高中数学全套讲义 选修1-1 椭圆初步基础学生版
高中数学2.1.2第一课时椭圆的简单几何性质课件新人教A版选修1-1
范围
－___a_≤___x_≤___a_且___－___b_≤___y_≤__b_ _－___b_≤___x_≤___b_且___－__a_≤___y_≤___a__
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
顶点
__A__1_(_－__a__,0__)_，__A__2_(_a_,_0_)_，___ ___B__1(_0__，__－___b_)_，___B__2_(0__，__b__)
2．1.2 椭圆的简单几何性质 第一课时 椭圆的简单几何性质
[提出问题] 图中椭圆的标准方程为 ax22＋by22＝1(a＞b＞0)．
[导入新知] 椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
__xa_22_＋___by_22_＝___1_(_a_＞___b_＞___0_)
_ay__22_＋__xb_22_＝___1_(_a__＞__b_＞ ___0_)_
|F1F2|＝_2_c_ 对称轴__x_轴__和__y_轴__，对称中心_(_0_,_0_) _
c e＝__a_(_0_<_e_<_1_)_
椭圆的几何性质
[例 1] 求椭圆 4x2＋9y2＝36 的长轴长、焦距、焦点坐标、顶
点坐标和离心率． [解] 椭圆方程变形为x92＋y42＝1，
∴a＝3，b＝2，∴c＝ a2－b2＝ 9－4＝ 5.
()
A.8x12 ＋7y22 ＝1
B.8x12 ＋y92＝1
C.8x12 ＋4y52 ＝1
D.8x12 ＋3y62 ＝1
解析：因为 2a＝18,2c＝13×2a＝6，所以 a＝9，c＝3，b2＝
81－9＝72.
答案：A
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B1（0,-b）、B2（0，b） （2）长轴：线段A1A2 短轴：线段B1B2
y
4 B2
3 2
长轴长:2a;长半轴长:a
A1
1
A2
短轴长:2b;短半轴长:b
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
（3）六个特殊点：四个顶点， 两个焦点。
-3
-4 B1
Hale Waihona Puke 短轴端点、中心、焦点构成一直角Δ，且三边长为a,b,c
y2 b2
1(a
b
0)
（1）由图知：-a≤x≤a;-b≤y≤b
（2）由方程：x2 a2
1
x2 a2
y2 1
y2 b2
b2
-a≤x≤a -b≤y≤b
by
a
椭圆位于直线x=±a和直线
-a
O
x
y=±b围成的矩形区域内。
-b
椭圆的几 何性 质.swfk
2、对称性
（1）由图知：关于x、y轴成轴对称，关于原 点成中心对称。
y
0
x
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
y
x 0
|x|≤a,|y|≤b
|x|≤b,|y|≤a
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对
（a,0称）。,(0,b)
（b,0）,(0,a)
(c,0)
(0,c)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a2=b2+c2
e c a
题型一、椭圆的几何性质的简单应用
A. 2 2
B. 2 1 2
C .2 2 D. 2 1
椭圆的第二定义
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例1、求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短 轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并 画出它的图形. 解：把方程化为标准方程:
x2 y2 1
25 16
所以:a=5,b=4
c= 25 16 3
所以，长轴长2a=10,短轴长2b=8；
离心率为0.6；
焦点坐标为(-3,0),(3,0)
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让我们一起研究：
标准方程为:的x椭2 圆 的y 2性质1 a2 b2
y
横坐标的范围：
B2
-axa
A1 F1 O
A2
F2
x
纵坐标的范围：
B1
-byb
由式子知x 2 y 2 1 a2 b2
x2 a2 1
所以 x2 a2 从而：-axa
y
解：如图建立直角坐标系， y
设所求椭圆方程为
A
x2 y2 1 a2 b2
B F1 O F2 x
在Rt△AF1F2中，
C
| AF2 | | F1A |2 | F1F2 |2 2.82 4.52
由椭圆的性质知，| F1A | | F2 A | 2a
所以
a
1 2
(|
F1 A
பைடு நூலகம்
率为0.8.
x2 125
y2 45
1
或
y2 125
x2 45
1
16 16
16 16
例直3线：l:点的xM距 (离2x45,y的)与比定等点于F常(4数,0)，的求距M离点和54的它轨到迹定。
解：设d是点M到直线l:的x距 离245， 根据题意，点M的轨迹是集合
高中数学人教版选修1-1：2.1.2-3 椭圆的简单几何性质 课件(共9张PPT)品质课件PPT
一、知识回顾
1.点与椭圆的位置关系
点P在椭圆上
x02 a2
+
y02 b2
=1
点P在椭圆内
x02 a2
+
y02 b2
<1
点P在椭圆外
x02 a2
+
y02 b2
>1
2.点与椭圆的位置关系
相交 相切 相离
两个 一个 0个
△>0 △=0 △<0
3.弦长公式
∣ A B ∣ =1 + k 2 ∣ x 1 - x 2 ∣ =1 + k 2 × ( x 1 + x 2 ) 2 - 4 x 1 x 2 或 ∣ A B ∣ =1 + ( k 1 ) 2 ∣ y 1- y 2 ∣ =1 + ( k 1 ) 2× ( y 1+ y 2 ) 2- 4 y 1 y 2
2
5
+
y2 9
= 1.
所以，M的轨迹是以F为焦点,长轴、短轴长分别为10、
6的椭圆.
三、圆的第二定义
若点F是定直线l外一定点，动点M到点F的距离与它
到直线l的距离之比等于常数e(0＜e＜1)，即∣ M F∣ = e ， d
则点M的轨迹是椭圆，这个定点是椭圆的焦点，常数是椭
圆的离心率，这条定直线称为椭圆的准线。中心在原点,
很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重
中有理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭疏食，饮水，曲肱而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财 带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策，有包藏宇宙之机，吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以 ，民亦乐其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与不学同；知而不能行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家 天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不信者行不果。立志越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾 忠乎?与朋友交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担当。为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千 不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须 ，难成！海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。”真正努力精进者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近 乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学技术，都需要无数次的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘 谁击溃过你，都不重要。重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。最深的孤独不是长久的一个人，而是心里没有了任何期望。 年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一个人的价值，应该看他贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人 相知，最苦的是等待，最幸福的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。人若软弱就是自己最大的敌人。日出东 一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便是黑暗中的那一盏明灯，可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我 个。生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、相信自己，坚信自己的目标，去承受常人承受不了的磨难与挫折，不断去努 是你的！既然爱，为什么不说出口，有些东西失去了，就在也回不来了！对于人来说，问心无愧是最舒服的枕头。嫉妒他人，表明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人当人；在人之下，要把自己当人。人不怕卑微，就怕失 光，人就会从卑微中站起来，带着封存梦想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。人只要不失去方向，就不会失去自己。过去的习惯，决定今天的你，所以，过去的懒惰，决定你今天的一败涂地。让 怕我是做不到。不要跟一个人和他议论同一个圈子里的人，不管你认为他有多可靠。想象困难做出的反应，不是逃避或绕开它们，而是面对它们，同它们打交道，以一种进取的和明智的方式同它们奋斗。他不爱你，你为他挡一百颗子弹也没用。 ，却又不想关掉它。做不了决定的时候，让时间帮你决定。如果还是无法决定，做了再说。宁愿犯错，不留遗憾。发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自己发现的意志，并把研究继续下去 结果，相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。公共的利益，人类的福利，可以使可憎的工作变为可贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。立志用功如种树然 其有干，尚未有枝；枝而后叶，叶而后花。意志的出现不是对愿望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。即使遇到了不幸的灾难，已经开 怕的敌人，就是没有坚强的信念。既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。意志若是屈从，不论程度如何，它都帮助了暴力。有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。意志坚强，只有刚强的人，才有神 才能取得胜利。卓越的人的一大优点是：在不利和艰难的遭遇里百折不挠。疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。能够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不 在斗争中和可怕的考验中锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。
高中数学选修1-1精品课件1：2.1.1 椭圆及其标准方程(一)
(2)因为椭圆的焦点在 y 轴上， 所以设它的标准方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)． 因为 2a＝26,2c＝10，所以 a＝13，c＝5. 所以 b2＝a2－c2＝144. 所求椭圆方程为1y629＋1x424＝1.
[题后感悟] 求椭圆标准方程的一般步骤为：
2.(1)已知椭圆的焦点 F1(－4,0)，F2(4,0)，且过点 A4，95， 求椭圆的标准方程．
(2)求以椭圆 9x2＋5y2＝45 的焦点为焦点，且经过点 M(2， 6)的椭圆的标准方程．
解析： (1)由已知 2a＝|AF1|＋|AF2|＝ 4＋42＋952＋ 4－42＋952＝ 1 26581＋95＝451＋95＝10.
∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. ∴所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1，也可用待定系数 法．
1.(1)已知经过椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 的右焦点 F2 的直线 AB 垂
直于 x 轴，交椭圆于 A、B 两点，F1 是椭圆的左焦点．求△
AF1B 的周长． (2)椭圆1x22 ＋y32＝1，焦点为 F1 和 F2，点 P 在椭圆上．如
果线段 PF1 的中点在 y 轴上，那么|PF1|是|PF2|的( )
(1)求椭圆的焦点坐标； (2)过 F1 作直线与椭圆交于 A，B 两点，试求△ABF2 的周 长．
[解题过程] (1)由1x020＋3y62 ＝1 得 a2＝100，b2＝36， 于是 a＝10，c＝ a2－b2＝ 100－36＝8， 所以椭圆的焦点坐标为 F1(－8,0)，F2(8,0)． (2)△ABF2 的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2| ＝(|AF1|＋|BF1|)＋|AF2|＋|BF2| ＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)， 由椭圆的定义可知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a， 故|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝40.
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还是在短轴上吗？
提示：椭圆的焦点在椭圆的长轴上.
2.能否用a和b表示椭圆的离心率e?
提示：可以，由于 e 又c , c a2 b2 ,
a
故ec
a
a2 b2 a
1
b2 a2
.
3.椭圆16x2+9y2=144的长轴长是_______;短轴长是_______;离
心率是_______.
【解析】先将椭圆16x2+9y2=144化为标准形式
F（1__0_,__-_c__）_,F（2 _0__,_c__）_ |F1F2|=__2_c_
顶点
焦点在x轴上
A1(_-_a_,_0_)_,A2（——a,—0—）—; B（1—0—,—-—b）—,B2—(—0—,b—)—
焦点在y轴上
A（1_0_,_-_a_）_,A2—(—0,—a—)—; B1(—-—b—,0—)—,B2—(b—,—0—)—
【想一想】通过本题中求离心率的过程，你掌握了哪种分析问 题的思想方法？ 提示：由于题设条件图形特征强，a，b，c相对于e的关系复杂， 因此我们在分析问题时要借助于图形来寻找与e有关的量的关 系，即要注重数形结合的方法分析和解决问题.
【规范解答】利用椭圆几何性质求解最值问题
【典例】(12分)（2012·淄博高二检测）中心在原点,焦点在
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线 x 3a 上一点，△F2PF1是底
2
角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
（A） 1
2
（B）2
3
（C）3
4
（D）4
5
2.已知B1，B2为椭圆短轴的两个端点，F1，F2是椭圆的两个焦 点，若四边形B1F1B2F2为正方形，则椭圆的离心率为______. 3.A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角 形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．
高中数学 选修1-1 新课讲义 第2章 2.1.1 (一) 椭圆及其标准方程(一)
§2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程(一)学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．知识点一椭圆的定义思考给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？答案在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆．梳理(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．(2)焦点：两个定点F1，F2.(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|.(4)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.知识点二椭圆的标准方程思考在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？答案不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定．梳理焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系c2＝a2－b21．到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．(×)2．椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．(×)3．椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c2.(√)类型一椭圆的标准方程命题角度1求椭圆的标准方程例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)，B⎝⎛⎭⎫12，3；(2)经过点(3，15)，且与椭圆x225＋y29＝1有共同的焦点．考点椭圆标准方程的求法题点待定系数法求椭圆的标准方程解(1)方法一当焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，∵点A(0,2)，B⎝⎛⎭⎫12，3在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4b2＝1，⎝⎛⎭⎫122a2＋(3)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝1，b2＝4，这与a>b相矛盾，故应舍去．当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为a 2b 2∵点A (0,2)，B ⎝⎛⎭⎫12，3在椭圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，(3)2a 2＋⎝⎛⎭⎫122b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆的标准方程为x 2＋y 24＝1， 综上可知，椭圆的标准方程为x 2＋y 24＝1. 方法二 设椭圆的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． ∵点A (0,2)，B ⎝⎛⎭⎫12，3在椭圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4n ＝1，14m ＋3n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝14，故椭圆的标准方程为x 2＋y 24＝1. (2)方法一 椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为(－4,0)和(4,0)，可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义可得 2a ＝(3＋4)2＋(15－0)2＋(3－4)2＋(15－0)2，∴2a ＝12，即a ＝6.∵c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝62－42＝20， ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.方法二 由题意可设椭圆的标准方程为 x 225＋λ＋y 29＋λ＝1(λ>－9)， 将x ＝3，y ＝15代入上面的椭圆方程，得25＋λ9＋λ解得λ＝11或λ＝－21(舍去)， ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.反思与感悟 求椭圆标准方程的方法(1)定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程． (2)待定系数法①先确定焦点位置；②设出方程；③寻求a ，b ，c 的等量关系；④求a ，b 的值，代入所设方程．特别提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m >0，n >0)． 跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝⎛⎭⎫－32，52； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)． 考点 椭圆标准方程的求法 题点 待定系数法求椭圆的标准方程 解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知， 2a ＝⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52＋22＋ ⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52－22 ＝210，即a ＝10.又c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝6.∴所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(3)设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )， ∵点P (－23，1)，Q (3，－2)在椭圆上，∴代入得⎩⎪⎨⎪⎧12m ＋n ＝1，3m ＋4n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.命题角度2 由标准方程求参数(或其取值范围)例2 若方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是________．考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围) 答案 (0,1)解析 ∵方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，将方程改写为y 22－m 2＋x 2m＝1，∴有⎩⎪⎨⎪⎧2－m 2>m ，m >0，解得0<m <1.反思与感悟 (1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式； (2)x 2m ＋y2n＝1表示椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m ≠n ；表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m >n ；表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是⎩⎨⎧m >0，n >0，n >m .跟踪训练2 (1)已知方程x 2k －4－y 2k －10＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为________．考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围) 答案 (7,10)解析 化成椭圆标准形式得x 2k －4＋y 210－k ＝1，根据其表示焦点在x 轴上的椭圆， 得⎩⎪⎨⎪⎧k －4>0，10－k >0，k －4>10－k ，解得7<k <10.(2)已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m ＝_______________.考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围) 答案 4或8解析 ①当焦点在x 轴上时，10－m －(m －2)＝4， 解得m ＝4.②当焦点在y 轴上时，m －2－(10－m )＝4， 解得m ＝8. ∴m ＝4或8.类型二 椭圆定义的应用例3 已知P 为椭圆x 212＋y 23＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．考点 椭圆的定义 题点 焦点三角形中的问题 解 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得 |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 即36＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|.① 由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝43， 即48＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|.② 由①②得|PF 1|·|PF 2|＝4 所以12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝ 3. 引申探究若将本例中“∠F 1PF 2＝60°”变为“∠F 1PF 2＝90°”，求△F 1PF 2的面积． 解 由椭圆x 212＋y 23＝1，知|PF 1|＋|PF 2|＝43，|F 1F 2|＝6，因为∠F 1PF 2＝90°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝36， 所以|PF 1|·|PF 2|＝6， 所以12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|＝3. 反思与感悟 (1)对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于|PF 1|(或|PF 2|)的方程求得|PF 1|(或|PF 2|)；有时把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量． (2)焦点三角形的周长等于2a ＋2c .设∠F 1PF 2＝θ，则焦点三角形的面积为b 2tan θ2.跟踪训练3 已知AB 是过椭圆49x 2＋y 2＝1的左焦点F 1的弦，且|AF 2|＋|BF 2|＝4，其中F 2为椭圆的右焦点，则|AB |＝________. 考点 椭圆的定义 题点 焦点三角形中的问题 答案 2解析 由椭圆定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， |BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝6. 所以|AF 1|＋|BF 1|＝6－4＝2，即|AB |＝2.1．“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件考点 椭圆的定义 题点 由椭圆定义确定轨迹 答案 A解析 若动点的轨迹为椭圆，则根据椭圆的定义，得平面内一动点到两定点的距离之和为一定值．平面内一动点到两定点的距离之和为一定值时，动点轨迹的情况有三种．所以“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的必要不充分条件． 2．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．8考点 椭圆的定义 题点 椭圆定义的应用 答案 D解析 设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，|PF 1|＝2. 结合椭圆定义|PF 2|＋|PF 1|＝10，故|PF 2|＝8.3．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 考点 椭圆标准方程的求法 题点 定义法求椭圆的标准方程 答案 A解析 c ＝1，a ＝12×((2＋1)2＋0＋(2－1)2＋0)＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.4．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于________． 考点 椭圆的定义 题点 焦点三角形中的问题 答案 4解析 由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝ 5. ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴△PF 1F 2是直角三角形，且PF 1⊥PF 2， ∴△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×2×4＝4.5．若方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆，则m 满足的条件是________．考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m >12且m ≠1 解析 由方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆，知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，2m －1>0，m ≠2m －1，解得m >12且m ≠1.1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.一、选择题1．设椭圆x2m2＋y2m2－1＝1(m>1)上一点P到其左、右焦点的距离分别为3和1，则m等于()A．6 B．3 C．2 D．4考点椭圆的标准方程题点给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围) 答案 C解析∵m2>m2－1，∴椭圆焦点在x轴上，∴a＝m，则2m＝3＋1＝4，∴m＝2.2．设P是椭圆x216＋y212＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形考点椭圆的定义题点焦点三角形中的问题答案 B解析由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，不妨设|PF1|>|PF2|，∵|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，又∵|F1F2|＝2c＝4，∴△PF1F2为直角三角形．3．已知椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k的值为() A．1 B．－1C. 5 D ．－ 5 考点 椭圆的标准方程 题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围) 答案 A 解析 原方程可化简为x 2＋y 25k ＝1， 由c 2＝5k－1＝4，得k ＝1. 4．椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( ) A ．2B ．8C ．4D.32考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 C解析 如图，F 2为椭圆右焦点，连接MF 2，则ON 是△F 1MF 2的中位线，∴|ON |＝12|MF 2|，又|MF 1|＝2，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，∴|MF 2|＝8， ∴|ON |＝4.5．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1 B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 考点 椭圆标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程答案 B解析 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，所以c ＝ 3.因为2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43，所以a ＝23，所以b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1. 6．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0<k <9)的关系是( ) A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对考点 椭圆的标准方程题点 由椭圆的标准方程求焦点、焦距答案 B解析 曲线x 225＋y 29＝1焦点在x 轴上．对于曲线x 29－k ＋y 225－k ＝1，∵0<k <9，∴25－k >9－k >0，∴焦点在y 轴上，故两者的焦点不同．∵25－9＝(25－k )－(9－k )＝16＝c 2，∴2c ＝8，故两者焦距相等．故选B.7．方程x 24＋m ＋y 22－m ＝1表示椭圆的必要不充分条件是() A ．m ∈(－1,2)B ．m ∈(－4,2)C ．m ∈(－4，－1)∪(－1,2)D ．m ∈(－1，＋∞)考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)答案 B解析 方程x 24＋m ＋y 22－m ＝1表示椭圆的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋m >0，2－m >0，4＋m ≠2－m ，即m ∈(－4，－1)∪(－1,2)．由题意可得， 所求m 的取值范围包含集合(－4，－1)∪(－1,2)．观察选项，故选B.8．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( ) A.233B.263C.33D. 3考点 椭圆的定义题点 焦点三角形中的问题答案 C解析 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴MF 1→⊥MF 2→，由|MF 1|＋|MF 2|＝4，①又|MF 1|2＋|MF 2|2＝(23)2＝12，②由①与②可得，|MF 1|·|MF 2|＝2，设M 到x 轴的距离为h ，则|MF 1|·|MF 2|＝|F 1F 2|·h ，h ＝223＝33. 9．已知椭圆x 2100＋y 264＝1的左焦点为F ，一动直线与椭圆交于M ，N 两点，则△FMN 的周长的最大值为( )A ．16B ．20C ．32D ．40考点 椭圆的定义题点 焦点三角形中的问题答案 D解析 设右焦点为A ，一动直线与椭圆交于M ，N 两点，则△FMN 的周长l ＝|MN |＋|MF |＋|NF |＝|MN |＋2a －|MA |＋2a －|NA |＝4a ＋(|MN |－|MA |－|NA |)，由于|MA |＋|NA |≥|MN |，所以当M ，A ，N 三点共线时，△FMN 的周长取得最大值4a ＝40.二、填空题10．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是________． 考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)答案 3或5解析 当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，c 2＝m －4，又2c ＝2，∴c ＝1.∴m －4＝1，m ＝5.当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ，∴c 2＝4－m ＝1，∴m ＝3，∴m ＝3或5.11．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为________． 考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程答案 x 216＋y 212＝1 解析 方法一 依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1. 方法二 依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)，从而a 2＝16.所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1. 12．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.考点 椭圆的定义题点 焦点三角形中的问题答案 3解析 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2.又∵PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，即4c 2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2，∴12PF F S ＝12·|PF 1|·|PF 2|＝12×2b 2＝b 2＝9，又∵b >0，∴b ＝3.三、解答题13．求过点(0,4)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点的椭圆的方程．考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程解 由9x 2＋4y 2＝36，得x 24＋y 29＝1，则c ＝9－4＝5，焦点在y 轴上，设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1，则a ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝11，∴所求椭圆方程为x 211＋y 216＝1.四、探究与拓展14．已知点P 在椭圆上，且P 到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P 且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程解 方法一 设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝5＋3，(2c )2＝52－32， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝12. 于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. 方法二 设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，两个焦点分别为F 1，F 2. 由题意知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝3＋5＝8，所以a ＝4.在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，令x ＝±c ，得|y |＝b 2a； 在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中，令y ＝±c ，得|x |＝b 2a. 依题意有b 2a＝3，得b 2＝12. 于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1.15．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值．考点 椭圆的定义题点 焦点三角形中的问题解 (1)由题意得椭圆焦点在y 轴上，且c ＝1.又∵3a 2＝4b 2，∴a 2－b 2＝14a 2＝c 2＝1，∴a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆的标准方程为y 24＋x 23＝1. (2)如图所示，|PF 1|－|PF 2|＝1.又由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝4，∴|PF 1|＝52，|PF 2|＝32，|F 1F 2|＝2， ∴cos ∠F 1PF 2＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322－222×52×32＝35.。
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名师点拨
1.判断曲线关于 x 轴、y 轴、原点对称的依据: (1)若把方程中的 x 换成-x,方程不变,则曲线关于 y 轴对称. (2)若把方程中的 y 换成-y,方程不变,则曲线关于 x 轴对称. (3)若把方程中的 x,y 同时换成-x,-y,方程不变,则曲线关于原点对称. 2.椭圆的顶点是它与对称轴的交点,所以必有两个顶点与焦点在同一 条直线上. 3.a,b,c 在椭圆内可构成 Rt△OFB,Rt△OFB 叫作椭圆的特征三角形,这是 a,b,c 的一个几何意义.
1.2 椭圆的简单性质
-*-
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
学习目标
1.掌握椭圆的中心、顶点、长轴、 短轴、离心率的概念,理解椭圆的范围和 对称性. 2.掌握椭圆中 a,b,c,e 的几何意义及 a,b,c,e 之间的相互关系. 3.用代数法研究曲线的简单性质,熟练 掌握椭圆的简单性质,体会数形结合的 思想.
思维脉络
首页
椭圆的简单性质
标准方 程
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
y2 a2
+
x2 b2
=1(a>b>0)
【高中数学选修1-1课件】2.1.2椭圆的简单的几何性质
的动点的轨迹方程.
3、点M(x,y)与定点F(-4,0)的距离和它到直线l: x 25 的距离之比是常数0.8，求点M的轨迹.
4
椭圆的第二定义：到定点F(±c,0)与到定直线l：
x c 的距离之比为e(0<e<1)的点的轨迹是一个 椭圆.a
椭圆的性质： 1、范围 2、对称性 3、顶点坐标（有四个），长轴长、短轴长 4、离心率的定义及其数学表达式 5、椭圆的第二定义
此时 P(4,- 9), 5
40 25 65 41
d最大
42 52
41
所以，椭圆上点P(-4, 9)到直线l的最小距离为15 41 ，
5
41
点P(4,- 9)到直线l的最大距离为65 41 .
5
41
1、已知三角形⊿ABC的一边长为6，周长为16，求 顶点C的轨迹方程. 2、求到定点A(2,0)与到定直线x=8的距离之比为 2
并求出该点坐标.最大呢？
分析：若设P(x,y)是椭圆上到 直线l距离最近的点，利用点到 l 直线的距离公式可以求出最小 值吗？请同学们试一试。
y
m
O
x
很显然这种方法很难求解。请同学 们想想还有其它解法吗？
通过直线的平移，使直线m与椭圆首先相交，此时 的交点就是所求的点，两条平行线间的距离就是最 小距离。
目标
根据椭圆的方程研究曲线的 几何性质，并正确地画出它 的图形；根据几何条件求出 曲线方程，并利用曲线的方 程研究它的性质，画图.
重点 通过几何性质求椭圆方程并画图
难点 通过几何性质求椭圆方程并画图
复习 旧知
1、椭圆是怎样定义的？代数表达式是 什么？ F1、F2叫做椭圆的 ，两焦点 间的距离叫做椭圆的 。 2、焦点在x轴上的椭圆的标准方程怎样 写？ｙ轴上呢？ 3、a、b、c三者是怎样的关系？
人教A版高中数学选修1-1课件《2.1椭圆椭圆的简单几何性质(1)》
同前
同前
同前
例1已知椭圆方程为16x2+25y2=400,
它的长轴长是：。短轴1长0是： 。
焦距是： 。6 离心率等于： 。
焦点坐标是：。(顶3,点0坐) 标是：。
8
3 5
(5, 0) (0, 4)
外切矩形的面积等于：。 80
解题的关键：1、将椭圆方程转化为标
准方程
x2 y 2 1 明确a、b
25 16
2、确定焦点的位置和长轴的位置
练习1. 已知椭圆方程为6x2+y2=6
它的长轴长是：。2 短6 轴长是： 。
焦距是：.离2心5率等于： 。 焦点坐标是：。(0顶,点5坐) 标是：。
外切矩形的面积等于：。 4 6
2
30
6
(0, 6)
(1, 0
答案： x2 y 2 1 9
x2 y2 1 9 81
分类讨论的数学思想
小结：
本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、 对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。 了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、 焦点、对称中心及其相互之间的关系，这对我们解 决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学 习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几 何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度 来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌 握数与形的联系。在本节课中，我们运用了几何性 质，待定系数法来求解椭圆方程，在解题过程中， 准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。
2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭 圆就越圆
[3]e与a,b的关系:
e
c
a
a2 b2 1 b2
人教版高中数学选修1-1课件2.1.1 椭圆及其标准方程(一)
2.1 椭圆
2.1.1 椭圆及其标准方程 （一）
1．对于椭圆定义的理解，要抓住椭圆上的点应满足的条 件，即椭圆上的点满足|PF1|＋|PF2|＝2a，可以对比圆的定义来 理解，还要抓住常数 2a>|F1F2|，这样规定是为了避免出现两种 特殊情况，即：“当常数等于|F1F2|时轨迹是一条线段；当常数 小于|F1F2|时无轨迹”．这样有利于集中精力进一步研究椭圆的 标准方程和几何性质．但学习椭圆的定义时注意不要忽略这两 种特殊情况，以保证对椭圆定义理解的准确性．
(2)解题(2)时，也可以根据椭圆的定义，由点( 3，－ 5) 与焦点 F1，F2 的距离的和等于 2a，求出 a 的值；然后由 b2＝ a2－c2，确定 b2 的值．
题目类型一、 椭圆的定义及其应用
[例 1] (1)平面内一动点 M 到两定点 F1、F2 的距离之和为
常数 2a，则点 M 的轨迹为( )
2．推导椭圆的标准方程是本节学习的一个关键环节．应 重点理解下述方面：
一是如何建立坐标系才能使椭圆的方程比较简单． 求椭圆的方程，首先要建立直角坐标系，由于曲线上同一 个点在不同的坐标系中的坐标不同，曲线的方程也不同，为了 使方程简单，必须注意坐标系的选择．怎样选择坐标系，要根 据具体情况来确定．在一般情况下，应注意要使已知点的坐标 和直线(或曲线)的方程尽可能简单，在求椭圆的标准方程时， 选择 x 轴经过两个定点 F1、F2，并且使坐标原点为线段 F1F2 的中点，这样两个定点的坐标比较简单，便于推导方程．
＝
1(a>b>0)．由已知，得 c＝4.
因为 c2＝a2－b2，所以 a2＝b2＋16.①
因为点( 3，－ 5)在椭圆上，
所以－a252＋ b322＝1，即a52＋b32＝1. 将①式代入②，得b2＋5 16＋b32＝1，解得 b2＝4(b2＝－12 舍去)． 由①得 a2＝4＋16＝20. 因此，所求椭圆的标准方程为2y02 ＋x42＝1. [点评] (1)要注意焦点所在坐标轴不同，其标准方程的形 式也不同，从方程看哪个分母大，焦点就在哪个轴上．
【人教A版】2012新课标选修1-1数学课件2.1.2第1课时椭圆的简单几何性质
e＝ac＝2
5
6 .
(2)椭圆的长轴长和焦距分别为 2a＝1,2c＝ 35， 离心率 e＝ac＝ 35，焦点坐标为 F1－ 65，0，F2 65，0， 顶点坐标为 A1－12，0，A212，0，B10，－13，B20，13.
顶点坐标为(－4,0)，(4,0)，(0，－4 2)，(0,4 2).
• 求下列椭圆的长轴长和短轴长，焦点坐标 和顶点坐标和离心率：
• (1)4x2＋9y2＝36； • (2)m2x2＋4m2y2＝1(m＞0)．
[解题过程] (1)将椭圆方程变形为x92＋y42＝1，
∴a＝3，b＝2，∴c＝ a2－b2＝ 9－4＝ 5.
•2.1.2 椭圆的简单几何性质
•第1课时 椭圆的简单几何性质
• 1.掌握椭圆的简单几何性质． • 2.理解离心率对椭圆扁平程度的影响.
• 1.椭圆的简单几何性质．(重点) • 2.本节常与几何图形、方程、不等式、平面向
量等内容结合出题．
• 3.命题形式比较灵活，各种题型均有可能出现.
1．圆 C：(x－1)2＋y2＝4，利用其方程可研究圆的性质， 如圆心、半径、面积等．
• 可结合下图加强对上述说法的理解．
◎已知椭圆k＋x28＋y92＝1 的离心率 e＝12.求 k 的值．
【错解】 ∵a2＝k＋8，b2＝9，∴c2＝k＋8－9＝k－1. 又∵e＝12， ∴ kk－＋18＝12. 解得 k＝4.
• 【错因】 仅根据椭圆的离心率不能确定焦点 的位置，而上述解法默认为焦点在x轴上，而 没有对焦点的位置进行讨论．
解析： (1)将椭圆方程变形为 x2＋2y52 ＝1，
∴a＝5，b＝1，
∴c＝ a2－b2＝ 25－1＝2 6.
∴椭圆的长轴长 2a＝10，短轴长 2b＝2.
高中数学新人教版选修1-1 2.1.1《椭圆及其标准方程》课件 (共20张PPT)
焦点位置的判定 项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪
个轴上，相应的那个项的分母就越大.
椭圆标准方程的求法： 一定焦点位置；
二设椭圆方程；
三求a、b的值.
作业：
一. 人教版选修P42 1,2
二. 思考题
方程Ax2+By2=1什么时候表示椭圆？ 什么时候表示焦点在x轴上的椭圆？什么 时候表示焦点在y轴上的椭圆？
PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，求线段PD中点M 的轨迹方程。轨迹是什么图形？
解：设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为 x0, y0 辅
则
xx0,
yy0 2助y点 Nhomakorabea则
P法
P (x 0 ,y 0 )在 圆 x 2 y 2 4 上 M
x
x02 y02 4
0D
将x0 x, y0 2y代入上述方程
M
F1
F2
导入新课：
绘图纸上的三个问题
1．视笔尖为动点，两个图钉为定点， 动点到两定点距离之和符合什么条 件？其轨迹如何？ 2．改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ 3．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
探究：
|MF1|+ |MF2|＞|F1F2| 椭圆 |MF1|+ |MF2|=|F1F2| 线段 |MF1|+ |MF2|＜|F1F2| 不存在
神舟六号在进入太空后，先以远地点347公里、近地 点200公里的椭圆轨道运行，后经过变轨调整为距地343公 里的圆形轨道.
数学 实验
❖ [1]取一条细绳，
❖ [2]把它的两端固定在 板上的两点F1、F2
❖ [3]用铅笔尖（M）把 细绳拉紧，在板上慢 慢移动看看画出的图 形
高中数学人教A版选修1-1课件：2.1.2《椭圆的简单几何性质》课时3
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方式
案例式 学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必备习惯
积极 主动
以终 为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完整过程
身体记忆法小妙招
超级记忆法--故事法
目 录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是 比别懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
x o
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
由 0，得64k 2 - 4 2（ 5 k 2 - 225） 0
解得k1=25，k2 =-25
y
由图可知k 25.
直线m为：4x 5y 25 0
x
o
直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。
且dmin
40 25 42 52
15 41
6
11 7
2.已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，
(1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.
(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点
椭圆的弦所在的直线方程.
解 : (2)512 912 45 A(1,1)在椭圆内。
设以A为中点的弦为MN且M (x1, y1), N (x2, y2 )
高中数学北师大选修1-1课件：第2章§11.2第1课时椭圆的简单性质
教师用节配套课性1.2椭圆的简单性质第1课时椭圆的简单性质t1M•家基础盪聲提示 如果您加见石木"件旳辻 鸡中出"••字叭泉・溝吳 用幷宥幻灯片・ 可・椭圆的标准方程、图像及性质焦点的位■ ■ 4标准方程焦点在X 轴上黒—— -------------------= + y = l(a>b>0)L b焦点在y 轴上2 x 2,图形B ；y BiJ>42-+- = l(a>b>0)y _________X对称性 对称轴x 轴和y 轴一,对称中心®0)范围xG [-a, a],vG「一b.b"!xW E-b, b], vG r-a. al思考：要确定椭圆的标准方程，需要确定什么？提示：首先要确定焦点的位置，其次需要确定a,b两个量.【知识点拨】L 对椭圆是轴对称与中心对称图形的解读心代”方程不改变伽关于翩丽 以-xf 疑方程不改变（ -------------------------- 同时以-兀代匸以-丁代；（椭圆关于咂可—二［椭圆关于原点对称）?+p =1（a〉3•椭圆的离心率对椭圆〃扁的程度"的影响越摆型乖越接近°,从而、越小K _______________ _________________ J 輕¥越接近0 J C越接近0,从而朋-8越接近a_________ __ ________ J q椭圆越扁］咻圆越接近于圆］当且仪当a=b时）c=0 j这时两个焦点重合，［图形变为圆______________4•对椭圆几何性质的挖掘(1)通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫做椭圆的通径，长为⑵椭圆上到中心距离最远和最近的点分别在长轴端点和短抽端点上.2b2妙孩愛处逆圭g类型一利用标准方程研究简单性质【典型例题】1 •椭圆的伟占坐标为•顶占坐标为・2求椭圆9x516y2=144的丽長二短#由樂、离丿常■蕉点坐标和顶点坐标.r y2=1【解题探究】1•如何判断焦点的位置？2•已知椭圆方程,如何确定椭圆的几何性质？探究提示-L通最褊圆几何性质的研究，椭圆的焦点在椭圆的长轴上•即焦点在标准方程较夫分母对应的霸上.2•首先看方程是否为标准方程，若不是标准方程，先化为标准方程•其次由标准方程先确定焦点位置撚后写出a,b的值这样就可确定椭圆的性质.【解析】L由方程的形式知，椭圆的焦点在x轴上，且a2二4炉二—a二a?- b2=3 z故a二2,b二l,c二八焦点坐标为(土,0),顶点坐标为(±2 , 0) , (0 , ±1).答案：(士,0) (±2,0) #(0,±1)2 •已知方程化成标准方程为 2 2于是a=4 , b二3 , ••椭圆罅地长那豆轴长分别是2a二8和2b=6 , 离心率，又知焦点在x轴上,16两旗点坐标分别是四个顶点坐标分别是（40；1（血（0厂誑和（0,3）.C 二J16-9 二仇e 二一二——a 4【互动探究】若把题2中方程改为9护+16X—144,写出椭圆的相应性质. 【解题指南】转化为标准方程后，写出a , b ,啲值其性质.【解析】化为标准方程为所以焦点在y轴上.a=4 b—3二长轴长2a=8 ,短轴长2b二6 z离心率焦点坐标为和顶点坐标为(0,4) , (0 z -4) , (3,0)和(・3 , 0).(0,77) (0,-77),，再求【拓展提升］确定椭圆的几何性质的四个步骤提醒：曲25 3【变式训练】已知：椭圆 k 的值为 ______ .【解析】当k>5时， 当0<k<5时， 综上,或3. 答案：或3的离心率 则实数— 5 kk 用325Vioe = ------5k = 3.类型二利用几何性质求标准方程【典型例题】1 •椭圆的长轴长为一个焦点坐标为(2, 0),则它的标准方程为_______ -2经过点P(4,0)和Q(0,・3)的椭圆标准方程为 ______ •3•已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为且G 上一点到G的两七佛的距离之和为12,则椭圆G的方程为_______ ・2V10,22【解题探究】L焦点坐标在求椭圆标准方程时的作用是什么?2.题2中椭圆的焦点在哪个轴上?3.离心率在求椭圆标准方程时的作用是什么?探究提示：L给出焦点坐标，就能确定c的值z其次也可以确定标准方程的形式.2.椭圆的焦点在长轴上，由题意知，P , Q是椭圆的顶点,且|4|＞卜3|,故焦点在x轴上3 •因为所以给定离心率即确定了参数a,b的关系.【解析】L因为椭圆的一个焦点坐标为(2 z 0),故不妨设其标准方程为由题意・••所求标准方霁v2答案：—+ ^- = l(a>b>0).c = 2,2a = 2V10,a = V10,/.b2 =a2—c2 =6.10 62 •由椭圆的几何性质可知,以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以P , Q分别是椭圆的长轴和短轴的一个端点，于是有a二4,b二3•且长轴、短轴分别在x轴和y 轴上，所以椭圆的标准方程为答案：2 2=116 9 =13•依题意设椭圆G的方程为 2 2••椭圆上一点到其两个焦点的距犁垃N F（a>b >0）. 「诂圆的鲁2'率为 a b解得b?二9,・・.椭圆G的方程为答案：73 . 7a2-b2 _ A/3 . ^36-b2 _ *9 ■ ■= 9 ■ ■=2 a 2 6 22 2—36 92 2—136 9【互动探究】将1题中条件“一个焦点坐标为(2, 0)”改为“焦距为4”，试求椭圆的标准方程.【解析】由题意所以当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为当焦点在y 轴上时,椭圆的标准方程为所以椭圆的标准方程密励a 二V10,c = 2, b2 = a2 -c2二6.【拓展提升】L求椭圆标准方程的基本思路2 2—1,10 62 2 2 2—1 —1. 10 6 10 6(1)定位置:根据题意确定焦点的位置.(2)定形式：根据焦点的位置,用待定系数法确定方程的形式.(3)定系数：根据题意列出等量关系，求参数a,b的值.2 •待定系数法求椭圆标准方程的基本步骤及注意事项(1)基本步骤：⑵注意事项量中，能确;轴长、离心;【变式训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程：椭圆的短轴长等于2,长轴端点与短轴端点间的距离等于【解析】设椭圆的长半轴长为a ,短半轴长为b ,焦距为2c , 则b = 1 , 即a2 = 4.所以椭圆的标准方程是或类型三与离心率有关的问题【典型例题】1.（2012-新课标全国卷）设片,尸2是椭圆E：（a>b>0）的左、右焦点，P为直线上一点，A/zPh是底角为30。
人教选修1-1A椭圆的简单几何性质参数方程ppt1
参数方程:
{ （1） x3cos(为参数） y 2 sin
{ （2） x 8 cos (为参数） y 6 sin
（3）x42
y2 9
1
(4)x2
y2 16
1
椭圆的简单几何性质-----知识应用
补充例题:如图在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P到直线l:x-y+4=0的距离最小.
解1:把直线l平移至首次与椭圆相切,切点就是所求的
x 10 cos y 6 sin
(
为参数)的焦点坐标为
.
2、在椭圆x2 8y2 8上求一点P，使P到直线l : x y 4 0的距离最大。
3、已知点M（1，0），动点P在椭圆 x2 y2 1上，求 PM 的最大值与最小值。 25 9
椭圆的简单几何性质-----新课探究
解: 设点M (x, y),是以ox为始边，
OA为终边的正角，为参数，则
A
x ON OA a cos,
BM
N
y NM OB b sin,
{ 即 xacos, (为参数）。 y b sin
这就是椭圆的参数方程。 其中a为长半轴的长，
b为短半轴的长，叫离心率， 但不是OM
与x轴所成的角， 而是OA与x轴所成的角。
把参数方程变形为
x a
cos,
y b
sin .
可得到 x2 a2
y2 b2
1.
即参数方程与普通
方程可以互化，是
等价的。
椭圆的简单几何性质-----新课探究
问题3:椭圆的参数方程和圆的参数方程有何异同?
名称
方程
各元素的几何意义
圆 椭圆
{ xar cos (
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目录
第三讲：椭圆初步................................................................................................. 错误!未定义书签。
考点一：椭圆的定义及其应用 (2)
题型一：利用定义判断轨迹 (2)
考点二：椭圆的标准方程及其几何性质 (2)
题型二：椭圆的标准方程相应问题 (3)
题型三：椭圆简单性质问题 (3)
课后综合巩固练习 (4)
考点一：椭圆的定义及其应用
椭圆的定义：平面内与两个定点12F F ，
的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．
依椭圆的定义，设P 是椭圆上一点，则有122PF PF a +=，（a 为常数且22)a c >
题型一：利用定义判断轨迹
1．（2017•天心区校级学业考试）设1F ，2F 为定点，12||6F F =，动点M 满足12||||6MF MF +=，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆
B ．直线
C ．圆
D ．线段
2．（2016秋•兴庆区校级期末）点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到直线25
:4
l x =的距离的比是常数
4
5
，求M 的轨迹． 考点二：椭圆的标准方程及其几何性质
椭圆的标准方程：
①22
221(0)x y a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，
，2(0)F c ，，且222c a b =-． ②22
221(0)y x a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，
，2(0)F c ，，且222c a b =-． 椭圆的几何性质
1．范围：a x a -≤≤，b y b -≤≤；
2．对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；
3．椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212A A B B ，
，，； 4．长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的12A A ；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段12B B ． 5．椭圆的离心率：c
e a
=
，焦距与长轴长之比，01e <<，e 越趋近于1，椭圆越扁； 反之，e 越趋近于0，椭圆越趋近于圆．
题型二：椭圆的标准方程相应问题
1．（2018秋•娄底期末）设椭圆2
2
221(0,0)x y m n m n +=>>的一个焦点为(0,2)-，离心率为1
2
，
则(m n -= ) A
．8-B
．4
C
．8
D
2
2．（2017秋•龙岗区期末）已知ABC ∆的周长为20，且顶点B (0,4)-，C (0,4)，则顶点
A 的轨迹方程是( )
A ．22
1(0)3620x y x +=≠
B ．22
1(0)2036x y x +=≠
C ．22
1(0)620
x y x +=≠
D ．22
1(0)206
x y x +=≠
3．（2018秋•未央区校级期末）若曲线22
111x y k k +=-+表示椭圆，则k 的取值范围是( )
A ．1k >
B ．1k <-
C ．11k -<<
D ．10k -<<或01k <<
题型三：椭圆简单性质问题
1．（2019•北京）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1
2，则( )
A ．222a b =
B ．2234a b =
C ．2a b =
D ．34a b =
2．（2019•昆明模拟）己知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，直线l 过焦点且倾斜角为4π
，以椭
圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为( )
A B C D 课后综合巩固练习
1．（2018秋•南关区校级期末）椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为( )
A ．22
110084x y +=
B ．22
1259
x y +=
C ．22110084x y +=或22
184100
x y +=
D ．221259x y +=或22
1259
y x +=
2．（2019•聊城三模）若方程2244x ky k +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为( ) A ．4k >
B ．4k =
C ．4k <
D ．04k <<
3．（2019春•湖州期中）经过点P 且与椭圆2214x y +=相切的直线方程是( )
A ．40x +-=
B ．40x --=
C ．20x +-=
D ．20x -+=
4．（2019春•惠城区校级月考）设1F 是椭圆2
219x y +=的一个焦点，AB 是经过另一个焦点
2F 的弦，则△1AF B 的周长是( )
A ．12
B ．6
C ．4
D ．8
5．（2019春•厦门期末）已知椭圆22
2:1(0)25x y C m m +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P
在C 上，且△12PF F 的周长为16，则m 的值是( )
A ．2
B ．3
C ．
D ．4
6．（2019春•雅安期末）椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心
的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为( )
A 1
B
C ．
2
D。