第一讲数的整除
四年级奥数第一讲 数的整除问题
第一讲数的整除问题一、基本概念和知识：1、整除：定义：一般地，如果a，b，c为整数，且a÷b=c，我们就说，a能被b整除（或者说b 能整除a）。
用符号“b| a”表示。
2、因数和倍数：如果a能被b整除，即a÷b=c由a÷b=c得：a=b×c，我们就说b（c）是a的因数（或约数），a是b（c）的倍数.提醒：一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。
练习：写出下面每个数的所有的因数：1的因数：__________________； 7的因数：__________________；2的因数：__________________； 8的因数：__________________；3的因数：__________________； 9的因数：__________________；4的因数：__________________； 10的因数：__________________；5的因数：__________________； 11的因数：__________________；6的因数：__________________； 12的因数：__________________；公因数（公约数）：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数（公约数）。
如：3和4的公因数是：___________，6和8的公因数是：___________，3、质数与合数：在上面的题目中，我们发现，1只有1个因数，有些数只有2个因数，还有些数有很多因数。
根据因数的多少，我们可以把大于1的自然数分为两类：质数与合数。
（１）质数：一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。
（２）合数：一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
（３）0和１既不是质数，也不是合数。
、请写出20以内的所有质数：_____________________________________________________ 注意：最小的质数是____，质数里面除了______是偶数外，其它都是______数。
第1讲 数的整除(1)
第一讲数的整除（1）【知识梳理】1、整除的定义：对于整数a和不为零的整数b，如果a除以b的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，b能整除a，记做b a。
a就是b的倍数，b是a的因数（或因数）。
2、一些数的整除特征：①被2整除的特征：数的个位上是0、2、4、6、8（即是偶数）；②被3、9整除的特征：数的各数位上的数字和是3或9的倍数；③被5整除的特征：数的个位上是0、5；④被4、25整除的特征：数的末两位是4或25的倍数；⑤被8、125整除的特征：数的末三位是8或125的倍数；⑥被11整除的特征：数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和，两者的差是11的倍数。
【例题精讲】例1、按要求写出符合要求的数：一个四位数467□。
（1）要使它是2的倍数，这个数可能是（）；（2）要使它是5的倍数，这个数可能是（）；（3）要使它既含有因数2，又含有因数5，这个数是（）。
分析：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数数；个位上是0或5的数是5的倍数；个位上是0的数，能同时被2和5整除。
解答：（1）这个数可能是4670、4672、4674、4676、4678。
（2）这个数可能是4670、4675。
（3）这个数是4670。
例2、判断47382能否被3或9整除？分析：能被3或9整除的数的特点是这个数各数位上的数字和是3或9的倍数。
47382各个数位的数字相加和是24，24是3的倍数但不是9的倍数。
解答：47382能被3整除，不能被9整除。
例3、判断：1864能否被4整除？分析：能被4整除的数的特点是这个数的末两位是4的倍数， 1864的末两位是64，64是4的倍数。
能被125整除的数的特点是这个数的末三位是125的倍数，29375的末三位是375，375是125的倍数。
解答：1864能被4整除，29375能被125整除。
例4、29372能否被8整除？分析：能被125整除的数的特点是这个数的末三位是8的倍数，29372的末三位是372，372不是8的倍数。
六年级奥数第一讲数的整除
第一讲数的整除学生黄文浩学生年级六年级学科数学授课教师马老师上课日期2016年 9 月24 日时段核心容数的整除课型一对一教学目标1.熟记2、5、3的倍数的特征。
2.灵活掌握8、9、11的倍数的特征。
3.综合运用所学知识灵活解决问题。
重难点掌握2、5、3、8、9、11的倍数的特征，解决问题。
【课首沟通】了解学生对2、5、3的倍数的特征的掌握情况；适当的向学生提出问题4、8、9、11的倍数的特征；引起学生的好奇心，激发学生学习探讨的兴趣。
【知识导图】精准诊查【课首小测】1.人们口上经常所说的单数、双数是什么意思？（口述回答）2.从下面四数字卡中取出三，按要求组成三位数。
（有几个写几个）奇数：（ ）偶数：（ ） 2的倍数：（ ） 3的倍数：（ ） 5的倍数：（ ） 5的倍数：（ ） 既是2又是3的倍数：（ ）【知识梳理】能被2整除的数：个位数是0、2、4、6、8。
能被5整除的数：个位数是0或5。
自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数导学一 2、5的倍数的特征 1.判断题。
（1）两个奇数的和不一定是偶数。
（ ） （2）个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。
（ ）2.填一填。
（1）2的倍数中最小的三位数是（ ）；最大的三位数是（ ）。
（2）5的倍数中最小的两位数是（ ）；最大的两位数是（ ）。
（3）既是2的倍数又是5的倍数的最大的两位数是（ ）。
奇数＋奇数＝ 偶数＋偶数＝ 奇数－奇数＝ 奇数＋偶数＝奇数×奇数＝ 奇数×偶数＝3.选择题（1）能被5整除的数，个位上是（ ）。
A、2 4 6B、1 3 5C、0 5（2）既是2的倍数又是5的倍数的数中，最小的两位数是( ).A、10B、20C、25（3）一个奇数如果（），结果就是偶数。
A、乘1B、减2C、加1（4）如果用n表示自然数，那么偶数可以表示为（）。
A、2nB、n＋2C、n－14.解决问题。
数的整除(1)
第一讲数的整除(1)【典型例题1】试证明“三个连续的正整数之和能被3整除”。
解析：我们可设a为大于1的正整数，那么和它相邻的两个整数为a－1和a＋1，这三个数之和为a－1＋a＋a＋1＝3a，所以我们可以说三个连续的正整数之和一定能被3整除。
【知识点】1、整数和整除的意义整除：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，就说a能被b整除；或者说b能整除a。
注意整除的条件： (1)除数、被除数都是整数；(2)被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
2、自然数和整数零和正整数统称为自然数．正整数．零和负整数统称为整数.【基本习题限时训练】1、下列算式中表示整除的算式是（）（A）9÷18＝0.5 （B）6÷2＝3（C）15÷4＝3……3 （D）0.9÷0.3＝3【解】B2、下列各组数中，均为自然数的是（）（A） 1.1，1.2，1.3 （B）-1，-2，-3（C）23，34，45（D） 2，4，6【解】D3、下列说法正确的是……………………………………………………（）（A）最小的整数是0 （B）最小的正整数是1（C）没有最大的负整数（D）最小的自然数是14、判断：（1）零是整数，但不是自然数；（2）-1是最大的负整数；（3）3248÷=，则4能被32整除；（4）整数中没有最大的数，也没有最小的数。
【解】（1）不正确。
零是整数，也是自然数；（2）正确（3）不正确。
应该是32能被4整除；（4）正确5、13、24、57、88四个数中能被2整除的数有哪几个？【解】四个数中能被2整除的数有24、88，共两个。
6、正整数36能被正整数a整除，写出所有符合条件的正整数a。
【解】a可以是1，2，3，4，6，9，12，18，36.【拓展题】1、三个连续自然数的和是306，求这三个自然数。
【解】设相邻的三个奇数分别为1n（n为大于1的正整数），根据题意-nn,1+,建立方程306nn，求得方程的解102=-nn，这三个自然数为101，102，+1=1++103.点评：此题主要考查的知识点整数的表示方法。
第一讲 数的整除
第一讲 数论（1）—数的整除【知识要点】1.整除的意义：在小学阶段讲“数的整除”时所说的数一般指自然数，不包括0。
数a 除以数b ，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说，a 能被b 整除，或者说b 能整除a2.“数的整除”概念归类整理如下：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧→⎩⎨⎧→→=÷整除的数的特征能被大数是小数的倍数两个数是互质数最小公倍数的倍数或是倍数小数是大数的约数两个数是互质数最大公约数的约数是或约数合数和质数奇数和偶数都是自然数整除5321,,,，，c b a a c b 、c b a c b a 3. 能被2，3，4，5，7，8，9，11，13整除的数的特征：（略）【基础练习】(1) 在13和52两个数里，( )能被( )整除，( )是( )的约数，( )是( )的倍数。
(2) 能被5，7，16整除的最小自然数是( )。
(3) 在18，30，45，84，244，225，360，420这些数中，能被2整除的数是( ),能被3整除的数是( )，能被2，3，5整除的的数是( )。
(4) 能被3和5同时整除的最大两位数是( )；是2的倍数又含有约数5的最小三位数是( )。
(5) 从0，1，4，6，7这五个数中，选取四个数字组成一个最大的四位数，且同时能被2，3，5整除。
这个四位数是( )。
(6) 在□里填上合适的数，使17□45□能同时被2，3，5整除，共有( )种填法。
(7)在11÷2，31÷5，51÷3中，( )能被( )整除，( )叫做( )的约数，( )叫做( )倍数。
(8)一个数被6、7、8除都余1，这个数最小是（）。
(9)有9、7、2、1、0五个数字，用其中的四个数字，组成能同时被2、3、5整除的最小的四位数是（）。
(10) 一个能被9、12、15整除的最小数是（）【典型例题】1．在□中填入适当的数字。
185□能被4整除 467□能被8整除 785□5能被11整除2．100名学生面向老师站成一排，按从左到右的顺序依次报1，2，3，…，100。
第1讲 数的整除-学生讲义
第1讲数的整除一、知识点1.整除的概念：整数a 除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，则称a能被b整除（或者说b能整除a），记作b|a，其中a叫做b的倍数，b叫做a的因数。
注意：我们讨论的整除性均在正整数范围内。
2.数的整除特征（1）一个数的个位数字是0，2，4，6，8中的某一个，那么这个整数就能被2整除。
（2）一个数的个位数字是0或者5，那么这个整数就能被5整除。
（3）一个数各数位上的数字和能被3或9整除，那么这个数就能被3或9整除。
（4）一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。
（5）一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
（6）|（7）一个数既能被2整除，又能被3整除，则这个数能被6整除，反之一个数能被6整除，则这个数一定能被6的因数（1,2,3,6）整除。
（8）能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）是11的倍数，那么这个数就是11的倍数。
（9）能被7（11或13）整除的特征：一个数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差（大数减小数）能被7（11或13）整除，那么这个数就能被7（11或13）整除。
3.数整除的性质（1）如果两个整数a、b都能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被数c整除（2）如果数a能被数b整除，c是整数，那么ac也能被数b整除。
（3）如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么数a也一定能被数c整除。
（4）如果数a能同时被数b、c整除，而且b、c互质，那么a一定能被积bc整除。
二、典例剖析#例1.周老师为全班28名同学买了价格相同的钢笔（每人一支），共付人民币9□.2□元。
已知□处数字相同，请问钢笔每支多少元练一练1.老师买了72本相同的书，当时没有记住每本书的价格，只用铅笔记下了用掉的总钱数□□元，回校后发现有两个数字已经看不清了，你能帮助补上这两个数字吗|例2.已知292x y 能被36整除，求所有满足条件的五位数。
华罗庚学校五年级数学(上册)教材(第1-8讲,共15讲)
本系列共15 讲第一讲数的整除问题.一．基本概念和知识1．整除——约数和倍数一般地，如 a、b、c 为整数，b≠0，且a÷b = c，即整数 a 除以整数b（b≠0），除得的商 c 正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被b 整除（或者说b 能整除a）。
记作b︱ a。
否则，称为a不能被b整除（或b不能整除a）。
如果整数a能被整数b整除，a 就叫做b的倍数，b 就叫做a的约数（或因数）。
2．数的整除性质性质1：如果a、b 都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a。
性质3：如果b、c 都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。
性质4：如果c能整除b，b 能整除a，那么c能整除a。
3．数的整除特征y y y y ① 能被 2 整除的数的特征：个位数字是 0、2、4、6、8 的整数。
② 能被 5 整除的数的特征：个位是 0 或 5。
③ 能被 3（或 9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被 3（或 9）整除。
④ 能被 4（或 25）整除的数的特征：末两位数能被 4（或 25） 整除。
⑤ 能被 8（或 125）整除的数的特征：末三位数能被 8（或 125） 整除。
⑥ 能被 11 整除的数的特征：这个整数的奇数数位上的数字之和与偶数数位上的数字之和的差（大减小）是 11 的倍数。
⑦ 能被 7（11 或 13）整除的数的特征：一个整数的末三位数 与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被 7（11 或 13）整除。
二． 例题例 1：已知 45︱ 1993 x ，求所有满足条件的六位数 1993 。
x解：∵ 45=5×9，∴ 根据整除“性质 2”可知5︱ 1993 x ，9︱ 1993 ， xy y ∴ y 可取 0 或 5。
当 y =0 时，根据 9︱当 y =5 时，根据 9︱ 1993 x1993 x 及数的整除特征③可知 x =5； 及数的整除特征③可知 x =9。
第一课数的整除
数的整除一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a〒b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3〓4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果 b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果 b｜a ，且d｜c ，那么bd｜ac；【例 1】已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？【解析】本题为基础题型，利用13的整除判定特征即可知道方格中填1。
【例 2】一位后勤人员买了72本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上，把这笔帐的总数烧去两个数字.帐本是这样的：72本笔记本，共□67.9□元(□为被烧掉的数字)，请把□处数字补上，并求笔记本的单价.【解析】把□67.9□元作为整数□679□分.既然是72本笔记本的总线数，那就一定能被72整除，又因为7289=⨯，(8，9)1=.所以8|□679□，9|□679□.8|□679□，根据能被8整除的数的特征，8 |79□，通过计算个位的□2=.又9|□6792，根据能被9整除的数的特征，9| (□÷= (元).6792++++)，显然前面的□应是3.所以这笔帐笔记本的单价是：367.9272 5.11【例 3】张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组.已知老师和学生共种树312棵，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵.问：一共有多少学生？每人种了几棵树？【解析】因为总棵数是每人种的棵数和人数乘积，而每个人种的棵数又不超过10所以通过枚举法来解(注意人数是减去1后是3的倍数)：1312⨯，3121311-=不是3的倍数；2156-=不⨯，1561155是3的倍数；3104⨯，1041103-=不是3的倍数；478⨯，78177-=不是3的倍数；652⨯，52151-=是3的倍数；839⨯，39138-=不是3的倍数；共有51个学生，每个人种了6棵树.【例 4】 在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。
人教版高中数学选修4-6-第一讲-整数的整除(一)整数的整除-课件(共33张PPT)
观察
12，21，24，30，33，51可同时被什么数整除， 有什么规律？
分析：以上6个数均可同时被3整除，并且各位 数字之和也能被3整除.
由此猜想：一个正整数的各位数字之和能被3 整除，那么这个正整数能被3整除.
带余除法
在生活中并不是什么情况下都可以整除， 很多情况都是不能除尽的.如：13÷2=6…1,在 整数集中这种表示法依然成立，叫做带余除法 （或欧氏除法算式）.
知识回顾
以前学过的整数加法、减法、乘 法有什么特点？整数除法的商又是怎 样的？ 整数的加法、减法、乘法运 算得到的结果任然为整数.两个 整数的商不一定是整数.
导入新课
从以前学过的乘法中我们知道
若A×B=C,那么C÷B=A或C÷A=B
也就是说乘法和除法是互逆的 运算.
例如：
13×2 = 26
26÷2 = 13 26÷13 = 2
第一讲整数的整除
教学目标
知识与能力
1．在熟悉整数的基础上充分理解整除 的概念和性质；熟练掌握带余除法的运算， 且能进行运算.
2．理解什么是素数的概念，并掌握素数 的判别方法.
过程与方法
1.通过复习以前的乘法、除法的知识，让 学生合作探讨，老师启迪，自然引出整除的概 念及性质.•
2.在整除的基础上通过生活中的实例，引 导学生考虑不能整除的情况，并让学生自己进 一步思考不能整除情况的解决方法并总结带余 除法的概念.
共六条鱼，平均一只猫咪得几条鱼？
若是再多一条鱼，平均一只猫咪又各 得几条鱼呢？
想一想
在上一页第一种情况下，平均每 只猫咪得到 6÷2 = 3（条）；第二种 情况下每只猫咪在得到3条鱼后还剩一条，就是 说这种情况下鱼并不能平均分给两只猫咪. 生活中这样的例子还有很多，我们从数 学的角度该怎样理解，又怎样定义呢？它们 又有怎样的性质？下面我们将具体的分析.
第1讲数的整除特征---奥数
学科教师辅导讲义讲义编号___________________［例1］在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被思路剖析这个六位数分别被 3、4、5整除，故它应满足如下三个条件: （1） 各位数字和是 3的奇数； （2） 末两位数组成的两位数是 （3） 末位数为0或5。
按此条件很容易找到这个六位数。
解答不妨设补上三个数字后的位数为 只能是0，且b 只可能是2、4、6、又因3|568abc ，所以 3|（ 5+6+8+a+b+0），所以: 当b=2时，当b=4时， 当b=6时， 当b=8时， 当b=0时， 4、5整除的最小六位数 568abc 应为568020。
故能被3、［例2］四位数8A1B 能同时被2、3、5整除，问这个四位数是多少?思路剖析8A1B 能同时被2、3、5整除，所以8A1B 满足以下三个条件：个位数字 B 在0、2、4、6、8之中，各位数字之 和是3的倍数，个位数 B 在0、5之中。
第一个和第三个条件都是针对个位数字的，所以先根据第二个条件确定百位 数字A 。
解答要使8A1B 能同时被2和5整除，个位数字只能是B=0 ;又要使8A10能被3整除，所以各位数字之和8+A+1+0=9+A 应能被3整除。
可以看出，当 A 取0、3、6、9时，各位数字之和 9+A 可以被3整除。
所求的四位数是 8010、8310、 8610、 8910。
［例3］有两堆糖果，第一堆有 513块，第二堆有633块，哪一堆可以平均分给 9个小朋友而无剩余？思路剖析本题实际上是判断 513与633能否被9整除。
解答513各位上数字之和是 5+1+3=9，能被9整除；633各位上数字的和是 6+3+3=12，不能被9整除。
所以，第一堆可以平均分给 9个小朋友而无剩余，第二堆平均分给 9个小朋友还剩余3块。
［例4］有一个四位数3AA1是9的倍数，求A 的值。
思路剖析四位数3AA1是9的倍数，即能被9整除，根据能被9整除的数的特征，这个四位数的各位数字之和一定是 9的倍数。
初中数学竞赛辅导资料(初一用)
初中数学竞赛辅导资料第一讲 数的整除一、内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除。
0能被所有非零的整数整除.能被7整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除.如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686, 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99(能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 二、例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y解:x ，y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6。
∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除，求x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋x 能被3整除时，x=2，5，8 当末两位4x 能被4整除时，x ＝0，4，8∴x ＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4)－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263.练习一1、分解质因数：(写成质因数为底的幂的连乘积）①756②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2、若四位数ax能被11整除，那么x＝__________3、若五位数123435m能被25整除4、当m=_________时，59610能被7整除5、当n=__________时，n6、能被11整除的最小五位数是________，最大五位数是_________7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。
第一讲 数的整除
第一章数的整除1、素数、合数、因数、质因数与分解素因数只含有因数1和本身的整数叫做素数。
除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
（1既不是素数，也不是合数。
想一想2这个数呢？）一个数分解为几个数的积，这几个数就叫做这个数的因数；其中既是素数又是因数，叫做素因数。
把一个数分解为几个素因数的积的过程叫做分解素因数。
2、倍数、公倍数、最小公倍数。
一个数的倍数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
几个整数的公有的倍数叫做他们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数.3、求最小公倍数方法：列举法、分解素因数法、短除法求几个数的最小公倍数。
求几个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余（独有）的素因数，将这些数连乘，所得得积就是这几个数的最小公倍数4、如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数，如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数。
5、因数、公因数、最大公因数。
一个数的因数是有有限的，其中最大的因数是它本身，最小的因数是1。
几个数共有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个数叫做这几个数的最大公因数。
6、求最大公因数方法列举法、分解素因数法、短除法求几个数的最大公约数。
7、互素数：公因数只有1的两个整数，称为互素数。
8、如果两个数存在倍数关系，则较大的数就是它们的最小公倍数，较小的数是它们的最大公因数。
如果两个数是互素数，则它们的乘积就是它们的最小公倍数，它们的最大公因数为1。
9、零和正整数统称为自然数。
正整数、零和负整数，统称为整数。
10、偶数与奇数如果一个整数能被2整除，称该整数为偶数。
（0也是偶数）如果一个整数不能被2整除，称该整数为奇数。
11、整数的分类⎩⎨⎧偶数奇数 12、奇、偶数经过运算后的变化情况：奇±奇=偶 偶±偶=偶 奇±偶=偶 奇⨯奇=奇 偶⨯偶=偶 奇⨯偶=偶注：相邻两个整数之和（之差）为奇数，之积为偶数。
第一节 整除意义、特征和性质(1)
第一讲数的整除第一节整除的意义与特征、性质第1课时教学内容：整除的意义与常用数的整除特征。
教学目标：理解整除的意义，掌握常用数的整除特征，并能运用特征判断。
教学重难点：理解掌握常用数的整除的特征。
教学过程：一、整除的意义当两个整数a和b（b≠0），a除以b商为整数余数为零时，则称a能被b整除或b 能整除a，也把a叫做b的倍数，b叫a的因数，记作b|a，如果a 除以b所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a，记作b|a.二、整除特征（1）1与0的特性：1是任何整数的因数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的个位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的各位数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的个位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（7）若一个整数的各位数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（8）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
（9）如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差（以大减小）能被7（11、13）整除，这个数就能被7（11、13）整除。
三、例题讲解例1：（1）判断47382能否被3或9整除？（2）判断1548764能否被7整除？（3）判断42559，7295872能否被11整除？解：（1）4+7+3+8+2=24 3|24，9|24∴3|47382，9|47382（2）1548－764=784=7×112 7|784 ∴ 7|1548764（3）（4+5+9）―（2+5）=18―7=11∴11|42559（7+9+8+2）―（2+5+7）=26―14=12 11|12 ∴11|7295871小结：判断一个整数能否被另一个整数整除，充分考虑整除的特征，这样有利于我们去判断。
第一讲 数的整除
数的整除板块一数的整除之性质与求法1．整除的定义是一个整数”；所谓“一个自然数a能被另一个自然数b整除”就是说“商错误！未找到引用源。
或者换句话说：存在着第三个自然数c，使得a错误！未找到引用源。
b错误！未找到引用源。
c。
这时我们就说“b整除a”或者“a被b整除”，其中b叫a的约数，a是b的倍数，记作：“b|a”。
2．常用的数的整除特征常用的特殊自然数的整除特征⑴2系列：被2整除只需看末位能否被2整除被4整除只需看末两位能否被4整除被8整除只需看末三位能否被8整除，依此类推⑵5系列：被5整除只需看末位是否为0或5被25整除只需看末两位能否被25整除，即只可能是00，25，50，75我们以被8整除看末三位为例证明以上两个系列的性质。
假设一个多位数末三位是abc，末三位之前的部分为x，那么该数错误！未找到引用源。
1000x错误！未找到引用源。
abc，由于8|1000，所以8|1000x，因此该数能否被8整除就决定于末三位abc能否被8整除，证毕。
⑶3系列：被3整除只需看各位数字之和能否被3整除被9整除只需看各位数字之和能否被9整除我们以三位数为例来证明被9整除只需看各位数字之和这一性质。
假设该三位数为abc错误！未找到引用源。
100a错误！未找到引用源。
10b错误！未找到引用源。
c错误！未找到引用源。
(99a 错误！未找到引用源。
9b)错误！未找到引用源。
(a错误！未找到引用源。
b错误！未找到引用源。
c)，很明显第一个括号里的数是9的倍数，因此只要a错误！未找到引用源。
b错误！未找到引用源。
c，即各位数字之和能被9整除，那么这个三位数abc就能被9整除，反之亦然。
推广到任意位数的自然数，该证明方法仍然成立，请大家自己尝试一下。
⑷7，11，13系列：看多位数的末三位和前面部分之差能否被7，11，13整除为什么要从末三位把这个数一分为二呢？仔细想一想我们会发现7错误！未找到引用源。
11错误！未找到引用源。
数的整除特征(YLK)
第一讲数的整除特征1、探索能被2（5）、4（25）、8（125）……整除的数各有什么特征？2、探索能被3、9整除的数各有什么特征？3、探索能被7、11、13整除的数有什么特征？4、探索能被11整除的数还有什么更简便的特征？【典型例题】例1：在□上填上适当的数字，使六位数43217□能被4整除。
解：能被4整除的看末两位，个位只能填2或6则能被4整除的数有：432172 432176[试一试1]在□中填上适当数字，使284□□能被25整除。
解：能被25整除的看末两位，可以填0、25、50、75。
则能被25整除：28400 28425 28450 28475例2：在□中填上适当的数，使七位数4786□7□能被8整除。
解：能被8整除的看末三位，能被8整除的数有：4786072 4786272 4786472 478667247868724786176 4786376 4786576 47867764786976[试一试2]在□中填上适当的数字，使23□□□能被125整除。
解：能被125整除的看末三位能被125整除的数有23000 23125 23250 2337523500 23625 23750 23875例3：在□内填上合适的数字，使五位数4□32□能被9整除。
解：能被9整除的数看各位上的数字之和是否能被9整除。
4+3+2=9 □+□=0 □+□=9 □+□=18能被9整除的数有：40320 40329 41328 48321 4232747322 43326 46323 44325 4532449329 49320[试一试3]在□中填上合适的数字，使七位数23□4□21能被9整除。
解：能被9整除的数看各位上的数字之和是否能被9整除。
2+3+4+2+1=12 □+□=6 □+□=15能被9整除的有：2304621 2364021 2314521 23541212324421 2344221 2334321 23649212394621 2374821 2384721例4：一个六位数586□□□能同时被3、4、5整除，求这样的六位数中最小的一个。
小学奥数5年级--第一讲：整除问题
第一讲：数的整除问题一、基本概念和知识1整除----约数和倍数例如：15/ 3=5，63/7=9一般地，如a、b 、c为整数，b≠0，且a / b=c，即整数a可以整除b（b不等于0），除得的商C正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。
记作b|a否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a）记作：如果整数能a被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数，63是7的倍数，7是63的约数。
2数的整除性质性质1：如果a. b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
即：如果c|a c|b，那么c | (a+b),c | (a-b)例如：如果2|10，2|6，那么2|(l0+6)，并且22|(l0-6).性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a即：如果bc|a，那么b|a,c|a。
性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。
即：如果b| a c|a，且(b，c)=1，那么bc|a。
例如：如果2|28，7|28，且(2，7)=l 那么(2×7）|28。
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c|b，b|a，那么c|a。
例如：如果3|9，9|27，那么3|27。
3数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0 2 4 6 8的整数“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除，另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）下面“特征”含义相似。
@能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
④能被4 (或25)整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
例如：1864=1800+64，因为100是4与25的倍数，所以l800是4与25的倍数又因为4|64，所以1864能被4整除但因为25不能整除64，所以1864不能被25整除⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
第一讲数的整除
第一章数的整除第一讲整数和整除【教学目标】知识和技能: 理解及掌握自然数、整数以及整除等相关概念.掌握整除的条件，会判断整除.理解学习整除的意义.掌握2、3、5的整除特征.过程和方法：在对整数概念的梳理中渗透分类思想、集合思想.情感态度和价值观: 经历从现实世界中抽象出概念的过程，感受数学与生活的联系【教学重点】自然数、整数、整除的相关概念的理解与判断.求一个数的因数的方法.求一个数的倍数的方法.偶数及奇数的意义及运算性质.【教学难点】整除的基本要素.掌握能被2、5整除数的特征，理解奇数、偶数的概念.掌握能被2和5同时整除的数的特征.【考点链接】掌握整除的要素条件.掌握因数和倍数的基本概念及常见数的整除特征.一．整数和自然数的概念：在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数.在正整数1、2、3、4……的前面添上“—”号，得到的数-1、-2、-3、-4……，叫做负整数（五年级学过负数）.表示没有的时候可以记作0.自然数：零和正整数统称为自然数（natural number）.（自然产生的数）.整数:正整数、零、负正整统称为整数.正整数：非0自然数也叫正整数，即1、2、3、4、……负整数：小于0的整数叫负整数.负整数的表示方法是在整数前面加上“–”（读作负）号.二．整除的概念整除：整数a除以整数b（b≠0），如果除得的商是整数而余数为零，我们就说数a能被数b 整除或b能整除a.确定整除的条件：（三整余零）1、除数、被除数都是整数.2、被除数除以除数，商是整数而且余数为零.除尽：在整数或小数除法中，如果商是整数或有限小数，则叫做能够除尽.思考：整除、除尽和除不尽三者之间有什么关系？整除与除尽的区别：整除概念如前，它一般只在整数范围内讨论，并且被除数和除数要求是整数，商必须是“整数而没有余数”.而除尽的情况，并未限制在这一数域范围内，也未规定商必须是“整数而没有余数”.它的被除数、除数（不等于0）和商，既可以是整数，也可以是有限小数，只要除完后没有余数就可以了.例如：174 4.25÷=，2446÷=，0.120.043÷=，这三个算式的被除数都能被除数除尽.但是能说被除数被除数整除的，却只有一个“24”能被4整除.显然，像式子1⨯12=12中，12能被1和12整除就称1和12是12的因数.反过来，12是1和12的倍数.那么，式子中12的因数还有2、3、4、6.像整除的概念总结一样，可得，因数与倍数的关系.二、因数和倍数的概念：整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数（也称为约数）.注：为了研究的方便，在研究因数和倍数时，我们所说的数专指不是零的自然数. （因为零乘任何数为零，零除以任何为零，研究起来没有意义.）【例1】判断题（若是正确的，请说明理由，若是错误的，请把它改正确）（1）最小的自然数是1．（ ）（2）如果整数a 能被整数b （b≠0）除尽，那么就说a 能被b 整除. （ ）（3）最小的整数是0. （ ）（4）非负整数是自然数. （ ）【变式1】判断题（5）自然数的个数是有限的.（ ）整除除尽（6）0既不是正整数，也不是负整数.（）（7）正整数、负整数统称为整数.（）（8）14÷2=7就是说2能整除14.（）（9）最小的自然数是1.（）（10）0能被任何不为0的整数整除. （）（11）整数a除以整数b（b≠0），若除得的商是整数而余数为零，就说能被b整除.或者说b 能被a整除. （）【例2】判断下列各数是否能被3整除：2574，38974，587931a能被3整除，数字a=？【变式2-1】六位数25738【变式2-2】由1，3，5，7这四个数字写成的没有重复数字的三位数中，有几个能被3整除？【例3】被2，3，5除余1且不等于1的最小整数是几？【变式3】下面的连乘积中，末尾有多少个0？1×2×3×…×29×30【例4】李军去儿童乐园，儿童乐园是3路车和6路车的始发站，3路车每4分钟发车一次，6路车每3分钟发车一次，现在这两路车同时发车以后，至少过多少分钟又同时发车？【变式4】2011年的教师节是星期六，老师们可以好好庆祝一下自己的节日了，同学们，明年呢？我们能否不翻查日历就能知道2012年的教师节是星期几？【例5】若m和n都能被a整除，m比n大，则两数的和与差是否能被a整除？【变式5】0、2、5、8四个数字组成的四位数中，能同时被3和5整除的最大的数是多少？最小的数是多少？【例6】小明有一本共126张纸的记事本，他依次将每张纸的正反两面编页码，即由第1页一直编到252页．如果从这本记事本中撕下31张纸，并将它们的页码相加，和是否可能等于2010？【变式6】张阿姨是公共汽车售票员，她的票夹上有5角、1元、1元5角三种车票，她习惯把钱都放在车厢售票员位置的小桌上，这样就可以随时算出有没有差错.有一次她数了数桌上的硬币，是36枚1角.她对司机说：“我今天我肯定出了差错了”你知道为什么吗？一、判断题（对的在括号里打“√”，错的打“×”）1.如果A÷B=5，那么A一定能被B整除.（）2.两个奇数的和或差一定是偶数. （）3.没有最小的正整数，只有最大的负整数.（）4.任何一个不等于0的整数都是0的因数.（）二、选择题5.下列算式中第一个数能被第二个数整除的是（）A.18÷4B. 4.2÷2.1C. 16÷4D. 12÷0.46.正确的是（）A. 最小的整数是1B. 整数一定比小数大C. 4能被0.8整除D. 负整数、0、正整数都是整数7.下列说法正确的是（）A.整数包括正整数和负整数B.非负数不一定是自然数C.若整数m除以整数n恰好能除尽，则m一定能被n整除.D.若余数为0，则n一定能整除m8.下列说法正确的是（）A. 若a b c÷=（a、b、c都则是整数，则a是倍数，b是因数）B. 一个正整数的倍数一定比它的任何因数大C. ，所以说9是2的倍数.D. 一个正整数的倍数一定能被它的因数整除.三、填空题9.已知30÷6=5，则30叫做6的（），6叫做30的（）.10.一个数的最小因数是（），最大因数是（）.11.一个数的最大因数是75，这个数是（）.12.一个数的最小倍数是36，这个数的最大因数是（）.四、解答题13.求26以内能被3整除的所有数的和.14.求出100以内是9的倍数的所有偶数的和.15.求出100以内，既是8的倍数，又是6的倍数的所有数的和.16.一个大于1的自然数a，只有两个因数，那么3a有几个因数？17.讨论x，y分别取什么值时，三位数______4yx同时能被2，3，5整除，这样的数共有多少个？18.已知A是一个正整数，它是15的倍数，并且它的各个数位上的数字只有0和7，则A最小是多少？19.已知A是一个正整数，它是15的倍数，并且它的各个数位上的数字只有0和7，则A最小是多少？20.小红和小刚经常义务到“阳光敬老院”打扫卫生.7月31日两人同时去的，以后小红每隔4天去一次，小刚每隔5天去一次，至少多少天后两人又能同时去？21.小杰买了一本共有100张纸的练习本，并依次将它的各面编号（即由第1面一直编到第200面）.小丽从该练习本中撕下其中35张纸，并将写在它们上面的70个编号相加，试问：小丽所得的和数能否为2008？22.由0、1、2、3、4组成一个被2整除的三位数中，最大的一个数是什么数？由小到大，第十一个数是什么数？23.用0、4、5、6四个数字，按要求组成一个没有重复数字的三位数：（1）同时被3和5整除的最大三位数（2）同时被3和5整除的最小三位数（3）能同时被2、3和5整除的最大三位数（4）能同时被2、3和5整除的最小三位数24.用0、1、2、3这四个数字排成一个四位数，要使这个数有因数2，有几种不同的排法？要使这个数能被5整除，有几种不同的排法？要使这个数是3的倍数，有几种不同的排法？25.在1～199中，有多少个奇数？有多少个偶数？其中奇数之和与偶数之和谁大？大多少？（1）不算出结果，判断数（524+42-429）是偶数还是奇数？（2）数（42□+30-147）能被2整除，那么，□里可填什么数？（3）下面的连乘积是偶数还是奇数？1×3×5×7×9×11×13×14×1526.在黑板上先写出三个自然数3，然后任意擦去其中的一个，换成所剩两个数的和.照这样进行100次后，黑板上留下的三个自然数的奇偶性如何？它们的乘积是奇数还是偶数？为什么？27.由0，3，5写成的没有重复数字的三位数中，有哪些能被5整除？28.在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数．（1）请随便填出一种，并检查自己填的是否正确.（2）一共有多少种满足条件的填法？29.在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有______个.一、解答题1.在20～200的整数中，有多少个偶数？有多少个奇数？偶数之和与奇数之和谁大？大多少？2.不算出结果，直接判断下列各式的结果是奇数还是偶数：（1）1＋2＋3＋4＋5.（2）1＋2＋3＋4＋5＋6＋7.（3）1＋2＋3＋…＋9＋10.（4）1＋3＋5＋…＋21＋23.（5）13-12＋11-10＋…＋3-2＋13.由4，5，6三张数字卡片能组成多少个能被2整除的三位数？4.两个质数之和是13，这两个质数之积是多少？5.下面的连乘积中，末尾有多少个0？20×21×22×…×49×506.用0，1，2，3，4，5这六个数码组成的没有重复数字的两位数中，能被5整除的有几个？能被2整除的有几个？能被10整除的有几个？7.直接判断25874和978651能否被3整除8.由2，3，4，5这四个数字写成的没有重复数字的三位数中，有几个能被3整除？9.（1）被2，3除余1且不等于1的最小整数是几？（2）被3，5除余2且不等于2的最小整数是几？10.同时能被2，3，5整除的最小自然数是几？11.同时能被2，3，5整除的最大三位数是几？12.一根铁丝长125厘米，要把它剪成长2厘米、3厘米、5厘米的三种不同规格的小段.最多能剪成多少段？18世纪欧洲最伟大的数学家—拉格朗日拉格朗日（1736—1813），法国著名的数学家、力学家、天文学家，变分法的开拓者和分析力学的奠基人.他曾获得过18世纪“欧洲最大之希望、欧洲最伟大的数学家”的赞誉.拉格朗日出生在意大利的都灵.由于是长子，父亲一心想让他学习法律，然而，拉格朗日对法律毫无兴趣，偏偏喜爱上文学.直到16岁时，拉格朗日仍十分偏爱文学，对数学尚未产生兴趣.16岁那年，他偶然读到一篇介绍牛顿微积分的文章《论分析方法的优点》，使他对牛顿产生了无限崇拜和敬仰之情，于是，他下决心要成为牛顿式的数学家.在进入都灵皇家炮兵学院学习后，拉格朗日开始有计划地自学数学.由于勤奋刻苦，他的进步很快，尚未毕业就担任了该校的数学教学工作.20岁时就被正式聘任为该校的数学副教授.从这一年起，拉格朗日开始研究“极大和极小”的问题.他采用的是纯分析的方法.1758年8月，他把自己的研究方法写信告诉了欧拉，欧拉对此给予了极高的评价.从此，两位大师开始频繁通信，就在这一来一往中，诞生了数学的一个新的分支——变分法.1759年，在欧拉的推荐下，拉格朗日被提名为柏林科学院的通讯院士.接着，他又当选为该院的外国院士.1762年，法国科学院悬赏征解有关月球何以自转，以及自转时总是以同一面对着地球的难题.拉格朗日写出一篇出色的论文，成功地解决了这一问题，并获得了科学院的大奖.拉格朗日的名字因此传遍了整个欧洲，引起世人的瞩目.两年之后，法国科学院又提出了木星的4个卫星和太阳之间的摄动问题的所谓“六体问题”.面对这一难题，拉格朗日毫不畏惧，经过数个不眠之夜，他终于用近似解法找到了答案，从而再度获奖.这次获奖，使他赢得了世界性的声誉.1766年，拉格朗日接替欧拉担任柏林科学院物理数学所所长.在担任所长的20年中，拉格朗日发表了许多论文，并多次获得法国科学院的大奖：1722年，其论文《论三体问题》获奖.1773年，其论文《论月球的长期方程》再次获奖.1779年，拉格朗日又因论文《由行星活动的试验来研究彗星的摄动理论》而获得双倍奖金.在柏林科学院工作期间，拉格朗日对代数、数论、微分方程、变分法和力学等方面进行了广泛而深入的研究.他最有价值的贡献之一是在方程论方面.他的“用代数运算解一般n次方程（n＞4）是不能的”结论，可以说是伽罗华建立群论的基础.最值得一提的是，拉格朗日完成了自牛顿以后最伟大的经典著作——《论不定分析》.此书是他历经37个春秋用心血写成的，出版时，他已50多岁.在这部著作中，拉格朗日把宇宙谱写成由数字和方程组成的有节奏的旋律，把动力学发展到登峰造极的地步，并把固体力学和流体力学这两个分支统一起来.他利用变分原理，建立起了优美而和谐的力学体系，可以说，这是整个现代力学的基础.伟大的科学家哈密顿把这本巨著誉为“科学诗篇”.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一讲数的整除一、基础知识：1、能被4（25）、8（125）、3（9）、7（11）（13）整除的数的特征；4（25）：；8（125）：；3（9）：；7（11）（13）：。
2、分解质因数：。
二、例题：例1、一个六位数568abc分别能被3、4、5整除，这个六位数最小是多少？例2、六年级有72名学生捐款（处辨认不清），每人捐款例3、六位数能被66整除，找出所有这样的六位数；例4、一个2004位数A能被9整除，它的各位数字之和为a，a的各位数字之和为b，b的各位数字之和为c，求c是多少？例5、要使932×975×995×（）的积的最后五个数字都是0，那么在括号内最小应该填几？例6、四个班分一批图书，他们所得的本数一个班比一个班多3本，四个班分得图书本数之积是68040。
每个班各分得图书多少本？例7、24有多少个约数？这些约数的和是多少?24=23×3 约数个数=（3+1）×（1+1）=-1 31+1–1×=3-1三、练习：a)四位数8A1B能被2、3、5整除，问这些四位数是多少？b)能同时被2、9整除，填出c)已知六位数19 能被35整除，那么这个六位数是多少？d)84×300×365×（），要使这个连乘积的最后五个数字都是0，在括号里最小应填什么数？e)五个连续奇数的积是135135，这五个奇数的和是多少？四、作业：1、数学考试结果，某班学生中有1/3得优，3/7得良，其余得中或差，已知全班人数在40与60之间，得中或差的学生有多少人？2、一个六位数能被11和13整除，这个六位数所有的质因数的和是多少？3、四个连续自然数的积是3024，这四个自然数分别是多少？4、求4500的约数个数及所有约数的和是多少？五、思考题：在3×3的方格图中填入几个互不相同的自然数，如果每行、每列三个数相乘所得的六个乘积都等于n，那么（1）n可以是1996、1997、1998、1999、2000、2001、2002、2003这八个数中的哪些数？（2）在下面方格中填出一n=第二讲余数问题一、基础知识：1、被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商2、余数要比除数小。
二、例题：例1、一个除法，商40，余数是16。
被除数、除数、商数、余数的和是933，求被除数。
设：除数为X，则被除数为40X+16例2、一个自然数除以3余1，除以5余1，除以7余1，这个自然数最小是多少？设想：如果这个自然数减去1，则为3、5、7的最小公倍数。
例3、一个自然数被3除余1，被5除余4，被7除余2。
这个自然数最小是多少？分析：逐个找寻符合条件的自然数。
例4、六年级七个班都参加了春游，一至七班参加的人数依次为4、6、7、8、9、12、17，其中有六个班的同学爬山和划船，爬山的人数是划船人数的4倍，另外一个班的同学去观赏植物。
问：观赏植物的是哪个班？想：去掉观赏植物的那个班，其余6个班人数和是（）的倍数。
例5、求437×309×1997被7除的余数。
分析：先算出每个数被7除的余数例6、69、90和125同时除以一个数，余数相同，这个数最大是多少？想：怎样去掉那个相同的余数。
三、练习：1、474除以一个两位数，余数是6，适合这个条件的所有两位数分别是多少？2、一个自然数被4除余1，被5除余2，被7除余1，这个数最小是（）。
3、袋子分别装有9、12、14、16、18、21、24、25、28只球，甲取走若干袋，乙取走若干袋，并且甲取走的球数是乙取走的2倍。
最后剩下的一袋装有（）只球。
4、57、96和148被某自然数除，余数相同，且不为零，求这个自然数最大是多少？5、求437×309×1997被11除的余数。
四、作业：1、一个数被4除余3，被5除余4被6除余5。
这个数最小是（）。
2、一个数用5除余2，用6除余5，用7除余3，满足条件的三位数有（）.3、一个自然数同时去锄136、170和425余数相同，且不为零。
这个自然数最大应该是（）。
五、思考题：一队学生，人数在300到400之间，若分成8人一组少1人，若分成12人一组，则有五组都少1人，若分成15人一组，则有一组少8人，问这队学生有多少人？第三讲周期问题（1）一、基础知识：1、有余数的除法；2、循环小数与循环节；3、尾数的特征：只有一个：0、1、5、6；只有两个：4（4、6）、9（9、1）；有四个：2（2、4、8、6）、3（3、9、7、1）、7（7、9、3、1）8（8、4、2、6）二、例题：例1、2004年元旦是星期四，2004年的十月一日是星期（），2005年的元旦是星期（）；计算：到十月一日有（）天；到2005年元旦有（）天。
例2、某年的10月里有5个星期六，4个星期日。
问：这年的10月1日是星期（）；分析：多出的一个星期六在10月（）号。
例3、20032003+ 20042004的和的个位数字是（）；想：可以把2003看作3；2004看作4。
即：32003+42004例4、把2/7化成小数，小数点后面第2004位上的数字是（）。
这2004位上的数字之和是（）；分析：先算出2/7化成小数的循环节。
2/7=例5、一个2004位数，它的各位上的数字都是8，它除以26的余数是（）；计算：找出888…8÷26的循环节。
三、练习：1、2001年6月1日是星期四，2002年10月1日是星期（）2、某年的二月份有五个星期日，这年的六月一日是星期（）3、算式（425425+524524）×33 的得数的末位数字是（）4、紧接着1997后面写一串数，写出的数字都必须是它前面两个数字相乘的积的个位数字：19973133．．．．．．。
(1)这个数从1开始往右数第1997个数字是( )(2)这串数的前1997个数字的和是( ).5、把11/70化成小数，小数点后面第2004位上的数字是（）。
这2004位各位上的数字之和是（）四、作业：1、有一个十一位数，已知它的首位数字为9，末位数字为8，且每三个相邻数字之和是24，问下图中打“？”处的数字是几？这个数是多少？2、接连写100个12，得到一个自然数121212．．．12，这个数除以13余数是( );3、把3/7化成小数，小数点后面第2005个数字是（）；这2005个数字之和是（）。
五、|思考题：甲、乙两个水杯，起初甲杯装1千克水，乙杯是空的，第一次将甲杯里的水的1/2倒入乙杯里，第二次又将乙杯里的水的1/3倒入甲杯里，第三次又将甲杯里水的1/4倒入乙杯里，第四次又将乙杯里水的1/5倒回甲杯里，照这样倒下去，那么，到了1997次后，甲杯里的水还剩多少千克？第四讲 周期问题（2）一、例题：例1、下表每列上下两个字组成一组，例如：第1组是（我，勤），第2组 是（们，动），第3组是（爱，脑）．．．．．．(1)(2)如果(学,习)表示1949年,那么2004年对应的是( )分析：上面一行的周期为5，下面一行的周期为（ ）例2、分别姓赵、钱、孙、李、周、吴、王的七位同学站成一排，按下边方式依次报数，问：报2004的是姓（ ）的同学；赵 钱 孙 李 周 吴 王1 2 3 4 5 6 713 12 11 10 9 814 1516 17 18 1925 24 23 22 21 2026 27 ．．． ．．． ．．． ．．．．．． ．．．．．分析：数字排列位置的周期为（ ）例3、电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈跳到相邻的圆圈。
现在，一只红跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了1999步，落在一个圆圈里。
同时黑跳蚤也从标有数字“0”的圆圈里起跳，但它沿着逆时针方向跳了1949步，落在另一个圆圈里。
这两个圆圈里的数字的乘积是（ ）例4、有一数列1，1，2，3，5，8，13，．．．．．．，从第三个数起，每个数都等于它前面两个数的和，那么，这列数中第2004个数除以7的余数是()，前2004个数的和除以7的余数是( ).二、练习题：1、下表中，每列上、中、下三行的数字、字母、汉字、组成一组，例如：(2)如果(1,A,我)表示1999年元旦,那么1999年12月20日对应的是( )2、如右图，把16个围棋子摆成一圈，依次编为1到16号。
从一个棋子顺时针方向前进3个，就到了第4个棋子的位置。
象这样，从第1个棋子顺时针方向前进328个，从那里再逆时针方向前进485个，又顺时针方向前进136个，这时是在第（）个棋子的位置。
3、将数列1，4，7，10，13，．．．依次如图排成6列，如果把最左边的一列叫做第一列，从左到右依次编号，那么数列中的数349应排在第（）行的第（）列。
1 4 7 10 1328 25 22 19 1631 34 37 40 4358 55 52 49 46．．．．．．．．．．．．．．．4、70个数排成一行，除了两头的两个数外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行数最左边的几个数是：0，1，3，21，．．．最右边的一个数被6除余（）。
三、思考题：分母为15的所有最简假分数由小到大依次排列，问第99个假分数的分子是多少？（提示：每15个假分数中有几个是最简假分数）第五讲 数谜问题（1、2）（1）一、 基础知识：1、乘法口诀；2、数列及数列前n 项的和3、根据等量关系列方程二、 例题：例1、每个×０例２、右图３×３的正方形的每个方格内的字母都代表某一个数，已知其每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。
若Ａ＝４，Ｄ＝19，L=22，那么，B=（ ），H=（ ）例3、在下面的算式中，不同的汉字代表不同的数码，那么“勤动脑学习好”表示的六位数是（ ）练习：1、填算式：2、在下面的算式中，不同的汉字代表不同的的数 4 1 码，那么“勤动脑学习好”表示的六位数是 （ ）学习好勤动脑×6=勤动脑学习好83、七个圆圈内各填一个数，要求每一条直线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现已填好两个数，那么a= 。
4、在右图中的每个没有数字的格内填入一个数，使每行、每列及每条对角 线的三个格中的三数之和都等于19.95时,那么,画有“？”的格内的数是 多少？5、A B C× CD B C（2）例4、将1~7分别填入右图中的A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 这七个部分，使得右图中包含四个数字的三角形内的四个数字之和都等于定数13，并指出这个定数所有的可能取值。
例5、将真分数a/7（a 是自然数）化为小数，小数点后面第1位到第2000位的 数字之和为8997，那么a 等于（ ）例6、有一串分数，按下面的方式排列，那么第2004个分数是（ ）；．．．．．．．．．练习：1、如图，将11~17这七个自然数填入右面三个圆之内，使每个圆内四个数之和等于54，请给出一种填法。