2015全国卷1数学试卷及答案

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一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分。

1、已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B I 中的元素个数为 （A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2

2、已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--u u u r

，则向量BC =u u u r

（A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4) 3、已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ）

（A ） 2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i +

4、如果3个正数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ） （A ）

310 （B ）15 （C ）110 （D ）1

20

5、已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为1

2

，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = （A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积

及为

米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）

（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛

7、已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） （A ）

172 （B ）19

2

（C ）10 （D ）12 8、函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ） （A ）1

3(,),4

4

k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44

k k k Z ππ-+∈

（C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44

k k k Z -+∈

9、执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的

n =

（ ）

（A ） 5 （B ）6 （C ）10 （D ）12

10、已知函数1222,1

()log (1),1

x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则(6)f a -=

（A ）47- （B ）54- （C ）34- （D ）14

-

11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )

（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8

12、设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=， 则a =( )

（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题,每小题5分

13、数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = . 14.已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则

a = .

15. 若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪

-+≤⎨⎪-+≥⎩

,则z =3x +y 的最大值为 ．

16.已知P 是双曲线2

2

:18

y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，()

0,66A ，当APF ∆周

长最小时，该三角形的面积为 ． 三、解答题

17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，

2sin 2sin sin B A C =. （I ）若a b =，求cos ;B

（II ）若90B =o ，且2,a = 求ABC ∆的面积.

18. （本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，

（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；

（II ）若120ABC ∠=o ，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为

6

3

，求该三棱锥的侧面积. 19. （本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量（单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x ，和年销售量()1,2,3,,8i y i =L 的数据作了初步处理，得到下面的

散点图及一些统计量的值.

（I ）根据散点图判断，y a bx =+与y c d x =+，哪一个宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；

（II ）根据（I ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；

（III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =- ，根据（II ）的结果回答下列问题：

（i ）当年宣传费90x =时，年销售量及年利润的预报值时多少？ （ii ）当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据（u 1 v 1）,（u 2 v 2）…….. （u n v n ）,其回归线v=αβ+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

20（本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()2

2

231x y -+-=交于M ，N 两点.

（I ）求k 的取值范围； （II ）12OM ON ⋅=u u u u r u u u r

，其中O 为坐标原点，求MN .

21. （本小题满分12分）设函数()2ln x f x e a x =-.

（I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （II ）证明：当0a >时()22ln f x a a a

≥+.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图AB 是圆O 直径，AC 是圆O 切线，BC 交圆O 与点E .