第11讲 数列的综合应用(教案)

第十一讲 数列的综合应用

【复习要求】

灵活运用等差数列、等比数列公式与性质解决一些综合性问题．

【复习重难点】

掌握一些简单的递推数列、子数列问题的处理方法及一些数列证明题的证明方法．

一、【基础训练】

1． 若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和S n ＝________．

答案：56n 2－76

n 解析：由条件得

⎩⎨⎧S 6＝6a 1＋6×

52d ＝23，S 9＝9a 1

＋9×82d ＝57，即⎩⎨⎧a 1＝－13，d ＝53，故a n ＝56n 2

－76n ． 2．已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和．若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________． 答案：64

解析：a 22＝a 1a 5，即(1＋d)2＝1×(1＋4d)，所以d ＝2，故S 8＝8＋8×72

×2＝64．

3． 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足关

系式S n ＝n 90

(21n －n 2－5)(n ＝1，2，…，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1．5万件的月份是________． 答案：7、8

解析：由S n 解出a n ＝130

(－n 2＋15n －9)， 再解不等式130

(－n 2＋15n －9)>1．5，得6

点O)，则S 200＝________．

答案：100

解析：∵ OB →＝a 100OA →＋a 101OC →且A 、B 、C 三点共线(该直线不过点O)，∴ a 100＋a 101＝1，∴ S 200

＝200×（a 1＋a 200）2

＝100×(a 1＋a 200)＝100×1＝100．

二、【思维拓展】

例1 设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23

，n ∈N *． (1) 求a 2的值；

(2) 求数列{a n }的通项公式．

(1) 解：∵ 2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N ．

∴ 当n ＝1时，2a 1＝2S 1＝a 2－13－1－23

＝a 2－2． 又a 1＝1，∴ a 2＝4．

(2) 解：∵ 2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N ．

∴ 2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23

n ＝na n ＋1－n （n ＋1）（n ＋2）3

，① ∴ 当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －（n －1）n （n ＋1）3

，② 由①－②，得2S n －2S n －1＝na n ＋1－(n －1)a n －n(n ＋1)，

∵ 2a n ＝2S n －2S n －1，

∴ 2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n(n ＋1)，

∴ a n ＋1n ＋1－a n n

＝1， ∴ 数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n n 是以首项为a 11＝1，公差为1的等差数列． ∴ a n n

＝1＋1×(n －1)＝n ，∴ a n ＝n 2(n ≥2)， 当n ＝1时，上式显然成立． ∴ a n ＝n 2，n ∈N *．

例2 正项数列{a n }的前项和满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n)＝0．

(1) 求数列{a n }的通项公式a n ；

(2) 令b n ＝n ＋1（n ＋2）2a 2n

，数列{b n }的前n 项和为T n ．证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564． (1) 解：由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n)＝0，

得[S n －(n 2＋n)](S n ＋1)＝0．

由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n ．

于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ．

综上，数列{a n }的通项a n ＝2n ．

(2) 证明：由于a n ＝2n ，b n ＝n ＋1（n ＋2）2a 2n

， 则b n ＝n ＋14n 2（n ＋2）2＝116⎣

⎡⎦⎤1n 2－1（n ＋2）2． T n ＝116[1－132＋122－142＋132－152＋…＋1（n －1）2－1（n ＋1）2＋1n 2－1（n ＋2）2

] ＝116⎣⎡⎦⎤1＋122－1（n ＋1）2－1（n ＋2）2<116(1＋122)＝564

． 故对于任意的n ∈N *，都有T n <564

．

例3 设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项和．记b n ＝nS n n 2＋c

，n ∈N *，其中 c 为实数．

(1) 若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S n k ＝n 2S k (k ，n ∈N *)；

(2) 若{b n }是等差数列，证明：c ＝0．

证明：∵ {a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项和，

∴ S n ＝na ＋n （n －1）2

d ． (1) ∵ c ＝0，∴ b n ＝S n n ＝a ＋n －12

d ． ∵ b 1，b 2，b 4成等比数列，∴ b 22＝b 1b 4，

∴ ⎝⎛⎭⎫a ＋12d 2

＝a ⎝⎛⎭

⎫a ＋32d ， ∴ 12ad －14

d 2＝0， ∴ 12d ⎝⎛⎭

⎫a －12d ＝0． ∵ d ≠0，∴ a ＝12

d ，∴ d ＝2a ， ∴ S n ＝na ＋n （n －1）2d ＝na ＋n （n －1）2

2a ＝n 2a ， ∴ 左边＝S nk ＝(nk)2a ＝n 2k 2a ，右边＝n 2S k ＝n 2k 2a ，

∴ 左边＝右边，∴ 原式成立．

(2) ∵ {b n }是等差数列，

∴ 设公差为d 1，

∴ b n ＝b 1＋(n －1)d 1

代入b n ＝nS n n 2＋c ，得b 1＋(n －1)d 1＝nS n n 2＋c

， ∴ ⎝⎛⎭⎫d 1－12d n 3＋⎝⎛⎭⎫b 1－d 1－a ＋12d n 2＋cd 1n ＝c(d 1－b 1)对n ∈N *恒成立， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧d 1－12

d ＝0，b 1－d 1－a ＋12

d ＝0，cd 1＝0，c （d 1－b 1）＝0， ∴ d 1＝12

d ．∵ d ≠0，∴ d 1≠0． 例4 已知数列{a n }中，a 1＝2，n ∈N *，a n ＞0，数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋1＝2S n ＋1＋S n －2

． (1) 求{S n }的通项公式；

(2) 设{b k }是{S n }中的按从小到大顺序组成的整数数列．

① 求b 3；

② 存在N(N ∈N *)，当n ≤N 时，使得在{S n }中，数列{b k }有且只有20项，求N 的范围．