对数函数题型归纳总结
专题：对数函数知识点总结及类型题归纳
专题：对数函数知识点总结及类型题归纳专题：对数函数知识点总结专题应用练习一、求下列函数的定义域（1）0.2log (4);y x =-；（2）log 1ay x =- (0,1).a a >≠；（3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）2log (43)y x =- (5) y=lg 11-x (6) y=x 3log 1.y=log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ 2.y=)8lg(2x - 的定义域是_______________3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________4.函数y=13log (21)x -的定义域是5.函数y ＝log 2(32－4x )的定义域是，值域是 .6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________7.求函数2log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。
8.求下列函数的定义域、值域：（1）2log (3)y x =+；（2）22log (3)y x =-；（3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）．9.函数f （x ）=x1ln （432322+--++-x x x x ）定义域10.设f(x)=lgx x -+22,则f )2()2(xf x +的定义域为 11.函数f(x)=)1(log 1|2|2---x x 的定义域为 12.函数f(x)=229)2(1x x x g --的定义域为；13.函数f （x ）=x1ln （432322+--++-x x x x ）的定义域为14222loglog log y x =的定义域是1. 设f (x )＝lg(ax 2－2x ＋a ),(1) 如果f (x )的定义域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值范围； (2) 如果f (x )的值域是(－∞, ＋∞)，求 a 的取值范围．15.已知函数)32(log )(221+-=ax x x f（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围（2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围（3）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞Y ，求实数a 的值；（4）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值.16.若函数()2x y f =的定义域为[]1,0-，则函数()2log y f x =的定义域为 17.已知函数f(2x）的定义域是［-1，1］，求f(log 2x)的定义域.18若函数y=lg(4-a ·2x)的定义域为R ，则实数a 的取值范围为19已知x 满足不等式06log 7)(log 222≤++x x ，函数=)(x f )2(log )4(log 42x x ?的值域是 20求函数1log )(log 21221+-=x x y (14)x ≤≤的值域。
对数函数考点与题型归纳
对数函数考点与题型归纳一、基础知识1．对数函数的概念函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).y＝log a x的3个特征(1)底数a>0，且a≠1；(2)自变量x>0；(3)函数值域为R.2．对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象与性质底数a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)，即恒有log a1＝0当x>1时，恒有y>0；当0<x<1时，恒有y<0当x>1时，恒有y<0；当0<x<1时，恒有y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数注意当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a,<1两种情况进行讨论.3．反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．二、常用结论对数函数图象的特点(1)对数函数的图象恒过点(1,0)，(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象．(2)函数y ＝log a x 与y ＝log 1ax (a >0，且a ≠1)的图象关于x 轴对称．(3)当a >1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a <1时，对数函数的图象呈下降趋势．考点一 对数函数的图象及应用[典例] (1)函数y ＝lg|x －1|的图象是( )(2)已知当0<x ≤14时，有x <log a x ，则实数a 的取值范围为________．[解析] (1)因为y ＝lg|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x －1)，x >1，lg (1－x )，x <1.当x ＝1时，函数无意义，故排除B 、D. 又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意．(2)若x <log a x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，14时成立，则0<a <1，且y ＝x 的图象在y ＝log a x 图象的下方，作出图象如图所示．由图象知14<log a 14， 所以⎩⎨⎧0<a <1，a 12>14，解得116<a <1.即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫116，1. [答案] (1)A (2)⎝⎛⎭⎫116，1 [变透练清]1.[变条件]若本例(1)函数变为f (x )＝2log 4(1－x )，则函数f (x )的大致图象是( )解析：选C 函数f (x )＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；函数f (x )＝2log 4(1－x )在定义域上单调递减，排除D.故选C.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a ＞1.答案：(1，＋∞)3.[变条件]若本例(2)变为不等式x 2<log a x (a >0，且a ≠1)对x ∈⎝⎛⎭⎫0，12恒成立，求实数a 的取值范围．解：设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x ) ＝x 2在⎝⎛⎭⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，12上恒成立，需f 1⎝⎛⎭⎫12≤f 2⎝⎛⎭⎫12， 所以有⎝⎛⎭⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1. 即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫116，1.考点二 对数函数的性质及应用考法(一) 比较对数值的大小[典例] (2018·天津高考)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b[解析] 因为c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a ，所以c ＞a .因为b ＝ln 2＝1log 2e ＜1＜log 2e ＝a ，所以a ＞b .所以c ＞a ＞b . [答案] D考法(二) 解简单对数不等式[典例] 已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值范围是________．[解析] 原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <1，2x 2＋1>3x >1①或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x 2＋1<3x <1②，解不等式组①得13<x <12，不等式组②无解，所以实数x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，12.[答案] ⎝⎛⎭⎫13，12考法(三) 对数型函数性质的综合问题[典例] 已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)，若f (1)＝1，求f (x )的单调区间． [解] 因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1， 因此a ＋5＝4，a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3>0，得－1<x <3， 函数f (x )的定义域为(－1,3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．[题组训练]1．已知a ＝2-13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a解析：选C 0<a ＝2-13<20＝1，b ＝log 213<log 21＝0，c ＝log 1213＝log 23>1，∴c >a >b .2．若定义在区间(－1,0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(0，＋∞)解析：选A ∵－1<x <0，∴0<x ＋1<1.又∵f (x )>0，∴0<2a <1，∴0<a <12.3．已知a >0，若函数f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是________． 解析：要使f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3,4]上单调递增，则y ＝ax 2－x 在[3,4]上单调递增，且y ＝ax 2－x >0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤3，9a －3>0，解得a >13.答案：⎝⎛⎭⎫13，＋∞[课时跟踪检测]A 级1．函数y ＝log 3(2x －1)＋1的定义域是( ) A ．[1,2] B ．[1,2) C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞D.⎝⎛⎭⎫23，＋∞解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧log 3(2x －1)＋1≥0，2x －1＞0，即⎩⎨⎧log 3(2x －1)≥log 313，x ＞12，解得x ≥23.2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )A ．log2x B.12xC ．log 12xD ．2x －2解析：选A 由题意知f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)． ∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x . 3．如果log 12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x解析：选D ∵log 12x <log 12y <log 121，∴x >y >1.4．(2019·海南三市联考)函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >0，且a ≠1)的大致图象是( )解析：选C 函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的定义域为{x |x >－1}，且对任意的x ，均有f (x )≥0，结合对数函数的图象可知选C.5．(2018·惠州调研)若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b >c >a B ．b >a >c C ．c >a >bD ．a >b >c解析：选D 依题意，得a >1,0<b ＝log π3<log ππ＝1，而由0<sin 2π5<1,2>1，得c <0，故a >b >c .6．设函数f (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)>f (2)B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定解析：选A 由已知得0<a <1，所以1<a ＋1<2，又易知函数f (x )为偶函数，故可以判断f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (2)．7．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P .若点P 也在幂函数f (x )的图象上，则f (x )＝________.解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P (2，2)，则2α＝2，所以α＝12，故幂函数为f (x )＝x 12.答案：x 128．已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则log b a ＝________.解析：f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)． 则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0， 且f (0)＝log a (0＋b )＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b －1＝1，b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2.所以log b a ＝1.答案：19．(2019·武汉调研)函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)(a >1)的单调递增区间是________． 解析：由函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)，得x 2－4x －5>0，得x <－1或x >5.令m (x )＝x 2－4x －5，则m (x )＝(x －2)2－9，m (x )在[2，＋∞)上单调递增，又由a >1及复合函数的单调性可知函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)．答案：(5，＋∞)10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12(－x )，x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________________．解析：由f (a )＞f (－a )得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞log 12a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12(－a )＞log 2(－a )，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2(－a )＞log 2(－a ).解得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案：(－1,0)∪(1，＋∞)11．求函数f (x )＝log 2x ·log2(2x )的最小值．解：显然x >0，∴f (x )＝log 2x ·log2(2x )＝12log 2x ·log 2(4x 2)＝12log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当x ＝22时，有f (x )min ＝－14. 12．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值． 解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，且a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. B 级1．已知函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)满足f ⎝⎛⎭⎫2a >f ⎝⎛⎭⎫3a ，则f ⎝⎛⎭⎫1－1x >0的解集为( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选C 因为函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而2a <3a 且f ⎝⎛⎭⎫2a >f ⎝⎛⎭⎫3a ，所以f (x )＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，即0<a <1，结合对数函数的图象与性质可由f ⎝⎛⎭⎫1－1x >0，得0<1－1x<1，所以x >1，故选C. 2．若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a >0，且a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________．解析：令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎫x ＋342－916， 因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞. 又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞)3．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数， 所以f (x )＝f (－x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12(－x )，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．。
专题：对数函数知识点总结及类型题归纳
专题：对数函数知识点总结1.对数函数的定义：一般地，函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为思考：函数log a y x =与函数xy a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系？___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。
|一般的,函数y=a x与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1(x)如:f(x)=2x ,则f -1(x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关于直线y=x 对称函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称专题应用练习一、求下列函数的定义域（1）0.2log (4);y x =-； （2）log ay =(0,1).a a >≠；（3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）y =？(5) y=lg11-x (6) y=x 3log=log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________4.函数的定义域是5.函数y ＝log 2(32－4x)的定义域是 ，值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________{7.求函数2log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。
8.求下列函数的定义域、值域：（1）2log (3)y x =+； （2）22log (3)y x =-； （3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）．9.函数f （x ）=x1ln （432322+--++-x x x x ）定义域10.设f(x)=lgx x -+22,则f )2()2(xf x +的定义域为11.函数f(x)=)1(log 1|2|2---x x 的定义域为12.函数f(x)=229)2(1x x x g --的定义域为 ；`13.函数f （x ）=x1ln （432322+--++-x x x x ）的定义域为14222loglog log y x =的定义域是1. 设f (x )＝lg(ax 2－2x ＋a ),(1) 如果f (x )的定义域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值范围； (2) 如果f (x )的值域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值范围． 15.已知函数)32(log )(221+-=ax x x f（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围、（2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围（3）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ，求实数a 的值； （4）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值.16.若函数()2x y f =的定义域为[]1,0-，则函数()2log y f x =的定义域为 17.已知函数f(2x）的定义域是［-1，1］，求f(log 2x)的定义域.18若函数y=lg(4-a ·2x)的定义域为R ，则实数a 的取值范围为19已知x 满足不等式06log 7)(log 222≤++x x ，函数=)(x f )2(log )4(log 42x x •的值域是'20求函数1log )(log 21221+-=x x y (14)x ≤≤的值域。
对数函数中考题型大汇总
对数函数中考题型大汇总简介对数函数是高中数学中的重要内容，也是考试中经常涉及的题型之一。
本文将对常见的对数函数考题进行分类和总结，帮助学生更好地理解和应对这一考试内容。
题型一：对数函数的定义和性质这类题目主要考察对数函数的基本定义和性质的理解。
常见问题包括：- 对数函数的定义公式是什么？- 对数函数的定义域和值域有什么特点？- 对数函数的图象有什么特点？题型二：对数函数的运算这类题目主要考察对数函数的运算技巧。
常见问题包括：- 如何计算对数函数的乘积、商、幂？- 如何化简包含对数函数的复杂表达式？- 如何求解包含对数函数的方程？题型三：对数函数的应用这类题目主要考察对数函数在实际问题中的应用。
常见问题包括：- 如何利用对数函数解决指数增长和衰减问题？- 如何利用对数函数解决复利计算问题？- 如何利用对数函数解决指数函数图象的性质问题？题型四：对数函数的图象分析这类题目主要考察对数函数图象的分析能力。
常见问题包括：- 如何判断对数函数的增减性和奇偶性？- 如何求对数函数的反函数？- 如何利用对数函数的图象求解方程和不等式？题型五：对数函数与其他函数的关系这类题目主要考察对数函数与其他函数之间的关系。
常见问题包括：- 如何求对数函数和指数函数的复合函数？- 如何求对数函数和幂函数的复合函数？- 如何求对数函数和三角函数的复合函数？结论对数函数的考题主要包括对数函数的定义和性质、对数函数的运算、对数函数的应用、对数函数的图象分析以及对数函数与其他函数的关系等方面。
熟练掌握这些题型，对于学生来说非常重要。
4.3.1对数函数的概念常见题型(解析版)
4.3.1对数函数的概念常见题型题型一：对数函数的概念1．下列函数中，与y x =相等的为（ ）A ．2x y x = B．2y = C ．lg10x y = D．y =2．若函数()2()log 45a f x x a a =+--是对数函数，则=a .【答案】5【分析】根据对数函数的定义即可求解.【详解】解：根据对数函数的定义有245001a a a a ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩，解得5a =，故答案为：5．3．设f （x ）＝ln2a x x -+为奇函数，则a ＝_____.题型二：判断函数是否为对数函数1．下列函数是对数函数的是（ ）A ．()log 2a y x =B ．lg10x y =C ．()2log a y x x =+D ．ln y x = 【答案】D【分析】根据对数函数的概念即得.【详解】因为函数log a y x =(0a >且1a ≠)为对数函数，所以ABC 均为对数型复合函数，而D 是底数为自然常数的对数函数.故选：D.2．给出下列函数：（1）log y x π=；（2）log e y x =；（3）10log y x =；（4）log a y e x =⋅；（5）22log y x =；（6）()2log 1y x =+．其中是对数函数的是______．（将符合的序号全填上） 【答案】（1）（2）（3）【分析】根据对数函数的定义判断．【详解】（4）的系数不是1，（5）的真数不是x ，（6）的真数不是x ．故答案为：（1）（2）（3）．题型三：对数函数的解析式1．若函数()()2log a f x x =+的图象过点()2,0-，则=a （ ）A ．3B ．1C ．-1D ．-3 【答案】A【分析】因为函数图象过一点，代入该点的坐标解方程即得解.【详解】解：由已知得()()22log 20f a -=-+=，所以21a -+=，解得：3a =， 故选：A ．2．已知()f x 为对数函数，122f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则f =______．3．若对数函数log (0a y x a =>且1a ≠）的图象经过点(4,2)，则实数=a ______.【答案】2【分析】直接将点代入计算即可.【详解】将点(4,2)代入log a y x =得2log 4a =，解得2a =故答案为：2.题型四：对数函数的定义域1．函数()20225log 13y x x =+--的定义域为（ ） A ．()(),33,-∞+∞ B ．()()1,33,⋃+∞ C ．()1,+∞D ．()3,+∞2．已知函数()y f x =的定义域为[1,2]-，则函数()2log y f x =的定义域是（ ）A ．[]1,2B ．[]0,4C ．(]0,4D ．1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．函数()()lg 2f x x =-定义域为_________． 【答案】()2,+∞【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.【详解】依题意21020x x -≥⎧⎨->⎩，解得2x >， 所以()f x 的定义域为()2,+∞.故答案为：()2,+∞4．已知函数()()ln 2f x x =-，则函数()()()210g x f x f x =-+-的定义域为_________ 【答案】()4,8【分析】首先根据对数函数的真数大于0求出()f x 的定义域，再根据抽象函数的定义域计算规则求出()g x 的定义域.【详解】解：因为()()ln 2f x x =-，所以20x ->，解得2x >，即()f x 的定义域为()2,+∞，对于()()()210g x f x f x =-+-，则22102x x ->⎧⎨->⎩，解得48x ，所以()()()210g x f x f x =-+-的定义域为()4,8.故答案为：()4,8 题型五：求反函数1．与函数14x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于直线y x =对称的函数是（ ） A ．4x y =B ．4x y -=C ．14log y x =D ．4log y x =【答案】C【分析】利用函数x y a =与log a y x =（0a >且1a ≠）互为反函数可得出结果.2．函数2()log (1)f x x x =≥的反函数为______. 【答案】()()20x f x x =≥ 【分析】根据反函数的定义结合指、对数之间的转化运算求解，注意函数的定义域.【详解】对于2log (1)y x x =≥，则2,0y x y =≥，故函数2()log (1)f x x x =≥的反函数为()()20x f x x =≥.故答案为：()()20x f x x =≥. 3．函数1()1f x x =-的反函数1()f x -=___________．4．若函数y =f （x ）是函数y =2x 的反函数，则f （2）=______.【答案】1【分析】根据反函数的定义即可求解.【详解】由题知y ＝f (x )＝2log x ，∴f (2)＝1.故答案为：1.题型6：反函数性质的应用1．设函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =对称，(2)(4)1f f +=，则=a （ ） A ．1-B ．1C ．2D ．4【答案】B【分析】利用反函数的知识列方程，化简求得a 的值.【详解】依题意函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =对称， 221x a x a +=⇒=-，422x a x a +=⇒=-，由于(2)(4)1f f +=，所以1211a a a -+-=⇒=.故选：B2．已知()2x f x b =+的反函数为1()f x -，若1()y f x -=的图像经过点(5,2)Q ，则b =_____________．【答案】1【分析】利用原函数与反函数的关系直接求得.【详解】因为1()y f x -=的图像经过点(5,2)Q ，所以点()2,5落在函数()2x f x b =+的图像上，代入得：2(2)25f b =+=，解得：1b =.故答案为：13．若函数2()3log ()=-+f x x a 的反函数的图象经过点(1,0)，则=a __________．【答案】4【分析】由反函数所过点求得()f x 图象所过点，由此求得a 的值.【详解】依题意函数2()3log ()=-+f x x a 的反函数的图象经过点(1,0)， 所以()f x 的图象经过点()0,1，所以()2203log 1,log 2,4f a a a =-===故答案为：4。
对数与对数函数知识点及题型归纳总结
对数与对数函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、对数概念(0)log (01)x a a N N n N a a =>⇔=>≠且，叫做以a 为底N 的对数.注：①0N >，负数和零没有对数；②log 10,log 1a a a ==； ③10lg log ,ln log e N N N N ==. 二、对数的运算性质(1)log ()log log (,);(2)log log log (,);(3)log log ();log (4)log (01,0,01)log a a a a a a n a a c a c MN M N M N R M M N M N R N M n M M R bb a a bc c a+++=+∈⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭=∈=>≠>>≠且且（换底公式）特殊地1log (,01,1)log a b b a b a b a=>≠≠且； log (5)log log (,0,0,1,)(6)(0,01)(6)log (,01).m a n a a NN a nb b a b m a n R ma N N a a a N N R a a =>≠≠∈=>>≠=∈>≠；且；且化常数为指数、对数值常用这两个恒等式.三、对数函数（1）一般地，形如log (01)a y x a a =>≠且的函数叫对数函数. （2）对数函数log (01)a y x a a =>≠且的图像和性质，如表2-7所示.log a y x =1a > 1a <图像题型归纳及思路提示题型1 对数运算及对数方程、对数不等式 思路提示对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正. 一、对数运算例2.56552log 10log 0.25+=（ ）.0A.1B.2C.4D分析log log log log log ().n m n ma a a a a n x m y x y x y +=+=解析225555552log 10log 0.25log 10log 0.25log (1000.25)log 52+=+=⨯==故选C .评注熟记对数的各种运算性质是求解本类问题的前提. 变式1 已知,x y 为正实数，则（ ）lg lg lg lg .222x y x y A +=+lg()lg lg .222x y x y B +=⋅ lg lg lg lg .222x y x y C ⋅=+lg()lg lg .222xy x y D =⋅变式2 22(lg 2)lg 4lg5(lg5)+⋅+= ________.. 变式3 222lg5lg8lg5lg 20(lg 2)3++⋅+= ________.. 例2.57274log 81log 8+=________. .解析324327342324433log 81log 3log 3,log 8log 2log 2.3322====== 所以原式4317.326=+= 变式1 = ________.. 例2.58 lg30lg0.515()3⨯= ________.. 分析(,0)log log .c c a b a b a b =>⇒= 解析lg30lg0.515(),3x ⨯=则()lg0.5lg30lg0.5lg30111lg lg 5()lg 5lg lg30lg5lg 0.5lg 333x ⎡⎤⎛⎫=⨯=+=⋅+⋅ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭(lg30lg3)lg5(lg5lg10)(lg1lg3)lg5lg3lg5lg 3lg5lg3=+⋅+--=+⋅-⋅+lg15=所以15x = 二、对数方程例2.59解下列方程：22111(1)(lg lg3)lg5lg(10);22(2)log (231) 1.x x x x x --=---+= 分析利用对数的运算性质化简后求解. 解析（1）11(lg lg3)lg5lg(10)22x x -=--，首先方程中的x 应满足10x >，原方程可变形为lg lg32lg5lg(10)x x -=--，即25lg lg310x x =-，得25310x x =-，从而15x =或5x =-（舍），经检验，15x =是原方程的解.（2）221log (231)1x x x --+=，222210112311x x x x x ⎧->-≠⎪⇔⎨-+=-⎪⎩且，解得2x =. 经检验2x =是方程的解.评注解对数方程一定要注意对数方程成立条件下x 的取值范围，是检验求出的解是否为增根的主要依据.变式1 函数2()log (41).xf x ax =+-（1）若函数()f x 是R 上的偶函数，求实数a 的值； （2）若4a =，求函数()f x 的零点.三、对数不等式例2.60设01a <<，函数()2()log 22x x a f x a a =--，则使()0f x <的x 的取值范围是（）.(,0)A -∞.(0,)B +∞.(,log 3)a C -∞.(log 3,)a D +∞分析先将对数不等式化为同底的形式，再利用单调性转化为指数不等式求解.解析()2()log 220log 1x x a a f x a a =--<=，又01a <<，函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，得22221230(3)(1)0x x x x x x a a a a a a -->-->⇒-+>即，因为10x a +>，故3x a >，又01a <<，所以log 3.a x <故选.C变式1 已知函数()f x 为R 上的偶函数，且在[]0,+∞上为增函数，103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式13log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为 .例2.61设2554log 4,(log 3),log 5,a b c ===则（ ）.Aa c b <<.Bb c a << .C a b c <<.Db a c <<分析利用对数函数的单调性来比较对数的大小，通常借助0和1作为分界点. 解析因为5log y x =在(0,)+∞上单调递增，所以25545554log 3log 41,log 51(log 3)log 3log 41log 5b a c <<>⇒<<<<⇒<<且故选D .变式1 设2lg ,(lg ),a e b e c === ）.Aa b c >> .B a c b >> .C c a b >>.Dc b a >>变式2 设324log 0.3log 3.4log 3.615,5,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）.Aa b c >> .Bb a c >> .C a c b >>.Dc a b >>变式4 （2012大纲全国理9）已知125ln ,log 2,x y z eπ-===，则（）.A x y z << .B z x y << .C z y x <<.D y z x <<题型2 对数函数的图像与性质思路提示研究和讨论题中所涉及的函数图像与性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像与性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向. 一、对数函数的图像例2.62如图2-15所示，曲线1234,,,C C C C 是底数分别为,,,a b c d 的对数函数的图像，则曲线1234,,,C C C C 对应的底数,,,a b c d 的取值依次为（）11.3,2,,32A11.2,3,,32B11.2,3,,23C11.3,2,,23D分析给出曲线的图像，判定1234,,,C C C C 所对应的,,,a b c d 的值，可令1y =求解.解析如图2-16所示，作直线1y =交1234,,,C C C C 于,,,A B C D ，其横坐标大小为01c d a b <<<<<，那么1234,,,C C C C 所对应的底数,,,abcd的值可能一次为112,3,,32.故选B .评注对数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系如图2-16所示，则01c d a b <<<<<.log (01)a y x a a =>≠且在第一象限的图像，a 越大，图像越靠近x 轴；a 越小，图像越靠近y 轴.变式 1 若函数()(01)xf x a a a -=>≠且是定义域为R 的增函数，则函数()log (1)a f x x =+的图像大致是（ ）变式2 设,,a b c 均为正数，且11222112log ,log ,log 22b caa b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）.Aa b c <<.B c b a <<.C c a b <<.Db a c <<例2.63函数log (1)2a y x =++的图像必过定点.分析对数函数log (01)a y x a a =>≠且的图像过定点(1,0)，即log 10a =.解析因为log (01)a y x a a =>≠且恒过点(1,0)，故令11,0x x +==即时，log (1)0a y x =+=，故log (1)2a y x =++恒过顶点(0,2).变式1 函数log (2)21a y x x =++-的图像过定点. 二、对数函数的性质（单调性、最值（值域））例2.64 设1a >，函数()log a f x x =在区间[],2a a 上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ） 分析本题考查对数函数的单调性和最值.解析因为对数函数的底1a >，所以函数()log a f x x =在区间[],2a a 上单调递增，故max min 1()log 2,()log 1,log 212a a a f x a f x a a ===-=，即1log 22a =解得4a =故选D . 变式1 若函数()log (01)a f x x a =<<在区间[],2a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 等于（ ）AB1.4C1.2D 例2.65设21122222(log )7log 30,()log log 24x x x x f x ⎛⎫⎛⎫++≤=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求的最大值和最小值. 解析2111122222(log )7log 30(2log 1)(log 3)0x x x x ++≤⇔+⋅+≤1213log 2x ⇔-≤≤-8x ≤≤.又22222()(log 1)(log 2)(log )3log 2f x x x x x =--=-+.令21log ,32t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则2()()32f x g t t t ==-+当3,2t x ==即min max 1();3,8,() 2.4f x t x f x =-===当即时 变式1 已知[]3()2log (1,9)f x x x =+∈，求函数[]22()()()g x f x f x =+的最大值与最小值.例2.66若函数212log (0)()log ()(0)x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，且()()f a f a >-则实数a 的取值范围是.解析依题意，函数()f x 的图像如图2-17所示，知()f x 为奇函数，由()()f a f a >-的得()0f a >，解得(1,0)(1,)a ∈-+∞.变式1 已知函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是（ ）2,)A +∞).32,B ⎡+∞⎣.(3,)C +∞[).3,D +∞变式2 定义区间[]1212,()x x x x <的长度为21x x -，已知函数12()log f x x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,2，则区间[],a b 的长度的最大值与最小值的差为 .题型3 对数函数中的恒成立问题 思路提示（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.例2.67 已知函数124()lg 3x xa f x ++⋅=，若(),1x ∈-∞时有意义，求a 得取值范围.解析因为124()lg 3x x a f x ++⋅=在(),1x ∈-∞上有意义，即12403x xa ++⋅>在(),1-∞上恒成立. 所以1142x x a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫>-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦在(),1-∞上恒成立.令()11(),,142x x g x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+∈-∞⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.因为14x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),1-∞上为减函数，故()g x 在(),1-∞上为增函数，所以对任意的(),1x ∈-∞时，3()(1)4g x g <=-.因为1142x x a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫>-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦在(),1-∞上恒成立，所以34a ≥-.所以a 的取值范围是3,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 评注为了求a 的取值范围，把a 进行了分离，若()g x 存在最大值，则()g x a <恒成立等价于max ()g x a <；若()g x 不存在最大值，设其值域为()(),g x m n ∈，则()g x a <恒成立等价于a n ≥. 变式1 当(1,2)x ∈时，不等式()21log a x x -<恒成立，则a 的取值范围是（）.(0,1)A .(1,2)B (].1,2C 1.0,2D ⎛⎫⎪⎝⎭变式 2 函数()log (3)(01)a f x x a a a =->≠且，当点(,)P x y 是函数()y f x =图像上的点时，点(2,)Q x a y --是函数()y g x =图像上的点.（1）写出函数()y g x =的解析式；（2）当[]2,3a a a ∈++时，恒有()()1f x g x -≤，试确定a 的取值范围.最有效训练题1.设0.211221log 2,log 3,2a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）.Aa b c <<.B a c b <<.C b c a <<.Db a c <<2.设函数2log (1)(2)()11(2)2x x x f x x -≥⎧⎪=⎨⎛⎫-<⎪⎪⎝⎭⎩，若0()1f x >，则0x 的取值范围是（ ）.(,0)(2,)A -∞+∞.(0,2)B.(,1)(3,)C -∞-+∞.(1,3)D -3.设定义在区间(,)b b -上的函数1()lg12axf x x+=-是奇函数(,2)a b R a ∈≠且，则b a 的取值范围是（ ）(.A(.BCD4.已知log (2)a y ax =-在[]0,1上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ）.(0,1)A.(1,2)B.(0,2)C.(2,)D +∞5.已知lg lg 0a b +=，则函数()xf x a =与函数()log b g x x =-的图像可能是（ ）6.已知函数()f x 是R 上的偶函数，且(1)(1)f x f x -=+，当[]0,1x ∈时，2()f x x =，则函数5()log y f x x =-的零点个数是（ ）.3A.4B.5C.6D7.设函数()ln(1)f x x =+，若1()()a b f a f b -<<=且，则a b +的取值范围是________. 8.已知lg lg 2lg(23)x y x y +=-，则23log y x ⎛⎫=⎪⎝⎭________. 9.若函数2log (1)a y x ax =-+在[]1,2上为增函数，则实数a 的取值范围是________..10.已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则m n +=________.11.设121()log 1ax f x x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭为奇函数，a 为常数. （1）求a 的值；（2）证明：()f x 在区间(1,)+∞内单调递增；（3）若对于区间[]3,4上的每一个x 值，不等式1()2xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.12.已知集合1,22P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，函数22log (22)y ax x =-+的定义域为Q .（1）若P Q ≠∅，求实数a 的取值范围；（2）若方程22log (22)2ax x -+=在P 内有解，求实数a 的取值范围.。
专题10 对数与对数函数 (学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】1.高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题10对数与对数函数对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log Na ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ；③自然对数：以e 为底，记为ln N ；(3)对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)；③对数换底公式：log log log c a c bb a=；④log ()log log a a a MN M N =+；⑤log log log aa a MM N N=-；⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈；⑦log a b a b =和log b a a b =；⑧1log log a b b a=；2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数．对数函数的图象过定点(10)，，即1x =时，0y =在(0)+∞，上增函数在(0)+∞，上是减函数当01x <<时，0y <，当1x ≥时，y≥当01x <<时，0y >，当1x ≥时，0y≤【方法技巧与总结】1.对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)a 增大a 增大【题型归纳目录】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式题型二：对数函数的图像题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））题型四：对数函数中的恒成立问题题型五：对数函数的综合问题【典例例题】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++；（2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值；（3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45．例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值.（2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b ，c 均为正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：212a b c +=；（2）若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a b b ---的值．例4．（2022·全国·模拟预测）若e 4a =，e 25b =，则（）A ．a ＋b ＝100B ．b －a ＝eC ．28ln 2ab <D ．ln 6b a ->例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数x ，y 满足0x >，0y >，1x ≠，1y ≠，y x x y =，log 4y xx y+=，则x y +=（）A ．2B ．4C ．6D ．8例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数()122log ,1,1,1,x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩则不等式()(1)f x f x <-的解集为______．例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数()f x 满足：（1）1x ∀，()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-；（2）()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x =___________.（写出满足这些条件的一个函数即可）例9．（2022·全国·高三专题练习）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠）的图像经过点()3,1.（1）解关于x 的方程()()22(1)10f x m f x m +-+-=；（2）不等式()()10f x a f x +⋅->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，试求实数a 的值.【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像例10．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（）A ．0a b +<B ．1ab <-C ．01b a <<D ．log 0a b >例11．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为（）A ．3-B ．1C ． 3+D ．2+（多选题）例12．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x xf x k a a -=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤例13．（2022·全国·高三专题练习）已知223,20(){1ln ,021x x x f x x x -+-≤<=≤≤+，若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为______.【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））例14．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是（）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2 ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭例15．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（）A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭例16．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（）Ab a<<B．b a<<Ca b<<D．a b <例17．（2022·全国·高三专题练习（理））函数f (x )＝log ax (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是（）A ．0B ．1C ．2D ．a例18．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．C．⎛ ⎝⎭D．)+∞【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题例19．（2022·北京·高三专题练习）若不等式2log 0a x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则a 的取值范围是（）A ．1116a ≤<B ．1116a <<C ．1016a <≤D ．1016a <<例20．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（）A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2例21．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________.例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =-，已知实数0a >，若2()e ln 0x f x a a ++≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围.例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (0,1)x a f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为6log 2a +．（1）求实数a 的值；（2）对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，求实数k 的取值范围．例24．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠.(1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.例25．（2022·上海·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =.（1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；（2）对任意12,2n n x +⎡⎤∈⎣⎦，其中常数n N ∈，不等式()2()f x f kg x ⋅>恒成立，求实数k的取值范围.【方法技巧与总结】（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.题型五：对数函数的综合问题例26．（2022·河北·张家口市第一中学高三阶段练习）已知定义域为()0, +的单调递增函数()f x 满足：()0,x ∀∈+∞，有()()ln 1f f x x -=，则方程()242f x x x =-+-的解的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0例27．（2022·四川雅安·三模（文））设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意R x ∈，都有()()4f x f x +=，且当[]2,0x ∈-时，()163xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（）．A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(D ．)2例28．（2022·广西柳州·高一期中）已知0a b >>，且1a b +=，则（）A ．sin sin a b>B ．11a b>C ．22a b +>D ．lg lg 0a b +=例29．（2022·河北保定·二模）已知函数2332xxy =-在()0,∞+上先增后减，函数3443xxy =-在()0,∞+上先增后减.若()231log log x =()321log log 0x a =>，()()242422log log log log x x b ==，()()343433log log log log 0x x c ==>，则（）A ．a c<B ．b a<C ．c a<D ．a b<例30．（2022·广东·三模）已知,R a b ∈，e 是自然对数的底，若e ln b b a a +=+，则ab的取值可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．4例31．（2022·全国·高三专题练习）已知0x 是函数()22e ln 2xf x x x -=+-的零点，则020e ln x x -+=_______．【过关测试】一、单选题1．（2022·辽宁辽阳·二模）区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B ，则密码一共有5122种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行5122次运算.现在有一台计算机，每秒能进行142.510⨯次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为（参考数据lg20.3≈ 1.58≈）（）A ．1393.1610s ⨯B ．1391.5810s ⨯C ．1401.5810s⨯D ．1403.1610s⨯2．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知1log 3m p =，9p n =，其中0m >且1m ≠，0n >且1n ≠，若20m n -=，则p 的值为（）A ．3log 2B ．2log 3C ．2D ．33．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知正实数x ，y ，z 满足(34zx y ==，则（）A ．111x y z+=B ．111y z x+=C ．112x y z +=D ．112x z y+=4．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知函数()()()ln 22ln 33f x x x =++-，则()f x （）A ．是奇函数，且在()0,1上单调递增B ．是奇函数，且在()0,1上单调递减C ．是偶函数，且在()0,1上单调递增D ．是偶函数，且在()0,1上单调递减5．（2022·全国·高三专题练习）函数()log (1)2a f x x =-+的图象恒过定点A ．（2，2）B ．（2，1）C ．（3，2）D ．（2，0）6．（2022·安徽六安·一模（文））设函数()2f x =，()()2ln 41g x ax x =-+，若对任意的1R x ∈，都存在实数2x ，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(],4-∞B ．(]0,4C ．[]0,4D ．(]0,27．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）设0a >且1a ≠，sin cos a x x x >+对(0,)4x π∈恒成立，则a 的取值范围是（）A ．(0,)4πB ．(0,]4πC ．(,1)(1,)42ππ⋃D ．[,1)4π8．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（）A b a<<B ．b a<<C a b<<D ．a b <二、多选题9．（2022·重庆市天星桥中学一模）已知0,0a b >>，且1a b +=，则下列结论正确的是（）A ．11a b+的最小值是4B ．1ab ab+的最小值是2C ．22a b +的最小值是D ．22log log a b +的最小值是2-10．（2022·广东汕头·二模）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，则下列结论正确的是（）A ．2ab bc ac+=B ．ab bc ac+=C ．4949b b a c⋅=⋅D ．121c b a=-11．（2022·河北·高三阶段练习）下列函数中，存在实数a ，使函数()f x 为奇函数的是（）A ．()(lg f x x =B ．()2f x x ax=+C ．()21xaf x e =--D ．()()2ln 2xx f x x e a =+-12．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）当102x <≤时，4log xa x ≤，则a 的值可以为（）ABCD三、填空题13．（2022·天津·二模）已知()42log 41log x y +=+，则2x y +的最小值为__________.14．（2022·全国·高三专题练习）已知23e ln 3x x x -+=，则3e ln x x -+=__________．15．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()241,1log ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若1()2f a <≤，则实数a的取值范围为___________.16．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有()()11f x f x +=--．当()1,2x ∈时，()21log f x x =-．给出以下4个结论：①函数()y f x =的图象关于点()(),0k k ∈Z 成中心对称；②函数()y f x =是以2为周期的周期函数；③当()0,1x ∈时，()()2log 21f x x =--；④函数()y f x =在()(),1k k k +∈Z 上单调递减．其中所有正确结论的序号为______．四、解答题17．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0),1)a f x x a a =>≠且，设1a >，函数log a y x =的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值．．．为5,6求实数a 的值；18．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．19．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0)1)a f x x a a =>≠且，作出|()|y f x =的大致图像并写出它的单调性；20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()44log 3log 4f x x x =-⋅.当1,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求该函数的值域；21．（2022·全国·高三专题练习）已知：函数()0.51log 1ax f x x -=-在其定义域上是奇函数，a 为常数．(1)求a 的值．(2)证明：()f x 在()1,+∞上是增函数．(3)若对于[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．22．（2022·北京东城·高三期末）曲线ln y x =在点(,ln )A t t 处的切线l 交x 轴于点M .(1)当t e =时，求切线l 的方程；(2)O 为坐标原点，记AMO 的面积为S ，求面积S 以t 为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间.。
对数及对数函数知识点总结及题型分析
对数及对数函数1、对数的基本概念（1）一般地，如果a （1,0≠>a a ）的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 叫做以a 为底N 的对数， 记作b N a=log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式（2）常用对数：N 10log ，记作N lg ； 自然对数N e log （e =2.71828…），记作N ln .（3）指数式与对数式的关系：log xa a N x N =⇔=（0>a ，且1≠a ，0N >）（4）对数恒等式：2、对数的性质（1）负数和零没有对数，即0>N ； （2）1的对数是零，即01log =a ； （3）底的对数等于1，即1log =a a3、对数的运算性质（1）如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M NMa a alog log log -=； ③M n M a n alog log =（2）换底公式： 推论：① b N N b log 1log =； ② ； ③ 1log log =⋅a b b a4、对数函数的定义：函数 叫做对数函数，其中x 是自变量（1）研究对数函数的图象与性质：由于对数函数 与指数函数 互为反函数，所以 的图像和 的图像关于直线 对称。
（2）复习)10(≠>=a a a y x且的图象和性质()010log >≠>=N a a N aNa ，且bNN a a b log log log =b mn b a na m log log =a y log x =(a 0a 1)>≠且a y log x =x y a =a y log x=xy a =y x =2．对数函数的图像：3．对数函数的性质：【回顾一下】① 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为 ；2) 函数的值域为 ； 3) 当____ __时，函数为减函数，当_________时为增函数； 4) 函数与函数 ______ 互为反函数.① 1) 图象经过点( )，图象在 ；2) 对数函数以 为渐近线(当时，图象向上无限接近y 轴；当时，图象向下无限接近y 轴)； 4) 函数y ＝log a x 与 的图象关于x 轴对称． ① 函数值的变化特征：题型一、对数式的运算 例题1：填空（1）[])81(log loglog 346＝_____ ___； （2）19lg 3lg 2+-＝ ；（3）04.0log 10log 222+＝_____ ___； （4）3log 28log 316161+＝_____ ___； （5）=⋅⋅⋅4log 5log 7log 3log 7352例题2：若a y x =-lg lg ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛332lg 2lg y x （ ）.A a 3 .Ba 23 .C a .D 2a 题型二 变式、对数运算性质运用 变式1：计算变式2：3128x y ==，则11x y-= .xy a log =)1,0(≠>=a a a y x 且10<<a 1>a 2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+题型三、解对数式方程例题1：已知216log =x ，则=x （ ）.A 2 .B 4 .C 8 .D 32例题2：已知 ① 3log 1log 266-=x ，求x 的值 ； ② 2)25(log 22=--x x ，求x 的值。
对数函数【八大题型】(人教A版2019必修第一册)
C． < < <
D． < < <
7
对数函数
【例 5】已知函数() = log ( + + 3) − 2．
（1）若 = 2，求函数()的值域
（2）若函数()在 1， + ∞ 上单调递增，求的取值范围
人
教
A
版
高
中
数
学
【变式 5-1】已知函数() = lg
︵
， ∈
，8 ，则()的值域为（
对
A． −3，1
B． −1，3
数
C． 0，1
D． −3，0
）
函
数
【变式 1-2】下列各组函数中，定义域相同的一组是（
︶
）
A． = 与 = log > 0， 且 ≠ 1)
B． = 2ln与 = ln
C． = lg与 = lg√
D． = 与 = lg
高
定义域
性
质
中
值域
R
数
过定点
(1，0)
学
单调性
在
函数值的
变化范围
上是减函数
在
︵
上是增函数
当 0<x<1 时，y>0
当 0<x<1 时，y<0
当 x=1 时，y=0
当 x=1 时，y=0
当 x>1 时，y<0
当 x>1 时，y>0
对
数
函
数
︶
2．底数 a 对对数函数图象的影响
（1）底数 a 与 1 的大小关系决定了对数函数图象的“升降”．
C． < <
对数函数常见题型例析(5种)
对数函数常见题型例析对数函数是重要的基本初等函数之一,在近几年的高考中渐渐走红,频频出现在高考试卷与模拟试卷中,主要考查对数函数的图象和性质,本文就对数函数的常见题型归纳如下,供大家参考. 1.求定义域 例1函数3)5lg()(--=x x x f 的定义域为_____.解:要使)(x f 有意义,则⎩⎨⎧≠->-0305x x ,解得5<x ,且3≠x ,∴)(x f 的定义域为5|{<x x ,且}3≠x .点评:求对数定义域切记真数大于零,底数大于零且不等于1,常用方法是列不等式组, 注意求出的定义域要写成集合或区间的形式. 2.比较大小例2设,,a b c 均为正数,且,log221a a=,log)21(21b b = c c2log)21(=,则（ ）A a b c <<B c b a <<C c a b <<D b a c << 解:由a a21log2=可知0>a 12>∴a ,210,1log21<<∴>a a ;由b b21log)21(=可知1)21(0,0<<∴>b b ,即1log021<<b ,121<<b ;由c c2log )21(=可知21,1log0,02<<∴<<∴>c c c ,从而c b a <<,故选A.点评:本题的关键就是抓住“真数大于零”这一隐含条件,利用指、对函数的性质得出结论. 3.解对数方程例3解方程:0)2(log )12(log 244=--+x x ;解:由已知得)2(log )12(log 244-=+x x ,则2122-=+x x ,即0322=--x x ,解得3=x 或1-=x ,当1-=x 时,对数真数小于零,舍去,故方程的根是3=x . 点评:解对数方程要注意验根,即保证对数的真数大于零. 4.最值问题例4设1a >,函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12,则a =（ ）B 2C 22D 4解:设1a >,函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上递增,最大值和最小值 分别为a a aalog,2log,依题意知212loglog2log==-aaaa a ,4=∴a ,故选D.点评:最值问题是高考考查对函数性质的热点题型,解决的关键是根据对数函数单调性求解. 5.求参数范围 例5已知132log<a,则a 的取值范围是（ ）A ),1()32,0(+∞ B ),32(+∞ C )1,32( D ),32()32,0(+∞解:当10<<a 时,,log132log a aa=<32<∴a ,即320<<a ;当1>a 时,,log132loga aa=<32>∴a ,即1>a .综上所述,a 的取值范围是320<<a 或1>a ,故选A.点评:这类问题一般是根据对数函数的单调性,分10<<a 和1>a 两种情况讨论.。
对数函数题型归纳大全非常完整
对数与对数函数题型归纳总结知识梳理 1．对数的概念如果a x ＝N (a ＞0且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log aN ＝N ；②log a a b ＝b (a ＞0，且a ≠1)． (2)换底公式：log a b ＝log c blog ca (a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)．利用换底公式推导下面的结论 ①ab b a log 1log =．推广log log log log a b c a b c d d ⋅⋅=． ②b mnb a na m log log =，特例：log log n n a a b b = (3)对数的运算性质：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ，③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．3．函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，x 是自量，函数定义域是(0,)+∞．注意：（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：x y 2log 2=，5log 5xy =都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．（2）对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 4．对数函数的定义、图象与性质结论1.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 结论 2.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限. 5.反函数指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 例题分析题型一 对数的运算例题1： （1）计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝_____；(2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝___解析：(1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝1－2log 63＋（log 63）2＋log 663·log 6（6×3）log 64＝1－2log 63＋（log 63）2＋1－（log 63）2log 64＝2（1－log 63）2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.例题2： 设x 、y 、z 为正数，且，则x 、y 、z 之间的关系式为 . 解析：设，由知，取以为底的对数可得，所以，，，所以，所以. 变式1： （1）若lg 2，lg(2x ＋1)，lg(2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于 (2)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝___，b ＝____ 解析： (1)由题意知lg 2＋lg(2x ＋5)＝2lg(2x ＋1)， ∴2(2x ＋5)＝(2x ＋1)2，(2x )2－9＝0，2x ＝3，x ＝log 23. (2)设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，∴t ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a ，∴b 2b ＝b b 2，即2b ＝b 2，又a >b >1，得b ＝2，a ＝4. 变式2： 已知1a b >>．若log lo 52g a b b a +=，b a a b =，则a =______，b =____ 分析：进行对数运算常用的方法：（1）将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2lg51+=解析：设log ,1b a t t =>则，所以152t t +=，解得2t =，所以2a b =， 于是由b a a b =，得22b b b b =，所以22b b =， 解得2,4b a ==．题型二 对数函数的定义域346x y z==346x y z t ===0x >1t >t log 3log 4log 61t t t x y z ===1log 3t x =1log 4t y=1log 6t z =1111log 6log 3log 2log 422t t t t z x y -=-===1112z x y-=例题3： 函数y =__________．解析：要使()21log 1y x =-+有意义，则()21log 10x -+≥，即()2log 11x +≤，即012x <+≤，即11x -<≤，即函数()21log 1y x =-+的定义域为(]1,1-．变式3： 函数256()lg 3x x f x x -+-的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]- 分析：求函数的定义域主要从三个方面考虑：（1）分式中的分母要求不等于0；（2）偶次根式的被开方数要求非负；（3）对数式的真数要求为正数． 解析：由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：2564||0,03x x x x -+-≥>-，解得44,2,3x x x -≤≤>≠，即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4]，故应选C ．题型三 对数函数的值域 例题4： 求下列函数的值域：（1）31log y x =-；（2）()212log 23y x x =--．解析：（1）∵31log 0x -≥∴33log 1log 3x ≤=∴0x <<3，函数的定义域为(]0,3x ∈∵31log 0x -≥函数的值域为[)0,y ∈+∞． （2）∵2230x x -->∴3x >或1x -<所以函数的定义域为()(),13,x ∈-∞-+∞因为2230x x -->，即223x x --能取遍一切正实数，所以()212log 23x x R --∈ 所以函数的值域为y R ∈． 题型四 对数函数的奇偶性例题5： 若函数()f x 为奇函数，当0x >时，()2log f x x =，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1解析：()()2211log 11log 1022f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选C ．变式4： 若函数()2lg 2+1f x a x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭为奇函数，则实数a =_______．解析：12-题型五 对数函数的对称性例题6： 若1x 满足522=+x x ，2x 满足5)1(log 222=-+x x ，则=+21x x 解析：x x 252-=，x x 25)1(log 22-=-，即x x -=-2521，x x -=-25)1(log 2，作出12-=x y ，x y -=25，)1(log 2-=x y 的图象（如图）．由图知12-=x y 与)1(log 2-=x y 的图象关于1-=x y 对称，它们与x y -=25的交点A 、B 的中点为x y -=25与1-=x y 的交点C ，47221=+=x x x C ，∴2721=+x x题型六 对数函数的单调性例题7： 求函数()20.1log 253y x x =--的递减区间． 解析：先求函数的定义域，由22530x x -->，得12x -<，或3x >．令2253u x x =--，0.1log y u =，∵对数的底数0.11<，∴函数0.1log y u =减函数，由复合函数单调性“同增异减”的规律可知，要求原函数的单调间区间，只需求函数2253u x x =--（12x -<，或3x >）的递增区间即可．∵22549253248u x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，∴函数2253u x x =--（12x -<，或3x >）的递增区间()3,+∞，所以函数()20.1log 253y x x =--的递减区间为()3,+∞．变式5： 函数()()2log 45a f x x x =--（1a >）的单调递增区间是（） A ．(),2-∞- B ．(),1-∞- C ．()2,+∞ D ．()5,+∞分析：复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数．解析：由函数()()2log 45a f x x x =--得2450x x -->，得1x <-或5x >， 根据题意，设245u x x =--，则()229u x =--，图象开口向上， 因函数()()2log 45a f x x x =--为单调增函数， 由1a >得：()log a f x u =也是增函数，又因245u x x =--在()5,+∞上是增函数，故x 的取值范围是()5,+∞，故选D ． 变式6： 已知函数()212log y x ax a =-+在区间()2,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是___________．分析：（1）忽视真数要求大于0的条件；（2）只注意真数所对应的二次函数的单调性而忽视外层函数的单调性．解析：令2t x ax a =-+，则有函数()f x 在区间()2,+∞上是减函数，可得函数t 在区间()2,+∞上是增函数，且(2)0t >，所以22(2)420at a ⎧≤⎪⎨⎪=->⎩，解得4a ≤所以实数a 的取值范围是4a ≤变式7： 若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为________.解析：令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎨⎧g （1）＞0，a ≥1，即⎩⎨⎧2－a ＞0，a ≥1，解得1≤a ＜2，即a ∈[1，2).．变式8： 已知函数 (a >0，且a ≠1)，若在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.()()8a f x log ax ＝－()1f x >解析：当时，在[1，2]上是减函数，由在区间[1，2]上恒成立，则，解之得。
(完整版)对数函数图像及其性质题型归纳,推荐文档
对数函数及其性质题型总结1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的特征：特征Error!判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．【例1－1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x是对数函数，则实数a ＝__________．(1)图象与性质a ＞10＜a ＜1图象(1)定义域{x |x ＞0}(2)值域{y |y R }∈(3)当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1,0)(4)当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0(4)当x ＞1时，y ＜0；当0＜x＜1时，y ＞0性质(5)在(0，＋∞)上是增函数(5)在(0，＋∞)上是减函数性质（6）底数与真数位于1的同侧函数值大于0，位于1的俩侧函数值小于0性质（7）直线x ＝1的右侧底大图低谈重点 对对数函数图象与性质的理解 对数函数的图象恒在y 轴右侧，其单调性取决于底数．a ＞1时，函数单调递增；0＜a ＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．题型一：定义域的求解 求下列函数的定义域．例1、(1)y ＝log 5(1－x )； (2)y ＝log (2x －1)(5x －4)；(3)．y =在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y ＝log a f (x )的定义域时，应首先保证f (x )＞0．题型二:对数值域问题对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．(2)对于形如y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )这两个函数；②求f (x )的定义域；③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解．注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．221log 1(4y ax ax R a =++数的定义域为，变式求实数的围。
对数函数常见题型(解析版)
4.4 对数函数1．对数函数的定义一般地，我们把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(1)由于指数函数y＝a x中的底数a满足a＞0，且a≠1，则对数函数y＝log a x中的底数a也必须满足a＞0，且a≠1.(2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.2．对数函数的图象和性质一般地，对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表所示：a＞10＜a＜1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数非奇非偶函数3.反函数对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x 对称．4．对数型复合函数的单调性复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数.对于对数型复合函数y＝log a f(x)来说，函数y＝log a f(x)可看成是y＝log a u与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．5．对数型复合函数的值域对于形如y＝log a f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：(1)分解成y＝log a u，u＝f(x)两个函数；(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用y＝log a u的单调性求解．题型一 对数函数的判断例1、（1）给出下列函数：①223log y x =；①3log (1)y x =-；①(1)log x y x +=；①log e y x =.其中是对数函数的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2）若函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解:（1）①①不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x ； ①不是对数函数，因为对数的底数不是常数；①是对数函数．（2）由题可知：函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数所以23201a a a -+=⇒=或2a =，又0a >且1a ≠所以2a = 跟踪练习1．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①y ＝log x 2；①y ＝log a x (a ①R )；①y ＝log 8x ；①y ＝ln x ；①y ＝log x (x ＋2)；①y ＝log 2(x ＋1)． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】形如log a y x =（0a >且1a ≠）的函数为对数函数，故①①为对数函数，所以共有2个. 2．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①log 2x y =；①()log a y x a =∈R ；①8log y x =；①ln y x =；①()log 2x y x =+；①42log y x =；①()2log 1y x =+. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个【解析】由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数； 由于①中底数a ∈R 不能保证0a >，且1a ≠，∴①不是对数函数； 由于①①的真数分别为()2x +，()1x +，∴①①也不是对数函数； 由于①中4log x 的系数为2，∴①也不是对数函数； 只有①①符合对数函数的定义.3．（全国高一课时练习）若函数()2()log 45a f x x a a =+--是对数函数，a =_________.【解析】由对数函数的定义可知，245001a a a a ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩，解得5a =．题型二 对数函数的解析式或函数值例2（1）（上海高一专题练习）对数函数的图像过点M (125，3)，则此对数函数的解析式为（ ） A ．y ＝log 5xB ．y ＝15log xC ．y ＝13log xD ．y ＝log 3x（2）（全国高一课前预习）设()log a f x x =（0a >且1a ≠），若1(2)2f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）. A ．2B ．2-C ．12-D ．12【解析】（1）设函数解析式为y ＝log a x (a >0，且a ≠1)．由于对数函数的图像过点M (125，3)， 所以3＝log a 125，得a ＝5.所以对数函数的解析式为y ＝log 5x . （2）因为()log a f x x =（0a >且1a ≠），1(2)2f =，所以1(2)log 22a f ==，即122a =，解得4a =， 所以4()log f x x =，所以4111log 222f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.跟踪练习1．若某对数函数的图象过点()4,2，则该对数函数的解析式为（ ） A ．2log y x =B ．42log y x =C ．2log y x =或42log y x =D ．不确定【解析】设函数为()log 0,1a y x a a =>≠，依题可知，2log 4a =，解得2a =，所以该对数函数的解析式为2log y x =．2．若函数()()lo 1g a f x x =+(0,1)a a >≠的图像过点(7,3)，则a 的值为（ ） A 2B ．2C ．22D ．12【解析】由题, ()373log 182a a a +⇒=⇒==.题型三 对数函数的定义域例3（1）函数()ln 14x f x x-=-的定义域为（ ）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4（2）已知函数(2)x y f =的定义域是[]1,1-，则函数3(log )f x 的定义域是（ ） A ．[]1,1-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3D ．[3,9]（3）若函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则a =（ ） A ．1 B ．－1 C ．2D ．无法确定【解析】（1）对于函数()ln 14x f x x -=-1040x x ->⎧⎨->⎩，解得14x <<.因此，函数()ln 14x f x x-=-的定义域为()1,4.（2）由[]1,1x ∈-，得1,222x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以31log ,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以3,9x ⎤∈⎦． （3）函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则10ax +>的解集为(),1-∞， 即0a <，且10ax +=的根11a-=，故1a =-. 跟踪练习1．函数()00.5log 21y x =-⎡⎤⎣⎦的定义域为（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】要使函数有意义，只需()0.5log 210x -≠，即210211x x ->⎧⎨-≠⎩，解得112x <<或1x >． 2．函数3()log (21)1xf x x x =--的定义域是（ ） A ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(1,)+∞D ．1(,1)2【解析】由已知得1021>0x x ->⎧⎨-⎩，解得112x <<，所以函数()f x 的定义域为112⎛⎫⎪⎝⎭， 3．若函数(1)f x +的定义域为[0 1]，，则(lg )f x 的定义域为（ ） A ．[10 100]，B ．[1 2]，C ．[0 1]，D ．[0 lg2]，【解析】因为函数(1)f x +的定义域为[0 1]，，所以112x ≤+≤，所以1lg 2x ≤≤， 解得：10100x ≤≤，所以(lg )f x 的定义域为[10 100]，. 4.求下列函数的定义域 （1）2112y x x=+-- （2）函数221()x f x --=（3）20()(54)lg(43)x f x x x =+-+ 【解析】（1）若要使函数有意义，则22010x x ⎧-≠⎪⎨-≥⎪⎩，解得1≥x 或1x ≤-且2x ≠±，所以该函数的定义域为][)()(,2)(2,11,22,-∞-⋃--⋃⋃+∞；（2）若要使函数有意义，则2210log (1)010x x x ⎧--≥⎪-≠⎨⎪->⎩，解得3x ≥，所以该函数的定义域为[)3,+∞；（3）若要使函数有意义，则lg(43)0430540x x x +≠⎧⎪+>⎨⎪-≠⎩，解得34x >-且12x ≠-，45x ≠，所以该函数的定义域为31144,,,42255⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋃-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.题型四 对数函数的定点例4函数()log 272=+-a y x （0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．7,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()3,2--C ．()3,1--D ．()4,2--【解析】令271x +=，3x =-，则2y =-，即函数图象过定点()3,2--． 跟踪练习1．函数()()log 310,1a y x a a =->≠的图象过定点（ ） A ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1-【解析】对于函数()()log 310,1a y x a a =->≠，令311x -=，可得23x =，则log 10a y ==， 因此，函数()()log 310,1a y x a a =->≠的图象过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭.2．函数()log 1a y x =-的图象必过的点是（ ） A ．()1,0- B ．()1,0C ．()0,0D ．()2,0【解析】() log 1a y x =-，则当11x -=，即2x =时，0y =是与a 的值无关的定值，故函数()log 1a y x =-的图形必过的点是()20,.3．（湖北高一开学考试）已知函数log (3)2a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则lg (4)lg (25)f f +=（ ) A ．2-B ．2C ．1D ．1-【解析】函数()log 32a y a =-+中，令31x -=，解得4x =，此时log 122a y =+=；所以函数y 的图象恒过定点()4,2P ，又点P 在幂函数()my f x x ==的图象上，所以42m =，解得0.5m =；所以()0.5f x x =，所以()()()()lg 4lg 25lg 425lg101f f f f +=⋅==⎡⎤⎣⎦．题型五 对数函数的值域（最值）例5（1）已知184x ≤≤，则函数2()log f x x =的值域是 。
对数函数专题——含参对数函数完整版题型汇总
对数函数专题——含参对数函数完整版题型汇总一、定义与性质1. 对数函数的定义对数函数是指定义域在正数集合上的函数，它的函数值是指数函数的反函数。
通常用符号 $\log$ 表示对数函数。
2. 对数函数的性质- 对数函数的图像是一条倾斜的曲线，与指数函数的图像关于直线 $y = x$ 对称。
- 对数函数具有单调递增性质，即随着自变量的增加，函数值也会增加。
- 对数函数的定义域是正数集合，值域是实数集合。
二、常见题型1. 对数运算题型例题：计算 $\log_3 27$。
解析：由于 $3^3 = 27$，所以 $\log_3 27 = 3$。
2. 对数方程题型例题：求解方程 $2^x = 8$。
解析：将 $8$ 表示成 $2$ 的幂次形式得到 $8 = 2^3$，所以$2^x = 2^3$，即 $x = 3$。
3. 对数不等式题型例题：求解不等式 $\log_2 \left( \frac{x}{3} \right) \geq 2$。
解析：根据对数定义，$\log_2 \left( \frac{x}{3} \right) \geq2$ 可转化为 $\frac{x}{3} \geq 2^2$，即 $\frac{x}{3} \geq 4$。
解得$x \geq 12$。
三、注意事项1. 在计算对数函数的值时，要注意指数与对数的关系，充分运用指数函数和对数函数的定义和性质。
2. 在解对数方程和不等式时，要注意将题目中的式子转化为指数形式，再进行相应的运算。
以上是对数函数专题中含参对数函数完整版题型汇总的简要内容。
对数函数作为数学中常见的函数之一，在应用中具有广泛的用途。
掌握对数函数的基本定义、性质和解题方法，有助于提高数学问题的解决能力。
对数函数及其性质经典题型总结
对数函数及其性质经典题型总结
题型一：对数不等式解法
例L 解下列不等式
(l)log 1(3x + 4)>l
2
(2)log[(3x + 4)<2
⑶ log 1 (3x + 4)> log 1(3-x)
2
(4)3x
≥ 2 变式1.若实数。
满足1。
乩：＜1,求〃的取值范围。
变式2：解不等式:log 〃(2x + l)〉2,(。
> 0,α ≠ 1).
题型二：定点问题
例2：求下列函数恒经过哪些定点
1、∕(X ) = ⅛(X 2
+1) + 2 2.尸log<4wx) +1 恒过(4, 1 ),求a 的值.
题型三：定义域问题
例2函数y = Jl-l0g2(x+l)的定义域为
题型四:对数值域问题
例3.求下列函数的值域.
(l)∕(^) = ∙og 2 x ∈[2,10]j
(2)∕(x) = log 2(-x 2
+ 2x + 3),x ∈ [0,|]; ⑶ f(x) = log2(，—4x —5)
变式1：若函数y = log2(0χ2+依+ ；)的定义域为R,求实数。
的取值范围。
变式2：若函数y = log 2(6fΛ2 +ax + ；)的值域为R,求实数。
的取值范围。
变式3：若函婀(x) = log. x(0 v 4 v 1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,求加勺值. 变式 2 函数∕(x) = j4-∣x∣ + lg
三芋的定义域为( A. (2, 3) B. (2, 4] C. (2, 3) (3, 4] D. (-1, 3) (3, 6]。
根据对数函数知识点及题型归纳总结
根据对数函数知识点及题型归纳总结一、对数函数的基本概念- 对数函数是指以某个正数为底数的幂运算与常用对数的函数关系。
- 常用对数是以10为底的对数，通常用符号log表示。
- 自然对数是以常数e（约等于2.718）为底的对数，通常用符号ln表示。
二、对数函数的性质1. 对数函数的定义域和值域：- 对数函数的定义域为正实数集合。
- 对数函数的值域为实数集合。
2. 对数函数的图像特点：- 对数函数的图像是一条平滑的曲线，且过点(1, 0)。
- 对数函数的图像在(0, +∞)上是递增的。
- 自然对数函数ln(x)的图像在(0, +∞)上是上凸的。
3. 对数函数的性质和运算法则：- 对数函数中，底数为1的对数函数恒等于0。
- 对数函数的乘法法则：loga(mn) = loga(m) + loga(n)。
- 对数函数的除法法则：loga(m/n) = loga(m) - loga(n)。
- 对数函数的幂运算法则：loga(m^k) = k·loga(m)。
三、对数函数的常见题型1. 简单计算题型：- 计算给定底数和真数的对数值。
- 根据对数值计算给定底数和真数。
2. 方程求解题型：- 将对数方程转化为指数方程求解。
- 求解含对数的复合方程。
3. 不等式求解题型：- 将对数不等式转化为指数不等式求解。
- 求解含对数的复合不等式。
4. 图像应用题型：- 根据对数函数的图像特点作图。
- 根据图像解决实际问题。
总结：对数函数是数学中常用的函数之一，掌握对数函数的基本概念、性质和运算法则，能够灵活运用对数函数解决各种题型和实际问题。
希望通过这份文档，能够帮助大家系统地研究和掌握对数函数相关知识。
对数函数题型分类总结(学生版)
对数函数题型分类总结(学生版)对数函数题型分类总结（学生版）引言对数函数是高中数学中的一个重要内容，理解和熟练掌握对数函数的各种题型对学生研究数学有很大帮助。
本文将对常见的对数函数题型进行分类总结，并提供相关解题方法。
一、对数函数的定义对数函数是指以某个固定底数为底的指数函数。
在数学中常用的底数有10、e等。
对数函数可表示为log<sub>b</sub>(x)，其中b 为底数，x为真数。
二、对数函数的性质1. 对数函数的定义域是正数集(0, +∞)。
2. 对数函数的值域是实数集(-∞, +∞)。
3. 对数函数的图像在x轴的右侧是递增的，在y轴的上方有无数个点。
4. 对数函数log<sub>b</sub>(1)等于0。
5. 对数函数log<sub>b</sub>(b)等于1。
三、对数函数的常见题型1. 求解对数函数的定义域和值域。
2. 求解对数方程。
3. 求解对数不等式。
4. 求解指数方程和指数不等式。
5. 求解对数方程与指数方程的混合问题。
6. 求解含有对数函数的复合函数问题。
四、解题方法1. 对于求解对数函数的定义域和值域的题型，需要注意底数的取值范围，以及对数函数值的限制条件。
2. 对于求解对数方程和对数不等式的题型，需要将对数转化为指数形式，并注意检查解的可行性。
3. 对于求解指数方程和指数不等式的题型，可以通过对数函数的性质将其转化为对数方程或对数不等式进行求解。
4. 对于含有对数函数的复合函数问题，可以根据复合函数的性质和对数函数的性质进行分析和求解。
五、总结对数函数题型的分类总结有助于学生更好地理解和应用对数函数，提高解题能力。
学生在解题过程中应注意对数函数的定义和性质，灵活运用解题方法，加深对对数函数的理解和掌握。
参考资料- 高中数学教材- 在线数学研究资源- 学校数学教师指导以上是对数函数题型分类总结的学生版文档。
2023年高三数学《对数函数》知识梳理与题型战法
2023年高三数学《对数函数》知识梳理与题型战法第二章 函数2.5.1对数函数（题型战法）知识梳理一 对数的概念1.（1）；（2） （3）2.. .二 对数的运算法则（1）积 （2）商 （3）幂 （4）换底公式：， 推论:. 三对数函数的图像与性质 （1）定义域是()0+∞，，因此函数图象一定在y 轴的右边. （2）值域是实数集R .（3）函数图象一定过点()1,0.（4）当a >1时，log a y x =是增函数；当0<a <1时，log a y x =是减函数. （5）对数函数的图象（6）对数函数log a y x =和1log ay x =的图象关于x 轴对称. log 10a =log 1a a =log log a b N a a Na N Nb ⎫=⇒=⎬=⎭N N lg log 10简记作log ln e N N 简记作()log log log a a a MN M N =+log log log a a a M M N N=−log log a a M M αα=)1,0(log log log ≠>=c c aM M c c a )1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a题型战法题型战法一 对数与对数的运算典例1．计算： (1)7lg142lg lg 7lg183−+−；(2)求x 的值：5log (lg )1x =.【答案】(1)0；(2)510.【解析】【分析】（1）根据对数的运算法则计算即可；（2）根据对数的概念将对数式改为指数式即可求解.(1)原式()()()2lg 272lg7lg3lg7lg 32=⨯−−+−⨯ lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg2=+−++−−=0；(2)55log (lg )1lg 510x x x =⇒=⇒=.变式1-1．计算求值 (1)()3620189−⎛⎫−−− ⎪⎝⎭；(2)221lg lg2log 24log log 32+++；(3)已知623a b ==，求11a b−的值．【答案】(1)44 (2)92(3)1【解析】【分析】（1）由指数的运算法则计算（2）由对数的运算法则计算（3）将指数式转化为对数式后计算(1)()33622023218323172271449−⨯⎛⎫−−−=⨯−−=−−= ⎪⎝⎭；(2)221lg lg 2log 24log log 32+++()32232lg 2lg 2log 38log 3log 3=−++⨯+−2239log 33log 322=++−=； (3)6log 3a =，2log 3b =， 则31log 6a =，31log 2b =； 所以33311log 6log 2log 31a b−=−==．变式1-2．计算：13341log 2log 278⎛⎫−⨯+ ⎪⎝⎭． 【答案】12−.【解析】【分析】根据指数与对数的运算性质即可求解.【详解】 原式213321132231log 2log lg 2lg532⎡⎤⎛⎫=−⨯+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎢⎥⎣⎭⎦()3213log 2lo 132g lg 2lg522+⨯=−⨯⨯+ ()3213log 2l 13og 102lg 22+⨯=−⨯⨯ 132122=−+ =12−． 变式1-3．计算： (1)ln 2ln 3ln 36+； (2)22lg 2lg 52lg 2lg5++；(3)23log 9log 4⋅；(4)414log 28log 56+； (5)154311lg log 9log 125log 10032+−−；(6)81log 32+(8)235111log log log 2589⋅⋅． 【答案】(1)12(2)1(3)4 (4)12− (5)92−(6)1−(7)ln3e(8)12−【解析】【分析】根据指数幂的运算性质及换底公式逐一计算即可.(1)解：ln 2ln 3ln 61ln 362ln 62+==； (2)解：()222lg 2lg 52lg 2lg5lg 2lg51++=+=；(3)解：()2323log 9log 42log 32log 24⋅=⋅=；(4)解：2141444224111log 28log 56log 28log 56log log 2log 2222−+=−===−=−； (5)解：154311lg log 9log 125log 10032+−− 2223515231lg10log log 5log 23−−−⎛⎫=+−− ⎪⎝⎭52232=−−−+ 92=−；(6)解：81log 32+32532log 2lg10−=+52133=−+=−； (7)1ln3ln3e =+=；(8)解：235111log log log 2589⋅⋅ 232235log 5log 2log 3−−−=⋅⋅23512log 5log 2log 312=−⋅⋅=−. 变式1-4．计算：(1)230223482e lg 2lg5log 4log 927−−−⎛⎫−+++⨯ ⎪⎝⎭；(2)若3log 21x =，求22x x −+的值．【答案】(1)14(2)103 【解析】【分析】（1）根据分数指数幂、对数的运算法则及换底公式计算可得；（2）根据换底公式的性质得到2log 3x =，再根据指数对数恒等式得到2x ，即可得解；(1)解：230223482e lg 2lg5log 4log 927−−−⎛⎫−+++⨯ ⎪⎝⎭222322322lg 22lg5log 2log 2783⎛⎫=−−−+⨯ ⎪⎝⎭ ()2333239122lg2lg52log 2log 3222442⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=−−+⎢+⋅=−−⎝⎥+⎣=⎭⎦ (2)解：3log 21x =，∴231log 3log 2x ==， ∴2o 3l g 223x ==，11022333x x −∴+=+=．题型战法二 对数函数的概念典例2．已知函数①4x y =；②log 2x y =；③3log y x =−；④0.2log y =⑤3log 1y x =+；⑥()2log 1y x =+.其中是对数函数的是（ ）A ．①②③B ．③④⑤C ．③④D ．②④⑥【答案】C【解析】【分析】依据对数函数的定义即可判断.【详解】根据对数函数的定义，只有符合log a y x =（0a >且1a ≠）形式的函数才是对数函数，其中x 是自变量，a 是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中313log log y x x =−=，是对数函数；④中0.20.04log log y x =，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数. 故选：C .变式2-1．给出下列函数： ①223log y x =；②3log (1)y x =−；③(1)log x y x +=；④log e y x =. 其中是对数函数的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的特征判断即可得答案.【详解】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x ；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．故选:A.变式2-2．下列函数是对数函数的是（ ）A ．y ＝ln xB ．y ＝ln(x ＋1)C ．y ＝log xeD ．y ＝log xx【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的定义判断．【详解】 A 是对数函数，B 中真数是1x +，不是x ，不是对数函数，C 中底数不是常数，不是对数函数，D 中底数不是常数，不是对数函数．故选：A ．变式2-3．函数()()25log a f x a a x =+− 为对数函数，则18f ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．3B ． 3−C ．3log 6−D ．3log 8−【答案】B【解析】【分析】 可以先根据对数函数的性质来确定a 的取值范围，再带入18得出结果．【详解】因为函数()f x 为对数函数，所以函数()f x 系数为1，即251a −=，即2a =或3−，因为对数函数底数大于0，所以2a =，()2log f x x =， 所以138f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭． 【点睛】对数函数的系数等于一、真数大于0、底数大于0且不等于1．变式2-4．对数函数的图像过点M (125，3)，则此对数函数的解析式为（ ） A ．y ＝log 5xB ．y ＝15log xC ．y ＝13log xD ．y ＝log 3x【答案】A【解析】【分析】设对数函数y ＝log ax (a >0，且a ≠1)，将点代入即可求解.【详解】设函数解析式为y ＝log ax (a >0，且a ≠1)．由于对数函数的图像过点M (125，3)，所以3＝log a 125，得a ＝5.所以对数函数的解析式为y ＝log 5x .故选：A.题型战法三 对数函数的图像典例3．在同一坐标系中，函数2x y =与2log y x =的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合对数函数与指数函数的性质，即可得出结果.【详解】由指数函数与对数函数的单调性知： 2x y =在R 上单调递增，2log y x =在()0+∞，上单调递增，只有B 满足.故选：B.变式3-1．函数()x f x a −=与()log a g x x =−在同一坐标系中的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分别讨论1a >和01a <<时函数()x f x a −=与()log a g x x =−在的单调性和所过定点，利用排除法即可求解.【详解】由对数和指数函数的性质可得0a >且1a ≠，当1a >时，()x f x a −=过点()0,1在R 上单调递减，()log a g x x =−过点()1,0在()0,∞+单调递减，所以排除选项C ，当01a <<时，()x f x a −=过点()0,1在R 上单调递增，()log a g x x =−过点()1,0在()0,∞+单调递增，所以排除选项AD ，故选：B.变式3-2．如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b【答案】D【解析】【分析】 根据对数函数的图象与单调性确定大小．【详解】y ＝log ax 的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a ＞1，函数y ＝log bx ，y ＝log cx 的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b ，c ∈（0，1），又易知c ＞b ，故a ＞c ＞b .故选：D ．变式3-3．已知函数()log 31a y x =++(0a >且1)a ≠，则函数恒过定点（ ） A ．()1,0B ．()2,0−C ．()0,1D ．()2,1−【答案】D【解析】【分析】利用对数函数过定点求解.【详解】令31+=x ，解得2x =−，1y =，所以函数恒过定点()2,1−，故选：D变式3-4．函数()log 231a y x =−+的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是（ ） A ．()2,1 B ．()2,0 C ．()2,1− D ．()1,1【答案】A 【解析】 【分析】令真数为1，求出x 的值，再代入函数解析式可得定点P 的坐标. 【详解】令231x −=，可得2x =，此时log 111a y =+=，故点P 的坐标为()2,1. 故选：A.题型战法四 对数函数的定义域典例4．函数()()ln 2f x x =−的定义域为（ ） A ．[)0,2 B ．(),2−∞ C ．[)0,∞+ D ．()0,2【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数的性质和二次根式的性质求解． 【详解】由题意020x x ≥⎧⎨−>⎩，解得02x ≤<．故选：A ．变式4-1．使式子(31)log (3)x x −−有意义的x 的取值范围是（ ） A ．3x > B ．3x < C ．133x <<D ．133x <<且23x ≠【答案】D 【解析】 【分析】对数函数中，底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式，求出x 的取值范围. 【详解】由题意得：31031130x x x −>⎧⎪−≠⎨⎪−>⎩，解得：133x <<且23x ≠.故选：D变式4-2．函数y = ）A ．[2,)+∞B ．(,2]−∞C ．[1,2]D ．(1,2]【答案】D 【解析】 【分析】根据根式、对数函数的性质有011x <−≤，即可得定义域. 【详解】由题设，12log (1)0x −≥，即011x <−≤，可得12x <≤. 所以函数定义域为(1,2]. 故选：D变式4-3．函数()()ln e 2xf x =−+）A ．()1,2B ．()ln 2,2C ．()()ln 2,11,2⋃D ．[)(]ln 2,11,2⋃【答案】C 【解析】 【分析】根据使函数有意义得到不等式组，解得即可； 【详解】解：因为()()ln e2xf x =−， 所以e 201020x x x ⎧−>⎪−≠⎨⎪−>⎩，解得ln 22x <<且1x ≠，所以函数的定义域为()()ln 2,11,2⋃； 故选：C变式4-4．已知函数()21log xf x x−=，()1f x +的定义域为M ，()2f x 的定义域为N ，则（ ） A ．M N = B ．M N ⋂=∅C ．M ⊆ND ．N ⊆M【答案】B【解析】 【分析】分别求出()1f x +的定义域为M 和()2f x 的定义域为N 即可求解. 【详解】()21log 1xf x x −+=+，则{}10M x x =−<<， ()2122log 2xf x x −=，则102N x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，所以M N ⋂=∅，故选：B ．题型战法五 对数函数的值域典例5．函数ln(2)1y x =−+的值域为（ ） A ．R B ．(1,)+∞ C ．[1,)+∞ D ．(2,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】由ln y x =的值域为R 可得ln(2)1y x =−+的值域为R . 【详解】由对数函数ln y x =的值域为R 2个单位得函数1ln(2)y x =−的值域为R ， 则ln(2)1y x =−+的值域为R ， 故选：A.变式5-1．函数()2log 21xy =+的值域是（ ）A ．[1,)+∞B ．(0,1)C ．(,0)−∞D ．(0,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的性质可求原函数的值域. 【详解】设21x t =+，则211x t =+>，故()2log 210x+>， 故()2log 21xy =+的值域为(0,)+∞，故选：D.变式5-2．函数()()1lg 4211x x f x +=−+的最小值是（ ）．A ．10B ．1C ．11D ．lg11【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法，令14211x x t +=−+，则lg y t =，先求出t 的范围，从而可求出函数的最小值 【详解】设14211x x t +=−+，则lg y t =，因为()()221421122211211010x x x x x t +=−+=−⋅+=−+≥，所以lg lg101y t =≥=，所以()()1lg 4211x x f x +=−+的最小值为1，故选：B变式5-3．若函数()()2ln ,0,2,03x a x f x x x x ⎧−−≤<=⎨−+≤≤⎩的值域为[)3,∞−+，则a 的取值范围是（ ）A ．)3e ,0⎡−⎣B ．31e ,e ⎡⎫−−⎪⎢⎣⎭C ．31e ,e ⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦D ．31e ,e⎛⎫−− ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】求出当03x ≤≤和0a x ≤<时的取值范围，结合值域关系建立不等式进行求解即可 【详解】当03x ≤≤ 时，22()2(1)1[3,1]f x x x x =−+=−−+∈− 当0a x ≤< 时，()ln()[ln(),)f x x a =−−∈−−+∞ 要使()f x 的值域为[)3,∞−+则3ln()1a −≤−−≤ ，31e ea ∴−≤≤−故选：C变式5-4．已知函数()23log y x m =+的值域为[2,)+∞，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．3C ．9D ．27【答案】C 【解析】根据对数型复合函数的性质计算可得； 【详解】解：因为函数()23log y x m =+的值域为[2,)+∞，所以2y x m =+的最小值为9，所以9m =；故选：C题型战法六 对数函数的单调性典例6．函数213log (2)y x x =−的单调减区间为（ ） A ．(0,1] B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[0,2]【答案】A 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，利用二次函数的性质求得函数的单调区间，结合复合函数单调性的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式220x x −>，即22(2)0x x x x −=−<，解得02x <<， 即函数()f x 的定义域为()0,2，令()22g x x x =−，可得其图象开口向下，对称轴的方程为1x =，当(0,1]x ∈时，函数()g x 单调递增，又由函数13log y x=在定义域上为单调递减函数， 结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数213log (2)y x x =−的单调减区间为(0,1].故选：A.变式6-1．函数()()212log 6f x x x =−++的单调递增区间是（ ） A ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,2⎛⎫− ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，进而根据“同增异减”求得答案.由题意，()2260602,3x x x x x −++>⇒−−<⇒∈−，()212125log 24f x x ⎡⎤⎛⎫=−−+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，按照“同增异减”的原则可知，函数的单调递增区间是1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A.变式6-2．已知函数()()22log 45f x x x =−−在(),a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(],1−∞− B ．(],2−∞ C ．[)2,+∞ D ．[)5,+∞【答案】D 【解析】 【分析】复合函数单调性问题，第一步确定定义域，第二步同增异减，即可得到答案. 【详解】由2450x x −−>，得1x <−或5x >，即函数()f x 的定义域为(,1)(5+)−∞−∞，， 令245t x x =−−，则()229t x =−−，所以函数t 在(),1−∞−上单调递减，在(5+)∞，上单调递增，又函数lg y t =在()0,+∞上单调递增， 从而函数()f x +)∞，，由题意知(+)(5+)a ∞⊆∞，，，∴5a ≥ . 故选：D.变式6-3．已知函数()log (3)a f x ax =−在[]0,1上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()1,3 C ．()0,3 D ．()1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性同增异减求得a 的取值范围. 【详解】由于0a >且1a ≠，所以3y ax =−为减函数， 根据复合函数的单调性同增异减可知1a >.所以310131a a a −⨯>⎧⇒<<⎨>⎩.故选：B变式6-4．已知()()()2213,2log 23,2a x a x a x f x x x ⎧−−+≤⎪=⎨−−>⎪⎩是(),−∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ） A ．5,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[]1,6D ．51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】根据()f x 的单调性列不等式组，由此求得a 的取值范围. 【详解】因为()()()2213,2log 23,2a x a x a x f x x x ⎧−−+≤⎪=⎨−−>⎪⎩是(),−∞+∞上的减函数，所以()21221422130a a a a −⎧≥⎪⎪>⎨⎪−−+≥⎪⎩，解得562a ≤≤．故选：A题型战法七 比较大小与解不等式典例7．若13π212log 3,log 3a b c ===，，则（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．b a c << D ．a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性进行判断可. 【详解】因为103πππ221221,0log 1log 3log π=1,log log 103>==<<<=， 所以c b a <<，故选：A变式7-1．设2log 0.3a =，122log 5b =，0.30.4c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．b a c >>【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行求解判断即可. 【详解】因为22log 0.3log 10a =<=，122225log log log 2152b ==>=，0.3000.40.41c <=<=， 所以有b c a >>， 故选：B变式7-2．若0.80.60.80.6log log 0.2a b c ===，8，，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数与指数函数的性质判断． 【详解】由对数函数和指数函数性质得：0.6log 80<，0.80.8log 0.2log 0.81>=，0.800.61<<，所以b a c <<． 故选：D ．变式7-3．不等式()2log 311x +<成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．1133x −<< B ．0x < C ．113x −<< D ．103x <<【答案】D 【解析】 【分析】先利用对数函数单调性解不等式，再判断出充分不必要条件. 【详解】由()211log 31133x x +<⇔−<<，由于1110333x x <<⇒−<<，而1133x −<<⇒103x <<，故不等式()2log 311x +<成立的一个充分不必要条件是103x <<，A 选项是充要条件，B 选项是既不充分也不必要条件，C 选项是必要不充分条件. 故选：D.变式7-4．设函数()133,12log ,1x x f x x x −⎧≤=⎨−>⎩，则满足()3f x ≤的x 的取值范围是（ ）A ．[)0,+∞B ．[)1,+∞C ．(),0−∞D ．[)0,1【答案】A 【解析】 【分析】分1x ≤和1x >两种情况解不等式即可 【详解】当1x ≤时，由()3f x ≤，得133x −≤，得11x −≤，解得01x ≤≤， 当1x >时，由()3f x ≤，得32log 3x −≤，得13x ≥，所以1x >， 综上，0x ≥， 故选：A题型战法八 对数函数的应用典例8．人们常用里氏震级e M 表示地震的强度，S E 表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为2lg 4.83e s M E =−，2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏4.2级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏6.0级地震，则后者释放的能量大约为前者的（ ）倍．(参考数据：0.30.710~2.00,10 5.01=) A ．180 B ．270 C ．500 D ．720【答案】C 【解析】 【分析】设前者、后者的里氏震级分别为e e M M '''、，前者、后者释放出的能量分别为E '、E ''，根据已知关系式列式相减，利用对数运算法则可得． 【详解】设前者、后者的里氏震级分别为e e M M '''、，前者、后者释放出的能量分别为E '、E ''，则其满足关系2lg 4.83e s M E ''=−和2 4.83e s M lgE ''''=−，两式作差可以得到22lg lg ,33e e s s M M E E ''''''−=−，即 2.710s sE E '''=，所以 2.730.3101010500s s E E '''==÷≈，故选：C ．变式8-1．中国的5G 技术领先世界，5G 技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C 取决于信道带宽W ，经科学研究表明：C 与W 满足2log (1)SC W N=+，其中S 是信道内信号的平均功率，N 是信道内部的高斯噪声功率，SN为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W ，而将信噪比S N从1000提升至4000，则C 大约增加了（ ）(附：lg 20.3010≈) A ．10% B ．20%C ．30%D ．40%【答案】B 【解析】 【分析】 先计算1000S N=和4000SN =时的最大数据传输速率1C 和2C ，再计算增大的百分比211C C C −即可. 【详解】 当1000SN=时，122log 1001log 1000C W W =≈； 当4000SN=时，222log 4001log 4000C W W =≈. 所以增大的百分比为：2122112log 4000lg 4000lg 4lg10001111log 1000lg1000lg1000C C C W CC W −+=−=−=−=−lg 42lg 220.30100.220%lg100033⨯==≈≈=. 故选：B.变式8-2．中国的5G 技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C （单位：bit/s ）取决于信道宽度W （单位：HZ ）､信道内信号的平均功率S （单位：dB ）、信道内部的高斯噪声功率N （单位：dB ）的大小，其中SN叫做信噪比，按照香农公式，若信道宽度W 变为原来2倍，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了（ ）（附：lg 20.3≈） A ．110% B ．120% C ．130% D ．140%【答案】D 【解析】 【分析】利用对数减法与换底公式可求得结果. 【详解】 当1000SN=时，2log 1001C W =； 当40000SN=时，信道宽度W 变为原来2倍，22log 4001C W =. 因为222210002222log 4001log 10012log 400142log 10004114log 21lg 21 1.4log 1001log 1001log 10003W W W −+=−≈−=+=+≈.故选：D.变式8-3．声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足12()10lg110x f x −=⨯⨯. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ） A ．105倍 B ．108倍 C ．1010倍 D ．1012倍【答案】B 【解析】首先设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为12,x x ，根据题意得出()1140f x =，()260f x =，计算求12x x 的值. 【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为12,x x ，()111210lg 140110x f x −=⨯=⨯，2110x =， ()221210lg60110x f x −=⨯=⨯，6210x −=，所以81210x x =， 因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的810倍. 故选：B变式8-4．某工厂2015年生产某产品2万件，计划从2016年开始每年比上一年增产20%，从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件（已知lg20.3010=，1g30.4771=）（ ）A ．2019年B ．2020年C ．2021年D ．2022年【答案】D 【解析】 【分析】根据2016年开始每年比上一年增产20%，由()21206n+%>求解即可. 【详解】2015年为初始值，再过1年，即2016年，产品的年产量为()2120%+， 再过n 年（n N ∈），这家工厂生产这种产品的年产量为()2120%n+， 由()21206n+%>得，1.23n >， 两边取对数得，lg1.2lg3n >， 即lg3lg3lg30.47716.2lg1.2lg1212lg 2lg310.60300.47711n >===≈−+−+−， 而n N ∈，故7n =，即2022年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件. 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于读懂函数模型，熟练掌握对数的运算，才能根据实际情况突破难点.题型战法九 反函数典例9．已知函数()2log f x x =，其反函数为（ ）A ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()21log f x x=C ．()f xD ．()2xf x =【答案】D 【解析】 【分析】利用反函数定义求解. 【详解】()2log f x x =的反函数为2log x y =，即2x y =，故其反函数为()2x f x =.故选：D变式9-1．函数21()1(2)2f x x x =+<−的反函数是（ ）A ．3)y x =≤<B ．3)y x >C ．3)y x =≤<D ．3)y x =>【答案】D 【解析】 【分析】设211(2)2y x x =+<−，反解后可得反函数.【详解】设211(2)2y x x =+<−，则3y >，且3)x y =>，故原函数的反函数为3)y x ==>， 故选：D.变式9-2．设函数()x f x a b =+（0a >，且1a ≠）的图象过点()0,1，其反函数的图象过点()2,1，则a b +等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A 【解析】 【分析】反函数过点(),m n ，则原函数过点(),n m 【详解】()f x 反函数的图象过点(2,1),则()f x 的图象过点(1,2)所以0112a b a b ⎧+=⎨+=⎩,解得20a b =⎧⎨=⎩,所以2a b += 故选 ：A变式9-3．已知函数()3log f x x =与()g x 的图像关于y x =对称，则()1g −=（ ） A ．3 B ．13C ．1D ．1−【答案】B 【解析】 【分析】根据同底的指数函数和对数函数互为反函数可解. 【详解】由题知()g x 是()3log f x x =的反函数，所以()3x g x =，所以()11133g −−==.故选：B.变式9-4．与函数14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于直线y x =对称的函数是（ ）A ．4x y =B ．4x y −=C ．14log y x =D ．4log y x =【答案】C 【解析】 【分析】利用函数x y a =与log a y x =（0a >且1a ≠）互为反函数可得出结果. 【详解】因为函数x y a =与log a y x =（0a >且1a ≠）互为反函数，且这两个函数的图象关于直线y x =对称，因此，与函数14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于直线y x =对称的函数是14log y x=. 故选：C.。
对数与对数函数知识点及题型归纳总结
对数与对数函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、对数概念a xN(N 0) n log a N(a 0且a 1) ，叫做以 a 为底 N 的对数. 注：① N 0，负数和零没有对数；② log a 1 0,log a a 1 ；③lg N log 10 N,ln N log e N .二、对数的运算性质(1) log a (MN) log a M log a N(M,N R ); (2)log a M log a M log a N(M,N R );N(3) log a M nnlog a M(M R ); (4) log a b log cb (a 0且a 1,b 0,c 0且c 1() 换底公式) log c a(5) log a mb nn log a b(a,b 0,m 0,a 1,n R)； am (6) a loga NN(N 0,a 0且a 1)；(6)log a a NN(N R,a 0且a 1). 化常数为指数、对数值常用这两个恒等式 .三、对数函数1)般地，形如 y log a x(a 0且a1) 的函数叫对数函数特殊地 log a b1 log b a(a,b0且a 1,b 1)；题型归纳及思路提示题型 1 对数运算及对数方程、对数不等式 思路提示对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等 .对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正 . 一、对数运算例 2.56 2log 510 log 5 0.25 (解析 2log 510 log 5 0.25 log 5 102 log 5 0.25 log 5 (100 0.25) 故选 C .评注 熟记对数的各种运算性质是求解本类问题的前提 变式 1 已知 x, y 为正实数，则（A.2lg x lg y 2lg x 2lgyB.2lg( x y)解析 5lg30 (1)lg0.5 x,3A.0B.1C.2D.4分析 nlog a x mlog a y log a x nlog am n mymlog a (x ny m).log 5 5222lg x 2lgy 2lgx 2lg y变式 2 (lg 2)2lg4变式 3lg522lg83 例 2.57log2781log 48解析log 27 81 log 33 34所以原式 4 3 17.(lg 2)243,log 4 8 log 22 2332log2 2变式 1log 2 ( 6 4 2 6 4 2)例 2.58 5lg30 (1)lg0.53分析 a b(a,b 0) log c a log c b.lg5 lg 20264 3log 33lg5 (lg5) 2C.2lg x lgy 2lgx 2lg yD.2lg(xy) 32)若 a 4，求函数 f(x)的零点 .三、对数不等式log a a 2x2a x2 ，则使 f(x) 0的 x 的取值范围是()A.( ,0)B.(0, )C.( ,log a 3)D.(log a 3, )分析 先将对数不等式化为同底的形式，再利用单调性转化为指数不等式求解 . 解析 f(x) log a a 2x 2a x 2 0 log a 1，又 0 a 1，函数 y log a x 在 (0, )上单调递减，得则lg x lg 5lg30 ( 1)lg0.5lg 5lg30lg13lg0.5lg30 lg5 lg 0.5 lg 1(lg30 lg3) lg5 (lg5 lg10)(lg1 lg3) lg5 lg3 lg5 lg 3 lg5 lg3lg15所以 x 二、对数方程 例 2.59 解下列方151(1) (lg x lg3) lg5 2 2 (2)log x 2 1(2x 23x 1)1lg(x 10); 2 1.分析 利用对数的运算性质化简后求解 .11解析(1) (lg x lg3) lg5 lg(x22xlgx lg3 2lg5 lg(x 10) ，即lg10) lg ，首先方程中的 x 应满足x 10，原方程可变形为 25 x 2525 ，得 x 25 ，从而 x 15或 x 5(舍)，经检验，x 10 3 x 10x 15 是原方程的解 .2( 2)log x 21(2x 3x1) 1 ，x 21 0且 x 212x 23x 1 x 21，解得 x 2.1经检验 x 2 是方程的解 . 评注解对数方程一定要注意对数方程成立条件下 x 的取值范围，是检验求出的解是否为增根的主要依据变式 1 函数 f (x) log 2(4x 1)ax.1)若函数 f (x) 是R 上的偶函数，求实数a 的值；例 2.60 设 0 a 1，函数 f (x)所以 x log a 3. 故选 C.的解集为 .例 2.61 设 a log 5 4,b （log 5 3）2,c log 45,则（）A.a c bB.b c aC.a b c Db. a c分析利用对数函数的单调性来比较对数的大小，通常借助 0和 1作为分界点解析 因为y log 5 x 在 （0, ）上单调递增，所以log 5 3 log 54 1,且 log 4 5 1 (log 5 3)2log 53 log 54 1 log 45 b a c故选 D .变式1设a lg e,b (lg e)2,c lg e ，则( )A.a b cB.a c bC.c a b Dc. b alog 3 0.3变式 2 设 a 5log 23.4,b 5log 43.6,c1 5，则（ ）A.a b cB.b a cC.a c bD.ca b1, y log 5 2,z e 2，则()变式4（2012 大纲全国理 9） 已知x lnA.x yz B.z xyC.z y xD.y z x题型 2 对数函数的图像与性质思路提示研究和讨论题中所涉及的函数图像与性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法 问题是数和形结合的护体解释 .它为研究函数问题提供了思维方向、对数函数的图像 例 2.62如图 2-15所示，曲线 C 1,C 2,C 3,C 4是底数分别为 a,b,c,d 的对数函数的图像， 对应的底数 a, b, c, d 的取值依次为（）a 2x2a x2 1即a 2x2a x3 0 (a x3)(a x1) 0，因为 a x1 0 ，故 a x3 ，又 0 a 1，变式 1 已知函数 f （x ） 为R 上的偶函数，且在 0, 上为增函数，10 ，则不等式 3log 1 x 0.图像与性质则曲线 C 1,C 2,C 3,C 4分析 给出曲线的图像，判定 C 1,C 2,C 3,C 4所对应的 a,b,c,d 的值，可令 y 1求解.解析如图 2-16所示，作直线 y 1交C 1,C 2,C 3,C 4于A,B,C,D ，其横坐标大小为 0 c d 1 a b ， 11 那么C 1,C 2,C 3,C 4所对应的底数 a,b,c,d 的值可能一次为 2,3, , .故选 B .32评注对 数函数 在同一 直角坐标系中 的图像的相对位置与底数大小的关系如图 2-16 所示，则 0 c d 1 a b .ylog a x(a 0且a 1)在第一象限的图像， a 越大，图像越靠近 x 轴； a 越小， 图像越靠近 y 轴.变式 1 若函数 f(x) a x (a 0且a 1)是定义域为 R 的增函数，则函数 f (x) log a (x 1)的图像大 致是( )11A.3, 2, ,32 11C.2,3, 1 , 123 B.2,3, 1,13,2D.3, 2, 21 , 1323y log a (x 1) 2恒过顶点 (0, 2) .变式 1 函数 y log a (x 2) 2x 1 的图像过定点 二、对数函数的性质(单调性、最值(值域) )分析本题考查对数函数的单调性和最值变式 2 设 a,b,c 均为正数，且 2alog 1 a, 2log 1 b, 21log 2 c，则A.a b C.c a cB.c b a b Db. ac 例 2.63 函数 y log a (x 1) 2的图像必过定点 分析 对数函数 y log a x(a 0且a 1)的图像过定点 (1,0) ，即 log a 1 0.解析因为 y log a x(a 0且a 1) 恒 过点 (1,0) ，故令 x 1 1,即 x 0 时 ， y log a (x 1) 0 ，故例 2.64 设 a 1，函数 f (x) log a x 在区间 a,2a上的最大值与最小值之差为1，则 a ( ) 2令t log 2 x12,3，则 f (x)2g(t) t 23t 2当t 3 ,即 x 222时， f ( x) min 11;当t 3,即 x48时, f ( x)max 2.变式 1 已知f (x) 2 log 3 x(x1,9 ) ，求函数 22g(x) f (x) f (x 2) 的最大值与最小值又 f (x) (log 2 x 1)(log 2 x 2) 3log 2 x 2.(log 2 x)2解析因 为 对 数 函 数 的 底 a 1 ， 所以函数f (x) log a x 在 区 间a,2a 上 单 调 递 增 ， 故 f (x)maxlog a 2a, f(x)minlog a a1,log a 2a1，即 log a 2 1 解得 22a 4 故选 D .变式 1若函数 f (x)log a x(0 a1)在区间 a,2a 上的最大值是最小值的 3倍，则 a 等于( )A. 2 4B. 22C.14D.12例 2.65 设 2(log 1 x)2 27log 1 x20,求f(x)log 2 x log 2 x 24的最大值和最小值 .解析 2(log 1 x)227log 1 x2(2log 1 x 21) (log 1 x 3) 023 log 1 x212解得8.3xxx xlog 2 x(x 0)log ( x)(x 0)，且f(a) f( a) 则实数 a 的取值范围是 .2C.(3, )D. 3,0,2 ，则区间 a,b 的长度的最大值与最小值的差为 题型 3 对数函数中的恒成立问题思路提示 (1)利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解； (2)分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题,1 上恒成立 .解析依题意，函数 f (x)的图像如图 2-17所示，知 f (x)为奇函数，由 f(a) f( a) 的得 f(a) 0 ，解得A.(2 2, )B. 3 2,a b ，且 f (a) f (b) ，则2b 的取值范围是(例 2.67 已知函数 f(x) lg 1 2 a 4 ，若 x ,1 时有意义，a 得取值范围 .解析 因为f(x) lgxx 1 2x a 4x 在x3,1 上有意义，即1 2x40 在 ,1 上恒成立 .令g(x),x ,1 .例 2.66 若函数 f (x)变式 2 定义区间x 1,x 2 (x 1 x 2) 的长度为 x 2 x 1 ，已知函数 f(x) log 1 x 的定义域为 a,b 2，值域为所以 axx若 g(x) 存在最大值， 则 g(x) a 恒成立等价于 g(x)max a ；A.(0,1)B.(1,2)C. 1,2D. 0,121在2 ,1 上 为减函数 ，故 g(x) 在 ,1 上为增 函数， 所以对 任意的,1 时， g(x) g(1)因为 a ,1 上恒成立，所以 a所以 a 的取值范围是3,4若 g(x) 不存在最大值，设其值域为 g(x)m,n ，则 g(x) a 恒成立等价于 a n .变式 1 当 x (1,2) 时，不等式2x1log a x 恒成立，则 a 的取值范围是()1.设 a log 1 2,b log 1 3,c，则( )222A.a b cB.a c bC.b c aDb. a clog 2 ( x 1)(x 2)2.设函数 f(x)x1 12 1(x 2)，若 f (x 0) 1 ，则 x 0 的取值范围是()A.( ,0) U(2,) B.(0,2)C.( , 1)U (3, )D.( 1,3)3.设定义在区间 (1 axb,b)上的函数 f (x) lg 是奇函数 (a,b R 且a1 2x2)，则 A. 1, 2B. 0, 2C.(1, 2)D.(0, 2)4.已知 y log a (2ax) 在 0,1 上是 x 的减函数，则a 的取值范围是()最有效训练题0.2a b的取值范围是()A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.(2, )评注 为了求 a 的取值范围， 把a 进行了分离， 变式 2 函数 f (x) log a (x 3a)(a0且a 1)，当点 P(x, y) 是函数 y f(x)图像上的点时，点Q(x 2a, y)是函数 y g(x) 图像上的点 .1) 写出函数 y g(x) 的解析式； 2) 当 a a 2,a 3 时，恒有f(x) g(x) 1，试确定 a 的取值范围2y f (x) log 5 x 的零点个数是()A.3B.4C.5D.67.设函数 f(x) ln(x 1) ，若 1 a b 且f(a) f(b)，则 a b 的取值范围是 ___________________ .8.已知 lg x lg y 2lg(2 x 3y) ，则 log 2 y ________________ .3x29.若函数 y log a (x 1 2 ax 1)在 1,2 上为增函数，则实数 a 的取值范围是 _____________ ..1 ax11.设 f(x) log 1 为奇函数， a 为常数 .2 x 1(1)求 a 的值；(2)证明： f(x)在区间 (1, )内单调递增；3)若对于区间 3,4 上的每一个 x 值，不等式 f (x)1212.已知集合 P,2 ，函数 y log 2( ax 22x 2) 的定义域为 Q .1)若 PI Q，求实数 a 的取值范围；2)若方程 log 2 ( ax 2 2x 2) 2在 P 内有解，求实数 a 的取值范围则函数2x ，10.已知函数f (x) log2x ，正实数m,n满足m n，且f(m) f(n)，若f(x) 在区间m2,n 上的最大值为2 ，则m n __________________ .m 恒成立，求实数m 的取值范围2。
对数与对数函数题型归纳
对数与对数函数题型归纳题型一 对数式的化简与求值 【题型要点】对数运算的一般思路(1)转化：①利用a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)对题目条件进行转化． ②利用换底公式化为同底数的对数运算．(2)恒等式：关注log a 1＝0，log a a N ＝N ，a log aN ＝N 的应用．(3)拆分：将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算法则化简．.(4)合并：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．【例1】(2019·全国卷Ⅱ)已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax ，若f (ln 2)＝8，则a ＝________. 【例2】设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于________．【例3】已知log 23＝a ，3b ＝7，则log 37221的值为________．【例4】．计算log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25等于( ) A ．0 B ．2 C ．4D ．6题型二 对数函数的图象及应用【题型要点】1．对数函数图象的特征(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a >1时，图象上升；0<a <1时，图象下降.(2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图，其中图象的相对位置与底数大小有关，图中0<c <d <1<a <b . 在x 轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大； 在x 轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大． (无论在x 轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大) 2．利用对数函数的图象可求解的三类问题(1)对数型函数图象的识别．解此类问题应从对数函数y ＝log a x 的图象入手，抓住图象上的三个关键点(a,1)，(1,0)，⎪⎭⎫⎝⎛11，a ，特别地要注意a >1和0<a <1的两种不同情况． (2)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(3)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【例1】已知lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )【例2】在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+21x (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )题型三 对数函数的性质及应用 命题角度一 比较大小【题型要点】比较对数值大小的常见类型及解题方法50.5A ．a <c <b B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b【例2】已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c的大小关系为()A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b命题角度二 解对数不等式【题型要点】求解对数不等式的两种类型及方法【例3】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)【例4】已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值范围是________． 命题角度三 与对数函数有关的函数性质问题【题型要点】1.解与对数函数有关的函数性质问题的三个关注点 (1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论． (2)底数与1的大小关系．(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的． 2.解决与对数函数有关的函数的单调性问题的具体步骤【例5】函数y ＝log a (2－ax )在区间[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2)D ．(2，＋∞)【例6】．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log ax ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．【例7】已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．题型四 数形结合法在对数函数问题中的应用【例1】设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝0 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<1【例2】设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是________．二、高效训练突破 一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则⎪⎭⎫⎝⎛21f ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－12D.222．已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <bD ．b <c <a3.已知a ＝log 35，b ＝1.51.5，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．a <c <bD ．a <b <c4.函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >0，且a ≠1)的大致图象是( )5.设a ＝log 0.30.4，b ＝log 30.4，则( ) A ．ab ＜a ＋b ＜0 B ．a ＋b ＜ab ＜0 C ．ab ＜0＜a ＋bD ．a ＋b ＜0＜ab6.(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．1010.1 B ．10.1 C ．lg 10.1D ．10－10.17.若log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＜－1，则( ) A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜3y ＜2x C ．3y ＜2x ＜5zD ．5z ＜2x ＜3y8.已知2log 311=x x 1＝log 132，x 2＝2－12，x 3满足331x ⎪⎭⎫ ⎝⎛＝log 3x 3，则( )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 1<x 3<x 2C ．x 2<x 1<x 3D ．x 3<x 1<x 2二、填空题1.已知函数f (x )＝x 3＋a log 3x ，若f (2)＝6，则⎪⎭⎫⎝⎛21f ＝________． 2．已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是________．3.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．4．已知函数f (x )＝|log 3 x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm ＝________．5.已知函数y ＝log a (x －1)(a ＞0，且a ≠1)的图象过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝2x ＋b 的图象上，求f (log 23) 6．已知函数y ＝log a x (2≤x ≤4)的最大值比最小值大1，则a 的值为________．7.若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋1)(a ＞0且a ≠1)没有最小值，则a 的取值范围是________． 8.已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)单调递减，则a 的取值范围为________． 三 解答题1.设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡230，上的最大值．2．已知函数f(x)＝log a x(a＞0且a≠1)的图象过点(4，2)．(1)求a的值；(2)若g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x)，求g(x)的解析式及定义域；(3)在(2)的条件下，求g(x)的单调减区间．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
对数函数题型归纳总结
题型一图像型：
类型一对数函数图像的性质：
1、已知三个对数函数：y =log a x ，y =log b x ，y =log c x ，它们分别对应如图中标号为①②③三个图象，则a ，b ，c 的大小关系
2、当01a <<时，在同一坐标系中，函数1
()x
y a
=与log a y x =的大致图像只可能是（
）
A.B．C．D．
变式训练：
1.在同一坐标系中，函数10x y =与lg y x =的图像之间的关系是（）
A．关于y 轴对称B．关于x 轴对称C．关于原点对称
D．关于y x =轴对称
2．当1a >时，在同一平面直角坐标系中，函数x y a =与1log a
y x =的图象可能为（
）
A．B．C．D．
题型二图像的变换与平移型：
2、函数2log ||y x =的图像大致是（
）
A．B．C．D．
3、已知函数()a f x x =满足(2)4f =，则函数()log (1)a g x x =+的图象大致为（
）
A．B．C．D．
类型三图像的判断：
1、函数ln ||
()x f x x
=的部分图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
题型二函数过定点
1、函数log (23)1a y x =-+（(0a >且1)a ≠）的图象恒过定点A ，则A 点坐标为________．
2、函数()()log a f x x m =+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点()2,n ，则m n +的值为___．
题型三解不等式型：
1、解下列不等式：
（1）)
103(log log 2
12
2
1+>x x （2）)3(log )42(log 22
4+>++x x x （3）)
2(log )4(log 2->-x x a a （4）12
1
log >x
（5）33
log (21)log (4)1x x -+-<（6）03log 7)(log 22
12
2
1≤++x x 变式训练：
1.解下列不等式：
（1）3
log 14a <（2）1log 13a <（3）31log 2
x <（4）
2112log (23)log (56)x x +<-题型四函数的单调性型：类型一一般函数的单调性：
【判断函数】
1、下列函数中,在(0,)+∞上是增函数的是()
A．4()log f x x
=B．1()2x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
C．3()f x x =D．2()4f x x =-+2.下列函数中，值域为R 且在区间()0,∞+上单调递增的是（）
A．22y x x
=+B．1
2x y +=C．ln y x
=D．()1y x x
=-。