计量经济学讲义第二讲(共十讲)

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第二讲普通最小二乘估计量一、基本概念：估计量与估计值

对总体参数的一种估计法则就是估计量。例如，为了估计总体均值为u ，我们可以抽取一个容量为N 的样本，令Y i 为第i 次观测值，则u 的一个很自然的

估计量就是ˆi

Y u

Y N

==∑。A 、B 两同学都利用了这种

估计方法，但手中所掌握的样本分别是12(,,...,)A A A

N y y y 与12(,,...,)B B B N y y y 。A 、B 两同学分别计算出估计值

ˆA

i

A y u

N

=∑

与ˆB

i

B y u

N

=∑

。因此，在上例中，估计量ˆu

是随机的，而ˆˆ,A B u u 是该随机变量可能的取值。估计量

所服从的分布称为抽样分布。

如果真实模型是：01y x ββε=++，其中01,ββ是待估计的参数，而相应的OLS 估计量就是：

1

01

2

()ˆˆˆ;()

i

x x y

y x x x βββ-==--∑∑ 我们现在的任务就是，基于一些重要的假定，来考察上述OLS 估计量所具有的一些性质。

二、高斯-马尔科夫假定

●假定一：真实模型是：01y x ββε=++。有三种

情况属于对该假定的违背：（1）遗漏了相关的解释变量或者增加了无关的解释变量；（2）y 与x 间的关系是非线性的；（3）01,ββ并不是常数。

●假定二：在重复抽样中，12(,,...,)N x x x 被预先固定

下来，即12(,,...,)N x x x 是非随机的（进一步的阐释见附录），显然，如果解释变量含有随机的测量误差，那么该假定被违背。还存其他的违背该假定的情况。

笔记：

12(,,...,)N x x x 是随机的情况更一般化，此时，高斯-马尔科夫假定二被更改为：对任意,i j ,i x 与j ε不相关，此即所谓的解释变量具有严格外生性。显然，当12(,,...,)N x x x 非随机时，i x 与j ε必定不相关，这是因为j ε是随机的。

●假定三：误差项期望值为0，即

()0,1,2i E i N ε==。

笔记：

1、当12(,,...,)N x x x 随机时，标准假定是：

12(,,...,)0,1,2,...,i N E x x x i N ε==

根据迭代期望定律有：12[(,,...,)]()i N i E E x x x E εε=,因

此，如果12(,,...,)0i N E x x x ε=成立，必定有：()0i E ε=。

另外，根据迭代期望定律也有：

12[(,,...,)]()i N j i j E E x x x E x x εε=

而1212(,,...,)(,,...,)i N i N j j E x x x E x x x x x εε=。故有：12()0

(,,...,)0()0

()()()0

(,)i N i i j i j i j i j E E x x x E E E E x C ov x x x εεεεεε==⇒=-=⎧⎨

⎩⇒=

因此，在12(,,...,)N x x x 是随机的情况下，假定二、三可以

修正为一个假定：12(,,...,)0i N E x x x ε=。

2、所谓迭代期望定律是指：如果信息集Θ⊆Ω，则有

][()()E E X E X ΩΘ=

Θ。为了理解上述等式，考虑一个极端

情况：Ω包含了全部的信息，此时X 丧失了随机性，故

()

E X

X Ω=，因此必有][()()E E X E X ΩΘ=Θ。无条件期

望所对应的信息集是空集，因此[()]()E E X E X Ω=。

3、回忆第一讲，对模型01y x ββε=++，在OLS 法下

我们一定能保证:(1)残差均值为零;(2)残差与x 样本不相关。残差是对误差的近似，如果假定二、三不成立，即误差项与解释变量相关，误差项期望值不为零，显然此时残差并不是对误差项的有效的近似，换句话说，此时OLS 估计量是有严重问题的。因此，假定二、三非常重要。

●假定四：22i

εδδ=，即所谓的同方差假定。

笔记：

在12(,,...,)N x x x 是随机的情况下，该假定修订为：

122

Var(,,...,)i N x x x εδ=

●假定五：(,)0,i j C ov i j εε=≠，即所谓的序列不