1新高考数学一轮讲义：第二章 第一节 函数及其表示 含解析

第二章 函数 第一节 函数及其表示

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命题预测

(1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.

(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.

(3)了解简单的分段函数,并能简单应用.

1.考向预测:

(1)考查简单函数的定义域, (2)与实际背景结合,考查函数的表示方法与分段函数.

2.学科素养:主要考查数学抽象、数学运算的核心素养.

1.函数与映射的概念 函数

映射

两集合 A 、B

设A 、B 是两个① 非空数集 设A 、B 是两个② 非空集合

对应关系 f:A →B 按照某种确定的对应关系f,使对于集

合A 中的③ 任意 一个数x,在集合B 中都有④ 唯一确定 的数f(x)与

之对应

按某种确定的对应关系f,使对于集合A 中的⑤ 任意 一个元素x,在集合B 中都有⑥ 唯一确定 的元素y 与之对应

名称

称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数

称对应f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射 记法 y=f(x),x ∈A

对应f:A →B

2.函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域:

在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的⑦定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的⑧值域.

(2)函数的三要素:⑨定义域、值域和对应关系.

(3)相等函数:若两个函数的⑩定义域相同,且对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.

(4)函数的表示法:

表示函数的常用方法:解析法、图象法、列表法.

▶提醒判断两个函数是否相同,抓住两点:①定义域是否相同;②对应关系是否相同,其中解析式可以化简,但要注意化简过程的等价性.

3.分段函数

若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.

▶提醒一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内,各段函数的定义域不可以相交.

知识拓展

1.常见的函数的定义域

(1)分式函数中分母不等于0.

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域为R.

(4)y=a x(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.

(5)y=tan x的定义域为{x|x∈R且x≠kπ+π

2

,k∈Z}.

(6)函数f(x)=x0的定义域为{x|x∈R,且x≠0}.

2.基本初等函数的值域

(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.

(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为[4ac-b 2

4a ,+∞),当a<0时,值域为(-∞,4ac-b2

4a

].

(3)y=k

x

(k≠0)的值域是{y|y≠0}.

(4)y=a x(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).

(5)y=log a x(a>0且a≠1)的值域是R.

1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).

(1)函数y=f(x)的图象与直线x=a最多有2个交点.(✕)

(2)函数f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t是同一函数.(√)

(3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数.(✕)

(4)若A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|,则对应关系f是从A到B的映射.(✕)

(5)分段函数的定义域等于各段定义域的并集,值域等于各段值域的并集.(√)

(6)对于函数f:A→B,其值域是集合B.(✕)

2.若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是()

答案B

3.下面各组函数中为相等函数的是()

A.f(x)=√(x-1)2,g(x)=x-1

B.f(x)=x-1,g(t)=t-1

C.f(x)=√x2-1,g(x)=√x+1·√x-1

D.f(x)=x,g(x)=x 2

x

答案B

4.函数f(x)=√2x-1+1

x-2

的定义域为()

A.[0,2)

B.(2,+∞)

C.[0,2)∪(2,+∞)

D.(-∞,2)∪(2,+∞)

答案C

5.已知f(1

2

x-1)=2x-5,且f(a)=6,则a等于()

A.7

4B.-7

4

C.4

3D.-4

3

答案A

6.若函数f(x)={x2+1,x≤1,

2

x

,x>1,则f(f(3))=.

答案13

9

函数、映射概念的理解

典例1(1)给出下列四个对应:

①A=R,B=R,对应关系f:x→y,y=1

x+1

;

②A={a|1

2a∈N*},B={b|b=1

n

,n∈N*},对应关系f:a→b,b=1

a

;

③A={x|x≥0},B=R,对应关系f:x→y,y2=x,x∈A,y∈B;

④A={x|x是平面α内的矩形},B={y|y是平面α内的圆},对应关系f:每一个矩形都对应它的外接圆.

其中是从A到B的映射的为()

A.①③

B.②④

C.①④

D.③④

(2)下列函数中,与函数y=x+1是相等函数的是()

A.y=(√x+1)2

B.y=√x3

3+1

C.y=x 2

x

+1 D.y=√x2+1

答案(1)B(2)B

解析(1)对于①,当x=-1时,y的值不存在,所以①不是从A到B的映射;对于②,A,B是

两个集合,分别用列举法表述为A={2,4,6,…},B={1,1

2,1

3

,1

4

,…},由对应关系f:a→b,b=1

a

知,②是

从A到B的映射;③不是从A到B的映射,如A中的元素1对应B中两个元素±1;④是从A 到B的映射.

(2)对于A,函数y=(√x+1)2的定义域为{x|x≥-1},与函数y=x+1的定义域不同,不是相等

函数;对于B,两个函数的定义域和对应关系都相同,是相等函数;对于C,函数y=x 2

x

+1的定义域