谐波分析法

T 6.28 106
10 6 rad/s
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Circuit Theory Teaching and Research Group
电流源各频率的谐波分量为：
I S 0 78.5 A
100 is 3 sin 3 106 t A 3
is1 100sin106 t A
f(t)
三次谐波 五次谐波 七次谐波
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t
f(t)
直流分量+基波
直流分量 t 基波
f(t)
直流分量+基波+三次谐波
t
三次谐波
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O T/4
T/2
t
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(3) 正弦偶次分量；
f(t) O T/4 f(t) T/2 t
T/2 T/4
(4) 余弦奇次分量。 T/2 T/4
O T/4
T/2
t
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Im 2Im 1 iS (sin t sin 3t I m 2 3 1 sin 5t ) 5
iS
t
T/2 T
代入已知数据：
I m 157μA, T 6.28μs
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a2 k b2 k 0
T/2
T
t
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例1 解
周期性方波信号的分解
iS
图示矩形波电流在一个周 Im 期内的表达式为： T 0t T/2 T Im 2 is (t ) T 0 t T 2 Im 1 T 1 T /2 直流分量： I 0 0 is (t ) dt 0 I m dt T T 2
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(d)五次谐波作用
1
is 5
1 0.2(K Ω) 6 12 51C 5 10 1000 10 51L 5 106 103 5k Ω
100 sin 5 106 t A 5
( R jXL5)( jXC 5) Z (51 ) 208.3 89.53 R j (5 XL5 XC 5)
I Z (5 ) 20 106 U 5 5 s 1 4.166 89.53 mV 2
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1 T 系数的计算： A0 a0 f (t )d t T 0 1 2 ak f (t ) cos k1td (1t )

1
0
bk

2
0
f (t )sin k1td (1t )
求出A0、ak、bk便可得到原函数f(t)的展开式。 利用函数的对称性可使系数的确定简化
11.2.2 非正弦周期交流电路的计算
① 计算步骤
（1） 利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开 成若干种频率的谐波信号；
（2） 利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波 信号分别应用相量法计算； （注意:交流各谐波的XL、XC不同，在直流电路中 C 相当于开路、L相于短路。） （3） 将以上计算结果转换为瞬时值迭加。
第十一章 非正弦周期电路的稳态分析
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主要内容
1. 非正弦周期信号分解 2. 非正弦周期函数的有效值和平均功率
3. 非正弦周期电流电路的计算
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2
2
0
is (t ) cos kt d (t )

0
2Im 1 sin kt k
0
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2I m Ak b a bk k ak k arctan 0 bk
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② 计算举例
例1 方波信号激励的电路。求u, 已知：
R 20、 L 1mH、C 1000pF I m 157μA、 T 6.28μS
iS
C
+
R
u
L -
解（1）已知方波信号的展开式为：
f (t ) A0 Akm cos(k1t k )
k 1

也可表示成：
Akm cos(k1t k ) ak cos k1t bk sin k1t
f (t ) a0 [ak cos k1t bk sin k1t ]
k 1
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（b)基波作用
is1 100sin10 t
6
+
R
1 1 6 1k 12 1C 10 1000 10
iS 1
C
u
1L 106 103 1k
L -
XL>>R
( R jX L ) ( jX C ) X L XC L Z (1 ) 50k R j( X L X C ) R RC
31L 3 106 103 3k Ω
( R jXL3)( jXC 3) Z (31 ) 374.5 89.190 R j ( XL3 XC 3)
106 0 I Z (3 ) 33.3 U3 374.5 89.19 S3 1 2 12.47 89.20 mV 2
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f(t)
（1）偶函数
f (t ) f (t )
（2）奇函数
bk 0
－T/2
f(t)
T/2
t
f (t ) f (t )
ak 0
－T/2
f (t)
T/2
t
（3）奇谐波函数
T f (t ) f (t ) 2
周期函数展开成付里叶级数： 直流分量 基波（和原 函数同频） 二次谐波 （2倍频） 高次谐波
f (t ) A0 A1m cos(1t 1 )
A2m cos(21t 2 ) ...
Akm cos(n1t k )
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2 k 2 k
（k为奇数）
is 的展开式为： Im 2Im 1 1 is (sin t sin 3t sin 5t ) 2 3 5
周期性方波波形分解:
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f(t)
直流分量 f(t) t 基波 t
O T/4
t
(3) 正弦偶次分量；
(4) 余弦奇次分量。
试画出 f(t) 的波形。
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解
(1) 正弦分量；
f(t)
T/2 T/4
O T/4
T/2
t
(2) 余弦分量；
T/2 T/4
f(t)
2
208.3 89.53
(3)各谐波分量计算结果瞬时值迭加：
U0 1.57 mV
5000 mV U1 2
12.47 89.2 mV U3 2
4.166 89.53 mV U5 2
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f(t)
f(t)
t 例2
示波器内的水平扫描电压
t
周期性锯齿波
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例3 f(t)
脉冲电路中的脉冲信号
100 is 5 sin 5 106 t A 5
+
IS 0
（2）对各种频率的谐波分量单独计算：
（a) 直流分量 IS0 作用
I S 0 78.5 A 电容断路，电感短路:
R
U0
-
U0 RI S 0 20 78 .5106 1.57 mV
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直流分量 基波最大值 三次谐波最大值 五次谐波最大值 角频率
I m 157 I0 78.5 μA 2 2
I1m 2 1.57 100 A 3.14 2Im
I 3m
I5m

1 I1m 33.3 A 3 1 I1m 20μA 5 2 2 3.14
来自百度文库
Z (1 ) 50KΩ
is1 100sin106 t μA
100 106 5000 I Z ( ） U1 1 50 mV 1 2 2
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100 is 3 sin 3 106 t (c)三次谐波作用 3 1 1 0.33K 6 12 31C 3 10 1000 10
11.1 引 言
生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到 非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、 计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都 是周期性的非正弦波形。 非正弦周期交流信号的特点 (1)不是正弦波
(2) 按周期规律变化
例1 半波整流电路的输出信号
f (t ) f (t kT )
等效电源
is
Im
t
T/2
IS 0
. . .
is1
is 3
is 5
T
Im 2Im 1 1 is (sin t sin 3t sin 5t ) 2 3 5
IS0
is 1
is 3
is 5
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is
Im
Ak
m
矩形波的频谱图
t
T/2
T
0

3
5
7
Im 2Im 1 1 is (sin t sin 3t sin 5t ) 2 3 5
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例2 给定函数f(t)的部分波形如图所示。为使f(t) 的傅里叶级数中只包含如下的分量： f(t) (1) 正弦分量； (2) 余弦分量；
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t
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谐波分量：bk

Im
1
2
0
is ( t ) sin k t d ( t )

0
1 ( cos k t ) k
0 2Im k
k为偶数
k为奇数
ak
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A0 a0
系数之间 的关系为
Akm a b
2 k
2 k
ak Akm cos k bk k arctan ak
bk Akm sin k
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t
T
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例4
交直流共存电路
+V
f(t)
t
Es
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11.2 非正弦周期电路的谐波分析法
11.2.1 周期函数的付里叶分解