22章 一元二次方程 复习课件
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一元二次方程复习课(绝对经典)
2
2
关于 x的一元二次方程 x (2k 3) x k 0有
2 2
两个不相等的实数根 、
(1)求k的取值范围； （ ）若 6, 求（ ） 3 5的值 2 解： )由题意得， (2
2
解得， k1 1, k 2 3 3 k , k 1 4
2 8、x 2 4 x 2 0, 请用配方法转化成（ m） n的 x
形式，则
( x 2) 2
2
9、请写出一个一元二次方程，
它的根为-1和2
(x+1)(x-2)=0
将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加一条竖线记成
a b a b , 定义 ad bc，这个式子叫做2阶行列式。 c d c d 若 x+1 x-1 1-x x+1 =6则x=
的一个根是-1，则
4 , 另一根为______ x=-3
若a为方程 x2 x 5 0 的解，则 a 2 a 1 的值 为 6
6、若a是方程x 3x 3 0的一个根，则
2
3a 9a 2
2
11
2
7、n是方程x m x n 0一个根（n 0）， n m -1
2、若（m+2）x 2 +（m-2） x -2=0是关于x的一元二 ≠－ 2 次方程则m 。
一元二次方程的一般式
ax bx c 0 （a≠0）
2
一元二次方程 一般形式 二次项系 一次项 常数项 数 系数
3x²=1
2y(y-3)= -4
3x²-1=0
2y2-6y+4=0
3 2
0
-6
-1 4
2
关于 x的一元二次方程 x (2k 3) x k 0有
2 2
两个不相等的实数根 、
(1)求k的取值范围； （ ）若 6, 求（ ） 3 5的值 2 解： )由题意得， (2
2
解得， k1 1, k 2 3 3 k , k 1 4
2 8、x 2 4 x 2 0, 请用配方法转化成（ m） n的 x
形式，则
( x 2) 2
2
9、请写出一个一元二次方程，
它的根为-1和2
(x+1)(x-2)=0
将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加一条竖线记成
a b a b , 定义 ad bc，这个式子叫做2阶行列式。 c d c d 若 x+1 x-1 1-x x+1 =6则x=
的一个根是-1，则
4 , 另一根为______ x=-3
若a为方程 x2 x 5 0 的解，则 a 2 a 1 的值 为 6
6、若a是方程x 3x 3 0的一个根，则
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3a 9a 2
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7、n是方程x m x n 0一个根（n 0）， n m -1
2、若（m+2）x 2 +（m-2） x -2=0是关于x的一元二 ≠－ 2 次方程则m 。
一元二次方程的一般式
ax bx c 0 （a≠0）
2
一元二次方程 一般形式 二次项系 一次项 常数项 数 系数
3x²=1
2y(y-3)= -4
3x²-1=0
2y2-6y+4=0
3 2
0
-6
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九年级数学上册第22章一元二次方程：实践与探索上课课件新版华东师大版
教学反思
x
20
处理问题更方便！
x 32
图22.3.2
由题意可得：(20 – x)( 32 – x) = 540 解得 x1 = 50，x2 = 2 由题意可得 x2
图22.3.2
在应用一元二次方程解决实际问题时，要 注意：
1.分析题意，抓住等量关系； 2.列出方程，把实际问题转化为数学问题 来解决； 3.求得方程的根之后，要注意检验是否符 合题意，最后得到实际问题的解答.
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
折叠成的长方体 侧面积（cm2） 18 32 42 48 50 48 42 32
探索
以剪去的正方形边长为自变量，折叠成的长 方体侧面积为它的函数，在平面直角坐标系中画 出相应的点.观察折叠成的长方体侧面积会不会有 最大的情况？
探索
如果调整计划，两年后的产值为原产值的 1.5 倍、1.2倍……那么两年中的平均年增长率分别应 调整为多少？
3.若平均增长（降低）率为 x，增长（或降低 ）前的基数是 a，增长（或降低）n 次后的量是 b ，则有：a(1±x)n = b（常见 n = 2）.
本课时从创设情境入手，让学生体会数学 建模思想，学会分析问题并利用一元二次方程 解决实际问题，举一反三，培养学生的创新意 识和实践能力，同时通过合作交流培养学生参 与合作的意识.
问题1
学校生物小组有一块长32m、宽20m的矩形 试验田，为了方便管理，准备沿平行于两边的方 向纵、横各开辟一条等宽的小道.要使种植面积为 540m2，小道的宽应是多少？
推进新课
分析 问题中没有明确小道在试验田中的位 置，试作出图22.3.1，不难发现小道的占地面积与 位置无关.
x
20
处理问题更方便！
x 32
图22.3.2
由题意可得：(20 – x)( 32 – x) = 540 解得 x1 = 50，x2 = 2 由题意可得 x2
图22.3.2
在应用一元二次方程解决实际问题时，要 注意：
1.分析题意，抓住等量关系； 2.列出方程，把实际问题转化为数学问题 来解决； 3.求得方程的根之后，要注意检验是否符 合题意，最后得到实际问题的解答.
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折叠成的长方体 侧面积（cm2） 18 32 42 48 50 48 42 32
探索
以剪去的正方形边长为自变量，折叠成的长 方体侧面积为它的函数，在平面直角坐标系中画 出相应的点.观察折叠成的长方体侧面积会不会有 最大的情况？
探索
如果调整计划，两年后的产值为原产值的 1.5 倍、1.2倍……那么两年中的平均年增长率分别应 调整为多少？
3.若平均增长（降低）率为 x，增长（或降低 ）前的基数是 a，增长（或降低）n 次后的量是 b ，则有：a(1±x)n = b（常见 n = 2）.
本课时从创设情境入手，让学生体会数学 建模思想，学会分析问题并利用一元二次方程 解决实际问题，举一反三，培养学生的创新意 识和实践能力，同时通过合作交流培养学生参 与合作的意识.
问题1
学校生物小组有一块长32m、宽20m的矩形 试验田，为了方便管理，准备沿平行于两边的方 向纵、横各开辟一条等宽的小道.要使种植面积为 540m2，小道的宽应是多少？
推进新课
分析 问题中没有明确小道在试验田中的位 置，试作出图22.3.1，不难发现小道的占地面积与 位置无关.
华师大版九年级数学上册课件：22.2 一元二次方程的解法 22.2.2 配方法
第二十二章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
22.2.2 配方法
轻松预习
1.配方法的定义 通过配方成 (x-a)2=b(b≥0) 的形式来解一元二次方
程的方法叫做配方法. 【思考】想一想，配方的目的和作用是什么？
轻松预习
2.用配方法解一元二次方程的步骤 （1）移项：将常数项移到方程 右边； （2）将 二次 项系数化为1； （3）配方：方程两边同时加上 一次项 系数一半的
名师讲解
考点一：利用配方法解一元二次方程
【例1】（1）x2-4x-1=0；（2）2x2+6=7x. 【分析】运用配方法时，应先将方程转化为完全平方的形式再
求解.当二次项系数不为1时，要先把二次项系数化为 【解答】1.
跟踪训练
±1 A
跟踪训练
名师讲解
考点二：配方法的其他应用 【例2】用配方法证明：-4x2+8x-6的值恒小于0，并求它的
平方，使方程左边成为一个 完全平方式 ； （4）解方程：利用 开平方 直接解方程. 注：配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一
元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着 广泛的应用.
轻松预习
3.配方法的其他应用 （1）通过配方来构造完全平方式，利用完全平方式的
非负性来确定代数式的取值范围； （2）通过配方解决恒等变形问题.
A
跟踪训练
LOGO
谢谢观看
最大值. 【分析】首先运用配方法将代数式配成完全平方的形式，再
利用完全平方的非负性来进行判断.
【解答】-4x2+8x-6=-4(x2-2x+ )=-4(x2-2x+1+ -1)=-4(x1)2-2x-1）2=0时 ，此式取最大值-2.
22.2 一元二次方程的解法
22.2.2 配方法
轻松预习
1.配方法的定义 通过配方成 (x-a)2=b(b≥0) 的形式来解一元二次方
程的方法叫做配方法. 【思考】想一想，配方的目的和作用是什么？
轻松预习
2.用配方法解一元二次方程的步骤 （1）移项：将常数项移到方程 右边； （2）将 二次 项系数化为1； （3）配方：方程两边同时加上 一次项 系数一半的
名师讲解
考点一：利用配方法解一元二次方程
【例1】（1）x2-4x-1=0；（2）2x2+6=7x. 【分析】运用配方法时，应先将方程转化为完全平方的形式再
求解.当二次项系数不为1时，要先把二次项系数化为 【解答】1.
跟踪训练
±1 A
跟踪训练
名师讲解
考点二：配方法的其他应用 【例2】用配方法证明：-4x2+8x-6的值恒小于0，并求它的
平方，使方程左边成为一个 完全平方式 ； （4）解方程：利用 开平方 直接解方程. 注：配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一
元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着 广泛的应用.
轻松预习
3.配方法的其他应用 （1）通过配方来构造完全平方式，利用完全平方式的
非负性来确定代数式的取值范围； （2）通过配方解决恒等变形问题.
A
跟踪训练
LOGO
谢谢观看
最大值. 【分析】首先运用配方法将代数式配成完全平方的形式，再
利用完全平方的非负性来进行判断.
【解答】-4x2+8x-6=-4(x2-2x+ )=-4(x2-2x+1+ -1)=-4(x1)2-2x-1）2=0时 ，此式取最大值-2.
第22章一元二次方程复习课课件
7
1 -8 0 -4
配方法 配方法解一元二次方程的解题过程
1. 把方程化成一元二次方程的一般形式 2. 把二次项系数化为1 3. 把含有未知数的项放在方程的左边，不含未知 数的项放在方程的右边。
4. 方程的两边同加上一次项系数一半的平方 5. 方程的左边化成完全平方的形式，方程的右边 化成非负数
6. 利用直接开平方的方法去解
解得： y1 1 y2 4
当y 1时，x 1 1,得x=2; 当y=4时，x 1 4,得x=5. 所以，原方程的解为：x1 2, x2 5
解方程（3x+5)2 4(3x 5) 3 0
列方程解应用题的解题过程。
1. 审清题意，弄清题中的已知量和 未知量找出题中的等量关系。
2. 恰当地设出未知数，用未知数的 代数式表示未知量。
●B
原方向继续航行,那么航行途中
侦察船能否侦察到这艘军舰 ?如
果能,最早何时能侦察到?如果不
●B
能,请说明理由.
解: 设电子侦察船最早需要 x小时能侦察到军舰 ,根据题意,得
(90 30 x)2 202 502. 北
整理得:
A
东
13x2 54x 56 0.
●B
解得:
x1
2;
x2
28 . 13
(3) ax²+bx+c=0
(4) 3x-2=6x(5)ຫໍສະໝຸດ x1 21
1
(6) 1 x 1 x
请你完成下列表格
方程
3x2=5x-1
一般形式
二次 项系 数
一次 常数 项系 项 数
3x2 - 5x +1 =0 3 -5 1
（x+2）（x-1）=6 x2 + x –8=0 1
一元二次方程复习课件
通过复习.掌握一元二次方程的概念.并能够熟 练的解一元二次方程.并且利用一元二次方程解决 实际问题.
一般形式 ax2+bx+c=0 (a≠0) ( x a)2 b b 0 直接开平方法 程一 元 二 次 方 配方法 解法
b b x bx x c c 0 2 2
一元二次方程的根
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. -7 1.已知x＝-1是方程x²ax＋6＝0的一个根.则a＝___, 6 另一个根为__.
2.若关于X的一元二次方程 a 1x x a 1 0 的一 1 个根为0.则a的值为（ B ） A.1 B.-1 C. 1或 -1 D. 4 3、一元二次方程ax² +bx＋c =0， 若x=1是它的一个根，则a+b+c= 0 . 若a-b+c=0，则方程必有一根为 -1 .
2
(5) x 1 3
2
(6) y 2 0
y 4
× (√ ) ( ) × ( ) × ( ) × (√ )
( )
2 2 ≠2 时，方程 kx 3x 2 x 1 是关于x 2.当k 的一元二次方程.
3.方程2x(x-1)=18化成一般形式为 x2-x-9=0 其中常 x2 .一次项为 -x .二次项系数 数项为 -9 .二次项为 为 1 .一次项系数为 -1 .
8 是 4 , 则 t 的值是 _______ . 3 2
8. 已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10, 求 a2+b2 的值。 分析 : 设x a 2 b 2 , 则原方程化为: x 2 3 x 10 0
一般形式 ax2+bx+c=0 (a≠0) ( x a)2 b b 0 直接开平方法 程一 元 二 次 方 配方法 解法
b b x bx x c c 0 2 2
一元二次方程的根
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. -7 1.已知x＝-1是方程x²ax＋6＝0的一个根.则a＝___, 6 另一个根为__.
2.若关于X的一元二次方程 a 1x x a 1 0 的一 1 个根为0.则a的值为（ B ） A.1 B.-1 C. 1或 -1 D. 4 3、一元二次方程ax² +bx＋c =0， 若x=1是它的一个根，则a+b+c= 0 . 若a-b+c=0，则方程必有一根为 -1 .
2
(5) x 1 3
2
(6) y 2 0
y 4
× (√ ) ( ) × ( ) × ( ) × (√ )
( )
2 2 ≠2 时，方程 kx 3x 2 x 1 是关于x 2.当k 的一元二次方程.
3.方程2x(x-1)=18化成一般形式为 x2-x-9=0 其中常 x2 .一次项为 -x .二次项系数 数项为 -9 .二次项为 为 1 .一次项系数为 -1 .
8 是 4 , 则 t 的值是 _______ . 3 2
8. 已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10, 求 a2+b2 的值。 分析 : 设x a 2 b 2 , 则原方程化为: x 2 3 x 10 0
九年级上《22.2二次函数与一元二次方程》课件
2．自主探究：
问题1
以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的 方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线． 如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h （单位 ：m ）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关 系 h = 20t - 5t 2． （2）小球的飞行高度能否达到 20 m？ 如能，需 要多少飞行时间？
归纳 一般地，从二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象可知： （1）如果抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 x 轴有公共点， 公共点的横坐标是 x0，那么当 x = x0 时，函数值是 0， 因此 x = x0 是方程 ax 2 + bx + c = 0 的一个根． （2）二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴的位置 关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共 点． 这对应着一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的根的三种 情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等 的实数根．
y=ax2+bx+c的图 象和x轴交点
方程ax2+bx+c=0 的根
b2-4ac
函数的图象
y . o y o y o . x
有两个交点
方程有两个不相等 b2-4ac 的实数根
> 0
只有一个交点 方程有两个相等 b2-4ac = 0
的实数根
x
没有交点
方程没有实数根
b2-4ac
< 0
x
2．小组合作，类比探究
1．复习知识，回顾方法
问题1:一次函数y=kx+b与一次方程 kx+b=0之间有什么关系？
第22章 一元二次方程复习 华师大版数学九年级上册课件
（2）方程有两个相等的实数根？
（3）方程有两个不相等的实数根？
四、一元二次方程根与系数的关系
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2 ，
则有x1+x2=
,x1.x2=
练习:
1. 已知方程 5x2 kx 6 0 的一个根为2，
则k= -7 ，另一个根为
。
2.设一元二次方程 x2 3x 1 0 的两个根
五、列一元二次方程解应用题的一般步骤: (1) 审 (2) 设 (3) 列 (4) 解 (5) 验 (6) 答
例3:P31例5.某公司今年1月份的生产成本中是
400万元,由于改进生产技术,生产成本逐月下降， 3月份的生产成本是361万元。假设该公司2、3、 4月每个月生产成本的下降率都相同。 （1）求每个月生产成本的下降率； （2）请你预测4月份该公司的生产成本。
2.一元二次方程的一般形式是
ax2 bx c 0 (a 0)
练一练：
1.下列方程，是一元二次方程的是（ C ）
A. x 2 2(x 1) B. x2 2x y 2
C. x2 2 2x
D. 2 x2 3 x
2. 当m ≠2 时，方程mx2-3x=2x2-mx+2 是一元二
次方程. 当m ＝2 时，方程(m2-4)x2-(m+2)x-3=0是
经检验x1=10不合题意，舍去
作业：
1.记忆相关知识点； 2.完成点击中考上相应练习。
当二次项系数为1的时候， 方程两边同时加上一次项 系数一半的平方
4.公式法: 当b-4ac≥0时，x= b b2 4ac
2a
练习： 用适当的方法解下列方程:
(1)x2-3x=0
（3）方程有两个不相等的实数根？
四、一元二次方程根与系数的关系
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2 ，
则有x1+x2=
,x1.x2=
练习:
1. 已知方程 5x2 kx 6 0 的一个根为2，
则k= -7 ，另一个根为
。
2.设一元二次方程 x2 3x 1 0 的两个根
五、列一元二次方程解应用题的一般步骤: (1) 审 (2) 设 (3) 列 (4) 解 (5) 验 (6) 答
例3:P31例5.某公司今年1月份的生产成本中是
400万元,由于改进生产技术,生产成本逐月下降， 3月份的生产成本是361万元。假设该公司2、3、 4月每个月生产成本的下降率都相同。 （1）求每个月生产成本的下降率； （2）请你预测4月份该公司的生产成本。
2.一元二次方程的一般形式是
ax2 bx c 0 (a 0)
练一练：
1.下列方程，是一元二次方程的是（ C ）
A. x 2 2(x 1) B. x2 2x y 2
C. x2 2 2x
D. 2 x2 3 x
2. 当m ≠2 时，方程mx2-3x=2x2-mx+2 是一元二
次方程. 当m ＝2 时，方程(m2-4)x2-(m+2)x-3=0是
经检验x1=10不合题意，舍去
作业：
1.记忆相关知识点； 2.完成点击中考上相应练习。
当二次项系数为1的时候， 方程两边同时加上一次项 系数一半的平方
4.公式法: 当b-4ac≥0时，x= b b2 4ac
2a
练习： 用适当的方法解下列方程:
(1)x2-3x=0
九年级数学上册 第22章 一元二次方程单元复习课件华东师大级上册数学课件
)
C
A．x2＋9x－8＝0 B．x2－9x－8＝0
C．x2－9x＋8＝0 D．2x2－9x＋8＝0
第十五页，共二十三页。
13．(2019·恩施州)某商店销售富硒农产品，今年1月开始盈利，2月份盈利240000元，4月
份盈利290400元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均(píngjūn)增长率相同，则每
C．(x－2)2＝3 D．( x－2)2＝5
第五页，共二十三页。
5．用恰当(qiàdàng)的方法解方程： (1)4x2－144＝0
解：x1＝6，x2＝－6 x2＝－3－4 33
(2)2x2＋3x＝3；
解：x1＝－3＋4 33
第六页，共二十三页。
(3)x2－2x＋1＝25 解：x1＝6，x2＝－4
(1)求2018年甲类芯片的产量；
解：(1)设2018年甲类芯片的产量(chǎnliàng)为x万块，由题意得x＋2x＋(x＋2x)＋400 ＝2800，解得x＝400，答：2018年甲类芯片的产量为400万块
第二十页，共二十三页。
(2)HW公司计划2020年生产(shēngchǎn)的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯 片．从2019年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的 产量都比前一年增长一个相同的百分数m%，乙类芯片的产量平均每年增长的百 分数比m%小1，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.2018年到2020年，丙类芯片三年 的总产量达到1.44亿块．这样，2020年的HW公司的手机产量比2018年全年的手机产量 多10%，求丙类芯片2020年的产量及m的值．
格全部售出．如果这批旅游纪念品共获利1250元，那么第二周每个旅游纪念品的销售
价格为多少元？
初中数学九年级上册《第22章 一元二次方程复习课件1
5.开方:两边开平方;
6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
练习
用配方法解下列方程
（1） x2+6x-7=0
（2） 2x2+8x-5=0
四 公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2 4ac 0时,它的根是 :
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
A 9 B 11 C 9或11 D 以上都不对
3、若 x2 3 与 x 15 既是最简二次根式又是同类 二次根式，试求x的值。
4、试着用两种或两种以上的方法解下面的方程。
x2 – x = 2
x2 1 x 0 2
x a 0或x a 0
x1 a x2 a
形如 x2 2ax a2 0 的式子运用完全平方公式得： (x a)2 0
x1 x2 a 或 x1 x2 a
例题讲解
解下列方程
（1）16(2 x)2 9 0
（2） x( x 2) 1 0
当b-4ac≥0时，x=
b b2 4ac 2a
解一元二次方程的 基本思想是什么？
一 直接开平方法
依据：平方根的意义，即
如果 x2=a , 那么x = a.
这种方法称为直接开平方法。 解题步骤：
1，将一元二次方程常数项移到方程的一边。 2，利用平方根的意义，两边同时开平方。
a. 的一元一次方程。 34，，得写到出形方如程： 的解x = x1= ?, x2= ?
（1）我们已经学习了几种解一元二次 方程的方法？
（2）请说出每种解法各适合什么类型 的一元二次方程？
6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
练习
用配方法解下列方程
（1） x2+6x-7=0
（2） 2x2+8x-5=0
四 公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2 4ac 0时,它的根是 :
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
A 9 B 11 C 9或11 D 以上都不对
3、若 x2 3 与 x 15 既是最简二次根式又是同类 二次根式，试求x的值。
4、试着用两种或两种以上的方法解下面的方程。
x2 – x = 2
x2 1 x 0 2
x a 0或x a 0
x1 a x2 a
形如 x2 2ax a2 0 的式子运用完全平方公式得： (x a)2 0
x1 x2 a 或 x1 x2 a
例题讲解
解下列方程
（1）16(2 x)2 9 0
（2） x( x 2) 1 0
当b-4ac≥0时，x=
b b2 4ac 2a
解一元二次方程的 基本思想是什么？
一 直接开平方法
依据：平方根的意义，即
如果 x2=a , 那么x = a.
这种方法称为直接开平方法。 解题步骤：
1，将一元二次方程常数项移到方程的一边。 2，利用平方根的意义，两边同时开平方。
a. 的一元一次方程。 34，，得写到出形方如程： 的解x = x1= ?, x2= ?
（1）我们已经学习了几种解一元二次 方程的方法？
（2）请说出每种解法各适合什么类型 的一元二次方程？
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
初中数学九年级上册《第22章 一元二次方程复习课件
当 b2 4ac 时 0
x b b2 4ac 2a
当b2-4ac＜0时，方程没有实数根
适应于任何一个一元二 次方程
随堂 练习 用适当方法解下列方程
（1） ( x 1) 2 0
（2） x2 4x 5 0
(3) 5x2 x 0
（4） （5）
3x2 6பைடு நூலகம் 2 0
(1)直接开平方法 (2)因式分解法
x2=b(b 0)
1、提取公因式法 2、平方差公式 3、完全平方公式
适应于没有一次项的 一元二次方程
适应于左边能分解为两个 次式的积，右边是0的方程
(3) 配方法
当二次项系数为1的时候，方程 两边同加上一次项系数一半的 平方
适应于任何一个一元二 次方程
(4)公式法
3x 22 4x2 0
随堂 练习 不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）5(x2-1)-x=0;
（2）9x2+6x+1=0;
（3）6x2+8x=-3.
思考题
1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解
2、关于x的一元二次方程（k+1)x2-2(k-1)x+k=0有 两个不相等实数根，求k的取值范围.
22章 一元二次方程
选择适当的方法求解下列方程
(1) (x 10)2 3
-----直接开平方法
(2) x2 6x 3 0
-----配方法
（3） 9x2 10x 4 0 -------公式法
(4) 2x2 5x 0
----------因式分解法
一 元 二 次 方 程 的 解
22.2.4一元二次方程的根与系数的关系课件(新人教版九年级上)
x1 x2 p
x1 x2 q
方 程
2
x
1
x x x x1. x2
2
1
2
2 1 1 9 x 6x 1 0 3 3 3 4 2 2 7 2 7 3 x 4x 1 0 3 3 3 2 1 7 3 x 7x 2 0 -2 3 3
1 9 1 3 2 3
2 1
x 4
2 2
小结
一元二次方程根与系数的关系？
如果ax bx C 0(a 0)的两根分别是 b c x1 , x2 则有 x1 x2 a ; x1. x2 a
2
注：能用根与系数的关系的前提条件为 b2-4ac≥0
*已知两个数的和与积，求两数
已知两个数的和是1，积是-2，则两个数 是
(1) x 6 x 15 0
2
( 2)3 x 7 x 9 0
2
(3)5 x 1 4 x
2
知识源于悟
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
b ⑵在使用X1+X2=－ 时， a
注意“－ ”不要漏写.
二、求关于两根的对称式或代数式的值
例2、设 x1 , x2是方程 2x 4x 3 0 的两个
2
根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.
(1) x x
2 1
2 2
(3)(x1 1)(x2 1) (4) x x x x x2 x1 2 (5) (6)(x1 x2 ) x1 x2
2 1 2 2 1 2
1 1 ( 2) x1 x2
关于两根几种常见的求值 2 2 2 1.x1 x2 ( x1 x2 ) 2 x1 x 2
人教版九年级数学上册课件：22.2二次函数与一元二次方程 (共12张PPT)
（2）若该抛物线的对称轴为直线x=5/2. ①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的 抛物线与x轴只有一个公共点.
能力提升
挑战中考
12.（2016·江苏省宿迁）若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象
经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（ C ）
与y轴的交点坐标是_（__0_，__3_）____.
8.若二次函数y=mx2-2x+1的图像与x轴只有一个交点，则 m=____1_____.
9.画出抛物线y=x2-3x-4的图像，根据图像回答： （1）方程x2-3x-4=0的解是什么？ （2）不等式x2-3x-4>0的解是什么？ （3）不等式x2-3x-4<0的解是什么？
的对称轴是直线___X_=_-_1___.
类比精练
1.二次函数
的图象与x轴有两个交点，其中
一个交点坐标为（-1，0）则一元二次方程
的
解为__X__1_=_-1_，__X_2_=_3___.
课堂精讲
知识点2.运用一元二次方程根的判别式处理二次函数图
象与"轴的交点问题
例2．若二次函数
的图象与x轴有交点，则k
6.如果关于x的二次函数y=x2﹣2x+k与x轴只有1个交点， 则k= 1 ．
7.若抛物线
则
= 10 ．
经过点(－1，10)，
课前小测
8.二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则函数值y<0时 x的取值范围是 - 1＜x元二次方程的关系
例1．方程
的两根为-3和1，那么抛物线
能力提升
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，则下列说法： ① a>0；②2a+b=0； ③a+b+c=0； ④当-1<x<3时，y>0. 其中正确的个数为（ B ）
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的 抛物线与x轴只有一个公共点.
能力提升
挑战中考
12.（2016·江苏省宿迁）若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象
经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（ C ）
与y轴的交点坐标是_（__0_，__3_）____.
8.若二次函数y=mx2-2x+1的图像与x轴只有一个交点，则 m=____1_____.
9.画出抛物线y=x2-3x-4的图像，根据图像回答： （1）方程x2-3x-4=0的解是什么？ （2）不等式x2-3x-4>0的解是什么？ （3）不等式x2-3x-4<0的解是什么？
的对称轴是直线___X_=_-_1___.
类比精练
1.二次函数
的图象与x轴有两个交点，其中
一个交点坐标为（-1，0）则一元二次方程
的
解为__X__1_=_-1_，__X_2_=_3___.
课堂精讲
知识点2.运用一元二次方程根的判别式处理二次函数图
象与"轴的交点问题
例2．若二次函数
的图象与x轴有交点，则k
6.如果关于x的二次函数y=x2﹣2x+k与x轴只有1个交点， 则k= 1 ．
7.若抛物线
则
= 10 ．
经过点(－1，10)，
课前小测
8.二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则函数值y<0时 x的取值范围是 - 1＜x元二次方程的关系
例1．方程
的两根为-3和1，那么抛物线
能力提升
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，则下列说法： ① a>0；②2a+b=0； ③a+b+c=0； ④当-1<x<3时，y>0. 其中正确的个数为（ B ）
九年级数学上册第22章一元二次方程章末复习上课pptx课件新版华东师大版
②因式分解法 那么这两个因式至少 分解成两个一次因式的
有一个等于0
乘积的一元二次方程
2. 一元二次方程根的判别式 Δ = b2 – 4ac （1）当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根 ； （2）当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； （3）当 Δ < 0 时，方程无实数根.
在应用时，要根据根的情况限定 Δ 的取值，同时 应注意二次项系数不为 0 这一条件.
当 x2 = 80 时，120 – 0.5× ( 80 – 60 ) = 110 > 100，∴ x = 80，即该校共购买了 80 棵树 苗.
课堂小结
本堂课你能完整地回顾本章所学的有关一元 二次方程的知识吗？你还有哪些困惑与疑问？
教学反思
本课时通过学习归纳本章内容，让学生进 一步系统掌握一元二次方程的解法及其应用， 让学生懂得了如何应用一元二次方程的知识来 解决生活中的实际问题，激发学生的学习兴趣.
4. 应用一元二次方程解决实际问题，要注重 分析实际问题中的等量关系，列出方程，求出方 程的解，同时要注意检验其是否符合题意.
典例精析
例1 用适当的方法解下列方程
（1）x2 + 12x + 27 = 0 （2）x(x – 2) + x – 2 =
0
（3解）x2（+ 1x）– (2x =+ 43) (x +（9)4=）04(x + 2)2 = 9(2x –
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：∵60 棵树苗的售价为 120×60 = 7200 （元），而 7200 < 8800，
∴该校购买的树苗超过 60 棵. 设该校共购买了 x 棵树苗，由题意得
x［120 – 0.5(x – 60)］ = 8800， 解得 x1 = 220，x2 = 80.
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2、将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加一条竖线记成
a b ,定义 a b ad bc，这个式子叫做23;1 x-1
若
=6则x=
1-x x+1
2
(2018·北京)关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0. (1)当b＝a＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况； (2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值， 并求此时方程的根.
x1
5 9
61
x2
5 9
61
公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用， 但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑 能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单 方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
一元二次方程根的判别式
b2 4ac
△ ＞0
有两个不相等的实根
△＝0
化成一般形式ax2 bx c 0 a 0
当b2 4ac 0时,x b b2 4ac 2a
第二关
基础知识
明辨是非
判断下列方程是不是一元二次方程，若不是一元二 次方程，请说明理由？
1、(x－1)２＝４
√
２、x2－2x=8
√
3、x2+ 1＝１
×
x
5、x３－２x２＝１ ×
４、x２＝y+１
x1 10 3
x2 10 3
直接开平方法：
1.用开平方法的条件是:缺少一次项的 一元二次方程，用开平方法比较方便;
2.形如:ax2+c=o (即没有一次项). a(x+m)2=k
（2） 2x2 5x 0
解： x(2x 5) 0
x 0 或 2x 5 0
5
x1 0 x2 2
因式分解法：
2、已知一元二次方程x2=2x 的解是（ D ）
A.0 B.2 C.0或-2 D.0或2
第三关
典型例题
用适当的方法解下列方程
(x 10)2 3
2x2 5x 0
x2 6x 3 0
9x2 10x 4 0
(1) (x 10)2 3 解: (x 10)2 3 x 10 3
x 10 3 或 x 10 3
解：(1)Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4>0， 所以方程有两个不相等的实数根； (2)Δ＝b2－4a＝0， 可令b＝2，a＝1， 此时方程为x2＋2x＋1＝0， ∴(x＋1)2＝0，∴x1＝x2＝－1.
方程则 m ≠－ 2 。
2、若方程 (m 2)xm22 (m 1)x 2 0
是关于x的一元二次方程，则m的值为 2 。
3.若x=2是方程x2+ax-8=0的解，则a= 2 ;
1、已知一元二次方程(x+1)(2x－1)=0的解是（ D ）
A.-1 B.1/2 C.-1或-2 D.-1或1/2
(C)k 1 2
(D)k 1 2
4.如果一元二次方程mx2 4x 1 0有两个不相等
的实数根，那么m的取值范围是（ B ）
（A）m 4 (B)m 4且m 0
(C)m 1 (D)m 1且m 0
第四关
乘胜追击
1、若a为方程 x2 x 5 0 的解，则 a2 a 1 的 值
为6
一元二次方程 复习
分享学习方法：
勤奋是开启知识大门的钥匙，思考是理解知识的利器， 读书是掌握知识的捷径，练习是巩固知识的方法，讨 论是理解知识的妙招，探求是创新知识的途径。
复习目标
1、一元二次方程的定义及一般形式； 2、一元二次方程的四种解法及基本步骤、注意事项； 3、运用判别式判断一元二次方程根的情况。
元二次方程，先将方程化为一般形式， 再求出b2-4ac的值， b2-4ac≥0则方程
有实数根， b2-4ac<0则方程无实数根;
x 10 244 29
x 10 2 61 18
当b2-4ac>0 时，方程有两个不相等的实数根； 当b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根； 当b2-4ac<0 时，方程没有实数根.
x2 6x －3
配方法：
用配方法的条件是:适应于任何一
个一元二次方程，但是在没有特别要 求的情况下，除了形如x2+2kx+c=0 用
配方法外，一般不用;(即二次项系 数为1，一次项系数是偶数。）
x2 6x 32 3 32
( x 3)2 6
x3 6
x1 3 6 x2 3－ 6
一除----把二次项系数化为1(方程的两边同
第一关
知识盘点
一元二次方程的定义 ax²+bx+c=0（a0）
方程两边都是整式
只含有一个未知数 未知数的最高次数是2
直接开方法
一
元
因式分解法
二
次 一元二次方程的解法 配 方 法
方
程
公式法
一元二次方程的应用
面积问题 变化率问题 商品利润问题
化成x2 mm 0 x m
化成A• B 0 A 0或B 0 二次项系数为1，左边配成完全平方 公式,右边为非负数
有两个相等的实根
△＜0
没有实数根
反之，同样成立！
1.方程x2 2x 1 0的根的情况是（ A ）
(A)有两个不相等的实数根 (B)有两个相等的实数根 (C)无实数根 (D)无法确定
3.若关于x的方程x2 2k 1 x k 2 0有实数根，
则k的取值范围是( B )
(A) k 1 2
(B)k 1 2
×
6、ax2 + bx + c＝１ ×
一元二次方程的一般式
ax2 bx c 0 （a≠0）
一元二次方程 一般形式
二次项系 一次项 常数
数
系数 项
3x²=1
3x²-1=0
2y(y-3)= - 4 2y2-6y+4=0
3
0 -1
2 -6
4
1、若 m 2x2 m 2x 2 0 是关于x的一元二次
时除以二次项系数a)
二移----把常数项移到方程的右边;
三配----把方程的左边配成一个完全平方式;
四开----利用开平方法求出原方程的两个解.
（4）9x2 10x 4 0
解： a 9, b 10, c 4
b2 4ac 10 2 4 9 (4) 244
公式法：
用公式法的条件是:适应于任何一个一
1.用因式分解法的条件是:方程左边能 够分解为两个因式的积,而右边等于0的 方程; 2.形如:ax2+bx=o(即常数C=0).
一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;
（3）x2 6x 3 0 解： x2 6x 3 0
a b ,定义 a b ad bc，这个式子叫做23;1 x-1
若
=6则x=
1-x x+1
2
(2018·北京)关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0. (1)当b＝a＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况； (2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值， 并求此时方程的根.
x1
5 9
61
x2
5 9
61
公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用， 但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑 能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单 方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
一元二次方程根的判别式
b2 4ac
△ ＞0
有两个不相等的实根
△＝0
化成一般形式ax2 bx c 0 a 0
当b2 4ac 0时,x b b2 4ac 2a
第二关
基础知识
明辨是非
判断下列方程是不是一元二次方程，若不是一元二 次方程，请说明理由？
1、(x－1)２＝４
√
２、x2－2x=8
√
3、x2+ 1＝１
×
x
5、x３－２x２＝１ ×
４、x２＝y+１
x1 10 3
x2 10 3
直接开平方法：
1.用开平方法的条件是:缺少一次项的 一元二次方程，用开平方法比较方便;
2.形如:ax2+c=o (即没有一次项). a(x+m)2=k
（2） 2x2 5x 0
解： x(2x 5) 0
x 0 或 2x 5 0
5
x1 0 x2 2
因式分解法：
2、已知一元二次方程x2=2x 的解是（ D ）
A.0 B.2 C.0或-2 D.0或2
第三关
典型例题
用适当的方法解下列方程
(x 10)2 3
2x2 5x 0
x2 6x 3 0
9x2 10x 4 0
(1) (x 10)2 3 解: (x 10)2 3 x 10 3
x 10 3 或 x 10 3
解：(1)Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4>0， 所以方程有两个不相等的实数根； (2)Δ＝b2－4a＝0， 可令b＝2，a＝1， 此时方程为x2＋2x＋1＝0， ∴(x＋1)2＝0，∴x1＝x2＝－1.
方程则 m ≠－ 2 。
2、若方程 (m 2)xm22 (m 1)x 2 0
是关于x的一元二次方程，则m的值为 2 。
3.若x=2是方程x2+ax-8=0的解，则a= 2 ;
1、已知一元二次方程(x+1)(2x－1)=0的解是（ D ）
A.-1 B.1/2 C.-1或-2 D.-1或1/2
(C)k 1 2
(D)k 1 2
4.如果一元二次方程mx2 4x 1 0有两个不相等
的实数根，那么m的取值范围是（ B ）
（A）m 4 (B)m 4且m 0
(C)m 1 (D)m 1且m 0
第四关
乘胜追击
1、若a为方程 x2 x 5 0 的解，则 a2 a 1 的 值
为6
一元二次方程 复习
分享学习方法：
勤奋是开启知识大门的钥匙，思考是理解知识的利器， 读书是掌握知识的捷径，练习是巩固知识的方法，讨 论是理解知识的妙招，探求是创新知识的途径。
复习目标
1、一元二次方程的定义及一般形式； 2、一元二次方程的四种解法及基本步骤、注意事项； 3、运用判别式判断一元二次方程根的情况。
元二次方程，先将方程化为一般形式， 再求出b2-4ac的值， b2-4ac≥0则方程
有实数根， b2-4ac<0则方程无实数根;
x 10 244 29
x 10 2 61 18
当b2-4ac>0 时，方程有两个不相等的实数根； 当b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根； 当b2-4ac<0 时，方程没有实数根.
x2 6x －3
配方法：
用配方法的条件是:适应于任何一
个一元二次方程，但是在没有特别要 求的情况下，除了形如x2+2kx+c=0 用
配方法外，一般不用;(即二次项系 数为1，一次项系数是偶数。）
x2 6x 32 3 32
( x 3)2 6
x3 6
x1 3 6 x2 3－ 6
一除----把二次项系数化为1(方程的两边同
第一关
知识盘点
一元二次方程的定义 ax²+bx+c=0（a0）
方程两边都是整式
只含有一个未知数 未知数的最高次数是2
直接开方法
一
元
因式分解法
二
次 一元二次方程的解法 配 方 法
方
程
公式法
一元二次方程的应用
面积问题 变化率问题 商品利润问题
化成x2 mm 0 x m
化成A• B 0 A 0或B 0 二次项系数为1，左边配成完全平方 公式,右边为非负数
有两个相等的实根
△＜0
没有实数根
反之，同样成立！
1.方程x2 2x 1 0的根的情况是（ A ）
(A)有两个不相等的实数根 (B)有两个相等的实数根 (C)无实数根 (D)无法确定
3.若关于x的方程x2 2k 1 x k 2 0有实数根，
则k的取值范围是( B )
(A) k 1 2
(B)k 1 2
×
6、ax2 + bx + c＝１ ×
一元二次方程的一般式
ax2 bx c 0 （a≠0）
一元二次方程 一般形式
二次项系 一次项 常数
数
系数 项
3x²=1
3x²-1=0
2y(y-3)= - 4 2y2-6y+4=0
3
0 -1
2 -6
4
1、若 m 2x2 m 2x 2 0 是关于x的一元二次
时除以二次项系数a)
二移----把常数项移到方程的右边;
三配----把方程的左边配成一个完全平方式;
四开----利用开平方法求出原方程的两个解.
（4）9x2 10x 4 0
解： a 9, b 10, c 4
b2 4ac 10 2 4 9 (4) 244
公式法：
用公式法的条件是:适应于任何一个一
1.用因式分解法的条件是:方程左边能 够分解为两个因式的积,而右边等于0的 方程; 2.形如:ax2+bx=o(即常数C=0).
一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;
（3）x2 6x 3 0 解： x2 6x 3 0