数据的离散程度方差

( x1 - x) 2 + ( x2 - x) 2 + L ( xn - x) 2 ． s= n
标准差也是表示一组数据离散程度的量．
3．应用极差对简单问题做出判断．
1．一组数据中的最大数据与最小数据的差称为极差，即
极差＝最大数据一最小数据．
2．极差反映一组数据的波动范围，用极差描述这组数据 的离散程度简单明了．极差越大，数据的离散程度越大． 3．由于极差忽视了一组数据中所有数据之间的差异，仅 仅由其中的最大值和最小值所确定，个别远离群体的极端 值在很大程度上会影响极差，因而极差往往不能充分反映 一组数据的实际离散程度．
在2004年雅典奥运会上我国选手郭晶晶，吴敏霞和俄 罗 斯选手帕卡琳娜 分获女子3米板单人比赛的前3名．他们 在决赛中的五组动作得分情况如下：
郭晶晶 74．70，84 ．60，81．84，83．70，65．25； 吴敏霞 70．20，70．47， 75．60，72．54，82．80； 帕卡琳娜 75．60，68．40，74．40，74．40，80．10．
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时间
0:00 4:00 8:00 12:00 16:00 20:00
时间
北京
安庆
这一天两地的温差分别是： 北京 安庆 24-10=14℃ 25-20=5℃
某时段内气温的最高值与最低 值的差叫做温差．温差是一种 极差，常用它来反映一天、一 月、一年的气温变化幅度．
4．一组数据 a1 , a2 , …… , an 的极差为2，那么 （2）一组新数据 3a1 ,3a2 ,， 3an的极差为 6 ：
若一组数据中每一个数据增大（或减小）同 一个数，则极差 不变 ，（填“增大”、 “减小”或“不变”） 若一组数据中每一个数据变为原来的a倍， 则极差变为原来的 a 倍
你能举一些生活中于极差有关的 例子吗?
某日在不同时段测得北京和安庆的气温情况如下:
0:00 4:00 8:00 12:00 16:00 20:00
北京
安庆
温度℃ 25
10℃
20 ℃
14 ℃
22℃
20 ℃
23 ℃
温度℃ 25 20 15 10 5
24 ℃
25 ℃
19 ℃
23 ℃
16 ℃
21 ℃
20
15 10 5
2． 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数 据的方差，通常用S2 表示，即
S2=
3．标准差:
1 2 2 2 …… 2 ＋ ＋ ＋ ＋ （x1－ x ) （x2－ x ) （x3－ x ) （xn－ x) ] [ n
方差越小，这组数据的离散程度越小，数据就越集中，平均数代表性就越大．
20．2．2 数据的离散程度
图片欣赏一
图片欣赏二
问题：为了比较甲、乙两种棉花结桃情况，
任意抽取每种棉花各 10 棵，统计它们结桃 数的情况如下： 甲种棉花 84 ，79， 81， 84， 85， 82， 83， 86， 87 ，89 乙种棉花 85 ，84， 89， 79， 81， 91， 79， 76， 82， 84
…… ＋（x － n
x)
x
1 ( + +x +L +x ) x2 n 3 n) －n· n x1
由于偏差可能是正数、零、负数，在求偏差的和时，正、负数 恰好相互抵消，结果为零，所以不能用偏差的和表示一组数据的离 散程度． 为了刻画一组数据的离散程度，通常选用偏差的平方的平均数 来描述．
S2=
（x1－ x ) ＋ （x2－ x ) ＋ （x3－ x ) ＋ …… ＋ （xn－ x)
( x1 x) 2 + ( x2 x) 2 + L ( xn x) 2 s= ． n
标准差也是表示一组数据离散程度的量．
2 2 2 + + + ( x ' x ' ) ( x ' x ' ) ( x ' x ' ) L 2 n s'2 = 1 n [( x1 a) ( x a)]2 + [( x2 a) ( x a)]2 + L + [( xn a) ( x a)]2 = n
例1某足球队对运动员进行射点球成绩测试，每人每天射点球5 次，在10天中，运动员大刚的进球个数分别是： 5 4 5 3 3 5 2 5 3 5 （1）求大刚进球个数的平均数； （2）求大刚进球个数的方差． （3）求大刚进球个数的标准差． 解:（1）大刚进球个数的平均数为 5+ 4+5+3+3+5+ 2+5+3+5 =4(个)； x= 10 （2）大刚进球个数的方差为
2
2
2
2
n
在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方 的平均数，叫做这组数据的方差（variance ) ，通常用S2 表示，即 1 2 2 2 …… 2 2 ＋ ＋ ＋ ＋ （x1－ x ) （x2－ x ) （x3－ x ) （xn－ x) ] S= [
n
方差越小，这组数据的离散程 度越小，数据就越集中，平均 数代表性就越大．
请你对这两组数据进行分析比较， 看看能获得什么结论？
甲： 84 ，79， 81， 84， 85， 82， 83， 86， 87 ，89
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92
89－79=10
乙： 85 ，84， 89， 79， 81， 91， 79， 76， 82， 84
如果一组数据x1，x2，…，x n，中的每一个数据都减去 a，得到一组新数据 那么这两组数据的方差 x'1 ， x'2 ， x'n ， L， 有什么关系？ 2 2 2 + + + ( x x ) ( x x ) ( x x ) 2 L 1 2 n + x2 + L + xn x 1 = s x= n n x'1 + x'2 + L + x'n ( x1 a) + ( x2 a) + L + ( xn a) = x' = n n ( x1 + x2 + L + xn ) na = = x a n
x
xi－ 1 0 1
x
（xi－ x ）2 1 0 1 1
-1 -1
1 -2 1 -1 1
1
1 4 1
1
1
1+ 0 +1+ L+1 = 1． s = 2（个2） 10
由于方差S2的单位与原始数据单位不一致，因此在实际 应用中常常求出方差后，再求它的算术平方根，这个算术平 方根称为这组数据的标准差，用S表示．
若乙测试成绩是下面的数据呢？
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲命中环数 乙命中环数
7 9
8 7
8 9
8 8
9 7
感悟与收获
1．极差的意义．
极差是最简单的一种刻画数据离散程度的统 计量．但有的时候仅用极差来分析一组数据 的离散程度还是不够精确，难以说明问题．
2．极差的计算方法．
极差＝最大值－最小值．
请你来评论一下她们的表现吧！
练一练
1．在数据统计中，能反映一组数据变化范围大小的指标是 ( D ) A 平均数 B 众数 C 中位数 D 极差
-5 2． 某日最高气温是4 ℃， 温差是 9 ℃，则最低气温是＿＿ ＿ ℃．
7 或 -3 3．数据 1 ， 2 ， 3 ， x 的极差是 6 ，则 x =＿＿＿＿＿．
（1）一组新数据 a1 1, a2 1,, an 1 的极差为 2 ：
交流与发现
下表是我国北方某城市1956年~1990年大气降水资料： 类别 年平均 丰水年 平水年 偏枯年 特枯年 降水量/毫米 600 882 639 513 366
（1）上面这组数据的极差是多少？ 516毫米 （2）丰水年、平水年、偏枯年、特枯年的降水量与年平均降水 量的差分别是多少？ 282毫米、 39毫米、 －87毫米、 －234毫米．
解：平均分为： x =
标准差为： s
=
20×1 + 22×2 + 26×2 + 28×3 + 30×2 10
( 20 26 ) 2 + ( 22 26 ) 2 + L + ( 30 26 ) 2 10
3． 3（分）
2 ．甲、乙两台编织机同时编织同种品牌的毛衣，在5 天中，两台编织机每天编 织的合格产品数量如下（单位：件）: 甲：10 8 7 7 8 乙： 9 8 7 7 9 在这5 天中，哪台编织机每天编织的合格产品的数量较稳定？ 2 2 2 (10 8) + (8 8) + L + (8 8) 15 10 + 8 + 7 + 7 + 8 = =8 s甲 = x甲 = 10 5 5
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92
91－76=15
如果你家想要种棉花，那你 什么样的指标可以 反映一组数据变化 会选择种哪种棉花？ 范围的大小？
探究新知：
极差
定义：一组数据中最大数与最小数的差． 表达式：极差=最大数－最小数 极差是刻画数据离散程度的最简单的统 计量，而且计算简便．
( x1 x) 2 + ( x2 x) 2 + L + ( xn x) 2 2 = = s n
所以s '2 = s 2