第十章曲线积分与曲面积分

第十章 曲线积分与曲面积分

10.01 填 空

(1) 第二类曲线积分

⎰Γ

Rdz

+Qdy +Pdx 化成第一类曲线积分是

⎰Γ

γ+β+α)ds

Rcos Qcos (Pcos ，其中α﹑β﹑γ为Γ上点(x,y,z)处切 向量

的方向角。

(2) 第二类曲面积分

⎰⎰∑

Rdxdy

+Qdzdx +Pdydz 化成第一类曲面积分是

⎰⎰∑

γ+β+α)ds

Rcos Qcos (Pcos ，其中α﹑β﹑γ为∑上点(x,y,z)处的法 向

量的方向角

10.02 计算下列曲线积分： (1) ds

y x L

22⎰+,其中L 为圆周

ax y x 22=+ 解：

Θ

L:x y ax

22+=

表示为参数方程:x =a 2a 2cos y =a 2sin +⎧

⎨⎪⎩

⎪≤≤θθ

θπ()

02

有 θ'θ-='θ

θcos 2a =y ,sin 2a x

x y a 4a 2''2θθ2

2

+== )

cos 1(2a =ax y x 222θ+=+

θ⋅θ=+∴

⎰⎰

πd 2a cos +12

a ds y x 20L

22θθ

⎰πd 2cos 2a 42=

202

⎪⎭⎫

⎝

⎛θθ-θθ=⎰⎰πππ022d 2cos d 2cos 2a

=-⎛⎝ ⎫

⎭

⎪⎪=a a

2

2

20222sin sin

θπθππ

(2)

⎰Γ

zds ,其中Γ为曲线t cos t x =，t sin t x =，t z =，0t

t 0≤≤

解：

ΘΓ:cos sin ()

x t t

y t t

z t t t ===⎧⎨⎪

⎩⎪≤≤0

0 ∴++=+x y z t t t t '''2

2

2

2

2

Θzds t t dt t Γ⎰⎰=+22

00

)t 2(d t 2212

t 020++=⎰

322)t 2(0t )t 2(32212

/3200

2/32-+=

+⨯=

(3)

⎰+-L

xdy dx )y a 2(,其中L 为摆线)t sin t (a x -=，)t cos 1(a y -=上对应t 从0到

π2的一段弧。

解:

{[]⎰

⎰

π

-⋅--=+-20

L

)t sin t (a )t cos 1(a a 2x dy dx )y a 2(

}dt )t cos 1(a )t sin t (a -⋅-+

2

20202

20

220

222a 2tdt cos )t cos (t a tdt

sin t a

dt )t sin t sin t t cos 1(a π-=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+-==-+-=⎰⎰

⎰π

πππ

(4)⎰Γ-+-dz

x yzdy 2dx )z y (2

22，其中Γ是曲线32t z ,t y ,t x ===上由0t 1=到1

t 2=的一段弧。 解:[]

()()y z dx yzdy x dz t t t t t t dt

222465220

1

2223-+-=-+-⎰

⎰Γ

=-⎰()32640

1

t t dt

351t 52t 73

1

057=

⎥

⎦⎤⎢⎣⎡-=

（5⎰

-+-L

x x dy )2y cos e (dx )y 2y sin e (，其中L 为上半圆周2

22a y )a x (=+-，

0y ≥沿逆时针方向。 解: 补直线段y x a :(),

=≤≤002由格林公式,有

[]

⎰⎰⎰⎰⎰

=--=-+-+D

D

x x OA

L x x dxdy

2dxdy

)2y cos e (y cos e dy )2y cos e (dx )y 2y sin e (

=⋅2区域D 的面积

=πa 2

又

L OA

L

OA

+⎰

⎰

⎰

=+

2

L

x x a

20

OA

x

x

a dy )2y cos e (dx )y 2y sin e (0

dx 0dy )2y cos e (dx )y 2y sin e (π=-+-∴==

-+-⎰⎰

⎰

（6）⎰Γ

xyzdz ，其中Γ是用平面z y =截球面1z y x

222

=++所得的截痕，从z 轴的正向

看去，沿逆时针方向

解: Γ:y z x y z =++=⎧⎨⎩2

22

1， 用参数方程表示为:x t y z t t ===⎧⎨⎪⎩⎪→cos sin (:)1202π

tdt cos 21t sin 21t cos x yzdz 220⋅⋅=∴⎰⎰πΓ⎰⎰ππ-==20202dt 2t 4cos 1162dt )t 2(sin 162

π=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=π

162t 4sin 812t 16220 10.03 计算下列曲面积分：

（1）

ds z y x 1

222⎰⎰

∑

++，其中∑是界于平面0z =及H z =之间的原柱面2

22R y x =+

解：∑投影到yoz 平面上的投影为

y z

D

∑∑∑=+12 其中

H

z 0,R y R :

D y R R x x 1),H z 0(y R x :y R R x x 1),H z 0(y R x :y z 2

22z 2y 2

222

22

z 2y 2

21≤≤≤≤--=

++≤≤--=∑-=

++≤≤-=∑

ds z

y x 1

2222⎰⎰∑+++

=+⋅-=-⋅+=⋅⋅⎰⎰

⎰

⎰

--21221222222

220

R z R

R y dydz R dy R y dz R z R y R

R arctg z R

D R

R

H

R

R H

xy

(arcsin

)()

=⋅--⎡⎣⎢⎤⎦⎥⋅-=222102R R arctg H R arctg

H

R π

ππ()()

（2）⎰⎰∑

-+-+-dxdy )y x (dzdx )x z (dydz )z y (2

22，

x

(10.03 (2)图)