大学物理基础教程答案2-2热-2

11
解 实验装置 A S S’ B C P B C l ϕ
l ϕ Qt = = v ω
lω ∴v = ϕ
（1）因实验中所接收的分子只是在这一特定方向上的分子， 因实验中所接收的分子只是在这一特定方向上的分子， 有多大,最速度v 有多大, 不管能量Ei有多大,最速度vi有多大,只要分子质心速度方向有 一点偏离,就不能测量到它，所测量到的不是分子一维速度v 一点偏离,就不能测量到它，所测量到的不是分子一维速度vix 分布律，而是速率v的分布律； 分布律，而是速率v的分布律；也可说是分子平动能量的分布 律。 同理是速率v （2）同理是速率v的分布律 12
∆N 4 e ∴ = f (u)du = N πup
−(
u 2 ) up
u 2 4 −1 ( ) 0.01up = e 0.01 = 0.83% up π
8
的温度为300 300度 求速度大小在3000 3000米 秒到3010 3010米 2-11 设H2的温度为300度，求速度大小在3000米/秒到3010米/秒 之间的分子数△ +102 之间的分子数△Ｎ１与速度大小在up 到up+102米/秒之间的分 子数△ 之比。 子数△N2之比。 解：∵
4πA 1 3 3N (2)Q∫ f (u)du = ∫ 4πAu du N =1 即 uF = 1 ∴A = 3 0 0 N 3 4πuF 4πAu2 3u4 du = 3 du (3)Qf (u)du = N uF 0 uF uF 3 3 2 1 2 3 2 2 4 Q u = ∫ u f (u)du = ∫ 3 u du = uF ∴ εk = mu =7 εF 0 0 u 5 2 5 F
若一宇宙飞船的体积V=27 V=27米 舱内压力p =1大气压 大气压, 2-12 若一宇宙飞船的体积V=27米3,舱内压力p0=1大气压,温度取 秒相应的值, 与 v = 300 米/秒相应的值,在飞行中被一陨石击中而在壁上形 成一面积为1立方厘米的小孔,以致舱内空气逸出, 成一面积为1立方厘米的小孔,以致舱内空气逸出,问经多久舱内 设温度不变. 压力将降到 p = 1 p 0 ?设温度不变.
2-14处在热平衡态中的气体分子 由于频繁碰撞 分子沿 方向的分 14处在热平衡态中的气体分子,由于频繁碰撞 分子沿x方向的分 处在热平衡态中的气体分子 由于频繁碰撞,分子沿 速度v 随机取值,但气体分子数沿 的分布与伽耳顿板中小球按x的 但气体分子数沿v 速度 x 随机取值 但气体分子数沿 x的分布与伽耳顿板中小球按 的 1 1 2 mvx = kT 试推得 分布一样,具有高斯分布 具有高斯分布.又由能均分定理知 分布一样 具有高斯分布 又由能均分定理知 2 2 气体分子按速度分量vx的分布率是 气体分子按速度分量
第二章
热平衡态的统计规律简介 热平衡态的统计规律简介
一氦氖气激光管， 2-1 一氦氖气激光管，工作时管内的温度是 270C ，压力是 2.4毫米汞高 氦气与氖气的压强比是7:1 毫米汞高， 7:1， 2.4毫米汞高，氦气与氖气的压强比是7:1，问管内氦气和氖气的 分子数密度各是多少？ 分子数密度各是多少？ 解：
0
∫
∞
∫
V
0
k du = 1 N
N ∴k = V
f (u)
V2 N V V k ∞ = Qu = ∫ uf (u) ⋅ du = ∫ u du ∴u = 0 0 2N V 2 N V ∞ 2 2 2 k V3 N V Qu = ∫ u f (u) ⋅ du = ∫ u du ∴ u2 = = 0 0 N 3N V 3
µg z RT
µ = 29x10
−3
p µg ) = 1957(m) ∴z = ln( ) /(− p0 RT
QP = P e 0
−
)
3
我国的拉萨市海拔约为3600 3600米 设大气温度处处相同（ 2-6 我国的拉萨市海拔约为3600米,设大气温度处处相同（1）当 海平面上的压力为1大气压时,求拉萨的气压。（温度按27 。（温度按 海平面上的压力为1大气压时,求拉萨的气压。（温度按270C计） 若某人在海平面上每分钟呼吸17 17次 （2）若某人在海平面上每分钟呼吸17次，问他在拉萨应呼吸多 少次，才能吸入同样质量的空气？ 少次，才能吸入同样质量的空气？ 解:(1)
∞ uF 2
2-10 求速率 up~ up+0.01 up 在之间的分子数占总分子数的 百分比? 百分比? u 解
dN Qf (u) = = N⋅ du
p 2 ) up 2 −( 4 u e ( ) u πup
Q∆u = 0.01up
∆u = du
速率up~ up+0.01 up 在之间的分子数占总分子数的百分比： 在之间的分子数占总分子数的百分比：
解：
Q2H2O = 2H2 + O2
所以， 摩尔的水分解成2摩尔的氢和1 所以，2摩尔的水分解成2摩尔的氢和1摩尔的氧气
i 6 5 QU = νRT ∴UH2O = × 2× RT ∴UH2 = × 2× RT 2 2 2 5 (UH + UO ) − UH O 15 − 12 ∴UO2 = ×1× RT ∴ = = 25 0 0 2 UH O 12
P = P0e
µg − z RT
= P0e
29×10−3 ×9.8×3600 − 8.31×300 = 0.66 P
0
= 0.66 atm
M RT （2） p1V = p2V2 = 1 µ 17V0p0 ∴V = = 26V0 p
Qf (u) = dN N⋅ du
∴ p0 (17V0 ) = pV
26次/分 26次
4πA 2 u du dN = N N 0
(0 ≤ u ≤ uF ) (u > uF )
o
u
uF
(1)画出分布函数图;(2)用 定常数A;(3) A;(3)求电子气的平均动能 (1)画出分布函数图;(2)用N,uF定常数A;(3)求电子气的平均动能 画出分布函数图;(2) :(1)f(u)如右图 解:(1)f(u)如右图
e
时刻舱内压强为p,舱外真空 解:t时刻舱内压强为 舱外真空 时刻舱内压强为
nv dt 时,舱内净减分子数 − dN = 舱内净减分子数 ⋅ s ⋅ dt 4 又因为 p = nkT n = N V dN nv kT = − kTsdt ∴ dp = dnkT = V 4V 1 dp vs vs t 得: p dp dt ⇒ ∫ =− =− ∫0 dt p p 4V p 4V
0 0
1 sv ln = − t e 4V
4V ∴t = = 1(h ) sv
10
2-13
欲验证麦克斯韦分布律和波耳兹曼分布律是否正确， 欲验证麦克斯韦分布律和波耳兹曼分布律是否正确，一
种间接的方法是分析化学反应速率和温度的关系； 种间接的方法是分析化学反应速率和温度的关系；一种比较直接 的证明是如图所示的实验， 是气源，装有实验的气体， 的证明是如图所示的实验，A是气源，装有实验的气体，S和S’是 是 准直的狭缝，与气源所开细孔准确无误的成一直线， 准直的狭缝，与气源所开细孔准确无误的成一直线，B和C是两个 开有细槽、 的同轴圆盘， 开有细槽、并相差一个角度ϕ的同轴圆盘，可以绕同一轴以匀角 速度ω 转动，轴线平行于分子束线；P是探测器，改变ω 可以 转动，轴线平行于分子束线； 是探测器， 定性比较在不同微观量间隔中的相对分子数。试问： 定性比较在不同微观量间隔中的相对分子数。试问：（1）若P测 量能量，这能量是一维空间能量，还是三维空间能量？ 量能量，这能量是一维空间能量，还是三维空间能量？是否是平 动动能能量？或者实验曲线对应什么分布更确切？（2 动动能能量？或者实验曲线对应什么分布更确切？（2）若P所测 ？（ 为速度大小，实验结果给出的是速度分布，还是速率分布？ 为速度大小，实验结果给出的是速度分布，还是速率分布？
Q内能:
Qν = 0.1
3 12 E = ∆U = ν R∆T = 10 (ev) 2
2E ∴∆T = = 1.28×10−7 k 3νR
2
2.0克的氢气装在容积为20升的容器内 克的氢气装在容积为20升的容器内, 2-4 2.0克的氢气装在容积为20升的容器内,当容器内的压力为 帕时,氢分子的平均平动动能是多少？总内能是多少？ 1.20x105 帕时,氢分子的平均平动动能是多少？总内能是多少？ 解： QT = µpv 288.8k
试说明下列各函数式的物理意义（ 2-7 试说明下列各函数式的物理意义（f(u)是麦克斯韦速率分 布函数） 布函数）
(1)
为平衡态下的气体分子出现在u 附近单位速率间隔中的几率或者 附近单位速率间隔中的分子数占总分子数的比率。 说其速率在u附近单位速率间隔中的分子数占总分子数的比率4。
dN (2) f (u)du = N 为平衡态下的气体分子出现在速率u 附近du速率间隔中分子数 占总分子数的百分比。 占总分子数的百分比。 (3)Nf (u)du = dN 为平衡态下的气体分子出现在速率u 附近du速率间隔中分子数。 速率间隔中分子数。
Qp1 + p2 = p
p1 7 = =7 p2 1
p 2.4 ) ∴ p2 = = = 0.3(mmHg 8 8
p1 = 2.1(m Hg ) m
∴
p1 = n1KT
p1 22 −3 n1 = = 6.76×10 (m ) KT
21 −3
p2 = n2KT
∴ n2 = 9.66×10 (m )
水蒸气分解成同温度的氢气和氧气，内能增加百分之几？ 2-2 水蒸气分解成同温度的氢气和氧气，内能增加百分之几？ 1 不计分子的振动自由度） （不计分子的振动自由度）
∆u很小
u ∆u ≈ d
3 2 mu2 − 2KT
π ∆N ≈ dN = N4π( ) e 2πKT
u2du
∆N1 e u ∴ = =e 2 m u ∆N2 − 2 2KT e up
2
2
m 2 u − 2KT
−
u2 −up2 up2
u 2 ⋅( ) up
∆N1 = 0.78 ∆N2 9
2KT 2RT 2× 8.31×573 up = = = = 4.76×106 (m2 ) m µ 2×10−3
2 2 2 2
一能量为10 电子伏特（ 电子伏特=1.602 =1.602× 焦耳） 2-3 一能量为1012电子伏特（1电子伏特=1.602×10-10焦耳）的宇 宙射线粒子射入一氖管中，氖管中含有氖气0.1摩尔， 0.1摩尔 宙射线粒子射入一氖管中，氖管中含有氖气0.1摩尔，如果宇宙 射线粒子的能量全部氖分子所吸收，问氖气温度将升高多少度？ 射线粒子的能量全部氖分子所吸收，问氖气温度将升高多少度？ 解：
∫ uf (u)du =
u2
u1
Fra Baidu bibliotek
udN N
5
无明确的物理意义。
(7)∫ Nuf (u)du = ∫ udN
u1 u1
u2
u2
为平衡态下分子速率在u 1到u2 区间的所有分子速率之和。 区间的所有分子速率之和。 个粒子系统的速率在u _u+du内的分子数为： +du内的分子数为 2-8 设N个粒子系统的速率在u _u+du内的分子数为： dNu=Kdu (0≤u ≤ v) dNu=0 (u ≥ v ) (1)画出速率分布函数图 (2)用 画出速率分布函数图； (3)用 (1)画出速率分布函数图；(2)用N和V定出常数k (3)用V表示速 率平均值 v 和方均根速率 u2 解：Q f (u) ⋅ du =
MR
3 ∴εk = kT = 5.98×10−21 J 2
M5 5 3 U= RT = 6.0×10 J = pV µ 2 2
2-5 飞机在起飞前舱中的压力机指示位1.0大气压，温度为 飞机在起飞前舱中的压力机指示位1.0大气压， 1.0大气压 起飞后,压力计指示位0.80大气压， 0.80大气压 27 0C ；起飞后,压力计指示位0.80大气压，温度仍为 ，试计算飞机距离地面的高度(空气的摩尔质量千克/摩尔) 试计算飞机距离地面的高度(空气的摩尔质量千克/摩尔) 。 解：
dN (4) ∫ f (u)du = ∫ u1 u1 N
u2 u2
为平衡态下分子速率在u 1到u2 速率间隔中分子数占总分子数的 百分比。 百分比。
(5)∫ Nf (u)du = ∫ dN
u1 u1 u2 u2
为平衡态下分子速率在u 1到u2 速率间隔中的分子数。 速率间隔中的分子数。
(6)∫
u2 u1
u
V
6
导体中自由电子的运动,可看作类似于气体分子的运动（ 2-9 导体中自由电子的运动,可看作类似于气体分子的运动（故 称电子气）设导体中共有N个自由电子其中电子的最大速率为u 称电子气）设导体中共有N个自由电子其中电子的最大速率为uF （称为费米速率）电子在u+du之间的几率. 称为费米速率）电子在u+du之间的几率. u+du之间的几率 f (u) (u > uF )