第十章曲线积分与曲面积分
曲线积分与曲面积分重点总结+例题
第十章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
2.掌握计算两类曲线积分的方法.3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数.4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法。
【教学重点】1。
两类曲线积分的计算方法；2。
格林公式及其应用；3。
第一类曲面积分的计算方法；【教学难点】1。
两类曲线积分的关系及第一类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算;3。
应用格林公式计算对坐标的曲线积分；6.两类曲线积分的计算方法；7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分;【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学(下)》，第五版.高等教育出版社。
[2］同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.［3］同济大学数学系。
《高等数学习题全解指南(下)》，第六版.高等教育出版社§11.1 对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点(x，y）处的线密度为μ(x，y)。
求曲线形构件的质量.把曲线分成n小段，∆s1，∆s2，⋅⋅⋅,∆s n(∆s i也表示弧长)；任取(ξi,ηi)∈∆s i,得第i小段质量的近似值μ（ξi,ηi）∆s i;整个物质曲线的质量近似为;令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n｝→0,则整个物质曲线的质量为.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到。
定义设函数f（x，y）定义在可求长度的曲线L上，并且有界。
，将L任意分成n个弧段：∆s1,∆s2，⋅⋅⋅,∆s n,并用∆s i表示第i段的弧长;在每一弧段∆s i上任取一点(ξi，ηi）,作和；令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n}，如果当λ→0时,这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作,即.其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段。
同济六版高数练习册答案第十章曲线积分与曲面积分
第十章曲线积分与曲面积分§ 1对弧长地曲线积分计算公式：无论是对弧长还是对坐标地曲线积分重要地是写出曲线地参数方程x =x t L ：y =y tx = x(t ) L:<y = y(t )"z(t )Lf x,y,z ds - 注意：上限一定要大于下限1.计算下列对弧长地曲线积分<1) \(x 2y 2)2ds ,其中 L 为圆周 x 2y 2=a 2； 解：法一：Q|jx2+y 2)2ds = |J L (a 2)2ds二玄仁 ds =a 4(2二a) =2二a 5法二：_L x =acosv L: 0 心：:2二,匸(x 2 y 2)2ds2二 2 2 2 2 2[a cos ： a si n ] -asi na cos d ：2二 5 . 5ad^ - 2「a<2) \e x yds ,其中L 为圆周x 2■ y 2=a 2,直线y=x 及x 轴在第一象限内所围成地扇形ba 兰t 兰b ,则(f (x, y ps= f a f(x (t ), y(tddbafxt ,y t ,zt解：忆e 拧%s = ( & +廟+ J BO 卅“ ds ,其中故口 e^iyds=e a(2+ — a) -2匕 4<3) L xds ,其中L 为抛物线y =2x 2-1上介于x =0与x=1之间地一段弧;「X =x解：由 L:20<x<1，得、y=2x -1l xds 二 ° x 1亠〔4x 2dx2 3_2(1+16x)2o_17用-1 -32-48<4) L y 2ds ,其中 L 为摆线地一拱 x =a(t - si nt), y =a(1 - cost)(0 — t — 2二)； 解: .L y 2ds = ：0〔a(1-cost)『」a 1-cost ]2a si nt^dt2TI 5=V2a 3「(1 —cost)2dtx = x x = a cos—— x = x 、2 OA: ,0_x_a ,AB:,0, BO: 0_x a y =0 y =as in 4 y = x 2f e x 旳 ds =『少尺 J 12 +02 dxoA-0aoa二ABey ds 二ABe ds二 e ABds4<或]e x 七ds■AB=[4 e ' 严"巧塔“巧 J (一 a sin 盯 + (acos日 j d 日JI4 e a ad ) 4a 二 BO-a-2-2匸2a 一2 2 -------- ■ 2 e x 2 x 2,12 12dx 0-1 a二5二 迈a 3 ： (2sin 2*)2dt =8a 3J6a 3siJI353= 32a 2sin 如-32a」0x 2+y 2+z 2=22 2]x = cosT解：由」 丫，得2X 2+Z2=2,令 < 厂 0兰日兰2兀y = xz = \ 2 sin 71x= cos 日sin 5 -dt <令—-v4 2 256 3a5 3 15<5) “L xyds ，其中L 为圆周x 2 y 2 =a 2 ； 解：利用对称性J |xyds = 4jJxyds ,其中 Lix = a cos 日 0<6y = a sinJI< 一2[xy ds = 4『xy ds = 4 fxyds迟,=4 02 (acos R(asin v) (-asin v)2 (acosv)2dv"a 3jcosrsin=2a 3sin =-2a 3<6)-x 2y 22ds ,其中-为曲线 z 2X =e t cost ,y =e t si nt ,z =e t 上相应于 t 从 0 变到 2 地------ 2 -- 1 ---- 2 ---- cost )]2 +[(£ sin t )]2 +e 2t dte tcost ]亠[d sin t ]亠[d =—fe^dt =^(1 —e‘) 2 02<7)广yds ,其中-为空间圆周:x 2 + y 2 + z 2 =2』=x弧段; 解：故丫: * y = cos日0兰日乞2兀.故z = J2s in。
高等数学第10章 曲线积分与曲面积分
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10.7.2 旋度的定义及其物理意义
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实际上，我们常常碰到的曲面是双侧曲面，但单侧 曲面也存在，最有名的单侧曲面是拓扑学中的莫比乌斯 带，如图10.28所示.它的产生是将长方形纸条ABCD 先 扭转一次，然后使B与D，及A与C粘合起来构成的一个 非闭的环带.若想象一只蚂蚁从环带上一侧的某一点出发， 蚂蚁可以不用跨越环带的边界而到达环带的另一侧，然 后再回到起点；或者用一种颜色涂这个环带，不用越过 边界，可以涂满环带的两侧.显然这是双侧曲面不可能出 现的现象
第10章 曲线积分与曲面积分
解决许多几何、物理以及其他实际问题时，不仅需 要用到重积分，而且还需要将积分区域推广到一段曲线 弧或一片曲面上，这样推广后的积分称为曲线积分和曲 面积分.本章还将介绍格林公式、高斯公式及斯托克斯公 式，这三个公式刻画了不同类型的积分之间的内在联系， 并且在微积分、场论及其他学科中有着广泛的应用。
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10.4 第一型曲面积分
通过讨论非均匀密度的空间曲面壳质量这一物理问 题，本节引入第一型曲面积分的概念并研究了相关性质。 10.4.1 实例 质量分布在可求面积的曲面壳上，曲面壳占有空间 曲面Σ，其密度函数为ρ（x，y，z），求曲面壳的质量.
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10.2.3 向量值函数在有向曲线上的积分的计算法 设向量值函数F（x，y，z）=P（x，y，z）i+Q（x， y，z）j+R（x，y，z）k在有向曲线Γ上有定义且连续， 有向曲线弧Γ为简单曲线，它的参数方程为
高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答
第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分：（1）LIxds ，其中L 是圆221xy中(0,1)A 到11(,)22B 之间的一段劣弧；解:1(1)2．（2）(1)Lx y ds，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解:(1)322Lxyds．（3）22Lxy ds，其中L 为圆周22x yx ；解:222Lxy ds．（4）2Lx yzds ，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C (1,2,3)D ；解:2853Lx yzds ．2 求八分之一球面2221(0,0,0)xyzx y z 的边界曲线的重心，设曲线的密度1。
解故所求重心坐标为444,,333．习题10—21 设L 为xOy 面内一直线y b （b 为常数），证明xyz(0,0,0)A (0,0,2)B (1,0,2)C (1,2,3)D xyoABC(,)0LQ x y dy 。
证明：略.2 计算下列对坐标的曲线积分：（1）Lxydx ，其中L 为抛物线2yx 上从点(1,1)A 到点(1,1)B 的一段弧。
解:45Lxydx 。
（2）Ldy y xdx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y11从对应于0x 时的点到2x 时的点的一段弧；解34)()(2222Ldyy xdxy x．（3）,Lydx xdy L 是从点(,0)A a 沿上半圆周222xya 到点(,0)B a 的一段弧；解0.Lydxxdy（4）22Lxy dyx ydx ，其中L 沿右半圆222xya 以点(0,)A a 为起点，经过点(,0)C a 到终点(0,)B a 的路径；解22Lxy dyx ydx44a 。
（5）3223Lx dx zy dy x ydz ，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ；解3223Lx dx zy dy x ydz3187874t dt。
高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)
第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分一 基本概念定义1 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d lim(,)nkkkL AB T k f x y s f sλξη→==∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()()01(,,)d lim(,,)nkkkk L AB T k f x y z s f s λξηζ→==∆∑⎰其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段曲线弧长的最大值，(,)k k ξη或(,,)k k k ξηζ是第k 段弧上的任意一点。
物理意义：第一类曲线积分表示物质曲线L 的质量，其中被积函数(,)f x y 或(,,)f x y z 表示曲线的线密度。
定义2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d (,)d lim[(,)(,)]nkkkk k k L AB T k P x y x Q x y y f xf y λξηξη→=+=∆+∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()(,,)d (,,)d (,,)d L AB P x y z x Q x y z y R x y z z ++⎰()01lim[(,,)(,,)(,,)]nkkkk k k k k k k k k T k f x f y f z λξηζξηζξηζ→==∆+∆+∆∑其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段的最大弧长，(,)k k ξη是第k 段弧上的任意一点。
物理意义：第二类曲线积分表示变力F 沿曲线L 所作的功，被积函数(,),(,)P x y Q x y 或(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 表示力F 在各坐标轴上的分量。
二 基本结论定理1 （第一类曲线积分的性质） （1）无向性()()(,)d (,)d L AB L BA f x y s f x y s =⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLk f x y s k f x y s =⎰⎰；(2)[(,)(,)]d (,)d (,)d LLLf x yg x y s f x y s g x y s ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性 曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰．（4）弧长公式d Ls L =⎰(L 表示曲线L 的弧长)．（5）恒等变换 积函数可用积分曲线方程作变换． （6）奇偶性与对称性 如果积分弧段()L AB 关于y 轴对称，()(,)d L AB f x y s ⎰存在，则()()0,(,)(,)d 2(,)d (,)L AB L OB f x y x f x y s f x y s f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰关于是奇函数,，关于是偶函数.其中O 点是曲线弧段()L AB 与y 轴的交点．定理2 （第二类曲线积分的性质） （1）有向性()()(,)d (,)d L AB L BA P x y x P x y x =-⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLkf x y x k f x y x =⎰⎰；(2) [(,)(,)]d (,)d (,)d L L Lf x yg x y x f x y x g x y x ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性 曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y x f x y x f x y x =+⎰⎰⎰．定理3 （第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系）()()d d d d d d d d d d L AB L AB xy z P x Q y R z P Q R s ss s ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰()(cos cos cos )d L AB P Q R s αβγ=++⎰()d L AB =⋅⎰F s其中cos ,cos ,cos αβγ是曲线AB 上的点的切线的方向余弦，且d cos d ,d cos d ,d cos d x s y s z s αβγ===一般地，积分曲线的方向余弦是变量。
第十章 曲线积分与曲面积分
第十章曲线积分与曲面积分10.1 对弧长的曲线积分一、求曲线cos,sin,t t tx e t y e t z e===从0t=到任意点间的那段弧的质量，设它各点的密度与该点到原点的距离的平方成反比，且在点(1,0,1)处的密度为1。
1)te-）二、计算下列曲线积分：1. L⎰，其中L为旋轮线：(sin)(1cos)x a t ty a t=-⎧⎨=-⎩（0tπ≤≤2）。
（324aπ）2.()Lx y ds+⎰，其中L是顶点为(0,0),(1,0),(0,1)O A B的三角形边界。
（13. L⎰，其中L是由极坐标曲线,0,r aπθθ===4所围成的区域的边界曲线。
（2(1)a ae aeπ-+4）4.()Lx y z ds++⎰，其中L由直线AB：(1,1,0),(1,0,0)A B及螺线cos,sin,(02)x t y t z t tπ===≤≤组成。
（322+）三、计算L⎰，其中L是由,0y x y y===所围成的第一象限部分的边界。
（2sin cosR R Rπ+4）四、计算L，其中L是圆：2222x y z ax y⎧++=⎨=⎩。
（2aπ2）五、 计算Lxds⎰Ñ，其中L 由直线0,x y x ==及曲线22y x -=所围成的第一象限部分的整个边界。
（+） 10.2 对坐标的曲线积分一、设一质点处于弹性力场中，弹力方向指向原点，弹力大小与质点到原点的距离成正比，比例系数为k 。
若质点从点(0,)a 沿椭圆22221x y a b +=在第一象限部分移动到点(0,)b ，求弹力所做的功。
（221()2k a b -）二、计算曲线积分22(2)(2)Lx xy dx y xy dy ++-⎰，其中L 是抛物线2(11)y x x =-≤≤沿x增加的方向。
（1415-） 三、 计算2y Lxe dy+⎰，其中L是曲线y =从点(0,0)O 到点(1,1)的一段弧。
（2322）四、 计算2222()()Lx y dx x y dy ++-⎰，其中L 是曲线11y x =--从点(0,0)到点(2,0)的一段。
第10章-曲线积分与曲面积分 高等数学教学课件
f (x, y) d s
f (x, y) d s.
L( A,B)
L( B, A)
性质2 设, 为常数，则
L[ f (x, y) g(x, y)]d s L f (x, y)d s L g(x, y)d s.
性质3 若积分路径L可分成两段光滑曲线弧L1,L2, 则
f (x, y) d s f (x, y) d s f (x, y) d s.
把 L分成n个有向小弧段
¼ A0 A1, ¼ A1A2,L , ¼ Ai1Ai ,L , ¼ An1An, (A0(x0, y0) A, An (xn, yn) B).
令xi xi xi1, yi yi yi1，在¼ Ai1Ai上任取点Mi (i ,i )， i 1, 2,L , n，若当小弧段的长度的最大值 0时，和
若L是闭曲线,即L的两个端点重合,那么f (x, y)
在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为
ÑL f (x, y) d s.
函数f (x, y, z)在曲线弧上对弧长的曲线积分为
n
f (x, y, z) d s lim 0
i 1
f (xi , yi , zi )si.
性质1 对弧长的曲线积分与曲线L的方向无关，即
方程为x =a cos t, y =a sin t, z = kt, 0 t 2p, k>0.
解 Q x' t asint, y' t a cost, z' t k,
[x '(t)]2 [( y '(t)]2 [z '(t)]2 a2 k2 ,
(x2 y2 z2 ds 2p (a2 k 2t2 ) a2 k 2 dt
d r d xi d yj d zk，即有
曲线积分与曲面积分
哈 尔 滨限存在 ,
i =1 i i i
n
则称此极限为函
数 P ( x , y )在有向曲线弧 L上对坐标 x的曲线 或称第二类曲线积分） , 积分 (或称第二类曲线积分） 记作
∫
L
P ( x , y )dx = lim ∑ P (ξ i ,η i )∆x i .
变力 F = P ( x , y )i + Q ( x , y ) j 沿AB所作的功 W 所作的功
⌒
W =
∫⌒
AB
AB
F ⋅dr
d r = (d x ,d y )
= ∫ ( Pi + Q j ) ⋅ (dxi + dy j )
= ∫ ⌒ Pdx + Qdy
AB
理学院工科数学教学中心－ －理学院工科数学教学中心－
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哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分
x = ϕ (t ) ( 3 ) 推广 Γ : y = ψ ( t ), t起点 α , 终点 β . z = ω (t )
∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
= ∫ {P[ϕ(t ),ψ (t ),ω(t )]ϕ′(t )
y
1B A
解 (1)
x y 2 dx + ( x + y )dy ∫L
1
= ∫0 x ( x 2 ) 2 dx + ( x + x 2 )2 xdx 4 1 5 2 3 = ∫0 ( x + 2 x + 2 x ) dx = . 1 O 3 x y 2 dx + ( x + y )dy (2) ∫L = ∫OB xy 2 dx + ( x + y )dy + ∫BA xy 2 dx + ( x + y )dy
第十章曲线积分与曲面积分习题课
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系
b
a f ( x ) d F x ( b ) F ( a )( F ( x ) f ( x ))
牛顿--莱布尼茨公式
2.二重积分与曲线积分的联系
D( Q x P y)dx d L Py dQ xd (沿 y L 的)正向
格林公式
2020/6/3
3.三重积分与曲面积分的联系
思路:
ILPdxQdy
(x,y)
非闭
I PdxQdy (x0,y0)
P
Q
P
定 义
n
n
f(x,y,z)d sl i0 im 1f(i,i,i) si R (x ,y,z)dx l d i0i m 1 y R (i,i,i)( S i)xy
联 系
PdydQzdzdRxdxd (yP c oQ sco s R co)dsS
计
f(x, y,z)ds
R(x,y,z)dxdy
算
a y 1 (x ) z 1 (x ,y )
f(x ,y )d s bf[x ,y (x )1 ] y 2 d,(d x 线 s ( 曲 元 ))
L
a
f(x ,y )d x bf[x ,y (x )d ],(d x 线 x (投 元 ))影 素
L
a
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f(x ,y ,z)d S f[x ,y ,z(x ,y )]1 zx 2 zy2 dxd
旋度 rA o ( tR Q )i ( P R ) j ( Q P )k y z z x x y
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二、典型例题
例 1 计 算 I (x22x)ydx (x2y4)d, y L
其 中 L为 由 点 O(0,0)到 点 A(1,1)的 曲 线 ysi nx. 2
高等数学 第十章 曲线积分与曲面积分 第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度
∑
∑
P Q R + + Gauss 公式 : ∫∫∫ ( )dV x y z = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy ;
二,Stokes公式的简单的应用
例 1 计算曲线积分 ∫ zdx + xdy + ydz ,
Γ
其中 Γ 是平面 x + y + z = 1 被三坐标面所截成的 三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则.
§7. 斯托克斯(stokes)公式 一,斯托克斯公式
定理 设 Γ 为分段光滑的空间有向闭曲线,∑ 是以
Γ 为边界的分片光滑的有向曲面, Γ 的正向与 ∑
的侧符合右手规则, 函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) ,
R( x , y , z ) 在包含曲面∑ 在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数, 则有公式
Q P P R R Q ∫∫ ( y z )dydz + ( z x )dzdx + ( x y )dxdy ∑
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
斯托克斯公式
n
∑
右手规则
Γ 是有向曲面 ∑ 的
边界曲线
z
n
Γ
如图 设∑与平行于 z 轴的直线
相交不多于一点, 并∑取 上侧,有向曲线 C 为∑的正 向边界曲线 Γ 在 xoy 的 投 影.且所围区域 D xy .
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
..
故有结论成立.
Q P P R R Q ∫∫ ( y z )dydz + ( z x )dzdx + ( x y )dxdy ∑
高数 第十章 曲线积分与曲面积分
计算
定积分
计算
Stokes公式 计算 曲面积分 Gauss公式
重积分
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积分概念的联系
定积分
f ( M )d lim f ( M ) i , f ( M )点函数
0
i 1
n
当 R1上区间 a, b]时, f ( M )d f ( x )dx. [
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基本问题： 如何熟练掌握各种积分的计算
首先判断准确要求的是哪一类积分 重要的是牢牢记住各种积分的计算方法
1、I
L
f ( x , y )ds 代入曲线的方程以及ds，从而化为定积分解之
2、I Pdx Qdy 代入曲线的方程，化为定积分解之 L
P Q 闭合 y x 非闭
( y 2 z 2 ) dS; I z
( x 2 y 2 ) dS
曲面质心： 曲面形心：
x
x
dS ; y
S
;y
ydS ydS
dS ; z
S
;z
dS S
dS zzdS
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（二）各种积分之间的联系
积分是
P cos Q cos R cos ds
，其中， ，为有向曲面上点
x, y, z 处的
法方向 的方向角。
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2.选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论：
(1)设曲面是上半球面 : x 2 y 2 z 2 R 2 , z 0, 曲面 1 是 曲面在第一卦限中的部分 , 则有 C .
条 件 等
高等数学第十章《曲线积分与曲面积分》
第十章 曲线积分与曲面积分一．曲线积分的计算 （1）基本计算1.第一类：对弧长线积分的计算(,)Lf x y ds ⎰关键是用曲线L:(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩()t αβ≤≤做变量替换（被积函数，积分变元，积分范围）(,)[(),(,()Lf x y ds f t t βαϕψαβ=<⎰⎰例 L 为圆周221,x y +=则22xy Le ds +=⎰2e π 参数方程，曲线代入解 cos :(02)sin x L y θθπθ=⎧≤≤⎨=⎩ds d θθ==22x y Leds +=⎰202ed e πθπ=⎰例 计算2⎰L x ds ，其中2222:(0)0⎧++=>⎨-=⎩x y z a L a x y . (8分)解 由于 22222222::00⎧⎧++=+=⇒⎨⎨-=-=⎩⎩x y z a x z a L L x y x y 所以L 的参数方程可表示为:(02)sin θθπθ⎧=⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪=⎪⎩x L y t z a (3分)θθ==ds ad (2分) 故23222cos 22ππθθ==⎰⎰La a x ds ad(3分) 【例10.22】求⎰,式中L 为圆周22(0)x y ax a +=>解 L 的极坐标方程为:,(),cos 22L ds ad r a θθππθθθθ=⎧-≤≤==⎨=⎩则222cos 2a ad a ππθθ-=⋅=⎰⎰第二类：对坐标的线积分的计算 关键是用曲线L:(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩(:)t αβ→做变量替换（被积函数，积分变元，积分范围）''(,)(,){[(),()]()[(),()]()}LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ+=+⎰⎰例 设L 为抛物线2y x =从点()0,0到()2,4一段弧，则()22Lx y dx -=⎰5615-注意微元，及参数方程的形式【例10.17】 求2L ydx xdy x +⎰，其中L 是曲线ln y x =上从点(1,0)到点(,1)e 的一段弧. 解 由ln y x =得1,ydx dy x e x==，故原式=1121002()|y y ydy e dy y e e +=+=⎰⎰⑵ 基本技巧① 利用对称性简化计算；对弧长的线积分，对称性同二重积分 例 计算3222(),Lx y ds L x y R 其中：++=⎰解：33()LLLx y ds xds y ds =+=0+⎰⎰⎰ 第一个L 关于y 对称，第二个L 关于x 对称【例10.15】 求yL xe ds ⎰，其中L 是由cos (0)sin x a ta y a t =⎧>⎨=⎩所表示的曲线上相应于233t ππ≤≤的一段弧.解 （法一）ds adt ==,故 原式=22sin sin 3333cos |0a ta ta t e adt aeππππ⋅⋅==⎰.（法二）容易看出积分弧段关于y 轴对称，而被积函数是关于变量x 的奇函数，故0y Lxe ds =⎰【例10.18】 求2()Lx y ds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=.解 由对称性得0Lxyds =⎰，故22222()(2)()2LLLLx y ds x xy y ds x y ds xyds +=++=++⎰⎰⎰⎰2223022LLa ds a ds a a a ππ=+==⋅=⎰⎰对坐标的线积分，对称性为，当平面曲线L 是分段光滑的，关于x 对称，L 在上半平面与下半平面部分的走向相反时，若P 对y 为偶函数，则，0LPdx =⎰奇函数，则12LL Pdx Pdx =⎰⎰。
《高等数学》第十章曲线积分与曲面积分 第五节
G
B( x , y )
C ( x , y0 )
o
u( x , y ) x P ( x , y0 )dx y Q( x , y )dy
0 0
x
x
y
AC CB
或 u( x , y ) y Q( x0 , y )dy x P ( x , y )dx
一重积分中,牛顿—莱布尼茨公式
f(x)积分区间[a , b]
y
y f x
b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
二重积分中, 格林公式
o a
y
b x
D
f(x, y)积分区域D
x y dxdy L Pdx Qdy . D P Q
o
三重积分中, 高斯公式和斯托克斯公式
2
设 P ( x , y ) x 2 2 xy , Q( x , y ) x 2 y 4 .
则 P，Q 在全平面上有连续的 一阶偏导数，且
1
y
B
1
P 2 x , y
Q 2 x. x
o
x
Q P 即 . 全平面是单连通域。 y x
因此，积分与路径无关。
10
P 2 x , y
( x, y)
D
0 , y0 )
P ( x , y )dx Q( x , y )dy
0
x
当起点A( x , y )固定时，
0
O
积分的值取决于终点 B( x , y ), 因此，它是 x , y的函数，
定义 u( x , y )
( x, y)
( x0 , y0 )
线面积分
第十章 曲线积分与曲面积分1-1 第一型曲线积分基础题1．光滑曲线(),()()x t t y t =ϕ⎧α≤≤β⎨=ψ⎩的弧微分d s = 。
由此，圆周cos ,(02)sin x R y R =θ⎧≤θ<π⎨=θ⎩的弧微分d s = 。
2．算下列对弧长的曲线积分：（1)⎰+Lds y x )(，其中L 为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段；（2)⎰+L y x ds e22，其中L 为圆周222x y R +=，直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；3)⎰Γ++ 2221ds zy x ，其中Γ为曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos 上相应于t 从0变到2的这段弧；4)⎰+Lds y x )(22，其中L 为曲线)cos (sin ),sin (cos t t t a y t t t a x -=+= )20(π≤≤t 。
提高题1．计算2L x ds ⎰，其中L 为球面2222x y z a ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周。
1-2 第二型曲线积分基础题1．力(,)((,),(,))F x y P x y Q x y =沿光滑曲线弧L 所做功的微元d W = ，其中(,),(,)P x y Q x y 在L 上连续。
2．计算第二型曲线积分 1)⎰L xydx ，其中Ｌ为圆周222()(0)x R y R R -+=>及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）。
2）⎰Γ-+++dz y x ydy xdx )1(，其中Γ是从点)1,1,1(到点)4,3,2(的一段直线。
(3) 22L xdx ydy x y -++⎰，其中L 是圆周222x y a +=以逆时针方向。
提高题1． 计算⎰-++L dyx y dx y x )()(，其中L 是： （1）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线； （2）曲线1 1222+=++=t y t t x ， 上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧。
高数课件第十章 曲线积分与曲面积分
Σ: x−y+z = 在第四卦限部分的上侧 1 在第四卦限部分的上侧.
解： (c sα,c sβ,c sγ) = 1 ( ,− ,1 o o o 1 1) 3 1 I =∫∫ [f (x y z)+x−2f (x y z)−y+f (x y z)+z]dS , , , , , , ∑ 3 1 =∫∫ [x−y+z]dS ∑ 3 1 1 3 1 =∫∫ dS= . = ∑ 3 3 2 2
+∫ ( x y−3 y2 +y2) d 32 x y u(x y =∫ 5x d , ) x 0
4 0
x
y
32 2 3 1 3 =x + x y −xy + y 3 2 因此方程的通解为 5 3 2 2 3 1 3 x + x y −xy + y =C 2 3
5
y
(x y , )
o (x0 x ,)
2π R 2 2 2
π
+ ∫ dθ ∫π dϕ ∫
2 0 3
2π
π
2 R cos ϕ
0
r cos ϕ ⋅ r sin ϕ dr
2 2 2
第十章 曲线积分与曲面积分
1. 第一类曲线积分 物质曲线质量） （物质曲线质量） 2. 第二类曲线积分 变力作功） （变力作功） 3. 第一类曲面积分 曲面薄板质量） （曲面薄板质量） 4. 第二类曲面积分 通量） （通量）
曲线积分
曲面积分
1. 第一类曲线积分的计算
(1)利用参数方程化为定积分 利用参数方程化为定积分 • 对光滑曲线弧
f (x y d =∫ f[ ( )ψ( ) φ 2( )+ ′2( )dt ∫ , ) s α φt , t ] ′ t ψ t L
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第十章 曲线积分与曲面积分10.01 填 空(1) 第二类曲线积分⎰ΓRdz+Qdy +Pdx 化成第一类曲线积分是⎰Γγ+β+α)dsRcos Qcos (Pcos ，其中α﹑β﹑γ为Γ上点(x,y,z)处切 向量的方向角。
(2) 第二类曲面积分⎰⎰∑Rdxdy+Qdzdx +Pdydz 化成第一类曲面积分是⎰⎰∑γ+β+α)dsRcos Qcos (Pcos ，其中α﹑β﹑γ为∑上点(x,y,z)处的法 向量的方向角10.02 计算下列曲线积分： (1) dsy x L22⎰+,其中L 为圆周ax y x 22=+ 解：ΘL:x y ax22+=表示为参数方程:x =a 2a 2cos y =a 2sin +⎧⎨⎪⎩⎪≤≤θθθπ()02有 θ'θ-='θθcos 2a =y ,sin 2a xx y a 4a 2''2θθ22+== )cos 1(2a =ax y x 222θ+=+θ⋅θ=+∴⎰⎰πd 2a cos +12a ds y x 20L22θθ⎰πd 2cos 2a 42=202⎪⎭⎫⎝⎛θθ-θθ=⎰⎰πππ022d 2cos d 2cos 2a=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪=a a2220222sin sinθπθππ(2)⎰Γzds ,其中Γ为曲线t cos t x =，t sin t x =，t z =，0tt 0≤≤解：ΘΓ:cos sin ()x t ty t tz t t t ===⎧⎨⎪⎩⎪≤≤00 ∴++=+x y z t t t t '''22222Θzds t t dt t Γ⎰⎰=+2200)t 2(d t 2212t 020++=⎰322)t 2(0t )t 2(32212/32002/32-+=+⨯=(3)⎰+-Lxdy dx )y a 2(,其中L 为摆线)t sin t (a x -=，)t cos 1(a y -=上对应t 从0到π2的一段弧。
解:{[]⎰⎰π-⋅--=+-20L)t sin t (a )t cos 1(a a 2x dy dx )y a 2(}dt )t cos 1(a )t sin t (a -⋅-+22020220220222a 2tdt cos )t cos (t a tdtsin t adt )t sin t sin t t cos 1(a π-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-==-+-=⎰⎰⎰ππππ(4)⎰Γ-+-dzx yzdy 2dx )z y (222，其中Γ是曲线32t z ,t y ,t x ===上由0t 1=到1t 2=的一段弧。
解:[]()()y z dx yzdy x dz t t t t t t dt22246522012223-+-=-+-⎰⎰Γ=-⎰()326401t t dt351t 52t 731057=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=（5⎰-+-Lx x dy )2y cos e (dx )y 2y sin e (，其中L 为上半圆周222a y )a x (=+-，0y ≥沿逆时针方向。
解: 补直线段y x a :(),=≤≤002由格林公式,有[]⎰⎰⎰⎰⎰=--=-+-+DDx x OAL x x dxdy2dxdy)2y cos e (y cos e dy )2y cos e (dx )y 2y sin e (=⋅2区域D 的面积=πa 2又L OALOA+⎰⎰⎰=+2Lx x a20OAxxa dy )2y cos e (dx )y 2y sin e (0dx 0dy )2y cos e (dx )y 2y sin e (π=-+-∴==-+-⎰⎰⎰（6）⎰Γxyzdz ，其中Γ是用平面z y =截球面1z y x222=++所得的截痕，从z 轴的正向看去，沿逆时针方向解: Γ:y z x y z =++=⎧⎨⎩2221， 用参数方程表示为:x t y z t t ===⎧⎨⎪⎩⎪→cos sin (:)1202πtdt cos 21t sin 21t cos x yzdz 220⋅⋅=∴⎰⎰πΓ⎰⎰ππ-==20202dt 2t 4cos 1162dt )t 2(sin 162π=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=π162t 4sin 812t 16220 10.03 计算下列曲面积分：（1）ds z y x 1222⎰⎰∑++，其中∑是界于平面0z =及H z =之间的原柱面222R y x =+解：∑投影到yoz 平面上的投影为y zD∑∑∑=+12 其中Hz 0,R y R :D y R R x x 1),H z 0(y R x :y R R x x 1),H z 0(y R x :y z 222z 2y 222222z 2y 221≤≤≤≤--=++≤≤--=∑-=++≤≤-=∑ds zy x 12222⎰⎰∑+++=+⋅-=-⋅+=⋅⋅⎰⎰⎰⎰--21221222222220R z RR y dydz R dy R y dz R z R y RR arctg z RD RRHRR Hxy(arcsin)()=⋅--⎡⎣⎢⎤⎦⎥⋅-=222102R R arctg H R arctgHR πππ()()（2）⎰⎰∑-+-+-dxdy )y x (dzdx )x z (dydz )z y (222，x(10.03 (2)图)其中∑为锥面22y x z +=,()h z 0≤≤的外侧。
解：补平面h z :1=∑上侧（如上页下图），与∑构成一封闭曲面：1∑+∑的外侧由高斯公式得:0d 0dxdy )y x (dzdx )x z (dydz )z y (1222=ν=-+-+-⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑又⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+=11故⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑+∑∑-=11⎰⎰∑-+-+-∴dxdy)y x (dzdx )x z (dydz )z y (222⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππππ∑θθ+θθ+-=θθ-θ-=θ-θθ-=--=-+-+--=20320420324h2220D 2222d sin 3h d 22cos 14h d )sin 3h cos 4h (rdr)sin r cos r (d dxdy )y x (dxdy )y x (dzdx )x z (dydz )z y (xy14h cos 3h 2sin 4124h 4203204π-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡θ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡θ+θ-=ππ（3）⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑为半球面222y x R z --=的上侧解: 补平面h z :1=∑下侧,与∑构成一封闭曲面：1∑+∑的外侧；由高斯公式得:⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑ν++=++d )111(zdxdy ydzdx xdydz 1=⋅3区域Ω的体积=⨯⨯=31243233ππR R又xdydz ydzdx zdxdy ++=⎰⎰∑1，∑∑∑∑+⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+11∴++=-=⎰⎰xdydz ydzdx zdxdy R R ∑20233ππ（4）()⎰⎰∑++++3222z y xzdxdyydzdx xdydz ，其中∑为曲面()9)1y (162x 5z 122-+-=-)0z (≥的上侧。
解: 补平面0z :1=∑下侧, 与曲面∑构成一封闭曲面：1∑+∑的外侧；而222y x R z --=∂∂∂∂∂∂x x x y z y z x x y z y y x y z x z y x y z z z x y z x y zx y z ()()()()()()222322222252222322222252222322222252222++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪=+-++++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪=+-++++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪=+-++⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪∴由高斯公式得：⎰⎰∑+∑++++13222)z y x (zdxdyydzdx xdydz()()0d 0d )z y x ()z 2y x (y 2z x x 2z y25222222222222=ν=ν++-++-++-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ又⎰⎰⎰⎰++-=++++∑xy1D 32223222dxdy )0y x (0)z y x (zdxdy ydzdx xdydz 0dx dy 0xy D =-=⎰⎰（其中()()191y 162x :D 22xy ≤-+-）00)z y x (zdxdyydzdx xdydz 113222=-=-=++++∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑+∑∑（5）⎰⎰∑xyzdxdy，其中∑为曲面1z y x 222=++ ()0y ,0x ≥≥的外侧 解：方法1:xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+上下⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰π-θθθ=--=------=201023D 22D 22D 22drr 1cos sin r d 2dxdy y x 1xy 2dxdy)y x 1(xy dxdy y x 1xyxy xyxy1521520sin dr r 1r d cos sin 22220123=⋅θ=-⋅θθθ=ππ⎰⎰其中：⎰⎰π-=-023123dt)t sin (t sin t cos tcos r drr 1r令1520t sin 51t sin 31t sin td sin )t sin 1(2530222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=ππ⎰ 方法2：补)1z y (,0x :),1z x (,0y :224223≤+=∑≤+=∑ 由高斯公式得:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑+∑∑∑∑ν==++xyd xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy 4343152513421dr r d sin d cos sin drsin r cos sin sin r d d 1403201222020=⋅⋅=⋅ϕϕ⋅θθθ=ϕ⋅θθϕϕθ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππππ而 xyzdxdy xyzdxdy ∑∑34⎰⎰⎰⎰==∴=--=⎰⎰xyzdxdy ∑2150021510.04证明：22y x ydyx dx ++在整个xOy 平面的除去y 的负半轴及原点的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数证明：ΘP x x y Q yx y =+=+2222, (∴=-+=+∂∂∂∂P y xy x y Q x x 22222(),∴++xdx ydy x y 22在整个xoy 平面除去及原点的开区域G u x y xdx ydyx yx y (,)(,)(,)=++⎰2201⎰+++=BC 22AB 22y x y x x dx)y x ln(21y ln 21)y x ln(21y ln y x x dx dy y 122222x 022y1+=-++=++=⎰⎰10.05设在半平面0x >内有力()jy i x r k F 3ρρρ+-=构成力场，其中k 为常数，22y x r +=；证明在此力场中场力所作的功与所取路径无关。