八年级数学上册全等三角形测试题及答案
2024年八年级数学上册《全等三角形》及答案解析
第十二章全等三角形(单元重点综合测试)班级_________姓名________学号__________分数__________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.下列说法中，正确的有()①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若△ABC≌△DEF，则∠A=∠D．A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列各组图形中，是全等形的是()A. B.C. D.3.如图，点B在线段AD上，△ABC≌△EBD，AB=2cm，BD=5cm，则CE的长度为()A.2cmB.2.5cmC.3cmD.5cm4.小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使AB⊥BC，CD⊥BC，BO=OC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是()A.SSSB.ASAC.SASD.HL5.如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，AC∥DF，AC=DF，能判定△ABC≌△DEF的是()A.BC=DEB.AE=DBC.∠A=∠DEFD.∠ABC=∠D6.如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA=OB，则图中全等三角形有()A.1对B.2对C.3对D.4对7.现要在一块三角形形状的草坪上安装一个洒水龙头，要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，洒水龙头的位置应选在( )处A.三角形三边的垂直平分线的交点B.三角形的三条角平分线的交点C.三角形的三条高所在直线的交点D.三角形的三条中线的交点8.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，S△ABC=30,DE=4,BC=10，则AC的长是()A.5B.6C.7D.89.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF，给出下列五个结论：①DE=DF；②BC=2DB；③AD⊥BC；④AB=3BF；⑤S△ADB=2S△BDF；其中正确的结论共有()A.4个B.3个C.2个D.1个10.新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，a∥b∥c，相邻两条平行线间的距离为m，等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC=90°，则△ABC的面积为()A.5m2 B.2m2 C.5m2 D.4m22二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11.如图，AD=AB，∠C=∠E，∠CDE=50°，则∠ABE=．12.如图，四边形ABCD≌四边形A B C D ．若∠B=90°，∠C=60°，∠D =105°，则∠A的大小为度．13.如图，D，E是边BC上的两点，BD=CE，∠ADB=∠AEC，现要直接用“AAS”定理来证明△ABD≌△ACE，请你再添加一个条件：．14.已知△ABC面积为24，将△ABC沿BC的方向平移到△A B C 的位置，使B 和C重合，连接AC 交A C于D，则△C DC的面积为．15.如图，△ABC中∠A=66°，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，则∠BMN的度数是．16.如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB=15cm，AC=6cm．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED=CB．若点E的运动时间为t秒t>0，则当t=秒时，△DEB与△BCA全等．三、(本大题共4小题，每小题6分，共24分)17.已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：BC=ED．18.如图，已知AB∥CD，AB=CD．(1)求证：△ABC≌△CDA；(2)判断BC与AD的位置关系，并说明理由．19.如图，已知AB=CD，AD=BC，O为AC的中点，过O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE=OF．(1)图中共有几对全等三角形？请把它们都写出来；(2)求证：∠MAE=∠NCF．20.如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B(1)求证：△ABC≌△CDE(2)若∠A=55°,求∠BCD的度数．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)21.如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=106°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=53°．(1)求∠ACE的度数；(2)求证：AE平分∠CAF；(3)若AC+CD=16，AB=10，且S△ACD=24，则△ABE的面积．22.问题提出：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD与∠BCD互补，∠B与∠D互补，AB=AD，∠BAD=x°0<x<180，∠ACB=y°，数学兴趣小组在探究y与x的数量关系时，经历了如下过程：实验操作：(1)数学兴趣小组通过电脑软件“几何画板”进行探究，测量出部分结果如下表所示：x⋯304050607080β130y757065α555040θ这里α=，β=，θ=．猜想证明：(2)根据表格，猜想：y与x之间的关系式为；数学兴趣小组发现证明此猜想的一种方法：如图2，延长CB到E，使BE=DC，连接AE，⋯，请你根据其思路将证明过程补充完整，并验证(1)中结论的正确性．应用拓广：(3)如图3，若x+y=135，AC=10，求四边形ABCD的面积．23.(1)【问题解决】如图①，∠AOB=∠DFE=90°，OC平分∠AOB，点F在OC上，∠DFE的两边分别与OA，OB交于点D，E．当FE⊥OB，FD⊥OA时，则FD与FE的数量关系为；(2)【问题探究】如图②，在(1)的条件下，过点F作两条相互垂直的射线FM，FN，分别交OA，OB于点M，N，判断FM与FN的数量关系，说明理由；(3)【迁移应用】某学校有一块四边形的空地ABCD，如图③所示，∠DAB=∠DCB=90°，AC是∠DAB的平分线，AB= 50m，AD=30m，直接写出该空地的面积．五、(本大题共2小题，每小题12分，共24分)24.综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在OA、OB上分别取点C、E、D、F，使得OC=OD，OE=OF，连接CF、DE，交点为P，则射线OP为∠AOB的角平分线．【验证】(1)试说明OP平分∠AOB，且PE=PF；【应用】(2)如题图2，若C、E、D、F分别为OA、OB上的点，且OC=OD，CF⊥OA，DE⊥OB，试用(1)中的原理说明OP平分∠AOB；【猜想】(3)如题图3，P是∠AOB角平分线上一点，C、D分别为OA、OB上的点，且PC=PD，请补全图形，并直接写出∠PCO与∠PDO的数量关系．25.【模型呈现】(1)如图1，∠BAD=90°，AB=AD，BC⊥CA于点C，DE⊥AE于点E．求证：BC=AE．【模型应用】(2)如图2，EA⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形ABCDE的面积．【深入探究】(3)如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC、DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．①求证DG=GE；②若BC=21，AF=12，求△ADG的面积．第十二章全等三角形(单元重点综合测试)班级_________姓名________学号__________分数__________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.下列说法中，正确的有()①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若△ABC≌△DEF，则∠A=∠D．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】根据全等形的定义，全等三角形的判定与性质，即可判断．【详解】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形，即形状和大小相同的两个图形是全等形，故①②说法错误；全等三角形能够完全重合，所以全等三角形的周长相等，面积相等，故③说法正确；若△ABC≌△DEF，∠A的对应角为∠D，所以∠A=∠D，故④说法正确；说法正确的有③④，共2个．故选：B．【点睛】本题考查全等形，理解能够完全重合的两个图形叫做全等形是解题关键．2.下列各组图形中，是全等形的是()A. B.C. D.【答案】B【分析】本题考查全等形，掌握能完全重合的两个图形是全等形是解题的关键．【详解】观察发现：A，C，D选项中两个图形不能完全重合，不是全等形；B选项中两个图形能完全重合，是全等形，故选B．3.如图，点B在线段AD上，△ABC≌△EBD，AB=2cm，BD=5cm，则CE的长度为()A.2cmB.2.5cmC.3cmD.5cm【答案】C【分析】此题考查了全等三角形的性质，解题的关键熟练掌握性质的应用．根据全等三角形的对应边相等，再利用线段和差即可求解．【详解】∵△ABC≌△EBD，∴BE=AB=2cm，BC=BD=5cm，∴CE=BC-BE=3cm，故选：C．4.小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使AB⊥BC，CD⊥BC，BO=OC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是()A.SSSB.ASAC.SASD.HL【答案】B【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．直接利用全等三角形的判定方法即可得出答案．【详解】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABO=∠DCO=90°，在△ABO和△DCO中，∠ABO=∠DCOBO=OC=CO∠BOA=∠COD，∴△ABO≌△DCO ASA∴证明△ABO≌△DCO的依据的是ASA，故选：B．5.如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，AC∥DF，AC=DF，能判定△ABC≌△DEF的是()A.BC=DEB.AE=DBC.∠A=∠DEFD.∠ABC=∠D【答案】B【分析】本题考查三角形全等的判定，先根据平行线的性质得到∠A=∠D，加上AC=DF，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断即可，掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，HL是解题的关键．【详解】解：∵AC∥DF，∴∠A=∠D，∵AC=DF，A、添加BC=DE，不能判定△ABC≌△DEF；B、添加AE=DB，能判定△ABC≌△DEF；C、添加∠A=∠DEF，不能判定△ABC≌△DEF；D、添加∠ABC=∠D，不能判定△ABC≌△DEF；故选：B．6.如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA=OB，则图中全等三角形有()A.1对B.2对C.3对D.4对【答案】C【分析】本题主要考查三角形全等的判定定理，角平分线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方程是解题的关键．根据全等三角形的判定分别证明△AOP≌△BOP(SAS)，Rt△P AE≌Rt△PBF HL，△OEP≌△OFP (AAS)，即可得到答案．【详解】解：∵OP平分∠MON，∴∠AOP=∠BOP，∵OA=OB，OP=OP，∴△AOP≌△BOP(SAS)；∴AP=BP，∵OP平分∠MON，PE⊥OM,PF⊥ON∴PE=PF，∵PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，∴Rt△P AE≌Rt△PBF HL；∵OP平分∠MON，∴∠AOP=∠BOP，又∵∠OEP=∠OFP=90°,OP=OP，∴△OEP≌△OFP(AAS)．∴图中全等三角形有3对故选C．7.现要在一块三角形形状的草坪上安装一个洒水龙头，要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，洒水龙头的位置应选在( )处A.三角形三边的垂直平分线的交点B.三角形的三条角平分线的交点C.三角形的三条高所在直线的交点D.三角形的三条中线的交点【答案】B【分析】本题考查的是三角形的角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．【详解】解：要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，则洒水龙头的位置应选在三角形三条角平分线的交点，故选：B8.如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC 于点E ，S △ABC =30,DE =4,BC =10，则AC 的长是()A.5B.6C.7D.8【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理．过点D 作DF ⊥AC 于点F ，根据角平分线的性质可得DE =DF =4，再由S △ABC =S △DBC +S △DAC ，即可求解．【详解】解：如图，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，DE =4，∴DE =DF =4，∵S △ABC =S △DBC +S △DAC ，S △ABC =30，BC =10，∴30=12DE ×BC +12DF ×AC ，∴30=12×4×10+12×4×AC ，∴AC =5，故选：A ．9.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，BF ∥AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分∠ABF ，AE =2BF ，给出下列五个结论：①DE =DF ；②BC =2DB ；③AD ⊥BC ；④AB =3BF ；⑤S △ADB =2S △BDF ；其中正确的结论共有()A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，由角平分线的性质和平行线的性质可证∠ACB=∠ABC，可得AC=AB，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，CD= BD，由“ASA”可证△CDE≌△BDF，可得S△CDE=S△BDF，CE=BF，DE=DF，即可求解．【详解】解：∵BC恰好平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∵BF∥AC，∴∠ACB=∠CBF，∴∠ACB=∠ABC，∴AC=AB，且AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，BC=2DB，故②，③正确，符合题意；在△CDE和△BDF中，∠ACB=∠CBF CD=BD∠CDE=∠BDF，∴△CDE≌△BDF ASA，∴S△CDE=S△BDF，CE=BF，DE=DF，故①正确，符合题意；∵AE=2BF，∴AC=3BF=AB，故④正确，符合题意；∵BD=CD，∴S△ADB=S△ACD，∵AE=2BF，∴S△ADB=S△ACD=3S△CDE=3S△BDF，故⑤错误，不符合题意；故选：A．10.新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，a∥b∥c，相邻两条平行线间的距离为m，等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC=90°，则△ABC的面积为()A.52m2 B.2m2 C.5m2 D.4m2【答案】A【分析】本题主要考查平行线间的距离，全等三角形的判定与性质，过点B作BE⊥直线a于点E，延长EB交直线c于点F，过点C作CD⊥直线a于点D，证明△CDA≌△AEB(AAS)，得出AE=CD=2m,AD=BE=m，CF=DE=AD+AE=m+2m=3m，再根据=S四边形DEFE-S△ACD×2-S△BCF求解即可【详解】解：过点B作BE⊥直线a于点E，延长EB交直线c于点F，过点C作CD⊥直线a于点D，则∠CDA=∠AEB=90°，如图，∵a∥b∥c，相邻两条平行线间的距离为m，∴BF⊥直线c，CD=2m,BE=BF=m,∵∠CAB=90°,∠CDA=90°∴∠DCA+∠DAC=90°，∴∠DCA=∠EAB，在△CDA和△AEB中，∠DCA=∠EAB∠CDA=∠AEBAC=AB，∴△CDA≌△AEB(AAS)，∴AE=CD=2m,AD=BE=m，∴CF=DE=AD+AE=m+2m=3m∴△ABC的面积=S四边形DEFE -S△ACD×2-S△BCF=3m×2m-12×2m×m×2-12×3m×m=52m2故选：A二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11.如图，AD=AB，∠C=∠E，∠CDE=50°，则∠ABE=．【答案】130°/130度【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，邻补角的定义，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．证明△ADC≌△ABE AAS得出∠ADC=∠ABE，根据邻补角即可求解．【详解】解：∵在△ADC和△ABE中，∠C=∠E∠A=∠AAD=AB，∴△ADC≌△ABE AAS，∴∠ADC=∠ABE，∵∠CDE=50°，∴∠ADC=180°-50°=130°，∴∠ABE=130°．故答案为：130°．12.如图，四边形ABCD≌四边形A B C D ．若∠B=90°，∠C=60°，∠D =105°，则∠A的大小为度．【答案】105【分析】本题考查了全等图形的性质和四边形内角和公式，解题的关键在于熟练掌握全等图形的性质．根据全等的性质求出∠D=∠D ，利用四边形的内角和公式求出∠A的度数即可．【详解】解：∵四边形ABCD≌四边形A B C D ．∴∠D=∠D ，∵∠D =105°，∴∠D=105°，∵∠B=90°,∠C=60°，∴∠A=360°-90°-60°-105°=105°，故答案为：105．13.如图，D，E是边BC上的两点，BD=CE，∠ADB=∠AEC，现要直接用“AAS”定理来证明△ABD≌△ACE，请你再添加一个条件：．【答案】∠BAD=∠CAE【分析】在△ABE与△ACD中，已知AE=AD，∠AED=∠ADE，即已知一角及角的一边对应相等，根据“AAS”的判定方法，可以添加已知边的对角对应相等即可．本题考查了全等三角形的判定定理：AAS：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．【详解】解：可添加一个条件：∠BAD=∠CAE，使△ABD≌△ACE．理由：在△ABD与△ACE中，∠BAD=∠CAE∠AED=∠ADEBD=CE，∴△ABD≌△ACE(AAS)．故答案为∠BAD=∠CAE14.已知△ABC面积为24，将△ABC沿BC的方向平移到△A B C 的位置，使B 和C重合，连接AC 交A C于D，则△C DC的面积为．【答案】12【分析】根据平移的性质可得AC=A C ，BC=B C ，AC∥A C ，证明△ADC≌△C DA ，得到AD=C D，则S△C DC =12S△ACC，再推出S△ABC=S△ACC=24，则S△C DC=12S△ACC=12．【详解】解：由平移的性质可得AC=A C ，BC=B C ，AC∥A C ，∴∠DCA=∠DA C ，∠DAC=∠DC A ，∴△ADC≌△C DA ASA，∴AD=C D，∴S△C DC =12S△ACC，∵BC=CC ，△ABC的面积为24，∴S△ABC=S△ACC=24，∴S△C DC =12S△ACC=12．故答案为：12．【点睛】本题主要考查了平移的基本性质，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，熟知平移的性质是解题的关键：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．15.如图，△ABC中∠A=66°，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，则∠BMN的度数是．【答案】52°/52度【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理．过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得NE=NG=NF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出MN平分∠BMC，然后根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB,再根据角的三等分求出∠MBC+∠MCB的度数，然后利用三角形内角和定理求出∠BMC的度数，从而得解．【详解】解：如图，过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，∵点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，∴BN平分∠MBC，CN平分∠MCB，∴NE=NG,NF=NG，∴NE=NF，∴MN平分∠BMC，∴∠BMN=12∠BMC，∵∠A=66°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-66°=114°，∴∠MBC+∠MCB=23∠ABC+∠ACB=76°，在△BMC中，∠BMC=180°-∠MBC+∠MCB=180°-76°=104°∴∠BMN=12∠BMC=52°．故答案为：52°．16.如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB=15cm，AC=6cm．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED=CB．若点E的运动时间为t秒t>0，则当t=秒时，△DEB与△BCA全等．【答案】3或7或10【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是要分情况讨论．分情况，当E在线段AB上，或当E在线段AB延长线上，由HL即可求解．【详解】解：∵CA⊥AB，BM⊥AB，∠CAB=∠DBE=90°，∵ED=CB，当E在线段AB上时，若BE=AC，∴Rt△DEB≌Rt△BCA(HL)，∵AE=3tcm，∴BE=AB-AE=15-3tcm，∴15-3t=6，∴t=3；若BE=AB，∴Rt△DEB≌Rt△CBA(HL)，∴AE=0，∴t=0(舍去)，当E在线段AB延长线上时，若BE=AC，∴Rt△DEB≌Rt△BCA(HL)，∵AE=3t=AB+BE=15+6=21(cm)，∴t=7，若BE=AB，∴Rt△DEB≌Rt△CBA(HL)，∵AE=3t=AB+BE=15+15=30(cm)，∴t=10，∴当t=3或7或10秒时，△DEB与△BCA全等．故答案为：3或7或10．三、(本大题共4小题，每小题6分，共24分)17.已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：BC=ED．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由∠1=∠2可得∠EAD=∠BAC，再根据条件AB=AE，∠C=∠D，可利用AAS证明△ABC≌△AED AAS，再根据全等三角形对应边相等即可得出结论．【详解】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即∠EAD=∠BAC，在△EAD和△BAC中，∠C=∠D∠BAC=∠EADAB=AE，∴△ABC≌△AED AAS，∴BC=ED．18.如图，已知AB∥CD，AB=CD．(1)求证：△ABC≌△CDA；(2)判断BC与AD的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)BC∥AD，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABC≌△CDA．(1)利用SAS证明△ABC≌△CDA即可；(2)由△ABC≌△CDA，得∠BCA=∠CAD，进而可以判断BC与AD的位置关系．【详解】(1)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，在△ABC与△CDA中，AB=CD∠BAC=∠ACDAC=CA，∴△ABC≌△CDA SAS；(2)解：BC∥AD，理由如下：∵△ABC≌△CDA，∴∠BCA=∠CAD，∴BC∥AD．19.如图，已知AB=CD，AD=BC，O为AC的中点，过O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE=OF．(1)图中共有几对全等三角形？请把它们都写出来；(2)求证：∠MAE=∠NCF．【答案】(1)4；△ABC≌△CDA，△AMO≌△CNO，△OAE≌△OCF，△AME≌△CNF(2)证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，找出判定三角形全等的条件是解题的关键．(1)结合已知条件，再根据全等三角形的四个判定方法，即可找出所有的全等三角形；(2)先证明△AME≌△CNF SSS，即可证明∠MAE=∠NCF．【详解】(1)解：有4对全等三角形，分别为：△ABC≌△CDA，△AMO≌△CNO，△OAE≌△OCF，△AME≌△CNF，理由如下：∵AB=CD，BC=AD=DA，AC=CA，∴△ABC≌△CDA SSS，∴∠BAC=∠DCA，即∠MAO=∠NCO，∵O为AC的中点，∴OA=OC，又∵∠AOM=∠CON，∴△AMO≌△CNO ASA，∴AM=CN，OM=ON，∵OA=OC，∠AOE=∠COF，OE=OF，∴△OAE≌△OCF SAS，∴AE=CF，∵OE=OF，OM=ON，∴OE-OM=OF-ON，即ME=NF，又∵AM=CN，∴△AME≌△CNF SSS；(2)证明：∵AB=CD，BC=AD=DA，AC=CA，∴△ABC≌△CDA SSS，∴∠BAC=∠DCA，即∠MAO=∠NCO，∵O为AC的中点，∴OA=OC，又∵∠AOM=∠CON，∴△AMO≌△CNO ASA，∴AM=CN，OM=ON，∵OA=OC，∠AOE=∠COF，OE=OF，∴△OAE≌△OCF SAS，∴AE=CF，∵OE=OF，OM=ON，∴OE-OM=OF-ON，即ME=NF，又∵AM=CN，∴△AME≌△CNF SSS，∴∠MAE=∠NCF．20.如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B(1)求证：△ABC≌△CDE(2)若∠A=55°,求∠BCD的度数．【答案】(1)详见解析(2)125°【分析】本题考查了平行线性质和全等三角形的性质和判定的应用，证得△ABC≌△CDE是解题的关键．(1)根据平行线求出∠ACD=∠CDE，∠ACB=∠CED，再说明∠B=∠CDE，最后结合AC=CE运用AAS即可证明结论；(2)根据全等三角形性质得出∠A=∠E=55°，进而根据平角定义即可解答．【详解】(1)证明∶∵AC∥DE，∴∠ACD=∠CDE，∠ACB=∠CED，∵∠ACD=∠B，∴∠B=∠CDE，∵AC=CE，∴△ABC≌△CDE AAS．(2)解：∵∠A=55°，∵△ABC≌△CDE，∴∠A=∠ECD=55°，∴∠BCD=180°-∠ECD=180°-55°=125°．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)21.如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=106°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=53°．(1)求∠ACE的度数；(2)求证：AE平分∠CAF；(3)若AC+CD=16，AB=10，且S△ACD=24，则△ABE的面积．【答案】(1)∠ACE=37°(2)证明见解析(3)15【分析】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的性质与判定定理、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．(1)根据邻补角的定义和垂直的定义可得∠ACD=74°、∠CHE=90°，进而得到∠ECH=37°，然后根据∠ACE=∠ACD-∠ECH即可解答；(2)如图：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得EM=EH、CE平分∠ACD、EN=EH，最后根据角平分线的判定定理即可解答；(3)根据S△ACD=S△ACE+S△CED结合已知条件可得EM=3，最后运用三角形的面积公式即可解答．【详解】(1)解：∵∠ACB=106°，∴∠ACD=180°-106°=74°，∵EH⊥BD，∴∠CHE=90°，∵∠CEH=53°，∴∠ECH=90°-53°=37°，∴∠ACE=∠ACD-∠ECH=74°-37°=37°．(2)证明：如图：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，∵BE平分∠ABC，∴EM=EH，∵∠ACE =∠ECH =37°，∴CE 平分∠ACD ，∴EN =EH ，∴EM =EN ，∴AE 平分∠CAF ．(3)解：∵AC +CD =16，S △ACD =24，EM =EN =EH ，∴S △ACD =S △ACE +S △CED =12AC ⋅EN +12CD ⋅EH =12(AC +CD )⋅EM =24，即12×16⋅EM =24，解得EM =3，∵AB =10，∴S △ABE =12AB ⋅EM =15．22.问题提出：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD 与∠BCD 互补，∠B 与∠D 互补，AB =AD ，∠BAD =x °0<x <180 ，∠ACB =y °，数学兴趣小组在探究y 与x 的数量关系时，经历了如下过程：实验操作：(1)数学兴趣小组通过电脑软件“几何画板”进行探究，测量出部分结果如下表所示：x⋯304050607080β130y 757065α555040θ这里α=，β=，θ=．猜想证明：(2)根据表格，猜想：y 与x 之间的关系式为；数学兴趣小组发现证明此猜想的一种方法：如图2，延长CB 到E ，使BE =DC ，连接AE ，⋯，请你根据其思路将证明过程补充完整，并验证(1)中结论的正确性．应用拓广：(3)如图3，若x +y =135，AC =10，求四边形ABCD 的面积．【答案】(1)60，100，15；(2)y =90-12x ，理由见详解；(3)S 四边形ABCD =50【分析】(1)观察表格发现：x 每增加10，y 减小5，由此即可得出α、β、θ的值．(2)根据表格猜想：y =90-12x ．延长CB 到E ，使BE =DC ，连接AE ，则可得△ABE ≌△ADE ，进而可得AE =AC ，∠EAB =∠CAD ，则可得∠EAC =x °．在△AEC 中，根据三角形内角和定理即可得出y 于x 之间的关系式．(3)延长CB 到E ，使BE =DC ，连接AE ．由(2)得△ABE ≌△ADE ，则S △ABE =S △ADE ，进而可得S 四边形ABCD =S △AEC ．由x +y =135，y =90-12x 可得x =90，y =45．则可得∠EAC =90°，∠AEC =∠ACE =45°，进而可得AE =AC =10，可得S △AEC 的值，即可得S 四边形ABCD 的值．【详解】(1)观察表格发现：x每增加10，y减小5，∴α=65-5=60，β=80+2×10=100，θ=40-3×5=15．故答案为：60，100，15，x．(2)根据表格猜想：y=90-12证明：如图2，延长CB到E，使BE=DC，连接AE，则∠ABC+∠ABE=180°，又∵∠ABC+∠D=180°，∴∠ABE=∠D，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴AE=AC，∠EAB=∠CAD，∴∠E=∠ACB=y°，∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠CAD+∠BAC=∠BAD=x°．在△AEC中，∠EAC+∠E+∠ACE=180°，∴x°+2y°=180°，y=90-1x．2(3)如图，延长CB到E，使BE=DC，连接AE．由(2)得△ABE≌△ADE，∴S△ABE=S△ADE，=S△ACD+S△ABC=S△ABE+S△ABC=S△AEC，∴S四边形ABCD∵x+y=135，y=90-1x，2x=135，∴x+90-12解得x=90，y=45，∴∠EAC=90°，∠AEC=∠ACE=45°，∴AE=AC=10，×10×10=50，∴S△AEC=12∴S=50．四边形ABCD【点睛】本题考查了数字类探索规律问题，以及全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．熟练掌握以上知识，证明出y与x之间的关系式是解题的关键．23.(1)【问题解决】如图①，∠AOB =∠DFE =90°，OC 平分∠AOB ，点F 在OC 上，∠DFE 的两边分别与OA ，OB 交于点D ，E ．当FE ⊥OB ，FD ⊥OA 时，则FD 与FE 的数量关系为；(2)【问题探究】如图②，在(1)的条件下，过点F 作两条相互垂直的射线FM ，FN ，分别交OA ，OB 于点M ，N ，判断FM 与FN 的数量关系，说明理由；(3)【迁移应用】某学校有一块四边形的空地ABCD ，如图③所示，∠DAB =∠DCB =90°，AC 是∠DAB 的平分线，AB =50m ，AD =30m ，直接写出该空地的面积．【答案】(1)FD =FE ；(2)FM =FN ，理由见详解；(3)1600m 2【分析】(1)根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得FD =FE ；(2)先根据四边形内角和等于360°可得∠DFE =90°，由∠DFE =∠FMN =90°可得∠DFM =∠EFN ，再根据ASA 证明△DFM ≌△EFN ，则可得FM =FN ；(3)过C 点作CE ⊥AB 于E 点，CF ⊥AD 的延长线于F 点．由(2)得△CFD ≌△CEB ，则可得FD =EB ，S △CFD =S △CEB ，进而可得S 四边形ABCD =S 四边形AECF ．证明△ACF ≌△ACE (，则可得AF =AE ，由AE =AB -BE 、AF =AD +DF 可求得BE 的长，进而可得AF 、AE 的长，由此可得S 四边形AECF 的值，即可得S 四边形ABCD 的值．【详解】(1)解：∵OC 平分∠AOB ，点F 在OC 上，且FE ⊥OB ，FD ⊥OA ，∴FD =FE ．(2)解：FD =FE ，理由如下：∵FD ⊥OA ，FE ⊥OB ，∴∠FDO =∠FEO =∠FEN =90°，∵四边形DOEF 中，∠FDO =∠FEO =∠AOB =90°，∴∠DFE =360°-∠FDO -∠FEO -∠AOB =90°，∴∠DMF +∠MFE =90°，又∵FM ⊥FN ，∴∠FMN =90°，∴∠DFM =∠EFN ，在△DFM 和△EFN 中，∠FDM =∠FENFD =FE ∠DFM =∠EFN，∴△DFM ≌△EFN (ASA )，∴FM =FN ．(3)解：如图，过C 点作CE ⊥AB 于E 点，CF ⊥AD 的延长线于F 点，由(2)得△CFD≌△CEB，∴FD=EB，S△CFD=S△CEB，∴S四边形ABCD =S四边形AECF，∵AC是∠DAB的平分线，∴∠DAC=∠CAB，又∵∠CFB=∠CEA=90°，AC=AC，∴△ACF≌△ACE(AAS)，∴AF=AE，又∵AE=AB-BE,AF=AD+DF，∴AB-BE=AD+DF，∴50-BE=30+BE，解得BE=10，∴AF=AE=40，∴S四边形AECF=40×40=1600m2，∴S四边形ABCD=1600m2，答：该空地的面积为1600m2．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键．五、(本大题共2小题，每小题12分，共24分)24.综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在OA、OB上分别取点C、E、D、F，使得OC=OD，OE=OF，连接CF、DE，交点为P，则射线OP为∠AOB的角平分线．【验证】(1)试说明OP平分∠AOB，且PE=PF；【应用】(2)如题图2，若C、E、D、F分别为OA、OB上的点，且OC=OD，CF⊥OA，DE⊥OB，试用(1)中的原理说明OP平分∠AOB；【猜想】(3)如题图3，P是∠AOB角平分线上一点，C、D分别为OA、OB上的点，且PC=PD，请补全图形，并直接写出∠PCO与∠PDO的数量关系．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)补全图形见解析，∠PCO=∠PDO或∠PCO+∠PDO=180°【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．(1)先证明△DOE≌△COF(SAS)，得∠PEC=∠PFD，再证△CPE≌△DPF(AAS)，得PE=PF，然后证△OPE≌△OPF(SSS)，得∠POE=∠POF，即可得出结论；(2)先证明△OCF≌△ODE(ASA)，可得OF=OE，由(1)可得OP平分∠AOB；(3)过点P分别作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，分两种情况进行求解即可．【详解】解：(1)∵OC=OD，∠DOE=∠COF，OE=OF，∴CE=DF，△DOE≌△COF(SAS)，∴∠PEC=∠PFD，∵∠CPE=∠DPF，CE=DF，∴△CPE≌△DPF(AAS)，∴PE=PF，∵OE=OF，PE=PF，OP=OP，∴△OPE≌△OPF(SSS)，∴∠POE=∠POF，即∠POA=∠POB，∴射线OP平分∠AOB；(2)∵CF⊥OA，DE⊥OB，∴∠OCF=∠ODE=90°，∴∠COF=∠DOE，OC=OD，∴△OCF≌△ODE(ASA)，∴OF=OE，由(1)可得OP平分∠AOB；(3)补全图形如下，过点P分别作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，∵OP是∠AOB的平分线，∴PM=PN，∠PMC=∠PND=90°，当PC=PD1时，在Rt△PMC和Rt△PND1中，PC=PD1，PM=PN∴Rt△PMC≌Rt△PND1(HL)，∴∠PCO=∠PD1O；当PC=PD2时，同理得Rt△PMC≌Rt△PND2HL，∴∠PCM=∠PD2N；∵∠PD2N+∠PD2O=180°，∴∠PCO+∠PD2O=180°，综上所述，∠PCO与∠PDO的数量关系为∠PCO=∠PDO或∠PCO+∠PDO=180°；25.【模型呈现】(1)如图1，∠BAD=90°，AB=AD，BC⊥CA于点C，DE⊥AE于点E．求证：BC=AE．【模型应用】(2)如图2，EA⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形ABCDE的面积．【深入探究】(3)如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC、DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．①求证DG=GE；②若BC=21，AF=12，求△ADG的面积．【答案】(1)见解析；(2)50；(3)①见解析；63【分析】(1)证明△ABC≌△DAE AAS，即可得证；(2)同(1)法得到△AEP≌△BAG，△CBG≌△DCH，分割法求出图形面积即可；(3)①过点D作DP⊥AG于P，过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q，易证△AFB≌△DP A，△AFC ≌△EQA，得到DP=AF，EQ=AF，再证明△DPG≌△EQG AAS，即可得出结论；②根据全等三角形的性质，求出AG的长，进而利用面积公式进行求解即可．【详解】解：(1)证明：∵∠BAD=90°，∴∠BAC+∠DAE=90°，∵BC⊥CA，DE⊥AE，∴∠ACB=∠DEA=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∴∠ABC=∠DAE，在△ABC和△DAE中，∠ACB=∠DEA∠ABC=∠DAEBA=AD∴△ABC≌△DAE AAS，∴BC=AE．(2)由模型呈现可知，△AEP≌△BAG，△CBG≌△DCH，∴AP=BG=3，AG=EP=6，CG=DH=4，CH=BG=3，则S实线围成的图形=12×4+6×3+6+4+3-12×3×6-12×3×6-12×3×4-12×3×4=50．(3)①过点D作DP⊥AG于P，过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q．图3由【模型呈现】可知，△AFB≌△DP A，△AFC≌△EQA，∴DP=AF，EQ=AF∴DP=EQ，∵DP⊥AG，EQ⊥AG∴∠DPG=∠EQG=90°，在△DPG和△EQG中，∠DPG=∠EQG∠DGP=∠EGQDP=EQ∴△DPG≌△EQG AAS，∴DG=GE．②由①可知，BF=AP，FC=AQ，∴BC=BF+FC=AP+AQ，∵BC=21，∴AP+AQ=21，∴AP+AP+PG+GQ=21，由①△DPG≌△EQG得∴PG=GQ，∴AP+AP+PG+PG=21，∴AP+PG=10.5，∴AG=10.5，∴S△ADG=1×10.5×12=63．2。
八年级数学上册《全等三角形的判定》练习题及答案
八年级数学上册《全等三角形的判定》练习题及答案一、选择题1.如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A.CB=CDB.∠BAC=∠DACC.∠BCA=∠DCAD.∠B=∠D=90°2.下列说法正确的是( )A.两个等腰直角三角形全等B.面积相等的两个三角形全等C.完全重合的两个三角形全等D.所有的等边三角形全等3.下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙4.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A.∠B=∠CB.AD=AEC.BD=CED.BE=CD5.如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，那么在下列各条件中，不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( )A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°6.如图, OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E, 且OD=OE, 则△AOD与△AOE全等的理由是（）A.SASB.ASAC.SSSD.HL7.如图所示，已知AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（）A.∠A与∠D互为余角B.∠A=∠2C.△ABC≌△CEDD.∠1=∠28.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A.两个锐角对应相等B.一条边和一个锐角对应相等C.两条直角边对应相等D.一条直角边和一条斜边对应相等9.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，若AB=4，CF=3，则BD的长是( )A．0.5 B．1 C．1.5 D．210.如图，在△ABC中，AB=AC，点E，F是中线AD上两点，则图中可证明为全等三角形的有( )A.3对B.4对C.5对D.6对二、填空题11.如图，已知∠C=∠D=90°，请你添加一个适当的条件：______________，使得△ACB≌△BDA．12.如图，已知AD=AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是．(不添加任何字母和辅助线)13.如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，BF=CE，点B、F、C、E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是(只填一个即可)．14.如图，旗杆AC与旗杆BD相距12 m，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM=DM.已知旗杆AC的高为3 m，该人的运动速度为1 m/s，则这个人运动到点M所用时间是 s.15.如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA=OB，则图中有____对全等三角形.16.如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D，B，C分别在直线MN和PQ上，点E在AB上，AD＋BC=7，AD=EB，DE=EC，则AB= .三、解答题17.如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD=BC．(1)求证：△AOD≌△OBC；(2)若∠ADO=35°，求∠DOC的度数．18.如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A=∠1，CE∥DF.求证：∠E=∠F.19.如图，在△ADF和△BCE中，AF=BE，AC=BD，∠A=∠B，∠B=32°，∠F=28°，BC=5cm，CD=1cm．求：（1）∠1的度数；（2）AC的长．20.如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE. （1）求证：AC=CD；（2）若AC=AE，求∠DEC的度数.参考答案1.答案为：C2.答案为：C3.答案为：B4.答案为：D5.答案为：B.6.答案为：D7.答案为：D8.答案为：A9.答案为：B 10.答案为：D11.答案为：AD=CD；（答案不唯一）.12.答案为：AB=AC或∠ADC=∠AEB或∠ABE=∠ACD.13.答案为：AB=DE．14.答案为：3；15.答案为：316.答案为：7.17. (1)证明：∵点O是线段AB的中点，∴AO=BO，∵OD∥BC，∴∠AOD=∠OBC，在△AOD与△OBC中，，∴△AOD≌△OBC(SAS)；(2)解：∵△AOD≌△OBC，∴∠ADO=∠OCB=35°，∵OD∥BC，∴∠DOC=∠OCB=35°．18.证明：19.解：（1）∵AC=BD∴AD=BC且AF=BE，∠A=∠B∴△ADF≌△BCE（SAS）∴∠E=∠F=28°，∴∠1=∠B+∠E=32°+28°=60°；（2）∵△ADF≌△BCE∴AD=BC=5cm，且CD=1cm，∴AC=AD+CD=6cm．20.解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC和△DEC中，∠1=∠D，∠3=∠5，BC=CE，∴△ABC≌△DEC（AAS），∴AC=CD；（2）∵∠ACD=90°，AC=CD，∴∠2=∠D=45°，∵AE=AC，∴∠4=∠6=67.5°，∴∠DEC=180°-∠6=112.5°.。
人教版八年级上册数学《全等三角形》试卷(含答案)
八年级上册数学单元测试题(全等三角形)一、选择题（每题3分，共30分）1、已知图中的两个三角形全等，则α∠的度数是（ ）A 、72B 、60C 、58D 、502、如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，EB=EC ，则直接由“SSS ”可以判定（ ）A 、ACE ABE ∆≅∆B 、CED BED ∆≅∆C 、ACD ABD ∆≅∆ D 、以上选项都正确3、如图所示，AE=AF ，AB=AC ，EC 与BF 交于点O ， 60=∠A ， 25=∠B ，则EOB ∠的度数为（ ）A 、60B 、70C 、75D 、854、如图，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，CD 与BE 相交于点O ，已知AB=AC ，再添加以下哪个条件仍不能判定ACD ABE ∆≅∆（ ）A 、CB ∠=∠ B 、AD=AEC 、BD=CED 、BE=CD5、如图，OP 平分AOB ∠，OA PA ⊥，OB PB ⊥，垂足分别为A 、B.下列结论中不一定成立的是（ ）A 、PA=PB B 、PO 平分APB ∠C 、OA=OBD 、AB 垂直平分OP6、如图，在四边形ABCD 中，CB=CD ， 90=∠=∠ADC ABC ， 35=∠BAC ，则BCD ∠的度数为（ ）A 、145B 、130C 、110D 、707、如图，OA 是BAC ∠的平分线，OM ⊥AC 于点M ，ON ⊥AB 于点N ，若ON=8cm ，则OM 长为（ ）A 、8cmB 、4cmC 、5cmD 、不确定8、如图，四边形ABCD 沿AC 所在的直线对折后，B 点与D 点重合，图中全等三角形的对数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、39、三角形中到三边距离相等的点是（ ）A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点10、如图，已知AE DB ⊥于点B ，延长BD 交AE 于点G ，DG AF ⊥于点C ，且DB=DC ， 40=∠BAC ， 110=∠ADG ，则DGF ∠等于（ ）A 、130B 、40C 、110D 、70二、填空题（每题4分，共24分）11、如图，已知BAD ABC ∆≅∆，AC 与BD 相交于点O ，请写出图中一组相等的线段 .12、如图，AD=BC ，若利用“SSS ”来证明CDB ABD ∆≅∆，则需要添加的一个条件是 .13、如图， 60=∠AOB ，OA CD ⊥于点D ，OB CE ⊥于点E ，且CD=CE ，则=∠DOC.14、如图，已知 90=∠DCF ， 90=∠DAC ，AC BE ⊥于点B ，且DC=CE ，若BE=7，AB=3，则AD 的长为 .15、如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB//DE ，AB=DE ，BE=CF ，AC=6，则DF = .16、如图，在ABC Rt ∆中， 90=∠ACB ，cm BC 2=，AB CD ⊥，在AC 上取一点E ，使EC=BC ，过点E 作EF AC ⊥交CD 的延长线于点F.若cm EF 5=，则AE= .cm三、解答题一（每题6分，共18分）17、如图，DEF ABC ∆≅∆，AB=DE ，AC=DF ，BC=EF ，写出所有对应角相等的式子.18、已知点B 、C 、E 、D 在同一条直线上，AB=DF ，AC=EF ，BE=CD.求证：DFE ABC ∆≅∆19、如图，已知点C 为线段AB 的中点，CD=BE ，CD//BE.求证：CBE ACD ≅∆四、解答题二（每题7分，共21分）20、如图，AC BD ⊥于点D ，AB CE ⊥于点E ，AD=AE.求证：BE=CD.21、如图， 90=∠DCE ，CD=CE ，AC AD ⊥，BE AC ⊥，垂足分别为A 、B. 试说明：AD+AB=BE.22、如图，CD AB ⊥于点D ，AC BE ⊥于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分BAC ∠，求证：（1）OD=OE ；（2）.C B ∠=∠五、解答题三（每题9分，共27分）23、如图，在ABC ∆中，AB=AC ，AD .,,CE AE AB CE BC =⊥⊥求证：（1）;CEB AEF ∆≅∆（2）AF=2CD.24、如图，在四边形ABCD 中， 90=∠B ，AB//CD ，M 为BC 边上的一点，且AM 平分BAD ∠，DM 平分.ADC ∠求证：（1）DM AM ⊥；（2）M 为BC 的中点.25、如图，CA=CB ，CD=CE ，α∠=∠=∠DCE ACB ，AD ，BE 交于点H ，连接CH.（1）求证：BCE ACD ∆≅∆；（2）求证：HC 平分AHE ∠；（3）求CHE ∠的度数.（用含α的式子表示）全等三角形参考答案一、DABDD CADDA二、11、不唯一 12、AB=CD 13、BOC ∠ 14、4 15、6 16、3三、17、解：EDF BAC ∠=∠，DEF ABC ∠=∠，.EFD BCA ∠=∠18、证明：CD BE =CE CD CE BE -=-∴，即BC=DE.在ABC ∆和FDE ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧===DE BC FE AC FD AB ，)(SSS DFE ABC ∆≅∆∴19、证明：C 是AB 的中点，∴AC=CB ，,,,//E DCE CBE ACD BE CD ∠=∠=∠∴在ACD ∆和CBE ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BE CD CBE ACD CB AC ，)(SAS CBE ACD ∆≅∆∴.四、20、证明： BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，90=∠=∠∴AEC ADB ，在ABD ∆和ACE ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠A A AE AD AEC ADB ，)(ASA ACE ABD ∆≅∆∴AC AB =∴又AE AD = ，AD AC AE AB -=-∴，即BE=CD.21、解：AC AD ⊥ ，AC BE ⊥，90,90=∠+∠=∠=∠∴D ACD EBC A ，90,90=+∠∴=∠ECB ACD DCE ，ECB D ∠=∠∴，又)(,AAS BCE ADC CE CD ∆≅∆∴= ，,,BC AD BE AC ==∴.,AD AB BE BC AB AC +=∴+=22、证明：（1） AO 平分AC OE AB OD BAC ⊥⊥∠,,，.OE OD =∴（2）AB OD ⊥ ，AC OE ⊥，90=∠=∠∴OEC ODB ，在OBD ∆和OCE ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠COE BOD OE OD OEC ODB)(ASA OCE OBD ∆≅∆∴.C B ∠=∠∴五、23、证明：（1）BC AD ⊥ ，AB CE ⊥，90,90,90=∠+∠=∠+∠=∠=∠∴B BCE CFD BCE CEB AEF ，B CFD ∠=∠∴B AFE AFE CFD ∠=∠∴∠=∠, ，在AEF ∆与CEB ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CE AE CEB AEF B AFE ，)(AAS CEB AEF ∆≅∆∴（2）.90, =∠=∠∴⊥ADC ADB BC AD在ADB Rt ∆和ADC Rt ∆中，⎩⎨⎧==ACAB AD AD ，).(HL ADC Rt ADB Rt ∆≅∆∴CD BC CD BD 2,=∴=∴CB AF CEB AEF =∴∆≅∆,.2CD AF =∴24、证明：（1）CD AB // ，180=∠+∠∴DAC BAD AM 平分BAD ∠，DM 平分ADC ∠， 18022=∠+∠∴ADM AMD ，90=∠+∠∴ADM MAD ， 90=∠∴AMD ，即.DM AM ⊥（2）如图，过点M 作AD MN ⊥交AD 于点N ，90=∠B ，AB//CD ，AB BM ⊥∴，CD CM ⊥，AM ∴平分BAD ∠，DM 平分ADC ∠CM MN MN BM ==∴,CM BM =∴，即点M 为BC 的中点.25、（1）证明：BCE ACD DCE ACB ∠=∠∴∠=∠,又)(,,SAS BCE ACD CE CD BC AC ∆≅∆∴==（2）证明：如图，过C 作CM AH ⊥于M ，CN BE ⊥于N.由（1）知BCE ACD ∆≅∆，.CBN CAM ∠=∠∴在CAM ∆和CBN ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=∠=∠BC AC CBN CAM CNB CMA90)(AAS CBN CAM ∆≅∆∴，CN CM =∴在CMH Rt ∆和CNH Rt ∆中，)(,HL CNH Rt CMH Rt CH CH CN CM ∆≅∆∴⎩⎨⎧== ∴∠=∠∴,CHN CHM HC 平分.AHE ∠（3）由（2）知CAH CBH ∠=∠，设BC 与AD 交于点F ，则AFC BFH ∠=∠， α=∠=∠∴ACB AHB ，α-=∠∴ 180AHE ，又由（2）可知EHC AHC ∠=∠，.2190)180(21αα-=-=∠∴ CHE。
人教版八年级上册数学第十二章 全等三角形含答案
人教版八年级上册数学第十二章全等三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知图中的两个三角形全等，AD与CE是对应边，则A的对应角是（）A. B. C. D.2、如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A.∠A＝∠DB.AC＝DFC.AB＝EDD.BF＝EC3、已知∠BOP与OP上点C，点A（在点C的右边），李玲现进行如下操作：①以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB于点D，连接CD；②以点A为圆心，OC长为半径画弧MN，交OA于点M；③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交弧MN于点E，连接ME，操作结果如图所示，下列结论不能由上述操作结果得出的是（）A.CD∥MEB.OB∥AEC.∠ODC＝∠AEMD.∠ACD＝∠EAP4、如图，在中，AB=AC，AD是BC边的中线，以AC为边作等边△ACE，BE与AD相交于点P，点F在BE上，且PF=PA，连接AF下列四个结论：①AD⊥BC；②∠ABE=∠AEB；③∠APE=60°；④△AEF≌△ABP，其中正确结论的个数是（）A. B. C. D.5、如图，已知 BF=CE，∠B=∠E，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是( )A.AB=DEB.AC∥DFC.∠A=∠DD.AC=DF6、在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S 1+2S2+2S3+S4=（）A.5B.4C.6D.107、如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF，连接BF、DE交于点M，延长ED到H使DH=BM，连接AM，AH，则以下四个结论：①△BDF≌△DCE；②∠BMD=120°；③△AMH是等边三角形；④S四边形ABMD=AM2．其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.48、如图，A，B，C表示三个小城，相互之间有公路相连，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址可以是（）A.三边中线的交点处B.三条角平分线的交点处C.三边上高的交点处D.三边的中垂线的交点处9、如图，已知，添加下列条件还不能判定≌ 的是（）A. B. C. D.10、如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（）A.66°B.60°C.56°D.54°11、如图，在△ABC中，AB=AC，BE、CF是中线，则由（）可得△AFC≌△AEB．A.SSSB.SASC.AASD.ASA12、小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（）A.①，②B.②，③C.③，④D.①，④13、如图，在中，，平分.若则的长为（）A. B. C. D.14、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是∠ABC的角平分线交AC于点D，DE⊥AB于E点，下列四个结论中正确的有（）①DE＝DC；②BE＝BC；③AD＝DC；④△BDE≌△BDC．A.1个B.2个C.3个D.4个15、如图，△ABC的角平分线BE与外角∠ACD的平分线CE相交于点E，若∠A=60°，则∠E的度数是( )A.30°B.35°C.40°D.60°二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PD＝3cm，则PC的长为________cm.17、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC上，DE⊥AB于点E，且CD ＝DE.点F在BC上，连接EF，AF，若∠CEF＝45°，∠B＝2∠CAF，BF＝2，则AB的长为________.18、如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AB、BC上，且∠EOF＝90°，则S四边形OEBF ∶S正方形ABCD＝________.19、如图，在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE⊥PD的延长线于点E，连接AE、BE、FA⊥AE交DP于点F，连接BF，FC。
八年级数学上册《第十二章 全等三角形》单元测试卷及答案(人教版)
八年级数学上册《第十二章全等三角形》单元测试卷及答案(人教版）班级姓名学号一、单选题1．全等图形是指两个图形（）A．大小相同B．形状相同C．能够完全重合D．相等2．如图，△ABC≌△ADE，若∠B=80°，∠C=30°，则∠EAD的度数为（）A．70°B．75°C．60°D．80°3．如图，三条直线表示相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( ) ．A．一处B．两处C．三处D．四处4．长为l的一根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x的取值范围为（）A．16≤x<14B．18≤x<14C．16<x<14D．18<x<145．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点E在线段AD上，AB＝AC，EB＝EC．则依据SSS可以判定（）A．△ABD≌△ACD B．△ABE≌△ACEC．△BED≌△CED D．以上都对6．如图，在△ABC中，∠B=∠C，BF=CD，BD=CE，∠FDE=α,则下列结论正确的是（）A．2α+∠A=180°B．α+∠A=90°C．2α+∠A=90°D．α+∠A=180°7．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，∠A＝64°，则∠BOC的度数为（）A．58°B．64°C．122°D．124°8．如图，在△ABC中，P是BC上的点，作PQ∥AC交AB于点Q，分别作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若PR=PS，则下面三个结论：①AS=AR；②AQ=PQ；③△PQR≌△CPS；④AC﹣AQ=2SC，其中正确的是（）A．②③④B．①②C．①④D．①②③④二、填空题9．已知△ABC≌△DEF，若∠B=40°，∠D=30°，则∠F=10．如图，已知B、E、F、C在同一直线上，BE=CF，AF=DE，则添加条件，可以判断△ABF≌△DCE．11．如图，△ABD≌△ACE，点B和点C是对应顶点，AB=9cm，BD=7cm，AD=4cm，则DC= cm．12．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：①∠ABC=∠ADC；②AC与BD相互平分；③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；④四边形ABCD的面AC•BD．正确的是（填写所有正确结论的序号）积S= 1213．如图，在△ABC中AC=BC，∠ACB=50°，AD⊥BC于点D，MC⊥BC于点C，MC=BC点E，点F分别在线段AD，AC上CF=AE，连接MF，BF，CE．（1）图中与MF相等的线段是；（2）当BF+CE取最小值时∠AFB=°三、解答题14．将Rt△ABC的直角顶点C置于直线l上AC=BC，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D、E连接AE若BE=3，DE=5求△ACE的面积．15．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．16．如图，已知AC∥BD、EA、EB分别平分∠CAB和△DBA，CD过点E，则线段AB与AC、BD有什么数量关系？请说明理由．17．如图，已知B，C，E三点在同一条直线上AC//DE，AC=CE，∠ACD=∠B .求证：△ABC≌△EDC .18．如图，点D为锐角∠ABC的平分线上一点，点M在边BA上，点N在边BC上，∠BMD+∠BND＝180°．试说明：DM＝DN．19．已知：AD＝BC，AC＝BD．（1）如图1，求证：AE＝BE；（2）如图2，若AB＝AC，∠D＝2∠BAC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个度数为36°的角．参考答案 1．C 2．A 3．D 4．A 5．D 6．A 7．C 8．B 9．110° 10．AB=DC 11．5 12．①④ 13．（1）EC （2）9514．解：∵AD ⊥CE ，BE ⊥CE ∴∠ADC =∠CEB =90° ∵∠ACB =90°∴∠ACD =∠CBE =90°−∠ECB 在 △ACD 与 △CBE 中{∠ADC =∠CEB∠ACD =∠CBE AC =BC∴△ACD ≌△CBE (AAS) ∴CD =BE =3 AD =CE ∵CE =CD +DE =3+5=8 ∴AD =8 ．S △ACE =12CE ·AD =12×8×8=32 ． 15．证明：∵CE ∥DF ∴∠ACE=∠D 在△ACE 和△FDB 中{AC=FD ∠ACE=∠D EC=BD∴△ACE≌△FDB（SAS）∴AE=FB．16．解：AB=AC+BD理由是：在AB上截取AC=AF，连接EF∵AE平分∠CAB∴∠CAE=∠BAE在△CAE和△FAE中{AC=AF∠CAE=∠BAE AE=AE∴△CAE≌△FAE（SAS）∴∠C=∠AFE∵AC∥BD∴∠C+∠D=180°∴∠AFE+∠D=180°∵∠EFB+∠AFE=180°∴∠D=∠EFB∵BE平分∠ABD∴∠DBE=∠FBE在△BEF和△BED中{∠D=∠EFB∠FBE=∠DBEBE=BE∴△BEF≌△BED（AAS）∴BF=BD∵AB=AF+BF，AC=AF，BF=BD ∴AB=AC+BD．17．证明：∵AC//DE∴∠BCA =∠E ∠ACD =∠D . 又∵∠ACD =∠B ∴∠B =∠D .在 △ABC 和 △EDC 中{∠B =∠D∠BCA =∠E AC =EC∴△ABC ≌△EDC .18．解：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ． ∴∠DEB ＝∠DFB ＝90°． 又∵BD 平分∠ABC ∴DE ＝DF ．∵∠BMD+∠DME ＝180°，∠BMD+∠BND ＝180° ∴∠DME ＝∠BND ． 在△EMD 和△FND 中{∠DEM =∠DFN∠EMD =∠FND DE =DF∴△EMD ≌△FND （AAS ）． ∴DM ＝DN ．19．（1）证明：在△ABD 和△BAC 中：{AB =BAAD =BC BD =AC∴△ABD ≌△BAC （SSS ） ∴∠ABD=∠BAC ∴AE=BE ；（2）∠BAC ，∠ABD ，∠DAC ，∠DBC。
人教版初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》经典题(含答案解析)
一、选择题1．如图，OM 、ON 、OP 分别是AOB ∠，BOC ∠，AOC ∠的角平分线，则下列选项成立的（ ）A ．AOP MON ∠>∠B ．AOP MON ∠=∠C ．AOP MON ∠<∠D ．以上情况都有可能 2．如图，点O 是△ABC 中∠BCA ，∠ABC 的平分线的交点，已知△ABC 的面积是12，周长是8，则点O 到边BC 的距离是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，若DEF ABC ≅，点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，9BF =，5EC =，则CF 的长为（ ）A ．1B ．2C ．2.5D ．34．如图，已知ABC DCB ∠=∠，添加一个条件使ABC DCB △△≌，下列添加的条件不能使ABC DCB △△≌的是（ ）A ．A D ∠=∠B ．AB DC = C ．AC DB =D ．ACB DBC ∠=∠5．如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为( )A．a＋c B．b＋cC．a＋b－c D．a－b＋c6．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交x轴的负半轴和y轴的正半轴于A点，B点，分别以点A，点B为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于P点，若点P的坐标为(m，n)，则下列结论正确的是（）A．m＝2n B．2m＝n C．m＝n D．m＝－n7．如图，AB与CD相交于点E，AD=CB，要使△ADE≌△CBE，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是（）A．AE=CE；SAS B．DE=BE；SASC．∠D=∠B；AAS D．∠A=∠C；ASA8．下列各命题中，假命题是（）A．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等B．有两边及第三边上高对应相等的两个三角形全等C．有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等D．有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等9．如图，已知AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，下面结论错误的是（）A ．BD ＋ED ＝BCB ．∠B ＝2∠DAC C ．AD 平分∠EDC D ．ED ＋AC >AD10．如图，在ABC 和△FED 中，AD FC =，AB FE =，下列条件中不能证明F ABC ED ≌△△的是（ ）A ．BC ED =B ．A F ∠=∠C ．B E ∠=∠D ．//AB EF 11．如图，在OAB 和OCD 中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，40AOB COD ∠=∠=︒，连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ，下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠，其中正确的为（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④ 12．如图，C 是∠AOB 的平分线上一点，添加下列条件不能判定△AOC ≌△BOC 的是（ ）A ．OA =OB B ．AC =BC C ．∠A =∠BD ．∠1=∠213．如图，已知AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E ，ED ∥AC ，∠BAE ＝34°，那么∠BED ＝（ ）A ．134°B ．124°C ．114°D ．104°14．根据下列条件，能画出唯一ABC 的是（ ）A ．3AB =，4BC =，7CA =B ．4AC =，6BC =，60A ∠=︒ C ．45A ∠=︒，60B ∠=︒，75C ∠=︒D ．5AB =，4BC =，90C ∠=︒ 15．如图，在四边形ABCD 中，//,AB CD AE 是BAC ∠的平分线，且AE CE ⊥．若,AC a BD b ==，则四边形ABDC 的周长为（ ）A ．1.5()a b +B ．2a b +C ．3a b -D ．2+a b二、填空题16．如图，∠ABC=∠DCB ，要使△ABC ≌△DCB ，还需要补充一个条件：___．（一个即可）17．如图，ABC 中，D 是AB 上的一点，DF 交AC 于点E ，AE CE =，//CF AB ，若四边形DBCF 的面积是26cm ，则ABC 的面积为______2cm ．18．如图，ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AB ＝10cm ，则DEB 的周长是_____cm ．19．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若BC ＝8cm ，BD ＝5cm ，AB=10cm,则S △ABD =______．20．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，BC ＝4，D 为AB 的中点，DC ⊥BC ，则点A 到直线CD 的距离是_____．21．如图，ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别是10、15、20，三条角平分线交于O 点，则::ABO BCO CAO S S S 等于__________．22．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，AD AC =，DE AB ⊥，交BC 于点E ．若26B ∠=︒，则AEC ∠=______︒．23．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=40cm ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，AD ：DC=5：3，则D 到AB 的距离为__________cm ．24．如图，在ABC 中，AB CB =，90ABC ∠=︒，AD BD ⊥于点D ，CE BD ⊥于点E ，若7CE =，5AD =，则DE 的长是______．25．如图，已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上面一点，连接BD ，CD ；如图，已知AB AC =，D 、E 为BAC ∠的角平分线上面两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图，已知AB AC =，D 、E 、F 为BAC ∠的角平分线上面三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；…，依此规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是______．26．如图，ABC ∆中，90,6,8ACB AC cm BC cm ∠=︒==，点P 从点A 出发沿A C -路径向终点C 运动.点Q 从B 点出发沿B C A --路径向终点A 运动．点P 和Q 分别以每秒1cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P 和Q 作PE l ⊥于,E QF l ⊥于F ．则点P 运动时间为_______________时，PEC ∆与QFC ∆全等．三、解答题27．如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线EF 经过点C ，BF ⊥EF 于点F ，AE ⊥EF 于点E ．（1）求证：△ACE ≌△CBF ；（2）如果AE 长12cm ，BF 长5cm ，求EF 的长．28．如图，已知A ABC ∠=∠，D CBD ∠=∠，ABD CBD ∠=∠，点E 在BC 的延长线上．求证：CD 平分ACE ∠．29．已知：在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边上一点．（1）直线BF 垂直CE 于点F ，交CD 于点G （如图1），求证：AE ＝CG ；（2）直线AH 垂直于CE ，垂足为H ，交CD 的延长线于点M （如图2），找出图中与BE 相等的线段，并说明理由．30．已知：如图，AB ＝ AD ．请添加一个条件使得△ABC ≌△ADC ，然后再加以证明．。
初二上数学《全等三角形》测试题及答案
初二上数学《全等三角形》测试题及答案一、选择题1．如图1， AD 是ABC △的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连结BF ，CE ．下列说法：①CE ＝BF ；②△ABD 和△ACD 面积相等；③BF ∥CE ；④△BDF ≌△CDE ．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图2，AD AE =，= = =100 =70BD CE ADB AEC BAE ︒︒，，∠∠∠，下列结论错误的是（ ）A ．△ABE ≌△ACDB ．△ABD ≌△ACEC ．∠DAE =40°D ．∠C =30°3．已知：如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则图中共有全等三角形（ ）A ．5对B ．4对C ．3对D ．2对 4．将一张长方形纸片按如图4所示的方式折叠，BC BD ， 为折痕，则CBD ∠的度数为（ ）A ．60°B ．75°C ．90°D ．95° 5．依照下列已知条件，能惟一画出△ABC 的是（ ）A ．AB ＝3，BC ＝4，CA ＝8 B ．AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30° C ．∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4D ．∠C ＝90°，AB ＝6 6．下列命题中正确的是（ ）A ．全等三角形的高相等B ．全等三角形的中线相等C ．全等三角形的角平分线相等D ．全等三角形对应角的平分线相等7．如图5，在△ABC 中，∠A :∠B :∠C =3:5:10，又△MNC ≌△ABC ，则∠BCM ：∠BCN 等于（ ） A ．1:2 B ．1:3 C ．2:3 D ．1:48． 如图6，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ︰S △BCO ︰S △CAO 等于（ ）A ．1︰1︰1 B ．1︰2︰3 C ．2︰3︰4 D ．3︰4︰59．如图7，从下列四个条件：①BC ＝B ′C ， ②AC ＝A ′C ，③∠A ′CB ＝∠B ′CB ，④AB ＝A ′B ′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多能够构成正确的结论的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个10．如图8所示，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 边翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则AD CB图1EF A D OC B图2AD ECB图3FGAEC 图4B A ′E ′D∠α的度数为（）A．80°B．100°C．60°D．45°．二、填空题11．如图9，AB，CD相交于点O，AD＝CB，请你补充一个条件，使得△AOD≌△COB．你补充的条件是______________________________。
人教版初中数学八年级数学上册第二单元《全等三角形》测试(答案解析)
一、选择题1．如图，OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥于点C ，PD OB ⊥于点D ，延长CP ，DP 交OB ， OA 于点E ，F ，下列结论错误的是（ ）A ．PC PD =B ．OC OD = C ．CPO DPO ∠=∠ D ．PC PE =2．如图，给出下列四组条件：①AB=DE ，BC=EF ，AC=DF ；②AB=DE ，∠B=∠E ，BC=EF ；③∠B=∠E ，BC=EF ，∠C=∠F ；④AB=DE ，AC=DF ，∠B=∠E ．其中，能使△ABC ≌△DEF 的条件共有（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组 3．如图，ABC 和DEF 中，∠A=∠D ，∠C=∠F ，要使ABC DEF ≅，还需增加的条件是（ ）A ．AB=EFB ．AC=DFC ．∠B=∠ED ．CB=DE 4．下列命题中，真命题是（ ）A ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等B ．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等D ．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等5．如图，AB AC =，AD AE =，55A ︒∠=，35C ︒∠=，则DOE ∠的度数是（ ）A ．105︒B ．115︒C ．125︒D ．130︒6．在以下图形中，根据尺规作图痕迹，能判定射线AD 平分∠BAC 的是（ ）A ．图2B ．图1与图2C ．图1与图3D ．图2与图3 7．下列说法不正确的是（ ）A ．三边分别相等的两个三角形全等B ．有两边及一角对应相等的两个三角形全等C ．有两角及一边对应相等的两个三角形全等D ．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等8．到ABC 的三条边距离相等的点是ABC 的( )A ．三条中线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条高的交点D ．三条角平分线的交点 9．下列命题中，假命题是（ ）A ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行B ．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上C ．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等D ．一边长相等的两个等腰直角三角形全等10．如图，在Rt ABC 中，C 90∠=，AD 是BAC ∠的平分线，若AC 3=，BC 4=，则ABD ACD S :S 为( )A ．5:4B ．5:3C ．4:3D ．3:411．如图，AB BC ⊥，CD BC ⊥，AC BD =，则能证明ABC DCB ≅的判定法是()A ．SASB ．AASC ．SSSD ．HL12．根据下列条件，能画出唯一ABC 的是（ ）A ．3AB =，4BC =，7CA =B ．4AC =，6BC =，60A ∠=︒ C ．45A ∠=︒，60B ∠=︒，75C ∠=︒D ．5AB =，4BC =，90C ∠=︒二、填空题13．如图，AC=BC ，请你添加一个条件，使AE=BD ．你添加的条件是：________．14．如图，把等腰直角三角板放平面直角坐标系内，已知直角顶点C 的坐标为()0,3，另一个顶点B 的坐标为()8,8，则点A 的坐标为____________15．如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，12AB =，5BC =，射线AP AB ⊥于点A ，点E 、D 分别在线段AB 和射线AP 上运动，并始终保持DE AC =，要使ABC 和DAE △全等，则AE 的长为______．16．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第____块去，这利用了三角形全等中的____原理．17．如图，△ABC 的外角∠MBC 和∠NCB 的平分线BP 、CP 相交于点P ，PE ⊥BC 于E 且PE ＝3cm ，若△ABC 的周长为14cm ，S △BPC ＝7.5，则△ABC 的面积为______cm 2．18．如图，12∠=∠，要用“SAS ”判定ADC BDC ≌△△，则可加上条件__________．19．如图，在ABC 中，60BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于点D ，DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，DF AC ⊥于点F ，现有下列结论：①120EDF ∠=︒；②DM 平分EDF ∠；③DE DF AD +=；④2AB AC AE +>；其中正确的有________(请将正确结论的序号填写在横线上)．20．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A 的平分线交BC 于D ，若20ABD S ∆=cm 2，AB =10cm ，则CD 为__________cm ．三、解答题21．如图，点A ，E ，F ，B 在直线l 上，AE BF =，//AC BD ，且AC BD =，求证：ACF BDE ≅△△．22．如图，点A 、D 、B 、E 在一条直线上，BC 与DF 交于点G ，AD BE =，//BC EF ，BC EF =．求证：ABC DEF △≌△．23．如图，已知∠AOC 是直角，∠BOC =46°，OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOB ． （1）试求∠DOE 的度数；（2）当∠BOC =α（0°≤α≤90°），请问∠DOE 的大小是否变化？并说明理由．24．在ABC 中，AD BC ⊥，CE AB ⊥，垂足分别为D ，E ，AD ，CE 交于点H ，已知3EH EB ==，4AE =，求CH 的长．25．如图，在平面直角坐标系中，已知点()1,A a a b -+，(),0B a ，且()2320a b a b +-+-=，C 为x 轴上点B 右侧的动点，以AC 为腰作等腰三角形ACD ，使AD AC =，CAD OAB ∠=∠，直线DB 交y 轴于点P ．（1）求证：AO AB =；（2）求证：AOC ABD ∆∆≌；（3）当点C 运动时，点P 在y 轴上的位置是否发生改变，为什么？26．在数学课本中，有这样一道题：如图1，AB ∥CD ，试用不同的方法证明∠B +∠C ＝∠BEC（1）某同学写出了该命题的逆命题，请你帮他把逆命题的证明过程补充完整．已知：如图1，∠B +∠C ＝∠BEC求证：AB ∥CD证明：如图2，过点E ，作EF ∥AB ，∴∠B ＝∠∵∠B +∠C ＝∠BEC ，∠BEF +∠FEC ＝∠BEC （已知）∴∠B +∠C ＝∠BEF +∠FEC （等量代换）∴∠ ＝∠ （等式性质）∴EF ∥∵EF ∥AB∴AB ∥CD （平行于同一条直线的两条直线互相平行）（2）如图3，已知AB ∥CD ，在∠BCD 的平分线上取两个点M 、N ，使得∠BMN ＝∠BNM ，求证：∠CBM ＝∠ABN ．（3）如图4，已知AB ∥CD ，点E 在BC 的左侧，∠ABE ，∠DCE 的平分线相交于点F ．请直接写出∠E 与∠F 之间的等量关系．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据角平分线的性质定理判断A 选项；证明△OPC ≌△OPD 判断B 选项；根据△OPC ≌△OPD 即可判断C 选项；证明△DPE ≌△CPF 判断D 选项．【详解】∵OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥于点C ，PD OB ⊥于点D ，∴PC=PD ，故A 选项正确；∵∠ODP=∠OCP=90︒，又∵OP=OP ，PC=PD ，∴Rt △OPC ≌Rt △OPD ，∴OC=OD ，故B 选项正确；∵△OPC ≌△OPD ，∴CPO DPO ∠=∠，故C 选项正确；∵∠PDE=∠PCF=90︒，PD=PC ，∠DPE=∠CPF ，∴△DPE ≌△CPF ，∴PE=PF ，∵PF>PC ，∴PE>PC ，故D 选项错误；故选：D ．【点睛】此题考查三角形角平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，熟记角平分线的性质定理是解题的关键．2．C解析：C【分析】要使△ABC ≌△DEF 的条件必须满足SSS 、SAS 、ASA 、AAS ，可据此进行判断．【详解】解：第①组满足SSS ，能证明△ABC ≌△DEF ．第②组满足SAS ，能证明△ABC ≌△DEF ．第③组满足ASA ，能证明△ABC ≌△DEF ．第④组只是SSA ，不能证明△ABC ≌△DEF ．所以有3组能证明△ABC ≌△DEF ．故符合条件的有3组．故选：C ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．3．B解析：B【分析】根据AAS 定理或ASA 定理即可得．【详解】在ABC 和DEF 中，,A C F D ∠∠∠=∠=，∴要使ABC DEF ≅，只需增加一组对应边相等即可，即需增加的条件是AB DE =或AC DF =或BC EF =，观察四个选项可知，只有选项B 符合，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 4．D解析：D【分析】根据三角形全等的判定方法对A 、D 进行判断；利用三角形高的位置不同可对B 、C 进行判断．【详解】A 、有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以A 选项错误；B 、有两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以B 选项错误；C 、有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以C 选错误；D 、有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，所以D 选项正确；故选：D ．【点睛】本题考査了判断命题真假，以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定，仔细分类讨论是解题关键．5．C解析：C【分析】先判定△ABE ≌△ACD ，再根据全等三角形的性质，得出∠B=∠C=35︒，由三角形外角的性质即可得到答案．【详解】在△ABE 和△ACD 中，AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴∠B=∠C ，∵∠C=35︒，∴∠B=35︒，∴∠OEC=∠B+∠A=355590︒+︒=︒，∴∠DOE=∠C+∠OEC=3590125︒+︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考察全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．6．C解析：C【分析】利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．【详解】解：在图1中，利用基本作图可判断AD 平分∠BAC ；在图2中，利用基本作图得到D 点为BC 的中点，则AD 为BC 边上的中线；在图3中，利用作法得AE=AF ，AM=AN ，则可判断△AMF ≌△ANE ，所以∠AMD=∠AND ， 再根据ME=AM-AE=AN-AF=FN ，∠MDE=∠NDF 可判断△MDE ≌△NDF ，根据三角形面积公式则可判定D 点到AM 和AN 的距离相等，则可判断AD 平分∠BAC ．故选：C ．【点睛】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．7．B解析：B【分析】直接利用三角形全等的判定条件进行判定，即可求得答案；注意而SSA是不能判定三角形全等的.【详解】解：A，三边分别相等的两个三角形全等，故本选项正确；B，两边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；C，两个角和一个边对应相等的两个三角形，可利用ASA或AAS判定全等，故本选项正确；D，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，故本选项正确．故选：B【点睛】此题考查了全等三角形的判定．注意普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．8．D解析：D【分析】由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，而已知一点到ABC的三条边距离相等，那么这样的点在这个三角形的三条角平分线上，由此即可作出选择.【详解】解:∵到ABC的三条边距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等，∴这点在这个三角形三条角平分线上，即这点是三条角平分线的交点，故选：D.【点睛】此题主要考查了三角形的角平分线的性质：三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等.9．D解析：D【分析】根据垂线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A、同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，真命题，本选项不符合题意；B、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，真命题，本选项不符合题意；C、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“HL”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另一条直角边相等，然后，根据“SAS”，可判断两个直角三角形全等，真命题，本选项不符合题意；D 、有一边相等的两个等腰直角三角形不一定全等，如：一个等腰直角三角形的直角边与另一个等腰直角三角形的斜边相等，这两个等腰直角三角形并不全等，假命题，本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．10．B解析：B【分析】过D 作DF AB ⊥于F ，根据角平分线的性质得出DF ＝DC ，再根据三角形的面积公式求出ABD 和ACD 的面积，最后求出答案即可.【详解】解：过D 点作DF AB ⊥于F ,∵AD 平分CAB ∠，C 90∠=（即AC BC ⊥），∴DF CD =，设DF CD R ==，在Rt ABC 中，C 90∠=，AC 3=，BC 4=， ∴22AB 5AC BC =+=， ∴ABD 115SAB DF 5R R 222=⨯⨯=⨯⨯=，ACD 113S AC CD 3R R 222=⨯⨯=⨯⨯=， ∴ABD ACD 5S :S R 2⎛⎫= ⎪⎝⎭：3R 5:32⎛⎫= ⎪⎝⎭, 故选：B.【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质求出DF ＝CD 是解此题的关键.11．D解析：D【分析】直接证明全等三角形，即可确定判断方法.【详解】解：∵AB BC ⊥，CD BC ⊥，∴ABC 与△DCB 均为直角三角形，又AC DB =，BC CB =， ∴()ABC DCB HL ≅,故选：D.【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，属于基础题.12．D解析：D【分析】利用构成三角形的条件，以及全等三角形的判定得解.【详解】解：A ，AB BC CA +=，不满足三边关系，不能画出三角形，故选项错误； B ，不满足三角形全等的判定，不能画出唯一的三角形，故选项错误；C ，不满足三角形全等的判定，不能画出唯一的三角形，故选项错误；D ，可以利用直角三角形全等判定定理HL 证明三角形全等，故选项正确.故选:D【点睛】本题考查三角形全等的判定以及构成三角形的条件，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法.二、填空题13．∠A=∠B 或CD=CEAD=BE ∠AEC=∠BDC 等【分析】根据全等三角形的判定解答即可【详解】解：因为AC=BC ∠C=∠C 所以添加∠A=∠B 或CD=CEAD=BE ∠AEC=∠BDC 可得△ADC 与△解析：∠A=∠B 或CD=CE 、AD=BE 、∠AEC=∠BDC 等【分析】根据全等三角形的判定解答即可．【详解】解：因为AC=BC ，∠C=∠C ，所以添加∠A=∠B 或CD=CE 、AD=BE 、∠AEC=∠BDC ，可得△ADC 与△BEC 全等，利用全等三角形的性质得出AD=BE ，故答案为：∠A=∠B 或CD=CE 、AD=BE 、∠AEC=∠BDC ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．14．（5－5）【分析】根据余角的性质可得∠BCP=∠CAQ 根据全等三角形的判定与性质可得AQCQ 根据线段的和差可得OQ 可得答案【详解】解：作BP ⊥y 轴AQ ⊥y 轴如图∴∠BPC=∠AQC=90°∵BC=A解析：（5，－5）【分析】根据余角的性质，可得∠BCP=∠CAQ ，根据全等三角形的判定与性质，可得AQ ，CQ ，根据线段的和差，可得OQ ，可得答案．【详解】解：作BP ⊥y 轴，AQ ⊥y 轴，如图，∴∠BPC=∠AQC=90°∵BC=AC ，∠BCA=90°，∴∠BCP+∠ACQ=90°．又∠CAQ+∠ACQ=90°∴∠BCP=∠CAQ ．在△BPC 和△CQA 中，BPC CQA BCP CAQ BC AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ Rt △BPC ≌Rt △ACQ （AAS ），AQ=PC=8-3=5；CQ=BP=8．∵QO=QC-CO=8-3=5，∴A （5，-5），故答案为：（5，-5）．【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定与性质得出AQ ，CQ 是解题关键．15．5或12【分析】本题要分情况讨论：①Rt △ABC ≌Rt △DAE 此时AE=BC=5可据此求出E 点的位置②Rt △CBA ≌Rt △DAE 此时AE=AB=12EB 重合【详解】解：①当AE=CB 时∵∠B=∠EA解析：5或12【分析】本题要分情况讨论：①Rt △ABC ≌Rt △DAE ，此时AE=BC=5，可据此求出E 点的位置．②Rt △CBA ≌Rt △DAE ，此时AE=AB=12，E 、B 重合．【详解】解：①当AE=CB 时，∵∠B=∠EAP=90°，在Rt △ABC 与Rt △DAE 中，AE CB DE AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △DAE （HL ），即AE=BC=5；②当E 运动到与B 点重合时，AE=AB ，在Rt △CBA 与Rt △DAE 中，AE AB DE AC=⎧⎨=⎩， ∴Rt △CBA ≌Rt △DAE （HL ），即AE=AB=12，∴当点E 与点B 重合时，△CBA 才能和△DAE 全等．综上所述，AE=5或12．故答案为：5或12．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．16．ASA 【分析】根据全等三角形的判断方法解答【详解】解：由图可知带第4块去符合角边角可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃故答案为：4；ASA【点睛】本题考查了全等三角形的应用是基础题熟记三角形全等的判 解析：ASA【分析】根据全等三角形的判断方法解答．【详解】解：由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃． 故答案为：4；ASA【点睛】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键． 17．6【分析】过点P 作PH ⊥AMPQ ⊥AN 连接AP 根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PH=PE=PQ 再根据三角形的面积求出BC 然后求出AC+AB 再根据S △ABC=S △ACP+S △ABP-S △BPC解析：6【分析】过点P作PH⊥AM，PQ⊥AN,连接AP，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PH=PE=PQ，再根据三角形的面积求出BC，然后求出AC+AB，再根据S△ABC= S△ACP+ S△ABP-S△BPC即可得解.【详解】解：如图，过点P作PH⊥AM，PQ⊥AN，连接AP∵BP和CP为∠MBC和∠NCB角平分线∴PH=PE，PE=PQ∴PH=PE=PQ=3∵S△BPC=12×BC×PE=7.5∴BC=5∵S△ABC= S△ACP+ S△ABP-S△BPC=12×AC×PQ+12×AB×PH-7.5=12×3（AC+AB）-7.5∵AC+AB+BC=14，BC=5∴AC+AB=9∴S△ABC=12×3×9-7.5=6 cm2【点睛】本题考查了角平分线上点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于S△ABC的面积的表示．18．AD=BD【分析】要判定△BCD≌△ACD已知∠1=∠2CD是公共边具备了一边一角对应相等注意SAS的条件；两边及夹角对相等只能选AD=BD【详解】解：由图可知只能是AD=BD才能组成SAS故答案为解析：AD=BD【分析】要判定△BCD≌△ACD，已知∠1=∠2，CD是公共边，具备了一边一角对应相等，注意“SAS”的条件；两边及夹角对相等，只能选AD=BD.【详解】解：由图可知，只能是AD=BD ，才能组成“SAS”，故答案为：AD=BD.【点睛】本题考查了全等的判定，掌握“SAS”的条件是两边及夹角对相等是解题的关键.19．①③【分析】由四边形内角和定理可求出；若DM 平分∠EDF 则∠EDM=60°从而得到∠ABC 为等边三角形条件不足不能确定故②错误；由题意可知∠EAD=∠FAD=30°故此可知ED=ADDF=AD 从而可解析：①③【分析】由四边形内角和定理可求出120EDF ∠=︒；若DM 平分∠EDF ，则∠EDM=60°，从而得到∠ABC 为等边三角形，条件不足，不能确定，故②错误；由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=12AD ，DF=12AD ，从而可证明③正确；连接BD 、DC ，然后证明△EBD ≌△CFD ，从而得到BE=FC ，从而可得AB+AC=2AE ，故可判断④．【详解】解：如图所示：连接BD 、DC ．（1）∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴∠AED=∠AFD=90°，∵∠EAF=60°，∠EAF+∠AED+∠AFD+∠EDF=360°∴∠EDF=360°-∠EAF-∠AED-∠AFD=360°-60°-90°-90°=120°，故①正确；②由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．假设MD 平分∠EDF ，则∠ADM=30°．则∠EDM=60°，又∵∠E=∠BMD=90°，∴∠EBM=120°．∴∠ABC=60°．∵∠ABC 是否等于60°不知道，∴不能判定MD 平分∠EDF ，故②错误；③∵∠EAC=60°，AD 平分∠BAC ，∴∠EAD=∠FAD=30°．∵DE ⊥AB ，∴∠AED=90°．∵∠AED=90°，∠EAD=30°，∴ED=12AD ． 同理：DF=12AD ． ∴DE+DF=AD ．故③正确．④∵DM 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC ．在Rt △BED 和Rt △CFD 中DE DF BD DC ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD ．∴BE=FC ．∴AB+AC=AE-BE+AF+FC又∵AE=AF ，BE=FC ，∴AB+AC=2AE ．故④错误．因此正确的结论是：①③，故答案为：①③．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及四边形的内角和等知识，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．20．4【分析】由角平分线的性质可知D 到AB 的距离等于DC 可得出答案【详解】解：作DE ⊥AB 于E ∵AD 平分∠CAB 且DC ⊥ACDE ⊥AB ∴DE=DC ∵S △ABD=20cm2AB=10cm ∴•AB•DE=2解析：4【分析】由角平分线的性质可知D 到AB 的距离等于DC ，可得出答案．【详解】解：作DE ⊥AB 于E ．∵AD 平分∠CAB ，且DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴DE=DC ，∵S △ABD =20cm 2，AB=10cm ，∴12•AB•DE=20， ∴DE=4cm ，∴DC=DE=4cm故答案为：4．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．三、解答题21．见解析【分析】先证明AF BE =，然后根据平行线的性质得到∠CAF=∠DBE ，用SAS 即可证明△ACF ≌△BDE ．【详解】证明：AE BF =，AE EF BF EF ∴+=+，即AF BE =； //AC BD ，CAF DBE ∴∠=∠在ACF 与BDE 中，AC BD CAF DBE AF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ACF BDE ∴≅．【点睛】本题考查的是全等三角形的SAS 判定、平行线的性质，掌握SAS 判定是解题的关键． 22．见解析【分析】由AD BE =，得AB=DE ，由//BC EF ，得ABC E ∠=∠，根据SAS 可证．【详解】证明：∵AD BE =，∴AD BD BE BD +=+，∴AB DE =，∵//BC EF ，∴ABC E ∠=∠，在ABC 和DEF 中，AB DE ABC E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABC DEF SAS ≌．【点睛】本题考查了用“边角边”定理判断两个三角形全等，解题关键是挖掘题目隐含的全等条件，根据判定定理证明．23．（1）45︒；（2）不会变化，理由见解析．【分析】（1）根据题意可知DOE BOD BOE ∠=∠-∠，12BOD AOB ∠=∠，12BOE BOC ∠=∠．即可推出12DOE AOC ∠=∠，即可求出DOE ∠． （2））根据（1）可知DOE ∠的大小与∠BOC 的大小无关，所以DOE ∠的大小不会变化．【详解】（1）由图可知DOE BOD BOE ∠=∠-∠，∵OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOB ． ∴12BOD AOB ∠=∠，12BOE BOC ∠=∠． ∴1111()2222DOE AOB BOC AOB BOC AOC ∠=∠-∠=∠-∠=∠， ∵∠AOC 是直角，∴90AOC ∠=︒， ∴1452DOE AOC ∠=∠=︒． （2）根据（1）可知DOE ∠的大小与∠BOC 的大小无关， ∴DOE ∠的大小不会变化且大小为12AOC ∠． 【点睛】本题考查角的计算，角平分线的性质．利用角平分线的性质找出图形中角的关系是解答本题的关键．24．CH=1【分析】根据AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，可得出∠EAH+∠B=90°∠EAH+∠AHE=90°，则∠B=∠AHE ，则可证△AEH ≌△CEB ，从而得出CE=AE ，再根据已知条件得出CH 的长．【详解】解：∵AD ⊥BC ，∴∠EAH+∠B=90°，∵CE ⊥AB ，∴∠EAH+∠AHE=90°，∴∠B=∠AHE ，∵EH=EB ，在△AEH 和△CEB 中，AHE B EH BEAEH BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AEH ≌△CEB （ASA ），∴CE=AE=4，∵EH=EB=3，∴CH=CE-EH=4-3=1．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据同角的余角相等得出∠B=∠AHE ，是解此题的关键．25．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）不变，理由见解析．【分析】（1）先根据非负数的性质求出a 、b 的值，作AE ⊥OB 于点E ，由SAS 定理得出△AEO ≌△AEB ，根据全等三角形的性质即可得出结论；（2）先根据∠CAD=∠OAB ，得出∠OAC=∠BAD ，再由SAS 定理即可得出结论； （3）设∠AOB=∠ABO=α，由全等三角形的性质可得出∠ABD=∠AOB=α，故∠OBP=180°-∠ABO-∠ABD=180°-2α为定值，再由OB=2，∠POB=90°可知OP 的长度不变，故可得出结论．【详解】（1）证明：∵()2320a b a b +-+-=，∴30,20,a b a b +-=⎧⎨-=⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩∴()1,3A ，()2,0B ．作AE OB ⊥于点E ，∵()1,3A ，()2,0B ，∴1OE =，211BE =-=，在AEO ∆与AEB ∆中，∵,90,,AE AE AEO AEB OE BE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴AEO AEB ∆∆≌，∴OA AB =．（2）证明：∵CAD OAB ∠=∠，∴CAD BAC OAB BAC ∠+=∠+∠∠，即OAC BAD ∠=∠．在AOC ∆与ABD ∆中，∵,,,OA AB OAC BAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOC ABD ∆∆≌．（3）解：点P 在y 轴上的位置不发生改变．理由：设AOB α∠=．∵OA AB =，∴AOB ABO α∠=∠=．由（2）知，AOC ABD ∆∆≌，∴ABD AOB α∠=∠=．∵2OB =，1801802OBP ABO ABD α∠=︒-∠-∠=︒-为定值，90POB ∠=︒，易知POB ∆形状、大小确定，∴OP 长度不变，∴点P 在y 轴上的位置不发生改变．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 26．（1）BEF ，C ，CEF ，CD ；（2）证明见解析；（3）∠E ＝2∠F【分析】（1）过点E ，作EF ∥AB ，根据内错角性质即可得出∠B ＝∠BEF ，利用等量代换即可证出∠C ＝∠CEF ，进而得出EF ∥CD ．（2）如图3，过点N 作NG ∥AB ，交BM 于点G ，可以知道NG ∥AB ∥CD ，由平行线的性质得出∠ABN ＝∠BNG ，∠GNC ＝∠NCD ，由三角形的外角性质得出∠BMN ＝∠BCM +∠CBM ，证出∠BCM +∠CBM ＝∠BNG +∠GNC ，进而得出∠BCM +∠CBM ＝∠ABN +∠NCD ，由角平分线得出∠BCM ＝∠NCD ，即可得出结论．（3）如图4，分别过E ，F 作EG ∥AB ，FH ∥AB ，则EG ∥CD ，FH ∥CD ，根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．【详解】（1）证明：如图2，过点E，作EF∥AB，∴∠B＝∠BEF，∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知），∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换），∴∠C＝∠CEF（等式性质），∴EF∥CD，∵EF∥AB，∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）；故答案为：BEF，C，CEF，CD；（2）如图3所示，过点N作NG∥AB，交BM于点G，则NG∥AB∥CD，∴∠ABN＝∠BNG，∠GNC＝∠NCD，∵∠BMN是△BCM的一个外角，∴∠BMN＝∠BCM+∠CBM，又∵∠BMN＝∠BNM，∠BNM＝∠BNG+∠GNC，∴∠BCM+∠CBM＝∠BNG+∠GNC，∴∠BCM+∠CBM＝∠ABN+∠NCD，∵CN平分∠BCD，∴∠BCM＝∠NCD，∴∠CBM＝∠ABN．（3）如图4，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，∴∠BEG＝∠ABE，∠CEG＝∠DCE，∴∠BEC＝∠BEG+∠CEG＝∠ABE+∠DCE，同理可得∠BFC＝∠ABF+∠DCF，∵∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F，∴∠ABE＝2∠ABF，∠DCE＝2∠DCF，∴∠BEC＝2（∠ABF+∠DCF）＝2∠BFC．【点睛】本题考察了命题与定理、平行线的性质与判定、逆命题、三角形的外角性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解决问题的关键．。
八年级数学上册--全等三角形练习题(含答案)
八年级数学上册--全等三角形练习题（含答案）一、选择题(每题3分,共30分)1．下列判断不正确的是( )A．形状相同的图形是全等图形 B．能够完全重合的两个三角形全等C．全等图形的形状和大小都相同 D．全等三角形的对应角相等2．如图,△ABC≌△CDA,∠BAC=85°,∠B=65°,则∠CAD度数为（）A．85°B．65°C．40°D．30°(第2题图) (第3题图) (第4题图) (第5题图) 3．如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB＝AD,BC＝DC,将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是∠PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构,可得△ABC≌△ADC,这样就有∠QAE＝∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是( )A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS4．如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,垂足为E.若AB＝10 cm,AC ＝6 cm,则BE的长度为( )A．10 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm5．如图所示,AB＝CD,∠ABD＝∠CDB,则图中全等三角形共有( )A．5对 B．4对 C．3对 D．2对6．点P在∠AOB的平分线上,点P到OA边的距离等于5,点Q是OB边上的任意一点,则下列选项正确的是( )A．PQ＞5 B．PQ≥5 C．PQ＜5 D．PQ≤57．在△ABC中,∠B＝∠C,与△ABC全等的△DEF中有一个角是100°,那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是( )A．∠A B．∠B C．∠C D．∠B或∠C8．如图所示,已知△ABE≌△ACD,∠1＝∠2,∠B＝∠C,则不正确的是( )A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CAD C．BE＝DC D．AD＝DE(第8题图) (第9题图) (第10题图) 9．如图,直线a,b,c表示三条公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( )A．一处 B．两处 C．三处 D．四处10．已知:如图,在△ABC和△ADE中,∠BAC＝∠DAE＝90°,AB＝AC,AD＝AE,连接CD,C,D,E 三点在同一条直线上,连接BD,BE.以下四个结论:①BD＝CE；②∠ACE＋∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE＋∠DAC＝180°.其中结论正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(每题3分,共30分)11．如图,∠1＝∠2,要使△ABE≌△ACE,还需添加一个条件是:________．(填上你认为适当的一个条件即可)12．如图,点O在△ABC内,且到三边的距离相等．若∠A＝60°,则∠BOC＝________°.13．在△ABC中,AB＝4,AC＝3,AD是△ABC的角平分线,则△ABD与△ACD的面积之比是________.(第11题图) (第12题图) (第15题图) (第16题图) 14．已知等腰△ABC的周长为18 cm,BC＝8 cm,若△ABC≌△A′B′C′,则△A′B′C′的腰长等于________．15．如图,BE⊥AC,垂足为D,且AD＝CD,BD＝ED.若∠ABC＝54°,则∠E＝________°.16．如图,△ABC≌△DCB,AC与BD相交于点E,若∠A＝∠D＝80°,∠ABC＝60°,则∠BEC 等于________．17．如图,OP平分∠MON,PE⊥OM于点E,PF⊥ON于点F,OA＝OB,则图中共有________对全等三角形．18．如图,已知P(3,3),点B,A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上,∠APB＝90°,则OA＋OB ＝________．(第17题图) (第18题图) (第19题图) (第20题图) 19．如图,AE⊥AB,且AE＝AB,BC⊥CD,且BC＝CD,请按照图中所标注的数据,计算图中实线所围成的图形的面积S是________．20．如图,已知点P到BE,BD,AC的距离恰好相等,则点P的位置:①在∠DBC的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠DBC,∠DAC,∠ECA的平分线的交点,上述结论中,正确的有________．(填序号)三、解答题(21,22题每题7分,23,24题每题8分,25～27题每题10分,共60分)21．如图,按下列要求作图:(1)作出△ABC的角平分线CD；(2)作出△ABC的中线BE；(3)作出△ABC的高AF.(不写作法)(第21题图)22．如图,已知△EFG≌△NMH,∠F与∠M是对应角．(1)写出所有相等的线段与相等的角；(2)若EF＝2.1 cm,FH＝1.1 cm,HM＝3.3 cm,求MN和HG的长度．(第22题图) 23．如图,AD⊥AE,AB⊥AC,AD＝AE,AB＝AC.求证:△ABD≌△ACE.(第23题图)24．如图,AC∥BE,点D在BC上,AB＝DE,∠ABE＝∠CDE.求证:DC＝BE－AC.(第24题图)25．如图所示,在△ABC中,∠C＝90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB交AB于点E,点F在AC上,BD＝DF.求证:(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.(第25题图) 26．如图,A,B两建筑物位于河的两岸,要测得它们之间的距离,可以从点B出发在河岸上画一条射线BF,在BF上截取BC＝CD,过D作DE∥AB,使E,C,A在同一直线上,则DE的长就是点A,B之间的距离,请你说明道理．(第26题图)27．如图(1),在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF,连接CF.(1)如果AB＝AC,∠BAC＝90°,①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图(2),线段CF,BD所在直线的位置关系为______,线段CF,BD的数量关系为________；②当点D在线段BC的延长线上时,如图(3),①中的结论是否仍然成立,并说明理由；(2)如果AB≠AC,∠BAC是锐角,点D在线段BC上,当∠ACB满足什么条件时,CF⊥BC(点C、F不重合),并说明理由．(第27题图)参考答案一、1.A 2.D 3.D 4.C 5.C 6.B7．A 8.D9．D 分析:如图,在△ABC内部,找一点到三边距离相等,根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上,可知,此点在各内角的平分线上,作∠ABC,∠BCA的平分线,交于点O1,由角平分线的性质可知,O1到AB,BC,AC的距离相等．同理,作∠ACD,∠CAE的平分线,交于点O2,则O2到AC,BC,AB的距离相等,同样作法得到点O3,O4.故可供选择的地址有四处．故选D.(第9题答图)10．D二、11.∠B＝∠C(答案不唯一)12．120 13. 4∶3 14. 8 cm或5 cm15．27 16. 100°17．3 分析:因为△OPE≌△OPF,△OPA≌△OPB,△AEP≌△BFP,所以共有3对全等三角形．18．6 分析:过点P作PC⊥OB于C,PD⊥OA于D,则PD＝PC＝DO＝OC＝3,可证△APD≌△BPC,∴DA＝CB,∴OA＋OB＝OA＋OC＋CB＝OA＋OC＋DA＝OC＋OD＝6.19．50 分析:由题意易知,△AFE≌△BGA,△BGC≌△CHD.∴FA＝BG＝3,AG＝EF＝6,CG＝HD＝4,CH＝BG＝3.∴S＝S梯形EFHD －S△EFA－S△AGB－S△BGC－S△CHD＝1 2(4＋6)×(3＋6＋4＋3)－12×3×6×2－12×3×4×2＝80－18－12＝50.20．①②③④三、21.解:(1)角平分线CD如图①所示．(2)中线BE如图②所示．(3)高AF如图③所示．(第21题答图)22．解:(1)EF ＝MN,EG ＝HN,FG ＝MH,FH ＝GM,∠F ＝∠M,∠E ＝∠N,∠EGF ＝∠MHN,∠FHN ＝∠EGM.(2)∵△EFG ≌△NMH,∴MN ＝EF ＝2.1 cm,GF ＝HM ＝3.3 cm, ∵FH ＝1.1 cm,∴HG ＝GF －FH ＝3.3－1.1＝2.2 (cm)． 23．证明:∵AD ⊥AE,AB ⊥AC,∴∠CAB ＝∠DAE ＝90°. ∴∠CAB ＋∠CAD ＝∠DAE ＋∠CAD,即∠BAD ＝∠CAE. 在△ABD 和△ACE 中,⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE.24．证明:∵AC ∥BE,∴∠DBE ＝∠C.∵∠CDE ＝∠DBE ＋∠E,∠ABE ＝∠ABC ＋∠DBE,∠ABE＝∠CDE,∴∠E ＝∠ABC.在△ABC 与△DEB中,⎩⎨⎧∠C ＝∠DBE ，∠ABC ＝∠E ，AB ＝DE ，∴△ABC ≌△DEB(AAS)．∴BC ＝BE,AC ＝BD.∴DC ＝BC －BD ＝BE －AC.25．证明:(1)∵AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB,DC ⊥AC, ∴DE ＝DC. 又∵BD ＝DF,∴Rt △CDF ≌Rt △EDB(HL)． ∴CF ＝EB.(2)由(1)可知DE ＝DC,又∵AD ＝AD, ∴Rt △ADC ≌Rt △ADE. ∴AC ＝AE.∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB.点拨:(1)根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”,可得点D 到AB 的距离＝点D 到AC 的距离,即CD ＝DE.再根据Rt △CDF ≌Rt △EDB,得CF ＝EB.(2)利用角平分线的性质证明Rt △ADC ≌Rt △ADE,∴AC ＝AE,再将线段AB 进行转化． 26．解:∵DE ∥AB,∴∠A ＝∠E.∵E,C,A 在同一直线上,B,C,D 在同一直线上,∴∠ACB ＝∠ECD.在△ABC 与△EDC 中,⎩⎨⎧∠A ＝∠E ，∠ACB ＝∠ECD ，BC ＝CD ，∴△ABC ≌△EDC(AAS)． ∴AB ＝DE.27．解:(1)①CF ⊥BD ；CF ＝BD②当点D 在线段BC 的延长线上时,①中的结论仍然成立．理由:由正方形ADEF 得AD ＝AF,∠DAF ＝90°.∵∠BAC ＝90°,∴∠DAF ＝∠BAC. ∴∠DAB ＝∠FAC.又∵AB ＝AC,∴△DAB ≌△FAC. ∴CF ＝BD,∠ACF ＝∠ABD. ∵∠BAC ＝90°,AB ＝AC,∴△ABC 是等腰直角三角形．∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°. ∴∠ACF ＝45°.∴∠BCF ＝∠ACB ＋∠ACF ＝90°.即CF ⊥BD.(第27题答图)(2)当∠ACB ＝45°时,CF ⊥BC(如图)．理由:过点A 作AG ⊥AC 交CB 的延长线于点G,则∠GAC ＝90°.∵∠ACB ＝45°,∠AGC ＝90°－∠ACB,∴∠AGC ＝90°－45°＝45°,∴∠ACB ＝∠AGC ＝45°,∴△AGC 是等腰直角三角形,∴AC ＝AG.又∵∠DAG ＝∠FAC(同角的余角相等),AD ＝AF,∴△GAD ≌△CAF,∴∠ACF ＝∠AGC ＝45°,∴∠BCF ＝∠ACB ＋∠ACF ＝45°＋45°＝90°,即CF ⊥BC.。
人教版数学八年级上册第十二章《全等三角形》测试题含答案
人教版数学八年级上册第十二章《全等三角形》测试题一、选择题1．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm2．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（）A．（﹣，1） B．（﹣1，） C．（，1）D．（﹣，﹣1）3．在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A 地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（）A．B．C．D．4．如图，坐标平面上，△ABC与△DEF全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F，且AB=BC=5．若A点的坐标为（﹣3，1），B、C两点在方程式y=﹣3的图形上，D、E两点在y轴上，则F点到y轴的距离为何？（）A．2 B．3 C．4 D．55．平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图．若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD的度数为（）A．110°B．125°C．130°D．155°6．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（）A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF7．如图，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C．设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式是（）A．y=﹣B．y=﹣C．y=﹣D．y=﹣8．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（）A．B．C．D．﹣29．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A． a2B． a2C． a2D． a2二、解答题（共21小题）10．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=CD，∠CEF=90°．（1）若∠ECF=30°，CF=8，求CE的长；（2）求证：△ABF≌△DEC；（3）求证：四边形BCEF是矩形．11．已知△ABC为等边三角形，D为AB边所在的直线上的动点，连接DC，以DC为边在DC两侧作等边△DCE和等边△DCF（点E在DC的右侧或上侧，点F在DC左侧或下侧），连接AE、BF（1）如图1，若点D在AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，若点D在AB的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？请直接写出结论（不需要证明）；（3）若点D在AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段AE、BF和AB 有怎样的数量关系，并直接写出结论（不需要证明）12．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：△ABE≌DCE；（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．14．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．15．已知：如图，AD，BC相交于点O，OA=OD，AB∥CD．求证：AB=CD．16．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB 边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．17．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．18．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．19．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D．求证：AB=DE．20．已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点P在BC边上（P不与B、C重合）或点P在△ABC 内部，连接CP、BP，将CP绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE；将BP绕点B顺时针旋转90°，得到线段BD，连接ED交AB于点O．（1）如图a，当点P在BC边上时，求证：OA=OB；（2）如图b，当点P在△ABC内部时，①OA=OB是否成立？请说明理由；②直接写出∠BPC为多少度时，AB=DE．21．（1）如图1，在△ABC和△DCE中，AB∥DC，AB=DC，BC=CE，且点B，C，E在一条直线上．求证：∠A=∠D．（2）如图2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4，∠AOD=120°，求AC的长．22．（1）如图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证：BC=BD；（2）列方程解应用题把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？23．已知：如图，D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：BC=AE．24．【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据______，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若______，则△ABC≌△DEF．25．问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．26．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF．（1）证明：△CBF≌△CDF；（2）若AC=2，BD=2，求四边形ABCD的周长；（3）请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明．27．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE=DF．求证：AE=CF．28．（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．29．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：（1）AF=CG；（2）CF=2DE．30．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．（1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；（2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．参考答案及试题解析一、选择题（共9小题）1．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm【解答】解：∵F是高AD和BE的交点，∴∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°，∴∠CAD+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠CAD=∠FBD，∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°=∠ABD，∴AD=BD，在△DBF和△DAC中∴△DBF≌△DAC（ASA），∴BF=AC=8cm，故选C．2．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（）A．（﹣，1） B．（﹣1，） C．（，1）D．（﹣，﹣1）【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，∵四边形OABC是正方形，∴OA=OC，∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°，又∵∠OAD+∠AOD=90°，∴∠OAD=∠COE，在△AOD和△OCE中，，∴△AOD≌△OCE（AAS），∴OE=AD=，CE=OD=1，∵点C在第二象限，∴点C的坐标为（﹣，1）．故选：A．3．（2014•湖州）在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（）A．B．C．D．【解答】解：A、延长AC、BE交于S，∵∠CAB=∠EDB=45°，∴AS∥ED，则SC∥DE．同理SE∥CD，∴四边形SCDE是平行四边形，∴SE=CD，DE=CS，即走的路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；B、延长AF、BH交于S1，作FK∥GH与BH的延长线交于点K，∵∠SAB=∠S1AB=45°，∠SBA=∠S1BA=70°，AB=AB，∴△SAB≌△S1AB，∴AS=AS1，BS=BS1，∵∠FGH=180°﹣70°﹣43°=67°=∠GHB，∴FG∥KH，∵FK∥GH，∴四边形FGHK是平行四边形，∴FK=GH，FG=KH，∴AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB，∵FS1+S1K＞FK，∴AS+BS＞AF+FK+KH+HB，即AC+CD+DE+EB＞AF+FG+GH+HB，C、D、同理可证得AI+IK+KM+MB＜AS2+BS2＜AN+NQ+QP+PB．综上所述，D选项的所走的线路最长．故选：D．4．如图，坐标平面上，△ABC与△DEF全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F，且AB=BC=5．若A点的坐标为（﹣3，1），B、C两点在方程式y=﹣3的图形上，D、E两点在y轴上，则F点到y轴的距离为何？（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：如图，作AH、CK、FP分别垂直BC、AB、DE于H、K、P．∴∠DPF=∠AKC=∠CHA=90°．∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA．在△AKC和△CHA中，∴△AKC≌△CHA（ASA），∴KC=HA．∵B、C两点在方程式y=﹣3的图形上，且A点的坐标为（﹣3，1），∴AH=4．∴KC=4．∵△ABC≌△DEF，∴∠BAC=∠EDF，AC=DF．在△AKC和△DPF中，，∴△AKC≌△DPF（AAS），∴KC=PF=4．故选：C．5．平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图．若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD的度数为（）A．110°B．125°C．130°D．155°【解答】解：在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠A=∠B，∠BCE=∠ACD，∴∠BCA=∠ECD，∵∠ACE=55°，∠BCD=155°，∴∠BCA+∠ECD=100°，∴∠BCA=∠ECD=50°，∵∠ACE=55°，∴∠ACD=105°∴∠A+∠D=75°，∴∠B+∠D=75°，∵∠BCD=155°，∴∠BPD=360°﹣75°﹣155°=130°，故选：C．6．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（）A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF【解答】解：在△ABC和△DEB中，，∴△ABC≌△DEB （SSS），∴∠ACB=∠DBE．∵∠AFB是△BFC的外角，∴∠ACB+∠DBE=∠AFB，∠ACB=∠AFB，故选：C．7．如图，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C．设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式是（）A．y=﹣B．y=﹣C．y=﹣D．y=﹣【解答】解：作FG⊥BC于G，∵∠DEB+∠FEC=90°，∠DEB+∠BDE=90°；∴∠BDE=∠FEG，在△DBE与△EGF中∴△DBE≌△EGF，∴EG=DB，FG=BE=x，∴EG=DB=2BE=2x，∴GC=y﹣3x，∵FG⊥BC，AB⊥BC，∴FG∥AB，CG：BC=FG：AB，即=，∴y=﹣．故选：A．8．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（）A．B．C．D．﹣2【解答】解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，∴AM=AN=2，BM=DN=4，连接MN，连接AC，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°在Rt△ABC与Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）∴∠BAC=∠DAC=∠BAD=30°，MC=NC，∴BC=AC，∴AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，3BC2=AB2，∴BC=2，在Rt△BMC中，CM===2．∵AN=AM，∠MAN=60°，∴△MAN是等边三角形，∴MN=AM=AN=2，过M点作ME⊥CN于E，设NE=x，则CE=2﹣x，∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即4﹣x2=（2）2﹣（2﹣x）2，解得：x=，∴EC=2﹣=，∴ME==，∴tan∠MCN==故选：A．9．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A． a2B． a2C． a2D． a2【解答】解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD=90°，又∵∠EPM=∠EQN=90°，∴∠PEQ=90°，∴∠PEM+∠MEQ=90°，∵三角形FEG 是直角三角形，∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，∴∠PEM=∠NEQ ，∵AC 是∠BCD 的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°， ∴EP=EQ ，四边形PCQE 是正方形，在△EPM 和△EQN 中，，∴△EPM ≌△EQN （ASA ）∴S △EQN =S △EPM ，∴四边形EMCN 的面积等于正方形PCQE 的面积， ∵正方形ABCD 的边长为a ，∴AC=a ，∵EC=2AE ，∴EC=a ，∴EP=PC=a ，∴正方形PCQE 的面积=a ×a=a 2， ∴四边形EMCN 的面积=a 2，故选：D．二、解答题（共21小题）10．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=CD，∠CEF=90°．（1）若∠ECF=30°，CF=8，求CE的长；（2）求证：△ABF≌△DEC；（3）求证：四边形BCEF是矩形．【解答】（1）解：∵∠CEF=90°．∴cos∠ECF=．∵∠ECF=30°，CF=8．∴CF=CF•cos30°=8×=4；（2）证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D，∵在△ABF和△DEC中∴△ABF≌△DEC （SAS）；（3）证明：由（2）可知：△ABF≌△DEC，∴BF=CE，∠AFB=∠DCE，∵∠AFB+∠BFC=180°，∠DCE+∠ECF=180°，∴∠BFC=∠ECF，∴BF∥EC，∴四边形BCEF是平行四边形，∵∠CEF=90°，∴四边形BCEF是矩形．11．已知△ABC为等边三角形，D为AB边所在的直线上的动点，连接DC，以DC为边在DC两侧作等边△DCE和等边△DCF（点E在DC的右侧或上侧，点F在DC左侧或下侧），连接AE、BF（1）如图1，若点D在AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，若点D在AB的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？请直接写出结论（不需要证明）；（3）若点D在AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段AE、BF和AB 有怎样的数量关系，并直接写出结论（不需要证明）【解答】解：（1）AE+BF=AB，如图1，∵△ABC和△DCF是等边三角形，∴CA=CB，CD=CF，∠ACB=∠DCF=60°．∴∠ACD=∠BCF，在△ACD和△BCF中∴△ACD≌△BCF（SAS）∴AD=BF同理：△CBD≌△CAE（SAS）∴BD=AE∴AE+BF=BD+AD=AB；（2）BF﹣AE=AB，如图2，易证△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE，∴AD=BF，BD=AE，∴BF﹣AE=AD﹣BD=AB；（3）AE﹣BF=AB，如图3，易证△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE，∴AD=BF，BD=AE，∴BF﹣AE=AD﹣BD=AB．12．（2013•舟山）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：△ABE≌DCE；（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？【解答】（1）证明：∵在△ABE和△DCE中∴△ABE≌△DCE（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△DCE，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB，∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，∴∠EB C=25°．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，∵在Rt△ACD和Rt△AED中∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；（2）解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2．14．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD与△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE．15．已知：如图，AD，BC相交于点O，OA=OD，AB∥CD．求证：AB=CD．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠C，∠A=∠D，∵在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（AAS），∴AB=CD．16．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB 边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．【解答】（1）证明：∵在△CBF和△DBG中，，∴△CBF≌△DBG（SAS），∴CF=DG；（2）解：∵△CBF≌△DBG，∴∠BCF=∠BDG，又∵∠CFB=∠DFH，又∵△BCF中，∠CBF=180°﹣∠BCF﹣∠CFB，△DHF中，∠DHF=180°﹣∠BDG﹣∠DFH，∴∠DHF=∠CBF=60°，∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°．17．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．【解答】证明：∵FB=CE，∴FB+FC=CE+FC，∴BC=EF，∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AC=DF．18．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．【解答】证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形∴AD=AE，AB=AC，又∵∠EAC=90°+∠CAD，∠DAB=90°+∠CAD，∴∠DAB=∠EAC，∵在△ADB和△AEC中∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE．19．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D．求证：AB=DE．【解答】证明：∵BE=CF，∴BC=EF．∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF．在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AB=DE．20．已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点P在BC边上（P不与B、C重合）或点P在△ABC 内部，连接CP、BP，将CP绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE；将BP绕点B顺时针旋转90°，得到线段BD，连接ED交AB于点O．（1）如图a，当点P在BC边上时，求证：OA=OB；（2）如图b，当点P在△ABC内部时，①OA=OB是否成立？请说明理由；②直接写出∠BPC为多少度时，AB=DE．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∴CA=CB，∠A=∠ABC=45°，由旋转可知：CP=CE，BP=BD，∴CA﹣CE=CB﹣CP，即AE=BP，∴AE=BD．又∵∠CBD=90°，∴∠OBD=45°，在△AEO和△BDO中，，∴△AEO≌△BDO（AAS），∴OA=OB；（2）成立，理由如下：连接AE，则△AEC≌△BCP，∴AE=BP，∠CAE=∠BPC，∵BP=BD，∴BD=AE，∵∠OAE=45°+∠CAE，∠OBD=90°﹣∠OBP=90°﹣（45°﹣∠BPC）=45°+∠PBC，∴∠OAE=∠OBD，在△AEO和△BDO中，，∴△AEO≌△BDO（AAS），∴OA=OB，②当∠BPC=135°时，AB=DE．理由如下：解法一：当AB=DE时，由①知OA=OB，∴OA=OB=OE=OD．设∠PCB=α，由旋转可知，∠ACE=α．连接OC，则OC=OA=OB，∴OC=OE，∴∠DEC=∠OCE=45°+α．设∠PBC=β，则∠ABP=45°﹣β，∠OBD=90°﹣∠ABP=45°+β．∵OB=OD，∴∠D=∠OBD=45°+β．在四边形BCED中，∠DEC+∠D+∠DBC+∠BCE=360°，即：（45°+α）+（45°+β）+（90°+β）+（90°+α）=360°，解得：α+β=45°，∴∠BPC=180°﹣（α+β）=135°．解法二（本溪赵老师提供，更为简洁）：当AB=DE时，四边形AEBD为矩形则∠DBE=90°=∠DBP，∴点P落在线段BE上．∵△ECP为等腰直角三角形，∴∠EPC=45°，∴∠BPC=180°﹣∠EPC=135°．21．（1）如图1，在△ABC和△DCE中，AB∥DC，AB=DC，BC=CE，且点B，C，E在一条直线上．求证：∠A=∠D．（2）如图2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4，∠AOD=120°，求AC的长．【解答】（1）证明：∵AB∥DC，∴∠B=∠DCE，在△ABC和△DCE中，∴△ABC≌△DCE（SAS），∴∠A=∠D；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AO=AB=4，∴AC=2AO=8．22．（1）如图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证：BC=BD；（2）列方程解应用题把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？【解答】（1）证明：∵AB平分∠CAD，∴∠CAB=∠DAB，在△ABC和△ABD中∴△ABC≌△ABD（SAS），∴BC=BD．（2）解：设这个班有x名学生，根据题意得：3x+20=4x﹣25，解得：x=45，答：这个班有45名学生．23．已知：如图，D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：BC=AE．【解答】证明：∵DE∥AB，∴∠CAB=∠ADE，∵在△ABC和△DAE中，，∴△ABC≌△DAE（ASA），∴BC=AE．24．【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据HL ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若∠B≥∠A ，则△ABC≌△DEF．【解答】（1）解：HL；（2）证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是钝角，∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠DEF，即∠CBG=∠FEH，在△CBG和△FEH中，，∴△CBG≌△FEH（AAS），∴CG=FH，在Rt△ACG和Rt△DFH中，，∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），∴∠A=∠D，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）；（3）解：如图，△DEF和△ABC不全等；（4）解：若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．故答案为：（1）HL；（4）∠B≥∠A．25．（2014•德州）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF=BE+DF ；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．【解答】解：问题背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成立．证明如下：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB，又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF=AE+BF成立，即EF=1.5×（60+80）=210海里．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．26．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF．（1）证明：△CBF≌△CDF；（2）若AC=2，BD=2，求四边形ABCD的周长；（3）请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明．【解答】（1）证明：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BCA=∠DCA，在△CBF和△CDF中，，∴△CBF≌△CDF（SAS），（2）解：∵△ABC≌△ADC，∴△ABC和△ADC是轴对称图形，∴OB=OD，BD⊥AC，∵OA=OC，∴四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，∵AC=2，BD=2，∴OA=，OB=1，∴AB===2，∴四边形ABCD的周长=4AB=4×2=8．（3）当EB⊥CD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，∠EFD=∠BCD，理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∠BCD=∠BAD，∵△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠BCD+∠CBF=90°，∠EFD+∠CDF=90°，∴∠EFD=∠BAD．27．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE=DF．求证：AE=CF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∴180°﹣∠ABD=180°﹣∠CDB，即∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF．28．（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABE=∠ADG，AD=AB，在△ABE和△ADG中，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∴∠EAG=90°，在△FAE和△GAF中，，∴△FAE≌△GAF（SAS），∴EF=FG；（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．在△ABM和△ACE中，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．在△MAN和△EAN中，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN=EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．∴MN2=BM2+NC2．∵BM=1，CN=3，∴MN2=12+32，∴MN=29．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：（1）AF=CG；（2）CF=2DE．【解答】证明：（1）∵∠ACB=90°，CG平分∠ACB，∴∠ACG=∠BCG=45°，又∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAF=∠CBF=45°，∴∠CAF=∠BCG，在△AFC与△CGB中，，∴△AFC≌△CBG（ASA），∴AF=CG；（2）延长CG交AB于H，∵CG平分∠ACB，AC=BC，∴CH⊥AB，CH平分AB，∵AD⊥AB，∴AD∥CG，∴∠D=∠EGC，在△ADE与△CGE中，，∴△ADE≌△CGE（AAS），∴DE=GE，即DG=2DE，∵AD∥CG，CH平分AB，∴DG=BG，∵△AFC≌△CBG，∴CF=BG，∴CF=2DE．30．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．（1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；（2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．【解答】（1）证明：如图①，∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，∴∠DAC=90°，在△ABE与△ACD中∴△ABE≌△ACD（SAS），∴CD=BE，∵在Rt△ABE中，F为BE的中点，∴BE=2AF，∴CD=2AF．（2）成立，证明：如图②，延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，∵∠BAC+∠EAD=180°，∴∠EAB+∠DAC=180°，∵∠EAB+∠BAH=180°，∴∠DAC=∠BAH，在△ABH与△ACD中，∴△ABH≌△ACD（SAS）∴BH=DC，∵AD=AE，AH=AD，∴AE=AH，∵EF=FB，∴BH=2AF，∴CD=2AF．。
八年级数学上册《全等三角形》练习题及答案
八年级数学上册《全等三角形》练习题及答案学校:___________姓名：___________班级：___________一、填空题1．如图，已知△ABC △△EDF ，点F ，A ，D 在同一条直线上，AD 是△BAC 的平分线，△EDA =20°，△F =60°，则△DAC 的度数是______．2．如图，△ABC △△DBE ，△ABC ＝80°，△D ＝65°，则△C 的度数为________．3．如图，在Rt △ABC 中，△C ＝90°，△CAD ＝50°，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧分别相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则△B 的度数为______．4．如图．两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B 到C 的方向平移到DEF 的位置，8,3==AB DP ，平移距离为6，则阴影部分的面积为____________．5．如图，数轴上从左到右排列的A 、B 、C 三点的位置如图所示．点B 表示的数是5，13AB =，6BC =，若将数轴折叠，使A ，C 两点重合，则与点B 重合的点表示的数是__________．6．如图，△ABC 是等边三角形，且BD ＝CE ，△1＝15°，则△2的度数为____°．二、单选题7．如图，点B 、D 、E 、C 在同一直线上，△ABD △△ACE ，△AEC ＝100°，则△DAE ＝（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．80°8．下列各组两个图形属于全等图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，ABC 与AED 关于直线l 对称，若30B ∠=︒，95C ∠=︒，则DAE =∠（ ）A ．30B ．95︒C ．55︒D ．65︒10．△ABC 的三条边分别为a ，b ，c ，下列条件不能判断△ABC 是直角三角形的是（ ）A ．a 2＋b 2＝c 2B ．△A ＝△B ＋△C C ．△A △△B △△C ＝3△4△5D ．a ＝5，b ＝12，c ＝1311．△ABC 中，△B ＝△C ，若与△ABC 全等的三角形中有一个角是92°，则这个角在△ABC 中的对应角是（ ）A ．△AB ．△A 或△BC ．△CD ．△B 或△C12．如图，在ABC 中，在边BC 上取一点D ，连接AD ，在边AD 上取一点E ，连接CE ．若ADB CDE △△≌，BAD ∠=α，则ACE ∠的度数为（ ）A ．αB ．45α-︒C ．45α︒-D ．90α︒-13．如图，已知矩形ABCD ，点E 是AB 边的中点，F 为AD 边上一点，2DFC BCE ∠=∠，若4,5CE CF ==，有如下结论：△CF BC AF =+，△75DF =，△175BC =，△12BCE BCF ∠=∠，其中正确的是（ ）A ．△△B ．△△△C ．△△D ．△△△14．如图，将正方形ABCD 剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到边长为c 的四边形EFGH ，下列等式成立的是（ ）A ．a b c +=B ．22()4c a b ab +⋅=C ．2()()c a b a b =+-D ．222+=a b c三、解答题15．如图，已知,,ABC CA CB ACD =∠△是ABC 的一个外角．请用尺规作图法，求作射线CP ，使CP AB ∥．（保留作图痕迹，不写作法）16．补全解题过程（1）已知：如图1，点C是线段AB的中点，CD＝2cm，BD＝8cm，求AD的长解：△CD＝2cm，BD＝8cm，△CB＝CD＋______＝______cm△点C是线段AB的中点，△AC＝CB＝_____cm，△AD＝AC＋_____＝_____cm（2）如图2，两个直角三角形的直角顶点重合，△BOD＝40°，求△AOC的度数．解：△△AOC＋△COB＝__________° ，△COB＋△BOD＝__________°，…………△△△AOC＝__________ ……………………△△△BOC＝40°，△△AOC＝________°在上面△到△的推导过程中，理由依据是：________________________________17．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成△△△△四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知bc＜0．(1)原点在第______部分；(2)若AC＝5，BC＝3，b＝﹣1，求a的值；(3)在（2）的条件下，数轴上一点D表示的数为d，若BD＝2OC，直接写出d的值．<），点E是线段OP的中点．在直径AB上方的18．如图，点P是O的直径AB延长线上的一点（PB OB=．求证：PC是O的切线．圆上作一点C，使得EC EP19．△MOQ＝90°，点A，B分别在射线OM、OQ上运动（不与点O重合）．(1)如图1，AI平分△BAO，BI平分△ABO，若△BAO＝40°，求△AIB的度数．(2)如图2，AI平分△BAO，BC平分△ABM，BC的反向延长线交AI于点D．△若△BAO＝40°，则△ADB＝°；△点A、B在运动的过程中，△ADB是否发生变化，若不变，试求△ADB的度数；若变化，请说明变化规律．参考答案：1．50°【分析】首先根据全等三角形的性质，可得△B=△EDF=20°，△C=△F=60°，即可求得△BAC=100°，再根据角平分线的定义即可求得．【详解】解：△△ABC△△EDF，△△B=△EDF，△C=△F，△△EDA=20°，△F=60°，△△B=20°，△C=60°，△△BAC=180°﹣△B﹣△C=100°，△AD是△BAC的平分线，△1502DAC BAC==︒∠∠，故答案为：50°．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握和运用全等三角形的性质是解决本题的关键．2．35︒##35度【分析】由△ABC△△DBE，根据全等三角形的性质可得△BAC＝△D＝65°，根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：△△ABC△△DBE，△D＝65°，△△BAC＝△D＝65°，△△ABC＝80°，△△C＝180°﹣△ABC﹣△BAC＝35°，故答案为：35°．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．3．20°##20度【分析】证明B DAB∠=∠，设B DAB∠=∠=x，利用三角形内角和定理构建方程求解．【详解】由作图可知，MN垂直平分线段AB，△DA=DB，△B DAB∠=∠，设B DAB∠=∠=x，在△ABC中，则有50°+x+x=90°，△x=20°，△20B∠=︒．故答案为：20°．【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段的垂直平分线等知识，解决本题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质．4．39【分析】根据平移的性质分别求出BE、DE，根据题意求出OE，根据全等三角形的性质、梯形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：由平移的性质知，BE ＝6，DE ＝AB ＝8，△PE ＝DE −DP ＝8−3＝5，根据题意得：△ABC △△DEF ，△S △ABC ＝S △DEF ，△S 四边形PDFC ＝S 梯形ABEP ＝12（AB ＋PE ）•BE ＝12⨯（8＋5）×6＝39，故答案为：39．【点睛】本题考查平移及全等三角形的性质，掌握平移的性质是解题的关键．5．2-【分析】根据题意求得,A C 点表示的数，进而根据折叠的性质即可求解．【详解】解：△点B 表示的数是5，13AB =，6BC =，△C 点表示的数是5611+=，点A 表示是数是5138-=-设与点B 重合的点为D ，根据对称性可得AD BC =∴D 点表示的数为862-+=- 故答案为：-2【点睛】本题考查了数轴上点的距离，折叠的性质，数形结合是解题的关键．6．60【分析】根据等边三角形的性质可得AB BC =，A ABC CB =∠∠，证明△ABD △△BCE （SAS ），根据全等三角形的性质可得△1＝△CBE ，根据三角形外角的性质可得△2＝△1+△ABE ，继而根据等量代换可得△2＝△CBE +△ABE ＝△ABC ，即可求解．【详解】解：△△ABC 是等边三角形，△AB BC =，A ABC CB =∠∠，在△ABD 和△BCE 中，AB BC ABC ACB BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABD △△BCE （SAS ），△△1＝△CBE ，△△2＝△1+△ABE ，△△2＝△CBE +△ABE ＝△ABC ＝60°．故答案为：60．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质是解题的关键．7．B【分析】由全等三角形的性质，得到100ADB AEC ∠=∠=︒，然后得到80ADE AED ∠=∠=︒，利用三角形的内角和定理，即可求出答案．【详解】解：△ABD ACE △≌△，△100ADB AEC ∠=∠=︒，△18010080ADE AED ∠=∠=︒-︒=︒，△180808020DAE ∠=︒-︒-︒=︒；故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行解题．8．B【分析】根据全等图形的定义，逐一判断选项，即可．【详解】解：A 、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，B.两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意，C.两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，D.两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，故选B ．【点睛】本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形，是全等图形”是解题的关键．9．C【分析】根据轴对称的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．【详解】解：ABC 与AED 关于直线l 对称，ABC ∴△AED ，DAE BAC ∴=∠∠，180180309555BAC B C ∠∠∠=︒--=︒-︒-︒=︒，55DAE ∠∴=︒．故选：C ．【点睛】本题考查轴对称，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．C【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A 、△222+=a b c ，△此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；B 、△△A ＋△B ＋△C ＝180°，△A ＝△B ＋△C ，△△A ＝90°，△此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；C 、设△A ＝3x ，则△B ＝4x ，△C ＝5x ，△△A ＋△B ＋△C ＝180°，△3x ＋4x ＋5x ＝180°，解得x ＝15°，△△C ＝5×15°＝75°，△此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；D 、△22251213+=，△此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222+=a b c ，那么这个三角形就是直角三角形．11．A【分析】根据三角形内角和定理可知，三角形中只能有一个钝角，因为△B ＝△C ，所以钝角一定是△A ．【详解】解：△在△ABC 中，△B ＝△C ，△A +△B +△C ＝180°，△△B 和△C 必须都是锐角，△若与△ABC 全等的一个三角形中有一个角为92°，那么92°的角在△ABC 中的对应角一定是△A ， 故选：A ．【点睛】本题考查三角形的内角和定理，全等三角形的性质，灵活运算三角形内角和等于180°是解题的关键．12．C【分析】根据全等三角形对应角相等、三角形外角性质及内角和定理，将△ABC 各个角相加，可求出△ADC =90°，由于全等三角形对应边相等，所以AD =CD ，所以△ACD =45°，则△ACE =45°-α．【详解】解：△ADB CDE △△≌△△BAD =△ECD =α，△B =△DEC ，△ADB =△CDE ，AD =CD△△DEC =△EAC +△ACE△△BAC +△B +△ACB =△BAD +△EAC +△B +△ECD +△ACE =△BAD +2△B +△ECD =180°△△B =1802902αα︒-=︒- △△ADC =△ADB =90°△AD =CD△△DAC =△DCA =45°△△ACE =△ACD -△ECD =45°-α故选 C【点睛】本题考查了全等三角形的性质、三角形外角性质及内角和定理，根据已知条件熟练运用相关知识是解题的关键．13．B【分析】过E 作EH △CF 于H ，利用矩形的性质和全等三角形的判定和性质判断即可．【详解】解：过E 作EH △CF 于H ，如图，△四边形ABCD 是矩形，△90B BCD D ∠=∠=∠=︒，△9090DFC DCF DCF FCE BCE ，∠+∠=︒∠+∠+∠=︒，△DFC FCE BCE ∠=∠+∠，△2DFC BCE ∠=∠，△FCE BCE ∠=∠，在CHE 和CBE △中，90CHE B FCE BCE CE CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△CHE CBE AAS △≌△()，△CH CB HE BE CEH CEB BCE ECF ，，，==∠=∠∠=∠，△12BCE BCF ∠=∠， 故△正确；△AE EB =，△AE EH =，在Rt FAE 和Rt FHE 中，AE EH EF EF =⎧⎨=⎩， △Rt FAE Rt FHE HL △≌△△()，△AF FH AEF HEF ，=∠=∠，△45CE CF ，==，△CF CH FH BC AF =+=+，故△正确；△AEF HEF CEH CEB ，∠=∠∠=∠，△90HEF CEH +∠∠=︒，△3EF =， △1341221552EF CE EF CE HE CF CF ⋅⋅⨯====， △125AE =， △2425AB AE ==，△95AF ===， △75DF AD AF CH AF CF FH AF CF AF AF =-=-=--=--=， 故△正确； △916555BC CH CF FH ==-=-=， 故△错误．故选B ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．14．D【分析】利用空白部分的面积等于原正方形面积减4个全等三角形的面积，以及空白部分本身是一个边长为c 的正方形，利用等面积法求解．【详解】解：△四边形ABCD 是正方形，△△A =90°，△△AHE +△AEH =90°，△△AHE △△DGH ，△△DHG =△AEH ，△△AHE +△DHG =90°，△△EHG =90°，又△HE =EF =FG =GH ，△四边形EFGH 是正方形，△由图可得剩下正方形面积为：21()42a b ab +-⨯， 根据正方形面积公式，剩下正方形面积也可以表示为：c 2，221()42a b ab c ∴+-⨯=，化简得a 2+b 2＝c 2， 故选：D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，正方形的性质与判定，全等三角形的性质，解题的关键在于证明四边形EFGH 是正方形．15．见解析【分析】作ACD ∠的角平分线即可．【详解】解：如图，射线CP 即为所求作．【点睛】本题考查了角平分线、三角形外角的性质、平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理．16．（1）BD ，10，10，CD ；（2）90，90，△BOD ，50，同角的余角相等【分析】（1）先推出CB ＝10cm ，根据中点的定义得AC ＝CB ，进而即可求解；（2）根据同角的余角相等，即可求解．【详解】（1）解：△CD＝2cm，BD＝8cm，△CB＝CD＋BD＝10cm△点C是线段AB的中点，△AC＝CB＝10cm，△AD＝AC＋CD＝12cm故答案是：BD，10，10，CD；（2）解：△△AOC＋△COB＝90° ，△COB＋△BOD＝90°，………△△△AOC＝△BOD ………△△△BOC＝40°，△△AOC＝50°在上面△到△的推导过程中，理由依据是：同角的余角相等．故答案是：90，90，△BOD，50，同角的余角相等．【点睛】本题主要考查线段的中点的定义，角的和差运算，掌握同角的余角相等是解题的关键．17．(1)△(2)a的值为﹣3(3)d的值为3或﹣5【分析】（1）由bc＜0可知b、c异号，进而问题可求解；（2）根据数轴上两点距离可进行求解；（3）根据数轴上两点距离及线段和差关系可进行求解．（1）解：△bc＜0，△b，c异号，△原点在B，C之间，即第△部分，故答案为：△；（2）解：△BC＝3，b＝﹣1，点C在点B的右边，△C表示的数为：﹣1+3＝2，△AC＝5，A点在点C的左边，△点A表示的数为：2﹣5＝﹣3，△a的值为﹣3；（3）解：△C表示的数为2，△OC ＝2，△点B 表示的数为﹣1，点D 表示的数为d ，BD ＝2OC ，△|d ﹣（﹣1）|＝4，解得：d ＝3或﹣5，△d 的值为3或﹣5．【点睛】本题主要考查数轴上两点距离及线段的和差关系，熟练掌握数轴上两点距离及线段的和差关系是解题的关键．18．证明见解析【分析】连接OC ，根据线段中点的定义得到OE ＝EP ，求得OE ＝EC ＝EP ，得到△COE ＝△ECO ，△ECP ＝△P ，利用三角形内角和定理求出90ECO ECP ∠+∠=︒，根据切线的判定定理即可得到结论．【详解】证明：连接OC ，△点E 是线段OP 的中点，△OE EP =，△EC EP =，△OE EC EP ==，△COE ECO ∠=∠，ECP P ∠=∠，△180COE ECO ECP P ∠+∠+∠+∠=︒，△90ECO ECP ∠+∠=︒，△OC PC ⊥，△OC 是O 的半径，△PC 是O 的切线．【点睛】本题考查了切线的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．19．(1)135°(2)△45；△不变，理由见解析【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形内角和定理即可求解；（2）根据角平分线的性质和三角形内角和定理即可求解．（1）△MN△PQ，△△AOB＝90°，△△BAO＝40°，△△ABO＝90°﹣△OAB＝50°，△AI平分△BAO，BI平分△ABO，△△IBA＝12△ABO＝25°，△IAB＝12△OAB＝20°，△△AIB＝180°﹣(△IBA+△IAB)＝135°．（2）△△△MBA＝△AOB+△BAO＝90°+40°＝130°，△AI平分△BAO，BC平分△ABM，△△CBA＝12△MBA＝65°，△BAI＝12△BAO＝20°，△△CBA＝△D+△BAD，△△D＝45°，故答案为：45．△不变，理由：△△D＝△CBA﹣△BAD＝12△MBA﹣12△BAO，＝12(△MBA﹣△BAO)，＝12△AOB＝12×90°，＝45°，△点A、B在运动的过程中，△ADB＝45°．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．。
人教版八年级数学上册第十二章《全等三角形》测试带答案解析
人教版八年级数学上册第十二章《全等三角形》测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的角平分线，若3CD =，8AB =，则ABD △的面积是（ ）A ．12B ．10C ．8D ．62．小华在复习用尺规作一个角等于已知角的过程中，回顾了作图的过程，他发现OCD 与'''O C D 全等，请你说明小华得到全等的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS 3．如图，OB 平分∠AOC ，D 、E 、F 分别是射线OA 、射线OB 、射线OC 上的点，D 、E 、F 与O 点都不重合，连接ED 、EF 若添加下列条件中的某一个．就能使DOE ≅FOE ，你认为要添加的那个条件是（ ）A ．OD =OEB ．OE =OFC ．∠ODE =∠OED D ．∠ODE =∠OFE 4D E BC,,12110,60AD AE BE CD BAE ==∠=∠∠=︒=︒，则BAC ∠的度数为（ ）A ．90°B ．80°C ．70°D ．60°5．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，按以下步骤作图：①以B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA 、BC 于M 、N 两点；②分别以M 、N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧相交于点P ；③作射线BP ，交边AC 于D 点，若5,3AB BC ==，则线段CD 的长为（ ）A ．32B ．53C ．43D ．856．在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD 平分BAC ∠的是（ ）A ．图2B ．图1与图2C ．图1与图3D ．图2与图37．如图，在△ABC 中，∠A =90°，BE 是△ABC 的角平分线，ED ⊥BC 于点D ，CD =4，△CDE 周长为12，则AC 的长是（ ）8．如图，点E 是△ABC 内一点，∠AEB =90°，AE 平分∠BAC ，D 是边AB 的中点，延长线段DE 交边BC 于点F ，若AB =6，EF =1，则线段AC 的长为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．109．如图，AI 、BI 、CI 分别平分BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠，ID BC ⊥，ABC 的周长为18，3ID =，则ABC 的面积为（ ）A ．18B ．30C ．24D ．2710．数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD ，BC 的中点O 固定，只要测得C ，D 之间的距离，就可知道内径AB 的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是（ ）A ．边角边B ．三角形中位线定理C ．边边边D ．全等三角形的对应角相等11．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠FCA 的角平分线BP 、CP 交于点P ，延长BA 、BC ，PM ⊥BE 于M ，PN ⊥BF 于N ，则下列结论：①AP 平分∠EAC ；②2180ABC APC ∠+∠=︒；③2BAC BPC ∠=∠；④PAC MAP NCP S S S ∆∆∆=+．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ．若∠DAB 的角平分线AE 交CD 于E ，连接BE ，且BE 边平分∠ABC ，得到如下结论：①∠AEB ＝90°；②BC +AD ＝AB ；③BE ＝12CD ；④BC ＝CE ；⑤若AB ＝x ，则BE 的取值范围为0＜BE ＜x ，那么以上结论正确的是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①④⑤D ．①②⑤二、填空题13．如图，ABC DCB △≌△，若AB ＝4cm ，BC ＝6cm ，AC ＝5cm ，则DC ＝________cm ．14．嘉淇为了测量建筑物墙壁AB 的高度，采用了如图所示的方法：①把一根足够长的竹竿AC 的顶端对齐建筑物顶端A ，末端落在地面C 处；②把竹竿顶端沿AB 下滑至点D ，使DB ＝_____，此时竹竿末端落在地面E 处；③测得EB 的长度，就是AB 的高度．以上测量方法直接利用了全等三角形的判定方法 _____（用字母表示）．15．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 的长是_____．16．如图，任意画一个60BAC ∠=︒的ABC ，再分别作ABC 的两条角平分线BE 和CD ，BE 和CD 交于点P ，连结AP ．有以下结论：①AP 平分BAC ∠；②PD PE =；③BD CE BC =+；④PBD PCE PBC S S S +=．其中正确的序号是_____．三、解答题17．如图，点E 、F 在线段BC 上，//AB CD ，A D ∠=∠，BE CF =，证明：AE DF =．18．如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，CD =AB ，DE ∥AB ，∠DCE =∠A ．求证：DE =BC ．19．如图，点E ，F 在线段AD 上，AB ∥CD ，B C ∠=∠，BE CF =．求证：AF DE =．20．如图，ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E ，F 为直线AD 上的点，连接BE ，CF ，且BE CF ∥．(1)求证：BDE △≌CDF ；(2)若15AE =，8AF =，试求DE 的长．21．如图，已知ABC 中，2C B ∠=∠.(1)请用基本尺规作图：作∠BAC 的角平分线交BC 于点D ，在AB 上取一点E ，使AE =AC ，连接DE .（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）；(2)在（1）所作的图形中，求证：AB AC CD =+.请完成下面的证明过程：证明：∵AD 平分BAC ∠，∴DAC ∠=______，在EAD 与CAD 中AE AC EAD DAC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS EAD CAD ≌△△，∴______C =∠，DE CD =，AE =AC ，∵AED BDE ∠=∠+______，且2C B ∠=∠，∴B BDE=，∠=∠，∴BE DE∴BE=______，=+.∵AB AE BE=+，∴AB AC CD22．如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于点O，OA＝OD．(1)AB＝DC；(2)△ABC≌△DCB．23．如图，已知△ABC≌△DEF，AF＝5cm．（1）求CD的长．（2）AB与DE平行吗？为什么？解：（1）∵△ABC≌△DEF（已知），∴AC＝DF（），∴AC﹣FC＝DF﹣FC（等式性质）即＝∵AF＝5cm∴＝5cm（2）∵△ABC≌△DEF（已知）∴∠A＝（）∴AB（）24．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为BC上一点，BF⊥AD于点E，交AC于点F，连接DF．(1)如图①，当AD平分∠BAC时，①AB与AF相等吗？为什么？②判断DF与AC的位置关系，并说明理由；(2)如图②，当点D为BC的中点时，试说明：∠FDC＝∠ADB．25．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD ＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF．(1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系；(2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转，①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围．参考答案：1．A【分析】过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE =CD =2，然后根据三角形的面积公式求解即可．【详解】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵AD 是∠BAC 的角平分线,90C ∠=︒，CD =3，∴DE =CD =3，∵AB =8，∴△ABD 的面积118312.22AB DE =⋅=⨯⨯= 故选A.【点睛】本题主要考查角了平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键.2．A【分析】利用全等三角形的判定定理即可求解．【详解】解：在OCD ∆和O C D '''∆中， OD O D OC O C DC D C '''''=⎧'⎪=⎨⎪=⎩，()OCD O C D SSS '''∴∆≅∆．故选：A ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．3．D【分析】根据OB 平分∠AOC 得∠AOB =∠BOC ，又因为OE 是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结果．【详解】解：∵OB 平分∠AOC∴∠AOB =∠BOC当△DOE ≌△FOE 时，可得以下结论：OD =OF ，DE =EF ，∠ODE =∠OFE ，∠OED =∠OEF ．A 答案中OD 与OE 不是△DOE ≌△FOE 的对应边，A 不正确；B 答案中OE 与OF 不是△DOE ≌△FOE 的对应边，B 不正确；C 答案中，∠ODE 与∠OED 不是△DOE ≌△FOE 的对应角，C 不正确；D 答案中，若∠ODE =∠OFE ，在△DOE 和△FOE 中，DOE FOE OE OEODE OFE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△DOE ≌△FOE （AAS ）∴D 答案正确．故选：D ．【点睛】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键．4．B【分析】先证明BD =CE ，然后证明△ADB ≌△AEC ，∠ADE =∠AED =70°，得到∠BAD =∠CAE ，根据三角形内角和定理求出∠DAE =40°，从而求出∠BAD 的度数即可得到答案．【详解】解：∵BE =CD ，∴BE -DE =CD -DE ，即BD =CE ，∵∠1=∠2=110°，AD =AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ），∠ADE =∠AED =70°，∴∠BAD =∠CAE ，∠DAE =180°-∠ADE -∠AED =40°，∵∠BAE =60°，∴∠BAD =∠CAE =20°，∴∠BAC =80°，故选B ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，邻补角互补，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．5．A【分析】利用基本作图得BD平分∠ABC，过D点作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得到则DE=DC，再利用勾股定理计算出AC=4，然后利用面积法得到12•DE×5+12•CD×3=12×3×4，最后解方程即可．【详解】解：由作法得BD平分∠ABC，过D点作DE⊥AB于E，如图，则DE=DC，在Rt△ABC中，AC BC222253=4，∵S△ABD+S△BCD=S△ABC，∴12•DE×5+12•CD×3=12×3×4，即5CD+3CD=12，∴CD=32，故选：A．【点睛】本题考查了基本作图：作解平分线，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线），角平分线的性质是解题的关键．6．C【分析】利用基本作图可对图1和图2进行判断；利用基本作图和全等三角形的判定与性质、角平分线性质定理的逆定理对图3进行判断．【详解】在图1中，利用基本作图可判断AD平分∠BAC；在图2中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为BC边上的中线；在图3中，根据作法可知：AE =AF ，AM =AN ，在△AMF 和△ANE 中，AF AE MAF NAE AM AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AMF ≌△ANE （SAS ），∴∠AMD =∠AND ，∵AE =AF ，AM =AN ，∴ME =NF ，在△MDE 和△NDF 中，MDE NDF AMD AND ME NF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDE ≌△NDF （AAS ），MDE NDF S S ∴=△△所以D 点到AM 和AN 的距离相等，∴AD 平分∠BAC ．综上，能判断射线AD 平分∠BAC 的是图1和图3．故选：C ．【点睛】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．7．B【分析】根据角平分线的性质得到AE =DE ，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵BE 是△ABC 的角平分线，ED ⊥BC ，∠A =90°，∴AE =DE ，∵△CDE 的周长为12，CD =4，∴DE +EC =8，∴AC =AE +EC =8，故选：B ．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．8．B【分析】延长BE 交AC 于H ，证明HAE BAE ∆≅∆，根据全等三角形的性质求出AH ，根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：延长BE 交AC 于H ， AE 平分BAC ∠，HAE BAE ∴∠=∠，在HAE ∆和BAE ∆中，HAE BAE AE AEAEH AEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()HAE BAE ASA ∴∆≅∆，6AH AB ∴==，HE BE =，HE BE =，AD DB =，//DF AC ∴，HE BE =，22HC EF ∴==，8AC AH HC ∴=+=，故选：B ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．9．D【分析】过I 点作IE ⊥AB 于点E ，IF ⊥AC 于点F ，如图，利用角平分线的性质得到IE =IF =ID =3，然后根据三角形面积公式得到ABC IAB IBC IAC S S S S =++△△△△，据此即可求得．【详解】解：过I 点作IE ⊥AB 于点E ，IF ⊥AC 于点F ，如图，∵AI ，BI ，CI 分别平分∠BAC ，∠ABC ，∠ACB ，∴IE =IF =ID =3，∴ABC IAB IBC IAC S S S S =++△△△△111333222AB BC AC =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 3()2AB BC AC =++ 3182=⨯ 27=故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积．10．A【分析】根据O 是AD 与BC 的中点，得到OA =OD ，OB =OC ，根据∠AOB =∠DOC ，推出△AOB ≌△DOC ，是SAS ．【详解】∵O 是AD 与BC 的中点，∴OA =OD ，OB =OC ，∵∠AOB =∠DOC ，∴△AOB ≌△DOC (SAS)．故选A ．【点睛】本题考查了测量原理，解决此类问题的关键是根据测量方法和工具推导测量原理．11．D【分析】过点P 作PD ⊥AC 于D ，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt △P AM ≌Rt △P AD ，根据全等三角形的性质得出∠APM ＝∠APD ，同理得出∠CPD ＝∠CPN ，可判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．【详解】解：①过点P 作PD ⊥AC 于D ，∵PB 平分∠ABC ，PC 平分∠FCA ，PM ⊥BE ，PN ⊥BF ，PD ⊥AC ，∴PM ＝PN ，PN ＝PD ，∴PM ＝PN ＝PD ，∴AP 平分∠EAC ，故①正确；②∵PM ⊥AB ，PN ⊥BC ，∴∠ABC +90°+∠MPN +90°＝360°，∴∠ABC +∠MPN ＝180°，在Rt △P AM 和Rt △P AD 中，PM PD PA PA=⎧⎨=⎩， ∴Rt △P AM ≌Rt △P AD （HL ），∴∠APM ＝∠APD ，同理：Rt △PCD ≌Rt △PCN （HL ），∴∠CPD ＝∠CPN ，∴∠MPN ＝2∠APC ，∴∠ABC +2∠APC ＝180°，②正确；③∵PC 平分∠FCA ，BP 平分∠ABC ，∴∠ACF ＝∠ABC +∠BAC ＝2∠PCN ，∠PCN ＝12∠ABC +∠BPC ， ∴()1122PCN ABC BPC ABC BAC ∠=∠+∠=∠+∠ ∴∠BAC ＝2∠BPC ，③正确；④由②可知Rt △P AM ≌Rt △P AD （HL ），Rt △PCD ≌Rt △PCN （HL ）∴S △APD ＝S △APM ，S △CPD ＝S △CPN ，∴S △APM +S △CPN ＝S △APC ，故④正确，故选：D【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．12．D【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABC +∠BAD ＝180°，又BE 、AE 都是角平分线，可以推出∠ABE +∠BAE ＝90°，从而得到∠AEB ＝90°，然后延长AE 交BC 的延长线于点F ，先证明△ABE 与△FBE 全等，再根据全等三角形对应边相等得到AE ＝EF ，然后证明△AED 与△FEC 全等，从而可以证明①②⑤正确，AB 与CD 不一定相等，所以③④不正确．【详解】解：∵AD ∥BC ，∴∠ABC +∠BAD ＝180°，∵AE 、BE 分别是∠BAD 与∠ABC 的平分线，∴∠BAE ＝12∠BAD ，∠ABE ＝12∠ABC ，∴∠BAE +∠ABE ＝12（∠BAD +∠ABC ）＝90°，∴∠AEB ＝180°﹣（∠BAE +∠ABE ）＝180°﹣90°＝90°，故①小题正确；如图，延长AE 交BC 延长线于F ，∵∠AEB ＝90°，∴BE ⊥AF ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠FBE ，在△ABE 与△FBE 中，90ABE FBE BE BEAEB FEB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝ ， ∴△ABE ≌△FBE （ASA ），∴AB ＝BF ，AE ＝FE ，∵AD ∥BC ，∴∠EAD ＝∠F ，在△ADE 与△FCE 中，EAD F AE FE AED FEC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ，∴△ADE ≌△FCE （ASA ），∴AD ＝CF ，∴AB ＝BF ＝BC +CF ＝BC +AD ，故②小题正确；∵△ADE ≌△FCE ，∴CE ＝DE ，即点E 为CD 的中点，∵BE 与CE 不一定相等∴BE 与12CD 不一定相等，故③小题错误；若AD ＝BC ，则CE 是Rt △BEF 斜边上的中线，则BC ＝CE ，∵AD 与BC 不一定相等，∴BC 与CE 不一定相等，故④小题错误；∵BF ＝AB ＝x ，BE ⊥EF ，∴BE 的取值范围为0＜BE ＜x ，故⑤小题正确．综上所述，正确的有①②⑤．故选：D ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，角平分线的定义，证明BE ⊥AF 并作出辅助线是解题的关键，本题难度较大，对同学们的能力要求较高． 13．4【分析】由ABC DCB △≌△，可得AB =DC ，已知AB =4cm ，即可得DC 的长度，做题时要找准对应边．【详解】解：∵ABC DCB △≌△，∴AB ＝DC ＝4cm ．故答案为4．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，题中条件虽多但找到相应关系即可得解，不需要用到所有条件，关键是找准对应边．14． CB ##BC HL【分析】根据题意，将AB 的长度转化为EB 的长度，证明Rt Rt ABC EBD ≌即可求解．【详解】解：由③可得将AB 的长度转化为EB 的长度，证明Rt Rt ABC EBD ≌，故把竹竿顶端沿AB 下滑至点D ，使DB ＝CB ，证明90,,ABC EBD AC ED DB CB ∠=∠=︒==，∴Rt Rt ABC EBD ≌（HL ）故答案为：CB ，HL ．【点睛】本题考查了HL 证明三角形全等，全等三角形的性质，掌握HL 的性质与判定是解题的关键．15．3【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE =DF ，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：过D 作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE =DF ，∴S △ABC =12AB ×DE +12AC ×DF =12×4×2+12AC ×2=7，解得AC =3．故答案为：3．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 16．①②③④【分析】首先由三角形内角和定理和角平分线得出PBC PCB ∠+∠的度数，再由三角形内角和定理可求出120BPC ∠=︒可知120DPE ∠=︒，过点P 作PF AB ⊥，PG AC ⊥，PH BC ⊥，由角平分线的性质可知AP 是BAC ∠的平分线，由此判断①；由全等三角形的判定定理可得出PFD PGE ≌，由此判断②；由三角形全等的判定定理可得出BHP BFP ≌，CHP CGP ≌，然后根据全等三角形推出BC BD CE =+，由此判断③，根据全等可得PBD S 、PCE S 和PBC S 的关系，由此判断④，由此即可解答本题．【详解】∵BE ，CD 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，60BAC ∠=︒， ∴11(180)(18060)6022BA B C PBC PC ︒-∠=︒+∠-︒=∠=︒， ∴()180********BPC PBC PCB ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，∴120DPE ∠=︒，过点P 作PF AB ⊥于F 点，PG ⊥AC 于G 点，PH ⊥BC 于H 点，∵BE ，CD 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，PF AB ⊥，PG AC ⊥，PH BC ⊥， ∴PF PH PG ==，∴AP 平分BAC ∠，故①正确；由①可知：PF PH PG ==，∵60BAC ∠=︒，90AFP AGP ∠=∠=︒，∴120FPG ∠=︒，∵120DPE ∠=︒，∴DPF DPE EPF FPG EPF EPG ∠=∠-∠=∠-∠=∠，∴PFD PGE ASA ≌（）， ∴PD PE =，故②正确；又∵BP BP =，PF PH =，∴()Rt BHP Rt BFP HL ≌，同理：Rt CHP Rt CGP ≌，∴BH BD DF =+，CH CE GE =-，两式相加得：+=++BH CH BD DF CE GE -，∵PFD PGE ASA ≌（）， ∴DF GE =，∴BD CE BC =+，故③正确；∵PF PH PG ==，∴PBD △，PCE ，PBC △，的高相等，∵BD CE BC =+，∴PBD PCE PBC S S S +=，故④正确；故答案是：①②③④．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质定理，角平分线的性质定理以及四边形内角为360°等知识，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．17．见解析【分析】利用AAS 证明△ABE ≌△DCF ，即可得到结论．【详解】证明：∵//AB CD ，∴∠B =∠C ，∵A D ∠=∠，BE CF =，∴△ABE ≌△DCF （AAS ），∴AE DF =．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．18．证明见解析【分析】利用角边角证明△CDE ≌△ABC ，即可证明DE =BC ．【详解】证明：∵DE ∥AB ，∴∠EDC =∠B ．又∵CD =AB ，∠DCE =∠A ，∴△CDE ≌△ABC (ASA)．∴DE =BC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．19．见详解【分析】由题意易得A D ∠=∠，然后可证ABE DCF △≌△，进而问题可求证．【详解】证明：∵AB ∥CD ，∴A D ∠=∠，∵B C ∠=∠，BE CF =，∴ABE DCF △≌△（AAS ），∴AE DF =，∵,AF AE EF DE DF EF =-=-，∴AF DE =．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．20．(1)见解析； (2)72；【分析】（1）根据两直线平行内错角相等；全等三角形的判定（角角边）；即可证明；（2）由（1）结论计算线段差即可解答；（1）证明：∵BE ∥CF ，∴∠BED =∠CFD ，∵∠BDE =∠CDF ，BD =CD ，∴△BDE ≌△CDF （AAS ）；（2）解：由（1）结论可得DE =DF ，∵EF =AE -AF =15-8=7，∴DE =72； 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定（AAS ）和性质；掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．21．(1)见详解(2)∠DAE ，∠AED ，∠B ，CD【分析】（1）利用尺规作出角平分线及相等的线段，然后连接即可；（2）先证明()EAD CAD SAS ≌，再结合AED BDE ∠=∠+∠B ，且2C B ∠=∠，即可得到结论．【详解】（1）解：如图所示即为所求；（2）证明：∵AD 平分BAC ∠，∴DAC ∠=∠DAE ，在EAD 与CAD 中，AE AC EAD DAC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()EAD CAD SAS ≌，∴∠AED C =∠，DE CD =，AE =AC ，∵AED BDE ∠=∠+∠B ，且2C B ∠=∠，∴B BDE ∠=∠，∴BE DE =，∴BE =CD ，∵AB AE BE =+，∴AB AC CD =+．故答案是：∠DAE ，∠AED ，∠B ，CD ．【点睛】本题主要考查尺规作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解题的关键．22．(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）证明△ABO ≌△DCO （ASA ），即可得到结论；（2）由△ABO ≌△DCO ，得到OB ＝OC ，又OA ＝OD ，得到BD ＝AC ，又由∠A ＝∠D ，即可证得结论．【详解】（1）证明：在△ABO 与△DCO 中，A D OA ODAOB DOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABO ≌△DCO （ASA ）∴AB ＝DC ；（2）证明：∵△ABO ≌△DCO ，∴OB ＝OC ，∵OA ＝OD ，∴OB ＋OD ＝OC ＋OA ，∴BD ＝AC ，在△ABC 与△DCB 中，AC BD A D AB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DCB （SAS ）．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握并灵活选择全等三角形的判定方法是解题的关键．23．（1）全等三角形对应边相等，AF ，CD ，CD ；（2）∠D ，全等三角形对应角相等，DE ，内错角相等，两直线平行．【分析】（1）根据△ABC ≌△DEF ，AF =5cm,可以得到CD =AF ，从而可以得到CD 的长；（2）根据△ABC ≌△DEF ，可以得到∠A =∠D ，从而可以得到AB 与DE 平行．【详解】解：（1）∵△ABC ≌△DEF （已知），∴AC ＝DF （全等三角形对应边相等），∴AC ﹣FC ＝DF ﹣FC （等式性质）即AF ＝CD ，∵AF ＝5cm∴CD ＝5cm ；（2）∵△ABC ≌△DEF （已知）∴∠A ＝∠D （全等三角形对应角相等）∴AB DE （内错角相等，两直线平行）．故答案为：（1）全等三角形对应边相等，AF ，CD ，CD ；（2）∠D ，全等三角形对应角相等，DE ，内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查全等三角形的性质和平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24．(1)①AB AF =，理由见解析；②DF AC ⊥，理由见解析；(2)见解析【分析】（1）①SAS 证明AEF AEB △≌△，即可推出AB AF =；②根据AD 垂直平分BF 可得BD DF =，进而SSS 证明ADF ADB ≌，可得90DFA DBA ∠=∠=︒，即可求解．（2）过点C 作CG BC ⊥，交BF 的延长线于点G ，ASA 证明ABD BCG △≌△,可得DB CG =，进而证明△FCG ≌FCD ()SAS ，得出FDC FGC ∠=∠，根据同角的余角相等，可得G ADB ∠=∠，等量代换可得∠FDC ＝∠ADB ．（1）①AB AF=，理由如下，AD平分∠BAC，FAD BAE∴∠=∠，BF⊥AD，AEB AEF∠=∠∴，又AE AE=，∴AEF AEB△≌△，∴AB AF=；②DF AC⊥，理由如下，AEF AEB△≌△，EF EB∴=，又AD FB⊥，DF DB∴=，在ADF△与ADB中AD ADAF ABDF DB=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ADF△≌ADB()SSS，90ABC∠=︒，∴90DFA DBA∠=∠=︒，即DF AC⊥；（2）过点C作CG BC⊥，交BF的延长线于点G，如图，90GCB DBA∴∠=∠=︒，BF AD⊥，90ABC∠=︒，∴90,90 GBD ADB ADB DAB∠+∠=︒∠+∠=︒，GBD DAB∴∠=∠，又AB BC=，∴ABD BCG △≌△()ASA ，DB CG ∴=，点D 为BC 的中点，BD CD ∴=12BC =， CG CD ∴=， ,90AB AC ABC =∠=︒，45ACB ∴∠=︒，45FCB FCG ∴∠=∠=︒，在△FCG 与FCD 中，CG CD GCF DCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FCG ≌FCD ()SAS ，FDC FGC ∴∠=∠，,CG CB AD BF ⊥⊥，FBD ADB FBD G ∴∠+∠=∠+∠，G ADB ∴∠=∠，∴∠FDC ＝∠ADB ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 25．(1)∠ADF =45°，ADDF ；(2)①成立，理由见解析；②1≤S △ADF ≤4.【分析】（1）延长DF 交AB 于H ，连接AF ，先证明△DEF ≌△HBF ，得BH =CD ，再证明△ADH 为等腰直角三角形，利用三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论；（2）①过B 作DE 的平行线交DF 延长线于H ，连接AH 、AF ，先证明△DEF ≌△HBF ，延长ED 交BC 于M ，再证明∠ACD =∠ABH ，得△ACD ≌△ABH ，得AD =AH ，等量代换可得∠DAH =90°，即△ADH 为等腰直角三角形，利用三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论；②先确定D 点的轨迹，求出AD 的最大值和最小值，代入S △ADF =214AD 求解即可．【详解】（1）解：∠ADF =45°，AD ，理由如下：延长DF 交AB 于H ，连接AF ，∵∠EDC =∠BAC =90°，∴DE ∥AB ，∴∠ABF =∠FED ，∵F 是BE 中点，∴BF =EF ，又∠BFH =∠DFE ，∴△DEF ≌△HBF ，∴BH =DE ，HF =FD ，∵DE =CD ，AB =AC ，∴BH =CD ，AH =AD ，∴△ADH 为等腰直角三角形，∴∠ADF =45°，又HF =FD ，∴AF ⊥DH ，∴∠F AD =∠ADF =45°，即△ADF 为等腰直角三角形，（2）解：①结论仍然成立，∠ADF=45°，AD DF，理由如下：过B作DE的平行线交DF延长线于H，连接AH、AF，如图所示，则∠FED=∠FBH，∠FHB=∠EFD，∵F是BE中点，∴BF=EF，∴△DEF≌△HBF，∴BH=DE，HF=FD，∵DE=CD，∴BH=CD，延长ED交BC于M，∵BH∥EM，∠EDC=90°，∴∠HBC+∠DCB=∠DMC+∠DCB=90°，又∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=45°，∴∠HBA+∠DCB=45°，∵∠ACD+∠DCB=45°，∴∠HBA=∠ACD，∴△ACD≌△ABH，∴AD=AH，∠BAH=∠CAD，∴∠CAD+∠DAB=∠BAH+∠DAB=90°，即∠HAD=90°，∴∠ADH=45°，∵HF=DF，∴AF⊥DF，即△ADF为等腰直角三角形，②由①知，S△ADF=12DF2=14AD2，由旋转知，当A、C、D共线时，且D在A、C之间时，AD取最小值为3－1=2，当A、C、D共线时，且C在A、D之间时，AD取最大值为3+1=4，∴1≤S△ADF≤4．【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质及判定、全等三角形判定及性质、勾股定理等知识点．构造全等三角形及将面积的最值转化为线段的最值是解题关键．遇到题干中有“中点”时，采用平行线构造出对顶三角形全等是常用辅助线．。
八年级数学上册《全等三角形》单元测试卷(有答案)
八年级数学上册《全等三角形》单元测试卷(有答案)一．选择题1．下列各组图形中不是全等形的是（）A．B．C．D．2．两个全等图形中可以不同的是（）A．位置B．长度C．角度D．面积3．下列图形是全等图形的是（）A．B．C．D．4．如图线段AB、DC相交于点O，已知OC＝OB，添加一个条件使△OCA≌△OBD，下列添加条件中，不正确的是（）A．AC＝DB B．∠C＝∠B C．OA＝OD D．∠A＝∠D5．如图所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC，则下列结论：①BD＝AD；②BC＝AC；③BH＝AC；④CE＝CD中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．在△ABC和△ADC中，有下列三个论断：（1）AB＝AD，（2）∠BAC＝∠DAC，（3）BC＝DC．将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成三个命题：（1）若AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，则BC＝DC；（2）若AB＝AD，BC＝DC，则∠BAC＝∠DAC；（3）若∠BAC＝∠DAC，BC＝DC，则AB＝AD．其中，正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．0个7．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝9厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为（）A．2.5 B．3 C．2.25或3 D．1或58．如图，AC与BD相交于点O，∠D＝∠C．添加下列哪个条件后，仍不能使△ADO≌△BCO的是（）A．AD＝BC B．AC＝BD C．OD＝OC D．∠ABD＝∠BAC9．一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小敏只带了一块去，则这块玻璃的编号是（）A．①B．②C．③D．④10．下列画图语句中，正确的是（）A．画射线OP＝3cm B．画出A、B两点的距离C．延长射线OA D．连接A、B两点二．填空题11．如图，已知∠CAE＝∠DAB，AC＝AD．给出下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件为．（注：把你认为正确的答案序号都填上）12．如图，在正方形网格中，∠1+∠2+∠3＝．13．要测量河岸相对两点A，B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C，D，使CD＝CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在一条直线上，如图，测出DE＝20米，则AB的长是米．14．下列说法：其中正确的是．（填序号）①用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段属于尺规作图；②射线AB与射线BA表示同一条射线；③若AC＝BC，则点C是线段AB的中点；④钟表在8：30时，时针与分针的夹角是60°．15．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝．16．如图所示，尺规作图作∠AOB的平分线，方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得到△OCP≌△ODP的根据是．17．如图，△ABC与△ADC中，∠B＝∠D＝90°，要使△ABC≌△ADC，还需添加的一个条件是（写一个即可）．18．在△ABC中，AB＝6，AC＝2，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是．19．如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有．（填序号）20．如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为．三．解答题21．已知：如图，点A、E、F、C在同一条直线上，AD∥CB，∠1＝∠2，AE＝CF．求证：△ADF ≌△CBE．22．如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：△ABC≌△DEF．23．如图，点E在AB上，△ABC≌△DEC，求证：CE平分∠BED．24．如图，△ABD≌△CBD，若∠A＝80°，∠ABC＝70°，求∠ADC的度数．25．我们知道能完全重合的图形叫做全等图形，因此，如果两个四边形能完全重合，那么这两个四边形全等，也就是说，当两个四边形的四个内角、四条边都分别对应相等时，这两个四边形全等．请借助三角形全等的知识，解决有关四边形全等的问题．如图，已知，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，现在只需补充一个条件，就可得四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．下列四个条件：①∠A＝∠A′；②∠D＝∠D′；③AD＝A′D′；④CD＝C′D′（1）其中，符合要求的条件是．（直接写出编号）（2）选择（1）中的一个条件，证明四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．26．如图，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE．求证：BD＝EC+ED．参考答案与解析一．选择题1．解：观察发现，A、C、D选项的两个图形都可以完全重合，∴是全等图形，B选项中圆与椭圆不可能完全重合，∴不是全等形．故选：B．2．解：两个全等图形中对应边的长度，对应角的角度，图形的面积相等，可以不同的是位置．故选：A．3．解：A、两个图形相似，错误；B、两个图形全等，正确；C、两个图形相似，错误；D、两个图形不全等，错误；故选：B．4．解：根据题意，已知OC＝OB，∠AOC＝∠COB，∴只需添加对顶角的邻边，即OA＝OD，或任意一组对应角，即∠C＝∠B，∠A＝∠D；所以，选项A错误；故选：A．5．解：①∵BE⊥AC，AD⊥BC∴∠AEH＝∠ADB＝90°∵∠HBD+∠BHD＝90°，∠EAH+∠AHE＝90°，∠BHD＝∠AHE∴∠HBD＝∠EAH∵DH＝DC∴△BDH≌△ADC（AAS）∴BD＝AD，BH＝AC②：∵BC＝AC∴∠BAC＝∠ABC∵由①知，在Rt△ABD中，BD＝AD∴∠ABC＝45°∴∠BAC＝45°∴∠ACB＝90°∵∠ACB+∠DAC＝90°，∠ACB＜90°∴结论②为错误结论．③：由①证明知，△BDH≌△ADC∴BH＝AC④：∵CE＝CD∵∠ACB＝∠ACB；∠ADC＝∠BEC＝90°∴△BEC≌△ADC由于缺乏条件，无法证得△BEC≌△ADC∴结论④为错误结论综上所述，结论①，③为正确结论，结论②，④为错误结论，根据题意故选B．故选：B．6．解：∵AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC，∴BC＝DC，故（1）正确；∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC，故（2）正确；由CB＝CD，∠BAC＝∠DAC，AC＝AC，不能证明△ABC≌△ADC，故（3）不正确．故选：B．7．解：∵△ABC中，AB＝AC＝12厘米，点D为AB的中点，∴BD＝6厘米，若△BPD≌△CPQ，则需BD＝CQ＝6厘米，BP＝CP＝BC＝×9＝4.5（厘米），∵点Q的运动速度为3厘米/秒，∴点Q的运动时间为：6÷3＝2（s），∴v＝4.5÷2＝2.25（厘米/秒）；若△BPD≌△CQP，则需CP＝BD＝6厘米，BP＝CQ，∴，解得：v＝3；∴v的值为：2.25或3，故选：C．8．解：添加AD＝CB，根据AAS判定△ADO≌△BCO，添加OD＝OC，根据ASA判定△ADO≌△BCO，添加∠ABD＝∠CAB得OA＝OB，可根据AAS判定△ADO≌△BCO，故选：B．9．解：因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，故应带第3块．故选：C．10．解：A、射线OP无限长，所以A选项不符合题意；B、量出A、B点的距离，所以B选项不符合题意；C、射线OA不需要延长，只能反向延长射线OA，所以C选项不符合题意；D、用直尺可以连接A、B两点，所以D选项符合题意．故选：D．二．填空题11．解：∵∠CAE＝∠DAB，∴∠CAE+∠EAB＝∠DAB+∠EAB，即∠CAB＝∠DAE；又AC＝AD；所以要判定△ABC≌△AED，需添加的条件为：①AB＝AE（SAS）；③∠C＝∠D（ASA）；④∠B＝∠E（AAS）．故填①、③、④．12．解：∵在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠4＝∠3，∵∠1+∠4＝90°，∴∠3+∠1＝90°，∵∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝135°，故答案为：135°．13．解：∵AB⊥BD，ED⊥AB，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB＝ED＝20．故答案为：20．14．解：①用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段属于尺规作图，所以本说法正确；②射线AB与射线BA表示同一条射线，射线有方向，所以本说法错误；③若AC＝BC，则点C是线段AB的中点，A，B，C不一定在一条直线上，所以本说法错误；④钟表在8：30时，时针与分针的夹角是75°，所以本说法错误．故答案为：①．15．解：∵在△ABC和△DBE中，∴△ABC≌△DBE（SAS），∴∠3＝∠ACB，∵∠ACB+∠1＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°，故答案为：135°．16．解：∵OC＝OD，PC＝PD（同圆或等圆的半径相等），OP＝OP（公共边），∴△OCP≌△ODP（SSS）．故填SSS．17．解：已知∠B＝∠D，AC是公共边，故添加CB＝CD、AB＝AD、∠1＝∠2、∠3＝∠4后可分别根据HL，AAS，AAS能判定△ABC≌△ADC．18．解：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB．在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，即4＜2AD＜8，2＜AD＜4．故答案为：2＜AD＜4．19．解：由图可知，图上由实线围成的图形与①是全等形的有②，③，故答案为：②③．20．解：∵△ABC≌△DCB，∴DB＝AC＝7，∴DE＝BD﹣BE＝7﹣5＝2，故答案为：2．三．解答题21．证明：∵AD∥CB，∴∠A＝∠C，∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE（ASA）．22．解：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，∵，∴△ABC≌△DEF（SSS）．23．证明：∵△ABC≌△DEC，∴∠B＝∠DEC，BC＝EC，∴∠B＝∠BEC，∴∠BEC＝∠DEC，∴CE平分∠BED．24．解：∵△ABD≌△CBD，∴∠C＝∠A＝80°，∴∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠ABC﹣∠C＝360°﹣80°﹣80°﹣70°＝130°．25．解：（1）符合要求的条件是①②④，故答案为：①②④；（2）选④，证明：连接AC、A′C′，在△ABC与△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（SAS），∴AC＝A′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，∵∠BCD＝∠B′C′D′，∴∠BCD﹣∠ACB＝∠B′C′D′﹣∠A′C′B′，∴∠ACD＝∠A′C′D′，在△ACD和△A′C′D中，，∴△ACD≌△A′C′D′（SAS），∴∠D＝∠D，∠DAC＝∠D′A′C′，DA＝D′A′，∴∠BAC+∠DAC＝∠B′A′C′+∠D′A′C′，即∠BAD＝∠B′A′D′，∴四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD＝A′D′，DC＝D′C′，∠B＝∠B′，∠BCD＝∠B′C′D′，∠D＝∠D′，∠BAD＝∠B′A′D′，∴四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．26．证明：∵∠BAC＝90°，CE⊥AE，BD⊥AE，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，∠ADB＝∠AEC＝90°．∴∠ABD＝∠DAC．∵在△ABD和△CAE中，∴△ABD≌△CAE（AAS）．∴BD＝AE，EC＝AD．∵AE＝AD+DE，∴BD＝EC+ED．。
八年级数学上册《三角形全等的判定》练习题及答案
八年级数学上册《三角形全等的判定》练习题及答案学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选题1．如图，//BC EF ，BC EF =，要使得ABC DEF △≌△，需要补充的条件不能是（ ）A ．B E ∠=∠ B ．AB DE =C ．AD CF = D ．//AB DE2．如图，已知ABC ，用直尺和圆规按以下步骤作出DEF ．（1）画射线DM ，以点D 为圆心，AB 长为半径画弧，与DM 交于点E ；（2）分别以D ，E 为圆心，线段AC ，BC 长为半径画弧，两弧相交于点F ；（3）连接DF ，EF ．则能用于证明ABC DEF ≌△△的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS3．如图，由AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，便可证得BAD ∠CAE ，其全等的理由是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS4．如图，在矩形ABCD 中，DE 平分ADC ∠交BC 于点E ，点F 是CD 边上一点（不与点D 重合）．点P 为DE 上一动点，PE PD <，将DPF ∠绕点P 逆时针旋转90°后，角的两边交射线DA 于H ，G 两点，有下列结论：∠DH DE =；∠DP DG =；∠DG DF +；∠DP DE DH DC ⋅=⋅，其中一定正确的是（ ）A ．∠∠B ．∠∠C ．∠∠D ．∠∠5．已知：如图AB //EF ，BC ∠CD ，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是（ ）A ．βαγ∠=∠+∠B ．180αβγ∠+∠+∠=C ．90αβγ∠+∠-∠=D ．90βγα∠+∠-∠=6．如图所示，E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，EF ∠BC ，EG ∠CD ，垂足分别是F 、G ．若CG ＝3，CF ＝4，则AE 的长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．7二、填空题7．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，10AC =，5BC =，线段PQ AB =，P ，Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AO 上运动，当AP =__________时，ABC 和PQA △全等．8．如图，AB 是∠O 的直径，AC 是∠O 的切线，A 为切点，连接BC ，与∠O 交于点D ，连接OD ．若82AOD ∠=︒，则C ∠=_________︒．9．正方形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（0，4）．若反比例函数y ＝k x（k ≠0）的图象经过点C ，则k 的值为 _____．10．如图，已知l 1∠l 2，MN 分别和直线1l 、2l 交于点A 、B ，ME 分别和直线1l 、2l 交于点C 、D ，点P 在MN 上（P 点与A 、B 、M 三点不重合）如果点P 在直线AB 运动时，α∠、β∠、γ∠之间有何数量关系______．11．如图，EFG 和HIJ 都是等边三角形，连接HG ，EI 交于点P ，则EPH ∠=_________度．12．如图，ABC 中，AB AC =，AD BD ⊥于点D ，20BAD ∠=︒，若2BC BD =，则BAC ∠的度数为 _____．三、解答题13．如图，已知ABC（1）用直尺和圆规按下列要求作图：（保留作图痕迹）在BC 上作点D ，使点D 到AB 和AC 的距离相等；过点B 作//BE AD 交CA 的延长线于E ；（2）若AF BE ⊥，垂足为F ，证明BF EF =．14．在∠ABC 中，D 是BC 的中点，DE ∠AB ，DF ∠AC ，垂足分别是E ，F ．(1)若BE ＝CF ，求证：AD 是∠ABC 的角平分线．(2)若AD 是∠ABC 的角平分线，求证：BE ＝CF ．15．如图，AB CD ，AD 与BC 交于点O ，40C ∠=︒，80AOB ∠=︒，求A ∠的度数．16．在ABC 中，AB AC =，D 是BC 边的中点，E 、F 分别是AD 、AC 边上的点．(1)如图∠，连接BE 、EF ，若ABE EFC ∠=∠，求证：BE EF =；(2)如图∠，若B 、E 、F 在一条直线上，且45ABE BAC ∠=∠=︒，探究BD 与AE 的数量之间有何等量关系，并说明理由；17．如图，在Rt DEF △和Rt ABC 中，90D A ∠=∠=︒，30E ∠=︒，45C ∠=︒，AC 与DF 相交于点G ，若105FGC ∠=︒，请判断EF 与BC 是否平行？并说明理由．18．如图，点D ，E 分别在OA ，OB 上，点P 在OC 上，且PD PE =．若180ODP OEP ∠+∠=︒，求证：OC 平分AOB ∠．参考答案：1．B【分析】根据全等三角形的判定定理判断解答即可．【详解】解：A 、∠BC ∠EF ，∠∠ACB =∠DFE ，又∠B =∠E ，BC =EF ，∠∠ABC ∠∠DEF （ASA ），正确，不符合题意；B 、根据全等三角形的判定定理，不能证明∠ABC ∠∠DEF ，错误，符合题意；C 、∠BC ∠EF ，∠∠ACB =∠DFE ，∠AD=CF ，∠AD+DC=CF+DC ，∠AC=DF ，∠BC=EF ，∠ACB =∠DFE ，AC=DF ，∠∠ABC ∠∠DEF （SAS ），正确，不符合题意；D 、∠BC ∠EF ，AB ∠DE ，∠∠ACB =∠DFE ，∠BAC =∠EDF ，又BC=EF ，∠∠ABC ∠∠DEF （AAS ），正确，不符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解答的关键．2．A【分析】根据作图方法可知，DE AB =，DF AC =，EF BC =，由此可解．【详解】解：根据作图的步骤（1）知DE AB =，由步骤（2）知DF AC =，EF BC =，根据三组边对应相等（SSS ），可证ABC DEF ≌△△． 故答案为：A ．【点睛】本题考查尺规作图和全等三角形的判定，根据作图的方法判断出两个三角形的三条边对应相等是解题的关键．3．C【分析】根据全等三角形的判定定理解答即可．【详解】解：在BAD 和CAE 中，A A AB AC B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠BAD ∠CAE ()ASA ，故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解本题的关键．4．D【分析】根据旋转的性质判断得()GPH DPF ASA ∆≅∆，可判断∠正确，证PDHCDE ∆∆可判断∠正确，从而得出结果.【详解】解：根据旋转的性质可知，90DPH GPF ∠=∠=︒，∠DE 平分ADC ∠，∠45HDP ∠=︒，∠45DHP PDH PDF ∠=∠=∠=︒，∠PH =PD ，∠90DPH GPF ∠=∠=︒∠GPH DPF ∠=∠在GPH ∆和DPF ∆中， ∠GHP FDP PH PD GPH DPF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠()GPH DPF ASA ∆≅∆∠HG DF =∠45PDH ∠=︒∠DH =∠DF DG GH DG DH +=+==故∠正确；∠45PDH PDF ∠=∠=︒，90DPH DCE ∠=∠=︒∠PDHCDE ∆∆ ∠DH DP DE CD= 即DP DE DH DC ⋅=⋅，故∠正确；根据已知条件无法证明∠DH =DE ，∠DP =DG .故选：D ．【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的全等、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．5．C【分析】分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，由平行线的性质可得到最终结果．【详解】如图，分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，,,,,,,90,90,AB EF AB CM DN EF BCM MCD NDC NDE BC CD BCD BCM MCD NDCNDE αγααβαβγ∴∴∠=∠∠=∠∠=∠⊥∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠-∠=︒∴∠+∠-∠=︒故选：C ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键，即∠两直线平行，同位角相等；∠两直线平行，内错角相等；∠两直线平行，同旁内角互补．6．C【分析】由“SAS”可证△ABE ∠∠CBE ，可得AE =CE ，可证四边形CFEG 是矩形，可得GC =EF =3，∠EFC =90°，由勾股定理可求解．【详解】解：如图，连接CE ，∠四边形ABCD 是正方形，∠AB ＝BC ，∠ABD ＝∠CBD ＝45°，在△ABE 和△CBE 中，AB BC ABE CBE BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABE ∠∠CBE （SAS ），∠AE ＝CE ，∠EF ∠BC ，EG ∠CD ，∠BCD ＝90°，∠四边形CFEG 是矩形，∠GC ＝EF ＝3，∠EFC ＝90°，∠CE5，∠AE ＝5，故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．7．5或10【分析】当AP ＝5或10时，∠ABC 和∠PQA 全等，根据HL 定理推出即可．【详解】解：∠∠C ＝90°，AO ∠AC ，∠∠C ＝∠QAP ＝90°，∠当AP ＝5＝BC 时，在Rt ∠ACB 和Rt ∠QAP 中∠AB PQ BC AP =⎧⎨=⎩， ∠Rt ∠ACB ∠Rt ∠QAP （HL ），∠当AP ＝10＝AC 时，在Rt ∠ACB 和Rt ∠P AQ 中AB PQ AC AP =⎧⎨=⎩， ∠Rt ∠ACB ∠Rt ∠P AQ （HL ），故答案为：5或10．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有ASA ，AAS ，SAS ，SSS ，HL ．8．49【分析】利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得∠B =12∠AOD =41°，根据AC 是∠O 的切线得到∠BAC =90°，即可求出答案．【详解】解：∠∠AOD =82°，∠∠B =12∠AOD =41°，∠AC 为圆的切线，A 为切点，∠∠BAC =90°，∠∠C =90°-41°=49°故答案为49．【点睛】此题考查圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形两锐角互余，正确理解圆周角定理及切线的性质定理是解题的关键．9．24【分析】过点C 作CE ∠y 轴，由正方形的性质得出∠CBA =90°，AB =BC ，再利用各角之间的关系得出∠CBE =∠BAO ，根据全等三角形的判定和性质得出OA =BE =2，OB =CE =4，确定点C 的坐标，然后代入函数解析式求解即可．【详解】解：如图所示，过点C 作CE ∠y 轴，∠点B（0，4），A（2，0），∠OB=4，OA=2，∠四边形ABCD为正方形，∠∠CBA=90°，AB=BC，∠∠CBE+∠ABO=90°，∠∠BAO+∠ABO=90°，∠∠CBE=∠BAO，∠∠CEB=∠BOA=90°，，∠ABO BCE∠OA=BE=2，OB=CE=4，∠OE=OB+BE=6，∠C（4，6），将点C代入反比例函数解析式可得：k=24，故答案为：24．【点睛】题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数解析式的确定等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．10．∠α+∠β=∠γ【分析】根据平行线的性质可求出它们的关系，从点P作平行线，平行于AC，根据两直线平行内错角相等可得出．【详解】解：如图，过点P作AC的平行线PO，∠AC∠PO，∠∠β=∠CPO，又∠AC∠BD，∠PO∠BD，∠∠α=∠DPO ，∠∠α+∠β=∠γ，故答案为：∠α+∠β=∠γ．【点睛】本题主要考查了两直线平行，内错角相等，正确作出辅助线是解题的关键．11．60【分析】根据等边三角形的性质可证∠FIH ∠∠GJI ，再证明∠FGH ∠∠GEI ，根据全等三角形的性质可得∠FGH =∠GEI ，从而可得∠GEI +∠HGE =60°，根据外角的性质可得∠EPH 的度数．【详解】解：在等边∠EFG 中，∠F =∠FGE =60°，FG =GE ，∠∠FHI +∠FIH =120°，在等边∠HIJ 中，∠HIJ =60°，HI =JI ，∠∠FIH +∠JIG =120°，∠∠FHI =∠JIG ，在∠FIH 和∠GJI 中，F G FHI GIJ HI JI ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠FIH ∠∠GJI （AAS ），∠FH =GI ，在∠FGH 和∠GEI 中，FH GI F G FG GE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠FGH ∠∠GEI （SAS ），∠∠FGH =∠GEI ，∠∠FGH +∠HGE =60°，∠∠GEI +∠HGE =60°，∠∠EPH =60°，故答案为：60【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．12．40︒【分析】如图（见详解），根据等腰三角形的三线合一性质，过点A 作AE BC ⊥于点E ，可证RT ABE RT ABD △≌△，即可求出BAC ∠的度数．【详解】解：如图，过点A 作AE BC ⊥于点E ，∠AB =AC ，∠E 是BC 的中点，且AE 平分BAC ∠．∠2BC BD =，∠BD =BE ．在RT ABE 和RT ABD 中，()AB AB RT ABE RT ABD HL BD BE =⎧⇒⎨=⎩△≌△， ∠20BAD BAE CAE ∠=∠=∠=︒．∠40BAC ∠=︒．故答案为：40︒．【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一性质以及直角三角形全等的判定定理，正确运用定理进行判定是解题的关键．13．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作∠BAC 的平分线，交BC 于D ，作∠ABE =∠BAD ，交CA 延长线于E 即可；（2）根据已知条件，利用ASA 证明∠AFE ∠∠AFB ，可得结果．【详解】解：（1）如图所示，AD 和BE 即为所作；（2）∠BE ∠AD ，AF ∠BE ，∠∠DAF =180°-90°=90°，∠EAF +∠CAD =90°，即∠BAF +∠BAD =90°，由（1）可知：∠BAD =∠CAD ，∠∠CAD +∠BAF =90°，∠∠BAF =∠EAF ，∠∠AFE =∠AFB =90°，AF =AF ，∠∠AFE ∠∠AFB （ASA ），∠EF =BF ．【点睛】本题考查了尺规作图，平行线的性质，角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．14．(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）根据D 是BC 的中点可得BD DC =，根据 DE ∠AB 可得90DEB DFC ∠=∠=︒，利用直角三角形全等的判定和性质可得Rt Rt BDE CDF ≌，DE ＝DF ，再用角平分线得判定定理即可证明；（2）根据角平分线的性质得到DE ＝DF ，根据D 是BC 的中点可得BD DC =，再用HL 证明Rt Rt BDE CDF ≌，最后用全等三角形对应边相等证明．（1）证明：∠DE ∠AB ，DF ∠AC ，∠∠BDE 与∠DCF 是直角三角形．在Rt∠BDE 与Rt∠CDF 中，BD CD BE CF=⎧⎨=⎩， ∠Rt∠BDE ∠Rt∠CDF （HL ），∠DE ＝DF ．又∠DE ∠AB ，DF ∠AC ，∠AD 是∠ABC 的角平分线；（2）∠AD 是∠ABC 的角平分线，DE ∠AB 于E ，DF ∠AC 于F ，∠DE ＝DF ，∠AD 是BC 边的中线，∠BD ＝CD ．在Rt∠BDE 和Rt∠CDF 中，BD CD DE DF =⎧⎨⎩＝， ∠Rt∠BDE ∠Rt∠CDF （HL ），∠BE ＝CF ．【点睛】本题考查直角三角形全等的判定（HL ），角平分线的性质定理和判定定理，用HL 证明Rt∠BDE ∠Rt∠CDF 是解题的关键．15．60︒【分析】由AB 与CD 平行，利用两直线平行内错角相等求出B 的度数，在AOB 中，利用三角形内角和定理即可求出A ∠的度数．【详解】解：∠AB CD ，40C ∠=︒，∠40B C ∠=∠=︒，∠180A B AOB ∠+∠+∠=︒，∠18060∠=︒-∠-∠=︒A AOB B ．【点睛】此题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和定理是解本题的关键．16．(1)证明见解析；(2)2AE BD =，理由见解析【分析】（1）AD 为线段BC 的垂直平分线，垂直平分线的性质可得∠ABC =∠ACB ，BE =CE ，通过角的等量替换可得∠ACE =∠EFC ，再证边长相等即可．（2）由（1）可得∠ABE =∠ACE ，直角三角形证明全等即可得出．（1）连接CE ，AB AC =，D 是BC 边的中点，AD ∴为线段BC 的垂直平分线，A ABC CB =∠∠，BE CE ∴=，EBC ECB ∴∠=∠，ABC EBC ACB ECB ∴∠-∠=∠-∠，即ABE ACE =∠∠，ABE EFC ∠=∠，ACE EFC ∴∠=∠，EF CE ∴=，BE EF ∴=；（2）连接CE ，由（1）可得ABE ACE =∠∠，45ABE BAC ∠=∠=︒，ABF ∴和CEF △都是等腰直角三角形，AF BF CF EF ∴==，，CBF EAF ∴≌△△，BC AE ∴=，2AE BD ∴=；（注：辅助线连接CE 不要求）17．EF BC ∥，理由见解析【分析】过G 点作GH BC ∥，根据平行线的性质，角的和差关系，三角形内角和定理可得∠F ＝∠FGH ，再根据平行线的判定即可求解．【详解】解：EF BC ∥．理由如下：过G 点作GH BC ∥，∠∠C ＝45°，90A ∠=︒，∠∠CGH ＝45°，∠∠FGC ＝105°，∠∠FGH ＝105°−45°＝60°，在Rt ∠DEF 中，∠D ＝90°，∠E ＝30°，∠∠F ＝60°，∠∠F ＝∠FGH ，∠EF GH ∥，∠EF BC ∥．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，关键是熟悉两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．18．见解析【分析】过点P 作PF OA ⊥，PH OB ⊥，证明∠PDF ∠∠PEH ，得出PF PH =，根据角平分线的判定定理得出OC 平分AOB ∠．【详解】证明：过点P 作PF OA ⊥，PH OB ⊥，∠90PFD PHE ∠=∠=︒∠180ODP OEP ∠+∠=︒，180PEB OEP ∠+∠=︒∠ODP PEB ∠=∠在∠PDF 和∠PEH 中PFD PHE PDF PEH PF PH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠PDF ∠∠PEHPF PH ∴=，∠OC 平分AOB ∠．【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，全等三角形的性质与判定，掌握角平分线的判定定理是解题的关键．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
全等三角形测试题
一．选择题：
1．在△ABC和△A’B’C’中, AB=A’B’, ∠B=∠B’, 补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A’B’C’, 则补充的这个条件是( )
A．BC=B’C’B．∠A=∠A’C．AC=A’C’D．∠C=∠C’
2．直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（）
A．45°B．135°C．45°或135°D．都不对
3．现有两根木棒，它们的长分别是40cm和50cm，若要钉成一个三角形木架，则在下列四根木棒中应选取（）
A．10cm的木棒B．40cm的木棒C．90cm的木棒D．100cm的木棒4．根据下列已知条件，能惟一画出三角形ABC的是（）
A．A B＝3，BC＝4，AC＝8；
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30；
C．∠A＝60，∠B＝45，AB＝4；
D．∠C＝90，AB＝6
5．如图3，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若∠B＝∠C，
∠ADE＝∠AED，则（）
A．当∠B为定值时，∠CDE为定值
B．当∠α为定值时，∠CDE为定值
C．当∠β为定值时，∠CDE为定值
D．当∠γ为定值时，∠CDE为定值
二、填空题：
6．三角形ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A＋∠B还大12度，则这个三角形是＿＿三角形．
7．以三条线段3、4、x－5为这组成三角形，则x的取值为＿＿＿＿．
8．杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是＿＿＿＿．
9．△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，∠A的平分线交BC于点D，若CD＝8cm，则点D到AB 的距离为＿＿＿＿cm．
10.AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则边BC的取值范围是＿＿＿＿；中线AD的取值范围是＿＿＿＿．
三、解答题：
11．已知：如图13－4，AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB，
求证：△EAD≌△CAB．
12．如图13－5，△ACD中，已知AB⊥CD，且BD>CB, △BCE和△ABD都是等腰直角三角形，王刚同学说有下列全等三角形：
①△ABC≌△DBE；②△ACB≌△ABD；
③△CBE≌△BED；④△ACE≌△ADE．
A
B D
C E
E
A
D
F
C
B
E
D
图13－4
B
图13－3
这些三角形真的全等吗？简要说明理由． 13． 已知，如图13－6，D 是△ABC 的边AB 上一点, DF 交AC 于点E, DE=FE, FC ∥AB,
求证：AD=CF ．
14． 如图5－7，△ABC 的边BC 的中垂线DF 交△BAC 的
外角平分线AD 于D, F 为垂足, DE ⊥AB 于E ，且AB>AC ， 求证：BE －AC=AE ． （第14题图）
15． 阅读下题及证明过程：已知：如图8， D 是△ABC 中BC 边上一点，E 是AD 上一点，
EB=EC ，∠ABE=∠ACE ，求证：∠BAE=∠CAE ．
证明：在△AEB 和△AEC 中，
∵EB=EC ，∠ABE=∠ACE ，AE=AE ，
∴△AEB ≌△AEC ……第一步
∴∠BAE=∠CAE ……第二步
问上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依
据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证 明过程．
16．如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．
A
F
C D
C A B D
E
图8
图9
A G
B
C
D H
E
F
A
B
C
D E
F 图9
参考答案提示
1． C ．（提示：边边角不能判定两个三角形全等．） 2． C ．（提示：由三角形内角和为180°可求，要注意有两个不同的角．） 3． B ．（提示：利用三角形三边的关系，第三根木棒x 的取值范围是：10cm ＜x ＜90cm ．＝ 4．C ． (提示：A 不能构成三角形，B 满足边边角，不能判定三角形全等，D 项可画出无数
个三角形．)
5．B ．（提示：∠CDE ＝∠B ＋∠α－∠γ＝∠γ－∠B ，故得到2（∠B －∠γ）＋∠α＝
0．又∵∠γ－∠B ＝∠γ－∠C ＝∠CDE ，所以可得到∠CDE ＝
2
α
，故当∠α为定值时，∠CDE 为定值．） 6．钝角．（提示：由三角形的内角和可求出∠A 、∠B 和∠C 的度数） 7．6＜x<12．（提示：由三边关系可知：4－3＜x －5＜4＋3． 8．三角形的稳定性． 9．8．（提示：点D 到AB 的距离与CD 的长相等．） 10．4＜BC ＜20；2＜AD ＜10．（提示：要注意三角形一边上的中线的取值范围是大于另两
边之差的一半，小于两边之和的一半．）
11． 提示：先证∠EAD=∠CAB ，再由SAS 即可证明．
12． ①△ABC ≌△DBE ，BC=BE ，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BD ，符合SAS ；②△ACB
与△ABD 不全等，因为它们的形状不相同，△ACB 只是直角三角形，△ABD 是等腰直角三角形；③△CBE 与△BED 不全等，理由同②；④△ACE 与△ADE 不全等，它们只有一边一角对应相等．
13． 提示：由ASA 或AAS ，证明△ADE ≌△CFE ．
14． 过D 作DN ⊥AC, 垂足为N, 连结DB 、DC 则DN=DE ，DB=DC ，又∵DE ⊥AB, DN
⊥AC, ∴Rt △DBE ≌Rt △DCN ， ∴BE=CN ．又∵AD=AD ，DE=DN ，∴Rt △DEA ≌Rt △DNA ，∴AN=AE ，∴BE=AC+AN=AC+AE ，∴BE －AC=AE ． 15．上面证明过程不正确; 错在第一步. 正确过程如下：在△BEC 中，∵BE=CE ， ∴∠EBC=
∠ECB ， 又∵∠ABE=∠ACE ，∴∠ABC=∠ACB ， ∴AB=AC. 在△AEB 和△AEC 中, AE=AE. BE=CE, AB=AC, ∴△AEB ≌△AEC, ∠BAE=∠CAE.
16．如图11所示，过B 点作BH ⊥BC 交CE 的延长线于H 点．
∵∠CAD ＋∠ACF ＝90°，∠BCH ＋∠ACF ＝90°，
∴∠CAD ＝∠BCH ．在△ACD 与△CBH 中,
∵∠CAD ＝∠BCH ，AC ＝CB ，∠ACD ＝∠CBH ＝90°，
∴△ACD ≌△CBH ．∴∠ADC ＝∠H ① CD ＝BH ，
∵CD ＝BD ，∴BD ＝BH ．
∵△ABC 是等腰直角三角形，∠CBA ＝∠HBE ＝45°
∴在△BED 和BEH 中，⎪⎩
⎪
⎨⎧∠∠=BE,BE EBH,EBD ,＝＝BH BD ，∴△BED ≌△BEH ．
∴∠BDE ＝∠H ， ② 由①②得，∠ADC ＝∠BDE ．
A B C D E F H 图11。