第11讲 数列的综合应用(教案)

第十一讲 数列的综合应用【复习要求】灵活运用等差数列、等比数列公式与性质解决一些综合性问题．【复习重难点】掌握一些简单的递推数列、子数列问题的处理方法及一些数列证明题的证明方法．一、【基础训练】1． 若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和S n ＝________．答案：56n 2－76n 解析：由条件得⎩⎨⎧S 6＝6a 1＋6×52d ＝23，S 9＝9a 1＋9×82d ＝57，即⎩⎨⎧a 1＝－13，d ＝53，故a n ＝56n 2－76n ． 2．已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和．若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________． 答案：64解析：a 22＝a 1a 5，即(1＋d)2＝1×(1＋4d)，所以d ＝2，故S 8＝8＋8×72×2＝64．3． 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足关系式S n ＝n 90(21n －n 2－5)(n ＝1，2，…，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1．5万件的月份是________． 答案：7、8解析：由S n 解出a n ＝130(－n 2＋15n －9)， 再解不等式130(－n 2＋15n －9)>1．5，得6<n<9． 4． 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 100·OA →＋a 101OC →，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过点O)，则S 200＝________．答案：100解析：∵ OB →＝a 100OA →＋a 101OC →且A 、B 、C 三点共线(该直线不过点O)，∴ a 100＋a 101＝1，∴ S 200＝200×（a 1＋a 200）2＝100×(a 1＋a 200)＝100×1＝100．二、【思维拓展】例1 设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *． (1) 求a 2的值；(2) 求数列{a n }的通项公式．(1) 解：∵ 2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N ．∴ 当n ＝1时，2a 1＝2S 1＝a 2－13－1－23＝a 2－2． 又a 1＝1，∴ a 2＝4．(2) 解：∵ 2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N ．∴ 2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ＝na n ＋1－n （n ＋1）（n ＋2）3，① ∴ 当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －（n －1）n （n ＋1）3，② 由①－②，得2S n －2S n －1＝na n ＋1－(n －1)a n －n(n ＋1)，∵ 2a n ＝2S n －2S n －1，∴ 2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n(n ＋1)，∴ a n ＋1n ＋1－a n n＝1， ∴ 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以首项为a 11＝1，公差为1的等差数列． ∴ a n n＝1＋1×(n －1)＝n ，∴ a n ＝n 2(n ≥2)， 当n ＝1时，上式显然成立． ∴ a n ＝n 2，n ∈N *．例2 正项数列{a n }的前项和满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n)＝0．(1) 求数列{a n }的通项公式a n ；(2) 令b n ＝n ＋1（n ＋2）2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n ．证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564． (1) 解：由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n)＝0，得[S n －(n 2＋n)](S n ＋1)＝0．由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n ．于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ．综上，数列{a n }的通项a n ＝2n ．(2) 证明：由于a n ＝2n ，b n ＝n ＋1（n ＋2）2a 2n， 则b n ＝n ＋14n 2（n ＋2）2＝116⎣⎡⎦⎤1n 2－1（n ＋2）2． T n ＝116[1－132＋122－142＋132－152＋…＋1（n －1）2－1（n ＋1）2＋1n 2－1（n ＋2）2] ＝116⎣⎡⎦⎤1＋122－1（n ＋1）2－1（n ＋2）2<116(1＋122)＝564． 故对于任意的n ∈N *，都有T n <564．例3 设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项和．记b n ＝nS n n 2＋c，n ∈N *，其中 c 为实数．(1) 若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S n k ＝n 2S k (k ，n ∈N *)；(2) 若{b n }是等差数列，证明：c ＝0．证明：∵ {a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项和，∴ S n ＝na ＋n （n －1）2d ． (1) ∵ c ＝0，∴ b n ＝S n n ＝a ＋n －12d ． ∵ b 1，b 2，b 4成等比数列，∴ b 22＝b 1b 4，∴ ⎝⎛⎭⎫a ＋12d 2＝a ⎝⎛⎭⎫a ＋32d ， ∴ 12ad －14d 2＝0， ∴ 12d ⎝⎛⎭⎫a －12d ＝0． ∵ d ≠0，∴ a ＝12d ，∴ d ＝2a ， ∴ S n ＝na ＋n （n －1）2d ＝na ＋n （n －1）22a ＝n 2a ， ∴ 左边＝S nk ＝(nk)2a ＝n 2k 2a ，右边＝n 2S k ＝n 2k 2a ，∴ 左边＝右边，∴ 原式成立．(2) ∵ {b n }是等差数列，∴ 设公差为d 1，∴ b n ＝b 1＋(n －1)d 1代入b n ＝nS n n 2＋c ，得b 1＋(n －1)d 1＝nS n n 2＋c， ∴ ⎝⎛⎭⎫d 1－12d n 3＋⎝⎛⎭⎫b 1－d 1－a ＋12d n 2＋cd 1n ＝c(d 1－b 1)对n ∈N *恒成立， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0，c （d 1－b 1）＝0， ∴ d 1＝12d ．∵ d ≠0，∴ d 1≠0． 例4 已知数列{a n }中，a 1＝2，n ∈N *，a n ＞0，数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋1＝2S n ＋1＋S n －2． (1) 求{S n }的通项公式；(2) 设{b k }是{S n }中的按从小到大顺序组成的整数数列．① 求b 3；② 存在N(N ∈N *)，当n ≤N 时，使得在{S n }中，数列{b k }有且只有20项，求N 的范围．解：(1) a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴ (S n ＋1－S n )(S n ＋1＋S n －2)＝2；即(S n ＋1)2－(S n )2－2(S n ＋1－S n )＝2，∴ (S n ＋1－1)2－(S n －1)2＝2，且(S 1－1)2＝1，∴ {(S n －1)2}是首项为1，公差为2的等差数列，∴ S n ＝1＋2n －1．(2) ① n ＝1时，S 1＝1＋1＝2＝b 1，n ＝5时，S 5＝1＋3＝4＝b 2，n ＝13时，S 13＝1＋5＝6＝b 3．② ∵ 2n －1是奇数，S n ＝1＋2n －1为有理数，则2n －1＝2k －1，∴ n ＝2k 2－2k ＋1，当k ＝20时，n ＝761；当k ＝21时，n ＝841；∴ 存在N ∈[761，840]，当n ≤N 时，使得在{S n }中，数列{b k }有且只有20项．三、【能力提升】1． 设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．答案：33解析：设a 2＝t ，则1≤t ≤q ≤t ＋1≤q 2≤t ＋2≤q 3，由于t ≥1，所以q ≥max{t ，t ＋1，3t ＋2}，故q的最小值是33．2． 已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n 、a n ＋1是函数f(x)＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10＝________． 答案：64解析：依题意有a n a n ＋1＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2×24＝32，a 11＝1×25＝32，又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64．3． 在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，当n ≥2时，a n ＋1是a n ·a n －1的个位数，则a 2 010＝________． 答案：4解析：由题意得，a 3＝a 1·a 2＝6，定义f(x)＝x 的个位数，则a 4＝f(a 3·a 2)＝8，依此类推，a 5＝8，a 6＝4，a 7＝2，a 8＝8，a 9＝6，a 10＝8，到此为止，看出一个周期，a 9＝a 3，a 10＝a 4，周期为6，因为前2项不符合周期，所以2 010－2＝2 008，2 008＝6×334＋4，所以a 2 010＝a 6＝4．4．已知数列a n ＝n －16，b n ＝(－1)n |n －15|，其中n ∈N *．(1) 求满足a n ＋1＝|b n |的所有正整数n 的集合；(2) 若n ≠16，求数列b n a n的最大值和最小值． 解：(1) a n ＋1＝|b n |，n －15＝|n －15|．当n ≥15时，a n ＋1＝|b n |恒成立；当n<15时，n －15＝－(n －15)，n ＝15(舍去)．∴ n 的集合为{n|n ≥15，n ∈N *}．(2) b n a n ＝（－1）n |n －15|n －16．(ⅰ) 当n>16时，n 取偶数时，b n a n ＝n －15n －16＝1＋1n －16， 当n ＝18时，⎝⎛⎭⎫b n a n max＝32，无最小值； n 取奇数时，b n a n ＝－1－1n －16， n ＝17时，⎝⎛⎭⎫b n a n min＝－2，无最大值． (ⅱ) 当n<16时，b n a n ＝（－1）n （n －15）n －16． 当n 为偶数时，b n a n ＝－（n －15）n －16＝－1－1n －16． n ＝14时，⎝⎛⎭⎫b n a n max＝－12，⎝⎛⎭⎫b n a n min ＝－1314； 当n 为奇数时，b n a n ＝n －15n －16＝1＋1n －16， n ＝1时，⎝⎛⎭⎫b n a n max＝1－115＝1415， n ＝15时，⎝⎛⎭⎫b n a n min＝0． 综上，b n a n 最大值为32(n ＝18)，最小值－2(n ＝17)．5． 已知数列{a n }满足a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2(n ∈N *)．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 对任意给定的k ∈N *，是否存在p ，r ∈N *(k<p<r)使1a k ，1a p ，1a r成等差数列？若存在，用k 分别表示p 和r(只要写出一组)；若不存在，请说明理由．解：(1) 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2，n ∈N *时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2，所以a n ＝n 2－(n －1)2＝2n －1；综上所述，a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2) 当k ＝1时，若存在p ，r 使1a k ，1a p ，1a r 成等差数列，则1a r ＝2a p －1a k ＝3－2p 2p －1．因为p ≥2，所以a r <0与数列{a n }为正数相矛盾，因此，当k ＝1时不存在；当k ≥2时，设a k ＝x ，a p ＝y ，a r ＝z ，则1x ＋1z ＝2y ，所以z ＝xy 2x －y．令y ＝2x －1，得z ＝xy ＝x(2x －1)，此时a k ＝x ＝2k －1，a p ＝y ＝2x －1＝2(2k －1)－1，所以p ＝2k －1，a r ＝z ＝(2k －1)(4k －3)＝2(4k 2－5k ＋2)－1，所以r ＝4k 2－5k ＋2．综上所述，当k ＝1时，不存在p ，r ；当k ≥2时，存在p ＝2k －1，r ＝4k 2－5k ＋2满足题设．数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目需对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟他在解题中的重大作用，常用的数学思想方法有：函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化等．。