经济数学-二阶常系数差分方程
8.6 差分方程(包括二阶)PPT课件
那么方程(1)的通解为 yx yc (x) y* .
问题归结为求方程(1)的一个特解.
首页
上页
返回
下页
结束
铃
用待定系数法求解. f(x) Pm (x) b x
其中 Pm (x) 是 m 次多项式, b 为非零常数.
设特解的形式为 y* x μQm (x)bx ,
You Know, The More Powerful You Will Be
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
（3）( yx zx ) yx zx
4 ( yt zt ) zt1yt yt zt yt1zt zt yt ;
5
yt zt
zt yt yt zt zt zt1
zt1yt yt1zt zt zt1
.
首页
上页
返回
下页
结束
铃
例1 设 yx x2 2 x 3 ，求yx 2 yx 解
§8.6 差分方程
一、基本概念 二、一阶常系数线性差分方程 三、二阶常系数线性差分方程
首页
返回
下页
结束
铃
一、基本概念
在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔 时间周期统计的。例如，银行中的定期存款是按所设定的 时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统 计，产品的产量按月统计等等。这些量是变量，通常称这 类变量为离散型变量。描述离散型变量之间的关系的数学 模型成为离散型模型。对取值是离散化的经济变量，差分 方程是研究他们之间变化规律的有效方法。 本节介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法， 与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似， 可对照微分方程的知识学习本节内容。
2阶差分公式大全
2阶差分公式大全摘要：一、引言二、2阶差分公式概述1.2阶差分的基本概念2.2阶差分公式的重要性三、常见2阶差分公式1.线性差分公式2.二次差分公式3.n阶差分公式4.差分方程四、2阶差分公式的应用1.信号处理2.系统分析3.数据分析五、总结正文：一、引言2阶差分公式作为数学领域中的一个重要知识点，广泛应用于信号处理、系统分析和数据分析等领域。
本文将对2阶差分公式进行全面介绍，包括其基本概念、常见公式及应用。
二、2阶差分公式概述1.2阶差分的基本概念2阶差分是指对一个序列x(n)与其后两个时刻的序列值进行相减，得到一个新的序列。
通常表示为Δx(n) = x(n+2) - 2x(n+1) + x(n)。
2.2阶差分公式的重要性2阶差分公式是研究2阶差分序列的基本工具，通过对2阶差分公式的分析，可以更好地理解差分序列的性质和特点，为实际应用提供理论支持。
三、常见2阶差分公式1.线性差分公式线性差分公式是指以线性函数为函数核的差分公式，如f(n) = a1x(n) + a2x(n-1) + a3x(n-2) + ...+ anx(n-k)。
2.二次差分公式二次差分公式是指以二次函数为函数核的差分公式，如g(n) = b1x(n) + b2x(n-1) + b3x(n-2) + ...+ bnx(n-k)。
3.n阶差分公式阶差分公式是指对序列x(n)与其后n个时刻的序列值进行相减得到的公式，如h(n) = x(n+n) - x(n)。
4.差分方程差分方程是一种特殊的方程，其未知数为差分序列，如i(n) = a1Δx(n) + a2Δx(n-1) + a3Δx(n-2) + ...+ anΔx(n-k)。
四、2阶差分公式的应用1.信号处理在信号处理领域，2阶差分公式常用于滤波器设计、信号调制与解调等。
例如，在数字信号处理中，可以通过线性差分公式设计数字滤波器，对信号进行平滑、锐化等处理。
2.系统分析在系统分析领域，2阶差分公式可用于描述和分析系统的动态性能。
7-13 二阶常系数线性差分方程解析
通解为
yx
x( 7 50
1 10
x)
A1 (4) x
A2
三、小结
1.二阶常系数齐次线性差分方程求通解 2.二阶常系数非齐次线性差分方程求通解
练习题
1.求下列差分方程的通解及特解． (1) yx2 4 yx1 16 yx 0,( y0 1, y1 1) (2) yx2 2 yx1 2 yx 0,( y0 2, y1 2)
的和组成：
一 项 是 该 方 程 的 一 个 特解yx， 另一项是对应的齐次差分方程的通解Yx .
即差分方程（2）的通解为y x
Yx
y
x
.
(1) f ( x) c(c为常数),即方程为 yx2 ayx1 byx c
可设
其
特解
形
式为y
x
kxs .
i)当1
a
b
练习题答案
1.(1) yx
4x ( Acos
3
x
B sin
3
x),
yx
4x ( 1 )sin
23 3
x;
(2) yx (
2)x ( Acos x B sin x),
4
4
yx (
2)x 2 cos x 1
4
§7-13 二阶常系数线性差分方程
一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 三、小结
1.定义
形如yx2 ayx1 byx f ( x)
(其中a, b 0均为常数，f ( x)为已知函数)
第八节二阶常数系数线性差分方程
比较方程两边同次幂的系数，得
6 A 1;5 A 3B 0
1 A 6
B
5 18
于是
1 2 5 y x x 6 18
* x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
从而原方程的通解为
1 2 5 yx C1 2 C2 x x 6 18
y yx kyx （K为常数），即 yx 与 x 线性无关，那么
1 2
1
1
2
Yx C1 yx C2 yx C2 是两 是方程(9-2)的通解，其中 C1 ，
2
个互相独立的任意常数。 根据特征根的三种不同情况，我们可以分别确定方程(9-2) 的通解形式。
故设非齐次方程的特解为
2 y* xQ ( x ) x ( Ax B ) Ax Bx （A,B为待定系数） x n
则
2 * 2 y* A ( x 1) B ( x 1), y A ( x 2) B( x 2) x 1 x 2
代入得
A( x 2)2 B( x 2) A( x 1)2 B( x 1) 2( Ax2 Bx) x
p Yx C1 C2 x 2
p ，此时差分方程(9-2)的通解为 2
x
（ C1 ， C2为任意常数）（9-5）
2 p （3）若 4q 0 ，即特征方程（9-3）有两个共轭的复特征
根： r1,2 1 p i 1 4q p 2 i （ ， 均为实数）
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例3 求差分方程
yx2 2 yx1 4 yx 0 的通解。
第3节 二阶常系数线性差分方程
yt 2 ayt 1 byt f (t )
对应齐次方程 yt 2 ayt 1 byt 0
(1) (2)
1.方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个解 是(1)的解； 2.方程(1)的任意两个解之差是(2)的解 . 定理2 设 yt 是方程(1)的一个特解,
yc (t ) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
t 而 0 ,于是有
a b 0
2
(3)
代数方程(3)称为差分方程(2)的特征方程, 它的根称为特征根(或特征值).
4
a b 0
2
(3)
记
a 4b ,
2
情形1 若 0 , 则特征方程(3)有两个相异的实根
a , 1, 2 2 t t 得到方程(2)的两个特解 y1 ( t ) 1 ,y2 ( t ) 2 ,
特征方程为 2 4 4 0
解得 1， 2 , 2
t 故所求通解为 yc (C1 C2t )2
9
例3 求差分方程 yt 2 yt 1 yt 0 的通解.
解 特征方程为
2 1 0
3 0 ,
故所求通解为 yc ( t ) C1 cos t C 2 si n t 3 3
于是(2)的通解为
情形2 若 0 , 则特征方程(3)有两个相等的实根 a a t 1, 2 , 只得到方程(2)的一个特解 y1 ( t ) ( ) , 2 2
a t yc ( t ) (C1 C 2 t )( ) 2
6
情形3 若 0 , 则特征方程(3)有一对共轭复根
y t yc ( t ) y t .
二阶线性常系数齐次差分方程及其应用
3.3.3
3.模型一（蛛网模型）
市场经济中的蛛网模型
在 x~y 直角坐标系画出需求曲线和供应曲线，两 条曲线相交于点 P ，称为平衡点. 一旦第 k 时 0 ( x0 , y0 ) 段的上市量 xk x0 ， 则 yk y0 ， yk 1 y0 …… xk 1 x0 ， 即以后的上市量和价格永远保持在平衡点 P . 0 但是实际上由于种种干扰使得上市量和价格不 可能保持在 P ，不妨设 x1 偏离 x0 ，利用需求曲线和供 0 应曲线分析 xk 和 yk 的变化趋势， 可发现 P 有渐进稳定 0 或不渐进稳定两种情况. 此图形模型称为蛛网模型.
3.3.3
4. 模型二（差分方程模型）
市场经济中的蛛网模型
在 (3.3.7)式中，令 xk 1 xk x ， yk y ，可求得 平衡点. 由于 α>0，β>0，所以(3.3.7)式有且仅有平衡 点 ( x0 , y0 ) ，即蛛网模型的平衡点 P . 0 由于 α>0，β>0，所以： 当 αβ<1 时，平衡点 P 渐进稳定； 0 当 αβ>1 时，平衡点 P 不稳定. 0 由于 K f ， Kg 1 ，所以差分方程模型的结 果与蛛网模型完全一致.
而供应函数 g 在 P 附近也可以用一次函数近似表示为 0
xk 1 x0 yk y0 , ( 0, k 1,2, )
, k 1, 2, yk y0 xk x0
联立(3.3.5)式与(3.3.6)式，得到差分方程组 xk 1 x0 yk y0
1,2 12 2
于是平衡点 P 渐进稳定当且仅当 αβ<2. 与之前的稳 0 定条件 αβ<1 相比，范围放大了，对经济稳定更有利.
《高等数学B》第十章 微分方程与差分方程 第8节 二阶常系数线性差分方程
bi (i 0, 1, 2, , n) 从而求得 y*x .
(2) 若 1 是特征方程的单根 , 即 1 + a + b 0 , 且 2 + a 0 , 那么 y*x是一个 n 次多项式 , 即说明 y*x 应是一个 n + 1 次多项式 , 于是令
代人原方程得
y*x a x2 ,
a( x 2)2 2a( x 1)2 ax2 8 ,
解出 a = 4 . 于是
y*x 4x2 .
2. f ( x) x Pn( x) ( 为常数且 0 , 1 )
此时 , 方程 (1) 成为
yx2 a yx1 b yx x Pn( x) (b 0) 引入变换 , 令 yx xzx , 则原方程化为
Yx
y*x
C1 ( 1) x
C2 (4) x
1 10
x
7 100
.
(C1 , C2 为任意常数)例6 求差分方程 yx2 2 yx1 yx 8的一个特解 . 解 所给差分方程对应的齐次方程的特征方程为
2 2 1 0
由于 1 是特征方程的二重根 , 于是令特解为
解 (1) 先求对应的齐次方程
yx2 yx1 6 yx 0
的通解Yx . 其特征方程为2 6 0, 特征方程的根 为1 2, 2 3. 故
Yx C1 3x C2 (2)x ;
(2) 再求原方程的一个特解 y*x , 由于f ( x) 3x (2x 1), 故令 yx 3x zx , 代人原方程得
(优选)高数第七章二阶差分方程
A1 (4) x
A2
三、小结
1.二阶常系数齐次线性差分方程求通解 2.二阶常系数非齐次线性差分方程求通解
练习题
1、 求 下 列 差 分 方 程 的 通解 及 特 解 ． (1) yx2 4 yx1 16 yx 0, ( y0 1, y1 1) (2) yx2 2 yx1 2 yx 0, ( y0 2, y1 2)
iii)当1 a b 0，且a 2时，取s 2.
分别就以上情形，将设定特解代入原方程, 可确定 其特解.
例 1 求差分方程 yx2 5 yx1 4 yx x的特解．
解 1 a b 1 5 4 10 0
可
设y
x
B0
B1 x
代入方程 B0 B1( x 2) 5B0 5B1( x 1) 4B0 4B1 x x 比较两端同次项系数有
的和组成：
一 项 是 该 方 程 的 一 个 特解yx， 另一项是对应的齐次差分方程的通解Yx .
即差分方程（2）的通解为y x
Yx
y
x
.
(1) f ( x) c(c为常数),即方程为 yx2 ayx1 byx c
可设
其
特解
形
式为y
x
kxs .
i)当1
a
b
0时，取s
0，即y
x
k,代入原方程得
a 2
)
x
(
A1
,
A2为 任 意 常 数)
(3)第三种情形 a2 4b时
方程有一对共轭的复特征根,
1
1 2
a
i
4b a2 i
2
1 2
a
i
4b a2 i
把它们化为三角表示式：
二阶差分方程
二阶差分方程1. 引言二阶差分方程是微分方程的一种特殊形式，常用于描述离散系统的动态演化过程。
与一阶差分方程相比，二阶差分方程包含了更多的信息，可以描述更为复杂的动态行为。
本文将介绍二阶差分方程的基本概念和解法，帮助读者理解和应用二阶差分方程。
2. 二阶差分方程的定义二阶差分方程是形如a n+2=f(a n,a n+1)的离散时间方程，其中a n表示第 n 个时间点的状态，f(a n,a n+1)表示根据第 n 和 n+1 个时间点的状态计算得到的第n+2 个时间点的状态。
3. 线性二阶差分方程线性二阶差分方程是指形如a n+2=c1a n+c2a n+1的二阶差分方程，其中c1和c2是常数。
线性二阶差分方程的解法可以通过特征方程来求解。
3.1 特征方程对于线性二阶差分方程a n+2=c1a n+c2a n+1，假设存在解a n=r n，带入方程得到r n+2=c1r n+c2r n+1，整理得到r2−c2r−c1=0。
这个方程称为特征方程。
3.2 解特征方程解特征方程可以得到特征根，从而可以求得线性二阶差分方程的通解。
设特征方程的两个根为r1和r2，则线性二阶差分方程的通解为a n=Ar1n+Br2n，其中 A和 B 是根据初始条件确定的常数。
3.3 示例假设我们有线性二阶差分方程a n+2=3a n+2a n+1，初始条件为a0=1，a1= 2。
我们可以先求解特征方程r2−2r−3=0，得到特征根r1=−1，r2=3。
根据初始条件，我们可以得到常数 A 和 B 的值为A=1，B=1。
因此，线性二阶差分方程的通解为a n=(−1)n+3n。
4. 非线性二阶差分方程非线性二阶差分方程是指形如a n+2=f(a n,a n+1)的二阶差分方程，其中f(a n,a n+1)是非线性函数。
非线性二阶差分方程的求解一般比线性二阶差分方程更加困难，常常需要借助数值方法进行近似求解。
5. 总结本文介绍了二阶差分方程的基本概念和解法。
考研数学重难点之二阶常系数线齐次差分方程通解分析
2018考研数学重难点之二阶常系数线齐次差分方程通解分析、
差分方程是研究离散变量及离散变量满足的方程的求解问题，从本质上讲，差分方程就是用递推关系定义一系列的方程式，通过这些方程式将后面的项用前面的项表示出来。
按照差分方程中差分的最高阶数或方程中未知项的跨度，差分方程分为一阶差分方程、二阶差分方程等，常见的差分方程是常系数线性差分方程。
在考研数学中，仅数学三的考生要求了解一阶差分方程的求解，下面本文对二阶常系数线性齐次差分方程的求解方法做些分析介绍，供有兴趣的2018考研的同学拓展思路参考。
一、二阶常系数线性差分方程
从上面的分析我们容易看出，二阶常系数线性齐次差分方程的通解与二阶常系数线性齐次微分方程的通解有很多相似或者说平行之处，比如说它们的通解都是由两个线性无关的解的线性组合构成，而要求出其通解只要求出其特征方程的根即可相应得到通解，当然，差分方程与微分方程的通解还是有些区别的，这一点希望大家注意，不要把二者完全弄混了。
经济数学-二阶常系数差分方程
2 特征根为 1 1, 2 3
1是特征方程单根，令
z x( Ax B )
1 2 A ,B 15 25
x
代入原方程，比较系数，得 1 2 2 zx x x 15 25
1 2 2 因此 y 3 ( x x) 15 25
x x
1 2 2 原方程通解为 y x C1 3 C 2 ( 2) 3 ( x x) 15 25
解 （1）对应特征方程为 特征根为 故
2 6 0
x
1 2, 2 3
x
Yx C1 3 C2 ( 2)
x （2） 令y x 3 z x
代入原方程
9 z x 2 3 z x 1 6 z x 2 x 1
对应特征方程为
9 3 6 0
则 r cos , r sin
1 r (cos i sin ), 2 r (cos i sin )
yx yx
(1)
1 r (cosx i sinx)
x
x
( 2)
2 r x (cosx i sinx)
x
都是对应齐次方程的特 解．可以证明
例 5 求差分方程 y x 2 5 y x 1 4 y x x 的特解．
解
特征根1 =-1，2 =-4. 1不是特征根
可设y B0 B1 x
代入方程 B0 B1 ( x 2) 5 B0 5 B1 ( x 1) 4 B0 4 B1 x x
比较两端同次项系数有
解
1 =-4，2 =1.
y x x( B0 B1 x)
代入方程得 :
Yx C1 ( 4) C2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例 4 求差分方程
y x 2 y x 1 2 y x 12的通解及y0 0, y1 0 的特解. 解 2 2 0
即( 2)( 1) 0 解得1 2, 2 1
Yx A1 (2) A2
x
1是特征方程根（不是重根）
y Cx 代入得 y x x 4x
二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解
二 阶 常 系 数 非 齐 次 线差 性分 方 程 的 通 解 由 两 项 的和组成： 一 项 是 该 方 程 的 一 个解 特y x ， 另 一 项 是 对 应 的 齐 次分 差方 程 的 通 解 Yx .
即差分方程（ 2）的通解为 y x Yx y .
即
( 5) 0
解得
1 2 5
x
y x (C1 C2 x )( 5)
1 x 通解：y x ( ) (C1 cos x C 2 sin x ) 3 2 2
1 y x 2 y x 0的通解 例 3：求差分方程 9 1 2 解 特征方程 0 9 i 即 1,2 3 1 于是 r , 3 2
解
即
特征方程
2 5 6 0
( 2)( 3) 0
解得
1 2, 2 3
x x
y x C1 2 C2 3
例 2：求差分方程 yx 2 10 yx 1 25 yx 0的通解
解
特征方程
2 10 25 0
2
此方程称为对应齐次方 程的特征方程 , 其根
a a 2 4b a a 2 4b 1 , 2 2 2
称为相应方程的特征根 .
现根据 a 4b的符号来确定其通解形 式.
2
(1)第一种情形 a 2 4b时
有 两 个 相 异 的 实 特 征 根 ，此时的通解具有 1与2 如下形式：
练习题答案
1.(1) y x 4 ( A cos
x
3
x B sin
3
x ),
yx 4 (
x
1 2 3
)sin
3
x;
(2) y x ( 2) ( A cos
x
4
x B sin
4
x ),
y x ( 2) 2 cos
x
4
x1
Yx C11 C22 (C1 , C2为任意常数 )
x x
(2)第二种情形 a 4b时
2
a 方 程 有 两 个 相 等 的 实征 特 根1 2 ， 此 时 2 的通解具有如下形式：
a x Yx (C1 C 2 x )( ) (C1 , C 2为 任 意 常 数 ) 2
第八节二阶常系数线性差分方程
一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解
二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解
三、小结
1.定义
形如y x 2 ayx 1 byx f ( x)
(其中a, b 0均为常数， f ( x )为已知函数 )
的差分方程，称为二阶常系数线性差分方程．
f ( x) 0时称为非齐次的，否则 称为齐次的． y x 2 ayx 1 byx 0称为相应的齐次方程．
所给方程通解为y x 4 x A1 ( 2) x A2
由y0 A1 A2 ,即A1 A2 0 y1 4 2 A1 A2 ,即2 A1 A2 4
4 4 可得A1 , A2 3 3 4 4 x ~ 故此时特解为 y x 4 x ( 2 ) 3 3
x
10 B0 7 B1 0 10 B1 1
7 1 B0 , B1 100 10
7 1 则y x 100 10
x
7 1 故通解y x x C1 ( 1) x C 2 ( 4) x 100 10
例 6 求差分方程 y x 2 3y x1 4y x x 的通解．
令y x x z x
方程化为
x 1
即
xபைடு நூலகம்2
z x 2 a
2
z x 1 b z x Pn ( x )
x x
z x 2 a z x 1 bz x Pn ( x )
由前面所讨论方法求出
z
x
从而
y z
x
x x
例 7 求差分方程 y x 2 y x 1 6 y x 3 x (2 x 1) 的通解．
7 1 y x ( x ), 50 10 又Y x C1 ( 4) x C 2 ,
x
通解为
7 1 y x x( x ) C1 ( 4) x C 2 50 10
(2) f ( x ) x Pn ( x )( 1是常量)，即方程
y x 2 ay x 1 by x x Pn ( x )
1 (1) 1 ( 2) (1) ( 2) ( y x y x )及 ( y x y x ) 2 2i 也都是特解．故可得具 有以下形式的通解：
Yx r x (C1 cosx C 2 si nx ) (C 1 , C 2 是 任 意 常 数 )
例 1： 求差分方程 yx 2 5 yx 1 6 yx 0的通解
2.解的结构定理 二阶常系数线性差分方程的通解
等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个
y Y y 特解.即 x x x.
一 、二阶常系数齐次线性差分方程的求解
设Yx x ( 0)为对应齐次方程一个解 ，代入得
x 2 a x 1 b x 0
即2 a b 0
2 a 4b时 (3)第三种情形
方程有一对共轭的复特 征根,
1 4b a 2 1 a i i 2 2 1 4b a 2 2 a i i 2 2
2 2
把它们化为三角表示式：
r ,
tan ( 0,0 )
x x x
三、小结
1.二阶常系数齐次线性差分方程求通解
2.二阶常系数非齐次线性差分方程求通解
练习题
1.求下列差分方程的通解 及特解． (1) y x 2 4 y x 1 16 y x 0, ( y0 1, y1 1) ( 2) y x 2 2 y x 1 2 y x 0, ( y0 2, y1 2)
x
(1) f ( x ) Pn ( x )
y x 2 ay x 1 by x Pn ( x )
2 可改写成： y x (2 a )y x (1 a b) y x Pn ( x )
特征方程为：
a b 0
2
i )1 a b 0， 即1不是特征方程的根时
例 5 求差分方程 y x 2 5 y x 1 4 y x x 的特解．
解
特征根1 =-1，2 =-4. 1不是特征根
可设y B0 B1 x
代入方程 B0 B1 ( x 2) 5 B0 5 B1 ( x 1) 4 B0 4 B1 x x
比较两端同次项系数有
2
2 特征根为 1 1, 2 3
1是特征方程单根，令
z x( Ax B )
1 2 A ,B 15 25
x
代入原方程，比较系数，得 1 2 2 zx x x 15 25
1 2 2 因此 y 3 ( x x) 15 25
x x
1 2 2 原方程通解为 y x C1 3 C 2 ( 2) 3 ( x x) 15 25
令y x Qn ( x )
代入方程求解
ii )1 a b 0且a 2
令y xQn ( x )
x
即1是特征方程的单根时
iii )1 a b 0且a 2 即1是特征方程的重根时
2 令y x Qn ( x ) x
将上式代入方程，比较等式两边系数，求出 Qn ( x )
解 （1）对应特征方程为 特征根为 故
2 6 0
x
1 2, 2 3
x
Yx C1 3 C2 ( 2)
x （2） 令y x 3 z x
代入原方程
9 z x 2 3 z x 1 6 z x 2 x 1
对应特征方程为
9 3 6 0
解
1 =-4，2 =1.
y x x( B0 B1 x)
代入方程得 :
Yx C1 ( 4) C2
x
B0 ( x 2) B1 ( x 2) 2 3 B0 ( x 1) 3 B1 ( x 1) 2 4 B0 x 4 B1 x 2 x
7 1 可得B0 , B1 50 10
则 r cos , r sin
1 r (cos i sin ), 2 r (cos i sin )
yx yx
(1)
1 r (cosx i sinx)
x
x
( 2)
2 r x (cosx i sinx)
x
都是对应齐次方程的特 解．可以证明