带电粒子在磁场中运动最小面积问题.
2020年高三物理专题 带电粒子在磁场中的运动压轴大题几个增分策略(原卷版)
电磁学压轴大题增分策略(一)——解决带电粒子在磁场中运动的三种思想方法带电粒子在匀强磁场中的运动常常命制压轴大题，涉及的题型通常有磁场区域最小面积的求解，“数学圆”模型在电磁学中的应用，“磁发散”和“磁聚焦”等问题。
三种题型分装在三节课时中，本节课则通过对近年高考及各地模拟题的研究，阐述应用对称法、临界极值法、递推法解决带电粒子在磁场中运动的问题。
利用对称性解决物理问题能大大简化解题步骤。
物理解题中的对称法，就是从对称性的角度去分析物理过程，利用对称性解决物理问题的方法一般来讲，当研究对象在结构或相互作用上、物理过程在时间和空间上以及物理量在分布上具有对称的特征时，宜采用对称法进行解决。
[例1] (2015·山东高考)如图所示，直径分别为D 和2D 的同心圆处于同一竖直面内，O 为圆心，GH 为大圆的水平直径。
两圆之间的环形区域(Ⅰ区)和小圆内部(Ⅰ区)均存在垂直圆面向里的匀强磁场。
间距为d 的两平行金属板间有一匀强电场，上极板开有一小孔。
一质量为m 、电量为＋q 的粒子由小孔下方d 2处静止释放，加速后粒子以竖直向上的速度v 射出电场，由H 点紧靠大圆内侧射入磁场。
不计粒子的重力。
(1)求极板间电场强度的大小； (2)若粒子运动轨迹与小圆相切，求Ⅰ区磁感应强度的大小；(3)若Ⅰ区、Ⅰ区磁感应强度的大小分别为2mv qD 、4mv qD，粒子运动一段时间后再次经过H 点，求这段时间粒子运动的路程。
电磁学中的临界、极值问题是高考命题的热点，难度往往较大，尤其是在分析带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的这类问题时，通常以题目中的“恰好”“最高”“最长”“至少”等为突破口，将不确定的物理量推向极端(如极大、极小；最上、最下；最左、最右等)，结合相应的物理规律分析出临界条件，列出相应方程求解。
[例2] 如图所示，一平行板电容器两极板水平相对放置，在两极板的正中心上各开一孔，孔相对极板很小，因此不会影响两极板间的电场分布。
带电粒子在磁场中的运动(磁聚焦和磁扩散)
θR O/
OM
x
图 (b)
(3)带电微粒在y轴右方(X> O)的区域离开磁场并做 匀速直线运动．靠近上端发射出来的带电微粒在穿出 磁场后会射向X轴正方向的无穷远处，靠近下端发射 出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场．所以， 这束带电微粒与X轴相交的区域范围是X> 0．
装带 置点
微 粒 发 射
Pv Cr
(2)这束带电微粒都通过坐标原点。 如图（b)所示，从任一点P水平进入磁场的 带电微粒在磁场中做半径为R 的匀速圆周运动，圆 心位于其正下方的Q点，设微粒从M 点离开磁 场．可证明四边形PO’ MQ是菱形，则M 点就是坐 标原点，故这束带电微粒都通过坐标原点0．
y
v AC
R O/
O
x
图 (a)
y
Pv R
y
D
C
v0
O
x
A
B
S=2(πa2/4-a2/2) =(π-2)a2/2
解：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧AEC是自C点垂直于 BC入射的电子在磁场中的运行轨道。依题意，圆心在A、C连线的中垂线上， 故B点即为圆心，圆半径为a，按照牛顿定律有 ev0B= mv02/a，得B= mv0/ea。 （2）自BC边上其他点入射的电子运动轨道只能在BAEC区域中。因而，圆弧 AEC是所求的最小磁场区域的一个边界。
（1）从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区
域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感
应强度的大小与方向。
y
（2）请指出这束带电微粒与x轴相 带
交的区域，并说明理由。
点 微
粒
（3）在这束带电磁微粒初速度变为
发 射
带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题
带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题在高三物理复习中，带电粒子在磁场中的运动的问题是重点内容。
其中有一类最小面积的问题，这类问题的规律性很强，本文作一归纳，供大家参考。
已知带电粒子的进、出磁场的方向，带电粒子在磁场中运动，轨迹圆的圆心在以进出磁场方向夹角的角分线上。
由已知条件求轨迹圆半径并在对角线上确定位置，画出运动轨迹，就可以确定磁场的最小面积。
下面我就以几道典型题验证这个思路。
例题1.一匀强磁场，磁场方向垂直于xoy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。
一个质量为m、电荷量为q 的电带粒子，由原点O开始运动，初速度为v，方向沿x正方向。
后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O的距离为L，如图所示。
不计重力的影响。
求磁场的磁感应强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R。
解：粒子在磁场中受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，设其半径为r，qvB=m■①据此并由题意知，粒子在磁场中的轨迹的圆心C必在y轴上，且P点在磁场区之外。
过P沿速度方向作延长线，它与x轴相交于Q点。
作角PQO 的对角线，与y轴的交点就是C点。
这样也求得圆弧轨迹的圆心C，如图所示。
由图中几何关系得L=3r②由①、②求得B=■③图中OA的长度即圆形磁场区的半径R，由图中几何关系可得R=■L④例题2.如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B ■，E的大小为0.5×10■V/m，B■大小为0.5T；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B■，磁场的下边界与x 轴重合。
一质量m=1×10■kg、电荷量q=1×10■C的带正电微粒以某一速度v沿与y轴正方向60°角从M点沿直线运动，经P点即进入处于第一象限内的磁场B■区域。
一段时间后，小球经过y轴上的N点并与y轴正方向成60°角的方向飞出。
专项练习--磁场地最小面积求解
25题练习〔3〕--磁场的最小面积1.如以下图,第四象限内有互相正交的匀强电场E 与匀强磁场B 1,E 的大小为1.5×103 V/m,B 1大小为0.5 T ；第一象限的某个矩形区域内,有方向垂直纸面的匀强磁场,磁场的下边界与x 轴重合.一质量m ＝1×10－14 kg,电荷量q ＝2×10－10 C 的带正电微粒以某一速度v 沿与y 轴正方向60°角从M 点射入,沿直线运动,经P 点后即进入处于第一象限内的磁场B 2区域.一段时间后,微粒经过y 轴上的N点并与y 轴正方向成60°角的方向飞出.M 点的坐标为<0,－10>,N点的坐标为<0,30>,不计微粒重力,g 取10 m/s 2.如此求：<1>微粒运动速度v 的大小；<2>匀强磁场B 2的大小；<3>B 2磁场区域的最小面积.解析：<1>带正电微粒在电场和磁场复合场中沿直线运动,qE ＝qvB 1,解得v ＝E/B 1＝3×103 m/s.<2>画出微粒的运动轨迹如图,粒子做圆周运动的半径为R ＝错误! m.由qvB 2＝mv 2/R,解得B 2＝3错误!/4 T.<3>由图可知,磁场B 2的最小区域应该分布在图示的矩形PACD 内,由几何关系易得PD ＝2Rsin 60°＝20 cm ＝0.2 m,PA ＝R<1－cos60°>＝错误!/30 m.所以,所求磁场的最小面积为S ＝PD ·PA ＝错误! m 2.答案：<1>3×103 m/s <2>错误! T<3>错误! m 22．如图甲所示,x 轴正方向水平向右,y 轴正方向竖直向上.在xoy 平面内有与y 轴平行的匀强电场,在半径为R 的圆形区域内加有与xoy 平面垂直的匀强磁场.在坐标原点O 处放置一带电微粒发射装置,它可以连续不断地发射具有一样质量m 、电荷量q 〔0>q 〕和初速为0v 的带电粒子.重力加速度大小为g.〔1〕当带电微粒发射装置连续不断地沿y 轴正方向发射这种带电微粒时,带电微粒将沿圆形磁场区域的水平直径方向离开磁场,并继续沿x 轴正方向运动.求电场强度和磁场强度的大小和方向.〔2〕调节坐标原点0处的带电微粒发射装置,使其在xoy 平面内不断地以一样的速率v 0沿不同方向将这种带电微粒射入第1象限,如图乙所示.现要求带电微粒最终都能平行于x 轴正方向运动,如此在保证匀强电场、匀强磁场的强度和方向不变的条件下,应如何改变匀强磁场的分布区域？并求出符合条件的磁场区域的最小面积.解〔1〕由题目中"带电粒子从坐标原点O 处沿y 轴正方向进入磁场后,最终沿圆形磁场区 域的水平直径离开磁场并继续沿x 轴正方向运动〞可知,带电微粒所受重力与电场力平衡.设电场强度大小为E,由平衡条件得：qE mg =1分 N ∴q mg E =1分 电场方向沿y 轴正方向 带电微粒进入磁场后,做匀速圆周运动,且圆运动半径r=R.设匀强磁场的磁感应强度大小为B.由牛顿第二定律得：R mv B qv 200=1分 ∴qR mv B 0=1分 磁场方向垂直于纸面向外1分〔2〕设由带电微粒发射装置射入第Ⅰ象限的带电微粒的初速度方向与x 轴承夹角θ, 如此θ满足0≤2πθ<,由于带电微粒最终将沿x 轴正方向运动,故B 应垂直于xoy 平面向外,带电微粒在磁场内做半径为qBmv R 0=匀速圆周运动. 由于带电微粒的入射方向不同,假如磁场充满纸面,它们所对应的运动的轨迹如以下图.2分为使带电微粒经磁场偏转后沿x 轴正方向运动.由图可知,它们必须从经O 点作圆运动的各圆的最高点飞离磁场.这样磁场边界上P 点的坐标P 〔x,y 〕应满足方程：θsin R x =,)cos 1(θ-=R y ,所以磁场边界的方程为：222)(R R y x =-+2分由题中0≤2πθ<的条件可知, 以2πθ→的角度射入磁场区域的微粒的运动轨迹即为所求磁场的另一侧的边界.2分因此,符合题目要求的最小磁场的X 围应是圆222)(R R y x =-+与圆222)(R y R x =+-的交集局部〔图影局部〕.1分由几何关系,可以求得符合条件的磁场的最小面积为：22202min )12(B q v m S -=π1分 3.如以下图,在平面直角坐标系xOy 中的第一象限内存在磁感应强度大小为B 、方向垂直于坐标平面向内的有界圆形匀强磁场区域〔图中未画出〕；在第二象限内存在沿x 轴负方向的匀强电场．一粒子源固定在x 轴上的A 点,A 点坐标为〔-L,0〕．粒子源沿y 轴正方向释放出速度大小为v 的电子,电子恰好能通过y 轴上的C 点,C 点坐标为〔0,2L 〕,电子经过磁场偏转后方向恰好垂直ON,ON 是与x 轴正方向成15°角的射线．〔电子的质量为m,电荷量为e,不考虑粒子的重力和粒子之间的相互作用．〕求：〔1〕第二象限内电场强度E 的大小．〔2〕电子离开电场时的速度方向与y 轴正方向的夹角θ．〔3〕圆形磁场的最小半径R min ．解：〔1〕22mv EeL〔2〕=45°〔3〕电子的运动轨迹如图,电子在磁场中做匀速圆周运动的半径电子在磁场中偏转120°后垂直于ON射出,如此磁场最小半径：由以上两式可得：4.〔某某适应性测试>在如右图所示的平面直角坐标系中,存在一个半径R＝0.2m的圆形匀强磁场区域,磁感应强度B＝1.0T,方向垂直纸面向外,该磁场区域的右边缘与坐标原点O 相切．y轴右侧存在电场强度大小为E＝1.0×104N/C的匀强电场,方向沿y轴正方向,电场区域宽度l＝0.1m．现从坐标为<－0.2m,－0.2m>的P点发射出质量m＝2.0×10－9kg、带电荷量q＝5.0×10－5C的带正电粒子,沿y轴正方向射入匀强磁场,速度大小v0＝5.0×103m/s.重力不计．<1>求该带电粒子射出电场时的位置坐标；<2>为了使该带电粒子能从坐标为<0.1m,－0.05m>的点回到电场后,可在紧邻电场的右侧一正方形区域内加匀强磁场,试求所加匀强磁场的磁感应强度大小和正方形区域的最小面积．解析：<1>带正电粒子在磁场中做匀速圆周运动,有qv0B＝m错误!解得r＝0.20m＝R根据几何关系可知,带电粒子恰从O点沿x轴进入电场,带电粒子做类平抛运动．设粒子到达电场边缘时,竖直方向的位移为y,有l＝v0t,y＝错误!·错误!t2联立解得y＝0.05m所以粒子射出电场时的位置坐标为<0.1m,0.05m>．<2>粒子飞离电场时,沿电场方向速度v y＝at＝5.0×103m/s＝v0粒子射出电场时速度v＝错误!v0由几何关系可知,粒子在正方形区域磁场中做圆周运动半径r′＝0.05错误!m由qvB′＝m错误!,解得B′＝4T正方形区域最小面积S＝<2r′>2解得S＝0.02m2.答案：<1><0.1m,0.05m> <2>0.02m25.如以下图,在坐标系第一象限内有正交的匀强电、磁场,电场强度E＝1.0×103 V/m,方向未知,磁感应强度B＝1.0 T,方向垂直纸面向里；第二象限的某个圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场B′<图中未画出>．一质量m＝1×10－14 kg、电荷量q＝1×10－10 C的带正电粒子以某一速度v沿与x轴负方向成60°角的方向从A点进入第一象限,在第一象限内做直线运动,而后从B点进入磁场B′区域．一段时间后,粒子经过x轴上的C点并与x轴负方向成60°角飞出．A点坐标为<10,0>,C点坐标为<－30,0>,不计粒子重力．<1>判断匀强电场E的方向并求出粒子的速度v.<2>画出粒子在第二象限的运动轨迹,并求出磁感应强度B′.<3>求第二象限磁场B′区域的最小面积．解析<1>粒子在第一象限内做直线运动,速度的变化会引起洛伦兹力的变化,所以粒子必做匀速直线运动．这样,电场力和洛伦兹力大小相等,方向相反,电场E的方向与微粒运动的方向垂直,即与x轴正向成30°角斜向右上方．由平衡条件有Eq＝Bqv得v＝错误!＝错误! m/s＝103 m/s<2>粒子从B点进入第二象限的磁场B′中,轨迹如图粒子做圆周运动的半径为R,由几何关系可知R＝错误! cm＝错误! cm由qvB′＝m错误!,解得B′＝错误!＝错误!,代入数据解得B′＝错误! T.<3>由图可知,B、D点应分别是粒子进入磁场和离开磁场的点,磁场B′的最小区域应该分布在以BD为直径的圆内．由几何关系得BD＝20 cm,即磁场圆的最小半径r＝10 cm,所以,所求磁场的最小面积为S＝πr2＝3.14×10－2 m2答案<1>与x轴正向成30°角斜向右上方103 m/s <2>运动轨迹见解析图错误! T <3>3.14×10－2 m26．如图甲所示,在xOy平面内有足够大的匀强电场,电场方向竖直向上,电场强度E＝40 N/C,在y轴左侧平面内有足够大的瞬时磁场,磁感应强度B1随时间t变化的规律如图乙所示,15π s后磁场消失,选定磁场垂直纸面向里为正方向．在y轴右侧平面内还有方向垂直纸面向外的恒定的匀强磁场,分布在一个半径为r＝0.3 m的圆形区域<图中未画出>,且圆的左侧与y轴相切,磁感应强度B2＝0.8 T．t＝0时刻,一质量m＝8×10－4 kg、电荷量q＝2×10－4 C的微粒从x轴上x P＝－0.8 m处的P点以速度v＝0.12 m/s向x轴正方向入射．<g取10 m/s2,计算结果保存两位有效数字><1>求微粒在第二象限运动过程中离y轴、x轴的最大距离．<2>假如微粒穿过y轴右侧圆形磁场时,速度方向的偏转角度最大,求此圆形磁场的圆心坐标<xy>．解析<1>因为微粒射入电磁场后受到的电场力F＝Eq＝8×10－3 N,G＝mg＝8×10－3 N电F＝G,所以微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动电因为qvB1＝m错误!所以R1＝错误!＝0.6 mT＝错误!＝10π s从图乙可知在0～5 π s内微粒向左做匀速圆周运动在5π s～10π s内微粒向左匀速运动,运动位移x＝v错误!＝0.6π m1在10π s～15π s内,微粒又做匀速圆周运动,15π s以后向右匀速运动,之后穿过y轴．所以,离y轴的最大距离s＝0.8 m＋x＋R1＝1.4 m＋0.6π m≈3.3 m1离x轴的最大距离s′＝2R1×2＝4R1＝2.4 m<2>如图,微粒穿过圆形磁场要求偏转角最大,〔因为R=2r〕入射点A与出射点B的连线必须为磁场圆的直径因为qvB2＝错误!所以R2＝错误!＝0.6 m＝2r所以最大偏转角θ＝60°所以圆心坐标x＝0.30 my＝s′－r cos 60°＝2.4 m－0.3 m×错误!≈2.3 m,即磁场的圆心坐标为<0.30,2.3>答案<1>3.3 m,2.4 m <2><0.30,2.3>7.如以下图,虚线MO与水平线PQ相较于O点,二者夹角θ=300,在MO右侧某个区域存在着磁感应强度为B、垂直纸面向里的匀强磁场,在MO左侧存在着垂直纸面向里的另一匀强磁场,磁感应强度为B’.现有一群质量为m、电量为+q的带电粒子在纸面内以速度v〔0≤v≤EB〕垂直于MO从O点射入磁场,所有粒子通过直线MO时,速度方向均平行于PQ向左,不计粒子的重力和粒子间的相互作用力．求：〔1〕磁场区域的最小面积．〔2〕速度最大的粒子从O开始射入磁场至返回水平线POQ所用的时间．。
2放缩圆,收缩圆带电粒子在有界磁场中运动的临界问题
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题带电粒子（质量m 、电量q 确定）在有界磁场中运动时，涉及的可能变化的参量有——入射点、入射速度大小、入射方向、出射点、出射方向、磁感应强度大小、磁场方向等，其中磁感应强度大小与入射速度大小影响的都是轨道半径的大小，可归并为同一因素（以“入射速度大小”代表），磁场方向在一般问题中不改变，若改变，也只需将已讨论情况按反方向偏转再分析一下即可。
在具体问题中，这五个参量一般都是已知两个，剩下其他参量不确定（但知道变化范围）或待定，按已知参数可将问题分为如下10类（25C ），并可归并为6大类型。
所有这些问题，其通用解法是：①第一步，找准轨迹圆圆心可能的位置，②第二步，按一定．．．顺序．．尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆（一般至少5画个轨迹圆），③第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆，从而抓住解题的关键点。
类型一：已知入射点和入射速度方向，但入射速度大小不确定（即轨道半径不确定） 这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。
【例1】如图所示，长为L 的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B ，板间距离也为L ，板不带电．现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是A ．使粒子的速度v <BqL 4mB ．使粒子的速度v >5BqL4mC ．使粒子的速度v >BqL mD ．使粒子的速度BqL 4m <v <5BqL4m【分析】粒子初速度方向已知，故不同速度大小的粒子轨迹圆圆心均在垂直初速度的直线上（如图甲），在该直线上取不同点为圆心，半径由小取到大，作出一系列圆（如图乙），其中轨迹圆①和②为临界轨迹圆。
轨道半径小于轨迹圆①或大于轨迹圆②的粒子，均可射出磁场而不打在极板上。
类型 已知参量类型一 ①⑩ 入射点、入射方向；出射点、出射方向 类型二 ②⑧ 入射点、速度大小；出射点、速度大小 类型三 ③ 入射点、出射点 类型四 ⑦入射方向、出射方向类型五 ⑤⑨ 入射方向、速度大小；出射方向、速度大小； 类型六 ④⑥ 入射点、出射方向；出射点，入射方向图乙图甲 ①②入射点 入射方向入射速度大出射点出射方向① ② ③ ④ ⑧ ⑨⑤⑥⑦⑩【解答】 AB粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O 点，有 r 12＝L 2＋(r 1－L 2)2 ， 得 r 1＝5L4由 r 1＝mv 1Bq ，得 v 1＝5BqL 4m ，所以v >5BqL4m时粒子能从右边穿出．粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O ′点，有 r 2＝L4由 r 2＝mv 2Bq ，得 v 2＝BqL 4m ，所以v <BqL4m时粒子能从左边穿出．【易错提醒】容易漏选A ，错在没有将r 先取较小值再连续增大，从而未分析出粒子还可以从磁场左边界穿出的情况。
18 磁场最小面积问题—高中物理三轮复习重点题型考前突破
一、磁场形状为圆状的最小面积计算1.如图，在直角坐标系xOy平面内，虚线MN平行于y轴，N点坐标(－l，0)，MN与y 轴之间有沿y轴正方向的匀强电场，在第四象限的某区域有方向垂直于坐标平面的圆形有界匀强磁场(图中未画出)。
现有一质量为m、电荷量大小为e的电子，从虚线MN上的P点，以平行于x轴正方向的初速度v0射入电场，并从y轴上A点(0，0.5l)射出电场，射出时速度方向与y轴负方向成30°角，此后，电子做匀速直线运动，进入磁场并从圆形有界磁场边界上Q点(3l6，－l)射出，速度沿x轴负方向，不计电子重力。
求：(1)匀强电场的电场强度E的大小？(2)匀强磁场的磁感应强度B的大小？电子在磁场中运动的时间t是多少？(3)圆形有界匀强磁场区域的最小面积S是多大？解析(1)设电子在电场中运动的加速度为a，时间为t，离开电场时沿y轴方向的速度大小为v y，则a＝eE mv y＝atl＝v0tv0＝v y tan 30°解得E＝3m v20 el。
(2)设轨迹与x轴的交点为D，OD距离为x D，则x D＝0.5l tan 30°x D＝3l 6所以DQ平行于y轴，电子在磁场中做匀速圆周运动的轨道的圆心在DQ上，电子运动轨迹如图所示。
设电子离开电场时速度为v ，在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r ， 则v 0＝v sin 30° r ＝m v eB ＝2m v 0eB r ＋r sin 30°＝l (有r ＝l3)t ＝13TT ＝2πm eB ⎝ ⎛⎭⎪⎫或T ＝2πr v ＝πl 3v 0解得B ＝6m v 0el ，t ＝πl9v 0。
(3)以切点F 、Q 为直径的圆形有界匀强磁场区域的半径最小，设为r 1，则 r 1＝r cos 30°＝3r 2＝3l6S ＝πr 21＝πl 212。
答案 (1)3m v 20el (2)6m v 0el ，πl 9v 0(3)πl 2122．如图所示，在直角坐标系xoy 中，第Ⅰ象限存在沿y 轴正方向、电场强度为E 的匀强电场，第Ⅳ象限存在一个方向垂直于纸面、磁感应强度为B 的圆形匀强磁场区域。
最小磁场矩形面积问题的再探讨
最小磁场矩形面积问题的再探讨作者：叶玉琴丁丹华来源：《中学物理·高中》2013年第05期《物理教师》2012年第3期刊登了一篇题为《怎样处理“题同答异”的问题》（下文称为《怎》文）的文章，文章探讨的问题如下：题如图1，一带电粒子（不计粒子的重力）以某一速度在竖直平面内做直线运动，经过一段时间后进入一垂直于纸面的磁感应强度为B的匀强磁场区域（图中未画出）；粒子飞出磁场后接着沿垂直于电场的方向出入宽度为L的电场中，电场强度的大小为E，方向竖直向上.粒子穿过电场过程中，速度反向改变了60°角.已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，粒子进入磁场前的速度方向与水平方向成θ=60°.若磁场区域为矩形，则矩形最小面积为多少？《怎》文开篇提出这样的观点：有些物理问题，因为题目所给的条件不严密，它的答案会随解题者对题目的理解的不同而不同.对于例题中的最小矩形面积问题，《怎》文认为：题目只是确定磁场区域是矩形，并没有要求边界是水平和竖直，留有让学生产生产生歧义的漏洞，因而多数人因为思维定势按图2求磁场区域最小面积为S=Rsinθ·R（1-cosθ）=34R2.【笔者注：此种方法确定的最小矩形的一对对边与粒子进点或出点处半径平行，下文称为“平行半径法”】而事实上有更小的矩形面积区域，如图3，它的面积S′=2Rsin30°·R（1-cos30°）=2-32R2，【笔者注：此种方法确定的最小矩形的一对对边与粒子在磁场中运动的进、出点决定的弦平行，故称之“平行弦法”】鉴于此，笔者认为，第一，关于此类问题的教学处理仅应用“有结果反推原因”的物理方法是不够的，而应给出更严谨、更普遍性的论证，只有这样，才能让学生深刻认识问题、了解问题并掌握解决问题的方法及原理.第二，《怎》文中提出的关于最小矩形磁场区域面积问题的题给条件是严密的，不存在“题同答异”一说，即不存在“答案随解题者对题目的理解的不同而不同”.笔者在教学中确实发现如《怎》文所说的情形：经常有学生拿着题目问，这道题在这里是这个答案，在另一本书上是那个答案.但笔者一点也不烦，因为这正是利用错误资源、澄清认识误区的最好时机！下面笔者对粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动中所需的最小矩形磁场区域面积问题作一般性的论证和说明.为方便，令粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，圆心角（或曰速度偏向角）为θ，分以下四种情形进行分析论证.21世纪国际社会的竞争归根到底是人才素质的竞争，而创新精神是优秀人才必备的素质.随着新课改的日益全面推行和高考改革的不断深入，近几年来高考试题也越来越突出了对学生能力的考查，主要表现在要求学生在熟练掌握知识的基础上能够灵活地综合运用所学的知识分析问题并寻求最佳的解决方案，这就要求学生具有周密分析、独立思考的能力，因此在教学中如果出现错误资源时，诚如《怎》文所说，这其实正是展现物理教师学术水平和对待问题的态度的最佳时机，同时也是培养中学生的质疑意识和创新精神的最佳时机，教师要积极把握、智慧对待！。
磁场中的最小面积问题
磁场中的“最小面积”问题河南省信阳高级中学陈庆威2016.12.27带电粒子在磁场中运动类题目本身就是磁场中的重难点问题，而求粒子在磁场中运动时的“最小面积”问题，又是这类问题中比较典型的难题。
很多时候面对这种题目，同学们的大脑都是一片空白，没有思路、没有方法、也没有模型。
那么，如何突破这一难题呢？以下是我精心整理的几道相关试题。
相信，我们通过该种模型题的训练，能学会举一反三、活学活用、准确把握模型、深刻理解模型，形成自己独立解决该类问题的思维和方法，从而全面提升我们的解题能力。
例题1：如图所示，一质量为m、电荷量为q的带电粒子，从y轴上的P/点以速度丫射入第一象限所示的区域，入射方向与x 轴正方向成。
角.为了使该粒子能从x轴上的P/点射出该区域，且射出方向与x轴正方向也成a角，可在第一象限适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀强磁场.若磁场分布为一个圆形区域，求这一匕心一圆形区域的最小面积为（不计粒子的重力）一一 .：解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得："二崂则粒子在磁场中做圆周的半径：R =竺qB由题意可知，粒子在磁场区域中的轨道为半径等于r 的圆上的一段圆周，这段圆弧应与入射方向的速度、 出射方向的速度相切，如图所示：则到入射方向所在直线和出射方向所在直线相距为 R 的O,点 就是圆周的圆心.粒子在磁场区域中的轨道就是以0,为圆心、R 为半径的圆上的圆弧 ef,而e 点和f 点应在所求圆形磁场区 域的边界上，在通过 e 、f 两点的不同的圆周中，最小的一个 是以ef 连线为直径的圆周.即得圆形区域的最小半径 一 R sin a =皿sin ° qB 则这个圆形区域磁场的最小面积例题2：如图所示，一带电质点，质量为m,电量为q,以平行于ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域。
为了使该 质点能从x 轴上的b 点以垂直于ox 轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xoy 平面、 磁感应强度为B 的匀强磁场。
带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题
３０ ｌ
运 动 ，初 速度 为 ｖ，方 向 沿 Ｘ正 方 向 。 后
Ｔ Ｐ
来 ．粒 子 经 过 Ｙ轴 上 的 Ｐ点 ．此 时速 度 方 向 与ｖ轴 的 夹 角 为 ３０。，Ｐ到 ０的 距 离 为
Ｊ
０
Ｌ，如 图所 示 。不 计 重 力 的 影 响 。求 磁 场 的磁 感 应 强 度Ｂ的 大 小 和ｘｖ平 面上 磁 场 区域 的 半 径 Ｒ。
经 过 ｖ轴 上 的 Ｎ点 并 与 ｖ轴 正 方 向成 ６０。 角 的方 向飞 出 。Ｍ点 的 坐标 为 （０，一１Ｏ），
Ｎ点 的 坐标 为 （０，３Ｏ），不 计 粒 子 重 力 ，ｇ取 １０ｍ／ｓ 。 （１）请 分 析 判 断 匀强 电场 Ｅ，的 方 向 并 求 出微 粒 的 运 动 速
度 ｖ： （２）匀 强 磁 场Ｂ，的大 小 为 多 大 ？
Ｒ，由图 中几 何 关 系 可得
Ｒ： Ｌ
④
例 题 ２．如 图所 示 ，第 四象 限 内有 互 相正 交 的 匀 强 电场 Ｅ与 匀 强磁 场Ｂ ，Ｅ的 大 小 为０．５ｘ１０ Ｖ／ｍ，Ｂ．大 小 为０．５Ｔ；第 一 象 限 的 某 个 矩形 区域 内 ，有 方 向垂 直 纸 面 向里 的匀 强 磁 场 Ｂ，，磁 场
ＰＡ：Ｒ（１一ｃｏｓ６０。）： ３Ｏ ｍ
所 以 ． 所 求 磁 场 的 最 小 面 积 为 Ｓ：而 ．ＰＡ：一１ Ｘｘ／３－
—
—
：
、／３ ２
—
—
ｍ —
—
１５０
例题３．一个质量为ｍ，带＋ｑ电量 的
粒 子 在 ＢＣ边 上 的 Ｍ点 以速 度 ｖ垂 直 于
·
／、
， ＼
ＢＣ边 飞入 正 三 角 形ＡＢＣ。为 了使 该 粒
带电粒子在磁场中运动最小面积问题
带电粒子在磁场中运动最小面积问题例1.在xOy平面内有许多电子（质量为m,电荷量为e）,从坐标原点O不断以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限,如图所示.现加上一个垂直于xOy平面的磁感应强度为B的匀强磁场,要求这些电子穿过该磁场后都能沿平行于x轴正方向运动,试求出符合条件的磁场最小面积.例2．一质量为m、带电荷量为q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向夹角30°，如图所示(粒子重力忽略不计)．试求：(1)圆形磁场区域的最小面积．(2)粒子从O点进入磁场区域到达b点所经历的时间．(3)b点的坐标．例3．一个质量为m，带＋q电量的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC。
为了使该粒子能在AC边上的N点图示 (CM＝CN)垂直于AC边飞出三角形ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力．试求：(1)粒子在磁场里运动的轨迹半径r及周期T；(2)该粒子在磁场里运动的时间t；(3)该正三角形磁场区域的最小边长；针对训练1．(09年海南高考)如图甲所示，ABCD是边长为a的正方形．质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域．在正方形内适当区域中有匀强磁场．电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场．不计重力，求：(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向．(2)此匀强磁场区域的最小面积．2．（09年福建卷）图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0×10-3T,在X 轴上距坐标原点L=0.50m的P处为离子的入射口，在Y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y 轴上距坐标原点L=0.50m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力。
寻找最小磁场的方法
据此 并 由题 意 可知 ， 子 在 磁 场 中的 轨迹 的 圆 粒 心 Ｃ必在 － 上 ， Ｐ 点在 磁场 区之外 ， Ｐ 点沿速 ｙ轴 且 过
解析 （ ）粒 子在极 板 间做类 平 抛运 动 ， 平 方 １ 水
度方 向作延 长线 ， 与 轴 相交 于 Ｑ 点 ， 圆 弧过 ０ 它 作
．
、
磁 场 边 界 为 圆 形
６ ｄｖｃ ０ ／ ｍ ｌ
、＜
例 １ 如 图 １所 示 ， 一
（ ）由 图 ２可知 ， 场 Ｂ 的最小 区域应 该应 该将 ２ 磁
质 量 ｍ— ｌ １ ｋ 、 × Ｏ ｇ 电荷
粒子 在磁场 中的轨迹 包括 进去 ， 就应是 以 Ｐ 为 直 那 Ｑ
所 以速度与 水平 方 向成 ３ 。 斜 向下 ． Ｏ角 （ ）粒 子 出 电 场 后 最 终 垂 直 Ｍ Ｎ 射 出 磁 场 ， 先 ２ 应
由 图 ４ 中几 何 关 系 得 Ｌ
一 ３ｒ．
｝ 、
找到 圆周运 动 的圆心 ， 出 电场 的 速度 方 向延 长 ， 将 与
ＡＡ 交 于 一 点 ， 就 是 两 速 度 切 线 的 交 点 ， 做 此 角 这 再
寻 找 最 小 磁 酌 方法 场
口 韩 连 仲
寻找 最小 磁场 面积 的 题 目是 磁偏 转 问 题 中 常见 的 半 径 为 Ｒ＝ ０ｃ ２ ｍ 的考查方 向， 是近 几年 高 考试 题 中常 见 的题 目． 也 但
ｍ
，
对许 多考 生来 说 ， 是一 类 较难 的题 目， 却 其难 点在 于
人 、 出磁场 边 界 的 点 ， 后 再 寻 找 磁 场 的 半 径 ． 射 之 如
域 ． 段 时 间后 ， 球 经 过 轴 上 的 Ｎ 点 并 沿 与 轴 为 劣弧 ， 连接 射入 和 射 出点 是 轨迹 圆的 最 大 弦 ， 一 小 则 以 正 方 向 成 ６ 。 的 方 向 飞 出． 点 的 坐 标 为 （ ， 此 弦为 半径 的 圆即 为最 小 的磁 场 圆 ； 为 优 弧 ， 小 ０角 Ｍ ０ 如 最
压轴密卷答题模板—物理(山东卷)
第二部分：高考物理压轴题解题策略
一、仔细审题,明确题意 ..................................................... 8 二、联想迁移,选择并灵活应用规律和模型 ..................................... 8 三、胆大心细,缜密运算,步步为营 ............................................ 9 四、规范严谨,绝不无谓失分 ................................................. 9 五、考生在解压轴题的过程中还需要注意以下几点 .............................. 9
1 / 10
天星教育网，因你而精彩！
版权所有，侵权必究！
第一部分 10 种必考模型解题万能模板
必考模型 1 追及和相遇问题模型 【模型特征】 追及和相遇问题的实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的 空间位置的问题.解决这类问题的关键是抓好两个关系和一个条件. 两个关系:即时间关系和位移关系. 一个条件:即两者速度相等,它往往是物体能否追上或两者距离最大、最小的临界条件, 也是分析判断的切入点. 【解题模板】(1)物体 A 追赶物体 B:开始时,两个物体相距 x0,则物体 A 追上物体 B 时,必 有 xA-xB=x0,且 vA≥vB. (2)物体 A 追赶物体 B,恰好不相撞:开始时,两个物体相距 x0,则两物体距离最近时,必有 xA-xB=x0,且 vA=vB. 必考模型 2 牵连体(叠放类、悬球类、斜面类、弹簧类)问题模型 【模型特征】 牵连体问题是物理过程较复杂的问题,其涉及多个物体,具有较强的综合性, 是力学中经常考查的内容.从牵连体的运动特征看,通过某种相互作用来实现牵连的物体,使 其处于某种相同的运动状态.如处于平衡状态或以相同的加速度运动等.从能量转化的角度看, 有动能和势能的相互转化等. 【解题模板】(1)正确理解牛顿运动定律,掌握处理动力学问题的一般思路和步骤: ①领会问题的情景,在问题给出的信息中提取有用的信息,构建出正确的物理模型;②合 理选择研究对象;③分析判断研究对象的受力情况和运动情况;④正确建立坐标系;⑤运用牛 顿运动定律和运动学规律列式求解. (2)在牵连体问题中,如果不要求知道各个运动物体之间的相互作用力,并且各个物体具 有大小和方向都相同的加速度,就可以把它们看成一个整体(或当成一个质点)分析其受到的 外力和运动情况,应用牛顿第二定律求出加速度(或其他未知量);如果需要知道物体之间的 相互作用力,就需要把物体从系统中隔离出来,将内力转化为外力,分析捕捉题中的隐含条件,要重视临界状态的分析和判断. 必考模型 3 超重与失重模型 【模型特征】该模型为定性分析台秤上放物体或弹簧测力计下悬吊物体,确定示数的变 化.分析此类问题时,要特别注意以下几点:
带电粒子在磁场中运动解题方法及经典例题
带电粒子在磁场中运动一、不计重力的带电粒子在匀强磁场中的运动1．匀速直线运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向平行，则粒子做匀速直线运动．2．匀速圆周运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向垂直，则粒子做匀速圆周运动．质量为m、电荷量为q的带电粒子以初速度v垂直进入匀强磁场B中做匀速圆周运动，其角速度为ω，轨道半径为R，运动的周期为T，推导半径和周期公式：推导过程：运动时间t=3．对于带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题，应注意把握以下几点．(1)粒子圆轨迹的圆心的确定的常规方法①若已知粒子在圆周运动中的两个具体位置与通过某一位置时的速度方向，可在已知的速度方向的位置作速度的垂线，同时作两位置连线的中垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图4－2 所示．②若已知做圆周运动的粒子通过某两个具体位置的速度方向，可在两位置上分别作两速度的垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图4－3所示．③若已知做圆周运动的粒子通过某一具体位置的速度方向与圆轨迹的半径R，可在该位置上作速度的垂线，垂线上距该位置R处的点为圆轨迹的圆心(利用左手定则判断圆心在已知位置的哪一侧)，如图4－4所示．图4－2图4－3图4－4例1 、一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P〔a，0〕点以速度v，沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。
求3〕〕匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。
〔坐标为〔0，a例2、电子自静止开始经M、N板间〔两板间的电压为U〕的电场加速后从A点垂直于磁场边界射入宽度为d的匀强磁场中，电子离开磁场时的位置P偏离入射方向的距离为L，如图2所示，求：〔1〕正确画出电子由静止开始直至离开磁场时的轨迹图； 〔2〕匀强磁场的磁感应强度.〔已知电子的质量为m ，电量为e 〕emUd L L 2222(2)利用速度的垂线与角的平分线的交点找圆心当带电粒子通过圆形磁场区后又通过无场区，如果只知道射入和射出时的速度的方向和射入时的位置，而不知道射出点的位置，应当利用角的平分线和半径的交点确定圆心。
磁场区域的最小面积问题(公开课)
四、 解题方法小结
1、根据题意，分析物体的运动过程和运动 形式，扣住运动过程中的临界点或转折点， 特别注意轨迹的对称性。
2、应用几何知识，找出粒子运动的轨迹圆 心，画出粒子运动的部分轨迹，确定半径。
3、用题目中规定形状的最小磁场覆盖粒子 圆周运动部分的轨迹，然后应用数学工具 和相应物理规律分析求解最小面积即可。
为矩形的匀强磁场区域后，可使所有粒子在磁场中经过一
段半径为a的圆周运动后到达N点，且粒子的运动轨迹关
于y轴对称，不计粒子间的相
互作用和粒子重力。求：（1）匀
强磁场的磁感应强度B的大小和方
v
向。（2）矩形匀强磁场的最小面
积S.
2a
思考：若匀强磁场为圆形边界，最小面积又为多少？
例2、如图，一个质量为m，带电量为+q的粒子在
BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC 区域。为了使该粒子以速度v从AC边上的N点垂直AC 边飞出该三角形，可在空间加上一个平行于纸面的匀 强电场，也可在适当的位置加上一个垂直于纸面向里 的匀强磁场，不计粒子的重力。（1）如果加的是匀 强电场，求电场强度的方向。（2）如果加的是垂直 于纸面向里的匀强磁场，且此磁场也是分布在一个 正三角形区域内，已知粒子在磁 场中的运动时间为t,求 磁感应强度B的大小 及该正三角形区域磁场的最小边长。
带电粒子在磁场中的运动之
磁场区域 最小面积问题
相关知识回顾：
1、若不计粒子重力,带电粒子在无场区
怎样运动？
做匀速直线运动
2、如图，带电粒子从M点以v射出，要改
变带电粒子的前进方向，使粒子击中N点,
有哪些可行的方法？
方法一、加与速度方向垂直
的匀强电场。（电偏转）
专题18 带电粒子在复合场运动-2021年高考高三一模物理试题汇编(解析版)
2021年高考高三一模物理试题汇编专题18 带电粒子在复合场运动1、（2021·安徽省马鞍山市高三一模）在如图所示的平面直角坐标系中，第二象限内存在磁感应强度为B 1的匀强磁场，方向垂直于xOy 平面向外；第一象限某矩形区域内存在磁感应强度B 2=0.4T 的匀强磁场，方向垂直于xOy 平面向外。
一个比荷为81.010C/kg q m=⨯的带正电的粒子从点P （-10cm ，0）发射进入第二象限，其速度60 4.010m /s v =⨯，方向垂直于磁场B 1且与x 轴负方向夹角为30°；后从Q 点以垂直y 轴方向直接进入第一象限内的矩形磁场区域，再经M 点以垂直x 轴方向进入第四象限；整个第四象限存在大小、方向均未知的匀强电场，粒子经过该电场偏转后从N 点进入无电场、磁场的第三象限区域，最终回到P 点的速度与发射速度相同，不考虑粒子的重力。
求：(1)第二象限内磁场的磁感应强度B 1的大小；(2)粒子在矩形匀强磁场中的运动时间t 和该磁场区域的最小面积S ；(3)第四象限内匀强电场场强E 的大小。
【答案】(1)10.2T B =；(2) -83.910s ⨯；-3241410m .⨯；(3)61.210N/C E =⨯【解析】(1)如图由几何关系，粒子在第二象限圆周运动的半径为r 1120cm sin30OP r ==︒① 洛伦兹力提供向心力20101v B qv m r = ① 联立①①，解得10.2T B =(2)粒子在第一象限中的运动20202v B qv m r = ① 202πr t v = ① 联立①①，解得-7-810s 3.910s 8t π=⨯≈⨯)2-32min 2221141410m S r r .⎛=⋅-=≈⨯ ⎝⎭ (3)粒子在第三象限中做匀速直线运动，如图N P 连线方向与发射速度方向一致，则tan30ON OP =︒= 设电场强度水平向左分量大小为E x 、竖直向上分量大小为E y 。
带电粒子在磁场中运动的极值问题
解析 （1）由粒子的运行轨迹,利用左手定则可
知,该粒子带负电荷.
粒子由A点射入,由C点飞出,其速度方向改变了90°,
则粒子轨迹半径R =r
又qvB=m v 2
R 则粒子的比荷
q
v
m Br
（2）粒子从D点飞出磁场速度
方向改变了60°角,故AD弧所
对圆心角为60°,如右图所示.
粒子做圆周运动的半径
R′=rcot 30°= r 3 又R′= mv
(3)带电粒子在磁场中的运动周期
T= 2 π m
qB
粒子在两个磁场中偏转的角度均为
π 4
,在磁场中的运动
总时间
t= 1 T π m 4 2qB
=
3.14 6.641027 2 3.21019 5102
s
=6.5×10-7 s
反思总结
返回
小 结 1.带电粒子进入有界磁场,运动 轨迹为一段弧线. 2.当同源粒子垂直进入磁场的运动轨迹
又由几何关系知磁场区域的半 径为 R 3 L 3
y
30°
P
LO’ A
x O vQ
12月23日作业
1.如图14所示,边长为L的等边三角形ABC为两个
有界匀强磁场的理想边界,三角形内的磁场方向
垂直纸面向外,磁感应强度大小为B,三角形外
的磁场(足够大)方向垂直纸面向里,磁感应强度
大小也为B.把粒子源放在顶点A处,它将沿∠A
（1）荧光屏上光斑的长度.
（2）所加磁场范围的最小面积.
解析 （1）如右图所示,
求光斑的长度,关键是找
到两个边界点沿弧OB运
动到P,初速度方向沿y轴
正方向的电子,初速度方向沿x轴正方向的电子,沿
带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题
带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题引言磁场是由磁场线引起电场的结果，同样地，电场也是由电荷引起的。
磁力线可以用来描述磁场，电荷可以用来描述电场。
针对带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题，根据电磁场和相对论，我们将得出一组有效的解决方案。
一、磁力线磁力线就是电流通过一个指定的半径r的圆形区域的磁场感应而形成的线状物，它也是一种物理现象。
磁力线的分布是特定的，大致呈现环状或类似波状，磁力线的密度随着半径r的增大而减小。
它表现出一种有规律的分布，这是理论上它版本，它也称为密度存在着一定的减弱规律，我们不妨以圆环或者一种类似于椭圆状的“钟形磁力线”为例，描述它是如何形成的：磁力线的面积减小，电流分布从圆轴向圆环的外延拓展，同时电流的宽度也会加宽来空间平衡。
大多数物理现象都可以用磁力线描述，例如电动力，磁场能量等等。
二、多普勒效应多普勒效应是1880年和1905年由德国物理学家阿尔伯特·爱因斯坦和英国物理学家罗素发现的，它是指物体在磁场中移动时，它们之间会产生电磁叠加的现象，并产生移动的“拉曼光谱”。
这种现象可以用电磁力线描述，其原理是当一个物体在一个磁场中移动时，它会影响它周围的磁力线的面积，而磁力线的面积因被影响而改变，从而产生电磁叠加的现象，另外，磁场中的电荷也会改变，从而叠加出新的物理性质。
三、相对论1905年，阿尔伯特·爱因斯坦发表了他经典的相对论，这是物理学史上的一个重大突破，他用蕴藏在物质里的相对性，解释了物理世界的性质，并建立了我们今天的宇宙论和量子力学的基础。
相对论应用于电动力学，则为我们提供了有效的描述和分析电磁场的手段，可以用来分析物体在磁场中如何受到力的影响，从而研究其在特定磁力线面积上的运动轨迹。
四、解决方案针对带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题，考虑到多普勒效应和相对论，有两种解决方案可以考虑：1. 由多普勒效应，可以利用拉曼光谱来分析物体在不同磁力线和电荷的面积中的运动情况，从而判断物体在特定磁力线面积的最小运动轨迹，也就是物体在特定面积内的最小面积；2. 通过应用相对论理论，可以考虑到电磁场各种参数（强度和方向），将它们作为条件分析，利用相对论推导出物体最小运动轨迹的面积。
磁场区域的最小面积问题
磁场区域的最小面积问题考题中多次出现求磁场的最小围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。
其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。
下面我们以实例对此类问题进行分析。
一、磁场围为树叶形例1．如图所示的直角坐标系第I 、II 象限存在方向向里的匀强磁场，磁感应强度大小B =0.5T ，处于坐标原点O 的放射源不断地放射出比荷6104⨯=mq C/kg 的正离子，不计离子之间的相互作用。
⑴求离子在匀强磁场中运动周期；⑵若某时刻一群离子自原点O 以不同速率沿x 轴正方向射出，求经过6106-⨯πs 时间这些离子所在位置构成的曲线方程；⑶若离子自原点O 以相同的速率v 0=2.0×106m/s 沿不同方向射入第I 象限，要求这些离子穿过磁场区域后都能平行于y 轴并指向y 轴正方向运动，则题干中的匀强磁场区域应怎样调整（画图说明即可）？并求出调整后磁场区域的最小面积。
15（16分）解：⑴根据牛顿第二定律 有 2mv qvB R=２分运动周期22R mT v qB ππ==610s π-=⨯ ２分 ⑵离子运动时间611066t s T π-=⨯= ２分根据左手定则，离子沿逆时针方向作半径不同的圆周运动，转过的角度均为1263πθπ⨯=＝ １分这些离子所在位置均在过坐标原点的同一条直线上， 该直线方程tan2y x x θ==２分⑶离子自原点O 以相同的速率v 0沿不 同方向射入第一象限磁场，均做逆时 针方向的匀速圆周运动 根据牛顿第二定律 有2mv qv B R =００ ２分mv R qB=1=ｍ １分这些离子的轨道圆心均在第二象限的四分之一圆弧AC 上，欲使离子穿过磁场区域后都能平行于y 轴并指向y 轴正方向运动，离开磁场时的位置在以点（１,０）为圆心、半径Ｒ＝１m 的四分之一圆弧（从原点Ｏ起顺时针转动90︒）上，磁场区域为两个四分之一圆的交集，如图所示 ２分调整后磁场区域的最小面积22min22()422R R S ππ-=⨯-=m2２分例2．如图所示的直角坐标系中，在直线x=-2l 0到y 轴区域存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x 轴上方的电场方向沿y 轴负方向，x 轴下方的电场方向沿y 轴正方向。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
带电粒子在磁场中运动最小面积问题例1.在xOy平面内有许多电子（质量为m,电荷量为e）,从坐标原点O不断以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限,如图所示.现加上一个垂直于xOy平面的磁感应强度为B的匀强磁场,要求这些电子穿过该磁场后都能沿平行于x轴正方向运动,试求出符合条件的磁场最小面积.例2．一质量为m、带电荷量为q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向夹角30°，如图所示(粒子重力忽略不计)．试求：(1)圆形磁场区域的最小面积．(2)粒子从O点进入磁场区域到达b点所经历的时间．(3)b点的坐标．例3．一个质量为m，带＋q电量的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC。
为了使该粒子能在AC边上的N点图示 (CM＝CN)垂直于AC边飞出三角形ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力．试求：(1)粒子在磁场里运动的轨迹半径r及周期T；(2)该粒子在磁场里运动的时间t；(3)该正三角形磁场区域的最小边长；针对训练1．(09年海南高考)如图甲所示，ABCD是边长为a的正方形．质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域．在正方形内适当区域中有匀强磁场．电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场．不计重力，求：(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向．(2)此匀强磁场区域的最小面积．2．（09年福建卷）图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0×10-3T,在X轴上距坐标原点L=0.50m的P处为离子的入射口，在Y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50m 的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力。
（1）求上述粒子的比荷q/m（2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；（3）为了在M处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。
3、（1994年全国高考试题）如图12所示，一带电质点，质量为m ，电量为q ，以平行于Ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域。
为了使该质点能从x 轴上的b 点以垂直于Ox 轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xy 平面、磁感应强度为B 的匀强磁场。
若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。
重力忽略不计。
4.[2010·宁波模拟] 如图甲所示，水平放置的平行金属板A 和B 间的距离为d ，板长L ＝23d ，B 板的右侧边缘恰好是倾斜挡板NM 上的一个小孔K ，NM 与水平挡板NP 成60°角，K 与N 间的距离K N ＝a.现有质量为m 、带正电且电荷量为q 的粒子组成的粒子束，从AB 的中点O 以平行于金属板方向OO′的速度v 0不断射入，不计粒子所受的重力．(1)若在A 、B 板上加一恒定电压U ＝U 0，则要使粒子穿过金属板后恰好打到小孔K ，求U 0的大小．(2)若在A 、B 板上加上如图乙所示的电压，电压为正表示A 板比B 板的电势高，其中T ＝2L v 0，且粒子只在0～T 2时间内入射，则能打到小孔K 的粒子在何时从O 点射入？ (3)在NM 和NP 两挡板所夹的某一区域存在一垂直纸面向里的匀强磁场，使满足条件(2)从小孔K 飞入的粒子经过磁场偏转后能垂直打到水平挡板NP 上(之前与挡板没有碰撞)，求该磁场的磁感应强度的最小值．5.如图，一带电粒子以某一速度在竖直平面内做匀速直线运动，经过一段时间后进入一垂直于纸面向里、磁感应强度为B 的最小的圆形匀强磁场区域(图中未画出磁场区域)，粒子飞出磁场后垂直电场方向进入宽为L 的匀强电场，电场强度大小为E ，方向竖直向上．当粒子穿出电场时速率变为原来的 2 倍．已知带电粒子的质量为m ，电荷量为q ，重力不计．粒子进入磁场前的速度与水平方向成θ＝60°角．试回答：(1)粒子带什么电？(2)带电粒子在磁场中运动时速度多大？(3)该最小的圆形磁场区域的面积为多大？参考答案例1.在xOy 平面内有许多电子（质量为m,电荷量为e ）,从坐标原点O 不断以相同大小的速度v 0沿不同的方向射入第一象限,如图所示.现加上一个垂直于xOy 平面的磁感应强度为B 的匀强磁场,要求这些电子穿过该磁场后都能沿平行于x 轴正方向运动,试求出符合条件的磁场最小面积.解：由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径R ＝mv 0/Be 是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆O 1，它就是磁场的上边界。
其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O 为圆心，以R 为半径的圆弧O 1O 2O n 。
由于要求所有电子均平行于x 轴向右飞出磁场，故由几何知识有电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。
如对图中任一轨迹圆O 2而言，要使电子能平行于x 轴向右飞出磁场，过O 2作弦的垂线O 2A ，则电子必将从点A 飞出，相当于将此轨迹的圆心O 2沿y 方向平移了半径R 即为此电子的出场位置。
由此可见我们将轨迹的圆心组成的圆弧O 1O 2O n 沿y 方向向上平移了半径R 后所在的位置即为磁场的下边界，图中圆弧OAP 示。
综上所述，要求的磁场的最小区域为弧OAP 与弧OBP 所围。
利用正方形OO 1PC 的面积减去扇形OO 1P 的面积即为OBPC 的面积；即R 2-πR 2/4。
根据几何关系有最小磁场区域的面积为S ＝2（R 2-πR 2/4）＝（π/2 -1）（mv 0/Be ）2。
例2. 一质量为m 、带电荷量为q 的粒子以速度v0从O 点沿y 轴正方向射入磁感应强度为B 的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从b 处穿过x 轴，速度方向与x 轴正方向夹角30°，如图所示(粒子重力忽略不计)．试求：(1)圆形磁场区域的最小面积．(2)粒子从O 点进入磁场区域到达b 点所经历的时间．(3)b 点的坐标．解析：(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R ＝mv 0qB由图可知∠aO′b＝60°磁场区域最小半径r ＝Rcos 30°＝3mv 02qB磁场区域最小面积S ＝πr 2＝3πm 2v 204q 2B2. (2)由O 到a 过程所经历的时间t 1＝2πm 3Bq由几何关系得ab ＝3R ＝3mv 0Bq粒子由a 到b 所经历的时间t 2＝ab v 0＝3m Bq∴粒子从O 点进入磁场区域到达b 点所经历的时间t ＝t 1＋t 2＝m Bq (23π＋3)． (3)因为sin 30°＝R O′b， ∴O′b＝2R 得Ob ＝3R ＝3mv 0Bq故b 点的坐标为(3mv 0qB，0)． 例3、一个质量为m ，带＋q 电量的粒子在BC 边上的M 点以速度v 垂直于BC 边飞入正三角形ABC 。
为了使该粒子能在AC 边上的N 点 图示 (CM ＝CN)垂直于AC 边飞出三角形ABC ，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B 的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力．试求：(1)粒子在磁场里运动的轨迹半径r 及周期T ；(2)该粒子在磁场里运动的时间t ；(3)该正三角形磁场区域的最小边长；针对训练1．如图甲所示，ABCD 是边长为a 的正方形．质量为m 、电荷量为e 的电子以大小为v 0的初速度沿纸面垂直于BC 边射入正方形区域．在正方形内适当区域中有匀强磁场．电子从BC 边上的任意点入射，都只能从A 点射出磁场．不计重力，求：甲(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向．(2)此匀强磁场区域的最小面积．【答案】(1)mv 0ea 方向垂直纸面向外 (2)π－22a 2分)图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0×10-3T,在X 轴上距坐标原点L=0.50m 的P 处为离子的入射口，在Y 上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104m/s 的速率从P 处射入磁场，若粒子在y 轴上距坐标原点L=0.50m 的M 处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力。
（1）求上述粒子的比荷qm ；（2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y 轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；（3）为了在M 处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。
答案（1）m q=4.9×710C/kg （或5.0×710C/kg ）；（2）s t 6109.7-⨯= ； （3）225.0m S =解析：第（1）问本题考查带电粒子在磁场中的运动。
第（2）问涉及到复合场（速度选择器模型）第（3）问是带电粒子在有界磁场（矩形区域）中的运动。
（1）设粒子在磁场中的运动半径为r 。
如图甲，依题意M 、P 连线即为该粒子在磁场中作匀速圆周运动的直径，由几何关系得22L r = ①由洛伦兹力提供粒子在磁场中作匀速圆周运动的向心力，可得r v m qvB 2= ② 联立①②并代入数据得m q=4.9×710C/kg （或5.0×710C/kg ） ③（2）设所加电场的场强大小为E 。
如图乙，当粒子子经过Q 点时，速度沿y 轴正方向，依题意，在此时加入沿x 轴正方向的匀强电场，电场力与此时洛伦兹力平衡，则有qvB qE = ④代入数据得C N E /70= ⑤所加电场的长枪方向沿x 轴正方向。
由几何关系可知，圆弧PQ 所对应的圆心角为45°，设带点粒子做匀速圆周运动的周期为T ，所求时间为t ，则有T t 0036045= ⑥v r T π2=⑦联立①⑥⑦并代入数据得s t 6109.7-⨯= ⑧ （3）如图丙，所求的最小矩形是P PMM 11，该区域面积22rS=⑨联立①⑨并代入数据得225.0mS=矩形如图丙中PPMM11（虚线）、3、（1994年全国高考试题）如图12所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。