带电粒子在磁场中运动最小面积问题.

带电粒子在磁场中运动最小面积问题
例1.在xOy平面内有许多电子（质量为m,电荷量为e）,从坐标原点O不断以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限,如图所示.现加上一个垂直于xOy平面的磁感应强度为B的匀强磁场,要求这些电子穿过该磁场后都能沿平行于x轴正方向运动,试求出符合条件的磁场最小面积.
例2．一质量为m、带电荷量为q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向夹角30°，如图所示(粒子重力忽略不计)．试求：
(1)圆形磁场区域的最小面积．
(2)粒子从O点进入磁场区域到达b点所经历的时间．
(3)b点的坐标．
例3．一个质量为m，带＋q电量的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC。

为了使该粒子能在AC边上的N点图示 (CM＝CN)垂直于AC边飞出三角形ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力．试求：
(1)粒子在磁场里运动的轨迹半径r及周期T；
(2)该粒子在磁场里运动的时间t；
(3)该正三角形磁场区域的最小边长；
针对训练
1．(09年海南高考)如图甲所示，ABCD是边长为a的正方形．质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域．在正方形内适当区域中有匀强磁场．电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场．不计重力，求：
(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向．
(2)此匀强磁场区域的最小面积．
2．（09年福建卷）图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0×10-3T,在X轴上距坐标原点L=0.50m的P处为离子的入射口，在Y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50m 的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力。

（1）求上述粒子的比荷q/m
（2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；
（3）为了在M处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。

3、（1994年全国高考试题）如图12所示，一带电质点，质量为m ，电量为q ，以平行于Ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域。

为了使该质点能从x 轴上的b 点以垂直于Ox 轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xy 平面、磁感应强度为B 的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。

重力忽略不计。

4.[2010·宁波模拟] 如图甲所示，水平放置的平行金属板A 和B 间的距离为d ，板长L ＝23d ，B 板的右侧边缘恰好是倾斜挡板NM 上的一个小孔K ，NM 与水平挡板NP 成60°角，K 与N 间的距离K N ＝a.现有质量为m 、带正电且电荷量为q 的粒子组成的粒子束，从AB 的中点O 以平行于金属板方向OO′的速度v 0不断射入，不计粒子所受的重力．
(1)若在A 、B 板上加一恒定电压U ＝U 0，则要使粒子穿过金属板后恰好打到小孔K ，求U 0的大小．
(2)若在A 、B 板上加上如图乙所示的电压，电压为正表示A 板比B 板的电势高，其中T ＝2L v 0
，且粒子只在0～T 2
时间内入射，则能打到小孔K 的粒子在何时从O 点射入？ (3)在NM 和NP 两挡板所夹的某一区域存在一垂直纸面向里的匀强磁场，使满足条件(2)从小孔K 飞入的粒子经过磁场偏转后能垂直打到水平挡板NP 上(之前与挡板没有碰撞)，求该磁场的磁感应强度的最小值．
5.如图，一带电粒子以某一速度在竖直平面内做匀速直线运动，经过一段时间后进入一垂直于纸面向里、磁感应强度为B 的最小的圆形匀强磁场区域(图中未画出磁场区域)，粒子飞出磁场后垂直电场方向进入宽为L 的匀强电场，电场强度大小为E ，方向竖直向上．当粒子穿出电场时速率变为原来的 2 倍．已知带电粒子的质量为m ，电荷量为q ，重力不计．粒子进入磁场前的速度与水平方向成θ＝60°角．试回答：
(1)粒子带什么电？
(2)带电粒子在磁场中运动时速度多大？
(3)该最小的圆形磁场区域的面积为多大？
参考答案
例1.在xOy 平面内有许多电子（质量为m,电荷量为e ）,从坐标原点O 不断以相同大小的速度v 0沿不同的方向射入第一象限,如图所示.现加上一个垂直于xOy 平面的磁感应强度为B 的匀强磁场,要求这些电子穿过该磁场后都能沿平行于x 轴正方向运动,试求出符合条件的磁场最小面积.
解：由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径R ＝mv 0/Be 是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图所示，因为电子只能向
第一象限平面内发射，所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆O 1，它就是磁场的上边界。

其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O 为圆心，以R 为半径的圆弧O 1O 2O n 。

由于要求所有电子均平行于x 轴向右飞出磁场，故由几何知识有电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。

如对图中任一轨迹圆O 2而言，要使电子能平行于x 轴向右飞出磁场，过O 2作弦的垂线O 2A ，则电子必将从点A 飞出，相当于将此轨迹的圆心O 2沿y 方向平移了半径R 即为此电子的出场位置。

由此可见我们将轨迹的圆心组成的圆弧O 1O 2O n 沿y 方向向上平移了半径R 后所在的位置即为磁场的下边界，图中圆弧OAP 示。

综上所述，要求的磁场的最小区域为弧
OAP 与弧OBP 所围。

利用正方形OO 1PC 的面积减去扇形OO 1P 的面积即为OBPC 的面积；即R 2-πR 2/4。

根据
几何关系有最小磁场区域的面积为S ＝2（R 2-πR 2/4）＝（π/2 -1）（mv 0/Be ）2。

例2. 一质量为m 、带电荷量为q 的粒子以速度v0从O 点沿y 轴正方向射入磁感应强度为B 的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从b 处穿过x 轴，速度方向与x 轴正方向夹角30°，如图所示(粒子重力忽略不计)．试求：
(1)圆形磁场区域的最小面积．
(2)粒子从O 点进入磁场区域到达b 点所经历的时间．
(3)b 点的坐标．
解析：(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R ＝mv 0qB
由图可知∠aO′b＝60°
磁场区域最小半径
r ＝Rcos 30°＝3mv 02qB
磁场区域最小面积S ＝πr 2＝3πm 2v 204q 2B
2. (2)由O 到a 过程所经历的时间t 1＝2πm 3Bq
由几何关系得ab ＝3R ＝3mv 0Bq
粒子由a 到b 所经历的时间t 2＝ab v 0＝3m Bq
∴粒子从O 点进入磁场区域到达b 点所经历的时间
t ＝t 1＋t 2＝m Bq (23π＋3)． (3)因为sin 30°＝R O′b
， ∴O′b＝2R 得Ob ＝3R ＝3mv 0Bq
故b 点的坐标为(3mv 0qB
，0)． 例3、一个质量为m ，带＋q 电量的粒子在BC 边上的M 点以速度v 垂直于BC 边飞入正三角形ABC 。

为了使该粒子能在AC 边上的N 点 图示 (CM ＝CN)垂直于AC 边飞出三角形ABC ，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B 的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力．试求：
(1)粒子在磁场里运动的轨迹半径r 及周期T ；
(2)该粒子在磁场里运动的时间t ；
(3)该正三角形磁场区域的最小边长；
针对训练
1．如图甲所示，ABCD 是边长为a 的正方形．质量为m 、电荷量为e 的电子以大小为v 0的初速度沿纸面垂直于BC 边射入正方形区域．在正方形内适当区域中有匀强磁场．电子从BC 边上的任意点入射，都只能从A 点射出磁场．不计重力，求：
甲
(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向．
(2)此匀强磁场区域的最小面积．
【答案】(1)mv 0ea 方向垂直纸面向外 (2)π－22
a 2
分)图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面
向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0×10-3T,在X 轴上距坐标原点L=0.50m 的P 处为离子的入射口，在
Y 上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104m/s 的速率从P 处射入磁场，若粒子在y 轴上距坐
标原点L=0.50m 的M 处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力。

（1）求上述粒子的比荷q
m ；
（2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强
电场，就可以使其沿y 轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大
小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；
（3）为了在M 处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场
可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。

答案（1）m q
=4.9×710C/kg （或5.0×710C/kg ）；（2）s t 6109.7-⨯= ； （3）225.0m S =
解析：第（1）问本题考查带电粒子在磁场中的运动。

第（2）问涉及到复合场（速度选择器模型）第（3）问是带电粒子在有界磁场（矩形区域）中的运动。

（1）设粒子在磁场中的运动半径为r 。

如图甲，依题意M 、P 连线即为该粒子在磁场中作匀速圆周运动的
直径，由几何关系得
22L r = ①
由洛伦兹力提供粒子在磁场中作匀速圆周运动的向心力，可得
r v m qvB 2
= ② 联立①②并代入数据得
m q
=4.9×710C/kg （或5.0×710C/kg ） ③
（2）设所加电场的场强大小为E 。

如图乙，当粒子子经过Q 点时，速度沿y 轴正方向，依题意，在此时加入沿x 轴正方向的匀强电场，电场力与此时洛伦兹力平衡，则有
qvB qE = ④
代入数据得
C N E /70= ⑤
所加电场的长枪方向沿x 轴正方向。

由几何关系可知，圆弧PQ 所对应的圆心角为45°，设带点粒子做匀速圆周运动的周期为T ，所求时间为t ，则有
T t 00
36045= ⑥
v r T π2=
⑦
联立①⑥⑦并代入数据得
s t 6109.7-⨯= ⑧ （3）如图丙，所求的最小矩形是P P
MM 11，该区域面积
2
2r
S=⑨联立①⑨并代入数据得
2
25
.0m
S=
矩形如图丙中
P
P
MM
1
1（虚线）、
3、（1994年全国高考试题）如图12所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。

为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。

重力忽略不计。

解析：质点在磁场中作半径为R的圆周运动，
qvB=（Mv2）/R，得R=（MV）/（qB）。

根据题意，质点在磁场区域中的轨道是半径等于R的圆上的1/4圆周，这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切。

如图13所示，过a点作平行于x轴的直线，过b点作平行于y轴的直线，则与这两直线均相距R的O′点就是圆周的圆心。

质点在磁场区域中的轨道就是以O′为圆心、R为半径的圆（图中虚线圆）上的圆弧MN，M点和N点应在所求圆形磁场区域的边界上。

在通过M、N两点的不同的圆周中，最小的一个是以MN连线为直径的圆周。

所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径为：
，
所求磁场区域如图13所示中实线圆所示。

4 [2010·宁波模拟] 如图39－5甲所示，水平放置的平行金属板A和B间的距离为d，板长L＝23d，B
板的右侧边缘恰好是倾斜挡板NM 上的一个小孔K ，NM 与水平挡板NP 成60°角，K 与N 间的距离K N ＝a.现有质量为m 、带正电且电荷量为q 的粒子组成的粒子束，从AB 的中点O 以平行于金属板方向OO′的速度v 0不断射入，不计粒子所受的重力．
图39－5
(1)若在A 、B 板上加一恒定电压U ＝U 0，则要使粒子穿过金属板后恰好打到小孔K ，求U 0的大小．
(2)若在A 、B 板上加上如图乙所示的电压，电压为正表示A 板比B 板的电势高，其中T ＝2L v 0
，且粒子只在0～T 2
时间内入射，则能打到小孔K 的粒子在何时从O 点射入？ (3)在NM 和NP 两挡板所夹的某一区域存在一垂直纸面向里的匀强磁场，使满足条件(2)从小孔K 飞入的粒子经过磁场偏转后能垂直打到水平挡板NP 上(之前与挡板没有碰撞)，求该磁场的磁感应强度的最小值．
例3 (1)mv 2012q (2)t x ＝T 4 (3)－2303qa
[解析] (1)A 、B 板间加上电压后，带电粒子做类平抛运动，则：
L ＝v 0t①
d 2＝12qU 0md t 2② 把L ＝23d 代入①②式可得：U 0＝md 2v 20qL 2＝mv 2012q ③ (2)粒子在水平方向做匀速直线运动，粒子运动的时间均为t ＝L v 0＝T 2，设粒子在t x 时刻进入金属板，则在T 2
－t x 时刻开始做类抛运动，平抛的时间为t x ，则：
d 2＝12q·4U 0md
t 2x ④ 把③代入④式可得：
t x ＝T 4
⑤ (3)在T 4
射入的粒子，在进入K 时竖直方向的分速度为v y ，则 v y ＝at x ＝q·4U 0md ·T 4＝v 03⑥ tan θ＝v y v 0＝33
⑦ v ＝v 20＋v 2y ＝233
v 0 则θ＝30°，即粒子垂直MN 板入射．如图甲所示，粒子从K 点入射后做匀速直线运动从D 点开始进入磁
场，粒子在进入磁场后，根据左手定则，所受的洛伦兹力斜向上，要使粒子能垂直打到水平挡板NP ，则粒子需偏转300°后从E 射出，做匀速直线运动垂直打到NP.
qvB ＝mv 2r
⑧ 可得B ＝mv qr
⑨ 要使B 最小，则要半径r 最大，临界情况是圆周运动的轨迹恰好跟两挡板相切，如图乙所示，根据对称性圆周运动的圆心C 、交点G 位于∠MNP 的角平分线上，则由几何关系可得：
CDKF 是边长为r 的正方形．则在三角形NCF 中，有
3r ＝a ＋r ，
可得r ＝a 3－1
， B ＝
3－qa ＝－2303qa
. 5．(2011年辽宁抚顺六校联合体模拟)如图8－3－5所示，一带电粒子以某一速度在竖直平面内做匀速直线运动，经过一段时间后进入一垂直于纸面向里、磁感应强度为B 的最小的圆形匀强磁场区域(图中未画出磁场区域)，粒子飞出磁场后垂直电场方向进入宽为L 的匀强电场，电场强度大小为E ，方向竖直向上．当粒子穿出电场时速率变为原来的 2 倍．已知带电粒子的质量为m ，电荷量为q ，重力不计．粒子进入磁场前的速度与水平方向成θ＝60°角．试回答：
(1)粒子带什么电？
(2)带电粒子在磁场中运动时速度多大？
(3)该最小的圆形磁场区域的面积为多大？
解析：(1)根据粒子在磁场中偏转的情况和左手定则可知，粒子带负电．
(2)由于洛伦兹力对粒子不做功，故粒子以原来的速率进入电场中，设带电粒子进入电场的初速度为v 0，在电场中偏转时做类平抛运动，由题意知粒子离开电场时的末速度大小为v t ＝2v 0，将v t 分解为垂直于电场方向(x 轴方向)和平行于电场方向(y 轴方向)的两个分速度：由几何关系知
v x ＝v y ＝v 0，v y ＝at ，v 0＝L t ，a ＝F m
，F ＝Eq 联立以上各式可解得：v 0＝
qEL m
. (3)如图所示，带电粒子在磁场中所受洛伦兹力提供向心力，设粒子在磁场中做圆周运动的半径为R ，圆形磁场区域的半径为r ，则：
Bqv 0＝mv 20R R ＝mv 0Bq ＝1B ELm q
由几何知识可得：r ＝Rsin30°
磁场区域的最小面积为S ＝πr 2
联立以上各式可解得S ＝πmEL 4B 2q
.。