北师大版初三数学下册7.切线长定理
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3.7 切线长定理课件(共19张PPT) 北师大版九年级下册数学
切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切
点，可以度量.
预习导学
3.过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长 相等 .
·导学建议·
在引入时，教师可找实物悠悠球，拆开球，出示球的剖面，
球的整体和中心轴可分别抽象成圆形，被拉直的线绳可抽象成
线段.
预习导学
1.如图，PA、PB是☉O的切线，切点分别是A、B，若PB＝5
A.32°
B.48°
C.60°
D.66°
(1)写出此图中相等的线段.
(2)请你设计一种可以通过计算求出直径
的测量方法.(写出主要解题过程)
合作探究
解:(1)根据切线长定理，知AB＝AC.
(2)如图，连接OB、OA.
根据切线长定理，得∠OAB＝60°.
在直角三角形AOB中，OB＝ AB，
则只需测得AB的长，即可求得圆的直径.
合作探究
如图，P为☉O外一点，PA、PB为☉O的切线，A和B是切
学习.
预习导学
根据条件画出图形:已知☉O外一点P，过点P作☉O的切线，
可以画几条？
你有几种方法？
预习导学
切线长的概念
阅读教材本课时相关内容，并回答下列问题.
1.过圆外一点作圆的切线，这点和 切点 之间的 线段
叫做这点到圆的切线长.
预习导学
2.切线和切线长有何区别？
切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；
合作探究
(2)∵CD是☉O的切线，∴CA＝CE，DB＝DE，
∴AC＋BD＝CD，
△PCD的周长＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋
PB＝20.
合作探究
如图，AB是☉O的直径，点C为☉O外一点，CA、CD
点，可以度量.
预习导学
3.过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长 相等 .
·导学建议·
在引入时，教师可找实物悠悠球，拆开球，出示球的剖面，
球的整体和中心轴可分别抽象成圆形，被拉直的线绳可抽象成
线段.
预习导学
1.如图，PA、PB是☉O的切线，切点分别是A、B，若PB＝5
A.32°
B.48°
C.60°
D.66°
(1)写出此图中相等的线段.
(2)请你设计一种可以通过计算求出直径
的测量方法.(写出主要解题过程)
合作探究
解:(1)根据切线长定理，知AB＝AC.
(2)如图，连接OB、OA.
根据切线长定理，得∠OAB＝60°.
在直角三角形AOB中，OB＝ AB，
则只需测得AB的长，即可求得圆的直径.
合作探究
如图，P为☉O外一点，PA、PB为☉O的切线，A和B是切
学习.
预习导学
根据条件画出图形:已知☉O外一点P，过点P作☉O的切线，
可以画几条？
你有几种方法？
预习导学
切线长的概念
阅读教材本课时相关内容，并回答下列问题.
1.过圆外一点作圆的切线，这点和 切点 之间的 线段
叫做这点到圆的切线长.
预习导学
2.切线和切线长有何区别？
切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；
合作探究
(2)∵CD是☉O的切线，∴CA＝CE，DB＝DE，
∴AC＋BD＝CD，
△PCD的周长＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋
PB＝20.
合作探究
如图，AB是☉O的直径，点C为☉O外一点，CA、CD
北师大版九年级下册数学：7切线长定理(共17张PPT)
直线 OOPP交 交 ⊙O 于点 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 CD. 、E，交 AB 于 C.
由3-X+4-X=5，得：
（1）写出图中所有的垂直关系； PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C。
∴(1∠)判OA断（P直=∠线2OCB）EP与=9⊙写0O°的出位置图关系中， 所有的全等三角形. （1）写（出图3中）所有如的垂果直关系PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的A长.
根据图形判断：猜想PA=PB？∠1=∠2？
B
继续添线，可以连接AB，与OP交于点C 在本图中，你又有什么发现呢？ OP垂直与AB，OP平分AB
A
O CM
P
B
轴对称图形
PA、PB是⊙O的两条切线，
A
A、B为切点，直线OP交
⊙O于点D、E，交AB于C。 E O C H
P
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
做⊙O的切线EF，切点为C，则⊙O是△PEF的内切圆,如果
在图中添加适当的直线、射线、线段，在组成的新图形中你有什么发现?
几 三、学以致用 自我检验
OP垂直与AB，OP∵平分PABA、PB分别切⊙O于点A、B
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，
何 ∴Rt△AOP≌Rt△BOP 表 ∴PA = 四、总结反思 自我升华
（2）到圆心的距离等与圆的半径的直线是圆的切线（d=r）（数量法）
由3-X+4-X=5，得：
O P = PA + PB
已知：如图,PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA,PB于E,F点，已知PA=12cm，求 △PEF的周长.
3.7 切线长定理 北师大版数学九年级下册导学课件
第三章 圆
*7 切线长定理
学习目标
1 本节要点 切线长定理
2 学习流程
逐点 学练
本节 小结
作业 提升
பைடு நூலகம்
感悟新知
知识点 1 切线长定理
1. 切线长定义 过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间 的线段长叫做这点到圆的切线长.
切线是直线，不可度量；切线 长是切线上切点与切点外一点 之间线段的长，可以度量.
∵ PA，PB，DE 是⊙ O 的切线，
∴ OA ⊥ PA，OB ⊥ PB，OC ⊥ DE.
∴∠ DAO= ∠ EBO=90°.∴∠ P+ ∠ AOB=180°.
∴∠ AOB=180°－50°=130°.
易知∠ AOD= ∠ DOC，∠ COE= ∠ BOE，
1
1
∴∠ DOE= 2 ∠ AOB= 2 ×130°=65°.
感悟新知
(1)若PA=10，求△ PDE 的周长； 解：∵ PA，PB，DE 分别切⊙ O 于点A，B，C， ∴ PA=PB，DA=DC，EC=EB. ∴ PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=10+10=20. ∴△ PDE 的周长为20.
感悟新知
(2)若∠ P=50°，求∠ DOE 的度数. 解：如图3-7-2，连接OA，OC，OB.
2
∴ PO ⊥ AB. ∴∠ ABP+ ∠ BPO=90°. ∵ PB 是⊙ O 的切线，∴ OB ⊥ PB. ∴∠ ABP+ ∠ ABC=90°. ∴∠ ABC= ∠ BPO= 1 ∠ APB，即∠ APB=2 ∠ ABC.
2
感悟新知
(2)AC ∥ OP. 解：∵ BC 是⊙ O 的直径， ∴∠ BAC=90°，即AC ⊥ AB. 由(1)知OP ⊥ AB，∴ AC ∥ OP.
*7 切线长定理
学习目标
1 本节要点 切线长定理
2 学习流程
逐点 学练
本节 小结
作业 提升
பைடு நூலகம்
感悟新知
知识点 1 切线长定理
1. 切线长定义 过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间 的线段长叫做这点到圆的切线长.
切线是直线，不可度量；切线 长是切线上切点与切点外一点 之间线段的长，可以度量.
∵ PA，PB，DE 是⊙ O 的切线，
∴ OA ⊥ PA，OB ⊥ PB，OC ⊥ DE.
∴∠ DAO= ∠ EBO=90°.∴∠ P+ ∠ AOB=180°.
∴∠ AOB=180°－50°=130°.
易知∠ AOD= ∠ DOC，∠ COE= ∠ BOE，
1
1
∴∠ DOE= 2 ∠ AOB= 2 ×130°=65°.
感悟新知
(1)若PA=10，求△ PDE 的周长； 解：∵ PA，PB，DE 分别切⊙ O 于点A，B，C， ∴ PA=PB，DA=DC，EC=EB. ∴ PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=10+10=20. ∴△ PDE 的周长为20.
感悟新知
(2)若∠ P=50°，求∠ DOE 的度数. 解：如图3-7-2，连接OA，OC，OB.
2
∴ PO ⊥ AB. ∴∠ ABP+ ∠ BPO=90°. ∵ PB 是⊙ O 的切线，∴ OB ⊥ PB. ∴∠ ABP+ ∠ ABC=90°. ∴∠ ABC= ∠ BPO= 1 ∠ APB，即∠ APB=2 ∠ ABC.
2
感悟新知
(2)AC ∥ OP. 解：∵ BC 是⊙ O 的直径， ∴∠ BAC=90°，即AC ⊥ AB. 由(1)知OP ⊥ AB，∴ AC ∥ OP.
北师版数学九下第第三章7切线长定理(新课件20页)
A 26 D
r
O
F
EC
∴AB AC2 BC2 102 242 26.
∵ ⊙O 分别与 AB，BC，AC 相切于点 D，E，F，
∴ OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BD = BE，AD = AF，CE = CF.
又∵∠C = 90°，
∴ 四边形 OECF 为正方形.
∴ CE = CF = r.
PA PO2 AO2 62 32 3 3.
A 3cm
O 6cm
P
AF=AE CE=CD BF=BD
2. 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于
点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm，CA=13cm，则
AF的长为（ C ） BD=BF=11－x CD=CE=13－x
符号语言表达 ∵ PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B
分别为切点， ∴ PA=PB，∠APO=∠BPO.
课后作业
习题3.9 1、2、3、4
学法指导
新课程标准有以下几项变化，一是理念变化：确立核心素养导向的课 程目标；二是结构变化：明确学业要求与学业质量标准；三是内容变化： 调整教学要求和增加教学内容。最终是要结合学生认知水平和生活经验， 设计合理的生活情境、数学情境、科学情境。关注情境的真实性，适当引 入数学文化，真正让学生感受数学与生活的密切关系和对生活的影响以及 作用。培养学生的核心素养目标，从本质上提升教学质量。
第三章 7 切线长定理
北师版·九年级下册
新课导入
过圆外一点画圆的切线，你能画出几条？试试看.
O
P
2条
这点和切点之间的线段长叫做
这点到圆的切线长.
O P
PA、PB就是点P 到⊙O的切线长.
初三下数学课件(北师大)-切线长定理
︵ 过劣弧DE (不包括端点 D、E)上任一点作⊙O 的切线 MN 与 AB、BC 分别 交于点 M、N.若⊙O 的半径为 r，则 Rt△MBN 的周长为 2r .
12．如图，已知 AB 为⊙O 的直径，AB＝2，AD 和 BE 是圆 O 的两条切线，
A、B 为切点，过圆上一点 C 作⊙O 的切线 CF，分别交 AD、BE 于点 M、 3
解：(1)△ABC 为等腰三角形，∵△ABC 的内切圆⊙O 与 AB、BC、AC 分 别相切于点 D、E、F，∴∠CFO＝∠CEO＝∠BDO＝∠BEO＝90°，∵四边
︵︵ 形内角和为 360°，∴∠EOF＋∠C＝180°，∠DOE＋∠B＝180°，∵EF＝DE， ∴∠EOF＝∠DOE，∴∠B＝∠C，AB＝AC，∴△ABC 为等腰三角形；
切线长定理的综合运用． 【例 2】如图所示，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，点 P 在 AC 上，AP＝2，若⊙O 的圆心在线段 BP 上，且⊙O 与 AB、AC 都相切，则⊙ O 的半径是( A )
A．1 C．172
B．45 D．94
【思路分析】如图所示，过点 O 作 OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，垂足分 别为 D、E、F，CP＝AC－AP＝8－2＝6，BC＝ AB2－AC2＝ 102－82＝6. ∴CP＝CB，∴∠CPB＝∠CBP＝45°，设⊙O 的半径为 r，则 OD＝OE＝DP ＝r，BF＝OF＝6－r，AD＝AE＝r＋2，BE＝8－r，在 Rt△BOE 中，由勾 股定理，得 BE2＋OE2＝BO2，而 BO2＝BF2＋OF2，即(8－r)2＋r2＝2(6－r)2， ∴r＝1.
⊙O 的切线条数为( C )
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．无数条
12．如图，已知 AB 为⊙O 的直径，AB＝2，AD 和 BE 是圆 O 的两条切线，
A、B 为切点，过圆上一点 C 作⊙O 的切线 CF，分别交 AD、BE 于点 M、 3
解：(1)△ABC 为等腰三角形，∵△ABC 的内切圆⊙O 与 AB、BC、AC 分 别相切于点 D、E、F，∴∠CFO＝∠CEO＝∠BDO＝∠BEO＝90°，∵四边
︵︵ 形内角和为 360°，∴∠EOF＋∠C＝180°，∠DOE＋∠B＝180°，∵EF＝DE， ∴∠EOF＝∠DOE，∴∠B＝∠C，AB＝AC，∴△ABC 为等腰三角形；
切线长定理的综合运用． 【例 2】如图所示，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，点 P 在 AC 上，AP＝2，若⊙O 的圆心在线段 BP 上，且⊙O 与 AB、AC 都相切，则⊙ O 的半径是( A )
A．1 C．172
B．45 D．94
【思路分析】如图所示，过点 O 作 OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，垂足分 别为 D、E、F，CP＝AC－AP＝8－2＝6，BC＝ AB2－AC2＝ 102－82＝6. ∴CP＝CB，∴∠CPB＝∠CBP＝45°，设⊙O 的半径为 r，则 OD＝OE＝DP ＝r，BF＝OF＝6－r，AD＝AE＝r＋2，BE＝8－r，在 Rt△BOE 中，由勾 股定理，得 BE2＋OE2＝BO2，而 BO2＝BF2＋OF2，即(8－r)2＋r2＝2(6－r)2， ∴r＝1.
⊙O 的切线条数为( C )
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．无数条
7 切线长定理 课件 初中数学北师大版九年级下册
.
5.如图所示,四边形ABCD的各边都与圆相切,它的周长为18,若AB=6,
则CD的长为 3 .
6.如图所示,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,AC为弦,BC为☉O的直径,
若∠P=60°,PB=2 cm.
(1)求证:△PAB是等边三角形;
(1)证明:∵PA,PB分别与☉O相切于点A,B,
∴PA=PB.
∴CD=CF= (AC+BC-AB)= ×(12+9-15)=3(cm).
∴OD=CD=3 cm.
∴☉O 的半径为 3 cm.
+-
++
(1)设直角三角形内切圆的半径为 R,则 R=
为直角边长,c 为斜边长);
(2)圆外切四边形的两组对边的和相等.
或 R=
(其中 a,b
新知应用
1.如图所示,△ABC的内切圆☉O分别与AB,AC,BC相切于点D,E,F.若
∠C=90°,AC=6,BC=8,则☉O的半径为 2
.
2.如图所示,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,☉O内切于菱形ABCD,则
☉O的半径为 .
1.如图所示,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于点A,B,CD切☉O于点E,
(cm).
则BD的长是(
A.4
B.3
C
C.2
)
D.1
2.如图所示,P 是☉O 外一点,PA,PB 分别和☉O 相切于 A,B 两点,C 是
上任意一点,过点 C 作☉O 的切线分别交 PA,PB 于点 D,E.连接
CA,CB.
(1)若△PDE 的周长为 10,则 PA 的长为
(2)若∠P=50°,则∠BCA 的度数为
5.如图所示,四边形ABCD的各边都与圆相切,它的周长为18,若AB=6,
则CD的长为 3 .
6.如图所示,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,AC为弦,BC为☉O的直径,
若∠P=60°,PB=2 cm.
(1)求证:△PAB是等边三角形;
(1)证明:∵PA,PB分别与☉O相切于点A,B,
∴PA=PB.
∴CD=CF= (AC+BC-AB)= ×(12+9-15)=3(cm).
∴OD=CD=3 cm.
∴☉O 的半径为 3 cm.
+-
++
(1)设直角三角形内切圆的半径为 R,则 R=
为直角边长,c 为斜边长);
(2)圆外切四边形的两组对边的和相等.
或 R=
(其中 a,b
新知应用
1.如图所示,△ABC的内切圆☉O分别与AB,AC,BC相切于点D,E,F.若
∠C=90°,AC=6,BC=8,则☉O的半径为 2
.
2.如图所示,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,☉O内切于菱形ABCD,则
☉O的半径为 .
1.如图所示,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于点A,B,CD切☉O于点E,
(cm).
则BD的长是(
A.4
B.3
C
C.2
)
D.1
2.如图所示,P 是☉O 外一点,PA,PB 分别和☉O 相切于 A,B 两点,C 是
上任意一点,过点 C 作☉O 的切线分别交 PA,PB 于点 D,E.连接
CA,CB.
(1)若△PDE 的周长为 10,则 PA 的长为
(2)若∠P=50°,则∠BCA 的度数为
北师大版九年级数学下册第三章《 切线长定理》优课件(共9张PPT)
7切线长定理
探究：
如图，纸上有一⊙o，PA 为⊙0的一条切线，沿着 直线PO将纸对折，设圆上 与点A重合的点为B，这时， OB是⊙o的一条半径吗？ PB是⊙o的切线吗？利用 图形的轴对称性说明图中 PA与PB，∠APO与∠BPO 有什么关系？
切线长的定义
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线 段长叫做这点到圆的切线长。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
如图：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点。 B
思考：由切线长定理
O。 C
P
可以得出哪些结论？
A
例：已知：在△ABC中，BC=14，AC=13， AB=9，它的内切圆分别和BC、AC、AB
A
x
切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。
F
. I
ByD
E
z
C
分析：设 AF=x，BD=y，CE=z
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月4日星期一2022/4/42022/4/42022/4/4 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/42022/4/42022/4/44/4/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/42022/4/4April 4, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
如图PA、PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP 又OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP ∴PA=PB，∠OPA=∠OPB。
定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切 线的夹角。
探究：
如图，纸上有一⊙o，PA 为⊙0的一条切线，沿着 直线PO将纸对折，设圆上 与点A重合的点为B，这时， OB是⊙o的一条半径吗？ PB是⊙o的切线吗？利用 图形的轴对称性说明图中 PA与PB，∠APO与∠BPO 有什么关系？
切线长的定义
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线 段长叫做这点到圆的切线长。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
如图：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点。 B
思考：由切线长定理
O。 C
P
可以得出哪些结论？
A
例：已知：在△ABC中，BC=14，AC=13， AB=9，它的内切圆分别和BC、AC、AB
A
x
切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。
F
. I
ByD
E
z
C
分析：设 AF=x，BD=y，CE=z
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月4日星期一2022/4/42022/4/42022/4/4 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/42022/4/42022/4/44/4/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/42022/4/4April 4, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
如图PA、PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP 又OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP ∴PA=PB，∠OPA=∠OPB。
定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切 线的夹角。
初中数学北师大九年级下册第三章圆-切线长定理及三角形内切圆PPT
r内＝
5
12 2
13＝
4 2
＝2
即：它的内切圆半径为2
《导学案》P100 例2
（1）目标锁定：证1＝2
证： E是ABC的内心
3
EA、EB分别为CAB、CBA的角平分线
12
又 CA＝CB，CAB＝CBA
1＝2， AE＝BE
（2）锁定目标：证CAB∽DEB
证：连接BD 3＝1 2＝21＝CAB
又 C＝D，CAB∽DEB
1．切线长定理：
A
（1）切线长的定义：
┓
O
过圆外一点画圆的切线，这一点和切点
之间的线段的长叫做这点到圆的切线长
.◆注意：“切线长”是专用名词，是线段
B
的长，而不要从字面上理解成“切线的长
”猜想：从圆外一点向圆画两条切线，两条切线长有什么关系？
1
2P
连接OA、OB、OP， PA、PB与 O相切，OAP＝OBP＝90 ，
E F
C
AB＝AC DB＝DE EF＝CF
结论：
ADF的周长＝AB AC＝2AB
《导学案》P93 例1 10
57°
114° 57° 66°
57°或123°
《导学案》P95 第4题
219° ∠PAB＝（180°-102°）/2＝78°/2＝39°
180°+39°＝219°
39° 102° 39°
又 BE＝AE， AB AE AC DE
AB BE AC DE
《导学案》P100 例3
（1）证：连接BI， I是ABC的内心
1＝2，3＝4 6＝2 3，6＝1 4
又 1＝5，6＝4 5＝DBI DB＝DI
（2） 5＝1＝2，D＝D
3.7 切线长定理+课件+2023—2024学年北师大版数学九年级下册
别为D,E,F,如图,设☉O的半径为r,
∵☉O与△ABC中AB,AC的延长线及BC边相切,
∴OE=OF=r,BD=BE,CE=CF,AD=AF,∵∠ACB=90°,
∴四边形OECF为正方形,
∴CE=CF=r,∴BD=BE=BC-EC=3-r,
∴AD=AB+BD=5+3-r=8-r,AF=AC+CF=4+r, Nhomakorabea( C )
A.40°
B.140°
C.70°
D.80°
数学
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4.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B是切点,若∠P=80°,则∠ABO的
度数是
A.30°
( B )
B.40°
C.50°
D.60°
数学
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4.B 解析:∵PA,PB是☉O的切线,∴PA=PB,OB⊥PB,即∠PBO=90°,
1
∵∠OED=90°,DE=1,∴r2=(4-r)2+12,
17
17
解得r= ,即☉O的半径是 .
8
8
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北师大版 九年级数学下册
证明:∵四边形ADCH是圆内接四边形,
∴∠ADC+∠AHC=180°,
又∵∠AHC+∠AHB=180°,
∴∠ADC=∠AHB,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ADC=∠B,∴∠AHB=∠B,∴AB=AH,
∴△ABH是等腰三角形.
数学
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(2)求证:直线PC是☉O的切线;
北师大版数学九年级下册切线长定理课件
A
O 130°
B
P
50°
如何用圆规和直尺
作出这两条
A
切线呢？
O.
P
B 思考：已画出切线PA,PB，A,B为切点，则∠OAP=90°, 连接OP，可知A,B 除了在⊙O上，还在怎样的圆上?
A
OO ·
P
B
切线长概念
过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫 做这点到圆的切线长.
A
O
·
P
B
切线与切线长是一回事吗？它们有什么区分与联系呢？
C
求证：AD+BC=AB+CD.
N
证明：由切线长定理得
D
AL=AP，LB=MB，NC=MC，
M O
DN=DP,
P
∴AP+MB+MC+DP=AL+LB+NCA L
B
+DN,
即AD+BC=AB+CD，
补充：圆的外切四边形的两组对边
【跟踪训练】
1.如果PA=4cm,PD=2cm, 求半径OAB
定理 圆的切线垂直于过切点的半径
●
∵CD与⊙O相切与点A,且OA是半
O
径∴CD⊥OA.
提示:
CAD
“见切点，连圆心”是常用辅助线之一.
你还记得内切圆与内心吗?
A
F
E
I
●●
B
┓
C
定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内 切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的 交点.
1.理解切线长的概念，掌握切线长定理． 2.学会运用切线长定理解有关问题． 3．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习 惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形 结合的思想．
O 130°
B
P
50°
如何用圆规和直尺
作出这两条
A
切线呢？
O.
P
B 思考：已画出切线PA,PB，A,B为切点，则∠OAP=90°, 连接OP，可知A,B 除了在⊙O上，还在怎样的圆上?
A
OO ·
P
B
切线长概念
过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫 做这点到圆的切线长.
A
O
·
P
B
切线与切线长是一回事吗？它们有什么区分与联系呢？
C
求证：AD+BC=AB+CD.
N
证明：由切线长定理得
D
AL=AP，LB=MB，NC=MC，
M O
DN=DP,
P
∴AP+MB+MC+DP=AL+LB+NCA L
B
+DN,
即AD+BC=AB+CD，
补充：圆的外切四边形的两组对边
【跟踪训练】
1.如果PA=4cm,PD=2cm, 求半径OAB
定理 圆的切线垂直于过切点的半径
●
∵CD与⊙O相切与点A,且OA是半
O
径∴CD⊥OA.
提示:
CAD
“见切点，连圆心”是常用辅助线之一.
你还记得内切圆与内心吗?
A
F
E
I
●●
B
┓
C
定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内 切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的 交点.
1.理解切线长的概念，掌握切线长定理． 2.学会运用切线长定理解有关问题． 3．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习 惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形 结合的思想．
北师大版九年级下册数学：切线长定理课件
④PA=PB中，成立的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
OE
P
B
教师寄语： 同学们！ 请铭记：
勤奋是舟，规律是桨，只有刻苦努力，你们 必将顺利抵港。
北师大版九年级数学下册
第三章 圆
3.7 切线长定理
一、情境引入，明晰定义
为了测量一个圆形锅盖的半径，某同学 采用了如下办法：将锅盖平放在水平桌面上， 用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺， 按图中所示的方法得到相关数据，进而可求
得锅盖的半径。若测得PA=5cm，则锅盖的半
径长是多少？
O B
AP
做一做
A
D
圆的外切四边形对边的关系：
两组对边的和相等.
O
C
B
图9
五、触类旁通，提升能力
填空：如图，PA、PB分别与⊙O
相切于点A、B，求：
（1）若PB=12，PO=13，则AO= （ ）
（2）若PO=10，AO=6，则PB= （ ）
（3）若PA=4，AO=3，
则PO=
；PD=； Nhomakorabea已知：如图，Rt△ABC的两条直角边 AC=10，BC=24，⊙O 是△ABC 的内切 圆，切点分别为D,E,F，求⊙O 的半径.
问题2：我们猜测的结果能否作为 定理来用呢？为了让我们得出的命 题成为定理，我们需要怎么做？
已知：PA、PB分别是⊙O的切线，点A、 B分别为切点 求证:PA=PB
切线长定理：从圆外一点引圆的两条
切线，它们的切线长相等.
四、运用新知，解决问题 1、情景问题 为了测量一个圆形锅盖的半
径，某同学采用了如下办法：将锅盖平放在水 平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个 刻度尺，按图中所示的方法得到相关数据，进
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
OE
P
B
教师寄语： 同学们！ 请铭记：
勤奋是舟，规律是桨，只有刻苦努力，你们 必将顺利抵港。
北师大版九年级数学下册
第三章 圆
3.7 切线长定理
一、情境引入，明晰定义
为了测量一个圆形锅盖的半径，某同学 采用了如下办法：将锅盖平放在水平桌面上， 用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺， 按图中所示的方法得到相关数据，进而可求
得锅盖的半径。若测得PA=5cm，则锅盖的半
径长是多少？
O B
AP
做一做
A
D
圆的外切四边形对边的关系：
两组对边的和相等.
O
C
B
图9
五、触类旁通，提升能力
填空：如图，PA、PB分别与⊙O
相切于点A、B，求：
（1）若PB=12，PO=13，则AO= （ ）
（2）若PO=10，AO=6，则PB= （ ）
（3）若PA=4，AO=3，
则PO=
；PD=； Nhomakorabea已知：如图，Rt△ABC的两条直角边 AC=10，BC=24，⊙O 是△ABC 的内切 圆，切点分别为D,E,F，求⊙O 的半径.
问题2：我们猜测的结果能否作为 定理来用呢？为了让我们得出的命 题成为定理，我们需要怎么做？
已知：PA、PB分别是⊙O的切线，点A、 B分别为切点 求证:PA=PB
切线长定理：从圆外一点引圆的两条
切线，它们的切线长相等.
四、运用新知，解决问题 1、情景问题 为了测量一个圆形锅盖的半
径，某同学采用了如下办法：将锅盖平放在水 平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个 刻度尺，按图中所示的方法得到相关数据，进
北师版九年级数学下册7.切线长定理
证明：∵PA、PB是⊙O的两条线. ∴OA⊥AP,OB⊥BP 又OA=OB,OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP ∴PA=PB.
因此,我们得到切线长定理： 过圆外一点所画的圆两条切线的长相等.
D B
D B
例1：如图所示,PA、PB是⊙O的两条切 线,A、B为切点,求证：∠ABO= 1 APB.
又∵AD2=AE·AB,∴AE=1,
BE 3,OB 1 BE 3 , OB 1 .
2
2 BC 2
例3：如图,已知⊙O是△ABC的内切圆,切点为D、E、F, 如果AE=1,CD=2,BF=3,且△ABC的面积为6.求内切圆的半径r.
解析：直接求内切圆的半径有困难,由于面积 是已知的,因此要转化为面积法来求,就需添加 辅助线,如果连结AO、BO、CO,就可把三角 形ABC分为三块,那么就可解决.
由(1)得：xy=36 ∴x=3,y=12或x=12,y=3.
(3)连结OE,则OE⊥CD
SCOD
1 CD OE 2
1 2
( AD
BC)
1 2
AB
1 15 1 12 45cm2.
50° 23
5
解：∵AP、BP为切线, ∴O12 AAP⊥B 3A0P,AP＝BP ∴∠PAB＝∠PBA ＝90°- ∠OAB＝ 90°-30°＝ 60 ° ∴∠APB＝180 °-60°-60°＝ 60 ° 连接OP, ∵OA＝OB，AP＝BP，OP＝OP， OA⊥AP ∴RtΔOAP≌RtΔOBP
(2)若x、y是方程2t2－30t＋m=0的两
根,求x、y的值；
(3)在(2)的前提下,求△COD的面积. 解析：(2) ∵x、y是2t2－30t＋m=0的两根,
因此,我们得到切线长定理： 过圆外一点所画的圆两条切线的长相等.
D B
D B
例1：如图所示,PA、PB是⊙O的两条切 线,A、B为切点,求证：∠ABO= 1 APB.
又∵AD2=AE·AB,∴AE=1,
BE 3,OB 1 BE 3 , OB 1 .
2
2 BC 2
例3：如图,已知⊙O是△ABC的内切圆,切点为D、E、F, 如果AE=1,CD=2,BF=3,且△ABC的面积为6.求内切圆的半径r.
解析：直接求内切圆的半径有困难,由于面积 是已知的,因此要转化为面积法来求,就需添加 辅助线,如果连结AO、BO、CO,就可把三角 形ABC分为三块,那么就可解决.
由(1)得：xy=36 ∴x=3,y=12或x=12,y=3.
(3)连结OE,则OE⊥CD
SCOD
1 CD OE 2
1 2
( AD
BC)
1 2
AB
1 15 1 12 45cm2.
50° 23
5
解：∵AP、BP为切线, ∴O12 AAP⊥B 3A0P,AP＝BP ∴∠PAB＝∠PBA ＝90°- ∠OAB＝ 90°-30°＝ 60 ° ∴∠APB＝180 °-60°-60°＝ 60 ° 连接OP, ∵OA＝OB，AP＝BP，OP＝OP， OA⊥AP ∴RtΔOAP≌RtΔOBP
(2)若x、y是方程2t2－30t＋m=0的两
根,求x、y的值；
(3)在(2)的前提下,求△COD的面积. 解析：(2) ∵x、y是2t2－30t＋m=0的两根,
+3.7切线长定理++课件+-2023-2024学年北师大版数学九年级下册
A E
解：（1）由切线长定理知,PA=PB,EA=ED,FD=FB,
∴PE+ED=PE+EA=PA=15,
PF+FD=PF+FB=PB=15,
∴C△PEF=PE+EF+PF
=PF+ED+PF+FD=30cm (2)∵∠P=50,∴∠PEF+∠PFE=180°-50°=130°,
PD
O
∴∠AEF+∠BFE=180°×2-130°=230°
注意：过圆外任意一点都可以引圆的两条切线；过圆上一点只能引圆的一条切线。
【解决问题】
如图，已知PA，PB，EF分别切⊙O于点A，
B，D．若PA＝15 cm，
（1）PB= cm.
（2）若∠AEF＝120°，则∠FEO= .
（3）△PEF的周长是
cm.
（4）若∠P＝50°，则∠EOF= .
A E
PD
O
(2)∵EA，EP是☉O的切线，
∴∠AEO＝∠FEO. ∴∠FEO＝60°.
【解决问题】
2.如图，已知PA，PB，EF分别切⊙O
于点A，B，D．若PA＝15 cm，
（3）△PEF的周长是
cm.
（4）若∠P＝50°，则∠EOF= .
A E
PD
O
FB
【解决问题】
2.如图，已知PA，PB，EF分别切⊙O 于点A，B，D．若PA＝15 cm， （3）△PEF的周长是 30 cm. （4）若∠P＝50°，则∠EOF= 65° .
边形BODC为正方形.
∴OB＝BC＝3cm，
A
∴半径r的取值范围为0＜r≤3cm.
D
·O
C
解：（1）由切线长定理知,PA=PB,EA=ED,FD=FB,
∴PE+ED=PE+EA=PA=15,
PF+FD=PF+FB=PB=15,
∴C△PEF=PE+EF+PF
=PF+ED+PF+FD=30cm (2)∵∠P=50,∴∠PEF+∠PFE=180°-50°=130°,
PD
O
∴∠AEF+∠BFE=180°×2-130°=230°
注意：过圆外任意一点都可以引圆的两条切线；过圆上一点只能引圆的一条切线。
【解决问题】
如图，已知PA，PB，EF分别切⊙O于点A，
B，D．若PA＝15 cm，
（1）PB= cm.
（2）若∠AEF＝120°，则∠FEO= .
（3）△PEF的周长是
cm.
（4）若∠P＝50°，则∠EOF= .
A E
PD
O
(2)∵EA，EP是☉O的切线，
∴∠AEO＝∠FEO. ∴∠FEO＝60°.
【解决问题】
2.如图，已知PA，PB，EF分别切⊙O
于点A，B，D．若PA＝15 cm，
（3）△PEF的周长是
cm.
（4）若∠P＝50°，则∠EOF= .
A E
PD
O
FB
【解决问题】
2.如图，已知PA，PB，EF分别切⊙O 于点A，B，D．若PA＝15 cm， （3）△PEF的周长是 30 cm. （4）若∠P＝50°，则∠EOF= 65° .
边形BODC为正方形.
∴OB＝BC＝3cm，
A
∴半径r的取值范围为0＜r≤3cm.
D
·O
C
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7、切线长定理
教学目标：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。
2、在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数
的方法解几何题。
教学重点：理解切线长定理。
教学难点：灵活应用切线长定理解决问题。
教学过程：
一、复习引入：
1. 切线的判定定理和性质定理.
2. 过圆上一点可作圆的几条切线？过圆外一点呢？过圆内一点呢？
二、合作探究
1、切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做
这点到圆的切线长。
2、切线长定理
(1)操作：纸上一个。
0, PA是。
0的切线，？连结PQ ?沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B。
0B是。
0的半径吗？PB是OO的切线吗？猜一猜PA与PB 的关系？/ APC与/BP0呢？
从上面的操作及圆的对称性可得：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
(2)几何证明.
如图，已知PA PB是OO的两条切线.求证：PA=PB / APO M BP0
证明:
B
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
3、三角形的内切圆
思考：如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的铁片，并且使圆的面积尽可能大呢？
三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
三角形的内心：三角形内切圆的圆心即三角形三条角平分线的交点叫做一一
(1)图中共有几对相等的线段
(2)若AF=4 BD=5 CE=9 则厶ABC 周长为_______
例如图，△ ABC的内切圆。
0与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=9cm
BC=14cm,CA=13cr求AF,BD,CE的长。
若S^ABC=18.10,求OO 的半径。
三、巩固练习
1、如图1, PA PB是OO的两条切线、A、B为切点。
PO交OO于E点
(1)若PB=12 PO=13 贝U AO= ___
(2)若PO=10 AO=6 J则PB= ____
(3)若PA=4 AO=3 贝U PO= __ ; PE= ___ .
(4)若PA=4 PE=2 贝U AO= __ .
2、如图2 , PA PB是OO的两条切线、A、B为切点,CD切OO于E交PA PB 于C D两点。
(1)若PA=12则厶PCD周长为______ 。
(2)若厶PCD 周长=10，贝U PA= __。
(3)_____________________________ 若/ APB=30，则/AOB= __________ , M 是OO 上一动点，则/ AMB= _________
3、如图Rt△ ABC的内切圆分别与AB AC BC相切于点E、D F,且/ ACB=90 , AC=3、BC=4，求OO 的半径。
4、如图Rt△ ABC中，/ ACB=90 , AC=6、BC=8 , O 为BC 上一点，以0 为圆心，OC为半径作圆与AB切于D点，求OO的半径。
5、如图，OO与厶ADE各边所在直线都相切，切点分别为M、P、N，且DE丄AE，AE=8，AD=10，求OO 的半径
A EM
6如图，AB是OO的直径，AE BF切OO于A、B, EF切OO于C.
7、如图,OO的直径AB=12cm AM BN是切线，DC切OO于E,交AM于D, ?交BN于C,设AD=x BC=y
(1)求y与x的函数关系式，并说明是什么函数？
(2)若x、y是方程2t2-30t+m=0的两根，求x, y的值.
(3)求厶COD勺面积.
四、小结归纳
1. 圆的切线长概念和定理
2. 三角形的内切圆及内心的概念
五、作业设计。