两角差的余弦公式_PPT

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311两角差的余弦公式共23张PPT

cos cos( ) sin sin( )
例4 已知cos = 1，cos( )=- 3，0 , ,
2
5
2
求 cos.
提示：拆角思想:cos cos[( ) ].
解：由cos = 1，0 , 得sin 3 ,
2
2
2
由cos( )=- 3，0 , 5
得sin(+)= 4 . 5
22 2 2
4
题后小结: 1、把非特殊角拆分成特殊角的差.
2、公式的直接应用.
1
两角差的余弦公式的变通
思考：若已知α＋β和β的三角函数值，如何求
cos 的值？ cos cos[( ) ]
cos( )cos sin( )sin 思考：利用α－(α－β)＝β可得 cos 等于什么
cos cos[ ( )]
5
【例】已知 cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求 cos (α－β)的值．
【解析】将 cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13 分别平方得，
cos2α－2cos αcos β＋cos2β＝1， 4
sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝1. 9
B. 7 0
D. 7 2 10
解析：∵ ( , ), (3 , 5 ),cos( ) 4 ,
2
4 44
45
cos cos[( ) ]
44
cos( ) cos sin( ) sin
44
44
4 2 3 2 2. 5 2 5 2 10
3
cos cos( )
cos( ) cos sin( ) sin
（ 3 ） 1 4 3 3 4 3 .

两角差的余弦公式-PPT课件

2
3.若已知α，β的三角函数值，那么 cos(α－β)的值是否确定？它与α，β 的三角函数值有什么关系？这是我们需要探索的问题.
3
4
探究（一）：两角差的余弦公式思考1：设α，β为两个任意角, 你能判断cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成立吗? cos(30°－30°)≠cos30°－cos30°
cosβ
y
P1
sinβ
A
P
O
x
9
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
10
思考6：cosαcosβ＝OAcosα，它表示
哪条线段长？
sinαsinβ＝PAsinα，它表示哪条线段
长？
y
sinαsinβ
P1
A
P
C
OB
x
cosαcosβ 11
思考7：利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP可得什
么结论？ y
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式
1
问题提出
1.在三角函数中，我们学习了哪些基本的三角函数公式？
2.对于30°，45°，60°等特殊角的三角函数值可以直接写出，利用诱导公式还可进一步求出150°，210°，315°等角的三角函数值.我们希望再引进一些公式，能够求更多的非特殊角的三角函数值，同时也为三角恒等变换提供理论依据.
思考9：根据cosαcosβ＋sinαsinβ的结构特征，你能联想到一个相关计算原理吗？
14
思考10：如图，设角α，β的终边与单
位圆的交点分别为A、B，则向量 ΟΑ、
ΟB的坐标分别是什么？其数量积是什
么？
y
ΟΑ=(cosα,sinα)A OB=(cosβ,sinβ)

两角和与差的正弦、余弦、正切公式：课件十三(230张PPT)

tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) 1 tan tan
( C(-) ) ( C(+) ) ( S(+) ) ( S(-) ) ( T(+) )
( T(-) )
小结
三角函数求值及证明问题中, 变角是一种常用的技巧,如 ( ) ; ( ) (( ) ( ) 等, ( 4 4 2 这样可充分利用已知条件中的三角函数值,通过三角运算来求值、化简和证明.

练习
求下列各式的值
4cos74 sin 14 sin 74 cos14 ; 3 原式＝sin 14 74 sin 60 2 5sin 34 sin 26 cos34 cos26 ; 1 原式＝ cos 34 cos 26 sin 34 sin 26 cos34 26 2 6sin 20 cos110 cos160 sin 70. 原式＝sin 20 cos110 cos 20 sin 110 sin 20 110 1
分析 : ( ) , 则 cos cos[( ) ] cos( ) cos sin( ) sin
练习
1 cos 2
小结两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式1PPT课件(人教版)

第五章三角函数
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第一课时两角差的余弦公式
学习目标： 1.掌握两角差的余弦公式； 2.明确公式的推导过程； 3.能利用公式进行相关计算.
教学重点：掌握两角差的余弦公式. 教学难点：公式的推导过程.
根据两点间的距离公式
思考两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？
跟踪训练1 化简下列各式： (1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
解原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝ 22.
(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
解原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
55×3 1010＝
2 2.
又 sin α<sin β，∴0<α<β<π2，
∴－π2<α－β<0.故 α－β＝－π4.
反已知三角函数值求角的解题步骤
思
感 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. 悟 (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三
角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
1－172＝4
7
3 .
∵β＝α－(α－β)∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝12.
∵0<β<π2，∴β＝π3.
随堂练习
1.cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°的值等于

两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

2 2.
(2)(tan 10°－
Hale Waihona Puke cos 3) sin5100°°＝(tan
10°－tan
cos 60°) sin
10° 50°
＝csoins
1100°°－csoins
60°cos 60° sin
5100°°＝cossin10－°c5o0s°60°·csoins
10° 50°
＝－cos160°＝－2.
例 3 已知 sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
证明 sin(2α＋β)＝3sin β ⇒sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α] ⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α ⇒2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α ⇒tan(α＋β)＝2tan α. 小结证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、 “往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、结构形式的差异．
解原式＝sinπ4－3xcos3π－3x－sinπ3－3xcos4π－3x
＝sinπ4－3x－3π－3x＝sinπ4－π3＝sin
π 4cos
π3－cos
π 4sin
π 3
＝ 22×12－ 22× 23＝
2－ 4
6 .
【典型例题】
例 1 化简求值： (1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；
探究点一由公式 C(α－β)推导公式 C(α＋β) 由于公式 C(α－β)对于任意 α，β 都成立，那么把其中的＋β 换成－β 后，也一定成立．请你根据这种联系，从两角差的余弦公式出发，推导出用任意角 α，β 的正弦、余弦值表示 cos(α＋β) 的公式．试一试写出推导过程．答 ∵α＋β＝α－(－β)，cos(－β)＝cos β，sin(－β)＝－sin β，

3.1.1两角差的余弦公式PPT

π
1.两角差的余弦公式： 1.两角差的余弦公式：两角差的余弦公式
cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
2.已知一个角的正弦（或余弦） 2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角已知一个角的正弦的余弦（或正弦）值时, 的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号. 象限，从而确定该角的三角函数值符号.
1 π 4 3 . 解：由 cosα＝，0<α< ，得 sinα＝ 7 7 2 π π 13 由 0<β<α< ，得 0<α－β< . 又∵cos(α－β)＝， 2 2 14 ∴sin(α－β)＝ 1－cos (α－β)＝ )
2
13 2 3 3 1－( ) ＝ . ( 14 14
由 β＝α－(α－β)，得 cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) 1 13 4 3 3 3 1 ＝ × ＋＝ . × 7 14 7 14 2 π ∴β＝ . 3
第三章三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
1、掌握两角差的余弦公式，并能正确的运用掌握两角差的余弦公式，公式进行简单三角函数式的化简、求值；公式进行简单三角函数式的化简、求值； 2、掌握“变角”和“拆角”的方法. 掌握“变角” 拆角”的方法.
对于30° 45° 60° 对于30°，45°，60°等特殊角的三角函 30 数值可以直接写出，数值可以直接写出，利用诱导公式还可进一步求出150° 210° 315° 一步求出150°，210°，315°等角的三角 150 函数值.我们希望再引进一些公式，能够求函数值.我们希望再引进一些公式，更多的非特殊角的三角函数值，更多的非特殊角的三角函数值，同时也为三角恒等变换提供理论依据. 三角恒等变换提供理论依据.

5.5.1两角差的余弦公式课件(人教版)

5.5.1 三角恒等变换第1课时两角差的余弦公式
学习目标
素养目标
学科素养
1.会用两点间离公式推导出两角差的余弦公式；1.直观想象
2．熟记两角差的余弦公式，并能灵活运用．
2.数学运算
自主学习
推导：如图所示，设单位圆与 x 轴的正半轴相交于点 A(1,0)，以 x 轴非负半轴为始边作角 α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点 P1、A1、P. 思考：P1、A1、P 点的坐标如何表示？线段 AP 和 A1P1 有什么关系？
3 解析：原式＝2cos30°－ cos2200°°－sin20° ＝2cos30°cos20°＋c2ossi2n03°0°sin20°－sin20° ＝ 3cos20°＋cossi2n02°0°－sin20°＝ c3ocso2s02°0°＝ 3.
当堂达标
6.已知 2cos cos 3 ， 2sin sin 2 则 cos __________．
经典例题
题型二给值求值
跟踪训练2
已知 α，β∈34π，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－4π＝1123，求 cosα＋π4的值．
解：因为 α，β∈34π，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－4π＝1123，
α＋β∈32π，2π，β－π4∈2π，34π，
所以 cos(α＋β)＝45，cosβ－4π＝－153，
P1(cosα，sinα)、A1(cosβ，sinβ)、P(cos(α－β)，sin(α－β))
AP＝A1P1
自主学习
两角差的余弦公式
名称
简单符号
两角差的余弦
C(α－β)
公式 cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
使用条件 α，β 为任意角

两角差的余弦公式课件

sin2α－2sin αsin γ＋sin2 γ＝sin2β，cos2 α－2cos αcos γ＋ cos2 γ＝cos2 β，
两式相加得，1－2(cos αcos γ＋sin αsin γ)＋1＝1，即 cos(α －γ)＝12.
由于 α，β，γ 是锐角，所以由 sin α－sin γ＝－sin β<0 可知，α<γ，故 α－γ＝－π3.
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
2．两角差的余弦公式的结构特点： (1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦． (2)把所得的积相加．
已知 sin(α＋π4)＝45，且π4<α<34π，求 cos α 的值．【思路探究】注意到 α＝(α＋π4)－π4，把求 cos α 转化为两角差的余弦，考虑到公式特征，只需求 cos(α＋π4)的值，利用平方关系，问题可解．
∴cos α＝cos[(α＋π4)－π4] ＝cos(α＋π4)·cosπ4＋sin(α＋π4)·sinπ4 ＝35× 22＋45× 22＝7102.
已知 α、β 均为锐角，且 cos α＝255，cos β＝ 1100，求 α－β 的值．
【思路探究】本题可先求出 cos(α－β)的值，结合 α－ β 的范围，再求出 α－β 的值．
5．根据上面的计算可以得出什么结论？
【提示】 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.cos(α－β)
＝ cos α·cos β＋sin α·sin β
.
(1)适用条件：公式中的角 α，β 都是任意角．
(2)公式结构：公式右端的两符号相反．

两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

3．两角和与差的正切公式
名称
公式
两角和的正切
tan(α＋β) ＝
tan α＋tan β 1－tan αtan β
两角差的正切
tan(α－β) ＝
tan α－tan β 1＋tan αtan β
简记符号
使用条件
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋π2 (k∈Z)
∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin αsin β
＝2 5 5·3 1010－
55·1100＝
2 2.
由 0<α<2π，0<β<2π得 0<α＋β<π，
又 cos(α＋β)>0，∴α＋β 为锐角，∴α＋β＝4π.
规律方法此类题是给值求角问题，步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值，②确定所求角的范围，此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，或范围讨论的程度过大或过小，这样就会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值．
规律方法化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于应用，对于三角函数式的化简要求应熟练掌握：(1)能求出值的应求出值．(2)使三角函数种数尽量少．(3) 使三角函数式中的项数尽量少．(4)尽量使分母不含有三角函数．(5)尽量使被开方数不含三角函数．
题型二给角求值问题
【例 2】求下列各式的值：
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
自学导引
1．两角和与差的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β
；
C(α－β)：cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β.来自2．两角和与差的正弦公式

第1课时两角差的余弦公式课件(共12张PPT) 高一数学人教A版(2019)必修第一册

化简得：cos (α−β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ；
将 α = 2kπ + β（k∈Z）带入上式，易证上式仍然成立；
所以，对于任意 α，β 有：cos (α−β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ，
简记作：C( α − β ) .
思考：上述差角的余弦公式，在三角函数计算过程中有何作用？
5.5.1.1 两角差的余弦公式
学习目标
新课讲授
课堂总结
1.理解两角差的余弦公式的推导过程；（重点）
2. 会利用两角差的余弦公式化简、求值、证明等.（难点）
学习目标
新课讲授
课堂总结
回顾：诱导公式都是特殊角与任意角 α 的和（或差）的三角函数与这个任
意角 α 的三角函数的恒等关系.
思考：如果把特殊角换为任意角 β，那么任意角 α 与 β 的和（或差）的三
PQ =
1 − 2
2
+ 1 − 2
2
.
注：公式使用过程中，可先建立直角坐标系，将任意两点的坐标标出，再
套公式求解！
学习目标
新课讲授
课堂总结
问题 2：如果已知任意角 α、β 的正弦、余弦，你能由此推出 α – β 的余弦吗？
若能，请说明理由.
令 ≠ 2kπ + β，k∈Z，如图，以 x 轴非负半轴为始边作角 α，β，α – β，
根据勾股定理得：MQ2+MP2
=
M
PQ2，
即：(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 = PQ2，
故 PQ 的距离为：
2 − 1
2
+ 2 − 1
2
o
.

5.5.1两角差的余弦公式课件——高中数学人教A版必修第一册

1．已知 sin α＝1157，α∈π2，π，则 cosπ4－α的值为________．解析：因为 sin α＝1157，α∈π2，π，
所以 cos α＝－ 1－sin2α
＝－ 1－11572＝－187，
所以
cosπ4－α＝
π cos4cos
α＋sinπ4sin
α＝ 22×－187＋
22×1157＝
【解】 (1)因为 cos α＝13，α 是第四象限角，所以 sin α＝－ 1－cos2α＝
－ 1－132＝－23 2，因为 sin β＝35，β 是第二象限角，所以 cos β＝－ 1－sin2β＝
－ 1－352＝－45，
则 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝13×－45＋－23 2×35＝－4－156
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对∀α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 都成立．(√ ) (2)对于∀α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β 都不成立．( × )
设 α∈0，π2，若 sin α＝35，则 2cosα－π4等于(
)
A．75
2 2.
又 sin α＜sin β，所以 0＜α＜β＜π2，
所以－π2＜α－β＜0.故 α－β＝－π4. 答案：－π4
04 拓展延伸
1．sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°的值为( )
3 A. 2
1＋ 3 C. 2
1 B.2
3－1 D. 2
解析：选 B.sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°＝cos 11°·cos 71°
sin(α＋β)＝ 1－cos2（α＋β）＝5143. 又因为 β＝(α＋β)－α，所以 cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－1114×17＋5143×4 7 3＝12. 又因为 β∈0，π2，所以 β＝π3.

《两角差的余弦公式》课件

1 2 3
利用三角函数诱导公式推导
通过三角函数的周期性和对称性，利用诱导公式将角度转换到易于计算的角度范围，然后利用两角和与差公式进行推导。
利用单位圆性质推导
利用单位圆的性质，将两角差的余弦表示为向量夹角的余弦值，然后利用向量的数量积和模长进行推导。
推导过程的证明
证明两角差的余弦公式需要利用三角函数的周期性和对称性、单位圆的性质以及代数运算和三角恒等变换进行证明。
学习目标
掌握公式的推导过程，理解公式的几何意义，能够熟练应用公式进行计算
THANKS
感谢观看
进阶习题3
已知cos(π/3 + α) = 1/3，求 cos(2π/3 - 2α)的值。
习题解析
解析1
利用两角差的余弦公式，将已知的cos(π/3 - α)转化为关于cos(2π/3 - 2α)的表达式，然后进行计算。
解析2
利用两角差的余弦公式，将已知的cos(π/4 - α)转化为关于sin(3π/4 - 2α)的表达式，然后进行计算。
适用于任意角度α、β的三角函数计算
公式应用注意事项
角度范围
在使用两角差的余弦公式时，需要注意角度α、β的范围，以避免
出现负数平方根的情况
精度问题
在计算过程中，需要注意精度问题，以避免误差的积累
特殊角的处理
对于一些特殊角，如90°、180° 等，需要特别注意公式的应用方
式
下章预告
学习内容
学习两角和与差的正弦、余弦、正切公式
解析6
利用两角差的余弦公式，将已知的cos(π/3 + α)转化为关于cos(2π/3 - 2α)的表达式，然后进行计算。
05

两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

1．求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过大(小)，导致求出的角不合题意或者漏解．
2．求角的大小，要解决两点：(1)确定所求角的范围， (2)求角的某一三角函数值，特别是要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值．
若把本例题的条件改为“α∈(0，2π)，β∈(－π2，0)，且 cos(α－β)＝35，sin β＝－102”，试求角 α 的大小．
化简求值： (1)sin1π2－ 3cos1π2；
sin 15°－cos 15° (2)cos 15°＋sin 15°.
【思路探究】解答本题中的(1)可先考虑如何去变换系数，才能与学习的公式相联系，可以考虑 1＝2×12， 3＝ 2× 23，引入特殊角的三角函数；(2)可先分子分母同除以 cos 15°得出t1a＋n 1ta5n°－151°，然后再把该式向公式 tan(α±β)转化．
＝ 22sin(x＋51π2)．
1．对于形如 sin α±cos α， 3sin α±cos α 的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化简为含有一个三角函数的形式．
2．在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则．
【自主解答】
(1)法一
原式＝2(12sin1π2－
3π 2 cos12)
＝2(sinπ6sin1π2－cosπ6cos1π2)
＝－2cos(π6＋1π2)＝－2cosπ4
＝－ 2.
法二
原式＝2(12sin1π2－
3π 2 cos12)
＝2(cosπ3sin1π2－sinπ3cos1π2)
＝－2sin(π3－1π2)
将本例中条件“已知 α、β 是锐角”改为“α、β 都是钝角”．仍求 sin β 的值．

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式-高一数学课件

“差角”的形式，进而推导两角和的余弦公式？
两角差的余弦公式：cos(α-β) = cosα cosβ + sinα sinβ
cos(α+β)= cos[α-(-β)]
= cosα cos(-β) + sinα sin(-β)
= cosα cosβ - sinα sinβ
PART 1 两角和与差的余弦公式
tanα + tanβ
= ——————
1 - tanα tanβ
tanα - tanβ
同理可证，tan(α - β)= ——————
1 + tanα tanβ
分子分母同时
除以cosα cosβ
PART 3 两角和与差的正切公式

对于任意角α，β (α，β≠ + ， ∈ )有
tanα
+
tanβ
弦、余弦表示sin(α+β)，sin(α-β)的公式吗？

提示：诱导公式五：sin(
2
−

)=cos，cos(
2
− )=sin
= sinα cosβ + cosα sinβ
同理可证，sin(α - β)= sinα cosβ - cosα sinβ
PART 2 两角和与差的正弦公式
对于任意角α，β有
tan(α+β)= ——————
1 - tanα tanβ
T(α+β)
tanα - tanβ
tan(α - β)= ——————
1 + tanα tanβ
T(α-β)
记忆要点：上同下异
例题探究

例1 已知sin = − ，是第四象限角，求sin(

两角和与差的正弦、余弦函数-PPT课件

如何求sin 的值？
解:sin
cos
2
cos
2
cos
2
cos
sin
2
sin
sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
20
用代
sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( )
sin( ) sin cos cos sin
思考5:如果能,那么一般情况下cos(α-β)能否用角 α,β的三角函数值来表示?请进入本节课的学习！
5
1.利用向量的数量积发现两角差的余弦公式.（重点） 2.能由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式.（难点） 3.灵活正反运用两角和与差的正弦、余弦函数. （难点）
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探究点1 两角差的余弦函数
向量b OP2 （cos ,sin ),
因为a b a b cos( )
y
P1(cos ,sin )
O
P2(cos ,sin )
P0 (1,0)
x
a b coscos sinsin 所以 cos( - ) coscos sinsin
我们称上式为两角差的余弦公式，记作 C
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思考：公式 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 是否对任意角α,β都成立？提示：当0≤α-β≤π时，公式显然成立；当α-β不在［0,π］内时，利用诱导公式，存在θ∈ ［0,2π］，使α-β=θ+2kπ,k∈Z，若θ∈［0,π］， cosθ=cos(α-β) ；若 θ∈(π ， 2π ］， 2π-θ∈ ［0,π)，cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β)，故上述公式对任意角α,β都成立.

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