32万有引力定律（无答案）-江苏省扬州市教科版高中物理必修二复习学案
江苏省邗江中学2017-2018学年度物理必修二 第七章 万有引力定律 导学案(无答案)
万有引力定律习题课（导学案）知识点1：双星运动问题典例1．天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。
双星系统在银河系中很普遍。
利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。
已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。
（引力常量为G ）知识点2：椭圆轨道及卫星变轨问题典例2．2007年11月5日，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道到达月球，在距月球表面200 km 的P 点进行第一次“刹车制动”后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，如图所示.之后，卫星在P 点经过几次“刹车制动”，最终在距月球表面200 km 的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动.用T 1、T 2、T 3分别表示卫星在椭圆轨道Ⅰ、Ⅱ和圆形轨道Ⅲ上运动的周期，用a 1、a 2、a 3分别表示卫星沿三个轨道运动到P 点的加速度，则下面说法正确的是（ ）A ．T 1 > T 2 > T 3B ．T 1 < T 2 < T 3C ．a 1 > a 2 > a 3D ．a 1 < a 2 < a 3训练1．如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道I ，然后在Q 点通过改变卫星速度，让卫星进人地球同步轨道Ⅱ，则（ ）A ．该卫星的发射速度必定大于11. 2km/sB ．卫星在同步轨道II 上的运行速度大于7. 9 km/sC ．在轨道I 上，卫星在P 点的速度大于在Q 点的速度D ．卫星在Q 点通过加速实现由轨道I 进人轨道II知识点3：天体的相遇问题典例3．如图所示，A是地球的同步卫星，另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h.已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心。
（1）求卫星B的运行周期.（2）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A知识点4：与抛体运动结合典例4．某人在一星球上以速率v竖直向上抛出一物体，经时间t，物体以速率v落回手中。
2020学年高中物理第3章2万有引力定律教案教科版必修2(最新整理)
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2．万有引力定律学习目标知识脉络（教师用书独具)1。
能根据开普勒定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星之间的引力表达式．（重点)2．理解万有引力定律的含义．（重点）3．知道万有引力表达式的适用条件，会用它进行计算．(重点、难点)4．知道万有引力常量是重要的物理常量之一。
一、与引力有关现象的思考1．牛顿的思考苹果由于受到地球的吸引力落向地面；月球不沿直线运动而是绕地球做圆周运动,表明月球受到方向指向地心的向心力作用．2．思考的结论(1）月球必定受到地球对它的引力作用．（2)苹果落地中苹果与月球在运动中受到的都是地球对它们的引力．(3）行星围绕太阳运动的向心力由太阳对行星的引力提供．二、万有引力定律1．太阳与行星间的引力（1)模型简化：行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力．（2）推导过程：①太阳对行星的引力②行星对太阳的引力根据牛顿第三定律，行星对太阳的引力F′的大小也存在与上述关系类似的结果，即F′∝错误!。
③太阳与行星间的引力由于F∝错误!、F′∝错误!，且F＝F′,则有F∝错误!，写成等式F＝G错误!，式中G为比例系数．2．万有引力定律（1)内容:任何两个物体之间都存在相互作用的引力,引力的大小与这两个物体的质量的乘积成正比,与这两个物体之间的距离的平方成反比．(2)公式:F＝G错误!，式中质量的单位用kg,距离的单位用m,力的单位用N，G为引力常量．是一个与物质种类无关的普适常量．（3）适用条件：①适用于相距很远的天体,这时可以将其看作质点．②适用于质量均匀分布的球体,这时r指球心间的距离．三、引力常量1．在1798年,即牛顿发现万有引力定律一百多年以后，英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验，较准确地测出了引力常量. G＝6.67×10－11N·m2/kg2.2．意义：应用万有引力定律能进行定量运算,显示出其真正的实用价值．3．知道G的值后，利用万有引力定律可以计算出天体的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人"．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×"）（1)公式F＝G错误!中G是比例系数，与太阳和行星都没关系．( )(2）地球对月球的引力大于月球对地球的引力． ( ）（3）根据万有引力公式可知，当两个物体的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大．（)（4）引力常量是牛顿首先测出的．（)（5)卡文迪许通过改变质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性．（）【提示】（1）√(2）×(3）×（4)×（5）√2．(多选)根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动的知识知：太阳对行星的引力F∝错误!,行星对太阳的引力F′∝错误!，其中M、m、r分别为太阳、行星质量和太阳与行星间的距离．下列说法正确的是( )A．由F∝错误!和F′∝错误!，F∶F′＝m∶MB．F和F′大小相等，是作用力与反作用力C．F和F′大小相等，是同一个力D．太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力BD［F′和F大小相等、方向相反,是作用力和反作用力,太阳对行星的引力是行星绕太阳做圆周运动的向心力，故正确答案为B、D。
高中物理必修2万有引力定律复习学案
第六章《万有引力定律》1. 开普勒行星运动定律开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是________，太阳处在________的一个焦点上。
开普勒第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的________。
说明行星在运转过程中离太阳越近，速率________，离太阳越远，速率________。
也就是说，行星在近日点的速率最大，在远日点的速率最小。
开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的________跟它的公转周期的________的比值都相等。
k Ta =23（比值k 是一个与行星无关的常量，仅与中心天体-----太阳的质量有关。
）2. 万有引力定律⑴内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的________________的乘积成正比，与它们____________的二次方成反比，即________________。
⑵说明：① 万有引力是宇宙间的一种基本的相互作用力，它适用于宇宙中的一切物体。
② 万有引力公式只适用于两质点间的引力的计算。
④ 万有引力公式中的G 是比例系数，叫做引力常量，是自然界中少数几个最重要的物理常量之一，通常取G =________________N·m 2/kg 2。
3. 万有引力定律的解题方法( a )表面模型(黄金代换)：若不考虑地球自转的影响，地面上物体的重力等于地球对该物体的万有引力，即2R MmGmg =，可得黄金代换式：_____________________ 由此可得地球的质量GgR M 2=。
（b ）环绕模型：中心天体M 对环绕天体m 的引力提供环绕天体做匀速圆周运动的向心力=2rMm G r T m m r rm v 2222⎪⎭⎫ ⎝⎛πω得到2324GTr M π=4. 宇宙速度注意：弄清第一宇宙速度与卫星发射速度的区别 ① 第一宇宙速度（最小发射速度；最大环绕速度）：是卫星的最小__________速度，也是卫星的最大的__________速度。
高中物理第三章万有引力定律2万有引力定律教案2教科版必修
万有引力定律〖教学目标〗1.知识与技能目标：（1）了解万有引力定律得出的思路和过程；（2）理解万有引力定律的含义会推导万用引力定律；（3）掌握万用引力定律，能进行简单的应用；2.过程与方法目标：通过探究过程，培养学生科学的学习方法和探究问题解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生形成实践是检验真理的唯一标准，知识来源于实践的唯物主义观点；并对学生进行爱国主义教育。
〖教学重点〗万有引力定律的理解和简单应用〖教学难点〗万有引力公式的推导〖教法与学法〗1.教法：科学探究法、讲授法2.学法：自主学习法、分组讨论法〖教学用具〗多媒体设备〖课时安排〗1课时〖教学程序设计〗一. 组织教学师：上课生：老师好！师：同学们好！同学们请坐下。
二. 导入新课师：春天是美丽的，有个地方的风景比春天更美丽，同学们想去看看吗？生：想（通过多媒体播放宇宙中的美景，激起学生探索新知的欲望）师：漂亮吧！想要欣赏到更美的风景，就必须学好我们今天的内容——《万用引力定律》三. 授新课探究一：与引力有关现象的思考问题1：为什么苹果从树上落向地面而不飞向天空？问题2：在我们周围物体都受到重力（地球的吸引力）作用，那么月球会受到地球的吸引吗？问题3：为什么月球不会落到地球表面，而是环绕地球运动？答案：问题1：苹果因为受到地球的吸引力而落向地面问题2：月球受到地球的吸引力的作用，如果不受到就没有力提供向心力，月球将脱离圆轨道做离心运动。
问题3：吸引力提供月球做圆周运动的向心力，只改变速度的方向不改变速度的大小探究二：吸引力的大小与那些因素有关师：由此可见不管是离地球近的苹果还是很远的月亮都受到地球的吸引，可以这么说一切物体间都存在相互的吸引力。
在牛顿所处的时代许多的科学家如哈雷、胡克从开普勒行星运动定律中认识到吸引力的大小与距离的平方成反比。
其中牛顿在继承前人的理论基础上应用自己超凡的数学能力确定出了引力的表达式，接下来我们就追寻牛顿的足迹一起去探索引力大小的发现过程。
高中物理 3.3万有引力定律的应用学案 教科版必修2
高中物理 3.3万有引力定律的应用学案 教科版必修2 学习目标1． 了解万有引力定律在天文学上的应用2． 会用万有引力定律计算天体的质量和密度3． 掌握综合运用万有引力定律和圆周运动学知识分析具体问题的方法知识梳理一、万有引力与重力忽略地球自转的影响，地面上物体的重力近似的等于地球对物体的万有引力，设地面附近的重力加速度为g ，则有 2R Mm G mg =。
注意：不能说重力就是万有引力1．计算地球质量：由上式可得地球的质量 ，由此式可由地球的半径、重力加速度和引力常量来计算出地球的质量。
2．计算地球密度：我们将地球视为半径为R 的均匀球体，其体积为343R π，故地球的平均密度为。
3．地面附近的重力加速度：离地面高度为H 处的重力加速度为g ′，则 。
二、计算中心天体的质量1．方法：根据行星或卫星沿圆轨道运动的情况，知道是万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力，即可根据向心力公式列方程求出处于圆轨道圆心的太阳或地球等中心天体的质量。
2．基本方程式： ma T mr mr r v m r Mm G 222224πω=== 可以根据不同已知条件选择使用上面的基本方程来计算中心天体的质量M ，比如：(1)已知做圆周运动天体的线速度v 及轨道半径r ，则中心天体的质量 ；(2)已知做圆周运动天体的周期T 及轨道半径r ，则中心天体的质量 ；3．观测行星而计算太阳的质量的方法，可以推广到观察卫星而计算某行星的质量，推而广之，可以通过观测做圆周运动的绕行天体的运动情况来计算处于圆心的中心天体的质量。
4．若已知中心天体的半径R ，则可以估算出中心天体的密度ρ，由球体体积V =343R π，即可求ρ。
三、发现未知天体天文学史上，利用万有引力定律发现了 星和 星，这两颗行星的发现进一步证明了万有引力的正确性，显示了它对研究天体运动的重要作用。
在18世纪发现的第七个行星——天王星的运动轨道，总是同根据万有引力定律计算出来的理论值有一定偏离。
高中物理 第三章 万有引力定律 2 万有引力定律学案 教科版必修2
2 万有引力定律[学习目标] 1.了解万有引力定律得出的思维过程，知道地球上物体下落与天体运动的统一性.2.理解万有引力定律的含义，知道万有引力定律的普遍性，会用万有引力定律解决相关问题.3.了解引力常量G 的测定在科学历史上的重大意义．一、与引力有关现象的思考1．苹果落地的原因：苹果受到地球的吸引力．2．月球绕地球做圆周运动的原因：受到地球对月球的引力． 3．行星围绕太阳运动的向心力也是太阳对行星的引力． 二、万有引力定律1．太阳与行星间引力的推导： (1)太阳对行星的引力：F ∝m r2. (2)行星对太阳的引力：F ′∝M r2. (3)总结F 与F ′的关系：F ＝F ′∝Mm r2. 2．万有引力定律(1)内容：任何两个物体之间都存在相互作用的引力，引力的大小与这两个物体的质量的乘积成正比，与这两个物体之间的距离的平方成反比． (2)表达式：F ＝G m 1m 2r 2. 三、引力常量1．测定：在1798年，英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验较精确地测出引力常量． 2．数值：国际科学联盟理事会科技数据委员会2002年推荐的引力常量数值为G ＝6.672(10)×10－11N·m 2/kg 2，通常可以取G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2.3．意义：使万有引力定律能进行定量运算，显示出其真正的实用价值．1．判断下列说法的正误．(1)万有引力不仅存在于天体之间，也存在于普通物体之间．(√)(2)引力常量是牛顿首先测出的．(×)(3)物体间的万有引力与它们间的距离成反比．(×)(4)根据万有引力定律表达式可知，质量一定的两个物体若距离无限靠近，它们间的万有引力趋于无限大．(×)2．两个质量都是1 kg的物体(可看成质点)，相距1 m时，两物体间的万有引力F＝ N，一个物体的重力F′＝ N，万有引力F与重力F′的比值为．(已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，重力加速度g＝10 m/s2)答案 6.67×10－1110 6.67×10－12一、对太阳与行星间引力的理解1．两个理想化模型(1)将行星绕太阳的椭圆运动看成匀速圆周运动．(2)将天体看成质点，且质量集中在球心上．2．推导过程例1(多选)根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动的知识知：太阳对行星的引力F∝mr2，行星对太阳的引力F′∝Mr2，其中M、m、r分别为太阳质量、行星质量和太阳与行星间的距离，下列说法正确的是( )A．由F′∝Mr2和F∝mr2，得F∶F′＝m∶MB．F和F′大小相等，是作用力与反作用力C．F和F′大小相等，是同一个力D．太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力答案BD解析 F ′和F 大小相等、方向相反，是作用力和反作用力，太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力，故正确答案为B 、D. 【考点】太阳与行星间引力的推导 【题点】太阳与行星间引力的理解 二、万有引力定律如图1所示，天体是有质量的，人是有质量的，地球上的其他物体也是有质量的．图1(1)任意两个物体之间都存在万有引力吗？为什么通常两个物体间感受不到万有引力，而太阳对行星的引力可以使行星围绕太阳运转？(2)地球对人的万有引力与人对地球的万有引力大小相等吗？答案 (1)任意两个物体间都存在着万有引力．但由于地球上物体的质量一般很小(与天体质量相比)，地球上两个物体间的万有引力远小于地面对物体的最大静摩擦力，通常感受不到，但天体质量很大，天体间的引力很大，对天体的运动起决定作用． (2)相等．它们是一对相互作用力．1．万有引力定律表达式F ＝Gm 1m 2r2，式中G 为引力常量．G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，由英国物理学家卡文迪许在实验室中比较准确地测出．测定G 值的意义：(1)证明了万有引力定律的存在；(2)使万有引力定律有了真正的实用价值． 2．万有引力定律的适用条件严格地说，万有引力定律适用于计算质点间的相互作用的引力大小．常见情况如下： (1)适用于计算两个质量分布均匀的球体间的万有引力，其中r 是两个球体球心间的距离． (2)计算一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力，其中r 为球心与质点间的距离． (3)当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似适用，其中r 为两物体质心间的距离．3．万有引力的特点：(1)万有引力的普遍性．万有引力不仅存在于星球间，任何客观存在的有质量的物体之间都存在着这种相互吸引力．(2)万有引力的相互性．两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反，分别作用于两个物体上．(3)万有引力的宏观性．在通常情况下，万有引力非常小，只是在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间，它的存在才有实际的物理意义．例2 (多选)对于质量分别为m 1和m 2的两个物体间的万有引力的表达式F ＝G m 1m 2r 2，下列说法中正确的是( )A ．公式中的G 是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的B ．当两个物体间的距离r 趋于零时，万有引力趋于无穷大C ．m 1和m 2所受引力大小总是相等的D ．质量大的物体受到的引力大 答案 AC解析 引力常量G 的值是由英国物理学家卡文迪许通过实验测出的，A 正确．两个物体之间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等、方向相反，分别作用在两个物体上，C 正确，D 错误．当r 趋于零时，这两个物体不能看成质点，万有引力公式不再适用，B 错误．【考点】万有引力定律的理解 【题点】万有引力定律的理解对于两个不能看成质点的物体间的万有引力，不能直接用万有引力公式求解，切不可依据F ＝Gm 1m 2r 2得出r →0时F →∞的结论而违背公式的物理含义.因为，此时由于r →0，物体已不再能看成质点，万有引力公式已不再适用.例3 如图2所示，两球间的距离为r ，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m 1、m 2，半径大小分别为r 1、r 2，则两球间的万有引力大小为( )图2A ．Gm 1m 2r 2B ．Gm 1m 2r 12C ．G m 1m 2(r 1＋r 2)2D ．G m 1m 2(r 1＋r 2＋r )2答案 D解析 两球质量分布均匀，可认为质量集中于球心，由万有引力公式可知两球间的万有引力应为G m 1m 2(r 1＋r 2＋r )2，故选D.【考点】万有引力大小的分析与计算 【题点】质量分布均匀的球体间引力的计算针对训练1 如图3所示，一个质量均匀分布的半径为R 的球体对球外质点P 的万有引力为F .如果在球体中央挖去半径为r 的一部分球体，且r ＝R2，则原球体剩余部分对质点P 的万有引力变为( )图3A.F 2B.F 8C.7F 8D.F 4答案 C解析 利用填补法来分析此题．原来物体间的万有引力为F ，挖去的半径为R2的球体的质量为原来球体的质量的18，其他条件不变，故剩余部分对质点P 的万有引力为F －F 8＝78F .三、重力和万有引力的关系1．物体在地球表面上所受引力与重力的关系地球在不停地自转，地球上的物体随着地球自转而做圆周运动，做圆周运动需要一个向心力，所以重力不直接等于万有引力而是近似等于万有引力，如图4，万有引力为F 引，重力为G ，自转向心力为F ′.当然，真实情况不会有这么大的偏差．图4(1)物体在一般位置时F ′＝mrω2，F ′、F 引、G 不在一条直线上，重力G 与万有引力F 引方向有偏差，重力大小mg <G MmR2.(2)当物体在赤道上时，F ′达到最大值F max ′，F max ′＝mRω2，此时重力最小；G min ＝F 引－F max ′＝G MmR2－mRω2.(3)当物体在两极时F ′＝0G ＝F 引，重力达到最大值G max ＝G MmR2.可见只有在两极处重力等于万有引力，其他位置重力小于万有引力．(4)由于地球自转角速度很小，自转所需向心力很小，一般情况下认为重力近似等于万有引力，mg ≈G MmR2，g 为地球表面的重力加速度．2．重力与高度的关系若距离地面的高度为h ，则mg ′＝G Mm(R ＋h )2(R 为地球半径，g ′为离地面h 高度处的重力加速度)．所以在同一纬度距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小． 例4 火星半径是地球半径的12，火星质量大约是地球质量的19，那么地球表面上质量为50 kg的宇航员(在地球表面的重力加速度g 取10 m/s 2) (1)在火星表面上受到的重力是多少？(2)若宇航员在地球表面能跳1.5 m 高，那他在火星表面能跳多高？ 答案 (1)222.2 N (2)3.375 m解析 (1)在地球表面有mg ＝G Mm R 2，得g ＝G M R2 同理可知，在火星表面上有g ′＝G M ′R ′2即g ′＝G (19M )(12R )2＝4GM 9R 2＝49g ＝409 m/s 2宇航员在火星表面上受到的重力G ′＝mg ′＝50×409N≈222.2 N. (2)在地球表面宇航员跳起的高度H ＝v 022g在火星表面宇航员跳起的高度h ＝v 022g ′综上可知，h ＝g g ′H ＝10409×1.5 m＝3.375 m. 【考点】万有引力和重力的关系【题点】利用“万有引力＝重力”计算重力加速度针对训练2 地球与物体间的万有引力可以认为在数值上等于物体的重力，那么在6 400 km 的高空，物体的重力与它在地面上的重力之比为(R 地＝6 400 km)( ) A ．2∶1 B ．1∶2 C ．1∶4 D ．1∶1答案 C解析 物体在6 400 km 的高空中距地心的距离为物体在地球表面与地心距离R 0的2倍，则在6 400 km 的高空时物体的重力F ＝G m 1m 2(2R 0)2＝Gm 1m 24R 02，而在地面上时物体的重力F 0＝G m 1m 2R 02，故FF 0＝14，C 正确． 【考点】万有引力和重力的关系 【题点】万有引力和重力的关系1．(对万有引力定律的理解)关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是( ) A ．不能看做质点的两物体间不存在相互作用的引力 B ．只有能看做质点的两物体间的引力才能用F ＝Gm 1m 2r 2计算 C ．由F ＝Gm 1m 2r 2知，两物体间距离r 减小时(没有无限靠近)，它们之间的引力增大 D ．引力常量的大小首先是由牛顿精确测出的，且约等于6.67×10－11N·m 2/kg 2答案 C解析 任何物体间都存在相互作用的引力，故称万有引力，A 错；两个质量分布均匀的球体间的万有引力也能用F ＝Gm 1m 2r 2来计算，B 错；物体间的万有引力与它们间距离r 的二次方成反比，故r 减小，它们间的引力增大，C 对；引力常量G 是由卡文迪许首先精确测出的，D 错．【考点】万有引力定律的理解 【题点】万有引力定律的理解2．(万有引力公式的简单应用)两个质量分布均匀的球体，两球心相距r ，它们之间的万有引力为10－8N ，若它们的质量、球心间的距离都增加为原来的2倍，则它们之间的万有引力为( ) A ．10－8 N B ．0.25×10－8N C ．4×10－8 ND ．10－4N答案 A解析 原来的万有引力为F ＝G Mmr2 后来变为F ′＝G 2M ·2m (2r )2＝G Mmr 2即F ′＝F ＝10－8N ，故选项A 正确． 【考点】万有引力大小的分析与计算 【题点】质量分布均匀的球体间引力的计算3．(万有引力定律的简单应用)两个完全相同的、质量分布均匀的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F .若将两个用同种材料制成的半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则两大铁球之间的万有引力为( ) A ．2F B ．4F C ．8F D ．16F 答案 D解析 两个小铁球之间的万有引力为F ＝G mm (2r )2＝G m 24r 2.实心小铁球的质量为m ＝ρV ＝ρ·43πr 3，大铁球的半径是小铁球的2倍，则大铁球的质量m ′与小铁球的质量m 之比为m ′m ＝r ′3r3＝8，故两个大铁球间的万有引力为F ′＝G m ′m ′r ′2＝16F ，故选D. 【考点】万有引力大小的分析与计算【题点】质量分布均匀的球体间引力的计算4．(重力加速度的计算)设地球表面重力加速度为g 0，物体在距离地心4R (R 是地球的半径)处，由于地球的引力作用而产生的加速度为g ，则g g 0为( ) A ．1 B.19 C.14 D.116答案 D解析 地球表面处的重力加速度和距离地心4R 处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有： 地面上：G mM R2＝mg 0距离地心4R 处：G mM(4R )2＝mg联立两式得g g 0＝(R 4R )2＝116，故D 正确．【考点】万有引力和重力的关系【题点】利用“万有引力＝重力”计算重力加速度一、选择题考点一 万有引力定律的理解1．(多选)下列关于万有引力的说法，正确的有( )A ．物体落到地面上，说明地球对物体有引力，物体对地球没有引力B ．万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的C ．地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的合力都是地球的万有引力D ．F ＝Gm 1m 2r 2中，G 是一个比例常数，没有单位 答案 BC解析 物体间力的作用是相互的，物体落到地面上，地球对物体有引力，物体对地球也存在引力，选项A 错误；万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的，选项B 正确；地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的合力都是地球的万有引力，选项C 正确；国际单位制中质量m 、距离r 、力F 的单位分别是kg 、m 、N ，根据牛顿的万有引力定律F ＝G m 1m 2r 2，得到G 的单位是N·m 2/kg 2，选项D 错误.2．(多选)关于引力常量G ，下列说法中正确的是( ) A ．G 值的测出使万有引力定律有了真正的实用价值B ．引力常量G 的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比C ．引力常量G 在数值上等于两个质量都是1 kg 的可视为质点的物体相距1 m 时的相互吸引力D ．引力常量G 是不变的，其数值大小由卡文迪许测出，与单位制的选择无关 答案 AC解析 牛顿提出了万有引力之后的100年中由于G 值没有测出，而只能进行定性分析，G 值的测出使万有引力定律有了真正的实用价值，选项A 正确；引力常量是一个常数，其大小与质量以及两物体间的距离无关，选项B 错误；根据万有引力定律可知，引力常量G 在数值上等于两个质量都是1 kg 的可视为质点的物体相距1 m 时的相互吸引力，选项C 正确；引力常量是定值，其数值大小由卡文迪许测出，但其大小与单位制的选择有关，选项D 错误． 【考点】万有引力定律的理解 【题点】引力常量的理解3．2018年6月5日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“风云二号H 星”．假设该卫星质量为m ，在离地面高度为h 的轨道上绕地球做匀速圆周运动．已知地球质量为M ，半径为R ，引力常量为G ，则地球对该卫星的万有引力大小为( )A ．G Mmh 2 B ．GMm R ＋h C ．G Mm RD ．G Mm(R ＋h )2答案 D解析 根据万有引力定律可知F ＝G Mm(R ＋h )2，故选D.【考点】万有引力定律的理解 【题点】万有引力定律的理解 考点二 万有引力定律的简单应用4．要使两物体间的万有引力减小到原来的14，下列办法不正确的是( )A ．使两物体的质量各减小一半，距离不变B ．使其中一个物体的质量减小到原来的14，距离不变C ．使两物体间的距离增大到原来的2倍，质量不变D ．两物体的质量和距离都减小到原来的14答案 D解析 万有引力定律的表达式为F ＝G Mm r2，根据该公式可知，使两物体的质量各减小一半，距离不变，则万有引力变为原来的14，A 正确；使其中一个物体的质量减小到原来的14，距离不变，则万有引力变为原来的14，B 正确；使两物体间的距离增大到原来的2倍，质量不变，则万有引力变为原来的14，C 正确；两物体的质量和距离都减小到原来的14，则万有引力大小不变，D 错误．【考点】万有引力大小的分析与计算 【题点】万有引力大小的分析与计算5．某物体在地面上受到地球对它的万有引力为F .若此物体受到的引力减小到F4，则此物体距离地面的高度应为(R 为地球半径)( ) A ．2R B ．4R C ．R D ．8R 答案 C解析 根据万有引力定律有F ＝G Mm R 2，14F ＝G Mm(R ＋h )2，解得h ＝R ，选项C 正确．【考点】万有引力大小的分析与计算 【题点】万有引力大小的分析与计算6．地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器位于地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心的距离之比为( )A ．1∶9 B．9∶1 C．1∶10 D．10∶1 答案 C解析 设月球质量为m ，则地球质量为81m ，地月间距离为r ，飞行器质量为m 0，当飞行器距月球球心的距离为r ′时，地球对它的引力等于月球对它的引力，则G mm 0r′2＝G 81mm 0(r －r ′)2，所以r －r ′r ′＝9，r ＝10r ′，r ′∶r ＝1∶10，故选项C 正确． 【考点】万有引力大小的分析与计算 【题点】万有引力大小的分析与计算7.有一质量为M 、半径为R 、密度均匀的球体，在距离球心O 为2R 的地方有一质量为m 的质点．现从M 中挖去半径为12R 的球体，如图1所示，则剩余部分对m 的万有引力F 为( )图1A.7GMm36R2 B.7GMm 8R 2 C.GMm 18R2 D.7GMm32R2 答案 A解析 质量为M 的球体对质点m 的万有引力F 1＝G Mm (2R )2＝G Mm4R 2挖去的球体的质量M ′＝43π(R 2)343πR 3M ＝M8质量为M ′的球体对质点m 的万有引力F 2＝GM ′m (R ＋R 2)2＝G Mm18R 2 则剩余部分对质点m 的万有引力F ＝F 1－F 2＝GMm 4R 2－G Mm 18R 2＝7GMm36R2，故选项A 正确． 8．(多选)如图2所示，三颗质量均为m 的地球同步卫星等间隔分布在半径为r 的圆轨道上，设地球质量为M ，半径为R ，下列说法正确的是( )图2A ．地球对一颗卫星的引力大小为GMm(r －R )2B ．一颗卫星对地球的引力大小为GMm r 2C ．两颗卫星之间的引力大小为Gm 23r2D ．三颗卫星对地球引力的合力大小为3GMmr2答案 BC解析 地球与一颗卫星间的引力大小为GMmr 2，A 错误，B 正确．由几何关系可知两卫星之间的距离为3r ，两卫星之间的引力为Gmm (3r )2＝Gm 23r2，C 正确．三颗卫星对地球引力的合力大小为零，D 错误．【考点】万有引力大小的分析与计算 【题点】万有引力大小的分析与计算 考点三 重力加速度的计算9．地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，若高空中某处的重力加速度为g2，则该处距地球表面的高度为( ) A ．(2－1)R B ．R C.2R D ．2R答案 A解析 万有引力近似等于重力，设地球的质量为M ，物体质量为m ，物体距地面的高度为h ，分别列式GMm R 2＝mg ，G Mm (R ＋h )2＝m g 2，联立得2R 2＝(R ＋h )2， 解得h ＝(2－1)R ，选项A 正确． 【考点】万有引力和重力的关系【题点】万有引力和重力及重力加速度的关系10．某地区的地下发现了天然气资源，如图3所示，在水平地面P 点的正下方有一球形空腔区域内储藏有天然气．假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计．如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g ；由于空腔的存在，现测得P 点处的重力加速度大小为kg (k <1)．已知引力常量为G ，球形空腔的球心深度为d ，则此球形空腔的体积是( )图3A.kgdGρB.kgd 2GρC.(1－k )gd GρD.(1－k )gd2Gρ答案 D解析 如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值，因此，如果将空腔填满密度为ρ的岩石，地面质量为m 的物体的重力为mg ，没有填满时重力是kmg ，故空腔填满的岩石所引起的引力为(1－k )mg ，根据万有引力定律有(1－k )mg ＝G ρVm d 2，解得V ＝(1－k )gd 2Gρ，故选D. 【考点】万有引力和重力的关系【题点】万有引力和重力及重力加速度的关系 二、非选择题11．(万有引力定律的应用)火星半径约为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的19.一位宇航员连同宇航服在地球上的质量为100 kg ，则在火星上其质量为多少？重力为多少？(设地面上重力加速度g ＝9.8 m/s 2，星球对物体的引力等于物体的重力) 答案 100 kg 436 N解析 质量是物体本身的属性，在不同的星球上物体质量不变，还是100 kg.由G 重＝G Mm R 2得，在火星表面物体重力与地球表面物体重力之比G 重火G 重地＝M 火M 地·R 地2R 火2＝19×221＝49所以物体在火星上的重力G 重火＝49×100×9.8 N≈436 N.【考点】万有引力和重力的关系【题点】万有引力和重力及重力加速度的关系12．(万有引力定律的应用)一个质量均匀分布的球体，半径为2r ，在其内部挖去一个半径为r 的球形空穴，其表面与球面相切，如图4所示．已知挖去的小球的质量为m ，在球心和空穴中心连线上，距球心d ＝6r 处有一质量为m 2的质点，求：图4(1)被挖去的小球对m 2的万有引力为多大？ (2)剩余部分对m 2的万有引力为多大？答案 (1)G mm 225r 2 (2)G 41mm 2225r2解析 (1)被挖去的小球对m 2的万有引力为F 2＝Gmm 2(5r )2＝G mm 225r2 (2)将挖去的小球填入空穴中，由V ＝43πR 3可知，挖去小球前大球的质量为8m ，大球对m 2的引力为F 1＝G8m ·m 2(6r )2＝G 2mm 29r2 m 2所受剩余部分的引力为F ＝F 1－F 2＝G41mm 2225r2. 【考点】万有引力大小的分析与计算 【题点】填补法计算引力13．(重力与万有引力)某物体在地面上受到的重力为160 N ，将它放置在卫星中，在卫星以a ＝12g 的加速度随火箭向上加速升空的过程中，当物体与卫星中支持物的相互挤压的力为90 N 时，卫星距地球表面有多远？(地球半径R 地＝6.4×103km ，g 表示地面处重力加速度，g 取10 m/s 2)答案 1.92×104km解析 卫星的升空过程可以认为是竖直向上的匀加速直线运动，设卫星离地面的距离为h ，这时受到地球的万有引力为F ＝G Mm(R 地＋h )2.在地球表面GMmR 地2＝mg ① 在上升至离地面h 时，F N －G Mm(R 地＋h )2＝ma .②由①②式得(R 地＋h )2R 地2＝mgF N －ma ，则h ＝(mgF N －ma－1)R 地③ 代入数值解得h ＝1.92×104km. 【考点】万有引力定律的综合应用 【题点】万有引力定律的综合应用。
教科版高一物理必修二教案：3.2 万有引力定律
（3）适用条件：质点（4）引力常量G=
3、行星绕太阳运动的原因是什么？
一名同学回答问题。
开阔学生的思维，建立匀速圆周运动模型。
4、介绍引力发现史
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牛顿站在巨人的肩膀上，以旧越的才能建立万有引力。
5、采用讲授式与问题启发式等教学方法，帮助学生了解万有引力的理论推导过程。
思考、参与
了解万有引力的发现过程
6、通过引导，让学生知道能过上面的方法推导出来的公式只适用于天体，那么地球与月球之间，地球与苹果之间的引力是不是也符合该规律呢？
4、万有引力定律是能过天体运动推导出来的，不具有一般的普适性，通过月地检验的学习，让学生们知道万有引力定律不仅适用于天体，也适用于地球和物体之间的力，进而说明万有引力定律具有普遍性，能过这样的方式让学生体会到严谨的科学态度，实事求是。
5、以生为本，尽量设计一些环节让学生能够参与进来，避免唱独角戏。
文
（2）在推导万有引力定律过程中，引导学生经历物理概念的建构过和物理规律的形成过程，培养学生的科学思维。
3、为什么万有引力可以称之为万有引力，通过月地检验的学习，让学生知道引力公式不仅适用于太阳对行星的引力，也适用于地球与月亮之间，地球与物体之间的力，基于证据和逻辑对问题作出合理解释，培养学生具有准确表述问题，并且也可以培养学生科学探究的能力，激发学生的学习兴趣。
教
学
设
计
理
念
本节课主要是以高中物理学科核心素养为理论依据，进行本节课的教学设计
高中物理课程是普通高中自然科学领域的一门基础课程，旨在落实立德树人根要任务，进一步提升学生的物理学科核心素养，为学生的终身发展奠定基础。
物理学科核心素养包括，物理观念、科学思维、科学探究、科学态度与责任。而物理观念的形成多是通过概念和规律在头脑中的提炼与升华。
2020_2021学年高中物理第三章万有引力定律2万有引力定律教案教科版必修2
第二节万有引力定律【教材分析】本节课内容主要讲述了万有引力发现的过程及牛顿在前人工作的基础上，凭借他超凡的数学能力推证了万有引力的一般规律的思路与方法.这节课的主要思路是：由圆周运动和开普勒运动定律的知识，得出行星和太阳之间的引力跟行星的质量成正比，跟行星到太阳的距离的平方成反比，并由引力的相互性得出引力也应与太阳的质量成正比.这个定律的发现把地面上的运动与天体运动统一起来，对人类文明的发展具有重要意义。
本节内容包括：发现万有引力的思路及过程、万有引力定律的推导.【教学目标】一、知识与技能1.了解万有引力定律得出的思路和过程.2.理解万有引力定律的含义并会推导万有引力定律，记住引力常量G并理解其内涵.3.知道任何物体间都存在着万有引力，且遵循相同的规律.二、过程与方法1.培养学生在处理问题时，要抓住主要矛盾，简化问题，建立模型的能力与方法.2.培养学生的科学推理能力.三、情感态度与价值观通过牛顿在前人的基础上发现万有引力的思想过程，说明科学研究的长期性、连续性及艰巨性.【教学重点】1.万有引力定律的推导.2.万有引力定律的内容及表达公式.【教学难点】1.对万有引力定律的理解.2.使学生能把地面上的物体所受的重力与其他星球与地球之间存在的引力是同性质的力联系起来.【教学方法】1.对万有引力定律的推理——采用分析推理、归纳总结的方法.2.对疑难问题的处理——采用讲授法、例证法.【教学用具】多媒体课件【教学设计】导入本节课主要以启发式教学为主。
首先回顾前面知识问题设置：师提问:太阳对行星的引力使得行星围绕太阳运动,月球围绕地球运动,是否能说明地球对月球有引力作用?抛出的物体总要落回地面,是否说明地球对物体有引力作用?【新课教学】一、关于行星运动原因的猜想吉尔伯特：猜想行星是依靠太阳发出的磁力维持着绕日运动开普勒：受到了来自太阳的类似于磁力的作用笛卡尔：漩涡假设布利奥：首先提出平方反比假设。
认为每个行星受太阳发出的力支配，力的大小跟行星与太阳距离地平方成反比。
高中物理 第三章万有引力定律全章学案 教科版必修2
§3.1 天体运动【学习目标】1．知道开普勒对行星运动的描述——开普勒三定律。
2．学会在对客观事物观察和认识的基础上进行分析，并经过推理提出科学假设，再经过数学和实验验证，正确认识事物的本质。
3．了解科学家探索宇宙奥秘的过程，学习他们一丝不苟的科学精神。
【学习方法】观察法、探究法、讨论法、分析法、实物法【学习过程】一、日心说地心说认为：__________是宇宙的中心，它是___________的，太阳、月亮及其他天体都绕______________做圆周运动；日心说认为：___________是宇宙的中心，它是________________的，地球和所有的行星都绕______________做圆周运动。
哥白尼根据自己的观测记录，提出太阳才是宇宙的中心，地球和其他行星都在绕着太阳运动．哥白尼在病床上将自己的《天体运行论》发表。
二、开普勒三大定律1．开普勒第一定律：开普勒进行了 70 余次反复计算，大胆提出是日心说存在不完善的地方，经过对行星运动轨道的修正，得出所有行星绕太阳运动的轨道都是，太阳位于椭圆的一个上。
2．开普勒第二定律：太阳与任何一个行星的连线在相等的时间内扫过的相等。
长轴r 的方与其公转周期T的方成正比。
开普勒第三定律是开普勒对第谷的观测数据进行长达10 年的分析后得出的结论，可见任何一个物理定律的得出都要经历一个漫长且艰苦的过程。
用公试表示为【小试身手】1．下列说法正确的是（）A．天体运动是最完美和谐的匀速圆周运动B．第谷是一名天才的观测家，正是他为开普勒的研究提供了大量的观测数据C．第谷是第一个对天体的匀速圆周运动产生怀疑的人D．开普勒在第谷精确观测的基础上，经过长期研究，终于发现了行星运动的规律2．关于地球和太阳，下列方法正确的是（）A．太阳是围绕地球做匀速圆周运动的B．地球是围绕太阳运转的C．太阳总是从东边升起，从西边落下，所以太阳围绕地球运转D．由于地心说符合人日常经验，所以地心说是正确的用心爱心专心 1用心 爱心 专心2 3.关于开普勒行星运动的公式k R T =32，以下说法正确的是（ ） A ．k 是一个与行星无关的常数 B ．若地球绕太阳运转的轨道半长轴为R ，周期为T ，月球绕地球运转的半径为R ´，周期为T ´，则3232''R T R T= C ．T 表示行星运动的自转周期 D ．T 表示行星运动的公转周期 【合作探究】【例1】理论和实践证明，开普勒定律不仅适用于太阳系中的天体运动，而且对一切天体（包括卫星绕行星的运动）都适用。
高中物理 第三章 万有引力定律 2 万有引力定律教案2
第2节万有引力定律教学环节教师活动学生活动设计说明引入新课新课教学引导学生阅读教材第47 页，由向心力公式和开普勒第三定律推导出：一、若把行星绕太阳的运动简化为匀速圆周运动，太阳与行星间的引力规律的推导．学生讨论并回答：太阳对行星的引力 F 为行星运动所受的向心力，即其中m 为行星的质量，r 为行星轨道半径，即太阳与行星的距离．由上式可得出结论：太阳对行星的引力跟行星的质量成正比，跟行星与太阳的距离的二次方成反比．即：根据牛顿第三定律，太阳吸引行星的力与行星吸引太阳的力是同性质的相互作用力．既然太阳对行星的引力与行星的质量成正比，那么行星对太阳也有作用力，也应与太阳的质量M 成正比，即：让学生参与论证牛顿的猜想讨论与思考课堂讨论学生分析引导学生阅读教材第49 页“物理在线”牛顿的月地检验的内容对此问题，英国科学家牛顿做了深入的思考与分析，下面就让我们一起来经历一下这个思考过程．二、牛顿的猜想（一）猜想一——关于苹果和月亮受力关系的猜想苹果与月亮受到的力可能是同一种力．1．树上脱落的苹果为什么会落地而不飞向天空？2．如果苹果树长得像山一样高，结果如何？3．如果苹果树长到月亮轨道的高处，结果又如何？4．那么天上的月亮为什么掉不下来？5．如果月亮停止转动，月亮也会掉下来吗？6．如果苹果具有抛射速度，是否会像月亮一样落不下来呢？牛顿的抛体设想：将物体抛出，速度越大，抛射越远，当速度大到一定值，物体将绕地飞行，永不触及地球．（二）猜想二——关于苹果和月亮受力规律的猜想既然月亮绕地球运行的方式与行星绕太阳的运行方式相似，那么地球对月亮的引力和太阳对行星的引力就有可能是同一种力，如果这种猜想成立，再结合上一猜想，那么苹果受到的力与月亮用文字表述为：太阳与行星之间的引力，与它们质量的乘积成正比，与它们的距离的平方成反比．牛顿还研究了月地间的引力、许多不同物体间的作用力都遵循上述引力规律，他把这一规律推广到自然界中任意两个物体间，即具有划时代意义的万有引力定律．学生答：1．苹果受重力作用．2．依然落地．3．依然落地．4．月球绕地球旋转，所受地球引力提供向心力．5．是的6．是的结论：苹果受到的力与月亮受到的力应该是同一种力．课堂思考介绍牛顿的工作牛顿的功绩万有引力定律受到的力应遵从“平方反比”的关系．如何来检验进一步的猜想呢？下面列出的是当时可以测量的物理量，根据这些量，请你分析怎样可以检验地球对月亮的引力与距离的平方成反比的关系？（三）猜想三——大胆合理外推既然苹果与地球、月亮与地球以及行星与太阳之间的力都是同一种的力，那么你有何想法？牛顿利用他发明的微积分解决了式中 r 的含义， r 是指两星体球心间的距离．他运用相当复杂的几何方法根据开普勒第二定律，证明了这个规律在行星进行椭圆轨道运行时仍然成立．牛顿在 17 世纪 60 年代到 17 世纪 80 年代的 20 年中，把引力思想不断扩展最终扩展到宇宙万物中：任意两个物体之间都存在吸引力．牛顿的理论著作：1687 年发表《自然哲学的数学原理》，对猜想进行严格地理论证明．三、万有引力定律（一）内容任何两个物体之间都存在相互作用的引力，这个力的大小与这两个物体的学生回答：月球轨道处的加速度结论：苹果受到的引力与月亮受到的引力应该遵从“平方反比”的关系．学生回答：地球对卫星也遵守平方反比关系．体会牛顿的思维过程万有引力的验证万有引力常量的测量引导学生阅读教材第质量的乘积成正比，与两物体之间的距离的二次方成反比．（二）表达式：式中： G 为万有引力常量， r 为两物体中心的距离．相距很远的物体可以看成质点，对球形物体而言， r 为球心距离．（三）适用条件：两质点之间四、万有引力的验证（一）哈雷彗星回归预测（二）万有引力常量的测量虽然万有引力的准确性被验证了，但人们还是被一些问题困扰着：物体间的引力能否测出？万有引力常量 G 数值为多大？1798 年卡文迪许通过精巧设计的实验测出万有引力常量．1．实验原理简介：模拟卡文迪许扭秤实验的实验过程．该实验设计有什么巧妙之处？学生记笔记．学生介绍课下查找的资料．1682 年 8 月，天空出现一颗特殊彗星，它非常明亮且拖着长长的彗尾．哈雷认真观测了这颗彗星，并与历史上的记录做了比较，发现曾经有两颗彗星与这颗彗星很像，很可能是同一颗彗星．于是哈雷大胆地猜想：彗星会回归，且具有固定的周期和轨道．但当时牛顿还没提出万有引力定律，哈雷无法具体证明这种猜想．等万有引力定律正式提出后，哈雷进行计算，算出椭圆轨道和周期，并预测 76 年后彗星会回归．1758 年 12 月 2 5 日晚，那颗彗星果真被人们所发现．哈雷的预言成功了，牛顿的万有引力定律也得到了有力的验证！实验原理简介①将两个小球固定在杆上，并用金属细丝悬挂起来，当两个大球分别靠近小球时，杆转动，金属细了解地月检验49 页“课外阅读”卡文迪许扭秤实验播放动画课堂思考生活实例思考问题2．利用光的反射巧妙地将微小形变进行了放大这个实验从设计到测量对科学家都是极大的挑战，卡文迪许研究了整整 50年才成功．3．实验数据当时测量的G值为，现在公认的 G 值为G 值的物理含义：两个质量为 1kg的物体相距 1m 时，它们之间万有引力为 6.67×10-11 N．生活实例：两个质量为 50kg 的同学相距0.5m 时的相互吸引力有多大？太阳与地球之间的引力大约是 1022N可见：一般物体之间的万有引力太小了，因此通常不考虑．4．扭秤实验的意义证明了万有引力的存在，使万有引力定律进入了真正实用的时代，卡文迪许是第一个在实验室里称出地球质量的人．万有引力定律发现的意义是什么？五、万有引力定律发现的意义：（一）第一次揭示了自然界中一种基本相互作用的规律．（二）把地上的力与天上的力统一起来，提供了研究天体运动的理论基础，在文化发展史上重大意义，使人们有信心理解天地间的各种事物的信心，解放了人们的思想，在科学文化的发展史上起到了积极的推动作用．思考：1．万有引力与重力的关系是什么？2．万有引力定律在天文学上有哪些丝扭转，与杆的转动相抗衡，平衡时杆不再转动．金属细丝转过的角度与大小球之间的引力对应，通过转角可以求出引力．②在金属丝上装上一块平面镜，随金属细丝一起旋转，光线射到平面镜后反射，在较远的光屏观察光斑的移动，就可以测出金属细丝转过的角度．学生答：利用光的反射巧妙地将微小形变进行了放大．学生回答：依据：学生回答：体会万有引力定律发现的意义理体第二节万有引力定律一、若将行星绕太阳的运动简化为匀速圆周运动，太阳与行星间的引力规律的推导：二、牛顿的猜想结论1：苹果受到的力与月亮受到的力应该是同一种力．结论2：苹果受到的引力与月亮受到的引力应该遵从“平方反比”的关系．结论3：任意两个物体之间都存在吸引力．三、万有引力定律（一）内容：任何两个物体之间都存在相互作用的引力，这个力的大小与这两个物体的质量的乘积成正比，与两物体之间的距离的二次方成反比．（二）表达式：式中：G为万有引力常量，r为两物体中心的距离．相距很远的物体可以看成质点，对球形物体而言，r为球心距离．（三）适用条件：严格地，适用于质点间的相互作用；近似地，用于两个物体间的距离远远大于物体而言，本身的大小时；特殊地，用于两个均匀球体， r 是两球心的距离．四、万有引力定律的验证（一）哈雷彗星回归预测：（二）万有引力常量的测量：测量 G 值为，现在公认的 G 值为G 值的物理含义：两个质量为 1kg 的物体相距 1m 时，它们之间的引力为6.672×10-11 N五、万有引力定律发现的意义（一）第一次揭示了自然界中的一种基本相互作用的规律．（二）把地上的力与天上的力统一起来，提供了研究天体运动的理论基础，在文化发展史上有重大意义，使人们有信心理解天地间的各种事物，解放了人们的思想，在科学文化的发展史上起到了积极的推动作用．教学流程图：学习效果评价：本节课内容充实，创设情景，引导学生积极参与，使学生经历万有引力定律的科学探究与发现的过程，充分调动了学生的学习兴趣，特别注意培养学生的自学与表达能力，本课的设计可使学生很好地掌握知识，深入地体会科学方法，培养学生良好的思维习惯，使学生更喜爱学习物理．教学反思：本教学设计充分考虑了新教材的特点，教学目标的制定符合课标要求和学生实际，特别突出了过程与方法的指导、渗透．在教学资源方面，充分挖掘了编者的设计意图，并且结合学生层次进行了处理，资源充足、适用．需特别指出的是，本节课将万有引力定律的推导过程留给学生比教师带着推导更能调动学生思维，更方便发现学生的问题．对万有引力常量的处理方法根据新教材的变动做出了相应的调整，既降低了学生学习的难度，又能够加深对万有引力定律的理解．本设计能调动学生的积极性，课堂氛围活跃，参与面广，并且学生能提出一些有意义的问题和见解．本教学设计特别注重体现新课程改革中新的教学理念和教学方式，创设情景，让学生参与讨论交流，使其体验科学探究的过程，领略科学家的风采，学会利用教材资源，培养了学生的自学能力，提高了学生的思维水平．。
高中物理必修二教案-3.2 万有引力定律2-教科版
3.2《万有引力定律》教学设计一、教材分析本节内容安排在天体运动之后，目的是通过已知的天体的运动的规律，追寻牛顿的足迹探究地球与月球、地球与地面物体、物体与物体间的作用力规律。
重在通过让学生以自己的知识经历一次“发现”万有引力定律的过程，发展学生的科学思维。
万有引力定律的发现是物理学上的一个创举，是本章的重点内容，也是后面万有引力定律应用的基础，理清此定律的由来、适用范围对以后的综合应用至关重要。
二、学情分析高一的学生学习兴趣比较浓厚，他们的观察不只停留在一些表面现象，且相比较初中生具有更深层次的探究愿望。
在思维方式上由初中形象思维为主向高中抽象思维为主过渡，已经能通过一些思维的引导做一些逻辑的推理。
本节主要介绍万有引力定律的产生过程，学生通过上节内容的学习已知天体之间的运动规律的知识。
但不能把物体在地球上受到的重力与星体等的引力本质上是一样的进行迁移。
因此这部分内容将是本节课的一个难点。
三、教学目标知识与技能 1、了解万有引力定律得出的思路与过程2、理解万有引力定律的含义、数学表达式；在简单情景中能计算万有引力。
3、知道卡文迪许测量万有引力常量实验的设计思想及其伟大意义。
过程与方法 1、通过简单分析了解牛顿的“月-地”检验的意义。
2、通过对卡文迪许测量万有引力常量实验的了解，认识发现万有引力定律的意义，领略天体运动规律的简洁与和谐。
情感态度与价值观通过学习科学的研究问题的方法，充实自己的头脑，更好地去认识世界，建立科学的价值观和审美观。
四、重点难点重点：万有引力定律的内容及数学表达式难点：万有引力定律的发现思路和过程的体验五、教学方法启发式提问、讲解法、学生自学法六、教学过程验（3）万有引力定律（4）万有引力常量对月球引力的公式数学推导，需要验证：观测难以直接得到行星的速度v，但可以得到行星的公转周期T，行星到太阳的距离为r，则行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力由太阳对行星的引力来提供，根据向心加速度公式：验证成功（一）内容：任何两个物体之间都存在相互作用的引力，这个力的大小与这两个物体的质量的乘积成正比，与两物体之间的距离的二次方成反比．（二）表达式：式中： r 为两物体中心的距离．相距很远的物体可以看成质点，对球形物体而言， r为球心距离．引导学生用公式进行计算，引出G值未知，但300多年以后，英国物理学家卡文迪许测量出G。
江苏省扬州市高邮中学高考物理一轮复习 第三章 万有引
第1课时 万有引力定律及其应用◇◇◇◇◇◇课前预习案◇◇◇◇◇◇【考纲考点】开普勒行星运动定律（Ⅰ） 万有引力定律及其应用（Ⅱ） 【知识梳理】1．开普勒行星运动三定律：第一定律：所有行星都在 上运动，太阳则处在这些椭圆轨道的一个 上；第二定律：行星沿椭圆轨道运动的过程中，与太阳的连线在单位时间内扫过的 相等；第三定律：所有行星的轨道的 跟 的比值都相等．即k T r =232．万有引力定律：宇宙间一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的 成正比，跟它们的 成反比，引力方向沿两个物体的连线方向。
3．人造地球卫星原理：由于卫星绕地球做匀速圆周运动，所以 充当卫星所需的向心力，于是有r T m r m r m ma rGmM 2222)2(πωυ==== 【基础检测】( )1．关于万有引力公式221r m m GF =，以下说法中正确的是 A ．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体 B ．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大 C ．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律 D ．公式中引力常量G 的值是牛顿规定的( )2．由于万有引力定律和库仑定律都满足平方反比定律，因此引力场和电场之间有许多相似的性质，在处理有关问题时可以将它们进行类比，例如电场中反映各点电场强弱的物理量是电场强度，其定义式为E ＝F q，在引力场中可以用一个类似的物理量来反映各点引力场的强弱．设地球质量为M ，半径为R ，地球表面处重力加速度为g ，引力常量为G ，如果一个质量为m 的物体位于距离地心2R 处的某点，则下列表达式中能反映该点引力场强弱的是A ．G M 2R 2B ．G m2R 2C ．G Mm 2R 2D ．g 4( )3．如图所示，在同一轨道平面上的三个人造地球卫星A 、B 、C 在某一时刻恰好在同一直线上，下列说法正确的有A ．根据v ＝gr ，可知v A <vB <vC B ．根据万有引力定律，F A >F B >F C C ．向心加速度a A >a B >a CD ．运动一周后，C 先回到原地点◇◇◇◇◇◇课堂导学案◇◇◇◇◇◇要点提示一、万有引力定律1．内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的质量成积成正比，跟它们的距离平方成反比，引力方向沿两个物体的连线方向。
高中物理 第三章 万有引力定律 第2节 万有引力定律学案 教科版必修2-教科版高一必修2物理学案
第2节 万有引力定律1．了解万有引力定律的发现过程． 2．掌握万有引力表达式的推导及适用条件．（难点）3．理解万有引力定律的含义及引力常量．（重点＋难点）一、与引力有关现象的思考 1．牛顿的思考苹果由于受到地球的吸引力落向地面；月球不沿直线运动而是绕地球做圆周运动，表明月球受到方向指向地心的向心力作用．2．思考的结论(1)月球必定受到地球对它的引力作用．(2)苹果与月球在运动中受到的都是地球对它们的引力 (3)行星围绕太阳运动的向心力是太阳对行星的引力． 二、万有引力定律 1．太阳与行星间的引力如图所示，行星绕太阳做匀速圆周运动，则行星运动的向心力F ＝m v 2r ，又v ＝2πrT ，因此F ＝4π2⎝ ⎛⎭⎪⎫r 3T 2mr2，由开普勒第三定律知r 3T 2＝常量，由此可得F ∝m r 2．由牛顿第三定律知行星对太阳的引力F ′也应与太阳的质量M 成正比，即F ′∝Mr2．所以F ＝F ′∝Mm r2．2．万有引力定律(1)内容：任何两个物体之间都存在相互作用的引力，引力的大小与这两个物体的质量的乘积成正比，与这两个物体之间的距离的平方成反比(2)公式：F ＝Gm 1m 2r 2三、引力常量1．首先精确测量者：1798年，英国物理学家卡文迪许首先精确地测出了引力常量G的数值．2．大小：G ＝6．67×10－11 N·m2/kg2．3．意义：G的测出使万有引力定律的公式有了真正的实用价值．若月球轨道半径为地球半径的60倍，故月球在轨道上运动的加速度（月球公转的向心加速度）是地球表面重力加速度的1602．试分析其中的道理．提示：地球表面上的物体的重力约等于地球对它的引力，即G MmR2＝mg地，g地＝GMR2①月球做圆周运动的向心力由地球对它的引力提供G Mm′r2＝m′a月，a月＝GMr2＝GM602R2②由①②可得a月＝1602g地．对万有引力定律的理解内容自然界中任何两个物体都互相吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比公式F＝Gm1m2r2，其中G＝6．67×10－11N·m2/kg2，称为引力常量，m1、m2分别为两个物体的质量，r为它们之间的距离适用条件(1)严格地说，万有引力定律只适用于质点间的相互作用(2)万有引力定律也适用于计算两个质量分布均匀的球体间的相互作用，其中r是两个球体球心间的距离(3)计算一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r为球心与质点间的距离(4)两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似适用，其中r为两物体质心间的距离特性普万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的遍性 物体之间都存在着这种相互吸引的力相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律 宏观性 在地面上的一般物体之间，由于质量比较小，物体间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间，或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用 特性 特殊性两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，与所在空间的性质无关，与周围是否存在其他物体无关 下列说法中正确的是( )A ．两质点间万有引力为F ，当它们之间的距离增加1倍时，它们之间的万有引力是F2B ．树上的苹果掉到地上，说明地球吸引苹果的力大于苹果吸引地球的力C ．由万有引力公式F ＝Gm 1m 2r 2可知，当其他条件不变而r 趋近于0时，F 趋于无穷大 D ．两质点间的万有引力为F ，在两质点连线的中点位置再放一个质点时，两质点间的万有引力仍为F[解析] 由公式F ＝Gm 1m 2r 2知，F 与r 2成反比，距离增加1倍时，引力变为14F ，A 错．地球和苹果间的相互作用力符合牛顿第三定律，故大小相等，B 错．万有引力公式F ＝Gm 1m 2r 2只适用于质点，当r 趋近于0时，质量为m 1、m 2的两个物体已不能看成质点，F 并不趋于无穷大，C 错．两物体间的万有引力与周围是否存在其他物体无关，D 对.[答案] D(1)万有引力与距离的平方成反比，而引力常量又极小，故一般物体间的万有引力是极小的，受力分析时可忽略．(2)任何两个物体间都存在着万有引力，但并非所有的物体之间的万有引力都可以用F ＝Gm 1m 2r 2进行计算，只有质点间或能看成质点的物体间的引力才可以应用公式F ＝G m 1m 2r2计算其大小．1．两大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F ，若两个半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为( )A ．2FB ．4FC ．FD ．16F解析：选D ．小铁球之间的万有引力F ＝G mm （2r ）2＝G m 24r2大铁球半径是小铁球半径的2倍，其质量分别为小铁球m ＝ρV ＝ρ·⎝ ⎛⎭⎪⎫43πr 3大铁球M ＝ρV ′＝ρ·43π（2r ）3＝8ρ·43πr 3＝8m故两个大铁球间的万有引力F ′＝G MM （2R ）2＝G （8m ）24×（2r ）2＝16G m 24r2＝16F ．万有引力定律的应用1．重力为地球引力的分力如图所示，设地球的质量为M ，半径为R ，A 处物体的质量为m ，则物体受到地球的吸引力为F ，方向指向地心O ，由万有引力公式得F ＝G MmR2．图中F 1为物体随地球自转做圆周运动的向心力，F 2就是物体的重力mg ，故一般情况mg <G Mm R2．2．重力和万有引力间的大小关系 (1)重力与纬度的关系①在赤道上满足mg ＝G Mm R2－mRω2．②在地球两极处，由于F 向＝0，即mg ＝G Mm R2．③其他位置mg ＝G MmR2－mRω2cos θ（θ为纬度值），物体的重力随纬度的增加而增大． (2)重力、重力加速度与高度的关系 ①在地球表面：mg ＝G Mm R 2，g ＝GMR 2，g 为常数． ②在距地面高h 处：mg ′＝G Mm（R ＋h ）2，g ′＝GM（R ＋h ）2，高度h 越大，重力加速度g ′越小．(1)物体随地球自转需要的向心力很小，一般情况下，认为重力约等于万有引力，即mg ＝G MmR2．(2)在地球表面，重力加速度随地理纬度的升高而增大；在地球上空，重力加速度随距地面高度的增加而减小．命题视角1 重力与万有引力的应用设想有一宇航员在某行星的极地上着陆时，发现物体在当地的重力是同一物体在地球上重力的0．01倍，而该行星一昼夜的时间与地球相同，物体在它赤道上时恰好完全失重．若存在这样的星球，它的半径R 应多大？[解析]设行星的半径为R ，在赤道上质量为m 的物体随星球自转，物体受力如图所示，根据牛顿第二定律得mg ′－N ＝mω2R依题意N ＝0，所以g ′＝ω2R ．在极地地区，物体重力仅为地球上重力的0．01倍， 可知g ′＝0．01g自转周期与地球相同，即T ′＝T ＝8．64×104s ， 可知该星球半径为R ＝g ′ω2＝（T ′）24π2g ′＝0.01gT 24π2＝0.01×9.8×（8.64×104）24×3.142m ＝1．85×107 m ． [答案] 1．85×107m命题视角2 万有引力定律与其他知识的综合应用宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一物体，经过时间t 物体落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一物体，需经过时间5t 物体落回原处．（取地球表面重力加速度g ＝10 m/s 2，空气阻力不计）(1)求该星球表面附近的重力加速度g ′的大小；(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R 星∶R 地＝1∶4，求该星球的质量与地球质量之比M 星∶M 地．[思路点拨] 本题是竖直上抛运动规律和万有引力的结合，关键是要求出该星球表面的重力加速度，竖直上抛运动的规律在该星球表面仍然适用．[解析] (1)由竖直上抛运动规律可知地面上竖直上抛物体落回原地经历的时间为t ＝2v 0g在该星球表面竖直上抛的物体落回原地所用时间为 5t ＝2v 0g ′，所以g ′＝15g ＝2 m/s 2． (2)星球表面物体所受重力等于其所受星体的万有引力，则有mg ＝G Mm R 2，所以M ＝gR 2G可解得M 星∶M 地＝1∶80． [答案] (1)2 m/s 2(2)1∶801．涉及重力与引力关系时应注意的问题(1)由物体所受的重力近似等于地球对物体的引力可知，地球表面的重力加速度g ＝GMR2，即GM ＝gR 2，这是一个常用的“黄金代换式”．(2)重力是万有引力的一个分力，故受力分析时不能重复分析，即分析万有引力时就不必再分析重力．(3)对相对于地面的运动，通常只分析重力；对随地球的自转运动或卫星问题只分析万有引力．(4)除非专门研究随地球自转问题，计算时都可认为重力与万有引力相等．2．运用万有引力定律分析求解相关综合问题时，首先必须明确问题涉及哪些知识内容，需要运用哪些物理规律，并注意把握以下几点：(1)无论问题是涉及运动学规律，还是动力学规律，联系的桥梁都是重力加速度g ，要注意重力加速度的变化，特别是明确星球表面上g 0＝G M R 2，高度h 处g ＝G M（R ＋h ）2，即g 随h 增加而减小．(2)在地球上运用的运动学规律和动力学规律，在其他星球上仍然适用，只是重力加速度g 不同．2．设地球表面重力加速度为g 0，物体在距离地心4R （R 是地球的半径）处，由于地球对物体的万有引力的作用而产生的加速度为g ，则g g 0为( )A ．1B ．19 C ．14D ．116解析：选D ．地球表面处的重力加速度和离地心高4R 处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有：F ＝G Mm r 2＝mg ，所以g g 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 0r 2＝R 2（4R ）2＝116，故D 正确．[随堂检测]1．关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( ) A ．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B ．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C ．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D ．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律解析：选B ．开普勒在第谷的观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，B 项正确；牛顿在开普勒总结的行星运动规律的基础上发现了万有引力定律，找出了行星运动的原因，A 、C 、D 项错误．2．对于引力常量G 的理解，下列说法中错误的是( )A ．G 在数值上等于质量均为1 kg 的两个质点相距1 m 时的引力大小B ．G 的数值是为了方便而人为规定的C ．G 的测定使万有引力定律公式更具有实际意义D ．G 的测定从某种意义上也能够说明万有引力定律公式的正确性解析：选B ．根据万有引力定律公式F ＝G m 1m 2r 2可知，G ＝Fr 2m 1m 2，当r ＝1 m ，m 1＝m 2＝1 kg时，G 在数值上等于万有引力大小，故A 正确．G 是一个有单位的物理量，单位是N ·m 2/kg 2．G 的数值不是人为规定的，而是在牛顿发现万有引力定律一百多年后，由卡文迪许利用扭秤实验测出的，故B 错误，C 、D 正确．3．一个物体在地球表面所受的重力为G m ，在距地面高度为地球半径的位置，物体所受地球的引力大小为( )A ．G m 2B ．G m 3C ．G m4D ．G m9解析：选C ．在地球表面附近，物体所受的重力近似等于万有引力，即重力G m ＝F 万＝G Mm R2；在距地面高度为地球半径的位置，F ′万＝G Mm （2R ）2＝G m4，故选项C 正确．4．北斗导航卫星的成功发射标志着北斗卫星导航系统的建设又迈出了坚实的一步．若卫星质量为m 、离地球表面的高度为h ，地球质量为M 、半径为R ，G 为引力常量，则地球对卫星万有引力的大小为( )A ．G mM hB ．GmMR ＋hC ．G mM h2D ．G mM（R ＋h ）2解析：选D ．卫星的轨道半径为卫星到地心的距离，即为（R ＋h ），由万有引力定律可知F ＝G mM（R ＋h ）2，D 对．5．如图所示，一火箭以a ＝g2的加速度竖直升空．为了监测火箭到达的高度，可以观察火箭上搭载物视重的变化．如果火箭上搭载的一只小狗的质量为m ＝1．6 kg ，当检测仪器显示小狗的视重为F ＝9 N 时，火箭距离地面的高度是地球半径的多少倍？（g 取10 m/s 2）解析：火箭距离地面的高度为h ，该处的重力加速度为g ′，设地球的半径为R ．根据牛顿第二定律，有F －mg ′＝ma ，g ′＝F m －g 2＝58 m/s 2．根据万有引力定律，有g ′＝G M r 2∝1r 2，所以g ′g ＝R 2（R ＋h ）2，即R R ＋h ＝14，所以火箭距离地面的高度为h ＝3R ． 答案：3倍[课时作业][学生用书P103（单独成册）]一、单项选择题1．地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( ) A ．物体在赤道处受的地球引力等于两极处，而重力小于两极处 B ．赤道处的角速度比南纬30°大C ．地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大D ．地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力解析：选A ．由F ＝G MmR2可知，物体在地球表面任何位置受到地球的引力都相等，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转的向心力．在赤道上，向心力最大，重力最小，A 对．地表各处的角速度均等于地球自转的角速度，B 错．地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C 错．地面上物体随地球自转的向心力是万有引力与地面支持力的合力，D 错．2．已知太阳的质量为M ，地球的质量为m 1，月亮的质量为m 2，当发生日全食时，太阳、月亮、地球几乎在同一直线上，且月亮位于太阳与地球中间，如图所示．设月亮到太阳的距离为a ，地球到月亮的距离为b ，则太阳对地球的引力F 1和对月亮的引力F 2的大小之比为( )A ．m 2a 2m 1（a ＋b ）2 B ．m 1b 2m 2（a ＋b ）2 C ．m 2b 2m 1（a ＋b ）2D ．m 1a 2m 2（a ＋b ）2解析：选D ．太阳对地球的引力F 1＝G Mm 1（a ＋b ）2太阳对月亮的引力F 2＝GMm 2a 2．故F 1F 2＝m 1a 2m 2（a ＋b ）2． 3．两个质量均为m 的星体，其连线的垂直平分线为MN ，O 为两星体连线的中点，如图所示，一个质量为m 的物体从O 沿OM 方向运动，则它受到的万有引力大小变化情况是( )A ．一直增大B ．一直减小C ．先增大后减小D ．先减小后增大解析：选C ．当物体m 在O 点时，两星体对物体的万有引力等大反向，合力为零；当物体在无限远处时，两星体对物体的万有引力均为零，合力也为零，故物体从O 沿OM 方向运动，则它受到的万有引力大小是先增大后减小．4．一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知万有引力常量为G ，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3G ρ12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34πG ρ12 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫πG ρ12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3πG ρ12 解析：选D ．由于物体对天体表面的压力恰好为零，所以物体受到天体的万有引力全部提供物体随天体自转做圆周运动的向心力，G Mm R 2＝m 4π2T 2R ，又因为ρ＝M V ＝M43πR3，由以上两式解得T ＝3πρG，选项D 正确．5．两颗行星的质量分别为m 1和m 2，它们绕太阳运动的轨道半径分别是r 1和r 2，若它们只受太阳引力的作用，那么这两颗行星的向心加速度之比为( )A ．1B ．m 2r 1m 1r 2C ．m 1r 2m 2r 1D ．r 22r 21解析：选D ．设行星m 1、m 2所受的向心力分别为F 1、F 2，由太阳与行星之间的作用规律可得：F 1∝m 1r 21，F 2∝m 2r 22，而a 1＝F 1m 1，a 2＝F 2m 2，故a 1a 2＝r 22r 21，D 正确．6．假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，不考虑地球自转的影响，距离地球球心为r 处的重力加速度大小可能为下图中的哪一个( )解析：选A ．设地球的密度为ρ，当物体处于地心时，所受万有引力为零，加速度为零；当距地心距离为r <R 时，只有半径为r 的球体对其产生万有引力，根据GMmr2＝ma 得：G 43πr 3ρmr 2＝ma ，解得a ＝4πG ρr 3，即加速度a 与r 成正比，由此可判断选项B 、D 不正确，当r >R 时，由GMm r 2＝ma 得a ＝GM r 2＝4πGR 3ρ3r2，加速度a 与r 的二次方成反比，故选项A 正确． 二、多项选择题7．下列叙述正确的是( )A ．卡文迪许实验证明了万有引力定律，并测出了引力常量B ．万有引力常量的单位是N ·m 2/kg 2C ．由F ＝G Mm r 2可知，G ＝Fr 2Mm，由此可见G 与F 和r 2的乘积成正比，与M 和m 的乘积成反比D ．万有引力常量的数值是人为规定的解析：选AB ．卡文迪许实验表明万有引力定律同样适用于地面的任意两个物体，用实验方法进一步证明了万有引力定律的普适性，选项A 对；G 的单位由F 、m 、r 的单位决定，选项B 对；公式中G 为比例系数，是一常量，与F 、r 、M 、m 均无关，选项C 错；公式中引力常量G 的值，是经过实验测定的，而不是由谁来规定的，选项D 错．8．对于太阳与行星间的引力及其表达式F ＝G Mmr2，下列说法正确的是( )A ．公式中G 为比例系数，与太阳、行星有关B ．太阳、行星彼此受到的引力总是大小相等C ．太阳、行星彼此受到的引力是一对平衡力，合力为零，M 、m 都处于平衡状态D ．太阳、行星彼此受到的引力是一对相互作用力解析：选BD ．太阳与行星间引力表达式F ＝G Mm r2中的G 为比例系数，与太阳、行星都没有关系，A 错误；太阳与行星间的引力分别作用在两个物体上，是一对作用力和反作用力，不能进行合成，B 、D 正确，C 错误．9．假如地球自转速度增大，关于物体所受的重力，下列说法正确的是( ) A ．放在赤道地面上物体的万有引力不变 B ．放在两极地面上物体的重力不变 C ．放在赤道地面上物体的重力减小 D ．放在两极地面上物体的重力增加解析：选ABC ．地球自转角速度增大，物体受到的万有引力不变，选项A 正确；在两极，物体受到的万有引力等于其重力，则其重力不变，选项B 正确、D 错误；而对放在赤道地面上的物体，F 万＝G 重＋mω2R ，由于ω增大，则G 重减小，选项C 正确．三、非选择题 10．已知均匀球体对其他物体的万有引力等效于将其全部质量集中于球心时对其他物体的万有引力，如图所示，有一半径为R 的均匀球体，球心为O 1，质量为8M ，今自其内挖去一个半径为R2的小球，形成球形空腔的球心为O 2，将小球移出至图示位置与大球相切，小球球心为O 3，图中O 1、O 2、切点和O 3四点共线，求此时小球与大球剩余部分之间的万有引力．解析：小球质量为m ＝V 小V 大·8M ＝4π3⎝ ⎛⎭⎪⎫R 2343πR 3·8M ＝M ，大球对小球O 3的万有引力为F 1＝GM ·8M⎝ ⎛⎭⎪⎫32R 2＝329·G M 2R 2，小球O 2对小球O 3的万有引力为F 2＝G M ·M R 2＝G M2R2，小球O 3与大球剩余部分之间的万有引力为F ＝F 1－F 2＝23GM29R2．答案：23GM 29R211．某星球“一天”的时间是T ＝6 h ，用弹簧测力计在星球上测同一物体的重力时，“赤道”上比在“两极”处读数小10%．设想该星球自转的角速度加快，使赤道上的物体自动飘起来，这时星球的“一天”是多少小时？解析：设该物体在星球的“赤道”上时重力为G 1，在两极处的重力为G 2，在“赤道”处G MmR2－G 1＝mRω2 ①在“两极”处G Mm R2＝G 2②依题意得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫G 1G2×100%＝10%．③设该星球自转的角速度增加到ω0时赤道上的物体自动飘起来，是指地面与物体间没有相互作用力，物体受到星球的万有引力全部提供其随星球自转的向心力，则G MmR2＝mRω20． ④又ω0＝2πT 0，ω＝2πT⑤联立①②③④⑤式解得：T 0＝610h ＝1．9 h ． 答案：1．9 h12．已知某星球的质量是地球质量的180，半径是地球半径的14，在离该星球表面高16 m处让质量m ＝50 kg 的物体自由下落，已知地球表面的重力加速度g ＝10 m/s 2．求：(1)该星球表面的重力加速度g 0是多大？ (2)物体下落到该星球表面所用的时间t 是多少？ 解析：(1)星球表面上质量为m 0的物体有：GM 星m 0R 2星＝m 0g 0 所以g 0＝GM 星R 2星即g g 0＝M 地R 2星M 星R 2地 ＝8016＝5所以g 0＝g5＝2 m/s 2．(2)由h ＝12g 0t 2得t ＝2hg 0＝4 s ．答案：(1)2 m/s 2(2)4 s。
高中物理第三章万有引力定律2万有引力定律教案2教科版必修2
第2节万有引力定律如果苹果树长到月亮轨道的高处，将物体抛出，速度越大，抛射越远，学生讨论并回答：太阳对行星的引力 F 为行星运动所受的向心力，即其中m 为行星的质量，r 为行星轨道半径，即太阳与行星的距离．由上式可得出结论：太阳对行星的引力跟行星的质量成正比，跟行星与太阳的距离的二次方成反比．即：根据牛顿第三定律，太阳吸引行星的力与行星吸引太阳的力是同性质的相互作用力．既然太阳对行星的引力与行星的质量成正比，那么行星对太阳也有作用力，也应与太阳的质量M 成正比，即：用文字表述为：太阳与行星之间的引力，与它们质量的乘积成正比，与它们的距离的平方成反比．牛顿还研究了月地间的引力、许多不同物体间的作用力都遵循上述引让体了体体（二）表达式：式中：教学流程图：学习效果评价：本节课内容充实，创设情景，引导学生积极参与，使学生经历万有引力定律的科学探究与发现的过程，充分调动了学生的学习兴趣，特别注意培养学生的自学与表达能力，本课的设计可使学生很好地掌握知识，深入地体会科学方法，培养学生良好的思维习惯，使学生更喜爱学习物理．教学反思：本教学设计充分考虑了新教材的特点，教学目标的制定符合课标要求和学生实际，特别突出了过程与方法的指导、渗透．在教学资源方面，充分挖掘了编者的设计意图，并且结合学生层次进行了处理，资源充足、适用．需特别指出的是，本节课将万有引力定律的推导过程留给学生比教师带着推导更能调动学生思维，更方便发现学生的问题．对万有引力常量的处理方法根据新教材的变动做出了相应的调整，既降低了学生学习的难度，又能够加深对万有引力定律的理解．本设计能调动学生的积极性，课堂氛围活跃，参与面广，并且学生能提出一些有意义的问题和见解．本教学设计特别注重体现新课程改革中新的教学理念和教学方式，创设情景，让学生参与讨论交流，使其体验科学探究的过程，领略科学家的风采，学会利用教材资源，培养了学生的自学能力，提高了学生的思维水平．。
高中物理 3.2《万有引力定律》学案 教科版必修2
万有引力定律学习目标:1．了解地心说(托勒密)和日心说(哥白尼)。
2．了解开普勒对行星运动的描述。
3．初步掌握万有引力定律。
学习重点:1．地心说(托勒密)和日心说(哥白尼)。
2．开普勒三大定律。
3．万有引力定律。
学习难点:1．有关开普勒三大定律的理解和认识。
2．万有引力定律。
主要内容:一、天体究竟做怎样的运动（一）地心说和日心说l．地心说：在古代，以希腊亚里士多德为代表，认为地球是宇宙的中心。
其它天体则以地球为中心，在不停地运动。
这种观点，就是“地心说”。
公元二世纪，天文学家托勒密，把当时天文学知识总结成宇宙的地心体系，发展完善了“地心说”描绘了一个复杂的天体运动图象。
2．日心说：随着天文观测不断进步，“地心说”暴露出许多问题。
逐渐被波兰天文学家哥白尼提出的“日心说”所取代。
波兰天文学家哥白尼经过近四年的观测和计算，于1543年出版了“天体运行论”正式提出“日心说”。
“日心说”认为，太阳不动，处于宇宙的中心，地球和其它行星公转还同时自转。
“日心说”对天体的描述大为简化，同时打破了过去认为其它天体和地球截然有别的界限，是一项真正的科学革命。
这种学说和宗教的主张是相反的。
为宣传和捍卫这个学说，意大利学者布鲁诺被宗教裁判所活活烧死。
伽利略受到残酷的迫害，后人把历史上这桩勇敢的壮举形容为：“哥白尼拦住了太阳，推动了地球。
”二、开普勒行星运动三大定律十七世纪，德国人开普勒在“日心说”的基础上，整理了他的老师，丹麦人第谷20多年观测行星运动的数据后，经过四年艰苦计算，总结了关于行星运动的三条规律，即：开普勒第一定律：也叫椭圆轨道定律，它的具体内容是：所有行星分别在大小不同的轨道上同绕太阳运动。
人阳在这些椭圆的一个焦点上。
他当时算出，火星的偏心率为0．093，是当时所知的在太阳系内最大的，因此椭圆轨道最为明显。
他的这条定律否定了行星轨道为圆形的理论。
开普勒第二定律：对任意行星来说，他与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
教科版高中物理必修2《万有引力定律》学案
3.2《万有引力定律》学案【学习目标】一、知识目标1.了解万有引力定律得出的思路和过程。
2.理解万有引力定律的推导过程及其公式的物理意义。
3.知道任何物体间都存在着万有引力，且遵循相同的规律。
二、能力目标1.通过经历建立物理模型的过程，学习处理问题时，抓主要矛盾、简化问题，建立模型的能力与方法；初步认认识估算法及其物理意义。
2.经历科学推理的过程，学会通过进行逻辑分析和数学推理解决物理问题。
三、德育目标通过牛顿在前人基础上发现万有引力的思想过程，理解科学研究的长期性、连续性及艰巨性，学习科学家们坚持不懈、一丝不苛的工作精神和互相协作的精神。
【知识准备】一、开普勒行星运动三大定律：开普勒第一定律：开普勒第二定律：开普勒第三定律：二、力是改变的原因。
= = = =三、匀速圆周运动的向心力表达式：F向四、牛顿第三定律：作用力与反作用力总是大小，方向，作用在上的个物体上，性质。
【探究过程】一、导入问题1．树上脱落的苹果因为作用会落地而不飞向天空。
2．天上的月亮为什么掉不下来？分析：如果月亮不受力，它会做运动，实际上月亮绕地球做圆周运动，这说明它受到作用，方向，这个力就是。
3．（发散思考）宇宙中还有那些天体之间的运动形式与地球和月球之间的运动关系相似？它们有相似的规律吗？请举例说明。
二、万有引力定律的推导历史回顾：1、在牛顿所处的时代，许多物理学家如哈雷、胡克等都从开普勒行星运动定律认识到，但他们遇到的难题是不能证明这种引力是行星按轨道运动。
2、牛顿总结了前人的成果，应用数学方法使这个问题得到了证明，还指出引力当与成正比。
自主探究：1、思考与合作：为是行星运动的椭圆轨道更简化，我们把行星的运动当作运动，这样做的依据是，这种研究方法叫做方法，这种研究方法建立的模型叫模型。
2、在研究行星绕太阳运动的力时我们可以优先选择公式F向= ，原因是3、不同的行星运动的公转周期T和轨道半径r都不相同，要解决这个问题，= 。
高中物理 3.3 万有引力定律的应用学案 教科版必修2
第3节 万有引力定律的应用[导学目标] 1.了解重力等于万有引力的条件.2.会用万有引力定律求中心天体的质量.3.了解万有引力定律在天文学上的重要应用.4.会应用万有引力定律结合圆周运动的知识求解天体运动的有关物理量．行星绕太阳运动的线速度、角速度、周期和向心加速度 行星绕太阳的运动可以简化为________运动，做圆周运动的向心力由________________提供，则：1．由G Mm r 2＝m v2r 可得：v ＝________，r 越大，v______；2．由G Mm r 2＝mω2r 可得：ω＝________，r 越大，ω______；3．由G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r 可得：T ＝______，r 越大，T____；4．由G Mmr 2＝ma 向可得：a 向＝______，r 越大，a 向______；说明 ①式中G 是比例系数，与太阳和行星______； ②太阳与行星间引力的方向沿着________________； ③万有引力定律F ＝G Mmr2也适用于地球和某卫星之间.一、重力与万有引力的关系 [问题情境]在地球表面上的物体所受的万有引力F 可以分解成物体所受到的重力G 和随地球自转而做圆周运动的向心力F′，如图1所示．其中F ＝G Mm R2，而F′＝mrω2.图1根据图请分析以下三个问题．(1)当物体在赤道上时，向心力和重力的大小如何？ (2)当物体在两极的极点时，向心力和重力的大小如何？(3)当物体由赤道向两极移动的过程中，向心力和重力的大小如何变化？[要点提炼]1．无论如何，都不能说重力就是地球对物体的万有引力．但是，重力和万有引力的差值并不大．所以，在不考查地球自转的情况下，一般将在地球表面的物体所受的重力近似地认为等于地球对物体的引力，mg ＝G Mm R2，即GM ＝gR 2.2．在地球表面，重力加速度随纬度的增大而增大．在地球上空，重力加速度随高度的增大而减小．3．重力的方向竖直向下，并不指向地心，只有在赤道和两极时，重力的方向才指向地心．[即学即用]1．地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( )A ．物体在赤道处受的地球引力等于在两极处受到的地球引力，而重力小于两极处的重力B ．赤道处的角速度比南纬30°的大C ．地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处的大D ．地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力2．火星探测项目是我国继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目．假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行的周期为T 1，神舟飞船在地球表面附近的圆形轨道运行周期为T 2，火星质量与地球质量之比为p ，火星半径与地球半径之比为q ，则T 1和T 2之比为( )A. pq 3B. 1pq 3C.pq3D.q 3p3．某人在一星球上以速率v 竖直上抛一物体，经时间t 落回手中．已知该星球半径为R ，则至少以多大速度围绕星球表面运动，物体才能不落回该星球( )A.vtR B. 2vRt C.vRtD.vR 2t二、计算天体质量 [问题情境]请同学们阅读教材，思考并回答下面4个问题：1．天体实际做什么运动？而我们通常可以认为做什么运动？描述匀速圆周运动的物理量有哪些？2．根据环绕天体的运动情况求解其向心加速度有几种求法？3．应用天体运动的动力学方程——万有引力充当向心力，求解天体的质量有几种表达式？各是什么？各有什么特点？4．应用上面的方法能否求出环绕天体的质量？[要点提炼]应用万有引力计算某个天体的质量，有两种方法：一种是知道这个天体表面的重力加速度，根据公式M ＝gR2G 求解；另一种方法是知道这个天体的一颗行星(或卫星)运动的周期T和半径r ，利用公式M ＝4π2r3GT2求解．[问题延伸] 请同学们思考，在根据上述两种途径求出质量后，能否求出天体的平均密度？请写出计算表达式．例1 我国首个月球探测计划“嫦娥工程”将分三个阶段实施，大约用十年左右时间完成，这极大地提高了同学们对月球的关注程度．以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题，请你解答：(1)若已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，月球绕地球运动的周期为T ，且把月球绕地球的运动近似看做是匀速圆周运动．试求月球绕地球运动的轨道半径．(2)若某位宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球某水平表面上方h 高处以速度v 0水平抛出一个小球，小球落回到月球表面的水平距离为x.已知月球半径为R 月，万有引力常量为G.试求月球的质量M 月．例2 设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为R ，土星绕太阳运动的周期为T ，万有引力常量G 已知，根据这些数据能够求出的物理量是( )①土星线速度的大小 ②土星加速度的大小 ③土星的质量 ④太阳的质量 A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③例3 若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T 和R ，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t 和r ，则太阳质量与地球质量之比M 日M 地为( )A.R 3t2r 3T 2 B.R 3T 2r 3t 2 C.R 2t3r 2T3D.R 2T 3r 2t3 [即学即用]4．一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知引力常量为G ，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为( )第3节 万有引力定律的应用课前准备区匀速圆周 太阳对行星的引力 1.GMr 越小 2.GMr3 越小 3．2πr3GM越大 4.GMr2 越小 ①无关 ②二者中心的连线 课堂活动区 核心知识探究 一、[问题情境](1)当物体在赤道上时，F 、G 、F′三力同向，此时F′达到最大值F max ′＝mRω2，重力达到最小值：G min ＝F －F′＝G Mm R2－mRω2.(2)当物体在两极的极点时，此时F′＝0，F ＝G ，此时重力等于万有引力，重力达到最大值，此最大值为G max ＝G MmR2.(3)当物体由赤道向两极移动的过程中，向心力减小，重力增大，只有物体在两极的极点时物体所受的万有引力才等于重力．[即学即用]1．A [由F ＝G MmR 2可知，物体在地球表面任何位置受到的地球的引力都相等，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转的向心力．在赤道上，向心力最大，重力最小，A 对．地表各处的角速度均等于地球自转的角速度，B 错．地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C 错．地面上物体随地球自转的向心力是万有引力与地面支持力的合力，D 错．]2．D [设地球的质量为m ，地球的半径为r ，则火星的质量为pm ，火星的半径为qr ，根据万有引力提供向心力得G Mm r 2＝mr 4π2T2，故有T ＝4π2r3GM∝ r 3M ，则T 1T 2＝ qr3r3·mpm ＝ q3p，故D 选项正确．] 3．B 二、[问题情境]1．天体实际是沿椭圆轨道运动的，而我们通常情况下可以把它的运动近似处理为圆形轨道，即认为天体在做匀速圆周运动．在研究匀速圆周运动时，为了描述其运动特征，我们引进了线速度v 、角速度ω、周期T 三个物理量．2．根据环绕天体的运动状况，求解向心加速度有三种求法，即(1)a ＝v 2r ；(2)a ＝ω2r ；(3)a ＝4π2r T2.3．应用天体运动的动力学方程——万有引力充当向心力，结合圆周运动向心加速度的三种表达方式可得三种形式的方程，即(以月球绕地球运行为例)(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T ，半径为r ，根据万有引力等于向心力，即GM 地m 月r 2＝m 月r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2，可求得地球质量M 地＝4π2r 3GT 2.(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r 和月球运行的线速度v ，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得G M 地m 月r 2＝m 月v 2r. 解得地球的质量为M 地＝rv 2G.(3)若已知月球运行的线速度v 和运行周期T ，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得GM 地m 月r 2＝m 月v2πT. G M 地m 月r 2＝m 月v 2r . 以上两式消去r ，解得 M 地＝v 3T 2πG.4．从以上各式的推导过程可知，利用此法只能求出中心天体的质量，而不能求环绕天体的质量，因为环绕天体的质量同时出现在方程的两边，已被约掉．[问题延伸](1)利用天体表面的重力加速度来求天体的平均密度． 由mg ＝G Mm R 2和M ＝43πR 3ρ得：ρ＝3g4πGR其中g 为天体表面的重力加速度，R 为天体的半径． (2)利用天体的卫星来求天体的平均密度．设卫星绕天体运动的轨道半径为r ，周期为T ，天体半径为R ，则可列出方程： G Mm r 2＝m 4π2T 2r M ＝ρ·43πR 3解得ρ＝3πr3GT 2R3例1 (1) 3gR 2T 24π2 (2)2hR 2月v 20Gx2解析 (1)设月球绕地球做圆周运动的轨道半径为r ， 则有：GMm 月r 2＝m 月4π2T 2·r，对地球表面的物体，有：GMmR 2＝mg由以上两式可得：r ＝ 3gR 2T 24π2.(2)设小球从平抛到落地的时间为t ， 竖直方向：h ＝12g 月t 2水平方向：x ＝v 0t 可得：g 月＝2hv 2x2对月球表面的物体，有mg 月＝GM 月mR 2月可得：M 月＝2hR 2月v 20Gx2.例2 B [由于v ＝2πR T 可知①正确；而a ＝ω2R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R ＝4π2R T 2，则②正确；已知土星的公转周期和轨道半径，由GMm R 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R ，则M ＝4π2R3GT 2，M 应为中心天体——太阳的质量，无法求出m ——土星的质量，③错误，④正确，由此可知B 正确．]例3 A [由G M 日M 地R 2＝M 地4π2T 2R 得：M 日＝4π2R3GT2，由G M 地M 月r 2＝M 月4π2t 2r 得：M 地＝4π2r 3Gt2，可求出：M 日M 地＝R 3t2r 3T2.故A 正确．][即学即用]4．D [本题意在考查考生运用万有引力定律和牛顿第二定律解决天体运动问题的能力．对于物体，根据牛顿第二定律：G Mm R 2＝m 4π2T 2R 和ρ＝M43πR 3得：T ＝3πGρ，选项D 正确．]。
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万有引力定律单元复习学案
一、知识网络构建
万
有
引
力
与
航
天
二、典型问题分析
1.掌握两种基本思路解决天体运动问题
例1: （多选）由于阻力，人造卫星绕地球做匀速圆周运动的半径逐渐减小，则下列说法正确的是()
A．运动速度变大B．运动周期减小
C．需要的向心力变大D．向心加速度减小
练习1:已知地球和月球的半径之比为R/R0＝4，表面重力加速度之比为g/g0＝6，试求地球和月球的密度之比．
例2: （多选）地球半径为R 0，地面重力加速度为g ，若卫星在距地面R 0处做匀速圆周运动，则( )
A ．卫星速度为 220g R
B ．卫星的角速度为0
8R g C ．卫星的加速度为2g D ．卫星周期为g
R 022 练习2:如图所示，A 是地球的同步卫星，另一卫星B 的圆形轨道位于赤
道平面内，离地球表面的高度为h ，已知地球半径为R ，地球自转角速度
为ω0，地球表面的重力加速度为g ，O 为地球中心。
(1)求卫星B 的运行周期。
(2)如果卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A 、B 两卫星相距
最近(O 、A 、B 在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最
近？
2.赤道物体、同步卫星和近地卫星 转动量的比较
例3 如图所示，地球赤道上的山丘e 、近地资源卫星p 和同步卫星q 均
在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动．设e 、p 、q 的圆周运动速率分别为
v 1、v 2、v 3，向心加速度分别为a 1、a 2、a 3，则( )
A ．v 1＞v 2＞v 3
B ．v 1＜v 2＜v 3
C ．a 1＞a 2＞a 3
D ．a 1＜a 3＜a 2
练习3：（多选）地球同步卫星的轨道半径为r ，运行速度为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R ，则以下正确的是( )
A. B.
C. D. 12a r a R ＝12r R ＝v v 1
22a R a r
＝()12R r
＝v v。