图论部分

图论部分一、 填空题1、 一个无向图表示为G=（P ，L ），其中P 是____________的集合，L 是________________________的集合，并且要求________________。

2、各点之间都有边相连的图称为 ；只有点，没有边的图称为 ； 只有一个点的图称为 。

3、若),,,(210n v v v v ⋅⋅⋅是G 中从0v 到n v 的简单路，则需满足 ；。

二、 单项选择题1、 已知图G 的相邻矩阵为 则G有（ ）。

A. 5点，8边B. 6点，7边C. 5点，7边D. 6点，8边2、 设图G 是有6个顶点的连通图，总度数为20，则从G 中删去（ ）边后使之变成树。

A .10 B. 5 C. 3 D. 23、已知图G 的相邻矩阵为 则G 的边数与分枝数为（ ）。

A. 5，3B.4，2C.5，1D.6，4（不知道怎么做）这个题目有问题，关于这个题目怎么做，首先根据邻接矩阵画出简单图，然后就一目了然了。

边数可以直接看出来，如果是无向图，则所有1的个数除以2；如果是有向图，就是所有1的个数。

三、 计算题1、设无向图G=（P ，L ），P={v1，v2…v6}，L={（v1，v2），（v2，v2），（v2，v4），（v4，v5），（v3，v4），（v1，v3），（v3，v1）}。

（1） 画出G 的图形；（2） 求出G 中各顶点的度及奇数度顶点的个数。

2、设有5个城市v1，v2，v3，v4，v5，任意两城市之间铁路造价如下：（以百万元为单位）w （v1，v2）=4， w （v1，v3）=7， w （v1，v4）=16， w （v1，v5）=10， w （v2，v3）=13， w （v2，v4）=8， w （v2，v5）=17， w （v3，v4）=3， w （v3，v5，）=10， w （v4，v5）=12试求出连接5个城市的且造价最低的铁路网。

（无答案）3、试用克鲁斯卡尔算法求下图所示权图中的最小生成树。

（无答案）权值为26的没有回路的生成子图均是四、证明题设无向图G中有n个顶点，n-1条边，则G为连通图当且仅当G中无回路。

（无答案）这是书上的定理，自己看书。

一 判断题(每小题1分，共 15分，正确的在括号内写上T ，错误的在括号内写上F)1、 若图G 是自对偶的，则e=2v-2 （ ）2、 “离散数学是很有趣的一门课程”，这句话是命题。

（ ）3、 函数的复合既能交换也能结合。

（ ）4、 如果A ∨C ⇔B ∨C ，则A ⇔B （ ）5、 设G=<V,E>为连通图，且e ∈E,则当e 是G 的割边时，e 才在G 的每棵生成树中。

（ ）6、 )()(R Q P Q ∨↔→是合式公式。

（ ）7、 任何阶数为4的群都是阿贝尔群。

（ ）8、 设G 是简单连通图，且有v 个结点，e 条边，若G 是平面图，则e ≤3v-6。

（ ）9、 一个循环群的生成元是唯一的。

（ ）10、 有任意集合A 、B ，则f(A ∩B)⊆f(A)∩f(B)且f(A)∩f(B)⊆f(A ∩B)。

（ ）11、)()()()())()()((x B x x A x x B x A x ∃∧∃⇔∧∃（ ） 12、对任意集合A ，B ，C ，如果A ∈B 以及B ⊆C ，则A ⊆C 。

（ ） 13、整数集上的同余类是对整数集的一个划分。

（ ） 14、 有限半群中存在等幂元。

（ ）15、 设<A,*>是一个代数系统，且|A|>1，若该代数系统中存在幺元和零元，则幺元与零元相等。

（ ）二 、选择题(每小题2分，共 22分)1、 一棵树有两个结点度数为2，一个结点度数为3，三个结点度数为4，则该树有（ ）片树叶。

A.6B. 7C. 8D.92、图1中v 1到v 4 长度为2的路有（ ）条A. 1B. 2C. 3D.4v 2v 4v 3v 1图13、设A={1，2，3，4}，B={a ，b ，c ，d}，f 定义为：{<1,a>,<2,b>,<3,c>,<4,d>}，则f （ ）。

A.不是函数B.仅为入射函数C.仅为满射函数D.是双射函数4、设F(x)：x 是乌鸦；G(x,y)：x 与y 一般黑，则“天下乌鸦一般黑”可以符号化为：( )A.)),()()()()((y x G y F x F y x →∧∀∀B.)),()()()()((y x G y F x F y x →∧∃∀C.)),()()()()((y x G y F x F y x →∧∃∃D.)),()()()()((y x G y F x F y x →∧∀∃5、给定下列谓词公式，则是矛盾式的公式为（ ）A.))()()((x P x P x ⌝→⌝∀B. )()()()(x P x x P x ∃→∀C.)()())()(()()((y Q y y Q y x P x ∀∧∀→∀⌝D.),())((),())((y x P y x y x P y x ∀∃→∃∀6、设有下列四个集合，偏序关系为整除，则是全序关系的为（ ）A. {3,5,15}B.{1,2,3,6,12}C.{3,4,12}D.{3,9,27,54}7、设集合P={x1，x2，x3，x4，x5}上的偏序关系如图2所示，则下列说法中正确的是（ ）A 、P 的最大元素为x1 ，无最小元素，极小元素为x4，x5 ，极大元为素x1B 、P 无最大元素，也无最小元素，极小元素为x4，x5 ，极大元为素x1C 、P 的最大元素为x1 ，无最小元素，也无极小元素 ，极大元为素x1D 、P 的最大元素为x1 ，最小元素为x4，x5，极小元素为x4，x5 ，极大元为素x1x 1x 4x 5x 3x 2图28、集合A={a ，b ，c}，A 上的关系R={（a ，b ），（a ，c ），（b ，a ），（b ，c ），（c ，a ），（c ，b ），（c ，c ）}，则R 具有关系的（ ）性质。

A 、自反性B 、对称性C 、反对称性D 、传递性9、下面给出的一阶逻辑等价式中，（ ）是错的。

)).(()(.));(()(.);()())()((.);()())()((.x B A x x xB A D x A x x xA C x xB x xA x B x A x B x xB x xA x B x A x A →∀=∀→⌝∃=⌝∀∀∨∀=∨∀∃∨∃=∨∃10、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的（ ）。

A ．析取范式B ．合取范式C ．主析取范式D ．以上答案都不对11、已知图G 的相邻矩阵为 A(G) 则G 有（ ）。

A. 5点，8边B. 6点，7边C. 5点，7边D. 6点，8边A(G)=三、填空题(每空2分，共 30分)1、n为时，无向完全图K n是欧拉图。

n为时，无向完全图K n仅存在欧拉通路而不存在欧拉回路。

2、如图2，则k(G)= λ(G)= δ(G)=图23、假设X和Y是有穷集合，则从X到Y存在入射的必要条件是4、设P表示命题“8是偶数”，Q表示命题“糖果是甜的”，则命题P→Q的反换式所表示的含义是5、（P∨Q）∧R的对偶式为6、设P(x)表示x是聪明的，M(x)表示x是人，则命题“尽管有人聪明，但未必一切人都聪明”可以符号化为：7、集合{a,{a}}的幂集为：8、令R={<1,2>,<3,4>,<2,2>}和S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}，则=SR9、设A={a,b,c}，R是A上的二元关系，且给定R={<a,b>,<b,c>,<c,a>}，则r(R)=10、设I是整数集合，R是同余模3的关系，则I/R=11、设谓词的定义域为}ba，将表达式)),{c,xP∀中的量词消除，写成与之等价x→Q((x)(的命题公式是12、设P(x)：x是素数；E(x)：x是偶数；O(x)：x是奇数；N(x，y)：x可以整除y。

则yOyxN∃∀可以译成自然语言为：→yx∧P)((x(,)))())()((四、证明题(第1，2题各5分，第3题8分，共18分)1、证明：若X×Y=X×Z，且X不为空集，则Y=Z。

2、如果马会飞或羊吃草，则母鸡就会是飞鸟；如果母鸡是飞鸟，那么烤熟的鸭子还会跑；烤熟的鸭子不会跑。

所以羊不吃草。

符号化该命题，并用推理理论证明之。

3、设<A,*>是半群，e是左幺元且对每一个x∈A，存在x’∈A，使得x’*x=e。

a)证明：对于任意的a,b,c∈A，如果a*b=a*c，则b=c。

b)通过证明e是A中的幺元，证明<A,*>是群。

五、应用题(第1题5分，第2题10分，共15 分)1、双射函数是密码学中的重要工具，因为在密码体制中大都会同时涉及加密和解密，假设f是由表1定义的，即f(A)=D,f(B)=E,F(C)=S,…等，试找出给定密文“ARDJYLRXBMB”对应的明文。

表1A B C D E F G H I J K L MD E S T I N Y A B C F G H续表1N O P Q R S T U V W X Y ZJ K L M O P Q R U V W X Z2、设有a,b,c,d,e,f,g七个人，他们分别会讲如下各种语言：a会讲英语；b会讲汉语与英语；c会讲英语、西班牙语和俄语；d会讲日语和汉语；e会讲德语和西班牙语；f会讲法语、日语和俄语；g会讲法语和德语。

能否将这七个人的座位安排在圆桌旁，使得每个人均能与他身边的人交谈？。