二次函数常考题型Word版

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(完整版)2018二次函数压轴题题型归纳(可编辑修改word版)

⎩ ⎩ ⎩ 一、二次函数常考点汇总1、两点间的距离公式： AB =2、中点坐标：线段 AB 的中点C 的坐标为：⎛x A+ xBy A + y B ⎫， ⎪⎝22 ⎭直线 y = k 1 x + b 1 （ k 1 ≠ 0 ）与 y = k 2 x + b 2 （ k 2 ≠ 0 ）的位置关系：（1）两直线平行⇔ k 1 = k 2 且b 1 ≠ b 2（2）两直线相交⇔ k 1 ≠ k 2（3）两直线重合⇔ k 1 = k 2 且b 1 = b 23、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：① 用∆ 和参数的其他要求确定参数的取值范围；（4）两直线垂直⇔ k 1k 2 = -1② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。

例：关于 x 的一元二次方程 x 2－2(m + 1)x + m 2＝0 有两个整数根， m ＜5 且 m 为整数，求 m 的值。

4、二次函数与 x 轴的交点为整数点问题。

（方法同上）例：若抛物线 y = mx 2 + (3m +1)x + 3 与 x 轴交于两个不同的整数点，且 m 为正整数，试确定此抛物线的解析式。

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。

举例如下：已知关于 x 的方程 mx 2 - 3(m -1)x + 2m - 3 = 0 （ m 为实数），求证：无论 m 为何值，方程总有一个固定的根。

解：当 m = 0 时， x = 1；当 m ≠ 0 时， ∆ = (m - 3)2≥ 0 ， x =2m综上所述：无论 m 为何值，方程总有一个固定的根是 1。

6、函数过固定点问题，举例如下：， x 1= 2 - 3 、 x m 2= 1 ；已知抛物线 y = x 2 - mx + m - 2 （ m 是常数），求证：不论 m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。

(完整word版)二次函数精选练习题及答案

二次函数练习题及答案一、选择题1．将抛物线23y x =先向左平移2个单位,再向下平移1个单位后得到新的抛物线,则新抛物线的解析式是（ )A 23(2)1y x =++B 。

23(2)1y x =+-C 。

23(2)1y x =-+ D.23(2)1y x =-- 2．将抛物线22+=x y 向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是………………（ ) Ａ．32+=x y ; Ｂ．12+=x y ；Ｃ．2)1(2++=x y ；Ｄ．2)1(2+-=x y ．3．将抛物线y= (x —1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）A ．y=（x —2）2B ．y=（x —2)2+6C ．y=x 2+6D ．y=x 24．由二次函数1)3(22+-=x y ，可知（）A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线3x =-C ．其最小值为1D ．当x<3时，y 随x 的增大而增大5．如图，抛物线的顶点P 的坐标是(1，﹣3），则此抛物线对应的二次函数有（ )A ．最大值1B ．最小值﹣3C ．最大值﹣3D ．最小值16．把函数()y f x ==246x x -+的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是（）A ．2(3)3y x =-+B ．2(3)1y x =-+C ．2(1)3y x =-+D ．2(1)1y x =-+7．抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为A . b=2, c=2 B. b=2,c=0 C 。

b= -2,c=-1 D 。

b= -3， c=2二、填空题8．二次函数y=－2(x －5)2＋3的顶点坐标是．9．已知二次函数2y x bx c =-++中函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示，点11(,)A x y 、22(,)B x y 在函数图象上，当1201,23x x <<<<时，则1y 2y （填“>”或“<”）．x 0 1 2 3 y1- 2 3 210．在平面直角坐标系中，将抛物线223y x x =++绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式为．11．求二次函数2245y x x =--的顶点坐标(＿＿＿）对称轴＿＿＿＿。

(完整word)二次函数的应用

二次函数的应用题型一列解析式例1、正方形的边长为3,如果边长增加x，那么面积增加y，则y与x之间的函数表达式是（）A．y=3x B．y=（3+x）2C．y=9+6x D．y=x2+6x例2、如图,某涵洞的截面是抛物线形,现测得水面宽AB=1。

6m，涵洞顶点O到水面的距离CO为2.4m，在图中直角坐标系内,涵洞截面所在抛物线的解析式是．例3、合肥市2013年平均房价为6500元/m2．若2014年和2015年房价平均增长率为x,则预计2015年的平均房价y(元/m2）与x之间的函数关系式为．题型二利用待定系数法例4、某工厂生产的A种产品,它的成本是2元，售价是3元,年销量为100万件，为了获得更好的效益,厂家准备拿出一定的资金做广告；根据统计,每年投入的广告费是x（十万元），产品的年销量将是原销售量的y 倍，且y是x的二次函数，它们的关系如表：x（十万元）012y11。

5 1.8(1)求y与x的函数关系式；（2）如果把利润看成销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元)的函数关系式；(3）如果投入的年广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，工厂获得的利润最大？最大利润是多少？例5、某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润y A（万元）与投资金额x（万元）之间存在正比例函数关系：y A=kx，并且当投资5万元时，可获利润2万元；信息二:如果单独投资B种产品，则所获利润y B(万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：y B=ax2+bx，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元，可获利润3。

2万元．(1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式;（2)如果企业同时对A、B两种产品共投资10万元,请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？例6、某公司拟用运营指数y来量化考核司机的工作业绩,运营指数(y)与运输次数(n)和平均速度（x）之间满足关系式为y=ax2+bnx+100，当n=1，x=30时，y=190;当n=2，x=40时,y=420．(1）用含x和n的式子表示y；（2）当运输次数定为3次，求获得最大运营指数时的平均速度;(3）若n=2,x=40,能否在n增加m%（m＞0）,同时x减少m%的情况下，而y的值保持不变?若能,求出m的值；若不能，请说明理由．例7、鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时,y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2)求该公司销售该原料日获利w(元）与销售单价x(元）之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时,该公司日获利最大？最大获利是多少元？例8、某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元)与年产量x(万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示)；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w 万元．（毛利润=销售额﹣生产费用）（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式;（2）求w与x之间的函数关系式;并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元,今年最多可获得多少万元的毛利润?题型三分析数量关系法例9、为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯,并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200．（1）求出利润S（元)与销售单价x（元）之间的关系式(利润=销售额﹣成本）;(2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大?最大利润是多少元？例10、一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件，为提高利益，就对该T 恤进行涨价销售,经过调查发现，每涨价1元，每周要少卖出10件，请确定该T恤涨价后每周销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式,并求出销售单价定为多少元时,每周的销售利润最大？例11、某商场销售一种成本为每件20元的商品，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500．（1）设商场销售该种商品每月获得利润为w（元），写出w与x之间的函数关系式；（2）如果商场想要销售该种商品每月获得2000元的利润，那么每月成本至少多少元?(3）为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该种商品，商场若销售新产品，每月销售量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品为每件22元，同时对商场的销售量每月不小于150件的商场，政府部门给予每件3元的补贴，试求定价多少时，新产品每月可获得销售利润最大？并求最大利润．例12、春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法,对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售．九(1）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天（1≤x≤20且x为整数)的捕捞与销售的相关信息如表:鲜鱼销售单价(元/kg）20单位捕捞成本(元/kg）5﹣捕捞量(kg)950﹣10x（1）在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一天末的捕捞量相比是如何变化的?（2)假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第x天的收入y（元）与x(天）之间的函数关系式？(当天收入=日销售额﹣日捕捞成本）（3）试说明（2）中的函数y随x的变化情况，并指出在第几天y取得最大值，最大值是多少?例13、某旅行社推出一条成本价位500元/人的省内旅游线路，游客人数y(人/月）与旅游报价x（元/人）之间的关系为y=﹣x+1300，已知：旅游主管部门规定该旅游线路报价在800元/人～1200元/人之间．（1）要将该旅游线路每月游客人数控制在200人以内，求该旅游线路报价的取值范围;(2）求经营这条旅游线路每月所需要的最低成本;（3）档这条旅游线路的旅游报价为多少时，可获得最大利润?最大利润是多少？例14、某水果销售商发现某种高档水果市场需求量较大，经过市场调查发现月销量y（箱)与销售单价x（元/箱）之间的函数关系y=﹣x+800，而该种水果的进价z(元/箱）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系为z=x+240．已知每月为此支付员工工资和场地租金等费用总计20000元．（注：月获利=月销售总额﹣月进货总价﹣工资和租金费用）（1）求月获利w（元)与x之间的函数关系式；（2）当销售单价x为何值时，月获利最大？并求出这个最大值；(3）若该水果店希望销售这种水果的月利润不低于2。

2023年九年级中考数学复习：二次函数(特殊四边形问题)综合题(Word版,含答案)

2023年九年级中考数学复习：二次函数（特殊四边形问题）综合题1．已知抛物线()21=++4(0)2y a x m m am -≠过点()0,4A(1)若=2m ，求a 的值；(2)如图，顶点M 在第一象限内，B 、C 是抛物线对称轴l 上的两点，且MB MC =，在直线l 右侧以BC 为边作正方形BCDE ，点E 恰好在抛物线上．①求am 的值；①试判断点E 和点A 是否关于直线l 对称，如果对称，请说明理由，如果不对称，请举出反例．2．如图，抛物线y ＝ax 2-2x +c (a ≠0)与直线y ＝x +3交于A ，C 两点，与x 轴交于点B ．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是抛物线上一动点，且在直线AC 下方，当①ACP 的面积为6时，求点P 的坐标．（3）D 为抛物线上一点，E 为抛物线的对称轴上一点，请直接写出以A ，C ，D ，E 为顶点的四边形为平行四边形时点D 的坐标．3．如图1，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，连接AC 和BC ，①OAC ＝60°．（1）求二次函数的表达式．（2）如图2，线段BC 上有M 、N 两动点（N 在M 上方），且MN 3P 是直线BC 下方抛物线上一动点，连接PC 、PB ，当①PBC 面积最大时，连接PM 、AN ，当MN 运动到某一位置时，PM +MN +NA 的值最小，求出该最小值．（3）如图3，在（2）的条件下，连接AP ，将AP 绕着点A 逆时针旋转60°至AQ ．点E 为二次函数对称轴上一动点，点F 为平面内任意一点，是否存在这样的点E 、F ，使得四边形AEFQ 为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．4．直线3y x =-+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，抛物线2y ax 2x c =++经过点A ，B ，与x 轴的另一个交点为C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P为直线AB上方的抛物线上的一动点，求四边形APBO的面积的最大值；D为抛物线上的一点，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，（3）如图2，(2,3)∥轴，交直线CD于点K．P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四过H作HK y边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．5．综合与探究如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值为______．（3）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N①当ANC面积最大时的P点坐标为______；最大面积为______．①点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D、F、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．。

二次函数综合题经典40题(含知识点与答案解析)(可编辑修改word版)

2019年03月08日〃子初ぐ的初中数学组卷评卷人得分一．解答题（共40小题）1．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为y轴，且过点（1，2），（2，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）如图，过点E（0，2）的一次函数图象与二次函数的图象交于A，B两点（A点在B 点的左侧），过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D．①当CD＝3时，求该一次函数的解析式；②分别用S1，S2，S3表示△ACE，△ECD，△EDB的面积，问是否存在实数t，使得S22＝tS1S3都成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．2．如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣k（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）过D点向x轴作垂线，垂足为点M，连结AD，若∠MDA＝∠ABD，求点D的坐标；（3）若在第一象限的抛物线上有一点P，使得以点A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，请直接写出△ABC的面积．3．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，图象经过B（﹣3，0）、C（0，3）两点，且与x轴交于点A．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使△ACM周长最短，求出点M的坐标；（3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．4．定义：在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a（x﹣m）+k称为抛物线y＝a（x﹣m）2+k 的关联直线．（1）求抛物线y＝x2+6x﹣1的关联直线；（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，求这条抛物线的表达式；（3）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝﹣a（x﹣1）2+4a与它的关联直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，连结AC、BC．当△ABC为直角三角形时，求a的值．5．已知抛物线y＝﹣x2+mx+m+1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）当m＝2时，抛物线与y轴交于点C．①直接写出点A、B、C的坐标；②如图1，连接AC，在x轴上方的抛物线上有一点D，若∠ABD＝∠ACO，求点D的坐标；③如图2，点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作PQ⊥CB，求PQ的最大值；（2）如图3，若点M为抛物线位于x轴上方图象上一动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，直线MN上有一点H，满足∠HBA与∠MAB互余，试判断HN的长是否变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出HN长．6．如图，已知抛物线经过点A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）如图1，点D是抛物线上一动点，过D作y轴的平行线DE交直线AB于点E，当线段DE＝1时，请直接写出D点的横坐标；（4）如图2，当D为直线AB上方抛物线上一动点时，DF⊥AB于F，设AC的中点为M，连接BD，BM，是否存在点D，使得△BDF中有一个角与∠BMO相等？若存在，请直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．7．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点D（0，3），过顶点C作CH⊥x轴于点H（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）连结AD、CD，若点E为抛物线上一动点（点E与顶点C不重合），当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；（3）若点P为抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标．8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，2），直线CD：y＝﹣x+2与x轴交于点D．动点M在抛物线上运动，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，交直线CD于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）点E是抛物线对称轴与x轴的交点，点F是x轴上一动点，点M在运动过程中，若以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．9．如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点B（1，3），又与x轴正半轴相交于点A，∠BAO＝45°，点P是线段AB上的一点，过点P作PM∥OB，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内．（1）求抛物线的表达式；（2）若∠BMP＝∠AOB，求点P的坐标；（3）过点M作MC⊥x轴，分别交直线AB、x轴于点N、C，若△ANC的面积等于△PMN 的面积的2倍，求的值．10．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且过点（2，﹣3a）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点P，过点P作PM⊥BD，垂足为点M，PM＝2DM？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）在（2）的条件下，求△PMD的面积．11．如图，直线y＝x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P是抛物线上的一个动点，并且点P在第二象限内，过动点P作PE⊥x轴于点E，交线段AC于点D．①如图1，过D作DF⊥y轴于点F，交抛物线于M，N两点（点M位于点N的左侧），连接EF，当线段EF的长度最短时，求点P，M，N的坐标；②如图2，连接CD，若以C，P，D为顶点的三角形与△ADE相似，求△CPD的面积．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x＝﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA＝NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与直线y＝x﹣3交于点A（3，0）和点B（﹣2，n），与y轴交于点C．（1）求出抛物线的函数表达式；（2）在图1中，平移线段AC，点A、C的对应点分别为M、N，当N点落在线段AB上时，M点也恰好在抛物线上，求此时点M的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点P（不与点A重合），使△PMC 的面积与△AMC的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．已知抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l1：y＝ax2﹣6ax﹣10交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB＝4，抛物线l2与l1交于点A与C（4，m）．（1）求抛物线l1，l2的函数表达式；（2）当x的取值范围是时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；（3）直线PQ∥y轴，分别交x轴，l1，l2于点D（n，0），P，Q，当≤n≤5时，求线段PQ的最大值．15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），在y轴上有一点E（0，1），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．16．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x轴上一动点，若∠MNC＝90°，直接写出实数m的取值范围．17．已知直线y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y＝x2+mx﹣4经过点A，和x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD面积的最大值；（3）如图2，经过点M（﹣4，1）的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求OE•OF的值．18．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝+2分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．点P是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．设点P的横坐标为m．（1）点A的坐标为．（2）求这条抛物线所对应的函数表达式．（3）点P在线段OA上时，若以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，求m的值．（4）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），称E、F、P三点为“共谐点”．直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值．19．如图1，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝4，直线1是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．（1）求b、c的值；（2）如图1，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．抛物线上有一点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，请求出点Q到直线PN的距离．20．如图抛物线y＝ax2+2交x轴于点A（﹣2，0）、B，交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向终点B运动，同时点Q从点C出发，以相同的速度沿y轴正方向向上运动，运动的时间为t秒，当点P到达点B时，点Q也停止运动，设△PQC的面积为S，求S与t间的函数关系式并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当点P在线段OB上时，设PQ交直线AC于点G，过P作PE⊥AC于点E，求EG的长．21．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣1．动点P在抛物线上运动（不与点A、B重合），过点P作y轴的平行线，交直线AB于点Q，当PQ不与y轴重合时，以PQ为边作正方形PQMN，使MN与y轴在PQ的同侧，连结PM．设点P的横坐标为m．（1）求b、c的值．（2）当点N落在直线AB上时，直接写出m的取值范围．（3）当点P在A、B两点之间的抛物线上运动时，设正方形PQMN周长为c，求c与m之间的函数关系式，并写出c随m增大而增大时m的取值范围．（4）当△PQM与y轴只有1个公共点时，直接写出m的值．22．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y 轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．23．已知：如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（﹣1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若抛物线与x轴的另一个交点为E．求△ODE的面积；抛物线的对称轴上是否存在点P使得△PAB的周长最短．若存在请求出P点的坐标，若不存在说明理由．24．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求点A、B、C的坐标；（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q 作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；（3）当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；（4）在（3）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y 轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．25．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴相交于A（﹣4，0）、C（2，0）两点．与y轴相交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与y轴的交点B的坐标和抛物线顶点坐标；（3）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．26．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）的顶点A在第一象限，它的对称轴与x轴交于点B，△AOB为等腰直角三角形（1）写出抛物线的对称轴为直线；（2）求出抛物线的解析式；（3）垂直于y轴的直线L与该抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2）其中x1＜x2，直线L与函数y＝（x＞0）的图象交于点R（x3，y3），若，求x1+x2+x3的取值范围．27．已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣3（m是常数）．（1）证明：无论m取什么实数，该抛物线与x轴都有两个交点；（2）设抛物线的顶点为A，与x轴两个交点分别为B，D，B在D的右侧，与y轴的交点为C．①求证：当m取不同值时，△ABD都是等边三角形；②当|m|≤，m≠0时，△ABC的面积是否有最大值，如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．28．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是y轴正半轴上的一个动点，连结DP，将线段DP绕着点D顺时针旋转90°得到线段DE，点P的对应点E恰好落在抛物线上，求出此时点P的坐标；（3）点M（m，n）是抛物线上的一个动点，连接MD，把MD2表示成自变量n的函数，并求出MD2取得最小值时点M的坐标．29．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0）．（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；（2）点D的坐标为（0，1），点F为该二次函数在第二象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S．①求S的最大值；②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，求此时S的值及点E的坐标．30．如图1，抛物线y＝mx2﹣4mx+3m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A右侧）．与y轴交点C，与直线l：y＝x+1交于D、E两点，（1）当m＝1时，连接BC，求∠OBC的度数；（2）在（1）的条件下，连接DB、EB，是否存在抛物线在第四象限上一点P，使得S△DBE＝S△DPE？若存在，求出此时P点坐标及PB的长度；若不存在，请说明理由；（3）若以DE为直径的圆恰好与x轴相切，求此时m的值．31．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线l：y＝kx+m（k＜0）交于A（﹣1，﹣1）、B两点，与y轴交于C（0，2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若y轴平分∠ACB，求k的值；（3）若在x轴上有且只有一点P，使∠APB＝90°，求k的值．32．如图，已知点E在x轴上，⊙E交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，OB＝3OA＝3，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过A、B、C三点，顶点为M．（1）写出A、B两点的坐标A ，B ；（2）求二次函数的关系式；（3）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数关系式，和四边形ACPQ的面积的最大值．33．如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线y＝x2+bx+c过点A和B，与y轴交于点C．（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象（要求过点A、B、C，开口方向、顶点和对称轴相对准确）（2）点Q（8，m）在抛物线y＝x2+bx+c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB的最小值；（3）CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．34．如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，），点P是抛物线上第一象限上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．35．如图，顶点为D的抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于两点B、C（点B在点C的左边），点A与点E关于抛物线的对称轴对称，点B、E在直线y＝kx+b（k，b为常数）上．（1）求k，b的值；（2）点P为直线AE上方抛物线上的任意一点，过点P作AE的垂线交AE于点F，点G为y轴上任意一点，当△PBE的面积最大时，求PF+FG+OG的最小值；（3）在（2）中，当PF+FG+OG取得最小值时，将△AFG绕点A按顺时方向旋转30°后得到△AF1G1，过点G1作AE的垂线与AE交于点M．点D向上平移个单位长度后能与点N重合，点Q为直线DN上任意一点，在平面直角坐标系中是否存在一点S，使以S、Q、M、N为顶点且MN为边的四边形为菱形？若存在，直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．36．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y＝﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是直线CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）求PE的长最大时m的值．（3）Q是平面直角坐标系内一点，在（2）的情况下，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形是否存在？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．37．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点的坐标分别为A （0，2），B（﹣1，0），点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按逆时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）、经过点D．（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a＝﹣1．①求点D的坐标及该抛物线的解析式；②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．（2）如图2，若该抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点E（﹣1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．38．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0），与y轴交于C（0，3），抛物线顶点为D点．（1）求此抛物线解析式；（2）如图1，点P为抛物线上的一个动点，且在对称轴右侧，若△ADP面积为3，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，PA交对称轴于点E，如图2，过E点的任一条直线与抛物线交于M，N两点，直线MD交直线y＝﹣3于点F，连结NF，求证：NF∥y轴．39．如图1，正方形ABCD的一边AB在x轴的正半轴上，⊙M是正方形ABCD的外接圆，连接OD，与⊙M相交于E点，连接BE与AD交于点F，已知AB＝4，（1）求证：△ODA≌△FBA；（2）如图2，当E是OD中点时，点G是过E、A、B的抛物线的顶点，连接AG，①求点E的坐标；②求证：AG是⊙M的切线．（3）如图3，连接CE，若ED+EA＝3，直接写出EC+EB的值．40．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为C（1，2），且与直线y＝x交于点B（，）；点P为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），过P 作PQ∥y轴交线段OB于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当PQ的长度为最大值时，求点Q的坐标；（3）点M为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），点N为线段OB 上一个动点；当四边形PQNM为平行四边形，且PN⊥OB时，请直接写出Q点坐标．2019年03月08日〃子初ぐ的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为y轴，且过点（1，2），（2，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）如图，过点E（0，2）的一次函数图象与二次函数的图象交于A，B两点（A点在B 点的左侧），过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D．①当CD＝3时，求该一次函数的解析式；②分别用S1，S2，S3表示△ACE，△ECD，△EDB的面积，问是否存在实数t，使得S22＝tS1S3都成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把点（1，2），（2，5）坐标和对称轴为y轴三个条件，代入二次函数的表达式即可求解；（2）①将一次函数表达式与二次函数表达式联立并整理得：x2﹣kx﹣1＝0，利用x2﹣x1＝＝＝3，即可求解；②分别求出S1、S2、S3，用韦达定理化简，即可求解．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，故：二次函数的表达式为：y＝x2+1；（2）①设过点E的一次函数表达式为：y＝kx+2，将一次函数表达式与二次函数表达式联立并整理得：x2﹣kx﹣1＝0，设点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）（x1＜x2），则：x1+x2＝k，x1x2＝﹣1，x2﹣x1＝＝＝3，解得：k＝，∴该一次函数表达式为：y＝x+2或y＝﹣x+2；②S1＝AC•OC＝﹣x1y1，S2＝CD•OE＝（x2﹣x1）＝k2+4，S3＝BD•OD＝x2y2，x1+x2＝k，x1x2＝﹣1，则：S1•S2＝﹣x1x2[k2x1x2+2k（x1+x2）+4]＝（k2+4）＝4S2，∴t＝4．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，主要考查利用韦达定理处理复杂的数据，难度不大．2．如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣k（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）过D点向x轴作垂线，垂足为点M，连结AD，若∠MDA＝∠ABD，求点D的坐标；（3）若在第一象限的抛物线上有一点P，使得以点A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，请直接写出△ABC的面积．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）求出A、B的坐标，把点B坐标代入直线表达式即可求解；（2）利用△AMD∽△DMB，＝，即可求解；（3）分△ABC∽△APB、△ABC∽△PAB两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣x﹣k＝（x+2）（x﹣4），令y＝0，则x＝﹣2或4，即点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0），把点B坐标代入直线y＝﹣x+b得：﹣×4+b＝0，解得：b＝，∴直线BD的表达式为：y＝﹣x+，当x＝﹣5时，y＝3，∴D（﹣5，3），把点D的坐标代入抛物线表达式得：（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝3，k＝，∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣；（2）设点D的坐标为（x，﹣x+），则：DM＝﹣x+，BM＝4﹣x，AM＝﹣2﹣x，∵∠MDA＝∠ABD，∠AMD＝∠DMB，∴△AMD∽△DMB，∴＝，即：（﹣x+）2＝（4﹣x）（﹣2﹣x），解得：x＝﹣5或4（舍去x＝4），∴点D的坐标为（﹣5，3）；（3）由抛物线的表达式，令x＝0，则y＝﹣k，∴点C的坐标为（0，﹣k），OC＝k，①当△ABC∽△APB时，则∠BAC＝∠PAB，设点P的坐标为（x，y），过点P作PN⊥x轴交于点N，则ON＝x，PN＝y，tan∠BAC＝tan∠PAB，即：，∴y＝kx+k，把点P（x，）代入抛物线表达式并解得：x＝8或﹣2（舍去﹣2），故点P的坐标为（8，5k），∵△ABC∽△APB，∴AB2＝AC•AP，即：62＝，解得：k＝，S△ABC＝AB•OC＝＝；②△ABC∽△PAB时，同理可得：k＝，S△ABC＝AB•OC＝＝3，故：△ABC的面积为＝或3．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似、解直角三角形等，（2）（3）的关键是通过相似确定线段间的比例关系．3．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，图象经过B（﹣3，0）、C（0，3）两点，且与x轴交于点A．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使△ACM周长最短，求出点M的坐标；（3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由抛物线的对称轴及点B的坐标可求出点A的坐标，由点A，B，C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；（2）连接BC，交直线x＝﹣1于点M，此时△ACM周长最短，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的函数表达式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点M的坐标；（3）设点P的坐标为（﹣1，m），结合点B，C的坐标可得出PB2，PC2，BC2的值，分∠BCP＝90°，∠CBP＝90°，∠BPC＝90°三种情况考虑，①当∠BCP＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标；②当∠CBP＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标；③当∠BPC＝90°时，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标．综上，此题得解．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（﹣3，0），∴点A的坐标为（1，0）．将A（1，0），B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）连接BC，交直线x＝﹣1于点M，如图1所示．∵点A，B关于直线x＝﹣1对称，∴AM＝BM．∵点B，C，M三点共线，∴此时AM+CM取最小值，最小值为BC．设直线BC的函数表达式为y＝kx+d（k≠0），将B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝kx+d，得：，解得：，∴直线BC的函数表达式为y＝x+3．当x＝﹣1时，y＝x+3＝2，∴当点M的坐标为（﹣1，2）时，△ACM周长最短．（3）设点P的坐标为（﹣1，m），∵点B的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，3），∴PB2＝[﹣3﹣（﹣1）]2+（0﹣m）2＝m2+4，PC2＝[0﹣（﹣1）]2+（3﹣m）2＝m2﹣6m+10，BC2＝[0﹣（﹣3）]2+（3﹣0）2＝18．分三种情况考虑（如图2）：①当∠BCP＝90°时，BC2+PC2＝PB2，∴18+m2﹣6m+10＝m2+4，解得：m＝4，∴点P的坐标为（﹣1，4）；②当∠CBP＝90°时，BC2+PB2＝PC2，∴18+m2+4＝m2﹣6m+10，解得：m＝﹣2，∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）；③当∠BPC＝90°时，PB2+PC2＝BC2，∴m2+4+m2﹣6m+10＝18，整理得：m2﹣3m﹣2＝0，解得：m1＝，m2＝，∴点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，）．综上所述：使△BPC为直角三角形时点P的坐标为（﹣1，﹣2），（﹣1，），（﹣1，）或（﹣1，4）．【点评】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式、三角形的三边关系、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、勾股定理以及解一元一次（二次）方程，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数的对称性及三角形的三边关系，找出点M所在的位置；（3）分∠BCP＝90°，∠CBP＝90°，∠BPC＝90°三种情况，找出关于m的方程．4．定义：在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a（x﹣m）+k称为抛物线y＝a（x﹣m）2+k 的关联直线．（1）求抛物线y＝x2+6x﹣1的关联直线；（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，求这条抛物线的表达式；（3）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝﹣a（x﹣1）2+4a与它的关联直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，连结AC、BC．当△ABC为直角三角形时，求a的值．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）根据关联直线的定义可求；（2）由题意可得a＝2，c＝3，设抛物线的顶点式为y＝2（x﹣m）2+k，可得，可求m和k的值，即可求这条抛物线的表达式；（3）由题意可得A（1，4a）B（2，3a）C（﹣1，0），可求AB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，AC2＝4+16a2，分BC，AC为斜边两种情况讨论，根据勾股定理可求a的值．【解答】解：（1）∵y＝x2+6x﹣1＝（x+3）2﹣10∴关联直线为y＝x+3﹣10＝x﹣7（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，∴a＝2，c＝3，可设抛物线的顶点式为y＝2（x﹣m）2+k，则其关联直线为y＝2（x﹣m）+k＝2x﹣2m+k，∴解得∴抛物线y＝2x2+3或y＝2（x+1）2+1，（3）由题意：A（1，4a）B（2，3a）C（﹣1，0），∴AB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，AC2＝4+16a2，显然AB2＜BC2且AB2＜AC2，故AB不能成为△ABC的斜边，当AB2+BC2＝AC2时：1+a2+9+9a2＝4+16a2解得a＝±1，当AB2+AC2＝BC2时：1+a2+4+16a2＝9+9a2解得，∵抛物线的顶点在第一象限∴a＞0，即【点评】本题是二次函数综合题，直角三角形的性质，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；理解坐标与图象性质，记住两点间的距离公式，注意分情况讨论思想的应用．5．已知抛物线y＝﹣x2+mx+m+1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）当m＝2时，抛物线与y轴交于点C．①直接写出点A、B、C的坐标；②如图1，连接AC，在x轴上方的抛物线上有一点D，若∠ABD＝∠ACO，求点D的坐标；③如图2，点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作PQ⊥CB，求PQ的最大值；（2）如图3，若点M为抛物线位于x轴上方图象上一动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，直线MN上有一点H，满足∠HBA与∠MAB互余，试判断HN的长是否变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出HN长．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）①先解方程﹣x2+2x+3＝0得A点和B点坐标；然后计算自变量为0时的函数值得到C点坐标；②OD交y轴于E，如图2，通过证明Rt△OBE∽Rt△OCA，利用相似比得到OE＝OA＝1，则E（0，1），再利用待定系数法求出直线BE的解析式为y＝﹣x+1，然后解方程得D点坐标；③作PK⊥x轴于K，交BC于F，如图2，易得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（x，﹣x2+2x+3）（0＜x＜3），则F（x，﹣x+3），所以PF＝﹣x2+3x，再证明∠BFK＝∠PFQ＝45°，所以PQ＝PF＝﹣x2+x，然后根据二次函数的性质解决问题；（2）先解方程﹣x2+mt+m+1＝0得A（﹣1，0），B（m+1，0），延长BH交AM于G，如图3，证明Rt△BNH∽△MNA，则＝，设M（t，﹣t2+mt+m+1），则N（t，0），所以＝，然后根据分式的运算可得到HN＝1．【解答】解：（1）①当m＝2时，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），当y＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3）；②OD交y轴于E，如图2，∵∠OBE＝∠ACO，∴Rt△OBE∽Rt△OCA，∴＝＝，∴OE＝OA＝1，∴E（0，1），设直线BE的解析式为y＝kx+b，把B（3，0），E（0，1）代入得，解得，∴直线BE的解析式为y＝﹣x+1，解方程组得或﹣，∴D点坐标为（﹣，）；③作PK⊥x轴于K，交BC于F，如图2，易得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（x，﹣x2+2x+3）（0＜x＜3），则F（x，﹣x+3），∴PF＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，∵OB＝OC＝3，∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠KBF＝45°，∴∠BFK＝∠PFQ＝45°，∴PQ＝PF＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PQ有最大值，最大值为；（2）HN的长度不变，它的长度为1．。

压轴27题二次函数新题型Word 文档 (3)

1.已知抛物线32
++=bx ax y 的对称轴为直线x=1，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中A （-1,0）。

（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC ，点F 从C 点出发，沿抛物线向B 点运动，过点F 作FP ∥y 轴交线段BC 于点P ，设F 点的横坐标为m ，线段PF 的长度为d ，求d 与m 之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CF 、BF ，设△CBF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式；
（4）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与BC交于点E，与直线CF交于点G，设EG的长为n，求n与m之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（5）在（2）的条件下，连接FC、PO，m为何值时，△FCP与△PCO相似；
（6）x 轴上有一点D （4,0），连接CD ，过C 作x 轴的平行线交抛物线于点N ，在抛物线上是否存在一点F （与点C 不重合），使点F 到直线CD 、直线CN 的距离相等，若存在，求出点F 的横坐标，若不存在，请说明理由；
（7）直线23
1+-=x y 与x 轴、y 轴交于点T 、Q ，在抛物线上有一点F ，点F 的横坐标为m ，连接QF ，求m 为何值时，∠FQT=45°。

人教版版九年级上册数学期中常考题《二次函数的图像和性质》专项复习(word版含答案)

人教版九年级上册数学期中常考题《二次函数的图像和性质》专项复习一．选择题（共5小题）1．（日喀则市一模）下列函数中是二次函数的为（）A．y＝3x﹣1B．y＝3x2﹣1C．y＝（x+1）2﹣x2D．y＝x3+2x﹣32．（舒城县期末）下列y关于x的函数中,属于二次函数的是（）A．y＝x﹣1B．y＝C．y＝（x﹣1）2﹣x2D．y＝﹣2x2+13．（阜宁县期末）下列函数中,不是二次函数的是（）A．y＝1﹣x2B．y＝2（x﹣1）2+4C．y＝（x﹣1）（x+4）D．y＝（x﹣2）2﹣x24．（中江县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c,它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．5．（合川区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二．填空题（共5小题）6．（林州市期中）当m＝时,y ＝（m 2﹣1）是二次函数．7．（仙游县期中）若y ＝（m +1）x 2+mx ﹣1是关于x 的二次函数,则m 满足． 8．如果函数y ＝（m +1）x+2是二次函数,那么m ＝．9．已知两个二次函数的图象如图所示,那么a 1 a 2（填“＞”、“＝”或“＜”）．10．用“描点法”画二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象时,列出了如下表格：x … 1 2 3 4 … y ＝ax 2+bx +c…﹣13…那么该二次函数在x ＝0时,y ＝．三．解答题（共5小题）11．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数,求m的值；（2）若这个函数是二次函数,则m的值应怎样？12．已知y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数,求m的值．13．已知二次函数y＝﹣x2+4x．（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中,画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；（3）根据图象,写出当y＜0时,x的取值范围．14．小明利用函数与不等式的关系,对形如（x﹣x1）（x﹣x2）…（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式的解法进行了探究．（1）下面是小明的探究过程,请补充完整：①对于不等式x﹣3＞0,观察函数y＝x﹣3的图象可以得到如表格：x的范围x＞3x＜3y的符号+﹣由表格可知不等式x﹣3＞0的解集为x＞3．②对于不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0,观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）的图象可以得到如表表格：x的范围x＞31＜x＜3x＜1y的符号+﹣+由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0的解集为．③对于不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0,请根据已描出的点画出函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象；观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象补全下面的表格：x的范围x＞31＜x＜3﹣1＜x＜1x＜﹣1y的符号+﹣由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0的解集为．……小明将上述探究过程总结如下：对于解形如（x﹣x1）（x﹣x2）……（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式,先将x1,x2…,x n按从大到小的顺序排列,再划分x的范围,然后通过列表格的办法,可以发现表格中y的符号呈现一定的规律,利用这个规律可以求这样的不等式的解集．（2）请你参考小明的方法,解决下列问题：①不等式（x﹣6）（x﹣4）（x﹣2）（x+2）＞0的解集为．②不等式（x﹣9）（x﹣8）（x﹣7）2＞0的解集为．15．下表给出一个二次函数的一些取值情况：x…01234…y…30﹣103…（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（2）根据图象说明：当x取何值时,y的值大于0？参考答案一．选择题（共5小题）1．（日喀则市一模）下列函数中是二次函数的为（）A．y＝3x﹣1B．y＝3x2﹣1C．y＝（x+1）2﹣x2D．y＝x3+2x﹣3【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义,可得答案．【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函数,故A错误；B、y＝3x2﹣1是二次函数,故B正确；C、y＝（x+1）2﹣x2不含二次项,故C错误；D、y＝x3+2x﹣3是三次函数,故D错误；故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义,形如y＝ax2+bx+c（a≠0）是二次函数,要先化简再判断．2．（舒城县期末）下列y关于x的函数中,属于二次函数的是（）A．y＝x﹣1B．y＝C．y＝（x﹣1）2﹣x2D．y＝﹣2x2+1【考点】二次函数的定义．【专题】函数思想．【分析】整理成一般形式,根据二次函数定义即可解答．【解答】解：A、该函数中自变量x的次数是1,属于一次函数,故本选项错误；B、该函数是反比例函数,故本选项错误；C、由已知函数关系式得到：y＝﹣2x+1,属于一次函数,故本选项错误；D、该函数符合二次函数定义,故本选项正确．故选：D．【点评】考查了二次函数的定义：一般地,形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a≠0）的函数,叫做二次函数．其中x、y是变量,a、b、c是常量,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数,a≠0）也叫做二次函数的一般形式．3．（阜宁县期末）下列函数中,不是二次函数的是（）A．y＝1﹣x2B．y＝2（x﹣1）2+4C．y＝（x﹣1）（x+4）D．y＝（x﹣2）2﹣x2【考点】二次函数的定义．【分析】将各函数整理成一般式后根据二次函数定义判断即可．【解答】解：A、y＝1﹣x2是二次函数；B、y＝2（x﹣1）2+4＝2x2﹣4x+6,是二次函数；C、y＝（x﹣1）（x+4）＝x2+x﹣2,是二次函数；D、y＝（x﹣2）2﹣x2＝﹣4x+4,是一次函数；故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的定义,掌握二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a≠0）的函数叫做二次函数是解题的关键．4．（中江县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c,它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】正比例函数的图象；二次函数的图象．【分析】根据二次函数的开口方向,与y轴的交点；一次函数经过的象限,与y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0,c）,∴两个函数图象交于y轴上的同一点,排除B、C；当a＞0时,二次函数开口向上,一次函数经过一、三象限,排除D；当a＜0时,二次函数开口向下,一次函数经过二、四象限,A正确；故选：A．【点评】考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0,图象经过一、三象限；小于0,经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0,图象开口向上；二次项系数小于0,图象开口向下．5．（合川区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】一次函数的图象；二次函数的图象．【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．【分析】由y＝ax2+bx+c的图象判断出a＜0,b＜0,于是得到一次函数y＝ax+b的图象经过二,三,四象限,即可得到结论．【解答】解：∵y＝ax2+bx+c的图象的开口向下,∴a＜0,∵对称轴在y轴的左侧,∴b＜0,∴一次函数y＝ax+b的图象经过二,三,四象限．【点评】本题考查了二次函数和一次函数的图象,解题的关键是明确二次函数的性质,由函数图象可以判断a、b的取值范围．二．填空题（共5小题）6．（林州市期中）当m＝2时,y＝（m2﹣1）是二次函数．【考点】二次函数的定义．【专题】二次函数图象及其性质；模型思想．【分析】利用二次函数定义可得m2﹣m＝2,且m2﹣1≠0,再解出m的值即可．【解答】解：由题意得：m2﹣m＝2,且m2﹣1≠0,解得：m＝2,故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次函数定义,关键是注意二次函数的二次项系数不为零．7．（仙游县期中）若y＝（m+1）x2+mx﹣1是关于x的二次函数,则m满足m≠﹣1．【考点】二次函数的定义．【专题】二次函数图象及其性质；模型思想．【分析】利用二次函数定义可得m+1≠0,再解不等式即可．【解答】解：由题意得：m+1≠0,解得：m≠﹣1,故答案为：m≠﹣1．【点评】此题主要考查了二次函数定义,关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a ≠0）的函数,叫做二次函数．8．如果函数y＝（m+1）x+2是二次函数,那么m＝2．【考点】二次函数的定义．【专题】二次函数图象及其性质；符号意识．【分析】直接利用二次函数的定义得出m的值．【解答】解：∵函数y＝（m+1）x+2是二次函数,∴m2﹣m＝2,（m﹣2）（m+1）＝0,解得：m1＝2,m2＝﹣1,∴m≠﹣1,故m＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次函数的定义,正确得出m的方程是解题关键．9．已知两个二次函数的图象如图所示,那么a1＞a2（填“＞”、“＝”或“＜”）．【考点】二次函数的图象．【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．【解答】解：如图所示y＝a1x2的开口大于y＝a2x2的开口,开口向下,则a2＜a1＜0,故答案为：＞．【点评】此题主要考查了二次函数的图象,正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．10．用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时,列出了如下表格：x…12 3 4…y＝…0﹣1 0 3 …ax2+bx+c那么该二次函数在x＝0时,y＝3．【考点】二次函数的图象．【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值,确定二次函数的对称轴,利用抛物线的对称性找到当x＝0时,y的值即可．【解答】解：由上表可知函数图象经过点（1,0）和点（3,0）,∴对称轴为x＝2,∴当x＝4时的函数值等于当x＝0时的函数值,∵当x＝4时,y＝3,∴当x＝0时,y＝3．故答案是：3．【点评】本题考查了二次函数的图象的性质,利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键．三．解答题（共5小题）11．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数,求m的值；（2）若这个函数是二次函数,则m的值应怎样？【考点】一次函数的定义；二次函数的定义．【专题】函数思想．【分析】（1）根据二次项的系数等于零,一次项的系数不等于零,可得方程和不等式,根据解方程和不等式,可得答案；（2）根据二次项的系数不等于零,可得不等式,根据不等式,可得答案．【解答】解：（1）依题意得∴∴m＝0；（2）依题意得m2﹣m≠0,∴m≠0且m≠1．【点评】本题考查了二次函数的定义,二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键．12．已知y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数,求m的值．【考点】二次函数的定义．【专题】常规题型．【分析】根据二次函数定义可得m2+2m﹣1＝2且m﹣1≠0,再解即可．【解答】解：∵y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数,∴m2+2m﹣1＝2,解得m＝1或﹣3,∵m﹣1≠0,∴m≠1,∴m＝﹣3．【点评】此题主要考查了二次函数定义,关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a ≠0）的函数,叫做二次函数．13．已知二次函数y＝﹣x2+4x．（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中,画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；（3）根据图象,写出当y＜0时,x的取值范围．【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．【分析】（1）把一般式化成顶点式即可求得；（2）首先列表求出图象上点的坐标,进而描点连线画出图象即可．（3）根据图象从而得出y＜0时,x的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4,∴对称轴是过点（2,4）且平行于y轴的直线x＝2；（2）列表得：x…﹣1012345…y…﹣503430﹣5…描点,连线．（3）由图象可知,当y＜0时,x的取值范围是x＜0或x＞4．【点评】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质,要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用二次函数的图象,从而求出y＜0时,x的取值．14．小明利用函数与不等式的关系,对形如（x﹣x1）（x﹣x2）…（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式的解法进行了探究．（1）下面是小明的探究过程,请补充完整：①对于不等式x﹣3＞0,观察函数y＝x﹣3的图象可以得到如表格：x的范围x＞3x＜3y的符号+﹣由表格可知不等式x﹣3＞0的解集为x＞3．②对于不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0,观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）的图象可以得到如表表格：x的范围x＞31＜x＜3x＜1y的符号+﹣+由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0的解集为x＞3或x＜1．③对于不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0,请根据已描出的点画出函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象；观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象补全下面的表格：x的范围x＞31＜x＜3﹣1＜x＜1x＜﹣1y的符号+﹣+﹣由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0的解集为x＞3或﹣1＜x＜1．……小明将上述探究过程总结如下：对于解形如（x﹣x1）（x﹣x2）……（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式,先将x1,x2…,x n按从大到小的顺序排列,再划分x的范围,然后通过列表格的办法,可以发现表格中y的符号呈现一定的规律,利用这个规律可以求这样的不等式的解集．（2）请你参考小明的方法,解决下列问题：①不等式（x﹣6）（x﹣4）（x﹣2）（x+2）＞0的解集为x＞6或2＜x＜4或x＜﹣2．②不等式（x﹣9）（x﹣8）（x﹣7）2＞0的解集为x＞9或x＜8且x≠7．【考点】一次函数的图象；一次函数与一元一次不等式；二次函数的图象．【专题】一元一次不等式(组)及应用；一次函数及其应用；二次函数图象及其性质．【分析】（1）②根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；③根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；（2）①根据小明的方法,可以直接写出该不等式的解集；②根据小明的方法,可以直接写出该不等式的解集．【解答】解：（1）②由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0的解集为x＞3或x＜1,故答案为：x＞3或x＜1；③图象如右图所示,当﹣1＜x＜1时,（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0,当x＜﹣1时,（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＜0,由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0的解集为x＞3或﹣1＜x＜1,故答案为：+,﹣,x＞3或﹣1＜x＜1；（2）①不等式（x﹣6）（x﹣4）（x﹣2）（x+2）＞0的解集为x＞6或2＜x＜4或x＜﹣2,故答案为：x＞6或2＜x＜4或x＜﹣2；②不等式（x﹣9）（x﹣8）（x﹣7）2＞0的解集为x＞9或x＜8且x≠7,故答案为：x＞9或x＜8且x≠7【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式,解答本题的关键是明确题意,写出相应的不等式的解集．15．下表给出一个二次函数的一些取值情况：x…01234…y…30﹣103…（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（2）根据图象说明：当x取何值时,y的值大于0？【考点】二次函数的图象．【专题】常规题型．【分析】（1）先利用描点、连线的方法画出图形；（2）找出函数图象位于x轴上方时,自变量x的范围即可．【解答】解：（1）描点、连线得：（2）由函数图象可知：当x＜1或x＞3时,y＞0．【点评】本题主要考查的是二次函数的图形,数形结合是解题的关键．。

(完整word版)二次函数专题训练(正方形的存在性问题)含答案

二次函数专题训练（正方形的存在性）1．如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 的图象经过点 A （ l ， 0）， B（﹣ 3，0），与 y 轴交于点C，抛物线的极点为 D ，对称轴与x 轴订交于点E，连结 BD ．（ 1）求抛物线的分析式．（ 2）若点 P 在直线 BD 上，当 PE=PC 时，求点P 的坐标．（ 3）在（ 2）的条件下，作PF⊥ x 轴于 F，点 M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点， G 为抛物线上一动点，当以点F， N ，G，M 四点为极点的四边形为正方形时，求点M 的坐标．2．如图，抛物线y= ﹣x2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点C，点 B 坐标为（ 6，0），点 C 坐标为（ 0， 6），点 D 是抛物线的极点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为E，连结 BD ．（ 1）求抛物线的分析式及点 D 的坐标；（ 2）点 F 是抛物线上的动点，当∠FBA= ∠ BDE 时，求点 F 的坐标；（ 3）若点 M 是抛物线上的动点，过点M 作 MN ∥x 轴与抛物线交于点N ，点 P 在 x 轴上，点 Q 在座标平面内，以线段MN 为对角线作正方形MPNQ ，请写出点Q 的坐标．3．如图，已知抛物线y=ax2 +bx﹣ 3 过点 A （﹣ 1， 0）， B（ 3，0），点 M 、 N 为抛物线上的动点，过点M 作MD ∥ y 轴，交直线 BC 于点 D ，交 x 轴于点 E．过点 N 作 NF ⊥ x 轴，垂足为点 F（ 1）求二次函数 y=ax2+bx ﹣ 3 的表达式；（ 2）若 M 点是抛物线上对称轴右边的点，且四边形MNFE 为正方形，求该正方形的面积；（ 3）若 M 点是抛物线上对称轴左边的点，且∠DMN=90°， MD=MN ，请直接写出点M 的横坐标．4.(2015 贵州省毕节地域) 如图，抛物线y=x 2+bx+c 与 x 轴交于 A （﹣ 1，0）， B（ 3， 0）两点，极点M 关于 x 轴的对称点是M′．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△ CAB 的面积；（ 3）能否存在过A， B 两点的抛物线，其极点P 对于 x 轴的对称点为Q，使得四边形APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的分析式；若不存在，请说明原因．5. (2016 辽宁省铁岭市 ) ．如图，抛物线y= ﹣x2+bx+c 与 x 轴交于点 A ，点 B，与 y 轴交于点C，点 B 坐标为（ 6，0），点 C 坐标为（ 0，6），点 D 是抛物线的极点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为E，连结 BD ．（ 1）求抛物线的分析式及点 D 的坐标；（ 2）点 F 是抛物线上的动点，当∠FBA= ∠ BDE 时，求点 F 的坐标；（ 3）若点 M 是抛物线上的动点，过点M作MN∥ x轴与抛物线交于点N ，点 P 在 x 轴上，点 Q 在平面内，以线段 MN 为对角线作正方形MPNQ ，请直接写出点Q 的坐标．二次函数专题训练（正方形的存在性）6.(2016 广东省茂名市 ) ．如图，抛物线 y=﹣ x2+bx+c 经过 A （﹣ 1， 0）， B（3，0）两点，且与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的极点，抛物线的对称轴DE 交 x 轴于点 E，连结 BD ．（1）求经过 A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式；（2）点 P 是线段 BD 上一点，当 PE=PC 时，求点 P 的坐标；（ 3）在（ 2）的条件下，过点P 作 PF⊥x 轴于点 F， G 为抛物线上一动点，M 为 x 轴上一动点， N 为直线PF 上一动点，当以F、 M 、 G 为极点的四边形是正方形时，恳求出点M 的坐标．二次函数专题训练（正方形的存在性问题）参照答案1．如图，已知抛物线 y=x 2+bx+c 的图象经过点 A （ l ， 0）， B（﹣ 3，0），与 y 轴交于点 C，抛物线的极点为D ，对称轴与 x 轴订交于点 E，连结 BD ．（ 1）求抛物线的分析式．（ 2）若点 P 在直线 BD 上，当 PE=PC 时，求点P 的坐标．（ 3）在（ 2）的条件下，作PF⊥ x 轴于 F，点 M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点， G 为抛物线上一动点，当以点F， N ，G，M 四点为极点的四边形为正方形时，求点M 的坐标．【解答】解：（ 1）∵抛物线y=x2+bx+c 的图象经过点 A （ 1， 0）， B（﹣ 3，0），∴，∴，∴抛物线的分析式为y=x2+2x ﹣ 3；（ 2）由（ 1）知，抛物线的分析式为y=x 2+2x ﹣ 3；∴C（ 0，﹣ 3），抛物线的极点 D（﹣ 1，﹣ 4），∴E（﹣ 1， 0），设直线 BD 的分析式为y=mx+n ，∴，∴，∴直线BD 的分析式为y= ﹣ 2x ﹣6，设点 P（ a，﹣ 2a﹣ 6），∵ C（ 0，﹣ 3）， E（﹣ 1， 0），依据勾股定理得，PE2=（ a+1）2+（﹣ 2a﹣ 6）2，22 2PC =a +（﹣ 2a﹣ 6+3 ），∵PC=PE，∴（ a+1）2+（﹣ 2a﹣ 6）2 =a2+（﹣ 2a﹣ 6+3 ）2，∴a=﹣ 2，∴ y= ﹣ 2×（﹣ 2）﹣ 6=﹣ 2，∴P（﹣ 2，﹣ 2），（3）如图，作 PF⊥ x 轴于 F，∴ F（﹣ 2， 0），设 M （ d， 0），∴ G（ d， d2+2d ﹣ 3）， N（﹣ 2， d2+2d﹣ 3），∵以点 F， N ，G， M 四点为极点的四边形为正方形，必有FM=MG ，∴|d+2|=|d2+2d ﹣ 3|，∴ d= 或 d= ，∴点 M 的坐标为（， 0），（， 0），（， 0），（， 0）．2．如图，抛物线y= ﹣x2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点C，点 B 坐标为（ 6，0），点 C 坐标为（ 0， 6），点 D 是抛物线的极点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为E，连结 BD ．（ 1）求抛物线的分析式及点 D 的坐标；（ 2）点 F 是抛物线上的动点，当∠FBA= ∠ BDE 时，求点 F 的坐标；（ 3）若点 M 是抛物线上的动点，过点M 作 MN ∥ x 轴与抛物线交于点N，点 P 在 x 轴上，点Q 在座标平面内，以线段MN 为对角线作正方形MPNQ ，请写出点Q 的坐标．【解答】解：（ 1）把 B 、C 两点坐标代入抛物线分析式可得，解得，∴抛物线分析式为y=﹣x2+2x+6 ，∵ y= ﹣x2+2x+6= ﹣（x﹣2）2+8，∴ D（2，8）；（ 2）如图 1，过 F 作 FG⊥ x 轴于点 G，设 F（ x，﹣x2+2x+6 ），则 FG=|﹣x2+2x+6| ，∵∠ FBA= ∠BDE ，∠ FGB= ∠ BED=90°，∴△ FBG ∽△ BDE ，∴=，∵ B（6，0），D（2，8），∴ E（ 2，0）， BE=4 ，DE=8 ， OB=6 ，∴ BG=6 ﹣ x，∴=，当点 F 在 x 轴上方时，有=，解得x=﹣1或x=6（舍去），此时F点的坐标为（﹣1，）；当点 F 在 x 轴下方时，有=﹣，解得x=﹣3或x=6（舍去），此时F 点坐标为（﹣ 3，﹣）；综上可知 F 点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣）；（ 3）如图 2，设对角线MN 、 PQ 交于点 O′，∵点 M 、 N 对于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ 为正方形，∴点 P 为抛物线对称轴与x 轴的交点，点Q 在抛物线的对称轴上，设Q（2， 2n），则 M 坐标为（ 2﹣ n，n），∵点 M 在抛物线 y= ﹣ x2+2x+6 的图象上，∴ n=﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n=﹣1+或n=﹣1﹣，∴知足条件的点Q 有两个，其坐标分别为（2，﹣ 2+2）或（2，﹣2﹣2）．3．如图，已知抛物线y=ax2 +bx﹣ 3 过点 A （﹣ 1， 0）， B（ 3，0），点 M 、 N 为抛物线上的动点，过点M 作MD ∥ y 轴，交直线 BC 于点 D ，交 x 轴于点 E．过点 N 作 NF ⊥ x 轴，垂足为点 F（ 1）求二次函数 y=ax2+bx ﹣ 3 的表达式；（ 2）若 M 点是抛物线上对称轴右边的点，且四边形MNFE 为正方形，求该正方形的面积；（ 3）若 M 点是抛物线上对称轴左边的点，且∠DMN=90°， MD=MN ，请直接写出点M 的横坐标．【解答】解：（ 1）把 A （﹣ 1， 0），B （ 3， 0）代入 y=ax 2+bx ﹣ 3，得：，解得，故该抛物线分析式为：y=x 2﹣2x﹣ 3；（2）由（ 1）知，抛物线分析式为： y=x 2﹣2x﹣ 3=（ x﹣ 1）2﹣ 4，∴该抛物线的对称轴是 x=1 ，极点坐标为（ 1，﹣ 4）．如图，设点 M 坐标为（ m， m2﹣2m﹣ 3），此中 m＞ 1，∴ME=| ﹣ m2+2m+3|，∵M 、 N 对于 x=1 对称，且点 M 在对称轴右边，∴点 N 的横坐标为 2﹣ m，∴MN=2m ﹣ 2，∵四边形MNFE 为正方形，∴ME=MN ，∴|﹣ m2+2m+3|=2m ﹣ 2，分两种状况：①当﹣ m2+2m+3=2m ﹣ 2 时，解得： m1= 、 m2=﹣（不切合题意，舍去），当 m= 时，正方形的面积为（ 2 ﹣2）2=24 ﹣ 8 ；②当﹣ m2 3 4=2﹣（不切合题意，舍去），+2m+3=2 ﹣ 2m 时，解得： m =2+ ， m当 m=2+ 时，正方形的面积为[2 （2+ ）﹣ 2]2=24+8 ；综上所述，正方形的面积为24+8 或 24﹣ 8 ．（ 3）设 BC 所在直线分析式为y=px+q ，把点 B （3， 0）、C（ 0，﹣ 3）代入表达式，得：，解得：，∴直线 BC 的函数表达式为y=x﹣ 3，设点 M 的坐标为（ t， t2﹣ 2t﹣ 3），此中 t ＜1，则点 N（ 2﹣ t， t2﹣2t﹣ 3），点 D （ t， t﹣ 3），∴MN=2 ﹣ t﹣t=2 ﹣2t， MD=|t 2﹣ 2t﹣ 3﹣ t+3|=|t2﹣3t|．∵ MD=MN ，∴ |t2﹣ 3t|=2﹣ 2t，分两种状况：①当 t2﹣ 3t=2﹣ 2t 时，解得 t 1=﹣ 1， t2=2 （不切合题意，舍去）．二次函数专题训练（正方形的存在性）②当 3t﹣ t2=2﹣ 2t 时，解得3 2（不切合题意，舍去）．t = ， t =综上所述，点 M 的横坐标为﹣ 1 或．4.(2015 贵州省毕节地域 ) 如图，抛物线 y=x 2+bx+c 与 x 轴交于 A （﹣ 1，0）， B（ 3， 0）两点，极点M 关于 x 轴的对称点是M′．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△ CAB 的面积；（ 3）能否存在过A， B 两点的抛物线，其极点P 对于 x 轴的对称点为Q，使得四边形APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的分析式；若不存在，请说明原因．剖析：（1）依据待定系数法，可得函数分析式；（ 2）依据轴对称，可得M′的坐标，依据待定系数法，可得AM′的分析式，依据解方程组，可得B点坐标，依据三角形的面积公式，可得答案；（ 3）依据正方形的性质，可得P、 Q 点坐标，依据待定系数法，可得函数分析式．解答：解：（ 1）将 A 、 B 点坐标代入函数分析式，得，解得，抛物线的分析式y=x 2﹣ 2x﹣ 3；（ 2）将抛物线的分析式化为极点式，得 y= （ x﹣1）2﹣ 4， M点的坐标为（ 1，﹣ 4）， M′点的坐标为（ 1， 4），设AM′的分析式为 y=kx+b ，将 A 、M′点的坐标代入，得，解得，AM′的分析式为y=2x+2 ，联立 AM′与抛物线，得，解得，C点坐标为（ 5，12）． S△ABC = ×4×12=24；（ 3）存在过 A ，B 两点的抛物线，其极点P 对于 x 轴的对称点为Q，使得四边形APBQ 为正方形，由 ABPQ 是正方形， A （﹣ 1， 0） B （ 3， 0），得P（ 1，﹣ 2）， Q（ 1， 2），或 P（1， 2）， Q（ 1，﹣ 2），将 A 点坐标代入函数分析式，得a（﹣ 1﹣ 1）2﹣ 2=0 ，解得 a=，抛物线的分析式为y=（x﹣1）2﹣2，②当 P（ 1， 2）时，设抛物线的分析式为 y=a（ x﹣ 1）2+2，将 A点坐标代入函数分析式，得 a（﹣ 1﹣ 1）2+2=0 ，解得 a=﹣，抛物线的分析式为y=﹣（x﹣1）2+2，综上所述： y=（x﹣1）2﹣2或y=﹣（x﹣1）2+2，使得四边形APBQ 为正方形．5. (2016 辽宁省铁岭市 ) ．如图，抛物线y= ﹣x2+bx+c 与 x 轴交于点 A ，点 B，与 y 轴交于点C，点 B坐标为（ 6，0），点 C 坐标为（ 0，6），点 D 是抛物线的极点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为E，连结 BD ．（ 1）求抛物线的分析式及点 D 的坐标；（ 2）点 F 是抛物线上的动点，当∠ FBA=∠ BDE时，求点 F 的坐标；（ 3）若点 M 是抛物线上的动点，过点M作MN∥ x轴与抛物线交于点N ，点 P 在 x 轴上，点 Q 在平面内，以线段 MN 为对角线作正方形MPNQ ，请直接写出点Q 的坐标．剖析（ 1）由点 B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的分析式，再利用配方法将抛物线分析式变形成极点式即可得出结论；（ 2）设线段 BF 与 y 轴交点为点 F′，设点 F′的坐标为（ 0， m），由相像三角形的判断及性质可得出点F′的坐标，依据点B、F′的坐标利用待定系数法可求出直线BF 的分析式，联立直线BF 和抛物线的分析式成方程组，解方程组即可求出点 F 的坐标；（ 3）设对角线 MN 、 PQ 交于点 O′，如图 2 所示．依据抛物线的对称性联合正方形的性质可得出点P、 Q 的地点，设出点Q 的坐标为（ 2， 2n），由正方形的性质可得出点M 的坐标为（2﹣n， n）．由点 M 在抛物线图象上，即可得出对于n 的一元二次方程，解方程可求出n 值，代入点Q 的坐标即可得出结论．解答解：（ 1）将点 B （ 6，0）、 C（ 0， 6）代入 y=﹣x2+bx+c 中，得：，解得：，∴ 抛物线的分析式为y= ﹣x2+2x+6 ．∵ y= ﹣x2+2x+6= ﹣（x﹣2）2+8，∴点 D 的坐标为（ 2， 8）．（2）设线段 BF 与 y 轴交点为点 F′，设点 F′的坐标为（ 0，m），如图 1 所示．∵∠ F′BO=∠ FBA= ∠ BDE ，∠ F′OB=∠ BED=90°，∴△ F′BO∽△ BDE ，∴．∵点 B （6， 0），点 D（ 2， 8），11∴点 E（ 2， 0），BE=6 ﹣ 4=4 ， DE=8 ﹣ 0=8 ，OB=6 ，∴OF′=?OB=3，∴点 F′（0， 3）或（ 0，﹣ 3）．设直线 BF 的分析式为y=kx±3，则有 0=6k+3 或 0=6k﹣ 3，解得： k= ﹣或k=，∴直线 BF 的分析式为y=﹣x+3 或 y=x﹣ 3．联立直线 BF 与抛物线的分析式得：① 或② ，解方程组①得：或（舍去），∴ 点F的坐标为（﹣1，）；解方程组②得：或（舍去），∴ 点F的坐标为（﹣3，﹣）．综上可知：点 F 的坐标为（﹣ 1，）或（﹣ 3，﹣）．（ 3）设对角线 MN 、 PQ 交于点 O′，如图 2 所示．∵点 M 、 N 对于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ 为正方形，∴点 P 为抛物线对称轴与x 轴的交点，点 Q 在抛物线对称轴上，设点 Q 的坐标为（2， 2n），则点 M 的坐标为（ 2 ﹣ n， n）．∵点 M 在抛物线 y= ﹣x2+2x+6 的图象上，∴ n=﹣+2（ 2﹣ n） +6，即 n2+2n ﹣ 16=0，解得： n1= ﹣ 1 ， n2 =﹣﹣1．∴点 Q 的坐标为（2，﹣ 1）或（ 2，﹣﹣ 1）．6. (2016 广东省茂名市 ) 】．如图，抛物线 y= ﹣ x2 +bx+c 经过 A （﹣ 1，0）， B（ 3，0）两点，且与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的极点，抛物线的对称轴DE 交 x 轴于点 E，连结 BD ．（1）求经过 A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式；（2）点 P 是线段 BD 上一点，当 PE=PC 时，求点 P 的坐标；（ 3）在（ 2）的条件下，过点P 作 PF⊥x 轴于点 F， G 为抛物线上一动点，M 为 x 轴上一动点， N 为直线PF 上一动点，当以F、 M 、 G 为极点的四边形是正方形时，恳求出点M 的坐标．剖析（ 1）利用待定系数法求出过A， B，C 三点的抛物线的函数表达式；12（ 2）连结 PC、PE，利用公式求出极点 D 的坐标，利用待定系数法求出直线BD 的分析式，设出点P 的坐标为（ x，﹣ 2x+6 ），利用勾股定理表示出PC2和 PE2，依据题意列出方程，解方程求出x 的值，计算求出点 P 的坐标；（3）设点 M 的坐标为（ a， 0），表示出点 G 的坐标，依据正方形的性质列出方程，解方程即可．解答解：（ 1）∵抛物线 y= ﹣x2+bx+c 经过 A （﹣ 1， 0）， B （ 3， 0）两点，∴，解得，，∴ 经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y= ﹣ x2+2x+3 ；（ 2）如图 1，连结 PC、PE， x= ﹣=﹣=1，当x=1 时， y=4 ，∴点 D 的坐标为（ 1， 4），设直线 BD 的分析式为： y=mx+n ，则，解得，，∴ 直线BD的分析式为y= ﹣ 2x+6，设点 P 的坐标为（ x，﹣ 2x+6），则PC2=x 2+（3+2x ﹣ 6）2，PE2=（ x﹣ 1）2+（﹣ 2x+6 ）2，∵PC=PE，∴x2+（3+2x ﹣6）2=（x﹣1）2+（﹣2x+6 ）2，解得， x=2，则 y= ﹣2×2+6=2 ，∴点 P 的坐标为（ 2， 2）；（3）设点 M 的坐标为（ a， 0），则点 G 的坐标为（ a，﹣ a2 +2a+3），∵以 F、M 、 G 为极点的四边形是正方形，∴ FM=MG ，即 |2﹣ a|=|﹣ a2 +2a+3|，当 2﹣ a=﹣ a2+2a+3 时，整理得，a2﹣ 3a﹣1=0 ，解得， a=，当2﹣ a=﹣（﹣ a2+2a+3）时，整理得， a2﹣ a﹣5=0 ，解得， a= ，∴当以 F、M 、G 为极点的四边形是正方形时，点 M 的坐标为（，0），（，0），（，0），（， 0）．13。

九年级数学二次函数(巩固篇)(专项练习)Word版含解析

专题2.3 二次函数（巩固篇）（专项练习）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）专题2.3 二次函数（巩固篇）（专项练习）一、单选题知识点一、二次函数的判断1．下列函数：①2y x =-，①3y x=，①2y x ，①234y x x =++，y 是x 的反比例函数的个数有（）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列函数中，二次函数是（） A ．y ＝﹣4x +5B ．y ＝x （2x ﹣3）C ．y ＝ax 2+bx +cD ．21y x =3．设y ＝y 1﹣y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 2成正比例，则y 与x 的函数关系是（） A ．正比例函数 B ．一次函数 C ．二次函数D ．以上均不正确4．若用（1）、（2）、（3）、（4）四幅图分别表示变量之间的关系，将下面的（a ）、（b ）、（c ）、（d ）对应的图象排序（）（1）（2）（3）（4）（a ）面积为定值的矩形（矩形的相邻两边长的关系）（b ）运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）（c ）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物质量的关系）（d ）某人从A 地到B 地后，停留一段时间，然后按原速返回（离开A 地的距离与时间的关系）A ．（3）（4）（1）（2）B ．（3）（2）（1）（4）C ．（4）（3）（1）（2）D ．（3）（4）（2）（1）知识点二、根据二次函数定义求参数5．若函数y ＝（a ﹣1）x 2+2x +a 2﹣1是二次函数，则（） A ．a ≠1B ．a ≠﹣1C ．a ＝1D ．a ＝±16．已知函数y =ax 2+bx +c ，其中a ，b ，c 可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（） A ．125个B ．100个C ．48个D ．10个7．如果函数22(2)27m y m x x -=-+-是二次函数，则m 的取值范围是（） A ．2m =±B ．2m =C ．m ＝﹣2D ．m 为全体实数8．若y=（m ＋1）265m m x --是二次函数，则m= （）A ．－1B ．7C ．－1或7D ．以上都不对知识点三、列二次函数解析式9．下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（）①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b 与这个人的年龄a 之间的关系为b ＝0.8（220－a ）；①圆锥的高为h ，它的体积V 与底面半径r 之间的关系为V ＝13πr 2h （h 为定值）；①物体自由下落时，下落高度h 与下落时间t 之间的关系为h ＝12gt 2（g 为定值）； ①导线的电阻为R ，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q 与电流I 之间的关系为Q ＝RI 2（R 为定值）. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．用一根长60cm 的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积2()y cm 与它的一边长()x cm 之间的函数关系式为（） A ．230(030)y x x x =-<< B ．230(030)y x x x =-+< C ．230(030)y x x x =-+<<D ．230(030)y x x x =-+<11．二次函数2y ax c =+的图象与22y x =的图象形状相同,开口方向相反,且经过点()1,1,则该二次函数的解析式为( ) A ．221y x =-B ．223y x =+C ．221y x =--D ．223y x =-+12．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x 元，则可卖出（350-10x ）件商品，那么商品所赚钱y 元与售价x 元的函数关系为（）A ．2105607350y x x =--+B ．2105607350y x x =-+-C ．210350y x x =-+D ．2103507350y x x =-+-二、填空题知识点一、二次函数的判断 13．二次函数21212y x x =-+ 中，二次项系数为____，一次项是____，常数项是___ 14．下列各式：()()()()2222212;2;;;12;2(1)2;2122y x y x y y y x x y x y x x x x x=+====-+=-+=+--；其中y 是x 的二次函数的有________（只填序号）15．下列函数中属于一次函数的是_____，属于反比例函数的是______，属于二次函数的是______A. y ＝x(x ＋1)B. xy ＝1C. y ＝2x 2－2(x ＋1)2D. y =16．二次函数y ＝3x 2+5的二次项系数是_____，一次项系数是_____．知识点二、根据二次函数定义求参数17．已知函数y ＝（2﹣k ）x 2+kx +1是二次函数，则k 满足__． 18．若y ＝（m +1）x 2+mx ﹣1是关于x 的二次函数，则m 满足_____． 19．函数()21m y m x =++是关于x 的二次函数，则m=___ 20．若函数()2262mm y m x --=+是二次函数，则m =________．知识点三、列二次函数解析式21．矩形周长等于40，设矩形的一边长为x ，那么矩形面积S 与边长x 之间的函数关系式为____.22．在①ABC 中，已知BC 边长为x(x>0)，BC 边上的高比它的2倍多1，则三角形的面积y 与x 之间的关系为__________．23．正方形边长为2，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 与x 的函数关系式是______． 24．用一根长为10m 的木条，做一个长方形的窗框，若长为xm ，则该窗户的面积y （m 2）与x （m ）之间的函数表达式为_____．三、解答题25．已知函数y=-(m+2)2-2m x (m 为常数),求当m 为何值时：(1)y 是x 的一次函数?(2)y 是x 的二次函数?并求出此时纵坐标为-8的点的坐标．26．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带BC 边长为xm ，绿化带的面积为ym2 ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．27．如图2 - 4所示，长方形ABCD的长为5 cm，宽为4 cm，如果将它的长和宽都减去x(cm)，那么它剩下的小长方形AB′C′D′的面积为y(cm2)．(1)写出y与x的函数关系式；(2)上述函数是什么函数?(3)自变量x的取值范围是什么?28．某商场销售一批名牌衬衫，每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每天可多售出2件．()1如果每件衬衫降价5元，商场每天赢利多少元？()2如果商场每天要赢利1200元，且尽可能让顾客得到实惠，每件衬衫应降价多少元？()3用配方法说明，每件衬衫降价多少元时，商场每天赢利最多，最多是多少元？参考答案：1．A【分析】根据反比例函数、一次函数、二次函数的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】2y x =-是一次函数，故选项①不符合题意；3y x=是反比例函数，故选项①符合题意； 2y x 是二次函数，故选项①不符合题意；234y x x =++是二次函数，故选项①不符合题意；①y 是x 的反比例函数的个数有：1个故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数、二次函数、一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、二次函数、一次函数的定义，从而完成求解． 2．B【分析】根据二次函数的定义判断即可．【详解】A 、y ＝﹣4x+5是一次函数，故选项A 不合题意； B 、y ＝x （2x ﹣3）是二次函数，故选项B 符合题意；C 、当a ＝0时，y ＝ax 2+bx+c 不是二次函数，故选项C 不合题意；D 、21y x =不是二次函数，故选项D 不合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键． 3．C【分析】设y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x 2，根据y ＝y 1﹣y 2得到y ＝k 1x ﹣k 2x 2，由此得到答案．【详解】解：设y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x 2，则y ＝k 1x ﹣k 2x 2，所以y 是关于x 的二次函数，故选：C ．【点睛】此题考查列函数关系式，正确理解正比例函数的定义是解题的关键． 4．A【分析】根据每个类别的数量关系，判断函数图象的变化规律，选择正确结论．【详解】解：根据题意分析可得：（a ）面积为定值的矩形，其相邻两边长的关系为反比例关系，对应图象为（3）；（b ）运动员推出去的铅球，铅球的高度随时间先增大再减小，对应图象为（4）；（c ）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物，弹簧长度随所挂重物质量增大而增大；对应图象为（1）；（d ）某人从A 地到B 地后，停留一段时间，然后按原速返回，对应图象为（2）．故选：A ．【点睛】本题考查了函数图象，主要利用了反比例函数图象，抛物线，一次函数图象，分析得到各小题中的函数关系是解题的关键． 5．A【分析】利用二次函数定义进行解答即可．【详解】解：由题意得：a ﹣1≠0，解得：a ≠1，故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确计算是解题的关键． 6．B【分析】根据二次函数的定义得到0a ≠，依据a 、b 、c 的选法通过计算即可得到答案【详解】由题意0a ≠， ①a 有四种选法：1、2、3、4，①b 和c 都有五种选法：0、1、2、3、4， ①共有455⨯⨯=100种，故选：B【点睛】此题考查二次函数的定义2(0)y ax bx c a =++≠，有理数的乘法运算，根据题意得到a 、b 、c 的选法是解题的关键． 7．C【分析】根据二次函数定义可得m -2≠0，222m -=，再解即可．【详解】解：由题意得：m -2≠0，222m -=，解得：m=-2，故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．8．B【分析】令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．【详解】由题意得：m2-6m-5=2；且m+1≠0；解得m=7或-1；m≠-1，①m=7，故选：B．【点睛】利用二次函数的定义，二次函数中自变量的指数是2；二次项的系数不为0．9．C【详解】形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数且a≠0）的函数是二次函数，由二次函数的定义可得①①①是二次函数，故选C．10．C【分析】由矩形另一边长为周长的一半减去已知边长求得另一边的长，进一步根据矩形的面积等于相邻两边长的积列出关系式即可．【详解】由题意得：矩形的另一边长=60÷2-x=30-x，矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y=x（30-x）=-x2+30x（0＜x＜30）．故选：C．【点睛】此题考查根据实际问题列二次函数关系式，掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解题的关键．11．D【分析】根据二次函数y=ax2+c的图象与y=2x2的图象形状相同,开口方向相反,得到a=−2,然后把点(1,1)代入y=−2x2+c求出对应的c的值，从而可得到抛物线解析式.【详解】①二次函数y=ax2+c的图象与y=2x2的图象形状相同，开口方向相反，①a=−2，①二次函数是y=−2x2+c，①二次函数y=ax2+c经过点(1,1)，①1=−2+c，①c=3，①抛该二次函数的解析式为y=−2x 2+3；故选D.【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于利用待定系数法求解. 12．B【分析】商品所赚钱=每件的利润×卖出件数，把相关数值代入即可求解．【详解】解：每件的利润为（x -21）， ①y =（x -21）（350-10x ） =-10x 2+560x -7350．故选B ．【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解决本题的关键是找到总利润的等量关系，注意先求出每件商品的利润． 13．12-2x , 1【分析】函数化简为一般形式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【详解】①y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项 ①21212y x x =-+ 中，二次项系数为12，一次项是-2x ，常数项是1.故答案是：12; -2x;1.【点睛】考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 14．①①①【分析】根据二次函数的定义与一般形式即可求解．【详解】解：y 是x 的二次函数的有①，①，①．故答案是：①，①，①．【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般形式是y=ax 2+bx+c （a≠0，且a ，b ，c 是常数，x 是未知数）． 15． C B A【详解】根据题意可知y=x （x+1）=x 2+x ，可由二次函数的定义，可知是二次函数；根据xy=1是反比例关系，所以是反比例函数；而y ＝2x 2－2(x ＋1)2= y ＝2x 2－2(x 2+2x+1)=-4x -2，是一次函数；函数y . 故答案为C 、B 、A. 16． 3 0【分析】根据二次函数的定义解答即可．【详解】二次函数y ＝3x 2+5的二次项系数是3，一次项系数是0．故答案是：3；0．【点睛】考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键，要注意没有一次项，所以一次项系数看做是0． 17．k ≠2【分析】利用二次函数定义可得2﹣k ≠0，再解不等式即可．【详解】解：由题意得：2﹣k ≠0，解得：k ≠2，故答案为：k ≠2．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确分析计算是解题的关键． 18．m ≠﹣1【分析】利用二次函数定义可知m+1≠0，再解不等式即可；【详解】解：由题意得：m+1≠0，解得：m≠﹣1，故答案为：m≠﹣1．【点睛】本题考查了二次函数的定义，正确掌握二次函数的定义是解题的关键； 19．2【分析】根据二次函数的定义可得220m m ⎧=⎪⎨+≠⎪⎩，求解即可．【详解】解：①函数()21my m x =++是关于x 的二次函数，①220m m ⎧=⎪⎨+≠⎪⎩，解得2m =，故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数的定义，注意二次项系数不能为0． 20．4【分析】直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．【详解】由题意得：2262m m --=，且20m +≠，解得：4m =．故答案为：4．【点睛】本题考查了二次函数的定义，解决问题的关键是明确最高次项的次数为2，且最高次项系数不为0． 21．220S x x =-+【分析】根据矩形的周长、一边长，可得另一边长，根据矩形的面积公式，可得答案．【详解】解：设矩形的一边长为x 米，另一边长为（20-x ）米， ①由矩形的面积公式，得 2(20)20S x x x x =-=-+【点睛】本题考查了函数解析式，利用了矩形的面积公式． 22．y=x 2+12x【分析】根据已知得出三角形的高，进而利用三角形面积公式求出即可．【详解】①BC 边长为x(x>0)，BC 边上的高比它的2倍多1， ①这条边上的高为：2x+1，根据题意得出：y=12x （2x+1）=x 2+12x ．故答案为y=x 2+12x ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据三角形面积公式得出是解题关键． 23．y=x 2+4x【分析】增加的面积=新正方形的面积-原正方形的面积，把相关数值代入化简即可．【详解】新正方形的边长为2x +，原正方形的边长为2． ∴新正方形的面积为2(2)x +，原正方形的面积为4， 22(2)44y x x x ∴=+-=+，故答案为24y x x =+．【点睛】考查列二次函数关系式；得到增加的面积的等量关系是解决本题的关键．24．y ＝﹣x 2+5x【分析】直接利用根据实际问题列二次函数解析式关系式，正确表示出长方形的宽是解题关键．【详解】设长为xm ，则宽为（5﹣x ）m ，根据题意可得：y ＝x （5﹣x ）＝﹣x 2+5x ．故答案是：y ＝﹣x 2+5x ．【点睛】考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确表示出长方形的宽是解题关键．25．(1)(2) m =2，纵坐标为-8的点的坐标是，-8)，（，-8）【分析】（1）根据一次函数的定义求m 的值即可；（2）根据二次函数的定义求得m 的值，从而求得二次函数的解析式，把y =-8代入解析式，求得x 的值，即可得纵坐标为-8的点的坐标．【详解】(1)由y=-(m+2)22m x -(m 为常数)，y 是x 的一次函数，得221,20,m m ⎧-=⎨+≠⎩解得 ①当y 是x 的一次函数；(2)由y=-(m+2)22m x -(m 为常数)，y 是x 的二次函数，得222,20,m m ⎧-=⎨+≠⎩解得m=2，m=-2(不符合题意的要舍去)，当m=2时，y 是x 的二次函数，当y=-8时，-8=-4x 2，解得故纵坐标为-8的点的坐标是-8)和（，-8）．【点睛】本题考查了一次函数的定义、二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义．26．y=﹣12x2+20x ，自变量x 的取值范围是0＜x≤25．【详解】试题分析：由矩形的性质结合BC 的长度可得出AB 的长度，再根据矩形的面积公式即可找出y 与x 之间的函数关系式.试题解析：①四边形ABCD 为矩形，BC=x①AB=40-2x ．根据题意得：24012022x y BC AB x x x -⎛⎫=⨯==-+ ⎪⎝⎭，因为墙长25米，所以025x <≤． 27．(1) y ＝x2－9x ＋20；(2) 二次函数;(3) 0＜x ＜4.【详解】试题分析：（1）根据长方形的面积公式，根据图示求解即可得到函数关系式；（2）通过二次函数的定义可判断；（3）根据x 取值不能大于原方程的长方形的宽进行分析.试题解析：(1)根据长方形的面积公式，得y ＝(5－x)·(4－x)＝x 2－9x ＋20，所以y 与x 的函数关系式为y ＝x 2－9x ＋20．(2)上述函数是二次函数．(3)自变量x 的取值范围是0＜x ＜4．点睛：此题主要考查了根据题意列函数的解析式，熟悉掌握根据题意列函数关系式是解决此题的关键.28．（1）如果每件衬衫降价5元，商场每天赢利1050元；()2每件衬衫应降价20元．()3每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多．【分析】总利润＝每件利润×销售量．设每天利润为w 元，每件衬衫应降价x 元，据题意可得利润表达式，（1）把x ＝5代入求得相应的w 的值即可；（2）再求当w ＝1200时x 的值；（3）根据函数关系式，运用函数的性质求最值．【详解】（1）设每天利润为w 元，每件衬衫降价x 元，根据题意得w ＝（40−x ）（20＋2x ）＝−2x 2＋60x ＋800＝−2（x−15）2＋1250当x ＝5时，w ＝−2（5−15）2＋1250＝1050（元）答：如果每件衬衫降价5元，商场每天赢利1050元；；()2当w 1200=时，22x 60x 8001200-++=，解之得1x 10=，2x 20=．根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元．答：每件衬衫应降价20元．()3商场每天盈利()()40x 202x -+22(x 15)1250=--+．所以当每件衬衫应降价15元时，商场盈利最多，共1250元．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多．【点睛】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的应用．根据题意写出利润的表达式是此题的关键．。

(完整word版)九年级二次函数常考题型复习

九年级数学二次函数常考题型常考知识点总结：1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

注：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项 3、()2y a x h k =-+的性质：4、二次函数2y ax bx c =++的性质：（1）当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，；当2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a =-时，y 有最小值244ac b a -．（2）当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，；当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -。

5、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；（3）已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 6、二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系（0a >时）：题型：根据图像，判断a 、b 、c 的关系问题。

1、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如上图所示，•则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2、小强从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）0a <；（2） 1c >；（3）0b >；（4） 0a b c ++>；（5）0a b c -+>；你认为其中正确信息的个数有（） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个3、已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如右上图．则下列5个代数式： ac ，a+b+c ，4a －2b+c ， 2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个4、二次函数c bx ax y ++=2c b ++这3个式子中，值为正数的有。

高中二次函数练习题(可编辑修改word版)

二次函数专题一、选择题1.若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a 等于( )A．－2 B．－1C．1 D．22.若f(x)＝x2－ax＋1 有负值，则实数a 的取值范围是( )A．a>2 或a<－2 B．－2<a<2C．a≠±2 D．1<a<33．若f(x)＝x2－x＋a，f(－m)＜0，则f(m＋1)的值为( )A．正数B．负数C．非负数D．与m 有关4.已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则它的图象是( )5.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，且f(x＋2)是偶函数，则f(1)，5，7的大小关系是( ) f ( )2f( )2A．5＜f(1)＜7B．f(1)＜7＜5f( )2f( )2f( )2f( )2C．7＜f(1)＜5D．7＜5＜f(1) f( )2f( )2f( )2f( )2二、填空题6.已知函数f(x)＝x2－2x＋2 的定义域和值域均为[1，b]，则b＝.7.方程x2－mx＋1＝0 的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m 的取值范围是．8.已知定义在区间[0,3]上的函数f(x)＝kx2－2kx 的最大值为3，那么实数k 的取值范围为．三、解答题9.求下列二次函数的解析式：(1)图象顶点坐标为(2，－1)，与y 轴交点坐标为(0,11)；(2)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，且f(x＋1)－f(x)＝2x.10．已知函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋6(a∈R)．(1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数值为非负数，求函数f(a)＝2－a|a＋3|的值域．11．已知函数f(x)＝ax2＋2x＋c(a、c∈N*)满足：①f(1)＝5；②6＜f(2)＜11.(1)求a、c 的值；(2)若对任意的实数x∈1 3]，都有f(x)－2mx≤1 成立，求实数m 的取值范围．2 2[ ，。

(完整word版)二次函数知识点总结和题型总结

二次函数知识点总结和题型总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵a b c，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．例题：例1、已知函数y=(m －1)x m2 +1+5x －3是二次函数，求m 的值。

练习、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为。

二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

c的性)2h的性4.()2y a x h k=-+的性质：二次函数的对称轴、顶点、最值如果解顶点式－则最值果解析般式y=ax2+bx+c则最值为4ac-b24a）1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。

2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴6．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝。

三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质例题：1．抛物线y=x 2+4x+9的对称轴是。

(完整word版)九年级二次函数题型总结,推荐文档

.:.:增大而减小随在对称轴右侧，增大而增大；随在对称轴左侧，开口向下增大而增大随在对称轴右侧，增大而减小；随在对称轴左侧，开口向上x y x y x y x y 一、二次函数的定义1.下列函数中属于一次函数的是( )，属于反比例函数的是( )，属于二次函数的是( )A ．y ＝x(x ＋1)B ．xy ＝1C ．y ＝2x 2－2(x ＋1)2D ．132+=x y2.当m 时，函数y ＝(m －2)x 2＋4x －5(m 是常数)是二次函数． 3.若1222)3(---=m mx m m y 是二次函数，则m ＝．4.若函数y ＝3x 2的图象与直线y=kx ＋3的交点为(2，b)，则k= ，b ＝ . 5.已知二次函数y ＝―4x 2－2mx+m 2与反比例函数24m y x+=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是―2，则m 的值是．二、二次函数的图象与性质)(44)()(22),()44,2)(2222y x ab ac y ky h x a bx hx a bx k h ab ac a b a akh x a y c bx ax y 代入求或将值小最大值小最大时，最值：当时，最值：当对称轴：对称轴：顶点顶点（开口方向开口方向公式-===-==-=--↓↓+-=→----++=1.对于抛物线y ＝ax 2，下列说法中正确的是( )A ．a 越大，抛物线开口越大B ．a 越小，抛物线开口越大C ．｜a ｜越大，抛物线开口越大D ．｜a ｜越小，抛物线开口越大2.下列说法中错误的是( )A ．在函数y ＝－x 2中，当x ＝0时，y 有最大值0B ．在函数y ＝2x 2中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大C ．抛物线y ＝2x 2，y ＝－x 2，221x y -=中，抛物线y ＝2x 2的开口最小，抛物线 y ＝－x 2的开口最大D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y ＝ax 2的顶点都是坐标原点3.二次函数 y=2（x －3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（） A ．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为（3,5） B ．开口向上，对称轴x ＝3，顶点坐标为（3，5）C ．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,5)D ．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,－5）4.已知抛物线的解析式为y=(x －2)2+1，则抛物线的顶点坐标是 ( )A ．(－2，1)B ．(2，1)C ．(2，－1)D ．(1，2) 5.已知二次函数y ＝x 2－4x ＋5的顶点坐标为( ) A ．(－2，－1) B ．(2,1) C ．(2，－1) D ．(－2,1)6.抛物线y=x 2+2x-1的对称轴是，当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小．7.抛物线c bx x y ++=23的顶点坐标为)0,32(，则b= ,c= .8.函数y ＝x 2―2x －l 的最小值是；函数y ＝-x 2+4x 的最大值是 . 9.已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，则a = .配方),1(3y C ),,2(),,1(21y B y A --二次函数的对称性二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ：（1）此函数的对称轴为直线ab x 2-=；（2）若函数与x 轴相交于点)0,(),0,(21x B x A ，则对称轴可表示为221x x x +=；（3）若函数与x 轴相交于点),(),,(21n x B n x A （特点是纵坐标相同），则对称轴可表示为221x x x +=.10.抛物线2)1(2++=x a y 的一部分图象如图所示，该抛物线在y 轴右侧部分与x 轴交点坐标是 .11.如图，抛物线的对称轴是x=1，与x 轴交于A 、B 两点，B 点坐标为)0,3(，则点A 的坐标是 .12.抛物线)0()1(2≠+-=a k x a y 与x 轴交于)0,3(),0,(1B x A 两点，则线段AB 的长 . 13.已知二次函数c x x y ++-=22，若点),(),,(2211y x B y x A 在此函数的图象上，且121<<x x ，则21,y y 的大小关系是 .14.已知二次函数c ax x y ++-=2的对称轴是直线1=x ，若点在此函数的图象上，则321,,y y y 的大小关系是15.已知二次函数c bx ax y ++=2中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表：x …… 0 1 2 3 4 …… y……414……点),(),,(2211y x B y x A 在函数的图象上，则当211<<x ，432<<x 时，1y 与2y 的大小关系正确的是（）21212121....y y D y y C y y B y y A ≥≤<>三、二次函数的平移、旋转与对称1.把抛物线2y x =-向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式（）3)1(.3)1(.3)1(.3)1(.2222-+-=---=++-=+--=x y D x y C x y B x y A2.抛物线2)1(32-+-=x y 经过平移得到抛物线23x y -=，平移的方法是 A ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位3.在平面直角坐标系中，如果23x y =的图象不动，而把坐标轴分别向上平移2个单位，向右平移3个单位，那么新坐标系中此抛物线的解析式为 .4.将抛物线6422++-=x x y 的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的解析式为 .5.将抛物线c bx x y ++=2的图象向右平移2个单位再向下平移2个单位，所得图象的关系式为322--=x x y ，则b= ,c= . 6.已知抛物线5422--=x x y ，（1）将其绕着顶点旋转180°后抛物线关系式是 .（2）关于y 轴对称的抛物线关系式是 ; （3）关于x 轴对称的抛物线关系式是 ;（4）关于原点对称的抛物线关系式是 .四、确定二次函数的表达式用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. (2)顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：()()21x x x x a y --=.已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式.1.顶点为（—1，—3），与y 轴交点为（0，—5）.2.与x 轴交于A （—1,0）、B （1,0），并经过点M(0,1).3.图像经过点A(0，1)、B(1，2)、C(2，1).4.顶点坐标为（1,3）且在x 轴上截得的线段长为4.5.图象经过点（1,0）、（0，-3），且对称轴是直线x=1.6.已知抛物线c bx x y ++-=2如图所示，求它对应的表达式.五、二次函数的应用知识铺垫：最值问题（一）开口向上 1.当对称轴abx 2-=在所给范围内，必在顶点处取得最小值，在离对称轴较远端点处取得最大值； 2.当对称轴abx 2-=不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最大值，离对称轴较近端点处取得最小值. （二）开口向下1.当对称轴a bx 2-=在所给范围内，必在顶点处取得最大值，在离对称轴较远端点处取得最小值； 2.当对称轴abx 2-=不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最小值，离对称轴较近端点处取得最大值.1.当22≤≤-x 时，求函数322--=x x y 的最大值和最小值．30m2.当21≤≤x 时，求函数12+--=x x y 的最大值和最小值．3.当0≥x 时，求函数)2(x x y --=的最大值和最小值．几何问题4.在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角边上. （1）如果设矩形的一边AB=x m,那么AD 边的长度如何表示？（2）设矩形的面积为y m 2，当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？（3）若将矩形改为图2所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？5.用长为80 m 的栅栏，再借助外墙围城一个矩形羊圈ABCD ，已知房屋外墙长50 m ，设矩形ABCD 的边AB=x m ，面积为S m 2.（1）写出S 与x 之间的关系式，并指出x 的取值范围；（2）当AB,BC 分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？6.有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB=20 m ，当水位上升3 m 时，水面宽CD=10 m.（1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；（2）有一条船以5 km/h 的速度向此桥径直行来，当船距离此桥35 km 时，桥下水位正好在AB 处，之后水位每小时上涨0.25 m ，当水位达到CD 处时，将禁止船只通行.如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？C40mE40m30m最大利润问题7.某旅馆有客房120间，每间客房的日租金为160元，每天都客满，经市场调查，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间。

(完整word版)二次函数知识点总结及相关典型题目(良心出品必属精品)

二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分二次函数基础知识 ✧ 相关概念及定义二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．✧ 二次函数各种形式之间的变换二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.✧ 二次函数解析式的表示方法一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 二次函数2ax y =的性质✧二次函数2=+的性质y ax c✧二次函数()2=-的性质：y a x h Array✧二次函数()2y a x h k=-+的性质✧ 抛物线2y ax bx c =++的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2bx a=-.特别地，y 轴记作直线0=x .顶点坐标坐标：），（ab ac a b 4422--顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.✧ 抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,与函数图像的关系二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02b a-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02b a ->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02b a-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02b a-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．总结：常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． ✧ 求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=.配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.✧ 用待定系数法求二次函数的解析式一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.✧ 直线与抛物线的交点y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. 平行于x 轴的直线与抛物线的交点可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组 2y kx ny ax bx c =+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121✧ 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． ✧ 二次函数图象的平移平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．✧ 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。

二次函数专题训练(正方形的存在性问题)含答案(可编辑修改word版)

1.如图，已知抛物线y=x2+bx+c 的图象经过点A（l，0），B（﹣3，0），与y 轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x 轴相交于点E，连接BD．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P 在直线BD 上，当PE=PC 时，求点P 的坐标．（3）在（2）的条件下，作PF⊥x 轴于F，点M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，G 为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点M 的坐标．2.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B，与y 轴交于点C，点B 坐标为（6，0），点C 坐标为（0，6），点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）点F 是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE 时，求点F 的坐标；（3）若点M 是抛物线上的动点，过点M 作MN∥x 轴与抛物线交于点N，点P 在x 轴上，点Q 在坐标平面内，以线段MN 为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q 的坐标．3.如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3 过点A（﹣1，0），B（3，0），点M、N 为抛物线上的动点，过点M 作MD∥y 轴，交直线BC 于点D，交x 轴于点E．过点N 作NF⊥x 轴，垂足为点 F（1）求二次函数y=ax2+bx﹣3 的表达式；（2）若M 点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形MNFE 为正方形，求该正方形的面积；（3）若M 点是抛物线上对称轴左侧的点，且∠DMN=90°，MD=MN，请直接写出点M 的横坐标．4.(2015 贵州省毕节地区) 如图，抛物线y=x2+bx+c 与x 轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点M 关于x 轴的对称点是M′．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB 的面积；（3）是否存在过A，B 两点的抛物线，其顶点P 关于x 轴的对称点为Q，使得四边形APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．5.(2016 辽宁省铁岭市) ．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c 与x 轴交于点A，点B，与y 轴交于点C，点B 坐标为（6，0），点C 坐标为（0，6），点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）点F 是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE 时，求点F 的坐标；（3）若点M 是抛物线上的动点，过点M 作MN∥x 轴与抛物线交于点N，点P 在x 轴上，点Q 在平面内，以线段MN 为对角线作正方形MPNQ，请直接写出点Q 的坐标．6.(2016 广东省茂名市) ．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y 轴交于点C，点D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交x 轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C 三点的抛物线的函数表达式；（2）点P 是线段BD 上一点，当PE=PC 时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，过点P 作PF⊥x 轴于点F，G 为抛物线上一动点，M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，当以F、M、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M 的坐标．二次函数专题训练（正方形的存在性问题）参考答案1.如图，已知抛物线y=x2+bx+c 的图象经过点A（l，0），B（﹣3，0），与y 轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x 轴相交于点E，连接BD．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P 在直线BD 上，当PE=PC 时，求点P 的坐标．（3）在（2）的条件下，作PF⊥x 轴于F，点M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，G 为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点M 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c 的图象经过点A（1，0），B（﹣3，0），∴，∴，∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；∴C（0，﹣3），抛物线的顶点D（﹣1，﹣4），∴E（﹣1，0），设直线BD 的解析式为y=mx+n，∴，∴，∴直线BD 的解析式为y=﹣2x﹣6，设点P（a，﹣2a﹣6），∵C（0，﹣3），E（﹣1，0），根据勾股定理得，PE2=（a+1）2+（﹣2a﹣6）2，PC2=a2+（﹣2a﹣6+3）2，∵PC=PE，∴（a+1）2+（﹣2a﹣6）2=a2+（﹣2a﹣6+3）2，∴a=﹣2，∴y=﹣2×（﹣2）﹣6=﹣2，∴P（﹣2，﹣2），（3）如图，作PF⊥x 轴于F，∴F（﹣2，0），设M（d，0），∴G（d，d2+2d﹣3），N（﹣2，d2+2d﹣3），∵以点F，N，G，M 四点为顶点的四边形为正方形，必有FM=MG，∴|d+2|=|d2+2d﹣3|，∴d= 或d=，∴点M 的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）．2.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B，与y 轴交于点C，点B 坐标为（6，0），点C 坐标为（0，6），点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）点F 是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE 时，求点F 的坐标；（3）若点M 是抛物线上的动点，过点M 作MN∥x 轴与抛物线交于点N，点P 在x 轴上，点Q 在坐标平面内，以线段MN 为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q 的坐标．【解答】解：（1）把B、C 两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+6，∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，∴D（2，8）；（2）如图1，过F 作FG⊥x 轴于点G，设F（x，﹣x2+2x+6），则FG=|﹣x2+2x+6|，∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，∴△FBG∽△BDE，∴=，∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6﹣x，∴= ，当点F 在x 轴上方时，有=，解得x=﹣1 或x=6（舍去），此时F 点的坐标为（﹣1，）；当点F 在x 轴下方时，有=﹣，解得x=﹣3 或x=6（舍去），此时F 点坐标为（﹣3，﹣）；综上可知F 点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣）；（3）如图2，设对角线MN、PQ 交于点O′，∵点M、N 关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ 为正方形，∴点P 为抛物线对称轴与x 轴的交点，点Q 在抛物线的对称轴上，设Q（2，2n），则M 坐标为（2﹣n，n），∵点M 在抛物线y=﹣x2+2x+6 的图象上，∴n=﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n=﹣1+ 或n=﹣1﹣，∴满足条件的点Q 有两个，其坐标分别为（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）．3.如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3 过点A（﹣1，0），B（3，0），点M、N 为抛物线上的动点，过点M 作MD∥y 轴，交直线BC 于点D，交x 轴于点E．过点N 作NF⊥x 轴，垂足为点 F（1）求二次函数y=ax2+bx﹣3 的表达式；（2）若M 点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形MNFE 为正方形，求该正方形的面积；（3）若M 点是抛物线上对称轴左侧的点，且∠DMN=90°，MD=MN，请直接写出点M 的横坐标．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx﹣3，得：，解得，故该抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴该抛物线的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，﹣4）．如图，设点M 坐标为（m，m2﹣2m﹣3），其中m＞1，∴ME=|﹣m2+2m+3|，∵M、N 关于x=1 对称，且点M 在对称轴右侧，∴点N 的横坐标为2﹣m，∴MN=2m﹣2，∵四边形MNFE 为正方形，∴ME=MN，∴|﹣m2+2m+3|=2m﹣2，分两种情况：①当﹣m2+2m+3=2m﹣2 时，解得：m1=、m2=﹣（不符合题意，舍去），当m=时，正方形的面积为（2﹣2）2=24﹣8 ；②当﹣m2+2m+3=2﹣2m 时，解得：m3=2+，m4=2﹣（不符合题意，舍去），当m=2+时，正方形的面积为[2（2+）﹣2]2=24+8 ；综上所述，正方形的面积为24+8或24﹣8．（3）设BC 所在直线解析式为y=px+q，把点B（3，0）、C（0，﹣3）代入表达式，得：，解得：，∴直线BC 的函数表达式为y=x﹣3，设点M 的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），其中t＜1，则点N（2﹣t，t2﹣2t﹣3），点D（t，t﹣3），∴MN=2﹣t﹣t=2﹣2t，MD=|t2﹣2t﹣3﹣t+3|=|t2﹣3t|．∵MD=MN，∴|t2﹣3t|=2﹣2t，分两种情况：①当t2﹣3t=2﹣2t 时，解得t1=﹣1，t2=2（不符合题意，舍去）．②当3t﹣t2=2﹣2t 时，解得t3=，t2=（不符合题意，舍去）．综上所述，点M 的横坐标为﹣1 或．4.(2015 贵州省毕节地区) 如图，抛物线y=x2+bx+c 与x 轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点M 关于x 轴的对称点是M′．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB 的面积；（3）是否存在过A，B 两点的抛物线，其顶点P 关于x 轴的对称点为Q，使得四边形APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据轴对称，可得M′的坐标，根据待定系数法，可得AM′的解析式，根据解方程组，可得B 点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；（3）根据正方形的性质，可得P、Q 点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式．解答：解：（1）将A、B 点坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式y=x2﹣2x﹣3；（2）将抛物线的解析式化为顶点式，得y=（x﹣1）2﹣4，M 点的坐标为（1，﹣4），M′点的坐标为（1，4），设AM′的解析式为y=kx+b，将A、M′点的坐标代入，得，解得，AM′的解析式为y=2x+2，联立AM′与抛物线，得，解得，C 点坐标为（5，12）．S△ABC=×4×12=24；（3）存在过A，B 两点的抛物线，其顶点P 关于x 轴的对称点为Q，使得四边形APBQ 为正方形，由ABPQ 是正方形，A（﹣1，0）B（3，0），得P（1，﹣2），Q（1，2），或P（1，2），Q（1，﹣2），①当顶点P（1，﹣2）时，设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，将A 点坐标代入函数解析式，得a（﹣1﹣1）2﹣2=0，解得a= ，抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣2，②当P（1，2）时，设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+2，将A 点坐标代入函数解析式，得a（﹣1﹣1）2+2=0，解得a=﹣，抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+2，综上所述：y=（x﹣1）2﹣2 或y=﹣（x﹣1）2+2，使得四边形APBQ 为正方形．5.(2016 辽宁省铁岭市) ．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c 与x 轴交于点A，点B，与y 轴交于点C，点B 坐标为（6，0），点C 坐标为（0，6），点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）点F 是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE 时，求点F 的坐标；（3）若点M 是抛物线上的动点，过点M 作MN∥x 轴与抛物线交于点N，点P 在x 轴上，点Q 在平面内，以线段MN 为对角线作正方形MPNQ，请直接写出点Q 的坐标．分析（1）由点B、C 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法将抛物线解析式变形成顶点式即可得出结论；（2）设线段BF 与y 轴交点为点F′，设点F′的坐标为（0，m），由相似三角形的判定及性质可得出点F′的坐标，根据点B、F′的坐标利用待定系数法可求出直线BF 的解析式，联立直线BF 和抛物线的解析式成方程组，解方程组即可求出点F 的坐标；（3）设对角线MN、PQ 交于点O′，如图2 所示．根据抛物线的对称性结合正方形的性质可得出点P、Q 的位置，设出点Q 的坐标为（2，2n），由正方形的性质可得出点M 的坐标为（2﹣n，n）．由点M 在抛物线图象上，即可得出关于n 的一元二次方程，解方程可求出n 值，代入点Q 的坐标即可得出结论．解答解：（1）将点B（6，0）、C（0，6）代入y=﹣x2+bx+c 中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+6．∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，∴点D 的坐标为（2，8）．（2）设线段BF 与y 轴交点为点F′，设点F′的坐标为（0，m），如图1 所示．∵∠F′BO=∠FBA=∠BDE，∠F′OB=∠BED=90°，∴△F′BO∽△BDE，∴．∵点B（6，0），点D（2，8），∴点E（2，0），BE=6﹣4=4，DE=8﹣0=8，OB=6，∴OF′=•OB=3，∴点F′（0，3）或（0，﹣3）．设直线BF 的解析式为y=kx±3，则有0=6k+3 或0=6k﹣3，解得：k=﹣或k=，∴直线BF 的解析式为y=﹣x+3 或y=x﹣3．联立直线BF 与抛物线的解析式得：①或②，解方程组①得：或（舍去），∴点F 的坐标为（﹣1，）；解方程组②得：或（舍去），∴点F 的坐标为（﹣3，﹣）．综上可知：点F 的坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣）．（3）设对角线MN、PQ 交于点O′，如图2 所示．∵点M、N 关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ 为正方形，∴点P 为抛物线对称轴与x 轴的交点，点Q 在抛物线对称轴上，设点Q 的坐标为（2，2n），则点M 的坐标为（2﹣n，n）．∵点M 在抛物线y=﹣x2+2x+6 的图象上，∴n=﹣+2（2﹣n）+6，即n2+2n﹣16=0，解得：n1=﹣1，n2=﹣﹣1．∴点Q 的坐标为（2，﹣1）或（2，﹣﹣1）．6.(2016 广东省茂名市) 】．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y 轴交于点C，点D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交x 轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C 三点的抛物线的函数表达式；（2）点P 是线段BD 上一点，当PE=PC 时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，过点P 作PF⊥x 轴于点F，G 为抛物线上一动点，M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，当以F、M、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M 的坐标．分析（1）利用待定系数法求出过A，B，C 三点的抛物线的函数表达式；（2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D 的坐标，利用待定系数法求出直线BD 的解析式，设出点P 的坐标为（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根据题意列出方程，解方程求出x 的值，计算求出点P 的坐标；（3）设点M 的坐标为（a，0），表示出点G 的坐标，根据正方形的性质列出方程，解方程即可．解答解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c 经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得，，∴经过A，B，C 三点的抛物线的函数表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）如图1，连接PC、PE，x=﹣=﹣=1，当x=1 时，y=4，∴点D 的坐标为（1，4），设直线BD 的解析式为：y=mx+n，则，解得，，∴直线BD 的解析式为y=﹣2x+6，设点P 的坐标为（x，﹣2x+6），则PC2=x2+（3+2x﹣6）2，PE2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，∵PC=PE，∴x2+（3+2x﹣6）2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，解得，x=2，则y=﹣2×2+6=2，∴点P 的坐标为（2，2）；（3）设点M 的坐标为（a，0），则点G 的坐标为（a，﹣a2+2a+3），∵以F、M、G 为顶点的四边形是正方形，∴FM=MG，即|2﹣a|=|﹣a2+2a+3|，当2﹣a=﹣a2+2a+3 时，整理得，a2﹣3a﹣1=0，解得，a=，当2﹣a=﹣（﹣a2+2a+3）时，整理得，a2﹣a﹣5=0，解得，a= ，∴当以F M、G、为顶点的四边形是正方形时点，M 的坐标（0，）（0，）（0，）（，0）．为，，，。

习题word版：第三十章二次函数

第三十章二次函数 30．1 二次函数01 基础题知识点1 二次函数的概念1．自由落体公式h ＝12gt 2(g 为常数)，h 与t 之间的关系是( )A ．正比例函数B ．一次函数C ．二次函数D ．以上答案都不对 2．(2019·保定博野县期末)下列关系式中，属于二次函数的是(x 是自变量)( ) A ．y ＝13x 2B ．y ＝x 2－1C ．y ＝1x2D ．y ＝ax 2＋bx ＋c3．对于y ＝ax 2＋bx ＋c ，有以下四种说法，其中正确的是( )A ．当b ＝0时，二次函数是y ＝ax 2＋cB ．当c ＝0时，二次函数是y ＝ax 2＋bx C ．当a ＝0时，一次函数是y ＝bx ＋c D ．以上说法都不对4．在二次函数y ＝－x 2＋1中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为．5．若函数y ＝(k 2－4)x 2＋(k ＋2)x ＋3是二次函数，则 .6．下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出相应的a ，b ，c 的值．(1)y ＝2x 2－3x ；(2)y ＝2x －3； (3)y ＝－9x 2－52x －12.知识点2 二次函数建模7．棱长为x 的正方体的表面积S 与x 的函数表达式是 .8．(教材P28习题A 组T3变式)某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x 的函数表达式为 .9．如果两个数中，一个数比另一个数大5，那么这两个数的乘积p 与较大的数m 的函数表达式是，这个函数是．10．(1) 如图1，正方形ABCD 的边长为5，点E 是AB 上一点，点F 是AD 延长线上一点，且BE ＝DF ，四边形AEGF 是矩形，写出矩形AEGF 的面积y 与BE 的长x 之间的函数表达式．(2) 如图2，已知一长方形打印纸长20 cm ，宽15 cm ，现在要在打印纸上打印文稿，上下左右各留出一定距离．设留出的距离均为x cm ，打印文稿面积为y cm 2，试写出y 与x 之间的关系式，并求出x 的取值范围．图1 图2易错点忽视二次函数表达式中二次项系数不为零11．若y ＝(m －2)x |m|＋mx －1是二次函数，则m 的值是．【变式】若y ＝(m 2＋m)xm 2－2 m －1是二次函数，则m 的值是． 02 中档题12．(2019·石家庄四十二中模拟)下列函数关系中，是二次函数的是( ) A ．在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体质量x 之间的关系 B ．当距离一定时，火车行驶的时间t 与速度v 之间的关系 C ．等边三角形的周长C 与边长a 之间的关系 D ．半圆面积S 与半径R 之间的关系13．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1（x<2），10x（x ≥2），当y ＝6时，x 的值是( )A ．－ 5B.53C ．－5或 5D.5或5314．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念．如果全班有x 名学生，共送了y 张相片，那么y 与x 的函数表达式为．15．(教材P28习题A 组T2变式)有一矩形纸片，长、宽分别为8和6，现从长宽上分别剪去宽为x(x<6)的纸条(如图)，则剩余部分(图中阴影部分)的面积y ＝，其中是自变量，y 是x 的．16．若二次函数y ＝mx 2－3x ＋2m －m 2的常数项为0，则m 的值是．17．顺达旅行社为吸引游客到黄果树瀑布景区旅游，推出如下收费标准．若某公司准备组织x(x ＞25)名员工去黄果树瀑布景区旅游，则公司需支付给顺达旅行社旅游费用y(元)与公司参与本次旅游的员工人数x(人)之间的函数表达式是．如果人数不超过25人，人均旅游费用为1 000元. 如果人数超过25人，每超过1人，人均旅游费用降低20元.18．一经销商按市场价收购某种海鲜1 000斤放养在池塘内(假设放养期内每个海鲜的重量基本保持不变)，当天市场价为每斤30元，据市场行情推测，此后该海鲜的市场价每天每斤可上涨1元，但是平均每天有10斤海鲜死去．假设死去的海鲜均于当天以每斤20元的价格全部售出．(1)用含x 的代数式填空：①x 天后每斤海鲜的市场价为元；②x 天后死去的海鲜共有10x 斤；死去的海鲜的销售总额为元； ③x 天后活着的海鲜还有斤．(2)如果放养x 天后将活着的海鲜一次性出售，加上已经售出的死去的海鲜，销售总额为y 1，写出y 1关于x 的函数表达式．(3)若每放养一天需支出各种费用400元，写出经销商此次经销活动获得的总利润y 2关于放养天数x 的函数表达式．03 综合题19．如图，用长为12 m 的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃，围出的苗圃是五边形ABCDE ，已知AE⊥AB ，BC ⊥AB ，∠C ＝∠D ＝∠E.设CD ＝DE ＝x m ，五边形ABCDE 的面积为S m 2.(1)用含x 的代数式表示线段AE 的长度． (2)请写出S 关于x 的函数表达式．30.2 二次函数的图像和性质第1课时二次函数y ＝ax 2的图像和性质01 基础题知识点1 二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图像和性质 1．下列抛物线中，开口向下的有( )①y ＝－3x 2；②y ＝57x 2；③y ＝10x 2；④y ＝－211x 2.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．二次函数y ＝2x 2不具有的性质是( ) A ．图像的对称轴是y 轴 B ．图像开口向上C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大D ．有最小值3．抛物线y ＝－3x 2的开口向下，对称轴是y 轴，顶点坐标是，顶点是抛物线的最高点．4．已知二次函数y ＝x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而 (填“增大”或“减小”)． 5．指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1)y ＝4x 2；(2)y ＝－25x 2；(3)y ＝－22x 2.知识点2 求二次函数表达式及其图像的画法6．(教材P31习题B组T2变式)若二次函数y＝ax2(a≠0)的图像经过点M(－2，－2)，则a＝．7．某同学在画二次函数y＝ax2(a≠0)的图像时，列出了如下表格：x －2 －1 0 1 2y 16 4 0 4 16根据表格可知这个二次函数的表达式是．8．已知二次函数y＝ax2(a≠0)的图像经过点A(－3，－6)．(1)求这个二次函数的表达式．(2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．(3)判断点B(－3，2)是否在此抛物线上．易错点求区间内最值时忽视对称轴位置9．当－1≤x≤2时，二次函数y＝x2的最大值是，最小值是．02中档题10．若二次函数y＝ax2的图像过点P(－2，4)，则该图像必经过点( )A．(2，4) B．(－2，－4) C．(2，－4) D．(4，－2)11．(2019·呼和浩特)二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图像可能是( )A B C D12．(2019 ·石家庄长安区一模)已知原点是抛物线y＝(m＋1)x2的最低点，则m的取值范围是( ) A．m＜－1 B．m＜1 C．m＞－1 D．m＞－213．如图，Rt△OAB的顶点A(－2，4)在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为( )A．(2，2) B．(2，2) C．(2，2) D．(2，2)14．【转化思想】如图，⊙O 的半径为2，C 1是抛物线y ＝12x 2，C 2是抛物线y ＝－12x 2，则图中阴影部分的面积是 .15．当行驶中的汽车撞到物体时，汽车的损坏程度通常用“撞击影响”来衡量．汽车的撞击影响I 可以用汽车行驶速度v(km/min)来表示，下表是某种型号汽车的行驶速度与撞击影响的试验数据：v(km/min)0 1 2 3 4 I281832(1)来；(2)填写下表，并根据表中数据的呈现规律，猜想用v 表示I 的二次函数表达式；v(km/min)1 2 3 4 v 2I12121212(3)当汽车的速度分别是1.5 km/min ，2.5 km/min ，4.5 km/min 时，利用你得到的撞击影响公式，计算撞击影响分别是多少？16．如图，已知二次函数y ＝ax 2(a ≠0)与一次函数y ＝kx －2的图像相交于A ，B 两点，其中点A(－1，－1)，求△OAB 的面积．03 综合题 17．【数形结合思想】(2020·南充)如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)．若抛物线y ＝ax 2的图象与正方形有公共点，则实数a 的取值范围是( )A.19≤a ≤3 B.19≤a ≤1C.13≤a ≤3D.13≤a ≤1【变式】如图，在平面直角坐标系中，点A(1，2)，B(1，－1)，C(2，2) ，抛物线y ＝ax 2(a ≠0)经过△ABC 区域(包括边界)，则a 的取值范围是( )A ．a ≤－1或a ≥2B ．－1≤a<0或0<a ≤2C ．一1≤a<0或0<a ≤12D.12≤a ≤2第2课时二次函数y ＝ax 2＋k 的图像和性质01 基础题知识点1 抛物线y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2的关系1．(2020·上海)如果将抛物线y ＝x 2向上平移3个单位长度，那么所得新抛物线的表达式是． 2．函数y ＝13x 2＋1与y ＝13x 2的图像的不同之处是( )A ．对称轴B ．开口方向C ．顶点D ．形状3．抛物线y ＝－6x 2可以看作是由抛物线y ＝－6x 2－5按下列何种变换得到( ) A ．向上平移5个单位长度 B ．向下平移5个单位长度知识点2 二次函数y ＝ax 2＋k 的图像和性质4．二次函数y ＝x 2＋1的图像大致是( )5．下列关于抛物线y ＝－x 2＋2的说法正确的是( ) A ．抛物线开口向上 B ．顶点坐标为(－1，2)C ．在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大D ．在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大6．与抛物线y ＝－45x 2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数表达式是( )A ．y ＝－45x 2－1B ．y ＝45x 2－1C ．y ＝－45x 2＋1D ．y ＝45x 2＋17．(2019·承德期中)已知点(－1，y 1)，(2，y 2)，(－3，y 3)都在函数y ＝x 2＋1上，则( ) A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 1＜y 3＜y 2 C ．y 2＜y 3＜y 1 D ．y 2＜y 1＜y 38．抛物线y ＝2x 2－1在y 轴右侧的部分是 (填“上升”或“下降”)的． 9．(1)在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝12x 2，y ＝12x 2＋3，y ＝12x 2－3的图像．(2)观察(1)中所画的图像，回答下面的问题：①抛物线y ＝12x 2的开口向，对称轴是，顶点坐标是；②抛物线y ＝12x 2＋3的开口向，对称轴是，顶点坐标是；③抛物线y ＝12x 2－3的开口向，对称轴是，顶点坐标是．解：如图.02 中档题10．(2019·秦皇岛卢龙县期中)在同一平面直角坐标系中，一次函数y ＝ax ＋1与二次函数y ＝x 2＋a 的图像可能是( )A ．a>0B ．a<0C ．a ≥0D ．a ≤012．(2020·唐山丰南区期末)将抛物线y ＝12x 2＋1绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的表达式为( )A ．y ＝－2x 2＋1B ．y ＝－2x 2－1C ．y ＝－12x 2＋1D ．y ＝－12x 2－113．已知二次函数y ＝ax 2＋c ，当x 取x 1，x 2(x 1≠x 2)时，函数值相等．当x 取x 1＋x 2时，函数值为( ) A ．a ＋c B ．a －c C ．－c D ．c14．(2019·保定一模)如图，在平面直角坐标系上，二次函数y ＝x 2＋1的图像经过A ，B 两点，且坐标分别为A(a ，10)，B(b ，10)，则AB 的长度为( )A ．3B ．5C ．6D ．715．【数形结合思想】已知抛物线y ＝14x 2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为(3，3)，P 是抛物线y ＝14x 2＋1上一个动点，则△PMF 周长的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．616．【易错】已知y ＝(m ＋2)xm 2＋m －4－3是二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，则m ＝．17．若抛物线y ＝ax 2＋k(a ≠0)与y ＝－2x 2＋4关于x 轴对称，则a ＝，k ＝．18．能否通过适当地上下平移二次函数y ＝13x 2的图像，使得到的新的函数图像过点(3，－3)？若能，请说出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．．03 综合题19．如图1，抛物线y ＝ax 2＋b 的顶点坐标为(0，－1)，且经过点A(－2，0)． (1)求抛物线的表达式．(2)若将抛物线y ＝ax 2＋b 中在x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方，x 轴上方的图像保持不变，就得到了函数y ＝|ax 2＋b|的图像(如图2)，直线l 是经过(0，1)且平行于x 轴的直线，点P 是二次函数图像AB 段上的任一点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为D ，猜想并探究：PO 与PD 的差是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．第3课时二次函数y ＝a(x －h)2的图像和性质01 基础题知识点1 抛物线y ＝a(x －h)2与y ＝ax 2的关系1．如果将抛物线y ＝x 2向右平移1个单位长度，那么所得的抛物线的表达式是( )A ．y ＝x 2－1B ．y ＝x 2＋1C ．y ＝(x －1)2D ．y ＝(x ＋1)22．将抛物线y ＝ax 2向左平移2个单位长度后，经过点(－4，－4)，则a ＝．3．分别通过怎样的平移，可以由抛物线y ＝13x 2得到抛物线y ＝13(x ＋2)2和y ＝13(x －2)2？抛物线y ＝13(x ＋2)2和y ＝13(x －2)2具有怎样的位置关系？知识点2 二次函数y ＝a(x －h)2的图像和性质4．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝12(x －2)2的图像可能是( )5．下列二次函数中，对称轴为直线x ＝－5的是( )A ．y ＝(x ＋5)2B ．y ＝3x 2－5C ．y ＝－3x 2－5D ．y ＝3(x －5)26．下列对二次函数y ＝2(x ＋4)2的增减性描述正确的是( ) A ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小 B ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 C ．当x ＞－4时，y 随x 的增大而减小 D ．当x ＜－4时，y 随x 的增大而减小7．若抛物线y ＝－5(x ＋h)2的顶点在x 轴的负半轴上，则h 0(填“＞”“＝”或“＜”)．8．抛物线y ＝－4(x ＋3)2与x 轴的交点坐标是，与y 轴的交点坐标是．9．如果二次函数y ＝a(x ＋3)2有最大值，那么a 0，当x ＝时，函数的最大值是 .10．已知函数y ＝－(x －1)2图像上两点A(2，y 1)，B(a ，y 2)，其中a ＞2，则y 1与y 2的大小关系是 (填解：(2)观察(1)中所画的图像，回答下面的问题：①抛物线y ＝x 2的开口向，对称轴是，顶点坐标为；②抛物线y ＝(x ＋2)2的开口向，对称轴是直线，顶点坐标为；③抛物线y ＝(x －2)2的开口向，对称轴是直线，顶点坐标为．12．已知二次函数y ＝a(x －h)2，当x ＝2时，有最大值，图像过点(1，－3)，求二次函数的表达式，并指出当x 为何值时，y 随x 的增大而减小．易错点二次函数增减性相关的易错13．已知二次函数y ＝2(x －h)2，当x ＞3时，y 随x 的增大而增大，则h 的值满足． 02 中档题14．对于函数y ＝－2(x －m)2的图像，下列说法不正确的是( )A ．开口向下B ．对称轴是直线x ＝mC ．最大值为0D ．与y 轴不相交15．在同一平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x －a)2与直线y ＝a ＋ax 的图像可能是( )16．【分类讨论思想】已知二次函数y ＝－(x －h)2(h 为常数)，当自变量x 的值满足2≤x ≤5时，与其对应的函数值y 的最大值为－1，则h 的值为( )A ．3或6B ．1或6C ．1或3D ．4或617．已知A(－4，y 1)，B(－3，y 2)，C(3，y 3)三点都在二次函数y ＝－2(x ＋2)2的图像上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为．18．如图是二次函数y ＝12(x －h)2的图像，OA ＝OC ，试求该抛物线的表达式．03 综合题19．已知点P(m ，a)是抛物线y ＝a(x －1)2上的点，且点P 在第一象限内． (1)求m 的值；20．(2019·邯郸模拟)对于实数c，d，我们可用min{c，d}表示c，d两数中较小的数，如min{3，－1}＝－1.若关于x的函数y＝min{2x2，a(x－t)2}的图像关于直线x＝3对称，则a，t的值可能是( ) A．3，6 B．2，－6 C．2，6 D．－2，6第4课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图像和性质01基础题知识点1 抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的关系1．(2020·哈尔滨)将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为( ) A．y＝(x＋3)2＋5 B．y＝(x－3)2＋5 C．y＝(x＋5)2＋3 D．y＝(x－5)2＋3 2．(2020·邯郸育华中学三模)已知二次函数y＝2(x－1)2＋3的图像经过平移以后得到新的二次函数为y＝2(x＋1)2－1，则原图像经过了怎样的平移( )A．向左平移2个单位长度；向下平移2个单位长度B．向右平移2个单位长度；向下平移2个单位长度C．向左平移2个单位长度；向下平移4个单位长度D．向右平移2个单位长度；向上平移2个单位长度3．某条抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得到的抛物线方程是y＝x2，那么原抛物线方程为．知识点2 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图像和性质4．(2020·石家庄长安区模拟)抛物线y＝－(x＋2)2－3向右平移了3个单位长度，那么平移后抛物线的顶点坐标是( )A．(－5，－3) B．(1，－3) C．(－1，－3) D．(－2，0)5．二次函数y＝(x＋2)2－1的图像大致为( )6．设二次函数y＝(x－3)2－4图像的对称轴为直线l.若点M在直线l上，则点M的坐标可能是( ) A．(1，0) B．(3，0) C．(－3，0) D．(0，－4)7．(2019·唐山路南区期中)抛物线y＝(x＋2)2＋(m2＋1)(其中m为常数)的顶点在第________象限( ) A．一B．二 C．三 D．四8．(2020·甘孜州)如图，二次函数y＝a(x＋1)2＋k的图像与x轴交于A(－3，0)，B两点，下列说法错误的是( )A．a<0B．图像的对称轴为直线x＝－1C．点B的坐标为(1，0)D．当x<0时，y随x的增大而增大9．二次函数y ＝(x ＋4)2＋m 2，当x ＞m ＋1时，y 随x 的增大而增大，当x ＜m ＋1时，y 随x 的增大而减小，则m 的值是．10．如图是二次函数y ＝a(x ＋1)2＋2图像的一部分，该图像在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是．11．已知点A(4，y 1)，B(12，y 2)，C(－2，y 3)都在二次函数y ＝2(x －2)2－1的图像上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是．12．画出函数y ＝(x －1)2－1的图像．解：列表：描点并连线，如图所示．易错点将图像平移与坐标轴平移混淆13．在平面直角坐标系中，若抛物线y ＝3x 2不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移1个单位长度，则在新坐标系下，抛物线的函数表达式为．02 中档题14．(2019·石家庄模拟)设点A(0，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2＋a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 2 15．【易错】若二次函数y ＝(x －m)2－1，当x ≤1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是( ) A ．m ＝1 B ．m ＞1 C ．m ≥1 D ．m ≤1 16．如图，把抛物线y ＝x 2沿直线y ＝x 平移2个单位长度后，其顶点在直线上的A 处，则平移后抛物线的表达式是( )A ．y ＝(x ＋1)2－1B ．y ＝(x ＋1)2＋1C ．y ＝(x －1)2＋1D ．y ＝(x －1)2－117．(2020·南京)下列关于二次函数y ＝－(x －m)2＋m 2＋1(m 为常数)的结论：①该函数的图像与函数y ＝－x 2的图像形状相同；②该函数的图像一定经过点(0，1)；③当x>0时，y 随x 的增大而减小；④该函数的图像的顶点在函数y ＝x 2＋1的图像上，其中所有正确结论的序号是．18．将抛物线y ＝a(x －h)2＋k 先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y ＝－2(x ＋3)2＋1的图像．(1)确定a ，h ，k 的值．(2)指出二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的开口方向、对称轴和顶点坐标． (3)说明平移前的二次函数的增减性和最值．03 综合题19．如图是二次函数y ＝(x ＋m)2＋k 的图像，其顶点坐标为M(1，－4)． (1)求出图像与x 轴的交点A ，B 的坐标．(2)在二次函数的图像上是否存在点P ，使S △PAB ＝54S △MAB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．(2019·邯郸模拟)对于题目“二次函数y ＝34(x －m)2＋m ，当2m －3≤x ≤2m 时，y 的最小值是1，求m的值．”甲的结果是m ＝1，乙的结果是m ＝－2，则(C)A ．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确第5课时二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质01 基础题知识点1 用配方法将y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式1．用配方法将二次函数y ＝x 2－8x －9化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式为( )A ．y ＝(x －4)2＋7B ．y ＝(x －4)2－25C ．y ＝(x ＋4)2＋7D ．y ＝(x ＋4)2－252．(2019 ·秦皇岛海港区一模)把二次函数y ＝2x 2－8x ＋9化成y ＝a(x －h)2＋k 的形式是：．知识点2 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图像和性质3．(2020·秦皇岛青龙县期末)老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线y ＝2x 2＋4x －4的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是( )A ．只有丁B ．乙和丁C ．乙和丙D ．甲和丁4．抛物线y ＝x 2－2x ＋m 2＋2(m 是常数)的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．(2020·温州)已知(－3，y 1)，(－2，y 2)，(1，y 3)是抛物线y ＝－3x 2－12x ＋m 上的点，则( ) A ．y 3<y 2<y 1 B ．y 3<y 1<y 2C ．y 2<y 3<y 1D ．y 1<y 3<y 2 6．(2019·荆州)二次函数y ＝－2x 2－4x ＋5的最大值是．7．某二次函数的图像开口向下，顶点坐标是P(1，3)，则当时，函数y 的值随x 值的增大而增大；当时，函数y 的值随x 值的增大而减小．8．已知二次函数y ＝x 2－4x ＋3.(1)求出该二次函数图像的顶点坐标和对称轴； (2)在所给坐标系中画出该二次函数的图像．知识点3 确定二次函数的表达式9．已知二次函数y ＝－12x 2＋bx ＋c 的图像经过A(2，0)，B(0，－6)两点，则这个二次函数的表达式为 .10．已知二次函数y ＝3x 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(1，2)，则这个二次函数的表达式为11．(2020·温州)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1经过点(1，－2)，(－2，13)．(1)求a ，b 的值；(2)若(5，y 1)，(m ，y 2)是抛物线上不同的两点，且y 2＝12－y 1，求m 的值．易错点忽视y 轴为坐标轴导致漏解12．(教材P38习题B 组T2变式)已知抛物线y ＝x 2－ax ＋9的顶点在坐标轴上，则a 的值为． 02 中档题13．(2020·邯郸育华中学三模)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图像的一部分，且过点A(3，0)，二次函数图像的对称轴是直线x ＝1，下列结论正确的是( )A ．ac ＞0B ．b 2＞4ac C ．a －b ＋c ＞0 D ．4a ＋2b ＋c ＜14．(2020·陕西)在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2－(m －1)x ＋m(m>1)沿y 轴向下平移3个单位长度，则平移后得到的抛物线的顶点一定在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．(2020·河北一模)在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x 轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋4x ＋2m ，则m 的值是( )A ．－72B ．－12C ．1D ．－12或－7216．(2020·临沂)已知抛物线y ＝ax 2－2ax －3＋2a 2(a ≠0)．(1)求这条抛物线的对称轴．(2)若该抛物线的顶点在x 轴上，求其表达式．(3)设点P(m ，y 1)，Q(3，y 2)在抛物线上，若y 1<y 2，求m 的取值范围．17．(2020·石家庄二十八中学一模)如图，已知二次函数y ＝x 2＋ax ＋3的图像经过点P(－2，3)． (1)求a 的值和图像的顶点坐标． (2)点Q(m ，n)在该二次函数图像上． ①当m ＝2时，求n 的值．②若点Q 到y 轴的距离小于2，请根据图像直接写出n 的取值范围． ③求点Q 与直线y ＝x ＋5的距离小于2时m 的取值范围．30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数*01 基础题知识点用待定系数法求二次函数的表达式1．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A(－1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的表达式为( )A ．y ＝x 2－2x －3B ．y ＝x 2－2x ＋3C ．y ＝x 2＋2x －3D ．y ＝x 2＋2x ＋3 2．如图所示，抛物线的函数表达式是( )A ．y ＝x 2－x ＋2B ．y ＝－x 2－x ＋2C ．y ＝x 2＋x ＋2D ．y ＝－x 2＋x ＋23．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像的最高点是(－1，－3)，则b ，c 的值分别是( )A ．b ＝2，c ＝4B ．b ＝2，c ＝－4C ．b ＝－2，c ＝4D ．b ＝－2，c ＝－44．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的x 与y 的部分对应值如下表：x －7 －6 －5 －4 －3 －2 y－27－13－3353则二次函数的表达式为．5．有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数．已知输入值为－2，0，1时，相应的输出值分别为5，－3，－4，则这个二次函数的表达式为 .6．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2)三点．求这条抛物线的表达式．7．求过A(3，3)，B(6，32)，D(0，－92)三点的二次函数的表达式．8．(2019·石家庄期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点．求：(1)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的表达式． (2)此抛物线的对称轴和顶点坐标．02中档题9．如图，已知△OAB的顶点A(－6，0)，B(0，2)，O是坐标原点，将△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△ODC.(1)写出C，D两点的坐标．(2)求过A，D，C三点的抛物线的表达式，并求此抛物线顶点E的坐标．10．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(1，0)，B(4，0)，C(0，3)三点．(1)求抛物线的表达式．(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．11．(2014·河北)如图，2×2网格(每个小正方形的边长为1)中有A，B，C，D，E，F，G，H，O九个格点，抛物线l的表达式为y＝(－1)n x2＋bx＋c(n为整数)．(1)n为奇数且l经过点H(0，1)和C(2，1)，求b，c的值，并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点．(2)n为偶数，且l经过点A(1，0)和B(2，0)，通过计算说明点F(0，2)和H(0，1)是否在该抛物线上．(3)若l经过九个格点中的三个，直接写出所有满足这样条件的抛物线条数．30.4 二次函数的应用第1课时建立二次函数模型解决实际问题类型建立二次函数模型解决实际问题1．西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为12米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数表达式是( )A ．y ＝－(x －12)2＋3B ．y ＝－3(x ＋12)2＋3C ．y ＝－12(x －12)2＋3D ．y ＝－12(x ＋12)2＋32．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y ＝－1400(x －80)2＋16，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，有AC ⊥x 轴．若OA ＝10米，则桥面离水面的高度AC 为( )A ．16940米B.174米C ．16740米D.154米3．(2020·石家庄外国语学校一模)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40 m ；②小球运动的时间为6 s ；③小球抛出3 s 时，速度为0；④当t ＝1.5 s 时，小球的高度h ＝30 m ．其中正确的是( )A ．①④B ．①②C ．②③④D ．②④4．如图1，某灌溉设备的喷头B 高出地面1.25 m ，喷出的抛物线形水流在与喷头底部A 的距离为1 m 处达到距地面最大高度2.25 m ，试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线水流对应的二次函数表达式．学生小龙在解答图1所示的问题时，具体解答如下：①以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图2所示的平面直角坐标系；②设抛物线水流对应的二次函数表达式为y＝ax2；③根据题意可得B点与x轴的距离为1 m，故B点的坐标为(－1，1)；④代入y＝ax2，得－1＝a×1，所以a＝－1；⑤所以抛物线水流对应的二次函数表达式为y＝－x2.数学老师看了小龙的解题过程说：“小龙的解答是错误的”．(1)请指出小龙的解答从第③步开始出现错误，错误的原因是什么？(2)请你写出完整的正确解答过程．5．如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC.点A，B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC＝4米，点B到水平面的距离为2米，OC＝8米．(1)请建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式．(2)求点B到AC的距离．6．某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4 m加设不锈钢管(如图)做成立柱．为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据．(1)求该抛物线的表达式．(2)计算所需不锈钢管的总长度．7．(2020·绍兴)如图1，排球场长为18 m，宽为9 m，网高为2.24 m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9 m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88 m，即BA＝2.88 m，这时水平距离OB＝7 m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2.(1)若球向正前方运动(即x轴垂直于底线)，求球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式(不必写出x取值范围)，并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；(2)若球过网后的落点是对方场地1号位内的点P(如图1，点P距底线1 m、边线0.5 m)，问发球点O在底线上的哪个位置？(参考数据：2取1.4)8．(2020·河北)用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x(厘米)的平方成正比，当x＝3时，W＝3.(1)求W与x的函数关系式．(2)如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗)．设薄板的厚度为x(厘米)，Q＝W厚－W薄．①求Q与x的函数关系式；②x为何值时，Q是W薄的3倍？[注：(1)及(2)中的①不必写x的取值范围]第2课时利用二次函数求实际问题中的最值类型1 最大面积1．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是( )A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m22．(2019·邢台桥西区模拟)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝12 cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过________秒，四边形APQC的面积最小( ) A．1 B．2 C．3 D．43．(2020·唐山市路南区期末)用8 m长的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是( )A.6425m2 B.43m2 C.83m2 D．4 m2【变式】(2019·唐山乐亭县模拟)某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门，已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，则能建成的饲养室面积最大为．4．某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体，抽屉底面周长为180 cm，高为20 cm.请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)易错点求实际问题中的二次函数最值未考虑取值范围5．用一根长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，那么a的值不可能为( )A．20 B．40 C．100 D．120类型2 最大利润6．某人卖盒饭的盒数x(盒)与所获利润y(元)满足表达式y＝－x2＋120x－1 200，则当卖出盒时，获得最大利润元．7．出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8－x)个，则当x＝时，一天出售该种手工艺品的总利润最大．8．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可。

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九年级数学二次函数常考题型
常考知识点总结：
1、二次函数的概念：一般地，形如
2
y ax bx c =++ （ a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

注：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2、二次函数
2
y ax bx c =++ 的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项
3、()
2
y a x h k
=-+的性质：
4、二次函数
2
y ax bx c =++ 的性质：（1）当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a
a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，；当2b
x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值
244ac b a -．（2）当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a
a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，；当2b
x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a
=-时，y 有最大值
244ac b a -。

5、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用
待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
（3）已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式（两根式）；
6、二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系（0a >时）：
题型（一）：根据图像，判断a 、b 、c 的关系问题。

1、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，•则下列结论：①a 、b 同号；
②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2、小强从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）0a <；（2） 1c >；（3）0b >；（4） 0a b c ++>；（5）0a b c -+>；你认为其中正确信息的个数有（）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
3、已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式： ac ，a+b+c ，4a －2b+c ， 2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
第1题第2题第3题
0∆> 抛物线与x 轴
有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
0∆= 抛物线与x 轴只有一个交点二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根 0∆< 抛物线与x 轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根. 1211
O
1x y
4、二次函数c bx ax y ++=2
的图象如下图所示，则abc ，ac b 42-，c b a ++这3个式子中，
值为正数的有
2 1 -1
O x y 。

第4题第5题
5、如图所示，二次函数()02
≠++=a c bx ax y 的图象经过点()2,1-,且与x 轴交点的横坐标为1x 、
2x ,其中121-<<-x 、102<<x ；下列结论：①024<+-c b a ②02<-b a ③0>abc ④ac a b 482>+正确的结论是。

6、已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0) 经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列三个结论：
①a ＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③－ b
2a ＞0，则正确的是。

题型（二）：比较大小问题。

1、若A （－4，y1），B （－3，y2），C （1，y3）为二次函数y=x 2+4x －5的图象上的三点，
则y1，y2，y3的大小关系是（）
A ．y1＜y2＜y3
B ．y2＜y1＜y3
C ．y3＜y1＜y2
D ．y3＜y2＜y1
2、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（）
A ．0>M ，0>N ，0>P
B ．0<M ，0>N ，0>P
C ．0>M ，0<N ，0>P
D ．0<M ，0>N ，0<P
3、已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （2-，0）、O （0，0）、B （3-，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是（）
A ．1y ＞2y
B ．1y 2y =
C ．1y ＜2y
D ．不能确定
题型（三）：点坐标及平移问题。

1、二次函数2y ax bx c =++的图像如下图，则点),(a
c
b M 在（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
第1题第2题
2、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3、关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是
直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（）
A ．(2，-3)
B ．(2，1)
C ．(2，3)
D ．(3，2)
4、将抛物线C ：y=x²+3x-10，将抛物线C 平移到C /。

若两条抛物线C,C /关于直线x=1对称，
则下列平移方法中正确的是（）
A ．将抛物线C 向右平移2.5个单位
B ．将抛物线
C 向右平移3个单位 C ．将抛物线C 向右平移5个单位
D ．将抛物线C 向右平移6个单位
5、二次函数2241y x x =--的图象是由22y x bx c =++的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ，c= 。

6、已知二次函数y=ax 2＋bx －3的图象经过点A （2，－3），B （－1，0）．（1）求二次函数的解析式；
（2）若要使该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求出应把图象沿y 轴向上平移多少
个单位。

题型（四）：图像和增减性问题。

1、函数y=ax+b 和y=ax 2+bx+c 在同一直角坐标系内的图象大致是（）
2、在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能是（）
第3题
3、已知函数y=-x 2+2x+c 的部分图象如下图所示,则c=______，当x______时；y 随x 的增大而减小。

已知抛物线y=-2（x+3）²+5，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是。

4、已知二次函数y=x 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：（1）求该二次函数的关系式；
（
5、当 x=4时，函数 c bx ax y ++=2
的最小值为－8，抛物线过点（6，0）．
求：（1）顶点坐标和对称轴；（2）函数的表达式；
（3）x 取什么值时，y 随x 的增大而增大；x 取什么值时，y 随x 增大而减
题型（五）：面积和三角形问题。

x … 1- 0 1 2 3 4 …
y … 10 5 2 1 2 5 …
o
x
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1、如图，抛物线2y x bx c =+-经过直线3y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线顶点为D. （1）求此抛物线的解析式；
（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使APC S ∆：ACD S ∆=5 ：4的点P 的坐标。

2、二次函数y=ax 2＋bx+c 的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M 在第二象限，且经过点A(1，0)和点B(0，l)．
(1)试求a ，b 所满足的关系式；
(2)设此二次函数的图象与x 轴的另一个交点为C ，当△AMC 的面积为△ABC 面积的1.25倍时，求a 的值？
3、如图，已知抛物线
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++=bx ax y （a≠0）与x 轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ；(1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

4、如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为Q(2,-1)，且与y 轴交于点C(0,3)，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P。