⇒ 若1的斜率不存在，则1的方程为,2=x
由2222
169943x x OA OB x y y ==⎧⎧⎪⎪⇒⇒⋅=⎨⎨+=±
⎪⎪⎩⎩
＞0. 这与0=⋅OB OA 相矛盾， ∴1的斜率存在. 设直线1的方程()()()11222,,,,.y k x A x y B x y =-
()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=149222y x x k y ，化简得：()().013636492
222=-+-+k x k x k
∴()
,4
91
36,49362
2212221+-=+=+k k x x k k x x ∴()()()[]4
920422.222
21212
2121+-=++-=--=k k x x x x k x k x k y y
由121200OA OB x x y y ⋅=⇒+=∴()
.2
3
04920491362
222±=⇒=+-+-k k k k k ∴存在直线1：0623=--y x 或0623=-+y x 满足条件. 二、针对性练习
1.已知过抛物线()022
>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于12(,)A x y ,
()22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ． （1）求该抛物线的方程；
（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OB OA OC λ+=，求λ的值． 解：（1）直线AB
的方程是)2
p
y x =-
,与22y px =联立， 消去y ，得22
450x px p -+=，所以4
521p x x =
+， 由抛物线定义得：921=++=p x x AB ，所以p=4， 抛物线方程为：x y 82=
（2）由p=4，
,05x 422=+-p px 化简得0452=+-x x ， 从而,4,121==x x 24,2221=-=y y ,从而A(1,22-),B(4,24)
设)24,4()22,1()(3,3λ+-==→
y x OC =)2422,41(λλ+-+， 又因为3238x y =，即()[]
=-2
1222λ8（41+λ），
即14)12(2+=-λλ，解得2,0==λλ或
2、在平面直角坐标系内已知两点(1,0)A -、(1,0)B ，若将动点(,)P x y 的横坐标保持不变，
倍后得到点()Q x ，且满足1AQ BQ ⋅=.
（Ⅰ）求动点P 所在曲线C 的方程；
（Ⅱ）过点B
作斜率为的直线l 交曲线C 于M 、N 两点，且0OM ON OH ++=， 又点H 关于原点O 的对称点为点G ，试问M 、G 、N 、H 四点是否共圆若共 圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由.
解（Ⅰ）设点P 的坐标为(,)x y ，则点Q
的坐标为()x ，
依据题意，有(1,2),().AQ x y BQ x =+=-
221,12 1.AQ BQ x y ⋅=∴-+=
∴动点P 所在曲线C 的方程是2
2
1.2
x y +=
（Ⅱ）因直线l 过点B
，且斜率为k =:
1).l y x =- 联立方程组2
212
1)x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去y ，得22210.x x --=
设11(,)M x y 、22(,)N x y ，可得12121
12x
x x x +=⎧⎪
⎨=-⎪⎩，于是12121x x y y +=⎧⎪⎨+⎪⎩.
又0OM ON OH ++=，得1212(,
),OH x x y y =----即
(1,H - 而点G 与点H 关于原点对称，于是，可得点2
G
若线段MN 、GH 的中垂线分别为1l 和2l
，GH k =
121
:),:.2
l y x l y -
-=
联立方程组1
)2y x y ⎧-
=-⎪⎨⎪=⎩，解得1l 和2l
的交点为11(,8O
因此，可算得1||O H =
1||O M =
所以M 、G 、N 、H
四点共圆，且圆心坐标为11(,8O。