§7.1 线性空间的定义与性质

（2）负元素是唯一的； （3）加法的消去律成立，即 ， 则
（4）方程 x 在线性空间内有且只有
一个解 x
（5）0 0 （左边0是数，右边0表示零元素）
（6）0 0 （其中0是指零元素）
（7） பைடு நூலகம்
（8）若 0 ，则有 0 或 0 下面仅证明（6）和（8）
第七章 线性空间
线性空间是某一类事物从量方面的一个抽象， 线性变换是反映线性空间中元素间最基本的线性 联系。线性代数就是研究线性空间与线性变换的 理论学科。本章主要是用之前相关的知识去研究 线性空间与线性变换。这章将讨论两个问题： （1）线性空间的概念、基与维数、向量的坐标； （2）线性变换的概念和矩阵表示。
第七章 线性空间
§7.1 线性空间的定义与性质
定义1 设 V 为一个非空集合，R 为实数域， 对在集合 V 和实数域 R 上定义的加法和数 乘两种运算满足下列规则就称为 V （实数域 R 上的）线性空间或向量空间。
首先，对于称为加法和数乘的两种运算各自
满足封闭性，即对任意两个元素 , V 则 V 。又对任一数 V 与任一元素 V ，则 V
其次，对这两种运算满足8条运算规律（设
, , V ,, R ）
①
②
③ 在 V 中存在零元素 0 ，对任何 V ， 都有 0
④ 对任何 V ，都有 的负元素 V
使 0
⑤ 1
⑥ ⑦
⑧
说明 要验证 V 是否为 R 上的线性空间就看 是否满足以上10条规律。
（1）, W ，则 W
（2） R , W ，则 W
说明 从这个定理可知，子空间线性运算的两条 （加法与数乘封闭）就可推得线性空间的8条规 则。
证（6）由 0 0 得
0 0 ，根据加法消去律有 0 0 证（8）若 0 ，据性质（5）可知 0 ；
若 0 ，则 1 存在，有 1 10 ，故
1 1 0 ，证毕
定义2 作为方程 x 的唯一解 x
可记为 x ，称之为 与 之差。
⑦ o a a aa a a oa oa
⑧ oa b oab ab ab a b o a ob 经验证 R 所定义的运算构成了线性空间。
例2 设集合 V 为：与向量 0,0,1 不平行的全体
三维数组向量。定义两种运算为：数组向量的加 法和数乘运算。验证集合 V 是否为实数域 R 上 的线性空间。
0
1
0
等是向量空间 S 中的元素，均可看成是向量。
②向量空间的概念是集合与运算二者的
结合。在同一集合里，若定义两种不同的线性
运算就构成不同的向量空间，因此所定义的线
性运算是向量空间的本质，而其中的元素（即
向量）是什么倒并不重要。
直接从线性空间的定义，可推出线性空间的 一些简单性质：
（1）零元素是唯一的；
下面再验证满足8条规律： ① a b ab ba b a
② a b c ab c abc abc a b c
③ R 存在零元素1，对 a R 有 a 1 a1 a ④ 对 a R ，有负元素 a1 R ，使
a a1 aa1 1
⑤ 1 a a1 a
⑥ o o a o a a a o a , R
例1 在实数域 R 和 R 集合（正实数全体）
上定义运算 a b aba,b R
o a a R, R
验证 R 对上述定义的加法 与数乘 o 。
运算构成实数域上的线性空间。
解 对加法封闭：对任意的 a,b R ，有
a b ab R 对数乘封闭：对任意的 R, a R ，有 o a a R
说明 求差的运算称为减法运算。
定义3 设 W 是线性空间 V 的一个非空子集，若 W 对于 V 中定义的加法与数乘运算也构成一个 线性空间，称 W 是 V 的子空间。
对于子空间，有如下定理加以判别。
定理 设 W 是线性空间 V 的一个非空子集，则 W 是 V 的子空间充要条件是 W 对于 V 的加 法与数乘运算具有封闭性，即
证 取 2,2,3V, 2,2,2V ，则 0,0,1V ，故 V 对所定义的运算不封闭，
即集合 V 在实数域上对定义的两种运算不构成 线性空间。
说明 ①线性空间的向量概念是更加抽象化。
如二阶方阵全体的集合 S 对矩阵的加法和数
乘两种运算构成了向量空间，P1
1 0
0 0
0
,
P2