经济数学-二阶常系数差分方程

x x x
三、小结
1.二阶常系数齐次线性差分方程求通解
2.二阶常系数非齐次线性差分方程求通解
练习题
1.求下列差分方程的通解 及特解． (1) y x 2 4 y x 1 16 y x 0, ( y0 1, y1 1) ( 2) y x 2 2 y x 1 2 y x 0, ( y0 2, y1 2)
所给方程通解为y x 4 x A1 ( 2) x A2
由y0 A1 A2 ,即A1 A2 0 y1 4 2 A1 A2 ,即2 A1 A2 4
4 4 可得A1 , A2 3 3 4 4 x ~ 故此时特解为 y x 4 x ( 2 ) 3 3
1 (1) 1 ( 2) (1) ( 2) ( y x y x )及 ( y x y x ) 2 2i 也都是特解．故可得具 有以下形式的通解：
Yx r x (C1 cosx C 2 si nx ) (C 1 , C 2 是 任 意 常 数 )
例 1： 求差分方程 yx 2 5 yx 1 6 yx 0的通解
解
即
特征方程
2 5 6 0
( 2)( 3) 0
解得
1 2, 2 3
x x
y x C1 2 C2 3
例 2：求差分方程 yx 2 10 yx 1 25 yx 0的通解
解
特征方程
2 10 25 0
2
解 （1）对应特征方程为 特征根为 故
2 6 0
x
1 2, 2 3
x
Yx C1 3 C2 ( 2)
x （2） 令y x 3 z x
代入原方程
9 z x 2 3 z x 1 6 z x 2 x 1
对应特征方程为
9 3 6 0
例 4 求差分方程
y x 2 y x 1 2 y x 12的通解及y0 0, y1 0 的特解. 解 2 2 0
即( 2)( 1) 0 解得1 2, 2 1
Yx A1 (2) A2
x
1是特征方程根（不是重根）
y Cx 代入得 y x x 4x
则 r cos , r sin
1 r (cos i sin ), 2 r (cos i sin )
yx yx
(1)
1 r (cosx i sinx)
x
x
( 2)
2 r x (cosx i sinx)
x
都是对应齐次方程的特 解．可以证明
2 a 4b时 (3)第三种情形
方程有一对共轭的复特 征根,
1 4b a 2 1 a i i 2 2 1 4b a 2 2 a i i 2 2
2 2
把它们化为三角表示式：
r ,
tan ( 0,0 )
x
(1) f ( x ) Pn ( x )
y x 2 ay x 1 by x Pn ( x )
2 可改写成： y x (2 a )y x (1 a b) y x Pn ( x )
特征方程为：
a b 0
2
i )1 a b 0， 即1不是特征方程的根时
例 5 求差分方程 y x 2 5 y x 1 4 y x x 的特解．
解
特征根1 =-1，2 =-4. 1不是特征根
可设y B0 B1 x
代入方程 B0 B1 ( x 2) 5 B0 5 B1 ( x 1) 4 B0 4 B1 x x
比较两端同次项系数有
Yx C11 C22 (C1 , C2为任意常数 )
x x
(2)第二种情形 a 4b时
2
a 方 程 有 两 个 相 等 的 实征 特 根1 2 ， 此 时 2 的通解具有如下形式：
a x Yx (C1 C 2 x )( ) (C1 , C 2为 任 意 常 数 ) 2
二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解
二 阶 常 系 数 非 齐 次 线差 性分 方 程 的 通 解 由 两 项 的和组成： 一 项 是 该 方 程 的 一 个解 特y x ， 另 一 项 是 对 应 的 齐 次分 差方 程 的 通 解 Yx .

即差分方程（ 2）的通解为 y x Yx y .
此方程称为对应齐次方 程的特征方程 , 其根
a a 2 4b a a 2 4b 1 , 2 2 2
称为相应方程的特征根 .
现根据 a 4b的符号来确定其通解形 式.
2
(1)第一种情形 a 2 4b时
有 两 个 相 异 的 实 特 征 根 ，此时的通解具有 1与2 如下形式：
第八节二阶常系数线性差分方程
一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解
二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解
三、小结
1.定义
形如y x 2 ayx 1 byx f ( x)
(其中a, b 0均为常数， f ( x )为已知函数 )
的差分方程，称为二阶常系数线性差分方程．
f ( x) 0时称为非齐次的，否则 称为齐次的． y x 2 ayx 1 byx 0称为相应的齐次方程．
7 1 y x ( x ), 50 10 又Y x C1 ( 4) x C 2 ,
x
通解为
7 1 y x x( x ) C1 ( 4) x C 2 50 10
(2) f ( x ) x Pn ( x )( 1是常量)，即方程
y x 2 ay x 1 by x x Pn ( x )
2
2 特征根为 1 1, 2 3
1是特征方程单根，令
z x( Ax B )
1 2 A ,B 15 25
x
代入原方程，比较系数，得 1 2 2 zx x x 15 25
1 2 2 因此 y 3 ( x x) 15 25
x x
1 2 2 原方程通解为 y x C1 3 C 2 ( 2) 3 ( x x) 15 25
令y x x z x
方程化为
x 1

即
xBiblioteka Baidu2
z x 2 a
2
z x 1 b z x Pn ( x )
x x
z x 2 a z x 1 bz x Pn ( x )
由前面所讨论方法求出
z
x
从而
y z
x
x x
例 7 求差分方程 y x 2 y x 1 6 y x 3 x (2 x 1) 的通解．
练习题答案
1.(1) y x 4 ( A cos
x

3
x B sin

3
x ),
yx 4 (
x
1 2 3
)sin

3
x;
(2) y x ( 2) ( A cos
x

4
x B sin

4
x ),
y x ( 2) 2 cos
x

4
x1
解
1 =-4，2 =1.
y x x( B0 B1 x)
代入方程得 :
Yx C1 ( 4) C2
x
B0 ( x 2) B1 ( x 2) 2 3 B0 ( x 1) 3 B1 ( x 1) 2 4 B0 x 4 B1 x 2 x
7 1 可得B0 , B1 50 10
x
10 B0 7 B1 0 10 B1 1
7 1 B0 , B1 100 10
7 1 则y x 100 10
x
7 1 故通解y x x C1 ( 1) x C 2 ( 4) x 100 10
例 6 求差分方程 y x 2 3y x1 4y x x 的通解．
即
( 5) 0
解得
1 2 5
x
y x (C1 C2 x )( 5)
1 x 通解：y x ( ) (C1 cos x C 2 sin x ) 3 2 2
1 y x 2 y x 0的通解 例 3：求差分方程 9 1 2 解 特征方程 0 9 i 即 1,2 3 1 于是 r , 3 2
2.解的结构定理 二阶常系数线性差分方程的通解
等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个
y Y y 特解.即 x x x.
一 、二阶常系数齐次线性差分方程的求解
设Yx x ( 0)为对应齐次方程一个解 ，代入得
x 2 a x 1 b x 0
即2 a b 0
令y x Qn ( x )
代入方程求解
ii )1 a b 0且a 2
令y xQn ( x )
x
即1是特征方程的单根时
iii )1 a b 0且a 2 即1是特征方程的重根时
2 令y x Qn ( x ) x
将上式代入方程，比较等式两边系数，求出 Qn ( x )