大一高数10习题课2
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高数10-6习题课2
z
o x
0
y
3 d x d y d z
0
xd ydz ydzdx zdxd y
2 3 3 0 2 R 3 R 3
P185 题4(2) , P185 题 9 同样可利用高斯公式计算.
例2. 设 为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n 为的 单位外法向向量, 试证 证明: 设 n (cos , cos , c2 )dxdy
(C)
zdxdy 2
D xy
( x 2 y 2 )dxdy ； D xy 3、B；4、C R 2 x 2 y 2 dxdy.
x t cos t , 5、求 zds ,其中 为曲线 y t sin t , ( 0 t t 0 ) ； z t , ds 6、求 2 其中 是界于平面 z 0及z H 2 2 x y z 2 2 2 之间的圆柱面 x y R ；
0
例3. 计算曲面积分
其中, r x 2 y 2 z 2 , : x 2 y 2 z 2 R 2 取外侧 .
解:
1 3 3 d x d y d z R 2 2 2 x y z 思考: 本题 改为椭球面 2 2 1时, 应如何 2 a b c 计算 ? 提示: 在椭球面内作辅助小球面 x 2 y 2 z 2 2 取
L
x cos 3 t , (0 t ) L : x y 1, 参数方程为 3 2 y sin t ,
2 3 2 3
ds ( x )2 ( y )2 dt 3 sin t cos tdt, t t
S 8
高等数学下册第10章习题2
北方工业大学 成绩《高等数学》练习册第十章 练习二：三重积分及应用 姓名 班级 学号 序号一．选择与填空题1．设2222:(0)x y z a z Ω++≤≥，1Ω为Ω在第一卦限的部分，则有 ［ ］．A ．14xdv xdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰； B ．14ydv ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；C ．14zdv zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰； D ．14xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．2．⎰⎰⎰--+-=22222221010y x yx x dz z dy dx ［ ］． A ．⎰⎰⎰-10222ρρπρρθdz z d d ； B ．⎰⎰⎰-2022202ρρπρρθdz z d d ；C ．dr r d d ϕϕϕθππsin cos 20202440⎰⎰⎰； D ．dr r d d ϕϕϕθππsin cos 2012440⎰⎰⎰．3．22222222222()x y z xy z x yz x y z dv ++≤++=⎰⎰⎰．4．22222213(cos sin )4z x y z x y x e y x y z dv ++≤+++=⎰⎰⎰．5. 化三重积分为柱坐标系下的三次积分2221(,,)x y z f x y z dv ++≤=⎰⎰⎰.6. 化三重积分为球坐标系下的三次积分2221(,,)x y z f x y z dv ++≤=⎰⎰⎰.二．计算题1．计算dxdydz x ⎰⎰⎰Ω，其中Ω为三个坐标面及平面12=++z y x 所围成的闭区域．2．计算三重积分dxdydz z ⎰⎰⎰Ω4，其中Ω是由椭球面14222=++zyx 所围成的空间闭区域．3．计算dv z y x ⎰⎰⎰Ω+22，其中Ω由422=+yx 、0=z 及2=+z y 围成．4．计算dv z y x I ⎰⎰⎰Ω++=222,其中Ω由锥面22yx z +=及球面222y x R z --=围成．5．设)(x f 为连续函数，且⎰⎰⎰Ω++=dv y x f z t )]([)(222φ，其中Ω：h z ≤≤0，222t yx ≤+，求dtd φ及2)(limtt t φ+→．四．证明题设)(z f 是连续函数，证明：⎰⎰⎰⎰-≤++-=1121)1)(()(222dz z z f dv z f z y x π．。
高数一 第10章重积分作业作业解答
2 2
解：所围立体为曲顶柱体（如图示） ，底区域为 D : 0 x 1, 0 y 1 x ， 顶面为 z x y ，立体的体积为
2 2
V ( x 2 y 2 ) d d x
D 0
1
1 x 0
( x2 y 2 ) d y
1 1 4 1 ( x 2 x 2 x3 ) d x . 0 3 3 6
4 0
d x
tan x 0
f ( x, y ) d y ；
tan x 0
解：积分区域如图阴影部分所示，
（2）
4 0
d x
f ( x, y ) d y d y
0
1
4 arctan y
f ( x, y ) d x .
2 1
d x
2 x x2 2 x
f ( x, y ) d y ； f ( x, y ) d y d y
0 2
4
x
1
（4）
2 0
d y
2y y
f ( x, y ) d x .
2y y
解：积分区域如图阴影部分所示，
2 0
d y
f ( x , y ) d x d x x f ( x , y ) d y d x x f ( x, y ) d y .
0 2 2 2
2 x
2
x
4
0 1 1 1 y 2 2 y
解：积分区域如图阴影部分所示，
（3）
2 1
d x
2y y2
2 x x2 2 x
f ( x, y ) d x .
解：所围立体为曲顶柱体（如图示） ，底区域为 D : 0 x 1, 0 y 1 x ， 顶面为 z x y ，立体的体积为
2 2
V ( x 2 y 2 ) d d x
D 0
1
1 x 0
( x2 y 2 ) d y
1 1 4 1 ( x 2 x 2 x3 ) d x . 0 3 3 6
4 0
d x
tan x 0
f ( x, y ) d y ；
tan x 0
解：积分区域如图阴影部分所示，
（2）
4 0
d x
f ( x, y ) d y d y
0
1
4 arctan y
f ( x, y ) d x .
2 1
d x
2 x x2 2 x
f ( x, y ) d y ； f ( x, y ) d y d y
0 2
4
x
1
（4）
2 0
d y
2y y
f ( x, y ) d x .
2y y
解：积分区域如图阴影部分所示，
2 0
d y
f ( x , y ) d x d x x f ( x , y ) d y d x x f ( x, y ) d y .
0 2 2 2
2 x
2
x
4
0 1 1 1 y 2 2 y
解：积分区域如图阴影部分所示，
（3）
2 1
d x
2y y2
2 x x2 2 x
f ( x, y ) d x .
高等数学大学课件 10-习题课
特征方程的根 通解中的对应项
若是 k重根 r
( C 0 C 1 x C k 1 x k 1 ) e rx
若是k重共轭 复根 j
[C (0C 1xC k1xk1)co xs (D 0D 1xD k1xk1)six n]e x
６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y p y q y f(x ) 二阶常系数非齐次线性方程
p(x)( 1) x2
f(x),
解此方程组，得
(x)1, f(x)3.
x
x3
（２） 原方程为 y1y 3 . x x3
显见 y1 1, y2 x2是原方程对应程 的齐 的两个线性无， 关的特解
又y* 1 是原方程的一个特解， x
由解的结构定理得方程的通解为
yC1C2x21x.
例7 一质量均匀的链一条无挂摩在擦的钉 上，运动开始时的，一链边条下垂８米边，另 下垂１０米，试链问条整滑个过钉子需间多．少
yp y q y 0
特征方程为 r2prq0
特征根的情况
通解的表达式
实根r1r2
yC1er1xC2er2x
实根r1r2
y(C1C2x)er2x
复根r1,2i yex(C1cosxC2sinx)
推广：n阶常系数齐次线性方程解法
y ( n ) P 1 y ( n 1 ) P n 1 y P n y 0 特征方程为 r n P 1 r n 1 P n 1 r P n 0
第十章 微分方程 习题课
一、基本内容
1、基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．
大一高数课件第十章10-习题
习题4
添加 标题
题目：求函数y=sin(x+π/4)在[0,π]上的最大值和最小值
添加 标题
解题思路：利用正弦函数的性质，将函数化为标准正弦函数形式，再利用正弦函数的单调性求解。
Байду номын сангаас
添加 标题
解题步骤：将函数y=sin(x+π/4)化为标准正弦函数形式y=sin(x+π/4)=sinx*cosπ/4+cosx*sinπ/4，再利用正弦 函数的单调性，当x=π/4时，y取得最大值1；当x=3π/4时，y取得最小值-1。
• 结论：函数y=sin(x+π/4)在[-π/2,π/2]上的最大值为1，最小值为-1
习题2
单击此处添加标题
题目：求函数f(x)=x^3-6x^2+9x-1的单调区间
单击此处添加标题
解题思路：首先求导数，然后判断导数的正负性，从而确定函数的单调区间。
单击此处添加标题
具体步骤：对函数f(x)求导得到f'(x)=3x^2-12x+9，解不等式f'(x)>0得到x<1或x>3，解 不等式f'(x)<0得到1<x<3，所以函数f(x)在区间(-∞,1)和(3,+∞)上单调递增，在区间(1,3) 上单调递减。
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大一高数课件第十章10-习题
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目 录
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 习 题 内 容 03 习 题 解 析 04 习 题 答 案
01
添加章节标题
辽宁工业大学高数习题课(10)
（这里 L 为区域 D 的正向边界曲线) 3．利用积分与路径无关的条件计算法.
c . Pdx Qdy 与路径无关 Pdx Qdy 0 ，为区域内任意闭曲线
L
c
P Q , ( x, y ) G ─单连域. y x
du Pdx Qdy, ( x, y ) G —单连域.
所以
AB
dx dy ydz [1 (1 x )]dx 2;
1
0
BC
dx dy ydz [(1 z ) (1 z )z ]dz ( 2 z )dz
0
0
1
1
3 2
CA
dx dy ydz 1 dx 1
采用框图中线路2→21的方法计算；此时应注意首先要利
用积分曲线方程将被积函数中的分母化简，去掉奇点，使 其满足格林公式的条件。
解法1：化为定积分计算。
x a cos t L 的参数方程为： , t 从 0 变到 2 . 则 y a sint
( x y )dx ( x y )dy I L x2 y2 1 2 2 [(a cos t a sint )(a cos t ) (a cos t a sint )(a sint )]dt a 0 1 2 2 [( a 2 )dt 2 a 0
0
1
从而
I
dx dy ydz (
3 1 1 2 2
AB
BC
) dx dy ydz
CA
2
解法2：利用斯托克斯公式计算. 设 为平面 x y z 1 上 L AB BC CA 所围成部分的上侧，
《高数》第十章习题课-线面积分的计算
12
练习题: P184 题 3(5) ; P185 题6; 10 3(5). 计算
其中L为上半圆周 提示:
沿逆时针方向.
I ex sin y d x (ex cos y 2)dy 2 ydx
L
L
2 ydx
L AB AB
L
L
:
xy
a a
(1 cos sin t
其中L为上半圆周
沿逆时针方向.
P185 6 . 设在右半平面 x > 0 内, 力
构成力场,其中k 为常数,
场力所作的功与所取的路径无关.
证明在此力场中
P185 10. 求力
沿有向闭曲线 所作的
功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三
角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向.
3
16
二、曲面积分的计算法
1. 基本方法
曲面积分
第一类( 第二类(
对面积 对坐标
) )
转化
二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
(2)
积分元素投影
第一类: 第二类:
始终非负 有向投影
(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
17
2. 基本技巧
(1) 利用对称性及重心公式简化计算 重心公式
20
例4. 设 为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n 为的 单位外法向向量, 试证
证明: 设 n (cos , cos , cos )
(常向量)
则 cos( n ,a ) d S n a 0 dS
大一高数课件第十章 10-习题课-1
L
半圆周 ( x − a ) 2 + y 2 = a 2 , y ≥ 0 ,沿逆时针方向 .
三、证明: 证明:
xdx + ydy 在整个 xoy 平面除去 y 的负半轴及 2 2 x +y
内是某个二元函数的全微分, 原点的开区域 G 内是某个二元函数的全微分,并 求出一个这样的二元函数 .
测验题答案
(2) I2 = ∫ ( x2 − y+ y2)d x + ( y2 − x)d y L
= ∫ ( x2 − y)d x + ( y2 − x)dy + ∫ y2 dx
L L
L: x = acost, y = asint ,
t : 0 →π
= I − ∫ a sin3 t d t = −2a3
0
π 3
非闭
I = ∫ Pdx + Qdy =0
L
闭合
∂P ∂Q ∂P = ≠ ∂y ∂x ∂y ∂x非闭 补充曲线或用公式
∂Q ∂P 闭合 I = ∫∫ ( − )dxdy ∂x ∂y ∂Q D
解
由 I = ∫ ( x2 + 2xy)dx + ( x2 + y4 )dy
1
y
A
∂P ∂ 2 知 = ( x + 2 xy ) = 2 x ∂ y ∂y ∂Q ∂ 2 = ( x + y4 ) = 2 x x ∂x ∂x o 1 ∂P ∂Q 1 2 1 , 即 = 故原式 = ∫ x dx + ∫ (1 + y 4 )dy = 23 . ∂y ∂x 0 0
λ→0 i=1
n
∫ P( x, y)dx+ Q( x, y)dy
半圆周 ( x − a ) 2 + y 2 = a 2 , y ≥ 0 ,沿逆时针方向 .
三、证明: 证明:
xdx + ydy 在整个 xoy 平面除去 y 的负半轴及 2 2 x +y
内是某个二元函数的全微分, 原点的开区域 G 内是某个二元函数的全微分,并 求出一个这样的二元函数 .
测验题答案
(2) I2 = ∫ ( x2 − y+ y2)d x + ( y2 − x)d y L
= ∫ ( x2 − y)d x + ( y2 − x)dy + ∫ y2 dx
L L
L: x = acost, y = asint ,
t : 0 →π
= I − ∫ a sin3 t d t = −2a3
0
π 3
非闭
I = ∫ Pdx + Qdy =0
L
闭合
∂P ∂Q ∂P = ≠ ∂y ∂x ∂y ∂x非闭 补充曲线或用公式
∂Q ∂P 闭合 I = ∫∫ ( − )dxdy ∂x ∂y ∂Q D
解
由 I = ∫ ( x2 + 2xy)dx + ( x2 + y4 )dy
1
y
A
∂P ∂ 2 知 = ( x + 2 xy ) = 2 x ∂ y ∂y ∂Q ∂ 2 = ( x + y4 ) = 2 x x ∂x ∂x o 1 ∂P ∂Q 1 2 1 , 即 = 故原式 = ∫ x dx + ∫ (1 + y 4 )dy = 23 . ∂y ∂x 0 0
λ→0 i=1
n
∫ P( x, y)dx+ Q( x, y)dy
2019-大一(上)高数课件—第二章习题课(课外作业(二)-文档资料-文档资料
2
2
故当x a 时面积最大, 最大面积: 2ab 2 y
b
(x, y)
ax
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四、证明题. 1.设f(s)4slnss22s4 (0s2), f(s)4lns2s2
令f(s)0得驻:点 s1 f(s)420 (0s2) s
f(s)单增 (0s2) 当0s1时, f(s)0 当1s2时, f(s)0; s1是最小.值点 f(s)在区(间 0,2)的最小: f值 (1)1 故: f(s)0得证 .
习题课(课外作业(二))
一、填空题. 1. 2 1/2, 2 3. 极小值
2. [1/2,) (0,1/2] 4. 是零或不存在
二、选择题. 1. B 2. B
三、计算题.
1. e 2. 0
3.
函
数f
(r)
有
唯
一
驻:r点 0
1 n1
M(n)
n
n1
n1
l i mM(n)e1
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x
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五、
x ( ,0) (0,1) 1 (1,2) 2 (2, )
f (x)
0
f (x)
0
曲线
单减
单增
单减
极大
拐点
单减
y f (x) 上 凸 上 凸
上凸
下凸
曲 线 过 点 : (1, 0)、 (1,3)、 (2,2)
铅 直 渐 近:线x 0 水 平 渐 近:线y 1
n
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4. 设在第一象限取一点(x, y) 联成矩形,矩形面积: S 4xy
大一高数课件第十章10-习题课-2
1
(C) z 2dxdy 2 z 2dxdy.
1
2、若 为 z 2 ( x 2 y 2 )在 xoy面上方部分的曲面 ,
则 ds等于( C ).
(A)
2
d
r
1 4r 2 rdr ;(B)
2
d
2
1 4r 2 rdr;
0
0
*
(
P x
Q y
R z
)dxdydz
2
o1
*
y
3
x
(8 y 1 4 y 4 y)dxdydz dv
3
dxdz 1 z2 x2 dy
Dxz
2 d
0
2 d
0
3
1 2 dy
2 0 2 (2 3 )d 2 ,
0
0
(C)
2
d
2 1 4r 2 rdr.
0
0
3、若 为球面x 2 y 2 z 2 R2 的外侧,则 x 2 y 2 zdxdy 等于( A ).
(A) 2 x2 y2 R2 x2 y2dxd;y
Dxy
(B) x 2 y 2 R2 x 2 y 2 dxdy ;
3
3
3
I
{
1[ 3
f
( x,
y,z)
x]
1 [2 f ( x, y, z) y] 1 [ f ( x, y, z) z]}dS
3
3
1 3
(x
高数第十章习题课
熟练运用极限的四则运算法则，以及复合 函数的极限运算法则。
两个重要极限
无穷小量的比较
掌握两个重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$和$lim_{x to infty} (1 + frac{1}{x})^x = e$的应用。
理解无穷小量的概念，掌握无穷小量比较 的方法，会用等价无穷小量替换求极限。
知识点回顾与总结
高数第十章核心知识点
01
02
03
04
多元函数微分学
包括多元函数的极限、连续、 偏导数、全微分等基本概念和 性质。
多元函数微分法
包括复合函数、隐函数的求导 法则，以及多元函数的极值和 最值问题。
方向导数与梯度
理解方向导数的概念，掌握梯 度及其几何意义，了解梯度与 方向导数的关系。
多元函数的泰勒公式
忽视多元函数极限的存在性
在求解多元函数极限时，需要注意极限的存在性 ，不能简单地通过代入法求解。
忽视方向导数与梯度的关系
方向导数是梯度在某一方向上的投影，因此方向 导数与梯度密切相关。
03
典型例题解析与讨论
例题一：求解极限问题
极限概念的理解
极限的运算法则
通过具体例子加深对极限概念的理解，掌 握求极限的基本方法。
理解多元函数的泰勒公式及其 几何意义，掌握利用泰勒公式 求多元函数的极值方法。
常见题型及解题方法
求多元函数的极限
通过消元法、等价无穷小替换等方法求解。
求多元函数的偏导数、全微分
掌握偏导数、全微分的定义及计算方法，注意复合函数、隐函数的求 导法则。
判断多元函数的单调性、极值、最值
通过求一阶、二阶偏导数，判断函数的单调性，利用极值的必要条件 和充分条件判断极值，通过比较法或拉格朗日乘数法求最值。
辽宁工业大学高数习题课10-1-2
特殊的有向曲线 L1:x24y22( 0充分小), 规定L1的方向为
逆时针（如图所示）。
y
L
设 L(L1)所围成的区域为D,
L1
则在L(L1)上应用Green 公式，得
0
x
yd x xdyQP
( )dxd 0,y L L 1 x24y2 D x y
所以
ydxxdy
L x24y2
L1
ydxxdy
x24y2 .
而
ydxxdy1 L1 x24y2 2
ydxxdy 1
L1
2
2dxdy
D
故
ydx xdy
L x2 4y2
或利用参数方程计算：令L 1
:xcos,y sin ,
2
从0到2
.
所以 ydxxdy ydxxdy
L x2 4y2 L1 x2 4y2
21 22(s 0
1y}
,
于是
WBO rk3[xdx (1y)d]yk
1d[x2 (1y)2] 2 (0,0) (2,0) [x2 (1y)2]32
1k(2)[x2(1y)2]1 2
(0,0)
k(1
1
).
2
(2,0)
5
感谢您的关注
解: 补直线段 L OA: y 0, x从0变到; 并设曲线LL
所围区域为 D（如图），则由Green公式，得：
ex [1 ( co y )ds x (y siy )n d]y L L
Q
(
D
x
P)dxdy y
yexdxdy
D
y
ysinx
L
dxsinxexydy1 (1 e )
高数习题课(全)
2. 设函数 f ( x)在[a, b]上连续，在 ( a, b) 内可导， 其中 a , b均为方程 f ( x) 0 的实根，则方程 f ( x) 0 在( a, b)内( C )
( A) 仅有一实根； (C ) 至少有一实根； ( B) 至少有2个实根；
( D) 没有实根.
dy d 2 y , 2 dx dx
.
x 0
f ( x) 3, 求 f (2). 2.设 f ( x) 在 x 2 处连续，且 lim x2 x 2 1 sin x x 3.设 y e sin e f (arctan ) , 其中 f ( x) 可微，求 x y, dy.
lim f ( x ) A
lim f ( x ) A
两者的 关系 无穷小
极限存在的 充要条件 判定极限 存在的准则
左右极限 两个重要 极限
极限的性质 极限的运算 法则
lim f ( x ) 0
无穷小 的性质
求极限的常用方法
等价无穷小 及其性质
无穷小的比较
（三）连续
连
x 0
续 定 义
x cos t 3, 3. 已知曲线 y t sin t , 分 ds 2 sin t dt 2
(0 t ) ，则弧微
4.
5.
a a a 求 lim x n 2 3 求函数 f ( x) ( x 1) 3 2
5.设 y f (arctan x) ，其中 f ( x) 可导，则 dy 1 f (arctan x ) dx 2 1 x
二、选择题
f ( x0 3h) f ( x0 ) 6.设 f ( x0 )存在，则 lim (C ) h 0 h f ( x0 ) f ( x0 ) ( B ) ( A) 3 3
《高等数学》(北大第二版 )第10章习题课
L
⋅
D
L-
∂Q ∂P ∫ = ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = 2∫∫ dxdy = 8 D L− + 0 B D ∂Q ∂P − )dxdy − ∫ ) ∴ ∫ = -( ∫ − ∫ ) = -(∫∫ ( ∂x ∂y D 0B L 0B L +0 B
B(4,0)
⋅
x
= −8 + 0 = −8
B0
比较以上几种解法，方法5最简便，方法6次之.
例 4 计算 ∫ x 2 + y 2 dx + y[ xy + ln( x + x 2 + y 2 )]dy
其中L为曲线y=sinx (0 ≤ 解 应用格林公式
L
x ≤ π ) 按x增大方向 .
y
∂Q ∂P y 2 =y + , = 2 2 ∂y ∂x x +y
L
解1 I = ∫ (2 x ⋅ x 2 − x 2 )dx + [ x + ( x 2 ) 2 ]2 xdx
0
0 1
+ ∫ [2 y 2 ⋅ y − ( y 2 ) 2 ]2 ydy + ( y 2 + y 2 )dy
Y=x2
7 17 1 0 x = − = . 6 15 30 y = ϕ ( x) (0 ≤ x ≤ 1). ∂Q ∂P 解2 I = ∫∫ ( − )dxdy x = ψ ( y ) (1 ≥ y ≥ 0). ∂x ∂y D 1 x 1 = ∫∫ (1 - 2x) dxdy = ∫ dx ∫ 2 (1 − 2 x)dy = . 0 x 30 D
Γ为球面上的三角形x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ( x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0)围线的正向.
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( B )式正确.
(A) zds 2 zds;
1
(B) zdxdy 2 zdxdy;
1
(C) z 2dxdy 2 z 2dxdy.
1
2、若 为 z 2 ( x 2 y 2 )在 xoy面上方部分的曲面 ,
则 ds等于( C ).
(A)
2
d
r
1 4r 2 rdr ;(B)
2
2(1
2
y
)dzdx
4
yzdxdy
z
且有 I
* *
*
(
P x
Q y
R z
)dxdydz
2
o1
*
y
3
x
(8 y 1 4 y 4 y)dxdydz dv
3
dxdz 1 z2 x2 dy
Dxz
2 d
0
2 d
0
3
1 2 dy
2 0 2 (2 3 )d 2 ,
2(1 32 )dzdx 32 , 故I 2 (32 ) 34 .
R(i ,i , i )(Si )xy
联 (P cos Qcos Rcos )dS Pdydz Qdzdx Rdxdy
系
计 f (x, y, z)ds
R( x, y, z)dxdy
算
f [x, y, z(x, y)]
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
R[x, y, z(x, y)]dxdy
Dxy
Dxy
一代,二换,三投(与侧无关)
一代,二投,三定向 (与侧有关)
积分概念的联系
n
f (M )d
lim
0
i 1
f
(
M
)
i
,
f (M )点函数
定积分
当 R1上区间[a,b]时,
f (M )d
b
a f ( x)dx.
二重积分 当 R2上区域D时, f (M )d f ( x, y)d . D
Dxy
(C) 0 .
4、曲面积分 z 2dxdy在数值上等于( C ).
(A) 向量 z 2 i 穿过曲面 的流量； (B) 面密度为 z 2的曲面 的质量； (C) 向量 z 2 k 穿过曲面 的流量 .
5、设 是球面 x 2 y 2 z 2 R2的外侧, Dxy是 xoy面
[ f ( x, y, z) z]dxdy, 其中 f ( x, y, z)
为连续函数, 为平面 x y z 1
1
oy
在第四卦限部分的上侧．
1
x
解 利用两类曲面积分之间的关系
的法向量为n {1,1,1},
cos 1 , cos 1 , cos 1 .
3
3
3
I
{
1[ 3
* *
思考题
1、 二重积分是哪一类积分? 答: 第一类曲面积分的特例.
2、 设曲面
问下列等式是否成立?
不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关
3、 设曲面 : x2 y2 z2 R2 外侧, 则
1) zdS ( 0 )
2) zdxdy ( 4R3 )
3
测验题
一、 选择题: 1、设 为球面 x 2 y 2 z 2 1,1为其上半球面,则
I
(8 y
1)xdydz
2(1
2
y )dzdx
4 yzdxdy
,其中
是由曲
线z y 1 (1 y 3)绕 y 轴旋转一周所成的曲面,它的法向量
x 0
与 y轴正向的夹角恒大于 .
2
解 z
y 1绕y轴旋转面方程为y 1 z2 x2 (如下图)
x 0
欲求
I
(8
y
1) xdydz
三重积分当 R3上区域时, f (M )d f ( x, y, z)dV
曲线积分 当 R2上平面曲线L时, f (M )d L f ( x, y)ds.
曲线积分当 R3上空间曲线时, f (M )d f ( x, y, z)ds. 曲面积分 当 R3上曲面S时, f (M )d f ( x, y, z)dS.
解 利用两类曲面积分之间的关系
f x
x, x2 y2
f y
y, x2 y2
D
I
y, x, z2
x, x2 y2
y x2
y2
,1dS
z2dS ( x2 y2 )dxdy
Dxy
2
0
d
2
1
r2
rdr
15
2
.
[Dxy : 1 x2 y2 4 ]
例 6 计算曲面积分
习题课（二）
第十章
曲面积分的计算
一、 曲面积分的计算法 二、高斯公式、通量与散度
一、曲面积分 曲面积分
对面积的
曲面积分
计
算
联系
对坐标的 曲面积分
曲面积分
对面积的曲面积分
定 义
n
f
(
x,
y,
z)ds
lim
0 i1
f
(i
,i
,
i
)si
对坐标的曲面积分
n
R( x,
y, z)dxdy
lim
0
i 1
S
二、典型例题
例1 计算 ( x2 2 y2 4z2 )ds,其中为球面 x2 y2 z2 1
解 设 1 : z 1 x2 y2 ; 2 : z 1 x2 y2
则 ( x2 2 y2 4z2 )ds 2 x2 2 y2 4(1 x2 y2 )
Dxy
1
1 1
o 1y x
I
1 1
用柱坐标
用极坐标
d x d ydz (1) Dx(y x2 )d x d y
2
0
d
1rdr
0
2
0
cos2
d
13
12
z 2
1 1
o 1y x
例3、 计算
z
I [ f ( x, y, z) x]dydz [2 f ( x, y, z) y]dzdx 1
dxdy
1 x2 y22ຫໍສະໝຸດ 20d10(4
3r
2
r
2
sin2
)
r dr 28
1 r2
3
例2、设 为曲面 z 2 x2 y2, 1 z 2 取上侧, 求
I
(
x
3z
x)
d
y
d
z
x
2
yz
d
z
d
x
x
2z
2
dx
z
d
y.
解: 作取下侧的辅助面
2
1 : z 1 (x, y) Dxy : x2 y2 1
f
( x,
y,z)
x]
1 [2 f ( x, y, z) y] 1 [ f ( x, y, z) z]}dS
3
3
1 3
(x
y
z)dS
1 3
1
Dxy
3dxdy 1 . 2
例５ 计算 I ydydz xdzdx z2dxdy, 其中 为
锥面 z x2 y2 被平面z 1, z 2 所截部分的外侧．
d
2
1 4r 2 rdr;
0
0
0
0
(C)
2
d
2 1 4r 2 rdr.
0
0
3、若 为球面x 2 y 2 z 2 R2 的外侧,则 x 2 y 2 zdxdy 等于( A ).
(A) 2 x2 y2 R2 x2 y2dxd;y
Dxy
(B) x 2 y 2 R2 x 2 y 2 dxdy ;
(A) zds 2 zds;
1
(B) zdxdy 2 zdxdy;
1
(C) z 2dxdy 2 z 2dxdy.
1
2、若 为 z 2 ( x 2 y 2 )在 xoy面上方部分的曲面 ,
则 ds等于( C ).
(A)
2
d
r
1 4r 2 rdr ;(B)
2
2(1
2
y
)dzdx
4
yzdxdy
z
且有 I
* *
*
(
P x
Q y
R z
)dxdydz
2
o1
*
y
3
x
(8 y 1 4 y 4 y)dxdydz dv
3
dxdz 1 z2 x2 dy
Dxz
2 d
0
2 d
0
3
1 2 dy
2 0 2 (2 3 )d 2 ,
2(1 32 )dzdx 32 , 故I 2 (32 ) 34 .
R(i ,i , i )(Si )xy
联 (P cos Qcos Rcos )dS Pdydz Qdzdx Rdxdy
系
计 f (x, y, z)ds
R( x, y, z)dxdy
算
f [x, y, z(x, y)]
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
R[x, y, z(x, y)]dxdy
Dxy
Dxy
一代,二换,三投(与侧无关)
一代,二投,三定向 (与侧有关)
积分概念的联系
n
f (M )d
lim
0
i 1
f
(
M
)
i
,
f (M )点函数
定积分
当 R1上区间[a,b]时,
f (M )d
b
a f ( x)dx.
二重积分 当 R2上区域D时, f (M )d f ( x, y)d . D
Dxy
(C) 0 .
4、曲面积分 z 2dxdy在数值上等于( C ).
(A) 向量 z 2 i 穿过曲面 的流量； (B) 面密度为 z 2的曲面 的质量； (C) 向量 z 2 k 穿过曲面 的流量 .
5、设 是球面 x 2 y 2 z 2 R2的外侧, Dxy是 xoy面
[ f ( x, y, z) z]dxdy, 其中 f ( x, y, z)
为连续函数, 为平面 x y z 1
1
oy
在第四卦限部分的上侧．
1
x
解 利用两类曲面积分之间的关系
的法向量为n {1,1,1},
cos 1 , cos 1 , cos 1 .
3
3
3
I
{
1[ 3
* *
思考题
1、 二重积分是哪一类积分? 答: 第一类曲面积分的特例.
2、 设曲面
问下列等式是否成立?
不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关
3、 设曲面 : x2 y2 z2 R2 外侧, 则
1) zdS ( 0 )
2) zdxdy ( 4R3 )
3
测验题
一、 选择题: 1、设 为球面 x 2 y 2 z 2 1,1为其上半球面,则
I
(8 y
1)xdydz
2(1
2
y )dzdx
4 yzdxdy
,其中
是由曲
线z y 1 (1 y 3)绕 y 轴旋转一周所成的曲面,它的法向量
x 0
与 y轴正向的夹角恒大于 .
2
解 z
y 1绕y轴旋转面方程为y 1 z2 x2 (如下图)
x 0
欲求
I
(8
y
1) xdydz
三重积分当 R3上区域时, f (M )d f ( x, y, z)dV
曲线积分 当 R2上平面曲线L时, f (M )d L f ( x, y)ds.
曲线积分当 R3上空间曲线时, f (M )d f ( x, y, z)ds. 曲面积分 当 R3上曲面S时, f (M )d f ( x, y, z)dS.
解 利用两类曲面积分之间的关系
f x
x, x2 y2
f y
y, x2 y2
D
I
y, x, z2
x, x2 y2
y x2
y2
,1dS
z2dS ( x2 y2 )dxdy
Dxy
2
0
d
2
1
r2
rdr
15
2
.
[Dxy : 1 x2 y2 4 ]
例 6 计算曲面积分
习题课（二）
第十章
曲面积分的计算
一、 曲面积分的计算法 二、高斯公式、通量与散度
一、曲面积分 曲面积分
对面积的
曲面积分
计
算
联系
对坐标的 曲面积分
曲面积分
对面积的曲面积分
定 义
n
f
(
x,
y,
z)ds
lim
0 i1
f
(i
,i
,
i
)si
对坐标的曲面积分
n
R( x,
y, z)dxdy
lim
0
i 1
S
二、典型例题
例1 计算 ( x2 2 y2 4z2 )ds,其中为球面 x2 y2 z2 1
解 设 1 : z 1 x2 y2 ; 2 : z 1 x2 y2
则 ( x2 2 y2 4z2 )ds 2 x2 2 y2 4(1 x2 y2 )
Dxy
1
1 1
o 1y x
I
1 1
用柱坐标
用极坐标
d x d ydz (1) Dx(y x2 )d x d y
2
0
d
1rdr
0
2
0
cos2
d
13
12
z 2
1 1
o 1y x
例3、 计算
z
I [ f ( x, y, z) x]dydz [2 f ( x, y, z) y]dzdx 1
dxdy
1 x2 y22ຫໍສະໝຸດ 20d10(4
3r
2
r
2
sin2
)
r dr 28
1 r2
3
例2、设 为曲面 z 2 x2 y2, 1 z 2 取上侧, 求
I
(
x
3z
x)
d
y
d
z
x
2
yz
d
z
d
x
x
2z
2
dx
z
d
y.
解: 作取下侧的辅助面
2
1 : z 1 (x, y) Dxy : x2 y2 1
f
( x,
y,z)
x]
1 [2 f ( x, y, z) y] 1 [ f ( x, y, z) z]}dS
3
3
1 3
(x
y
z)dS
1 3
1
Dxy
3dxdy 1 . 2
例５ 计算 I ydydz xdzdx z2dxdy, 其中 为
锥面 z x2 y2 被平面z 1, z 2 所截部分的外侧．
d
2
1 4r 2 rdr;
0
0
0
0
(C)
2
d
2 1 4r 2 rdr.
0
0
3、若 为球面x 2 y 2 z 2 R2 的外侧,则 x 2 y 2 zdxdy 等于( A ).
(A) 2 x2 y2 R2 x2 y2dxd;y
Dxy
(B) x 2 y 2 R2 x 2 y 2 dxdy ;