重庆大学高等数学总复习题三

A 组

一、填空题： 1.函数lnsin y x =在5[

,

]66ππ

上满足罗尔定理中的____ξ=

解析：考查罗尔定理的应用，要求解ξ，即在区间5(,

)66ππ

内，求=0y '的解

解：cos =

sin x y x '，令=0y '，则2

x π

= 2.函数4()f x x =，2

()F x x =在[1,2]上满足柯西中值定理中的____ξ=

解析：考查柯西定理的应用，要求解ξ，即在区间(1,2)内，求

(2)(1)()

(2)(1)()

F F F x f f f x '-='-的解

解：已知

(2)(1)1

(2)(1)5

F F f f -=-，()2F x x '=，3()4f x x =

则即求

321

45

x x =，解得2x =，2x =-（舍去）

则ξ=

3.设函数3

x y e -=，[5,5]x ∈-，则该函数的最大值_____M =，最小值_____m =

解析：考查函数最值的求解，由于函数中存在绝对值，则可以化为分段函数，然后在区间内的最值

解：化为分段函数33,53

35x x e x y e x --⎧≥>=⎨≥≥-⎩

已知x

e 和3x +都为恒增函数，则3

x e -也为恒增函数

即当53x ≥>时，最大值为25

x y e ==，3

1x y

==

因为3x -为恒减函数，则3

x e

-也为恒减函数

当35x ≥≥-时，最大值为8

5

x y

e =-=，3

1x y ==

综上可知，最大值8

M e =，最小值1m =

4.曲线1ln()y x e x

=+（0x >）的渐近线方程为_____

解析：考查函数渐近线的求解，渐近线包括垂直渐近线、水平渐近线、斜渐近线，前面已经

介绍过各类渐近线的定义，则只需一一验证各类渐近线是 否存在

解：01ln()

1ln()lim lim ln()lim

lim 1x x x x e e x x y x e x x

x

-→-∞→-∞→-∞→++=+===∞ 则不存在水平渐近线

因为存在不可导点0x =，虽然0x =不再定义域内，但是还需验证

又因为0001ln()

1ln()1lim lim ln()lim

lim lim 01x x x x x e e x x y x e x x

e x x

+++→+∞→+∞→→→++=+====+ 则不存在垂直渐近线

设存在斜渐近线y kx b =+，则1

ln()

1lim lim lim ln()1x x x x e y x k e x x x

→+∞→+∞→+∞+===+= 001ln()1

1ln()1lim ()lim [ln()]lim lim

111

lim x x x x x e e x x b y kx x e x x x x

e x e

+

+

→+∞→+∞→+∞→→+-+-=-=+-====+

则存在斜渐近线1

y x e

=+

5.记R 为曲率半径，s 为弧长。已知2

y x =（0x ≥），则曲率_____K =；_____dR ds = 解析：考查曲率的求解，本题已知的是直角坐标方程，则利用方程求解3

22

[1()]y K y ''

='+求解，而曲率半径对弧长的导数可以利用

1dR dR ds

ds dx dx

=⋅来求解 解：2y x '=，2y ''= 则33222

2

2[1()]

(14)

y K y x ''=

=

'++

由此可得曲率半径为322

(14)

2

x R +=

则

138622dR x dx =⋅=

ds

dx ==则

16dR dR x ds

ds dx dx

=⋅=

6函数2,0

(),0

x x x f x xe x ⎧≤=⎨>⎩在点_____x =处取得极小值

解析：考查分段函数的极值，需要分段考虑，同时要判断分段点是否为极值，解题步骤为先求出分段函数的导数，然后求出驻点，最后利用极值的充分条件判断 解：当0x ≤时，()2f x x '=，得驻点0x =

当0x >时，()(1)x

f x x e '=+，令()0f x '=，得驻点1x =-（不在区间内，舍去）

在0x =的去心领域(,)δδ-中，当0x >时，()0f x '>；当0x <时，()0f x '< 则在点0x =处取得极小值 二、选择题：

1.若函数()f x 在区间(,)a b 内可导，1x 和2x 是区间(,)a b 内任意两点，且12x x <，则至少存在一点ξ，使(

)

（A ）()()()()f b f a f b a ξ'-=⋅-，其中a b ξ<< （B ）11()()()()f b f x f b x ξ'-=⋅-，其中1x b ξ<< （C ）2121()()()()f x f x f x x ξ'-=⋅-，其中12x x ξ<< （D ）22()()()()f x f a f x a ξ'-=⋅-，其中2a x ξ<<

解析：考查中值定理的应用，使用拉格朗日中值定理时，一定要满足三个条件

解：本题中告诉函数()f x 在区间(,)a b 内可导，并没有告诉函数在[,]a b 内连续，则不知道

()f a ，()f b 是否存在，自然不能在点x a =，x b =上使用拉格朗日中值定理，这样可以

排除（A ）（B ）（D ）选项

至于（C ）选项，因为函数()f x 在区间(,)a b 内可导，则函数()f x 在区间(,)a b 内连续，自然可得1()f x ，2()f x 存在 答案：C

2.当0x >时，曲线1

sin

y x x

=()

（A ）有且仅有水平渐近线 （B ）有且仅有垂直渐近线

（C ）既有水平渐近线，又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线，又无垂直渐近线

解析：考查渐近线的求解，利用各类渐近线的定义一一判断即可