二项式定理复习课复习进程
最新二次项定理(一)复习进程
（4）二项式系数和
，
即奇数项二项式系数之和等于偶数项二次项系数之和，且 为
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别的，解题中不能随便交换a,b的位置
2，二次项系数的性质
➢ （1）对称性：与首末 两端“等距离”的两个二项式系数相
等，即。
。
（2）增减性：因为
,所以
当
时，二次项系数逐渐增大；
当
时，二次项系数逐渐减小；
（3）最大值：根据对称性和增减性，容易 知道，当n为偶数时，展开式有奇数项，这 时正中间一项的二次项系数最大；当n为奇 数时，展开式有偶数项，这里正中间有两项 二项式系数相等且同时达到最大。
（n N*）
要弄清楚以下几点：
（1）展开式的通项是指第r+1项,即 是第r项。
，而不
(2)展开式共有n+1项, 每一项的指数和都是
n,a的指数从n减到0，而b的指数则从0升到n。
（3） a b n 与
的展开式的第r+1项是
有区别的，两者不能混淆，就整体而言是相
等的，就局部而言，即具体指某一项时有差
一，二次项定理考察热点：
1，求二次项展开式的特定项或特定项的系数；
2，利用二次式系数的性质求二次式系Байду номын сангаас的最大项，或展开式中系数最大的项； 3，求二次项展开式中的系数和或部分项系数和。
二，重点知识
1，关于二项式定理
a b n C n 0 a n C n 1 a n 1 b C n 2 a n 2 b 2 C n r a n r b r C n n b n
高考数学总复习 二项式定理教案
河北省二十冶综合学校高中分校高考数学总复习 二项式定理教案教学目标：掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，能解决二项展开式有关的简单问题教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用教学过程：一、复习引入：⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++；⑵33223031222333333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++ ⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++= 。
二、讲解新课：⑴()na b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项： n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ，⑵展开式各项的系数：每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0n C ；恰有1个取b 的情况有1n C 种，n a b 的系数是1n C ，……，恰有r 个取b 的情况有r n C 种，n r r ab -的系数是r n C ，……， 有n 都取b 的情况有n n C 种，nb 的系数是n n C ，∴二项式定理： 。
这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()n a b +的 ，⑶它有 项，各项的系数(0,1,)r n C r n =叫 ，⑷ 叫二项展开式的通项，用 表示，即通项 ．⑸二项式定理中，设1,a b x ==，则 。
三、讲解范例：例1．展开41(1)x +． 例2．求12()x a +的展开式中的倒数第4项例3．（1）求9(3x+的展开式常数项；展示一，展开6展示二．课本37页4题（1）（2）展示三，课本37页4题（3）（4）展示四．（1）求7(12)x +的展开式的第4项的系数； （2）求91()x x -的展开式中3x 的系数及二项式系数 展示五，课本37页5题（1）展示六，课本37页5题（2）。
二项式定理复习教案
二项式定理复习教案三维目标一、知识与技能1．二项式定理：(a+b)n =0n C a n +1n C a n-1b+…+k n C a n-k b k +…+nn C b n (n ∈N*) 2．通项公式：1+k T ＝k n C an-k b k(k ＝0，1，2,…，n) 二、过程与方法 1．理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式．2．能运用展开式中的通项公式求展开式中的特定项．三、情感、态度、价值观1．提高学生的归纳推理能力．2．进一步树立由特殊到一般的归纳意识．教学重点、难点重点：1．二项式定理及结构特征，2．展开式的通项公式难点：通项公式的灵活应用。
教学过程例1 .(1)求7)21(x +的展开式的倒数第4项，第4项二项式的系数及第四项系数；(2)7)1(x x -的展开式中x 3的系数． 此类问题一般由通项公式入手分析，要注意项的系数和二项式系数的概念区别．例2.若n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为( ) A.-540 B.-162 C.162 D.540考查展开式各项系数与二项式系数的不同以及通项公式的应用.例3.设8878710(2)x a x a x a x a -=++++，则8710a a a a ++++= ，86420a a a a a ++++=考查赋值法的应用练习1. 41()n x 的展开式中,第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44,则展开式中不含x 的项是（ ）A 第3项B 。
第4项C 。
第7项 D.第8项2.若5(12)x -的展开式中，第2项小于第1 项且不小于第3项，则x 的取值范围是（ ）A ．110x <-B 。
1010x -<≤C 。
11410x -≤<-D 。
104x -≤≤ 3.在56(1)(1)x x +-+展开式中，含3x 的项的系数是（ ）A ．-5 B.5 C.-10 D.104.在10()x a -的展开式中，7x 的系数是15.则实数a 的值为 。
二项式定理复习小结公开课教案教学设计课件资料
二项式定理复习小结公开课教案教学设计课件资料一、教学目标1. 回顾和巩固二项式定理的概念、公式及应用。
2. 提高学生对二项式定理的理解和运用能力。
3. 培养学生的逻辑思维和团队合作能力。
二、教学内容1. 二项式定理的定义及公式。
2. 二项式定理的展开式。
3. 二项式定理的应用。
4. 复习重点知识点和常见题型。
5. 课堂练习和讨论。
三、教学方法1. 采用多媒体课件辅助教学，直观展示二项式定理的推导和应用。
2. 采用案例分析法，引导学生通过具体例子理解和掌握二项式定理。
3. 采用小组讨论法，鼓励学生相互交流、合作解决问题。
4. 采用问答法，教师提问，学生回答，及时检查学生的学习效果。
四、教学步骤1. 导入新课：通过复习导入，回顾二项式定理的概念和公式。
2. 讲解与演示：讲解二项式定理的推导过程，并通过多媒体课件展示。
3. 案例分析：分析典型例题，引导学生运用二项式定理解决问题。
4. 小组讨论：学生分组讨论，分享解题心得和经验。
5. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
6. 总结与反思：教师引导学生总结二项式定理的重点知识点和常见题型。
五、教学评价1. 课堂练习：评价学生在课堂练习中的表现，检查掌握程度。
2. 小组讨论：评价学生在团队合作中的表现，培养团队合作能力。
3. 问答环节：评价学生的回答准确性，提高学生的逻辑思维能力。
4. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。
六、教学资源1. 多媒体课件：包含二项式定理的定义、公式、展开式及应用案例。
2. 练习题：涵盖不同难度的题目，用于巩固知识和检查掌握程度。
3. 小组讨论材料：提供相关案例和问题，促进学生交流和合作。
4. 教学指导书：提供详细的教学步骤和指导，帮助教师顺利进行教学。
七、教学安排1. 课时：预计2课时（90分钟）。
2. 教学顺序：先回顾二项式定理的基本概念和公式，通过案例分析和小组讨论，让学生运用二项式定理解决问题。
高三数学第一轮复习 第69课时 二项式定理(2)教案
一．复习目标：1．能利用二项式系数的性质求多项式系数的和与求一些组合数的和． 2．能熟练地逆向运用二项式定理求和．3．能利用二项式定理求近似值，证明整除问题，证明不等式． 二．课前预习：1．1003)32(+的展开式中无理项的个数是 （ A ） ()A 84 ()B 85 ()C 86 ()D 87 2.设1510105)(2345++-+-=x x x x x x f ，则)(1x f-等于 （ C ）()A 51x + ()B 521--x ()C 521-+x ()D 51x -3．如果21872221221=++++n n n n n C C C ，则=++++nn n n n C C C C 210128． 4.nnn n n C n C C 11)1(3121121+-+-+- =11+n ． 5.9)23(z y x +-展开式中含432z y x 的项为43290720z y x -． 6．若1001002210100)1()1()1()21(-++-+-+=+x a x a x a a x ，则=++++99531a a a a 215100-.四．例题分析：例1．已知}{n a 是等比数列，公比为q ，设nn n n n n C a C a C a a S 123121+++++= （其中+∈>N n n ,2），且nn n n n n C C C C S ++++= 2101，如果1limnnn S S ∞→存在，求公比q 的取值范围．解：由题意11-⋅=n n q a a ，nn S 21=，)0()1()1(122111221111≠+=++++=++++=q q a C q C q qC a C q a C q a qC a a S nn nnnnnnn n n n∴nn n n n q a q a S S )21(2)1(111+=+=．如果1lim n n n S S ∞→存在，则1|21|<+q 或121=+q ， ∴212<+<-q 或1=q ，故13≤<-q 且0≠q ．例2．(1)求多项式673410234)157()53()323(--⋅-⋅---x x x x x x 展开式各项系数和．(2)多项式1000231000)22(+--⋅-x x x x展开式中x 的偶次幂各项系数和与x 奇次幂各项系数和各是多少？解：（1）设)()157()53()323()(2210673410234N n xa x a x a a x x x x x x x f nn ∈++++=--⋅-⋅---= ，其各项系数和为n a a a a ++++ 210．又∵102674102210316)157()53()3213()1(⋅=--⋅-⋅---=++++=n a a a a f ，∴各项系数和为102316⋅．（2）设30013001101000231000)22()(x a x a a x x x xx f +++=+--⋅-= ， ∴0)1(3001210=++++=a a a a f ，2)1(3001210=--+-=-a a a a f ，故1300131-=+++a a a ，1300020=+++a a a ，∴)(x f 展开式中x 的偶次幂各项系数和为1，x 奇次幂各项系数和为-1．例3．证明：（1）∑==nk n k n kC 032)(N n ∈；（2）12221223222120223222--⋅=++++++n n n n n n n n n C C C C C C )(N n ∈；（3）)(3)11(2N n nn ∈<+<；（4）2222212)1(21-⋅+=⋅++⋅+⋅n nn n nn n n C C C由(i)知例4．小结：五．课后作业： 班级 学号 姓名 1．若nxx )1(23+的展开式中只有第6项的系数最大，则不含x 的项为（ C ） ()A 462 ()B 252 ()C 210 ()D 102．用88除78788+，所得余数是 （ ） ()A 0 ()B 1 ()C 8 ()D 803．已知2002年4月20日是星期五，那么9010天后的今天是星期 ．4．某公司的股票今天的指数是2，以后每天的指数都比上一天的指数增加%02.0，则100天后这家公司的股票指数约为2.442（精确到0.001）．5．已知55443322105)23(x a x a x a x a x a a x +++++=-，则（1）5432a a a a +++的值为568；（2）=++++||||||||||54321a a a a a 2882． 6．若n ax 2)1(+和12)(++n a x 的展开式中含n x 项的系数相等（*N n ∈，0≠a ），则a 的取值范围为]32,21(7．求满足500323210<+++++nn n n n n nC C C C C 的最大整数n ．原不等式化为n ·2n-1＜499∵27=128，∴n=8时，8·27=210=1024＞500． 当n=7时，7·26=7×64=448＜449． 故所求的最大整数为n=7．8．求证：222222120)()()()(n n n n n n C C C C C =++++证明 由(1+x)n ·(1+x)n =(1+x)2n，两边展开得：比较等式两边x n的系数，它们应当相等，所以有：9．已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于 121，求展开式中系数最大的项．∴ n＝15或 n＝-16(舍)设第 r＋1项与第 r项的系数分别为t r+1，t r∴t r+1≥t r则可得3(15-r＋1)＞r解得r≤12∴当r取小于12的自然数时，都有t r＜t r+1当r＝12时，t r+1=t r。
高三数学第一轮复习 第68课时 二项式定理(1)教案
二项式定理（1）一．复习目标：1．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们讨论整除、近似计算等相关问题．2．能利用二项展开式的通项公式求二项式的指数、求满足条件的项或系数．二．知识要点：1．二项式定理： ．2．二项展开式的性质：（1）在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数 ．（2）若n 是偶数，则 的二项式系数最大；若n 是奇数，则 的二项式系数最大．（3）所有二项式系数的和等于 ．（4）奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和 ．三．课前预习：1．设二项式n xx )13(3+的展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，若272=+S P ，则=n （ A ）()A 4 ()B 5 ()C 6 ()D 8 2．当+∈N n 且2≥n 时，q p n +=++++-52221142 （其中N q p ∈,,且50<≤q ），则q 的值为 （ A ）()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 与n 有关3．在62)12(xx -的展开式中常数项是605=T ；中间项是34160x T -=． 4．在1033)3(x x -的展开式中，有理项的项数为第3，6，9项．5．求62)321(x x -+展开式里5x 的系数为-168． 6．在7)1(+ax 的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项，若实数1>a ，那么=a 5101+． 四．例题分析：例1．求9)23(x -展开式中系数绝对值最大的项．解：9)23(x -展开式的通项为r r r r r r r r x C x C T ⋅⋅⋅-=-⋅⋅=--+999913)2()2(3，设第1+r 项系数绝对值最大，即⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅≥⋅⋅⋅⋅≥⋅⋅-----++-r r r r r r r r r r r r C C C C 101919981919932323232， 所以⎩⎨⎧≥--≥+r r r r 322021833，∴43≤≤r 且N r ∈，∴3=r 或4=r ， 故系数绝对值最大项为3448988x T -=或45489888x T =．例2．已知n x x )12(2lg lg ++展开式中最后三项的系数的和是方程0)7272lg(2=--y y 的正数解，它的中间项是2lg 2410+，求x 的值．解：由0)7272lg(2=--y y 得073722=--y y ，∴1-=y （舍去）或73=y ， 由题意知，732412=+⋅+⋅--n n n n n n C C C ，∴6=n已知条件知，其展开式的中间项为第4项，即20001016022lg 24)2lg (lg 3)2lg (lg 3336==⋅=⋅⋅+++x x x x C ，∴012lg lg 2lg lg 2=-+⋅+x x ，∴1lg -=x 或5lg 2lg 1lg =-=x ，∴101=x 或5=x ．经检验知，它们都符合题意。
二项式定理期末复习教案
二项式定理----期末复习导学案3教学目标：1.理解二项式定理及展开式的应用2.理解通项的意义并灵活应用3.正用、逆用定理来解决一些简单的问题。
教学过程：复习：1.二项式定理、二项式系数、通项。
2.二项式系数的性质练习：1.在8)12xx -（的展开式中，二项式系数之和为__▲___；含3x 的项的系数是___▲___. 2. 4．若7270127(12)x a a x a x a x -=++++L ，则2a 的值是（ ）A ．84B ．84-C ．280D ．280-3. 二项式62)x的展开式的常数项为 （ ） A ．60 B ．60- C ．120 D ．120-4.在432)1()1()1()1(---+---x x x x 的展开式中，2x 的系数等于____________.5. 设0122334455666)12(a x a x a x a x a x a x a x ++++++=-，则=++++++0123456a a a a a a a（ ）A ． 63B ． 62C. 6D.1 6. 9)1(x x - 展开式中含3x 的项为__，它是展开式的第____项．7．102)1(xx -展开式中，5x 项的系数为（ ） A ． 1 B ．1- C ．510C - D ．510C 8. 12C ...,7A.x=4,n=3 B.x=4,n=4 C.x=5,n=4 D.x=6,n=5n n n n x C x C x ++若能被整除，则x,n 的值可能为（ ）例题分析9（本小题共13分）已知nm x x x f )1()1()(+++=，*N ∈m ，*N ∈n ． （Ⅰ）当2,6==n m 时，写出)(x f 的展开式（按x 的升幂排列）；（Ⅱ）若)(x f 的展开式中x 的系数是19，求)(x f 的展开式中2x 的系数的最小值.答案1.256； 1024-2.A3.A4. -105.D6. 384x -,47.C8.C9（本小题共13分）（Ⅰ）……………………………6分（Ⅱ）由已知得1911=+n m C C ，即19=+n m ……………………………8分)(x f 的展开式中2x 的系数为……………………………10分又*N ∈n所以 当9=n 或10=n 时，)(x f 的展开式中2x 的系数有最小值81……………………………13分小结：课后练习：课本32B 组练习654322666556446336226160626615201682211)1()1()(x x x x x x x x x C x C x C x C x C x C C x x x f ++++++=+++++++++=+++=41719)219(919192)1(2)1(2222⨯+-=⨯+-=-+-=+n n n n n m m C C n m。
二项式定理复习教案
二项式定理【考纲要求】掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能运用它们计算和论证一些简单问题。
【基础知识】1.二项式定理：n n n r r n r n n n n n n nn b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( 2.二项式通项公式：r r n r n r b a C T -+=1 （r=0,1,2,…,n ）3.二项式系数的性质： n b a )(+的展开式的二项式系数有如下性质：（1）在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。
（2）如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大。
（3） n n n n n n n n n nC C C C C C 212210=++++++-- （4）15314202-=+++=+++n n n n n n nC C C C C C （奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和）4.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n xn ⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1)⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n a n =f(-1)⑶ a 0+a 2+a 4+a 6……=2)1()1(-+f f ⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……=2)1()1(--f f ⑸ a 0=f(0)⑹ |a 0|+|a 1|+|a 2|+|a 3|……+|a n |=5. 注意（1）奇数项、偶数项、奇次项、偶次项各自表示的意义。
（2）“某项”、“某项的二项式系数”、“某项的系数”之间的区别【课前练习】1、设S=(x －1)4+4(x －1)3+6(x －1)2+4(x －1)+1，它等于下式中的（ ）（A ）(x －2)4 （B ）(x －1)4 （C ）x 4 （D ）(x +1)42、100+展开所得关于x 的多项式中系数为有理数的共有（ ）项.（A ）50 （B ）17 （C ）16 （D ）153、31(||2)||x x +-展开式中的常数项是（ ）. （A ）－20 （B ）－12 （C ）－8 （D ）20法一：（|x |+||1x －2）3=（|x |+||1x －2）（|x |+||1x －2）（|x |+||1x －2） 得到常数项的情况有：①三个括号中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x ｜，一个括号取||1x ，一个括号取－2，得C 13C 12（－2）=－12， ∴常数项为（－2）3+（－12）=－20.解法二：（|x |+||1x －2）3=（||x －||1x ）6. 设第r +1项为常数项，则T 1+r =C r 6·（－1）r ·（||1x ）r ·|x |r -6=（－1）6·C r 6·|x |r 26-，得6－2r =0，r =3. ∴T 3+1=（－1）3·C 36=－204、设n 为自然数，则01122(1)2(1)n n k k n k n n n n n n C C C C ---++-++-等于（ ）（A ） （B ）0 （C ）－1 （D ）15、(x +y )10展开式中有_______项；(x +y +z )10展开式中有_________项.6、(1－z )+ (1－z )2++ (1－z )10的展开式中z 2的系数是_________.7、(1－x 3)(1+x )10展开式中x 5的系数是_______.8、已知9(a x -的展开式中x 3项的系数为94，常数a 的值________. 【典型例题】例1、求(1+x －2x 2)5的展开式中x 4项的系数.例2、若(1+2x )n 中第6项与第8项的二项式系数相等，求按升幂排列的前3项。
高中数学选修2-3《二项式定理》复习课教案
二项式定理复习课新课标教材数学（选修2－3·北师大版）第一章§5.1《二项式定理》考纲要求及高考动向：2010年考试大纲（广东卷）对本节知识的要求是：1.理解二项式定理；2.会用二项式 定理解决与二项式定理有关的简单问题。
高考主要考查通项和二项展开式的应用，即求特定项以及展开式中的系数和等问题。
一、教学目标1、知识目标：掌握二项式定理及有关概念，通项公式，二项式系数的性质；2、思想方法目标：使学生领悟并掌握方程的思想方法，赋值法，构造法，并通过引申 变式提高学生的应变能力，创造能力及逻辑思维能力。
3、情感目标：通过学生的主体活动，营造一种愉悦的情境，使学生自始至终处于积极 思考的氛围中，不断获得成功的体验，从而对自己的数学学习充满信心。
二、教学重点与难点1、重点：二项式定理及有关概念2、难点：二项式定理的应用三、教学资源课本、复习资料、电脑、多媒体平台四、教法与学法1、教法：本节课的教法贯穿引导式教学原则，以“引导思考”为核心，通过例题及其 引申变式引导学生沿着积极的方向思维，逐步达到即定的教学目标，发展学生的逻辑思维能 力。
2、学法：根据学生思维的特点，遵循“教必须以学为主”的教学理念，让每一个学生 自主参与整堂课的知识构建。
在教学的各个环节中引导学生积极参与，进行类比迁移，对照 学习。
学生在教师营造的“自主学习”的环境里，生动活泼地获取知识，掌握规律、主动发 现、主动发展。
五、教学过程（一）教材复习1.二项式定理 01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈（1）展开式中共有n+1项（2）展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1,它表示的是展开式的第r+1项（3）二项式系数：2．二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即m n m n nC C -=(0,1,2,,)r n C r n =（2）增减性与最大值： 先增再减；当n 是偶数时，中间一项2nnC 取 得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C -，12n n C +取得最大值。
《二项式定理》教学设计(复习课)
《二项式定理》教学设计（复习课）一教学对象分析学生已经在高二学习了《二项式定理》的全部内容，对这部分内容已经有了全面的了解。
在这个基础上，让学生在老师的指导下，对《二项式定理》进行全面的复习应用，巩固和加深。
在复习的过程中，渗透了《排列组合》等其它的内容，加强了知识点之间的联系，培养学生综合运用知识的能力。
二教学内容分析1．本节内容包括以下几部分：（1）二项式展开式的特点。
（2）二项式定理的证明。
（3）二项式定理的应用。
2．本节内容不多，但运用了多种数学方法，对于培养学生的发散思维能力和逆向思维能力等都有很大的帮助。
三重点二项式定理难点《二项式定理》的应用四教学过程（一）复习《二项式定理》（a+b）n=C n0a n+Cn2a n-1+…+Cn n (1)要学好该定理,应注意从以下几方面进行理解和应用1.展开式的特点(1)项数n+1项(2)系数都是组合数,依次为C1n ,C2n,C nn,…,C n n(3)指数的特点1)a的指数由n 0( 降幂)。
2 )b的指数由0 n（升幂）。
3）a和b的指数和为n。
2。
定理的证明方法：数学归纳法（运用了组合数的性质）（略，学生自己看书）3．展开式（1）是一个恒等式，a，b可取任意的复数，n为任意的自然数。
例1 求（1+2i）5的展开式（学生先练，老师后讲）解：因为a=1，b=2i，n=5，由二项式定理，得（1+2i）5=C05+C152i+C25(2i)2+C35(2i)3+C45(2i)4+C55(2i)5=1+10i-40-80i+80+32i=41-38i评析：由这个恒等式a，b取值的任意性，我们可以令a，b分别取一些不同的值来解决某些问题，这就是我们所说的“赋值法”。
例2 若（1+2x）7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，求（1）展开式中各项系数和。
（2）a0+a2+a4+a6的值。
解：（1）利用赋值法，令x=1，得（1+2）7=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=37=2187 （！）令x=-1，（1-2）7=a0+a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-1 （2）（1）+（2），得2a0+2a2+2a4+2a6=2187-1=2186即a0+a2+a4+a6=1093练习1：（3+2x）3=a0+a1x+a2x2+a3x3，求（a0+a2）2-（a1+a3）2的值。
二项式定理复习课导学案
二项式复习课导学案 编制：迟德龙一、学习目标： 二、知识梳理： 1．二项式定理公式()na b += 叫做二项式定理，右边的多项式叫做()n a b +的 ，它一共有项，其中 叫做二项展开式的第1r +项，也称为通项，用1r T +表示，即1r T +＝ 2．二项式系数的性质()n a b +展开式的二项式系数01,,...nn n n C C C 有如下性质：（1） （2） （3） （4）（5）（6）3、赋值法求系数和 四、例题精选：考向一、展开二项式或公式逆用例1（1）（2009北京卷理）若5(12)2(,a b a b +=+为有理数），则a b +=（ ）A ．45B ．55C ．70D ．80 （2）.计算:)1(5)1(10)1(10)1(5)1(2345-+-+-+-+-x x x x x = . 考向二、求指定项例2（1）（2009浙江卷理）在二项式251()x x-的展开式中，含4x 的项的系数是( ) A ．10- B ．10 C ．5- D ．5（2）（2009四川卷文）61(2)2x x-的展开式的常数项是 （用数字作答）（3）．(20XX 年高考天津卷理科5)在62x x ⎛⎫⎝的二项展开式中，2x 的系数为（ ） A ．154- B ．154 C ．38- D ．38例3（1） (20XX 年高考山东卷理科14)若6(a x 展开式的常数项为60，则常数a 的值为 . （2）(20XX 年高考浙江卷理科13)（13）设二项式)0()(6>-a xa x 的展开式中3x 的系数为A,常数项为B ，若B=4A ，则a 的值是 。
例3（1）(2009湖南卷理)在323(1)(1)(1x x x +++++的展开式中，x 的系数为_____（2）（2001上海理，8）在代数式（4x 2－2x －5）（1＋21x）5的展开式中，常数项为 ． （3）（2002全国理，16）（x 2+1）（x －2）7的展开式中x 3项的系数是 . （4）（1995全国，6）在（1－x 3）（1+x ）10的展开式中，x 5的系数是（ ）A.－297B.－252C.297D.207例4、（1）（20XX 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））使得()3nx n N n x x +⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7（2）（20XX 年高考新课标1（理））设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8考向三、求系数问题例5.已知7722107)21(x a x a x a a x ++++=-求（1）7210a a a a ++++ （2）721a a a +++（3）7531a a a a +++ （4）6620a a a a +++（5）26620)(a a a a +++-27531)(a a a a +++ 变式训练1、在10)32(y x -展开式中（1）求二项式系数和 （2）各项系数和（3）奇数项、偶数项的二项式系数和 （4）奇数项、偶数项的数和2、(20XX 年高考安徽卷理科12)（12）设()x a a x a x a x 2122101221-1=+++，则a a 1011+= .3、（1999全国理，8）若（2x ＋3）4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋ax 4，则（a 0＋a 2＋a 4）2－（a 1＋a 3）2的值为（ ）A.1B.－1C.0D.2 4、（2000年上海，9）在二项式（x －1）11的展开式中，系数最小的项的系数为 .5. 设(x 2+1)(2x+1)9=a 0+a 1(x+2)+a 2(x+2)2+…+a 11(x+2)11,则a 0+a 1+a 2+…+a 11= .五、能力提高1.（1997全国，16）已知（2x x a -）9的展开式中x 3的系数为49，常数a 的值为_____. 2.（1997上海，11）若（3x +1）n （n ∈N *）的展开式中各项系数的和是256，则展开式中x 2的系数是_____.3.（1995上海，13）若（x +1）n ＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2＋…＋1（n ∈N *），且a ∶b ＝3∶1，那么n =_____.4.若(x-2)5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0,则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5= .(用数字作答) f(x)=a 0+a 1(1+x)+a 2(1+x)2+…+a 5(1+x)5,其中a 0,a 1,a 2,,a 5为实数,则a 3= .4．若6622106x a x a x a a )mx 1(+⋯+++=+，且63a a a a 6321=+⋯+++，则实数m 的值是__ 5. 5432)1x ()1x ()1x ()1x ()1x (-+---+---的展开式中2x 的系数 .6．如果(nx 的展开式中所有奇数项的系数和等于512，则展开式的中间项是 .7.（2009重庆卷理）282()x x+的展开式中4x 的系数是（ ）A ．16B ．70C ．560D ．11208.(20XX 年高考重庆卷理科4) ()13nx +（其中n N ∈且6a ≥）的展开式中5x 与6x 的系数相等，则n =（A ）6 (B)7 (C) 8 (D)99. (20XX 年高考广东卷理科10)72()x x x-的展开式中，4x 的系数是______ (用数字作答).10、（20XX 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5,则=a （ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-1 11．（20XX 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））()()8411+x y +的展开式中22xy 的系数是（ ）A ．56B ．84C ．112D ．16813．（20XX 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理））6x ⎛⎝ 的二项展开式中的常数项为______.214、（20XX 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ,则=A ________.15、（20XX 年高考上海卷（理））设常数a R ∈,若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-,则______a =16.（2002上海春，5）若在（xx 15-）n的展开式中，第4项是常数项，则n = . 9．设102100121013579(21),x a a x a x a x a a a a a -=++++++++则的值（ ）A ．10132+B ．10132-C ．10312-D ．—10132+。
二项式定理复习课的教学设计
二项式定理复习课的教学设计一、教学内容本节课的教学内容选自人教版高中数学必修一第二章《立体几何》中的二项式定理。
二项式定理是指：对于任意正整数n和实数a、b，都有(a+b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n1) b^1 + +C(n,n1)a^1 b^(n1) + C(n,n)a^0 b^n，其中C(n,k)表示从n个不同元素中取k个元素的组合数。
二、教学目标1. 理解二项式定理的定义及其推导过程；2. 掌握二项式定理的应用，能够运用二项式定理解决实际问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：二项式定理的推导过程及组合数的计算；2. 教学重点：二项式定理的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、投影仪；2. 学具：教材、练习本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入：让学生思考现实生活中存在的排队问题，如排队买票、排队就餐等，引出组合数的概念。
2. 知识回顾：复习组合数的计算公式，引导学生回顾已学的排列组合知识。
3. 二项式定理的推导：通过示例，引导学生理解二项式定理的推导过程，让学生体会数学的归纳思想。
4. 二项式定理的应用：通过例题，讲解二项式定理在实际问题中的应用，如概率计算、最值问题等。
5. 随堂练习：让学生独立完成教材中的练习题，巩固所学知识。
六、板书设计1. 二项式定理的定义；2. 二项式定理的推导过程；3. 二项式定理的应用示例；4. 组合数的计算公式。
七、作业设计1. 作业题目：教材P47练习题1、2、3；2. 答案：待学生完成作业后，教师批改并给予反馈。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课的教学效果，学生对二项式定理的理解和应用程度；2. 拓展延伸：引导学生思考二项式定理在更广泛领域中的应用，如计算机科学、工程学等。
重点和难点解析一、教学难点：二项式定理的推导过程及组合数的计算1. 难点解析：二项式定理的推导过程涉及到数学归纳法，学生可能对归纳法的理解和应用存在困难。
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：二项式定理
§10.3二项式定理考试要求能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识梳理1．二项式定理二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)二项展开式的通项T k ＋1＝C k n an －k b k，它表示展开式的第k ＋1项二项式系数C k n (k ＝0,1，…，n )2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．(2)增减性与最大值：当n 是偶数时，中间的一项2C nn取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项12Cn n－与12Cn n＋相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：(a ＋b )n 的展开式的各二项式系数的和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.常用结论1．C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.2．C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k n an －k b k 是(a ＋b )n 的展开式中的第k 项．(×)(2)(a ＋b )n 的展开式中每一项的二项式系数与a ，b 无关．(√)(3)通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k 中的a 和b 不能互换．(√)(4)二项式的展开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的．(×)教材改编题1.的展开式中x 2的系数等于()A ．45B ．20C ．－30D ．－90答案A解析因为展开式的通项为T k ＋1＝()311010100221C C ()(1)k kk kk kkxxx -+⋅－－－＝－，令－10＋32k ＝2，得k ＝8，所以展开式中x 2的系数为(－1)8×C 810＝45.2．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝243，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于()A ．31B ．32C ．15D ．16答案A解析逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝243，即3n ＝35，所以n ＝5，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝25－1＝31.3．若的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．答案20解析因为二项式系数之和为2n ＝64，所以n ＝6，则T k ＋1＝C k 6·x6－k＝C k 6x6－2k，当6－2k ＝0，即k ＝3时为常数项，T 4＝C 36＝20.题型一通项公式的应用命题点1形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式的特定项例1(1)二项式的展开式中的常数项是()A ．－45B ．－10C ．45D ．65答案C解析由二项式定理得T k ＋1＝C k －k(－x 2)k＝55210(1)C k kk x－－，令5k2－5＝0得k ＝2，所以常数项为(－1)2C 210＝45.(2)已知的展开式中x 5的系数为A ，x 2的系数为B ，若A ＋B ＝11，则a ＝__________.答案±1解析的展开式的通项为T k ＋1＝C k 5x 5－k ＝(－a )k C k 5352k x.由5－32k ＝5，得k ＝0，由5－32＝2，得k ＝2，所以A ＝C 05×(－a )0＝1，B ＝C 25×(－a )2＝10a 2，则由1＋10a 2＝11，解得a ＝±1.命题点2形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式问题例2(1)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是()A ．56B ．84C ．112D ．168答案D解析在(1＋x )8的展开式中含x 2的项为C 28x 2＝28x 2，(1＋y )4的展开式中含y 2的项为C 24y 2＝6y 2，所以x 2y 2的系数为28×6＝168.(2)在(2x ＋a 的展开式中，x 2的系数为－120，则该二项展开式中的常数项为()A ．3204B ．－160C ．160D ．－320答案D解析的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6·x 6－k ＝C k 6·2k ·x6－2k ，2xT k ＋1＝C k 6·2k ＋1·x 7－2k，由k ∈N ，得7－2k ≠2，故不成立，aT k ＋1＝a C k 6·2k ·x6－2k，令6－2k ＝2，解得k ＝2，则a C 26·22＝60a ＝－120，解得a ＝－2，∵7－2k ≠0，在－2T k ＋1中，令6－2k ＝0，解得k ＝3，∴展开式中的常数项为－2C 36·23＝－320.思维升华(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．跟踪训练1(1)(2022·新高考全国Ⅰx ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为________(用数字作答)．答案－28解析(x ＋y )8展开式的通项为T k ＋1＝C k 8x 8－k y k ，k ＝0,1，…，7,8.令k ＝6，得T 6＋1＝C 68x 2y 6；令k ＝5，得T 5＋1＝C 58x 3y 5x ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为C 68－C 58＝－28.(2)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．答案1625解析由题意得，(2＋x )9的通项公式为T k ＋1＝C k 9(2)9－k ·x k(k ＝0,1,2，…，9)．当k ＝0时，可得常数项为T 1＝C 09(2)9＝16 2.若展开式的系数为有理数，则k ＝1,3,5,7,9，有T 2，T 4，T 6，T 8，T 10，共5个．题型二二项式系数与项的系数问题命题点1二项式系数和与系数和例3(1)在x 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则()A ．二项式系数和为32B ．各项系数和为128C ．常数项为－135D ．常数项为135答案D解析令x ＝1，得各项系数和为2n ，又二项式系数和为2n ，则2×2n ＝128，得n ＝6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A ，B 不正确；x 的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6·(3x )6－k ＝C k 6·(－1)k 36－k ·362x ，令6－32k ＝0，得k ＝4，因此展开式中的常数项为T 5＝C 46·(－1)4·32＝135，故C 不正确，D 正确．(2)若(1＋x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 2＋a 6＋a 8＝________；a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋10a 10＝________.答案3005120解析①由已知得(1＋x )10展开式的通项为T k ＋1＝C k 10x k，所以展开式中每一项的系数即为其二项式系数．故a 2＋a 6＋a 8＝C 210＋C 610＋C 810＝300.②对原式两边求导得，10(1＋x )9＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋10a 10x 9.令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋10a 10＝10×29＝5120.命题点2系数与二项式系数的最值问题例4(多选)(2023·唐山模拟)下列关于2的展开式的说法中正确的是()A ．常数项为－160B ．第4项的系数最大C ．第4项的二项式系数最大D ．所有项的系数和为1答案ACD解析2展开式的通项为T k ＋1＝C k 6－k·(－2x )k ＝(－2)k C k 6·x2k －6.对于A ，令2k －6＝0，解得k ＝3，∴常数项为(－2)3C 36＝－8×20＝－160，A 正确；对于B ，由通项公式知，若要系数最大，k 所有可能的取值为0,2,4,6，∴T 1＝x －6，T 3＝4C 26x －2＝60x －2，T 5＝(－2)4C 46x 2＝240x 2，T 7＝(－2)6x 6＝64x 6，∴展开式第5项的系数最大，B 错误；对于C ，展开式共有7项，得第4项的二项式系数最大，C 正确；对于D ，令x ＝1，则所有项的系数和为(1－2)6＝1，D 正确．思维升华赋值法的应用一般地，对于多项式(a ＋bx )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，令g (x )＝(a ＋bx )n ，则(a ＋bx )n 的展开式中各项的系数和为g (1)，(a ＋bx )n 的展开式中奇数项的系数和为12[g (1)＋g (－1)]，(a ＋bx )n的展开式中偶数项的系数和为12[g (1)－g (－1)]．跟踪训练2(1)(多选)对于2的展开式，下列说法正确的是()A ．所有项的二项式系数和为64B ．所有项的系数和为64C ．常数项为1215D ．系数最大的项为第3项答案ABC解析2的展开式中所有项的二项式系数和为26＝64，故A 正确；在2中，令x ＝1，得(1－3)6＝64，故B 正确；展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k＝(－3)k C k 6x12－3k (0≤k ≤6，k ∈N )，令12－3k ＝0，得k ＝4，所以常数项为(－3)4C 46＝1215，故C 正确；由C 的分析可知第2,4,6项系数为负值，第1项系数为1，第3项系数为(－3)2C 26＝135，第5项系数为(－3)4C 46＝1215，第7项系数为(－3)6C 66＝729，则系数最大的项为第5项，故D 不正确．(2)设(2＋x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9)2的值为________．答案1解析令x ＝1有a 0＋a 1＋…＋a 10＝(2＋1)10，令x ＝－1有a 0－a 1＋a 2－…＋a 10＝(2－1)10，故(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)·(a 0－a 1＋a 2－…＋a 10)＝(2＋1)10(2－1)10＝1.题型三二项式定理的综合应用例5(1)设a ∈Z ，且0≤a ≤13，若512023＋a 能被13整除，则a 等于()A ．0B ．1C ．11D ．12答案B解析因为a ∈Z ，且0≤a ≤13，所以512023＋a ＝(52－1)2023＋a＝C 020********－C 12023522022＋C 22023522021－…＋C 2022202352－C 20232023＋a ，因为512023＋a 能被13整除，所以－C 20232023＋a ＝－1＋a 能被13整除，结合选项，所以a ＝1.(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是()A．1.23B．1.24C．1.33D．1.34答案D解析 1.056＝(1＋0.05)6＝C06＋C16×0.05＋C26×0.052＋C36×0.053＋…＋C66×0.056＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…＋0.056≈1.34.思维升华二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.跟踪训练3(1)设n为奇数，那么11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1除以13的余数是()A．－3B．2C．10D．11答案C解析11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1＝C0n·11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11＋C n n－2＝(11＋1)n－2＝12n－2＝(13－1)n－2＝C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13＋(－1)n·C n n－2，因为n为奇数，则上式＝C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13－3＝[C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13－13]＋10，所以11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1除以13的余数是10.(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是()A．0.940B．0.941C．0.942D．0.943答案B解析0.996＝(1－0.01)6＝C06×1－C16×0.01＋C26×0.012－C36×0.013＋…＋C66×0.016＝1－0.06＋0.0015－0.00002＋…＋0.016≈0.941.课时精练2的展开式中x4的系数为()A ．10B ．20C ．40D ．80答案C解析由题意可得T k ＋1＝C k 5·(x 2)5－k＝(－1)k C k 5·2k ·x10－3k ，令10－3k ＝4，则k ＝2，所以所求系数为(－1)2C 25·22＝40.2．(多选)若2的展开式中的常数项为1516，则实数a 的值可能为()A ．2 B.12C ．－2D ．－12答案AC 解析2的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k＝Cx 12－3k ，令12－3k ＝0，得k ＝4.故C46＝1516，即＝116，解得a ＝±2.3．在(x ＋3)的展开式中，常数项为()A ．－152 B.152C ．－52D.52答案A 解析原式＝＋，①而的通项公式为T k ＋1C k 6x 6－2k .当6－2k ＝－1时，k ＝72∉Z ，故①式中的前一项不会出现常数项；当6－2k＝0，即k ＝3时，可得①式中的后一项即为所求，此时原式常数项为3×C 36＝－152.4．在的展开式中，x 的指数是整数的项数是()A ．2B ．3C ．4D．5答案D解析因为的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 24(x )24－＝512624C kkx －，所以当k＝0,6,12,18,24时，x 的指数是整数，故x 的指数是整数的有5项．5．在二项式(1－2x )n 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为()A ．－960B ．960C ．1120D ．1680答案C解析根据题意，奇数项的二项式系数之和也为128，所以在(1－2x )n 的展开式中，二项式系数之和为256，即2n ＝256，得n ＝8，则(1－2x )8的展开式的中间项为第5项，且T 5＝C 48(－2)4x 4＝1120x 4，即展开式的中间项的系数为1120.6．设a ＝3n ＋C 1n 3n －1＋C 2n 3n －2＋…＋C n －1n 3，则当n ＝2023时，a 除以15所得余数为()A ．3B ．4C ．7D ．8答案A解析∵C 0n 3n ＋C 1n 3n －1＋C 2n 3n －2＋…＋C n －1n 3＋C n n 30＝(3＋1)n ＝4n，∴a ＝4n －1，当n ＝2023时，a ＝42023－1＝4×161011－1＝4×[(15＋1)1011－1]＋3，而(15＋1)1011－1＝C 010********＋C 11011151010＋…＋C 1010101115，故此时a 除以15所得余数为3.7．(多选)在二项式的展开式中，正确的说法是()A ．常数项是第3项B ．各项的系数和是164C ．第4项二项式系数最大D ．奇数项二项式系数和为32答案BCD解析二项式的展开式通项为T k ＋1＝C k 6·(3x )6－k＝62361C 2kkk x ⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭－－.对于A 选项，令6－2k3＝0，可得k ＝3，故常数项是第4项，A 错误；对于B 选项，各项的系数和是＝164，B 正确；对于C 选项，展开式共7项，故第4项二项式系数最大，C 正确；对于D 选项，奇数项二项式系数和为25＝32，D 正确．8．(多选)(2023·沧州模拟)已知(1－2x )2023＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2023x 2023，则()A ．展开式中所有项的二项式系数和为22023B ．展开式中系数最大项为第1350项C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2023＝32023－12D.a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202322023＝－1答案AD解析易知(1－2x )2023的展开式中所有项的二项式系数和为22023，故A 正确；由二项式通项，知T k ＋1＝C k 2023(－2x )k ＝(－2)k C k 2023x k ，所以第1350项的系数为(－2)1349C 13492023<0，所以第1350项不是系数最大项，故B 错误；当x ＝1时，有a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2023＝－1，①当x ＝－1时，有a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2022－a 2023＝32023，②①－②，可得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2023＝－1＋320232，故C 错误；当x ＝0时，a 0＝1，当x ＝12时，a 0＋a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202322023＝0，所以a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202322023＝－a 0＝－1，故D 正确．9．若x 5＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋…＋a 5(x －2)5，则a 1＝________，a 1＋a 2＋…＋a 5＝________.答案80211解析因为x 5＝[2＋(x －2)]5，则a 1＝C 15·24＝80.令x ＝3，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝35＝243；令x ＝2，得a 0＝25＝32，故a 1＋a 2＋…＋a 5＝243－32＝211.10．(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，展开式中二项式系数最大的项为________；系数最大的项为________________．答案1120x 41792x 5和1792x 6解析T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n ·25＝C 6n ·26，得n ＝8.∴在(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1120x 4，设第k ＋1k 8·2k ≥C k －18·2k －1，k 8·2k ≥C k ＋18·2k ＋1，解得5≤k ≤6.又k ∈N ，∴k ＝5或k ＝6，∴系数最大的项为T 6＝1792x 5，T 7＝1792x 6.11．(x ＋y －2z )5的展开式中，xy 2z 2的系数是()A ．120B ．－120C ．60D ．30答案A解析由题意知(x ＋y －2z )5＝[(x ＋y )－2z ]5，展开式的第k ＋1项为C k 5(x ＋y )5－k(－2z )k ，令k ＝2，可得第3项为(－2)2C 25(x ＋y )3z 2，(x ＋y )3的展开式的第m ＋1项为C m 3x 3－m y m ，令m ＝2，可得第3项为C 23xy 2，所以(x ＋y －2z )5的展开式中，xy 2z 2的系数是(－2)2C 25C 23＝120.12．(2023·浙江名校联盟联考)设(x －1)(2＋x )3＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 1＝________，2a 2＋3a 3＋4a 4＝________.答案－431解析因为x ·C 03·23·x 0－C 13·22·x 1＝－4x ，所以a 1＝－4，对所给等式，两边对x 求导，可得(2＋x )3＋3(x －1)(2＋x )2＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3，令x ＝1，得27＝a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4，所以2a 2＋3a 3＋4a 4＝31.13．若(2x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 的展开式中的各项系数和为243，则a 1＋2a 2＋…＋na n 等于()A ．405B ．810C ．243D ．64答案B解析(2x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，两边求导得2n (2x ＋1)n －1＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n x n －1.令x ＝1，则2n ×3n －1＝a 1＋2a 2＋…＋na n .又因为(2x ＋1)n 的展开式中各项系数和为243，令x ＝1，可得3n ＝243，解得n ＝5.所以a 1＋2a 2＋…＋na n ＝2×5×34＝810.14．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，若(1－2x )2023＝b 0＋b 1x ＋b 2x 2＋…＋b 2023x 2023，数列{a n }的首项a 1＝b 12＋b 222＋…＋b 202322023，a n ＋1＝S n ·S n ＋1，则S 2023等于()A ．－12023B.12023C ．2023D ．－2023答案A 解析令x ＝12，得－2023＝b 0＋b 12＋b 222＋…＋b 202322023＝0.令x ＝0，得b 0＝1，所以a 1＝b 12＋b 222＋…＋b 202322023＝－1.由a n ＋1＝S n ·S n ＋1＝S n ＋1－S n ，得S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1＝1，所以1S n ＋1－1S n ＝－1，是首项为1S 1＝－1，公差为－1的等差数列，所以1S n＝－1＋(n －1)·(－1)＝－n ，所以S n ＝－1n ，所以S 2023＝－12023.。
《二项式定理》一轮复习课
教学设计
1.3.1 二项式定理
一、教学目标
1、知识与技能
掌握二项式定理及其简单应用，熟悉解决指定项与系数和的方法。
2、过程与方法
在巩固基础知识、分析典型例题及变式训练的复习课中，培养学生观察、归纳能力，发现问题、探求问题的能力，逻辑推理能力以及严谨科学的思维方式。
3、情态与价值观
定理的发现过程培养学生的数学抽象思维，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养；定理的应用中，感受数学内在的和谐、对称美和数学符号应用的简洁美。
二、教学重点、难点
重点：用计数原理分析()3
+的展开式，归纳得出二项式定理及二项展开式的通项公式。
a b
难点：用计数原理分析二项式的展开过程，对二项展开式规律的多角度应用。
三、教学方法
作为一节复习课，学生对知识有了一定的学习基础，本节课的目的在于熟悉原理、明确知识、获得解题通法。
因此，采取问题引导方式来组织课堂教学，问题的设置在学生的最近发展区，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点。
四、教学过程。
二项式定理复习小结公开课教案教学设计课件资料
二项式定理复习小结公开课教案教学设计课件资料一、教学目标：1. 帮助学生回顾和巩固二项式定理的概念、公式及其应用。
2. 提高学生对二项式定理的理解和运用能力，培养学生的逻辑思维和运算能力。
3. 激发学生的学习兴趣，培养学生的合作意识和团队精神。
二、教学内容：1. 二项式定理的定义和公式。
2. 二项式定理的证明。
3. 二项式定理的应用。
4. 复习常见的问题和解题方法。
5. 课堂练习和讨论。
三、教学过程：1. 导入：通过一个实际问题引入二项式定理的概念，激发学生的兴趣。
2. 讲解：回顾二项式定理的定义和公式，引导学生理解其含义和应用。
3. 证明：讲解二项式定理的证明过程，帮助学生理解其内在逻辑。
4. 应用：通过实例展示二项式定理在实际问题中的应用，引导学生学会运用。
6. 练习：布置课堂练习题，让学生动手实践，巩固所学知识。
7. 讨论：组织学生进行小组讨论，分享解题心得和经验。
四、教学资源：1. 课件：制作精美的课件，展示二项式定理的概念、公式和应用。
2. 练习题：准备一些具有代表性的练习题，帮助学生巩固知识。
3. 讨论材料：提供一些相关的研究材料，供学生课后进一步探讨。
五、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习题：检查学生课堂练习题的完成情况，评估学生的掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在讨论中的表现，包括观点阐述、沟通交流等。
4. 课后反馈：收集学生的课后反馈意见，了解教学效果。
六、教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究二项式定理的内涵和外延。
2. 利用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣和效果。
3. 组织小组合作学习，培养学生的团队协作能力和交流沟通能力。
4. 注重个体差异，给予每个学生充分的关注和指导，提高课堂互动性。
七、教学步骤：1. 回顾上节课的内容，检查学生对二项式定理的理解和掌握程度。
2. 讲解二项式定理的证明，引导学生理解其数学原理。
二项式定理复习课
二项式定理复习课课标要求：1.能用计数原理证明二项式定理。
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
学习目标：1.进一步理解、掌握二项式定理及二项展开式的通项公式。
2.会用二项式定理解决二项展开式中系数和及系数的最值问题。
3.更加熟悉、喜欢二项式定理，进一步提高运算能力。
重点难点：重点：二项式定理及二项展开式的通项公式。
难点：用二项式解决与二项展开式有关的简单问题。
一、导入新课：问题：（1）今天是星期五，那么七天后的这一天是星期几呢？（2）如果是十五天后的这一天呢？（3）如果是8100天后的这一天呢？二、要点梳理：1.二项式定理：（a+b）n= c n0a n b0+c n1a n-1b1+…+c n r a n-r b r+…+c n n a0b n(n N+)2.二项展开式的结构特征3.二项式系数的性质三、教学过程：考点一：二项式定理的正用、逆用例1（1）用二项式定理展开(1+x)n=____________（2）化简：C n0·2n-C n1·2n-1+…+(-1)k C n k2n-k+…+(-1)n C n n=_________ 互动探究：1.化简：(x-1)5+C51(x-1)4+C52(x-1)3+C53(x-1)2+C54(x-1)1考点二：求二项展开式中特定项的系数或特定项例2：已知在（3x-123x）n展开式中，第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是14:3（1）求n（2）求含x2项的系数（3）求常数项（4）求展开式中的所有有理项互动探究：2.若（2x+ax）7展开式中1x3的系数为84，则实数a=（）A.2B.4C.1D.33.(2014年新课标I)(x-y)(x+y)8展开式中x2y7的系数为________考点三.二项式系数与各项系数例3.若（1+2x）n展开式中各项的二项式系数和为64(1)求n(2)求二项式系数最大项(3)求展开式各项系数和(4)奇次项的系数和(5)偶次项的系数和互动探究：4.若(2+x)10=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a3(1+x)3+…+a10(1+x)10求a0+a1+a2+a3+…+a10=______5.若(3+2x)2012=a0+a1x+a2x2+…+a2012x2012求(a0+a2+a4+…+a2012)2-(a1+a3+a5+…+a2011)2的值6.已知(a+b)n的展开式中只有第五项的二项式系数最大，则n=( )A.11B.10C.9D.87.若(1-2x)2016=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2016x2016,则a12+a222+a323+…+a201622016=( ) A.0 B.1 C.-1 D.-2。
清泉州阳光实验学校高三数学第一轮复习 二项式定理教案
清泉州阳光实验学校二项式定理〔1〕一．复习目的：1．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们讨论整除、近似计算等相关问题．2．能利用二项展开式的通项公式求二项式的指数、求满足条件的项或者者系数．二．知识要点：1．二项式定理：．2．二项展开式的性质：〔1〕在二项展开式中，与首末两端“等间隔〞的两项的二项式系数．〔2〕假设n 是偶数，那么的二项式系数最大；假设n 是奇数，那么的二项式系数最大． 〔3〕所有二项式系数的和等于．〔4〕奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和．三．课前预习：1．设二项式n xx )13(3+的展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，假设272=+S P ，那么=n 〔A 〕()A 4()B 5()C 6()D 82．当+∈N n 且2≥n时，q p n +=++++-52221142 〔其中N q p ∈,,且50<≤q 〕，那么q 的值是〔A 〕()A 0()B 1()C 2()D 与n 有关3．在62)12(xx -的展开式中常数项是605=T ；中间项是34160x T -=． 4．在1033)3(x x -的展开式中，有理项的项数为第3，6，9项．5．求62)321(x x -+展开式里5x 的系数为-168． 6．在7)1(+ax 的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项，假设实数1>a ，那么=a 5101+．四．例题分析：例1．求9)23(x -展开式中系数绝对值最大的项． 解：9)23(x -展开式的通项为r r r r r r r r x C x C T ⋅⋅⋅-=-⋅⋅=--+999913)2()2(3，设第1+r 项系数绝对值最大，即⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅≥⋅⋅⋅⋅≥⋅⋅-----++-r r r r r r r r r r r r C C C C 101919981919932323232，所以⎩⎨⎧≥--≥+rr r r 322021833，∴43≤≤r 且N r ∈，∴3=r 或者者4=r ，故系数绝对值最大项为3448988x T -=或者者45489888x T =． 例2．n x x)12(2lg lg ++展开式中最后三项的系数的和是方程0)7272lg(2=--y y 的正数解，它的中间项是2lg 2410+，求x 的值． 解：由0)7272lg(2=--y y 得073722=--y y ，∴1-=y 〔舍去〕或者者73=y ， 由题意知，732412=+⋅+⋅--n n n n n n C C C ，∴6=n条件知，其展开式的中间项为第4项，即20001016022lg 24)2lg (lg 3)2lg (lg 3336==⋅=⋅⋅+++x x x x C ，∴012lg lg 2lg lg2=-+⋅+x x ，∴1lg -=x 或者者5lg 2lg 1lg =-=x ，∴101=x 或者者5=x ．经检验知，它们都符合题意。
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问题二：最大二项式系数问题
知识梳理：
二项式系数性质：
（1）对称性：在二项式展开式中，与首末两端
“等距离”的两项的二项式系数相等，可直接
用公式
C
k n
= Cnk n
得到。
（2）减性和最大值：二项式系数先增 后 减 ， 中间 项最大。
练习2：下列二项式展开式中第几项二次项系数 最大，分别是什么？
2、 通项：Tr1 ______
注意： （1）通项公式表示的是第_r_+_1_项； （2）通项公式里的a,b不能颠倒,a,b可以 是数也可以是式子.
练习1：求 (x 1 )8的展开式中 x5的系
数.
x
思路：令展开式的通项中x的次数等于5 ， 确定待定系数r，将求出的r带入通项公式.
求特定项及特定项的系数：写通项，定次数。
例题：求 (x2 x y)5展开式中 x5 y2的系
数.
思路：此二项式中为三项相加，可将三项看 成两项，再通过通项公式定次数
变式：求 x yx y8的展开式中x2 y7 的
系数.
思路：此题可分为两步：
第一步，x 和 (x y)8 展开式中含有 xy 7的项
相乘；
第二步： y和(x y)8展开式中含有x2 y6的
本节课小结：
1、求特定项及特定项系数； 2、求最大二次项系数； 3、求二次项系数和及系数和
作业：
1、(x
1 x
)n展开式中二项式系数和为64，求展开式
中的常数项。
2、已知 (1 ax)(1 x)5 的展开式中 x2 系数为5，
求a的值。
3、(x 1)n 展开式中第3项的二项式系数为15，
2
求展开式中所有系数和。
练习3：求 (1 x)5 的二项式系数和。
变式：(1 x)n a0 ax1 ... an xn，若 a1 a2 a3 ... an 63 ，求展开式中最大 二项式系数和.
问题：所有二项式系数和都是系数和吗?
若 f (x) a0 a1x ... an x，n 展开式各项系数和为f（1）
① (2x 1)8 ； ② x 2 y11
二项式的幂指数n是偶数时，中间一项的二项 n
式系数最大，为 Cn2 ；n是奇数时，中间两项
n 1
n 1
的二项式系数相等并且最大，为 Cn 2（或 Cn 2 ）。
问题三：二项式系数和及系数和问题
知识梳理：
(3)二项式系数的和：二项式展开式中所有二项式 系数和等于 ， 即从 (1 x)n Cn0 x0 Cn1x Cn2x2 ... Cnr xr ... Cnn xn 出发，可通过对x赋值，令x= ，Cn0 Cn1 ... Cnn =。
4、设 m 为正整数，(x y)2m 展开式的二项式系数
最大值为 a ， (x y)2m1 展开式的二次项系数最
大值为 b ，若13a 7b ，求 m 的值。
问题一：求特定项及特定项系数问题
知识梳理：
1、二项式定理: (a b)n =_____________n___N_*
其中
叫做二项式系数。
注意：
（1）二项式展开共有 n 1 项； （2）a和b的顺序不能颠倒，且a和b 指数和为 n ；
（3） a 的指数从n减小到0, b 的指数从0增大
到n，简称“一降二升”； （4）展开式中，系数 Cnk 叫做第K+1 项的二项 式系数。