北师大版数学八年级下：平行四边形综合题型分类(较难)教学提纲
难点详解北师大版八年级数学下册第六章平行四边形难点解析试题(含答案解析)
北师大版八年级数学下册第六章平行四边形难点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝OC B的坐标为（）A．1) B．(1) C．＋1，1) D．(11)2、若一个多边形的每一个内角均为120°，则下列说法错误的是（）A．这个多边形的内角和为720°B．这个多边形的边数为6C．这个多边形是正多边形D．这个多边形的外角和为360°3、将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放，公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上，则∠COF的度数是（）A．74°B．76°C．84°D．86°4、如图，已知正方形ABCD中，G、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、GP的中点，当P在BC 上从B向C移动而G不动时，下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定5、如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2的值是（）A．108°B．36°C．72°D．144°6、正五边形的外角和是（）A．180︒B．360︒C．540︒D．720︒7、一个n边形的所有内角之和是900°，则n的值是（）．A．5 B．7 C．9 D．108、正八边形的外角和为（）A．360︒B．720︒C．900︒D．1080︒9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝4，点D是斜边AB的中点，以CD为底边在其右侧作等腰三角形CDE ，使∠CDE ＝∠A ，DE 交BC 于点F ，则EF 的长为（ ）A ．3BCD ．3.510、如图，在▱ABCD 中，AD =2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB 于E ，在线段AB 上，连接EF 、CF ．则下列结论：①∠BCD =2∠DCF ；②∠ECF =∠CEF ；③S △BEC =2S △CEF ；④∠DFE =3∠AEF ，其中一定正确的是（ ）A ．②④B ．①②④C ．①②③④D ．②③④第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，M 、N 分别为AB 、BC 的中点，若OM ＝1.5，ON ＝1，则平行四边形ABCD 的周长是________．2、若正n 边形的每个内角都等于120°，则这个正n 边形的边数为________．3、如图，1,2,3∠∠∠是三角形ABC 的不同三个外角，则123∠+∠+∠=___________4、每个外角都为36°的多边形共有___条对角线．5、如图所示，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，CM 是斜边AB 上的中线，E 、F 分别为MB 、BC 的中点，若 2.5EF =，则EBF △的面积为_______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图的网格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，三角形ABC 的三个顶点都在格点上．（每个小方格的顶点叫格点）（1）画出三角形ABC 向上平移4个单位后的三角形A 1B 1C 1；（2）画出三角形A 1B 1C 1向左平移5个单位后的三角形A 2B 2C 2；（3）经过（1）次平移线段AC 划过的面积是 ．2、问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图（1），在正△ABC 中，M 、N 分别是AC 、AB 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON ＝60°，则BM ＝CN ；②如图（2），在正方形ABCD 中，M 、N 分别是CD 、AD 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON ＝90°，则BM ＝CN ．然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图（3），在正五边形ABCDE 中，M 、N 分别是CD 、DE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON ＝108°，则BM ＝CN ．任务要求：（1）请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；（2）请你继续完成下面的探索；①在正n （n ≥3）边形ABCDEF …中，M 、N 分别是CD 、DE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，试问当∠BON 等于多少度时，结论BM ＝CN 成立（不要求证明）；②如图（4），在正五边形ABCDE 中，M 、N 分别是DE 、AE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，∠BON ＝108°时，试问结论BM ＝CN 是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．3、如图，已知ABC ∆，以AB 为直径的半⊙O 交AC 于D ，交BC 于E ，BE CE =，65C =︒∠，求DOE∠的度数．4、如图，在ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求（1）ABCD的面积；（2）△AOD的周长．5、如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC的三等分点，连接BE，DF．证明BE=DF．-参考答案-一、单选题1、C【分析】作BD x⊥，求得OD、BD的长度，即可求解．【详解】解：作BD x ⊥，如下图：则90BDA ∠=︒在平行四边形OABC 中，AB OC OA ==AB OC ∥∴45DAB AOC ∠=∠=︒∴ADB △为等腰直角三角形则222AD BD AB +=，解得1AD BD ==∴1OD OA AD =+1,1)B故选：C【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．2、C【分析】先根据多边形的外角和求出这个多边形的边数，再根据多边形的内角和、正多边形的定义即可得．【详解】解：多边形的每一个内角均为120︒，∴这个多边形的每一个外角均为60︒，∴这个多边形的边数为360606︒÷︒=，则选项B 说法正确；∴这个多边形的内角和为()18062720︒⨯-=︒，则选项A 说法正确；多边形的外角和为360︒，∴选项D 说法正确；各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形，∴选项C 说法错误；故选：C ．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和、正多边形的定义，熟练掌握多边形的内角和与外角和是解题关键．3、C【分析】利用正多边形的性质求出∠EOF ，∠BOC ，∠BOE 即可解决问题．【详解】解：由题意得：∠EOF ＝108°，∠BOC ＝120°，∠OEB ＝72°，∠OBE ＝60°，∴∠BOE ＝180°﹣72°﹣60°＝48°，∴∠COF ＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，故选：C【点睛】本题考查正多边形，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．4、C【分析】AG，因此线段EF的长不变．连接AG，根据三角形中位线定理可得EF= 12【详解】解：如图，连接AG，∵E、F分别是AP、GP的中点，∴EF为△APG的中位线，AG，为定值．∴EF= 12∴线段EF的长不改变．故选C．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AG不变，则对应的中位线的长度就不变．5、C【分析】过点B作l1的平行线BF，利用平行线的性质推出∠CBF+∠1=180°，∠CBF+∠2=108°，两个式子相减即可．【详解】解：过点B作l1的平行线BF，则l1∥l2∥BF，∵l 1∥l 2∥BF ，∴∠ABF =∠2，∠CBF +∠1=180°①，∵五边形ABCDE 是正五边形，∴()=521805=108ABC ∠-⨯÷，∴∠ABF +∠CBF =∠CBF +∠2=108°②，∴①-②得∠1-∠2=72°，故选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及正多边形的内角问题，解题的关键是通过作辅助线，搭建角之间的关系桥梁．6、B【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．【详解】解：任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和的度数为360°．故选：B ．【点睛】本题主要考查多边形的外角和定理，解答本题的关键是掌握任意多边形的外角和都是360°．7、B【分析】n-⨯=，由此进行求解即可．根据n边形内角和公式即可得到()2180900【详解】解：∵一个n边形的所有内角之和是900°，n-⨯=，∴()2180900n=，∴7故选B．【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式，解题的关键在于能够熟练掌握多边形内角和公式．8、A【分析】根据多边形的外角和都是360︒即可得解．【详解】解：∵多边形的外角和都是360︒，∴正八边形的外角和为360︒，故选：A．【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的外角和是360︒是解题的关键．9、D【分析】根据勾股定理求出BC ，根据直角三角形的性质得到CD =AD ，证明AC ∥DF ，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =1，AB =4，则BC在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 是斜边AB 的中点，∴CD =12AB =AD ，∴∠DCA =∠A ，∵∠CDE =∠A ，∴∠CDE =∠DCA ，∴AC ∥DF ，∴∠EFC =∠ACB =90°，∵AC ∥DF ，点D 是斜边AB 的中点，∴DF =12AC =12，CF =12BC 设EF =x ，则ED =x +12=CE ，在Rt △EFC 中，EC 2=EF 2+CF 2，即（x +12）2=x 2+2， 解得：x =3.5，即EF =3.5，故选：D ．【点睛】 本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．10、B【分析】根据易得DF=CD，由平行四边形的性质AD∥BC即可对①作出判断；延长EF，交CD延长线于M，可证明△AEF≌△DMF，可得EF=FM，由直角三角形斜边上中线的性质即可对②作出判断；由△AEF≌△DMF 可得这两个三角形的面积相等，再由MC＞BE易得S△BEC＜2S△EFC，从而③是错误的；设∠FEC=x，由已知及三角形内角和可分别计算出∠DFE及∠AEF，从而可判断④正确与否．【详解】①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠BCD=2∠DCF，故①正确；②延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F 为AD 中点，∴AF =FD ，在△AEF 和△DFM 中，A FDM AF DF AFE DFM ⎧⎪⎨⎪=∠=∠=∠⎩∠ ， ∴△AEF ≌△DMF （ASA ），∴FE =MF ，∠AEF =∠M ，∵CE ⊥AB ，∴∠AEC =90°，∴∠AEC =∠ECD =90°，∵FM =EF ，∴FC =FE ，∴∠ECF =∠CEF ，故②正确；③∵EF =FM ，∴S △EFC =S △CFM ，∵MC ＞BE ，122ECM EFC S CM CE S =⨯=，12BEC S BE CE =⨯ ∴S △BEC ＜2S △EFC ，故S △BEC =2S △CEF ， 故③错误；④设∠FEC =x ，则∠FCE =x ，∴∠DCF =∠DFC =90°﹣x ，∴∠EFC =180°﹣2x ，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故④正确，故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形的面积等知识，构造辅助线证明三角形全等是本题的关键和难点．二、填空题1、10【分析】根据平行四边形的性质可得BO＝DO，AD＝BC，AB＝CD，再由条件M、N分别为AB、BC的中点可得MO 是△ABD的中位线，NO是△BCD的中位线，再根据三角形中位线定理可得AD、DC的长．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AD＝BC，AB＝CD，∵M、N分别为AB、BC的中点，∴MO＝12AD，NO＝12CD，∵OM＝1.5，ON＝1，∴AD＝3，CD＝2，∴平行四边形ABCD的周长是：3＋3＋2＋2＝10，故答案为：10．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，以及中位线定理，关键是掌握平行四边形对边相等，对角线互相平分．2、6【分析】多边形的内角和可以表示成(2)180n -⋅︒，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成120n ︒，列方程可求解．【详解】解：设所求正n 边形边数为n ，则120(2)180n n ︒=-⋅︒，解得6n =，故答案是：6．【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解题的关键是要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．3、360°．【分析】利用三角形的外角和定理解答．【详解】解：∵1,2,3∠∠∠是三角形ABC 的不同三个外角，三角形的外角和为360°，∴∠1+∠2+∠3=360°，故答案为：360°．【点睛】本题主要考查了三角形的外角和定理，三角形的外角的性质，属于中考常考题型．4、35【分析】设这个多边形为n 边形，然后根据多边形外角和为360度以及多边形对角线公式()32n n -进行求解即可．【详解】解：设这个多边形为n 边形，由题意得：36036n ÷=，∴10n =，∴这个多边形的对角线条数()10103352⨯-==条， 故答案为：35．【点睛】本题主要考查了多边形外角和，多边形对角线条数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．5、3【分析】根据三角形中位线定理求出CM ，根据直角三角形的性质求出AB 根据勾股定理得出BC ，求出24ABC S ∆=，由中线的性质得1122BCM ABC S S ∆∆==，再根据中位线的性质可得结论． 【详解】解：∵E 、F 分别为MB 、BC 的中点，∴CM =2EF =5，∵∠ACB =90°，CM 是斜边AB 上的中线，∴AB =2CM =10，∵∠ACB =90°，∴222AC BC AB +=∴8BC =∴11682422ABC S AC BC ∆==⨯⨯= ∵CM 是斜边AB 上的中线，∴1122BCM ABC S S ∆∆==∵EF 是CBM ∆的中位线，∴1112344EBF CBM S S ∆∆==⨯=故答案为：3．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）见解析；（3）16【分析】（1）先找出A 、B 、C 三个点平移后的位置，然后依次连接即可；（2）先找出1A 、1B 、1C 三个点平移后的位置，然后依次连接即可； （3）从图中可知线段AC 划过的图形为平行四边形11A ACC ，根据平行四边形面积计算公式即可得．【详解】解（1）先找出A 、B 、C 三个点平移后的位置，然后依次连接即可，如图所示，111A B C ∆即为所求；（2）先找出1A 、1B 、1C 三个点平移后的位置，然后依次连接即可，如图所示，222A B C ∆即为所求；（3）线段AC 划过的图形为平行四边形11A ACC ，4416S =⨯=，故答案为：16．【点睛】题目主要考查图形的平移方法及平行四边形的面积，熟练掌握图形的平移方法是解题关键．2、（1）选①或②或③，证明见详解；（2）①当2180()-∠︒=n BON n 时，结论BM CN =成立；②当108BON ∠=︒时，BM CN =还成立，证明见详解． 【分析】（1）命题①，根据等边三角形的性质及各角之间的等量代换可得：13∠=∠，然后依据全等三角形的判定定理可得：BCM CAN ≌，再由全等三角形的性质即可证明；命题②，根据正方形的性质及各角之间的等量代换可得：13∠=∠，然后依据全等三角形的判定定理可得：BCM CDN ≌，再由全等三角形的性质即可证明；命题③，根据正五边形的性质及各角之间的等量代换可得：13∠=∠，然后依据全等三角形的判定定理可得：BCM CDN ≌，再由全等三角形的性质即可证明；（2）①根据（1）中三个命题的结果，得出相应规律，即可得解；②连接BD 、CE ，根据全等三角形的判定定理和性质可得：BCD CDE ≌， BD CE =，BDC CED ∠=∠，DBC ECD ∠=∠，利用各角之间的关系及等量代换可得：BDM CEN ∠=∠， DBM ECN ∠=∠，继续利用全等三角形的判定定理和性质即可得出证明．【详解】解：（1）如选命题①，证明：如图所示：∵ 60BON ∠=︒，∴ 1260∠+∠=︒，∵ 3260∠+∠=︒，∴ 13∠=∠，在 BCM ∆与ΔΔΔΔ中，1360BC CA BCM CAN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴ BCM CAN ≌，∴ BM CN =；如选命题②，证明：如图所示：∵ 90BON ∠=︒，∴ 1290∠+∠=︒，∵ 3290∠+∠=︒，∴ 13∠=∠，在 BCM ∆与ΔΔΔΔ中，1390BC CD BCM CDN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴ BCM CDN ≌，∴ BM CN =；如选命题③，证明：如图所示：∵ 108BON ∠=︒，∴ 12108∠+∠=︒，∵ 23108∠+∠=︒，∴ 13∠=∠，在 BCM ∆与ΔΔΔΔ中，13108BC CD BCM CDN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴ BCM CDN ≌，∴ BM CN =；（2）①根据（1）中规律可得：当2180()-∠︒=n BON n 时，结论BM CN =成立；②答：当108BON ∠=︒时，BM CN =成立．证明：如图所示，连接BD 、CE ，在BCD 和CDE 中，108BC CD BCD CDE CD DE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴ BCD CDE ≌，∴ BD CE =，BDC CED ∠=∠，DBC ECD ∠=∠，∵ 108CDE DEN ∠=∠=︒，∴ BDM CEN ∠=∠，∵ 108OBC OCB ∠+∠=︒，108OCB OCD ∠+∠=︒．∴ MBC NCD ∠=∠，又∵ 36DBC ECD ∠=∠=︒，∴ DBM ECN ∠=∠，在BDM 和CEN 中，BDM CEN BD CE DBM ECN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴ BDM CEN ≌，∴ BM CN =．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定定理和性质，正多边形的内角，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，理解题意，结合相应图形证明是解题关键．3、50︒【分析】先证明OE 为ABC 的中位线，则,OE AC ∥证明65,OEB C 再求解50,BOE 证明50,DAB BOE 再利用三角形的内角和定理及平角的定义，从而可得答案.【详解】 解： BE CE =，,OB OA =OE ∴为ABC 的中位线，,∥OE ACC65,65,OEB C=OE OB,B OEB65,BOE18026550,∥OE AC,DAB BOE50,OD OA=,ODA OAD50,AOD18025080,DOE180805050.【点睛】本题考查的是圆的基本性质，三角形中位线的定义与性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，熟练的运用以上知识解题是关键.4、（1）48（2）11【分析】（1）利用勾股定理先求出高AC，故可求解面积；（2）根据平行四边形的性质求出AO，再利用勾股定理求出OB的长，故可求解．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，且AD=8∴BC =AD =8∵AC ⊥BC∴∠ACB =90°在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC 2=AB 2-BC 2∴6AC∴8648ABCD S BC AC =⋅=⨯=（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，且AC =6 ∴13,2OA OC AC OB OD ==== ∵∠ACB =90°，BC =8∴OB =∴OD OB ==∴8311AOD C AD AO OD =++=+=【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质及勾股定理的应用．5、见详解【分析】由题意易得AB =CD ，AB ∥CD ，AE =CF ，则有∠BAE =∠DCF ，进而问题可求证．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∴∠BAE =∠DCF ，∵E ，F 是对角线AC 的三等分点，∴AE =CF ，在△ABE 和△CDF 中，AB CD BAE DCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CDF （SAS ），∴BE =DF ．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．。
北师大版八年级数学下册第六章平行四边形全章复习与巩固提高知识点讲解
北师大版八年级数学下册第六章平行四边形全章复习与坚固提升知识点解说2.掌握三角形的中位线定理 .3.认识多边形的定义以及内角、外角、对角线等观点 . 掌握多边形的内角和与外角和公式 .4.累积数学活动经验，展开推理能力 .【知识网络】【重点梳理】重点一、平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 . 平行四边形 ABCD记作“口 ABCD〞，读作“平行四边形 ABCD〞.重点解说：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心 .重点二、平行四边形的性质定理平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线相互均分；重点解说：〔1〕平行四边形的性质定理中边的性质能够证明两边平行或两边相等；角的性质能够证明两角相等或两角互补；对角线的性质能够证明线段的相等关系或倍半关系 .〔2〕因为平行四边形的性质内容许多，在使用时依据需要进行选择 .（3〕利用对角线相互均分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决 .重点三、平行四边形的判断定理1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线相互均分的四边形是平行四边形 .重点解说：（1〕这些判断方法是学习本章的根基，一定坚固掌握，当几种方法都能判断同一个行四边形时，应选择较简单的方法.（2〕这些判断方法既可作为判断平行四边形的依照，也可作为“画平行四边形〞的依照 .重点四、平行线间的距离1.两条平行线间的距离：〔1〕定义：两条平行线中，一条直线上的随意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. 注：距离是指垂线段的长度，是正当 .2．平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等 .平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.重点五、三角形的中位线三角形的中位线1 ．连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，而且等于第三边的一半.重点解说：〔1〕三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的地点关系与数目关系 .〔2〕三角形的三条中位线把原三角形分红可全等的 4 个小三角形. 因此每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的 .（3〕三角形的中位线不一样于三角形的中线 .重点六、多边形内角和、外角和边形的内角和为 ( －2) ?180°(≥3)．重点解说： (1) 内角和定理的应用：①多边形的边数，求其内角和；②多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；多边形的外角和为 360°．边形的外角和恒等于 360°，它与边数的多少没关 .【典型例题】种类一、平行四边形的性质与判断1 、〔2021?海淀区二模〕如图 1，在△ ABC中， AB=AC，∠ ABC= α，D 是 BC 边上一点，以 AD 为边作△ ADE，使 AE=AD，∠ DAE+∠BAC=180°．（1〕直接写出∠ ADE的度数〔用含α的式子表示〕；（2〕以 AB，AE为边作平行四边形 ABFE，①如图 2，假定点 F 恰巧落在 DE上，求证： BD=CD；②如图 3，假定点 F 恰巧落在 BC上，求证： BD=CF．【思路点拨】〔1〕由在△ ABC中， AB=AC，∠ ABC=α，可求得∠ BAC=180°﹣ 2α，又由 AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°，可求得∠DAE=2 α，既而求得∠ ADE的度数；（2〕①由四边形 ABFE是平行四边形，易得∠ EDC=∠ ABC=α，那么可得∠ ADC=∠ADE+∠EDC=90°，证得 AD⊥BC，又由 AB=AC，依据三线合一的性质，即可证得结论；②由在△ ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可得∠ B=∠C=α，四边形 ABFE是平行四边形，可得 AE∥BF，AE=BF．即可证得：∠ EAC=∠C=α，又由〔 1〕可证得 AD=CD，又由AD=AE=BF，证得结论．∴B D=CF．【总结升华】本题考察了平行四边形的判断与性质以及等腰三角形的性质与判断．注意〔 2〕①中证得 AD⊥BC是重点，〔2〕②中证得 AD=CD是重点．贯通融会：【变式】分别以口 ABCD〔∠ CDA≠90°〕的三边 AB，CD，DA 为斜边作等腰直角三角形，△ ABE，△ CDG，△ ADF．（1〕如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外面时，连结 GF，EF．请判断 GF与 EF的关系并证明〕；（2〕如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连结GF，EF，〔1〕中结论还建立吗？假定建立，给出证明；假定不建立，说明原因．【答案】解：〔1〕GF⊥EF，GF＝EF建立；∵四边形 ABCD是平行四边形，∴A B＝CD，∠ DAB＋∠ ADC＝180°，∵△ ABE，△ CDG，△ ADF都是等腰直角三角形，∴DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，∠ CDG＝∠ ADF＝∠ BAE＝45°，∴∠ GDF＝∠ GDC＋∠ CDA＋∠ ADF＝90°＋∠ CDA，∠EAF＝ 360°﹣∠ BAE﹣∠ DAF﹣∠ BAD＝ 270°﹣〔 180°﹣∠CDA〕＝ 90°＋∠ CDA，∴∠ FDG＝∠ EAF，∵在△ EAF和△ GDF中，，∴△ EAF≌△ GDF〔SAS〕，∴EF＝FG，∠ EFA＝∠ DFG，即∠ GFD＋∠ GFA＝∠ EFA＋∠ GFA，∴∠ GFE＝90°，∴GF⊥EF；（2〕GF⊥EF，GF＝EF建立；原因：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠ DAB＋∠ ADC＝180°，∵△ ABE，△ CDG，△ ADF都是等腰直角三角形，∴DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，∠ CDG＝∠ ADF＝∠ BAE＝45°，∴∠ BAE＋∠ FAD＋∠ EAF＋∠ ADF＋∠ FDC＝180°，∴∠ EAF＋∠ CDF＝45°，∵∠ CDF＋∠ FDG＝45°，∴∠ FDG＝∠ EAF，∵在△ EAF和△ GDF中，，∴△ EAF≌△ GDF〔SAS〕，∴EF＝FG，∠ EFA＝∠ DFG，即∠ GFD＋∠ GFA＝∠ EFA＋∠ GFA，∴∠ GFE＝90°，∴G F⊥EF．2、如图，点 D 是△ABC的边 AB的延伸线上一点，点 F 是边 BC上的一个动点〔不与点 B 重合〕．以 BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又 AP BE〔点 P、E 在直线 AB的同侧〕，假如 BD＝ AB，那么△ PBC的面积与△ ABC面积之比为〔〕A ．B．C．D．【答案与分析】解：过点 P 作 PH∥BC交 AB于 H，连结 CH，PF，∵A P BE，∴四边形 APEB是平行四边形，∴P E∥AB，PE＝AB，∵四边形 BDEF是平行四边形，∴E F∥BD，EF＝BD，即 EF∥AB，∴P，E，F 共线，设 BD＝，∵ BD＝ AB，∴PE＝AB＝4 ，那么 PF＝PE－EF＝3 ，∵P H∥BC，∴ ，∵P F∥AB，∴四边形 BFPH是平行四边形，∴B H＝PF＝3 ，∵＝BH：AB＝3 ：4 ＝3：4，∴＝3：4．【总结升华】本题考察了平行四边形的判断与性质与三角形面积比的求解方法．本题难度较大，注意正确作出协助线，注意等高三角形面积的比等于其对应底的比．贯通融会：【变式】△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，分别以AB、AC、BC为一边在 BC边同侧作正△ ABD、正△ ACE和正△ BCF，求以 A、E、F、D四点为极点围成的四边形的面积．∴A B＝AD＝EF＝3∴四边形 AEFD是平行四边形〔两组对边分别相等的四边形是平行四边形〕∵D F∥AE，DF⊥BD延伸 EA交 BD于 H点， AH⊥BD，那么 H为 BD中点∴平行四边形 AEFD的面积＝ DF×DH＝4×＝6.3、在平行四边形 ABCD中，点 A1，A2，A3，A4 和 C1，C2，C3，C4 分别 AB和 CD的五均分点，点B1，B2 和 D1，D2 分别是 BC和 DA的三均分点，四边形A4B2C4D2的面积为 1，那么平行四边形ABCD 面积为〔〕A ．2 B．C．D．15【思路点拨】能够设平行四边形 ABCD的面积是 S，依据均分点的定义利用平行四边形 ABCD的面积减去四个角上的三角形的面积，便可表示出四边形A4B2C4D2的面积，进而获得两个四边形面积的关系，即可求解．【答案】 C；【分析】解：设平行四边形ABCD的面积是 S，设 AB＝5 ，BC＝3 ．AB 边上的高是 3 ，BC边上的高是 5 ．那么 S＝5 ?3 ＝3 ?5 ．即＝＝．△AA4D2与△ B2CC4全等，B2C＝ BC＝，B2C边上的高是?5 ＝4．那么△ AA4D2和△ B2CC4的面积是 2＝．同理△ D2C4D与△ A4BB2的面积是．那么四边形 A4B2C4D2的面积是 S－－－－＝，即＝1，解得S＝．【总结升华】考察平行四边形的性质和三角形面积计算，正确利用均分点的定义，获得两个四边形的面积的关系是解决本题的重点．种类二、三角形的中位线4、如图，△ ABC的周长为 26，点 D，E 都在边 BC上，∠ ABC 的均分线垂直于AE，垂足为 Q，∠ACB的均分线垂直于AD，垂足为 P，假定 BC＝10，那么 PQ的长为〔〕【答案】 C；【分析】解：易证△ ABQ≌△ EBQ, AB＝BE，Q为 AE中点，△A CP≌△ DCP, AC＝CD，P 为 AD中点，∴P Q∥DE,PQ＝ DE，∵A B＋AC＋BC＝26，BC＝10，∴A B＋AC＝BE＋CD＝16＝BD＋DE＋DE＋EC＝BC＋DE，∴D E＝6，PQ＝ DE＝3.【总结升华】本题考察了三角形的中位线定理及等腰三角形的判断，注意培育自己的敏感性，一般出现高、角均分线重合的状况，都需要找到等腰三角形．种类三、多边形内角和与外角和5、假定一个多边形的每个外角都等于60°，那么它的内角和等于〔〕A．180°B．720°C．1080°D．540°【思路点拨】由一个多边形的每个外角都等于60°，依据边形的外角和为 360°计算出多边形的边数，而后依据边形的内角和定理计算即可．【答案】 B；∴这个多边形的内角和＝〔6－2〕× 180°＝ 720°．【总结升华】本题考察了边形的内角和定理：边形的内角和＝〔－2〕?180°；也考察了边形的外角和为 360°．贯通融会：【变式】〔2021 秋?小金县校级期末〕一个多边形的每个内角都相等，且一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．【答案】解：设内角是x°，外角是 y°，那么获得一个方程组，解得．而任何多边形的外角是360°，那么多边形中外角的个数是360÷120=3，故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三边形．6、甲、乙两人想在正五边形 ABCDE内部找一点 P，使得四边形 ABPE为平行四边形，其作法以下：〔甲〕连结BD、CE，两线段订交于P 点，那么 P 即为所求〔乙〕先取 CD的中点 M，再以 A 为圆心， AB长为半径画弧，交 AM于 P 点，那么 P 即为所求．关于甲、乙两人的作法，以下判断何者正确？〔〕A ．两人皆正确B．两人皆错误C ．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确【思路点拨】求出五边形的每个角的度数，求出∠ABP、∠AEP、∠B PE的度数，依据平行四边形的判断判断即可．【答案】 C；【分析】解：甲正确，乙错误，原因是：如图，∵正五边形的每个内角的度数是＝108°，AB ＝BC＝CD＝DE＝AE，∴∠ DEC＝∠ DCE＝×〔 180°－ 108°〕＝ 36°，同理∠ CBD＝∠ CDB＝36°，∴∠ ABP＝∠ AEP＝108°－ 36°＝ 72°，∴∠ BPE＝360°－ 108°－ 72°－ 72°＝ 108°＝∠ A，∴四边形 ABPE是平行四边形，即甲正确；∵∠ BAE＝108°，∴∠ BAM＝∠ EAM＝54°，∵A B＝AE＝AP，∴∠ ABP＝∠ APB＝×〔 180°－ 54°〕＝ 63°，∠ AEP＝∠ APE ＝63°，∴∠ BPE＝360°－ 108°－ 63°－ 63°≠ 108°，即∠ ABP＝∠ AEP，∠ BAE≠∠ BPE，∴四边形 ABPE不是平行四边形，即乙错误；北师大版八年级数学下册第六章平行四边形全章复习与坚固提升知识点解说【总结升华】本题考察了正五边形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判断的应用，注意：有两组对角分别相等的四边形是平行四边形．。
北师大版八年级数学下册 平行四边形的判定定理(提高)知识讲解 含答案解析
平行四边形的判定定理（提高）责编：杜少波【学习目标】1.平行四边形的四个判定定理及应用，会应用判定定理判断一个四边形是不是平行四边形．2.会综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题．【要点梳理】要点一、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 【典型例题】类型一、平行四边形的判定1、如图，点A、B、C在正方形网格的格点上（小正方形的边长为单位1）．（1）在图中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的平行四边形．（2）若以C为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，则你确定的点D的坐标是________________.【思路点拨】（1）分为三种情况：以AC为对角线时、以AB为对角线时、以BC为对角线时，画出图形，根据A、B、C的坐标求出即可；（2）在（1）的基础上，把y轴向左平移了一个单位，根据平移性质求出即可．【答案与解析】（1）解：从图中可知A（-3，2），B（-4，0）C（-1，0），以AB为对角线时，得出平行四边形ACBD1，D1的坐标是（-6，2），以AC为对角线时，得出平行四边形ABCD2，D2的坐标是（0，2），以BC为对角线时，得出平行四边形ABD3C，D3的坐标是（-2，-2），（2）解：以C为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，D的坐标是（-1，2），（1，2），（-5，2），故答案为：（-1，2）或（1，2）或（-5，2）．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质的应用，主要考查学生能否运用平行四边形的性质进行计算，注意：一定要进行分类讨论．举一反三【变式】（2016•呼伦贝尔）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．【答案】证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF∴AF=BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，，∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），∴AC=EF；（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．2、类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位．用实数加法表示为3+（-2）=1．若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为{a，b}+{c，d}={a+c，b+d}．解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}；（2）①动点P 从坐标原点O 出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A ，再按照“平移量” {1，2}平移到B ；若先把动点P 按照“平移量”{1，2}平移到C ，再按照“平移量” {3，1}平移，最后的位置还是点B 吗？在图1中画出四边形OABC ．②证明四边形OABC 是平行四边形．（3）如图2，一艘船从码头O 出发，先航行到湖心岛码头P （2，3），再从码头P 航行到码头Q （5，5），最后回到出发点O ．请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．【思路点拨】（1）本题主要是类比学习，所以关键是由给出的例题中找出解题规律，即前项加前项，后项加后项．（2）根据题中给出的平移量找出各对应点，描出各点，顺次连接即可．（3）根据题中的文字叙述列出式子，根据（1）中的规律计算即可． 【答案与解析】 解：（1）{3，1}+{1，2}={4，3}；{1，2}+{3，1}={4，3}．（2）①画图最后的位置仍是B ．②证明：由①知，A （3，1），B （4，3），C （1，2）∴OC=AB=22125+=，OA=BC=223110+=，∴四边形OABC 是平行四边形．（3）从O 出发，先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，可知平移量为{2，3}， 同理得到P 到Q 的平移量为{3，2}，从Q 到O 的平移量为{-5，-5}，故有{2，3}+{3，2}+{-5，-5}={0，0}．【总结升华】本题考查了几何变换中的平移变换，解答本题关键是仔细审题，理解题目给出的信息，对于此类题目同学们不能自己凭空想象着解答，一定要按照题目给出的思路求解，克服思维定势．举一反三：【变式】一动点沿着数轴向右平移5个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移3个单位．用实数加法表示为 5+（-2）=3．若平面直角坐标系xOy 中的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对{a ，b}叫做这一平移的“平移量”．规定“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为{a ，b}+{c ，d}={a+c ，b+d}．（1）计算：{3，1}+{1，2}；（2）若一动点从点A（1，1）出发，先按照“平移量”{2，1}平移到点B，再按照“平移量”{-1，2}平移到点C；最后按照“平移量”{-2，-1}平移到点D，在图中画出四边形ABCD，并直接写出点D的坐标；（3）将（2）中的四边形ABCD以点A为中心，顺时针旋转90°，点B旋转到点E，连结AE、BE若动点P从点A出发，沿△AEB的三边AE、EB、BA平移一周．请用“平移量”加法算式表示动点P的平移过程．【答案】解：（1）{3，1}+{1，2}={4，3}；（2）B点坐标为：（1+2，1+1）=（3，2）；C点坐标为：（3-1，2+2）=（2，4）；D点坐标为：（2-2，4-1）=（0，3）；①如图所示：②D（0，3）．（3）点A至点E，向右平移1个单位，向下平移2个单位；点E至点B，向右平移1个单位，向上平移3个单位；点B至点A，向左平移2个单位，向下平移1个单位；故动点P的平移过程可表示为：{1，-2}+{1，3}+{-2，-1}．3、如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 经过点O ，分别与AB ，CD 的延长线交于点E ，F ．求证：四边形AECF 是平行四边形．【思路点拨】平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为四边形ABCD 是平行四边形，可证OF=OE ，OA=OC ，根据条件在图形中的位置，可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决． 【答案与解析】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD=OB ，OA=OC ，∵AB ∥CD ，∴∠DFO=∠BEO ，∠FDO=∠EBO ，∴在△FDO 和△EBO 中，,＝＝＝DFO BEO FDO EBO OD OB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△FDO ≌△EBO （AAS ），∴OF=OE ，∴四边形AECF 是平行四边形．【总结升华】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．类型二、平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用4、（2015•河南模拟）如图，△ABC 中AB=AC ，点D 从点B 出发沿射线BA 移动，同时，点E 从点C 出发沿线段AC 的延长线移动，已点知D 、E 移动的速度相同，DE 与直线BC 相交于点F ．（1）如图1，当点D 在线段AB 上时，过点D 作AC 的平行线交BC 于点G ，连接CD 、GE ，判定四边形CDGE 的形状，并证明你的结论；（2）过点D作直线BC的垂线垂足为M，当点D、E在移动的过程中，线段BM、MF、CF有何数量关系？请直接写出你的结论．【思路点拨】（1）由题意得出BD=CE，由平行线的性质得出∠DGB=∠ACB，由等腰三角形的性质得出∠B=∠ACB，得出∠B=∠DGB，证出BD=GD=CE，即可得出结论；（2）由（1）得：BD=GD=CE，由等腰三角形的三线合一性质得出BM=GM，由平行线得出GF=CF，即可得出结论．【答案与解析】解：（1）四边形CDGE是平行四边．理由如下：如图1所示：∵D、E移动的速度相同，∴BD=CE，∵DG∥AE，∴∠DGB=∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠DGB，∴BD=GD=CE，又∵DG∥CE，∴四边形CDGE是平行四边形；（2）BM+CF=MF；理由如下：如图2所示：由（1）得：BD=GD=CE，∵DM⊥BC，∴BM=GM，∵DG∥AE，∴GF=CF，∴BM+CF=GM+GF=MF．【总结升华】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．举一反三【变式】如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，∴∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE=DF；（2）四边形MENF是平行四边形．证明：由（1）可知：BE=DF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠MDB=∠NBD，∵DM=BN，∴△DMF≌△BNE，∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，∴∠MFE=∠NEF，∴MF∥NE，∴四边形MENF是平行四边形．5、如图，已知在Y ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA 和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）【思路点拨】（1）先由平行四边形的性质，得AB=CD ，AB ∥CD ，根据两直线平行内错角相等得∠GBE=∠HDF ．再由SAS 可证△GBE ≌△HDF ，利用全等的性质，证明∠GEF=∠HFE ，从而得GE ∥HF ，又GE=HF ，运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得证．（2）仍成立．可仿照（1）的证明方法进行证明．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AB ∥CD ，∴∠GBE=∠HDF ．又∵AG=CH ，∴BG=DH ．又∵BE=DF ，∴△GBE ≌△HDF ．∴GE=HF ，∠GEB=∠HFD ，∴∠GEF=∠HFE ，∴GE ∥HF ，∴四边形GEHF 是平行四边形．（2）解：仍成立．（证法同上）【总结升华】本题考查的知识点为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．举一反三【变式】如图，Y ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，BG ⊥AG 于G ，DH ⊥AC 于H ．求证：四边形GEHF 是平行四边形．【答案】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO=DO ，AO=CO ，AB=CD ，AB ∥CD ，∴∠ABD=∠CDB ，∵AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，∴∠AEB=∠CFD=90°，在△ABE 和△CDF 中,,＝＝＝AB CD ABE CDF AEB CFD ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABE ≌△CDF （AAS ），∴BE=DF ，∴BO-BE=DO-DF ，即：EO=FO，同理：△ABG≌△CDH，∴AG=CH，∴AO-AG=CO-CH，即：GO=OH，∴四边形GEHF是平行四边形．。
北师大版八年级数学下册6.2《平行四边形的判定》教学设计
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：平行四边形的判定方法及其性质的应用。
2.难点：理解并灵活运用多种判定方法，解决实际问题。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用启发式教学，引导学生自主探究平行四边形的判定方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
1.充分调动学生的几何基础知识，引导学生将已学习的平行线、三角形等知识与平行四边形相结合，形成知识体系。
2.关注学生的学习难点，针对不同学生的掌握程度，进行有针对性的教学，帮助学生克服困难。
3.创设生活情境，激发学生的学习兴趣，引导学生将所学知识应用于解决实际问题。
4.注重培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
2.作业完成后，请认真检查，确保答案正确。
3.家长签字确认，以便教师了解学生在家的学习情况。
4.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
（二）过程与方法
1.引导学生观察生活中的平行四边形实例，激发学生的学习兴趣，培养学生从生活实践中发现数学问题的能力。
2.通过小组合作、讨论、交流等学习方式，让学生自主探索平行四边形的判定方法，培养学生合作学习、自主探究的能力。
3.设计丰富的例题和练习，让学生在实际操作中掌握平行四边形的性质和判定方法，提高学生的实际操作能力。
（2）提高题：设计具有一定难度的题目，让学生在解决实际问题时，灵活运用所学知识。
（3）开放题：鼓励学生发挥想象，运用平行四边形的性质解决生活中的实际问题。
4.教学评价：
（1）关注学生的学习过程，评价学生在课堂上的参与程度、合作意识、探究能力等。
2020-2021学年八年级数学北师大版下册平行四边形的综合提高(教案)
同学们，今天我们将要学习的是《平行四边形的综合提高》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过形状类似平行四边形的物体或图形？”（如建筑物的立面图、桌面布局等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平行四边形的奥秘。
3.应用平行四边形的性质和判定方法解决实际问题，如求平行四边形的面积、周长等。
4.拓展平行四边形的有关概念，如矩形、菱形、正方形的性质及判定，并了解它们之间的关系。
二、核心素养目标
本章节的核心素养目标主要包括：
1.培养学生的几何直观和空间观念，通过探索平行四边形的性质，使学生能够理解和运用几何图形的特征，形成对空间图形的认识。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平行四边形的基本概念、性质、判定方法以及在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对平行四边形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“平行四边形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
5.激发学生的创新意识，探索平行四边形相关特殊图形的性质，如矩形、菱形等，鼓励学生发现新规律，提出新见解。
北师大版八年级数学下册第6章 平行四边形的动点及存在性问题讲义(无答案)
平行四边形动点及存在性问题综合复习【学习要点】一、非坐标系下的平行四边形的动点及存在性二、坐标系下的平行四边形的动点及存在性三、一次函数中的平行四边形的动点及存在性①、单动点型②、双动点型【知识概括】一、平行四边形ABCD，这样的命名说明平行四边形的四个顶点A、B、C、D是按顺时针或逆时针的顺序排列的；而A、B、C、D形成平行四边形，可能是平行四边形ABCD，可能是平行四边形ABDC，也可能是平行四边形ADBC等，这时，A、B、C、D四个字母的顺序是不确定的。
二、确定平行四边形：对于A、B、C三点固定，若存在动点D使得四边形ABCD 是平行四边形，则点D只有一种情况，如图①、若存在动点D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D有三种情况，如图②。
图①图②三、压轴问题或存在性问题中常用的平行四边形的性质：①、对边平行且相等；②、对角线相互平分。
【方法思路分析】非坐标系下，确定或证明平行四边形的存在性一、必须明确以下情况：①、四边形ABCD是平行四边形，AC、BD一定是对角线，即明确字母顺序，那么对角线就确定了；②、以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，对角线不确定，则需要分类讨论。
二、动点问题，无论是单动点还是双动点，解决的策略是根据运动的速度大小及时间，算出运动走过的线段长度，并使用含时间t的代数式，再根据平行四边形的对边相等，对角线相互平分，建立相应的等量关系式，转化成含时间t的方程，解方程，就能确定相应的时间t的值。
顺便指出，由于动点移动的过程，一般不会涉及角度，即使有角度，也是特殊角度问题。
在坐标系下，平行四边形的存在性。
一、平移法确定平行四边形先由题目条件探索三点的坐标（若只有两个定点，可设第三个点为动点），再画出以三点为顶点的平行四边形，根据坐标平移的性质写出第四个顶点的坐标，最后根据题目的要求（动点在什么直线或函数解析式上），判定平行四边形的存在性。
二、关于中点坐标、直线解析式、两点之间的坐标表达等解析法的知识：①、两点之间的距离公式：若A ) ,(11y x ，B ) ,(22y x ，则212212)()(|AB |y y x x −+−=特别地，若AB ∥x 轴，则||||12x x AB −=，若AB ∥y 轴，则||||12y y AB −= ②、一次函数中直线方程（解析式）求k 的方法：若A ) ,(11y x ，B ) ,(22y x ，A 、B 不重合，并且在直线b kx y +=上， 则)(tan 212212x x x x y y k ≠−−==θ（其中θ为直线的倾斜角，tan θ为正切值） ③、中点坐标公式：若A ) ,(11y x ，B ) ,(22y x ，则A 、B 的中点M )22(2121y y x x ++， ④、设1l ：111b x k y +=，2l ：222b x k y +=若两直线平行，则21k k =且21b b ≠，两直线重合：21k k =且21b b =若两直线垂直，则121−=k k三、代数法（解析法）确定平行四边形的存在性（主要确定四个顶点的坐标） 在ABCD 中，线段AC 、BD 为对角线，设四个顶点坐标分别是) (A A y x A ，，) (B B y x B ，，) (C C y x C ，，) (D D y x D ，，则D B C A x x x x +=+，D B C A y y y y +=+，简写：D B C A +=+（各点的横纵坐标之和）变形：⎩⎨⎧−=−−=−→⎩⎨⎧+=++=+CD B A C D B A D B C A D B C A y y y y x x x x y y y y x x x xA 、三定一动：【示例】已知)3 ,1(A ，)4 ,6(B ，)6 ,4(C ，在坐标系内确定点D 使得以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是平行四边形。
第6章平行四边形 题型解读7 直角坐标系中的平行四边形-2020-2021学年北师大版八年级数学下册
《平行四边形》题型解读7 直角坐标系中的平行四边形【知识梳理】： 1.总体解题分析思路线：2.常见添辅助线方法：①过平行四边形顶点作坐标轴的垂线段，把点的坐标转化成线段长； ②连接对角线，利用中点坐标公式求解点的坐标；【典型例题】例1.已知如图，平行四边形ABCD 的边AB 在轴上，顶点D 在轴上，AD=4，AB=5，点A 的坐标为（-2，0），则 点B 的坐标为____________, 点C 的坐标为____________, 点D 的坐标为____________ 【解题过程】作CE ⊥x 轴，∵点A 的坐标为（-2，0），∴OA=2，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC=4,AB=CD=5,∴OB=3,∴BE=2,在Rt △OAD 中，由勾股定理可得OD=2√3,∵∠DAO=∠CBE,OA=BE=2,∠AOD=∠CEB=90º,∴△AOD ≌△BEC,∴CE=OB=2√3,∴B(3,0)、D(0,2√3)、C(5,2√3).例2.如图，在平面直角坐标系中，AB//OC ，A （0，12），B （a,12），C （b,0），且满足b =√a −21+√21−a +16. 动点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；动点Q 从点O 出发在线段OC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，点P 、Q 同时出发，当点P 运动到点B 时，点Q 随之停止运动.设运动时间为t （秒）. （1）求B ，C 两点的坐标；（2）当t 为何值时，四边形PQCB 是平行四边形？请求出此时P ，Q 两点的坐标； （3）当t 为何值时，△PQC 是以PQ 为腰的等腰三角形？并求出P 、Q 两点的坐标.【解题过程】（1）∵b =√a −21+√21−a +16，∴√a −21≥0，√21−a ≥0，∴a=21,∴b=16,∴B(21,12)、C(16,0)； （2）如图1，由题可知：AP=2t,PB=21-2t ，OQ=t,QC=16-t ，∵当四边形PQCB 是平行四边形时，∴PB=QC ，即21-2t=16-t ，解得t=5，此时AP=10,OQ=5，∵AB//OC ，∴点B 、P 的纵坐标相同，∴P(10,12)、Q(5,0)。
第6章平行四边形 题型解读3 平行四边形的判定题型-2020-2021学年北师大版八年级数学下册
《平行四边形》题型解读3 平行四边形的判定题型【知识梳理】一.平行四边形的判定定理1.从边看：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；注意：不能判定的情形：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形；2.从角看：两对对角分别相等的四边形是平行四边形；拓展：①两组邻角分别互补的四边形是平行四边形；②一组对角相等，一组邻角互补的四边形是平行四边形；3.从对角线看：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；注意：是“平分”而不是“相等”；二.平行四边形的判定定理与性质定理是互逆定理；【典型例题】例1．如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB=BF．添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（）A．AD=BC B．CD=BF C．∠A=∠C D．∠F=∠CDF【分析】正确选项是D．想办法证明CD=AB，CD∥AB即可解决问题；解：正确选项是D．理由：∵∠F=∠CDF，∠CED=∠BEF，EC=BE，∴△CDE≌△BFE，CD∥AF，∴CD=BF，∵BF=AB，∴CD=AB，∴四边形ABCD是平行四边形．故选：D．例2．在四边形ABCD中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（）A．3种 B．4种C．5种 D．6种【分析】根据平行四边形的判定方法中，①②、③④、①③、③④均可判定是平行四边形．解：根据平行四边形的判定，符合条件的有4种，分别是：①②、③④、①③、③④．故选：B．例3．▱ABCD 中，E ，F 的对角线BD 上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF 一定为平行四边形的是 （ ）A ．BE=DFB ．AE=CFC ．AF ∥CED ．∠BAE=∠DCF【分析】连接AC 与BD 相交于O ，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC ，OB=OD ，再根据对角线互相平 分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE=OF 即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．解：如图，连接AC 与BD 相交于O ，在▱ABCD 中，OA=OC ，OB=OD ，要使四边形AECF 为平行四边形，只需证明得 到OE=OF 即可；A 、若BE=DF ，则OB ﹣BE=OD ﹣DF ，即OE=OF ，故本选项不符合题意；B 、若AE=CF ，则无法判断OE=OE ，故本选项符合题意；C 、AF ∥CE 能够利用“角角边”证明△AOF 和△COE 全等，从而得到OE=OF ，故本选项不符合题意；D 、∠BAE=∠DCF 能够利用“角角边”证明△ABE 和△CDF 全等，从而得到DF=BE ，然后同A ，故本选项不符合题 意；故选：B ．例4.如图，在平行四边形ABCD 中，∠DAB=60º，点E 、F 分别在CD 、AB 的延长线上，且AE=AD ，CF=CB.（1）试说明：四边形AFCE 是平行四边形；（2）若去掉已知条件中的“∠DAB=60º”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由。
平行四边形单元整体分类总复习 专题突破八年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义
第6讲 平行四边形单元整体分类总复习考点一 多边形的内角和、外角和知识点睛：1. n 边形的内角和为()()31802≥︒⨯-n n ，外角和为360°，反过来，已知一些内、外角的度数或数量关系也能确定多边形的边数2. 对角线公式从n 边形的一个顶点可引出（n-3）条对角线，将n 边形分成（n-2）个三角形，n 边形的对角线共有()23-n n 条 类题训练1．（2022•九龙坡区校级开学）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，这个多边形是（ ）A ．十边形B ．十一边形C ．十二边形D ．十三边形【分析】设这个多边形为n 边形，根据多边形的内角和公式及外角和定理即可求解．【解答】解：设这个多边形为n 边形，它的外角分别为x 1，x 2，⋯，x n ，则对应的内角分别为4x 1+30°，4x 2+30°，⋯，4x n +30°，根据题意得，x 1+x 2+⋯+x n ＝360°，（4x 1+30°）+（4x 2+30°）+⋯+（4x n +30°）＝（n ﹣2）×180°，∴4×（x 1+x 2+⋯+x n ）+30°n ＝（n ﹣2）×180°，∴4×360°+30°n ＝（n ﹣2）×180°，∴1440°+30°n ＝180°n ﹣360°，∴150°n ＝1800°，∴n ＝12，故选：C ．2．（2021秋•黄冈期末）一个多边形的每个外角都等于40°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）A ．9条B ．8条C ．7条D ．6条【分析】首先计算出多边形的边数，再根据n 边形从一个顶点出发可引出（n ﹣3）条对角线可得答案．【解答】解：多边形的边数：360°÷40°＝9，从一个顶点出发可以引对角线的条数：9﹣3＝6（条），故选：D ．3．（2021秋•海阳市期末）小东在计算多边形的内角和时不小心多计算一个内角，得到的和为1350°，则这个多边形的边数是（）A．7B．8C．9D．10【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列方程即可得解．【解答】解：设多边形的边数为n，多加的内角度数为α，则（n﹣2）•180°＝1350°﹣α，∵0°＜α＜180°，∴（1350﹣180）÷180＜n﹣2＜1350÷180，∴6＜n−2＜7，∵n为正整数，∴n＝9，∴这个多边形的边数n的值是9．故选：C．4．（2021秋•丹东期末）如果过一个多边形的一个顶点的对角线有5条，则该多边形是（）A．九边形B．八边形C．七边形D．六边形【分析】根据从每一个顶点出发可以作的对角线的总条数为n﹣3计算即可．【解答】解：∵过一个多边形的一个顶点的对角线有5条，∴多边形的边数为5+3＝8，故选：B．5．（2021秋•天元区期末）如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2的值是（）A．36°B．72°C．108°D．144°【分析】由l1∥l2，得∠2＝∠BMD．由∠1＝∠BMD﹣∠MBC，得∠BMD＝∠1﹣∠MBC，那么∠1﹣∠2＝∠MBC．欲求∠1﹣∠2，需求∠MBC．由正五边形的性质，得∠MBC＝72°，从而解决此题．【解答】解：如图，AB的延长线交l2于点M，∵五边形ABCDE是正五边形，∴正五边形ABCDE的每个外角相等．∴∠MBC＝＝72°．∵l1∥l2，∴∠2＝∠BMD，∵∠1＝∠BMD+∠MBC，∴∠BMD＝∠1﹣∠MBC，∴∠1﹣∠2＝∠MBC＝72°．故选：B．6．（2021春•浦江县期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝110°，与∠BAD，∠ABC相邻的外角都是110°，则∠ADC的外角α的度数是（）A．90°B．85°C．80°D．70°【分析】根据多边形外角和为360°，进行求解即可．【解答】解：∵在四边形ABCD中，∠C＝110°，∴∠C相邻的外角度数为：180°﹣110°＝70°，∴∠α＝360°﹣70°﹣110°﹣110°＝70°．故选：D．考点二平行四边形的性质知识点睛：1.平行四边形的性质定理∶（1）平行四边形的对边平行且相等.（2）平行四边形的对角相等，邻角互补.（3）平行四边形的对角线互相平分.2.利用平行四边形的性质证明边、角关系时，一定要找准那些对解题有帮助的性质，有时也可以根据结论逆向推理看是否符合那些性质.类题训练1．（2021秋•任城区校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列判断错误的是（）A．AO＝CO B．AD∥BC C．AD＝BC D．∠DAC＝∠ACD 【分析】根据平行四边形的性质解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，故A正确；∴AD∥BC，故B正确；∴AD＝BC，故C正确；故选：D．2．（2021秋•鄞州区校级期末）如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠BAD＝120°，则∠BCE的度数为（）A．30°B．20°C．40°D．35°【分析】由平行四边形的性质得出∠B+∠BAD＝180°，可得∠B的度数，由直角三角形的两上锐角互余得出∠BCE＝90°﹣∠B即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∵∠BAD＝120°，∴∠B＝60°，∵CE⊥AB，∴∠E＝90°，∴∠BCE＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°；故选：A．3．（2022春•秀英区校级月考）如图，在▱ABCD中，AD＝8，AB＝5，AE平分∠BAD交边BC于点E，DF平分∠ADC交边BC于点F，则EF＝（）A．2B．2.5C．3D．3.5【分析】根据平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF＝∠CDF，等量代换得到∠DFC＝∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论．【解答】解：在▱ABCD中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，∴AB＝BE，CF＝CD，∴BC＝BE+CF﹣EF＝2AB﹣EF＝8，∴EF＝2；故选：A．4．（2021秋•绵阳期末）如图，在平行四边形OABC中，对角线相交于点E，OA边在x轴上，点O为坐标原点，已知点A（4，0），E（3，1），则点C的坐标为（）A．（1，1）B．（1，2）C．（2，1）D．（2，2）【分析】分别过E，C两点作EF⊥x轴，CG⊥x轴，垂足分别为F，G，由平行四边形的性质可得CG＝2EF，AG＝2AF，结合A，E两点坐标可求解CG，OG的长，进而求解C 点坐标．【解答】解：分别过E，C两点作EF⊥x轴，CG⊥x轴，垂足分别为F，G，∴EF∥CG，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE＝CE，∴AG＝2AF，CG＝2EF，∵A（4，0），E（3，1），∴OA＝4，OF＝3，EF＝1，∴AF＝OA﹣OF＝4﹣3＝1，CG＝2，∴AG＝2，∴OG＝OA﹣OG＝4﹣2＝2，∴C（2，2）．故选：D．5．（2022•越秀区校级开学）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝，∠AOB＝60°，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+2EF的值为（）A．+1B．C．D．【分析】依据含30°角的直角三角形的性质可求解AO＝1，BO＝2，利用三角形的面积公式计算△ABO的面积，结合平行四边形的性质可得DO＝BO＝2，S△ADO＝S△ABO＝，即可得到OE+2EF的值．【解答】解：∵∠BAO＝90°，∠AOB＝60°，∴∠ABO＝30°，∴BO＝2AO，∵AB＝，∴AO＝1，BO＝2，∴S△ABO＝AO•AB＝，∵四边形ABCD为平行四边形，∴DO＝BO＝2，S△ADO＝S△ABO＝，∵OF⊥AO，EF⊥OD，∴S△ADO＝S△AEO+S△EDO＝＝＝，即OE+2EF＝．故选：B．6．（2021秋•九江期末）在平行四边形ABCD中，对角线AC长为8cm，∠BAC＝30°，AB ＝5cm，则它的面积为．【分析】根据S▱ABCD＝2S△ABC，所以求S△ABC可得解．作BE⊥AC于E，在直角三角形ABE中求BE从而计算S△ABC．【解答】解：如图，过B作BE⊥AC于E．在直角三角形ABE中，∠BAC＝30°，AB＝5cm，∴BE＝AB•sin∠CAB＝5×＝2.5（cm），S△ABC＝AC•BE÷2＝10（cm2），∴S▱ABCD＝2S△ABC＝20cm2．故答案为：20cm2．7．（2021秋•鄞州区校级期末）平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC＝10，BD＝6，AB＝m，那么m的取值范围是．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OA与OB的值，然后根据三角形三边关系，即可求得m的取值范围．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC＝×10＝5，OB＝OD＝BD＝×6＝3，∵OA﹣OB＜AB＜OA+OB，∴5﹣3＜m＜5+3，∴m的取值范围是：2＜m＜8．故答案为：2＜m＜8．8．（2021秋•桓台县期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积是．【分析】作AM⊥BC于M，如图所示：根据直角三角形的性质得到BM＝AB＝×2＝1，根据勾股定理得到AM＝＝＝，得到S平行四边形ABCD＝BC•AM ＝3，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，BO＝DO，根据全等三角形的性质得到S＝S△DOF，于是得到结论．△BOE【解答】解：作AM⊥BC于M，如图所示：则∠AMB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝×2＝1，在Rt△ABM中，AB2＝AM2+BM2，∴AM＝＝＝，∴S平行四边形ABCD＝BC•AM＝3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BO＝DO，∴∠OBE＝∠ODF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴S△BOE＝S△DOF，∴图中阴影部分的面积＝▱ABCD的面积＝，故答案为：．9．（2022•海曙区校级开学）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点．（1）求证：AF＝CE；（2）若四边形AECF的周长为10，AF＝3，AB＝2，求平行四边形ABCD的周长．【分析】（1）根据平行四边形ABCD的对边平行得出AD∥BC，又AE＝CF，利用有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证得四边形AECF为平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证得结论；（2）根据平行四边形的性质和平行四边形的周长公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即AE∥CF，又∵点E，F分别是边AD，BC的中点，∴AE＝AD，CF＝BC，∴AE＝CF，∴四边形AECF为平行四边形，∴AF＝CE；（2）解：∵四边形AECF的周长为10，AF＝3，∴AE+CF＝10﹣2×3＝4，∵点E，F分别是边AD，BC的中点，∴AD+BC＝2（AE+CF）＝8，∵AB＝2，∴平行四边形ABCD的周长＝8+2×2＝12．10．（2021秋•海曙区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD中点，连接CF 并延长交BA的延长线于点E．（1）求证：AB＝AE．（2）若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数．【分析】（1）由题意易得AB＝CD，AB∥CD，进而易证△AFE≌△DFC，则有CD＝AE，然后问题可求证；（2）由（1）及题意易得AF＝AE，则∠AFE＝∠E＝31°，然后根据三角形外角的性质可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，∴∠E＝∠DCF，∵点F是AD中点，∴AF＝DF，∵∠EF A＝∠CFD，∴△AFE≌△DFC（AAS），∴CD＝AE，∴AB＝AE；（2）解：由（1）可得AF＝DF，BC＝AD，∵BC＝2AE，∴AE＝AF，∵∠E＝31°，∴∠AFE＝∠E＝31°，∴∠DAB＝2∠E＝62°．11．（2021秋•桓台县期末）已知，如图在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点E，F分别在OD，BO上，且OE＝OF，连接AE，CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）延长AE交CD于点G，延长CF交AB于点H．求证：AH＝CG．【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，得AD＝BC，AD∥BC，BO＝DO，可证∠ADE＝∠CBF，DE＝BF，然后通过SAS即可证得△ADE≌△CBF；（2）证出四边形AHCG是平行四边形，由平行四边形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，BO＝DO，∴∠ADE＝∠CBF，∵OE＝OF，∴DE＝BF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAC＝∠BCA，∵△ADE≌△CBF，∴∠DAE＝∠BCF，∴∠EAO＝∠FCO，∴AG∥HC，∵AH∥CG，∴四边形AHCG是平行四边形，∴AH＝CG．考点三平行四边形的判定知识点睛：1.平行四边形的判定方法：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
北师大版八年级数学(下)6.2平行四边形的判定第1课时利用四边形边的关系判定平行四边形教学设计
6.2 平行四边形的判定第1课时利用四边形边的关系判定平行四边形教学目标：1.使学生理解并能够证明平行四边形的前两个判定定理，即两组对边分别相等的四边形是平行四边形和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.2.让学生能够应用平行四边形的定义和平行四边形的前两个判定定理判定四边形为平行四边形.教学重点：平行四边形判定方法的探究.教学难点：平行四边形判定方法的理解和灵活应用.课时安排：1课时教学过程：一、复习巩固1．平行四边形的定义是什么？答：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．平行四边形还有哪些性质？答：（1）平行四边形的两组对边分别平行;（2）平行四边形的对边相等；（3）平行四边形的对角相等，相邻两角互补；（4）平行四边形的对角线互相平分；（5）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.二、新课引入前两节课我们学习了平行四边形的定义和性质，从这节课开始我们来探究平行四边形的判定方法.周末，小明的爸爸带着他回老家，看望爷爷.午饭后，小明的爷爷准备给他心爱的小菜园扎篱笆，地上散落着很多长短不一的细木棒.这时小明的爸爸说：“小明，你们现在已经开始学习平行四边形了，你能不能挑四根细木棒拼一个平行四边形呢？”(1)他应该选什么规格的细木棒？(2)他怎样才能拼接成平行四边形？为什么？你能为小明出谋划策吗？三、探究新知【活动1】活动1：用两根长30cm的木条和两根长20cm的木条作为四边形的四条边，能否拼成一个平行四边形？与同伴进行交流.20cm30cm猜测：两组对边分别相等的四边形是平行四边形【探究证明】已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD,BC＝AD.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明:如图，连结BD.在△ABD和△CDB中，∵AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB，AB CD1423∴△ABD≌△CDB，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴AB∥CD , AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形.【总结】定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.符号语言：∵AB＝DC,AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形.【活动2】活动2：将两根同样长的木条AD，BC平行放置,再用木条AB，DC加固,得到的四边形ABCD是平行四边形吗？猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.【探究证明】已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB＝CD.求证:四边形ABCD是平行四边形.探究：要证明四边形ABCD是平行四边形,可转化为证明两组对边分别相等,从而作辅助线,用全等三角形来证明相应的边相等.证明:如图，连结AC.∵ AB ∥CD ,∴ ∠1＝∠2.∵AB ＝CD ,AC ＝CA ,∴△ABC ≌△CDA (SAS).∴BC ＝DA .∴四边形ABCD 是平行四边形.【总结】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.符号语言：∵AB DC ，∴四边形ABCD 是平行四边形.【阅读思考】卢师傅要做一个平行四边形木框.他要从图中几根木条中选出四根来制作，可是他不知道该怎样选，请同学们帮他选一选，哪四根木条可以制作成平行四边形木框，为什么？5cm 7cm3cm 3cm 4cm4cm 3cm发现：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形；四条边两两相等的四边形不一定是平行四边形.【思考】：我们可以从角出发来判定一个四边形是否为平行四边形吗？你能根据平行四边形的定义证明它们吗？4cm4cm 4cm 4cm 4cm 4cm3cm 3cm 3cm 3cm 5cm已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°又∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴2∠A+2∠B=360°即∠A+∠B=180°∴ AD∥BC.同理AB∥ CD.∴四边形ABCD是平行四边形.【总结】两组对角分别相等的四边形是平行四边形【例题】已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D，∠1=∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形.证明1：在△ABC和△CDA中∵∠B=∠D，∠1=∠2，CA=AC, ∴△ABC≌△CDA.∴AB=DC，BC=DA.∴四边形ABCD是平行四边形证明2：在△ABC和△CDA中∵∠B=∠D，∠1=∠2，CA=AC ∴△ABC≌△CDA∴AB=CD，AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形证明3：在△ABC和△CDA中∵∠B=∠D，∠1=∠2，CA=AC 12∴△ABC ≌△CDA∴∠BCA=∠DAC∴AB ∥CD ，AD ∥BC∴四边形ABCD 是平行四边形【解决问题】如图,在▱ABCD 中,点E,F 在对角线AC 上,且AE=CF.求证:四边形DEBF 是平行四边形.证明:方法一:(利用两组对边分别相等)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥CB,AD=CB,∴∠DAE=∠BCF.在△ADE 和△CBF 中,AD CB DAE BCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△ADE ≌△CBF,∴DE=BF,同理可得,△ABE ≌△CDF,∴BE=DF,∴四边形DEBF 是平行四边形.方法二:(利用一组对边平行且相等)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥CB,AD=CB,∴∠DAE=∠BCF.在△ADE 和△CBF 中,AD CB DAE BCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△ADE ≌△CBF.∴DE=BF,∠ADE=∠CBF.∵∠DEF=∠DAE+∠ADE,∠BFE=∠BCF+∠CBF,∴∠DEF=∠BFE.∴DE ∥BF.又∵DE=BF,∴四边形DEBF是平行四边形.【课堂小结】平行四边形的判定①已知一组对边平行，可以证另一组对边平行；也可证这组对边相等.②已知一组对边相等，可以证另一组对边相等；也可证这组对边平行.③已知一组对角相等，再证另一组对角相等.。
北师大初中数学八下《62平行四边形的判定》word教案(4)
《平行四边形的判定》第1课时教学目的1．使学生掌握用平行四边形的定义判定一个四边形是平行四边形；2．理解并掌握用二组对边分别相等的四边形是平行四边形；3．能运这两种方法来证明一个四边形是平行四边形．教学重难点重点：平行四边形的判定定理；难点：掌握平行四边形的性质和判定的区别及熟练应用．教学过程（一）复习提问：2．将以上的性质定理，分别用命题形式叙述出来．（如果……那么……）（二）新课：则可判定这个四边形是一个平行四边形．活动：用做好的纸条拼成一个四边形，其中强调两组对边分别相等．方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．已知：四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC求证：四边ABCD是平行四边形．分析：判定平行四边形的依据目前只有定义，也就是须证明两组对边分别平行，当然是借助第三条直线证明角等．连结BD．易证三角形全等．DA上的点，且AE＝CG，第2课时教学目的：1．掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定定理进行有关的论证和计算；2．培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力；3．在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辩证唯物主义观点．教学重难点：教学重点：掌握用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定定理来判定一个四边形是平行四边形．教学难点：判定定理的证明方法及运用．教学过程：一．复习引入：二．新课讲解小结：平行四边形判定方法三：前提：若一个四边形有一组对边平行且相等．结论：这个四边形是一个平行四边形．如图用几何语言表达为：∵AB=CD且AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形平行且相等可用符号“//”，读作“平行且相等”．∵AB//CD，∴四边形ABCD是平行四边形．三．例题讲解：的中点，连结BE、DF．行四边形对角相等，即只要四边形EBFD 是平行四边形．由已知平行四边形ABCD 的性质可得DE//BF ，又AD ＝BC ，E 、F 为中点则有DE ＝BF ，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，可得四边形EBFD 是平行四边形．今天我们主要研究了利用边的关系来判定平行四边形，注意满足两个条件．的四边形是平行四边形一组对边平行且相等两组对边分别相等两组对边分别平行⎪⎭⎪⎬⎫注意：若一组对边平行，另一组对边相等，是不可以判定为平行四边形的，它是梯形．第3课时教学目的1．掌握用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理，会用这些定理进行有关的论证和计算；2．理解“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”这一判定定理，会用这些定理进行有关的论证和计算；3．培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力．教学重难点教学重点：理解掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形，两组对角分别相等的四边形是平行四边形”这一判定定理．教学难点：判定定理的证明方法及运用．教学过程：一．复习导入二．新课讲解：活动：用事先准备好的纸条按课本探究方法做，让学生判定这个四边形是否是平行四边形． 判定方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形．已知：如图：在四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，OA=OC ，OB=OD ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．分析：证明这个四边形是平行四边形的方法有：（1）两组对边分别相等；（2）平行四边形的定义：两组对边分别平行．（较简单的）板书证过程．小结：由刚才证明可得，只要有对角线互相平分，可判定这个四边形是平行四边形．几何语言表达：∵OA=OC，OB= OD，∴四边形ABCD是平行四边形．已知：在四边形ABCD中，∠A =∠C，∠B=∠D．求证：四边形ABCD是平行四边形（让学生板书，然后小结）练习：延长三角形ABC的中线BD至E，使DE=BD，连结AE、CE，如图．求证：∠BAE=∠BCE．证明方法：由对角线互相平分可证四边形ABCE为平行四边形，可得∠BAE=∠BCE．3．本课小结：目前，我们研究平行四边形的哪些性质和判定：平行四边形的性质：对边平行；对边相等；对角线互相平分；夹在平行线间的平行线段相等；对角相等；邻角互补．平行四边形的判定：两组对边平行；两组对边相等；两组对角相等；对角线互相平分的四边形．。
新北师大版八年级数学下册《六章平行四边形复习题》教案_9
八下数学专题复习--以一次函数为载体的平行四边形的存在性问题一、教学目标1.知识目标：探索以一次函数为载体的平行四边形的存在性问题，并能熟练应用。
2.能力目标：经历探索以一次函数为载体的平行四边形的存在性问题，提高学生对问题的探究能力和对知识的综合应用能力。
3.情感目标：在探究中发展学生的探究意识和合作交流的习惯，感受平行四边形与三角形知识的密切联系，体会数学的数形结合思想、分类思想和转化思想。
二、教学重难点1.重点：找三定一动类型的动点位置。
2.难点：求三定一动类型的动点坐标。
三、教法：探索归纳四、教学过程1.课前导学（1）画一画：请你画出以A、B、C为其中三个顶点的平行四边形.（2）已知点A（2,1），点C（6,5），那么AC中点P的坐标为.（3）已知点B（3,4），点P为线段BD的中点，那么点D的坐标为.（4）顺次连接ABCD，请问四边形ABCD是什么四边形？为什么？（5）请问平行四边形ABCD的顶点横坐标之间有什么关系？纵坐标呢？2.归纳总结若平行四边形ABCD处于平面直角坐标系中，其顶点坐标为A（x a，y a）B（x b，y b）C（x c，y c）D（x d，y d）,你可以得出什么结论？3.例题讲解已知A、B、C三点的坐标分别为（3,7），（1,2），（6,4），求点D的坐标使四边形ABCD成为平行四边形。
4.变式训练已知A、B、C三点的坐标分别为（3,7），（1,2），（6,4），求点D的坐标使以A、B、C、D为顶点的四边形成为成为平行四边形。
5.比较总结例题和变式在解题中有什么区别？6.进阶训练如图，若点A（2,1），B（5,1），C在过点A的直线y=2x-3上，且以A、B、C为其中三个顶点的平行四边形的面积为 6.求平行四边形顶点D的坐标.7.拓展提升在平面直角坐标系中，点A（2,1），B（5,1），点C在直线y=2x-3上运动，问：在直线y=0.5x上是否存在一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.五、板书设计八下数学专题复习--以一次函数为载体的平行四边形的存在性问题找①类型：三定一动、两定两动②分类标准：对角线↓求①中点坐标法②平移法③全等法六、教学反思2。
难点解析北师大版八年级数学下册第六章平行四边形重点解析试题(含解析)
北师大版八年级数学下册第六章平行四边形重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在△ABC中，AD是角平分线，点E、F分别是线段AC、CD的中点，若△ABD、△EFC的面积分别为21、7，则ABAC的值为（）A．14B．34C．23D．132、如图，点O是▱ABCD的对称中心，l是过点O的任意一条直线，它将平行四边形分成甲、乙两部分，在这个图形上做扎针试验，则针头扎在甲、乙两个区域的可能性的大小是（）A．甲大B．乙大C．一样大D．无法确定3、如图，在平行四边形ABCD中，AE BC于点E，把BAE以点B为中心顺时针旋转一定角度后，得到BFG ，已知点F 在BC 上，连接DF ．若70ADC ∠=︒，15CDF ∠=︒，则DFG ∠的大小为（ ）A ．140°B ．155°C ．145°D ．135°4、已知正多边形的一个外角等于45°，则该正多边形的内角和为（ ） A ．135°B ．360°C ．1080°D ．1440°5、如图，正五边形ABCDE 点D 、E 分别在直线m 、n 上．若m ∥n ，∠1＝20°，则∠2为（ ）A ．52°B ．60°C ．58°D ．56°6、四边形ABCD 中，如果270A C D ∠+∠+∠=︒，则B 的度数是（ ） A ．110°B ．100°C ．90°D ．30°7、多边形每一个内角都等于150°，则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为（ ） A ．9条B ．8条C ．7条D ．6条8、如图，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 的外部时，测量得∠1＝70°，∠2＝132°，则∠A为（）A．40°B．22°C．30°D．52°9、正五边形的外角和是（）A．180︒B．360︒C．540︒D．720︒10、在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是（）A．（7，3）B．（8，2）C．（3，7）D．（5，3）第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝5，以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于12PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是 _____．2、如图，已知AB ∥CD ，ABE ∠和CDE ∠的平分线相交于F ，140E ∠=︒，求BFD ∠的度数_____．3、如图，在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，34B ∠=︒，在边AB ，BC 上分别找一点E ，F 使DEF 周长最小，此时EDF ∠=______．4、如图，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°，AB =5，BC =3，将△ABC 绕点B 顺时针旋转得到△A′B C′，其中点A ，C 的对应点分别为点,A C ''连接,AA CC ''，直线CC '交AA '于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ．则DE 的最小值为_________5、如图，在平行四边形ABCD 中，45ABC ∠=︒，E 、F 分别在CD 和BC 的延长线上，AE BD ∥，30EFC ∠=︒，AB =EF =______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知：如图，在ABC 中，AD DB =，BE EC =，AF FC =．求证：AE DF 、互相平分．2、△ABC 和△GEF 都是等边三角形．问题背景：如图1，点E 与点C 重合且B 、C 、G 三点共线．此时△BFC 可以看作是△AGC 经过平移、轴对称或旋转得到．请直接写出得到△BFC 的过程．迁移应用：如图2，点E 为AC 边上一点（不与点A ，C 重合），点F 为△ABC 中线CD 上一点，延长GF交BC 于点H ，求证：CE CH +=．联系拓展：如图3，AB ＝12，点D ，E 分别为AB 、AC 的中点，M 为线段BD 上靠近点B 的三等分点，点F 在射线DC 上运动（E 、F 、G 三点按顺时针排列）．当12MG AG +最小时，则△MDG 的面积为_______．3、在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，点E 、F 分别为AB ，AC 的中点，H 为线段EF 上一动点（不与点E ，F 重合），将线段AH 绕点A 逆时针方向旋转90°得到AG ，连接GC ，HB ．（1）如图1，求证：AHB AGC ≌； （2）如图2，连接GF ，HG ，HG 交AF 于点Q ． ①点H 在运动的过程中，求证：90HFG ∠=︒；②若44AB C ==，当AQG 为等腰三角形时，EH 的长为______． 4、已知：如图：五边形ABCDE 的内角都相等，DF ⊥AB ． （1）则∠CDF ＝（2）若ED ＝CD ，AE ＝BC ，求证：AF ＝BF ．5、如图，在Rt△OAB 中，∠OAB ＝90°，OA ＝AB ＝6，将△OAB 绕点O 沿逆时针方向旋转90°得到△OA 1B 1．（1）线段OA 1的长是 ，∠AOB 1的度数是 ； （2）连接AA 1，求证：四边形OAA 1B 1是平行四边形．-参考答案-一、单选题 1、B 【分析】过点A 作△ABC 的高，设为x ，过点E 作△EFC 的高为12x ，可求出42BD x =，28CF x=，再由点E 、F 分别是线段AC 、CD 的中点，可得出2CE CD CE CF =，进而求出56CD x=，再利用角平分线的性质可得出AB AC 的值为BDCD即可求解． 【详解】解：过点A 作△ABC 的高，设为x ，过点E 作△EFC 的高为12x ，∴1212ABDSx BD == ，11722EFCS x CF == ∴42BD x =，28CF x= ，∵点E 、F 分别是线段AC 、CD 的中点， ∴12CE EF CF CA AD CD === ， ∴2CA CE = ， ∵CE CD CA CF = ， ∴2CE CD CE CF =， ∴56CD x=, 过点D 作DM ⊥AB ，DN ⊥AC ， ∵AD 为BAC ∠平分线， ∴DM =DN ， ∵1122ABD ACDSAB DM S AC DN =⋅=⋅，， ∴S ABD AB DM DB S ACD AC DN CD ⋅==⋅，即：AB DBAC CD=∴4242356564AB BD x AC CD x==== ， 故选：B ． 【点睛】本题考查角平分线性质定理及三角形中位线的性质，解题关键是求出AB BDAC CD=． 2、C 【分析】如图，连接,,AC BD 记过O 的直线交,AD BC 于,,N H 则O 为,AC BD 的中点，,,,OA OC OB OD AD BC ∥再证明,ANO CHO ≌ ,,DNO BHO AOB COD ≌≌ 可得,ANHB CHND S S 四边形四边形 从而可得答案.【详解】解：如图，连接,,AC BD 记过O 的直线交,AD BC 于,,N HO 为▱ABCD 的对称中心，O 为,AC BD 的中点，,,,OA OC OB OD AD BC ∥,,NAO HCO ANO CHO,ANO CHO ≌同理：,,DNO BHO AOB COD ≌≌,ANHBCHND S S 四边形四边形所以针头扎在甲、乙两个区域的可能性的大小是一样的， 故选C 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，随机事件发生的可能性的大小，几何概率的意义，理解几何概率的意义是解本题的关键. 3、C 【分析】根据题意求出∠ADF ，根据平行四边形的性质求出∠ABC 、∠BAE ，根据旋转变换的性质、结合图形计算即可．【详解】解：∵∠ADC=70°，∠CDF=15°，∴∠ADF=55°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=70°，AD∥BC，∴∠BFD=125°，∵AE⊥BC，∴∠BAE=20°，由旋转变换的性质可知，∠BFG=∠BAE=20°，∴∠DFG=∠DFB+∠BFG=145°，故选：C．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质、旋转变换的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．4、C【分析】先利用正多边形的每一个外角为45︒,求解正多边形的边数，再利用正多边形的内角和公式可得答案. 【详解】解：正多边形的一个外角等于45°，∴这个正多边形的边数为：3608, 45∴这个多边形的内角和为：821801080,故选C本题考查的是正多边形内角和与外角和的综合，熟练的利用正多边形的外角的度数求解正多边形的边数是解本题的关键.5、D【分析】延长AB 交直线n 于点F ，由正五边形ABCDE ，可得出五边形每个内角的度数，再由三角形外角的性质可得128EGB ∠=︒，根据平行线的性质可得52GFH ∠=︒，最后再利用一次三角形外角的性质即可得．【详解】解：如图所示，延长AB 交直线n 于点F ，∵正五边形ABCDE ，∴108A ABC C D AED ∠=∠=∠=∠=∠=︒，∵120∠=︒，∴1128EGB A ∠=∠+∠=︒，∵m n ∥，∴18052GFH EGB ∠=︒-∠=︒，∴256GBH GFH ∠=∠-∠=︒，故选：D ．题目主要考查正多边形的内角，平行线的性质，三角形外角的性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这几个性质是解题关键．6、C【分析】根据四边形内角和是360°进行求解即可．【详解】 解：四边形的内角和是360°，+++=360A B C D ∴∠∠∠∠︒∵270A C D ∠+∠+∠=︒=360-270=90B ∴∠︒︒︒．故选：C ．【点睛】本题考查四边形的内角和，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．7、A【分析】多边形从一个顶点出发的对角线共有（n-3）条．多边形的每一个内角都等于150°，多边形的内角与外角互为邻补角，则每个外角是30度，而任何多边形的外角是360°，则求得多边形的边数；再根据不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有（n-3）条，即可求得对角线的条数．【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于150°，∴每个外角是30°，∴多边形边数是360°÷30°=12，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有12-3=9条．故选A ．本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．8、B【分析】利用四边形的内角和定理求出B C ∠+∠，再利用三角形的内角和定理可得结果．【详解】∵1=70∠︒，2=132∠︒，∴3601236070132158B C ∠+∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴180()18015822A B C ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，故选：B ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理，关键是运用多边形的内角和定理求出B C ∠+∠的度数．9、B【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．【详解】解：任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和的度数为360°．故选：B ．【点睛】本题主要考查多边形的外角和定理，解答本题的关键是掌握任意多边形的外角和都是360°．10、A利用平行四边形的对边平行且相等的性质，先利用对边平行，得到D点和C点的纵坐标相等，再求出CD=AB=5，得到C点横坐标，最后得到C点的坐标．【详解】解：四边形ABCD为平行四边形。
特殊平行四边形单元整体分类总复习专题突破八年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义
第8讲特殊平行四边形单元整体分类总复习考点一矩形的判定与性质知识点睛：1.矩形的判定方法：①有一个角是直角的平行四边形是矩形;②有三个角是直角的四边形是矩形;③四个角都相等的四边形是矩形;④对角线相等的平行四边形是矩形;⑤对角线相等且互相平分的四边形是矩形.2.矩形的性质①矩形的对边平行且相等;②矩形的四个角都是直角;③矩形的对角线相等且互相平分;④矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
类题训练1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对角线互相平分【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选：C．2.如图，已知点P是矩形ABCD内一点（不含边界），设∠P AD＝θ1，∠PBA＝θ2，∠PCB＝θ3，∠PDC＝θ4，若∠APB＝80°，∠CPD＝50°，则（）A．（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）＝30°B．（θ2+θ4）﹣（θ1+θ3）＝40°C．（θ1+θ2）﹣（θ3+θ4）＝70°D．（θ1+θ2）+（θ3+θ4）＝180°【分析】依据矩形的性质以及三角形内角和定理，可得θ2﹣θ1＝10°，θ4﹣θ3＝40°，两式相减即可得到（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）＝30°．【解答】解：∵矩形ABCD，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠BAP＝90°﹣θ1，∠DCP＝90°﹣θ3，∴△ABP中，90°﹣θ1+θ2+80°＝180°，即θ2﹣θ1＝10°，①△DCP中，90°﹣θ3+θ4+50°＝180°，即θ4﹣θ3＝40°，②由②﹣①，可得（θ4﹣θ3）﹣（θ2﹣θ1）＝30°，即（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）＝30°，故选：A．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（）A．1B．C．2D．【分析】连接CE，由矩形的性质得出∠ADC＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，OA＝OC，由线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，设DE＝x，则CE＝AE＝8﹣x，在Rt△CDE 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：连接CE，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，OA＝OC，∵EF⊥AC，∴AE＝CE，设DE＝x，则CE＝AE＝8﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+62＝（8﹣x）2，解得：x＝，即DE＝；故选：B．4．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（）A．10B．12C．16D．18【分析】想办法证明S△PEB＝S△PFD解答即可．【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，∴S△DFP＝S△PBE＝×2×8＝8，∴S阴＝8+8＝16，（本题也可以证明两个阴影部分的面积相等，由此解决问题）故选：C．5.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（）A．B．C．D．【分析】根据S△ABE＝S矩形ABCD＝3＝•AE•BF，先求出AE，再求出BF即可．【解答】解：如图，连接BE．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，BC＝AD＝3，∠D＝90°，在Rt△ADE中，AE＝＝＝，∵S△ABE＝S矩形ABCD＝3＝•AE•BF，∴BF＝．故选：B．6.如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC＝2AB；③∠AOE＝135°；④S△AOE＝S△COE，其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据矩形性质求出OD＝OC，根据角求出∠DOC＝60°即可得出三角形DOC 是等边三角形，求出AC＝2AB，即可判断②，求出∠BOE＝75°，∠AOB＝60°，相加即可求出∠AOE，根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE＝S△COE．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OA＝OC，OD＝OB，AC＝BD，∴OA＝OD＝OC＝OB，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝45°，∵∠CAE＝15°，∴∠DAC＝30°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAC＝30°，∴∠DOC＝60°，∵OD＝OC，∴△ODC是等边三角形，∴①正确；∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°∴∠DAC＝∠ACB＝30°，∴AC＝2AB，∵AC＞BC，∴2AB＞BC，∴②错误；∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB＝30°，∵AE平分∠DAB，∠DAB＝90°，∴∠DAE＝∠BAE＝45°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DOC＝60°，DC＝AB，∵△DOC是等边三角形，∴DC＝OD，∴BE＝BO，∴∠BOE＝∠BEO＝（180°﹣∠OBE）＝75°，∵∠AOB＝∠DOC＝60°，∴∠AOE＝60°+75°＝135°，∴③正确；∵OA＝OC，∴根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE＝S△COE，∴④正确；故选：C．7.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为．【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB＝3，得出BD＝2OB ＝6，由勾股定理求出AD即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB＝3，∴BD＝2OB＝6，∴AD＝＝＝3；故答案为：3．8.如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是．【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，可求得OA＝OD＝5，△AOD的面积，然后由S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF求得答案．【解答】解：连接OP，∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝＝10，∴OA＝OD＝5，∴S△ACD＝S矩形ABCD＝24，∴S△AOD＝S△ACD＝12，∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝×5×PE+×5×PF＝（PE+PF）＝12，解得：PE+PF＝4.8．故答案为：4.8．9．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是．【分析】分情况讨论：①当AP＝AE＝5时，则△AEP是等腰直角三角形，得出底边PE ＝AE＝5即可；②当1PE＝AE＝5时，求出BE，由勾股定理求出P1B，再由勾股定理求出等边AP1即可；③当P2A＝P2E时，底边AE＝5；即可得出结论．【解答】解：如图所示：①当AP＝AE＝5时，∵∠BAD＝90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底边PE＝AE＝5；②当P1E＝AE＝5时，∵BE＝AB﹣AE＝8﹣5＝3，∠B＝90°，∴P1B＝＝4，∴底边AP1＝＝4；③当P2A＝P2E时，底边AE＝5；综上所述：等腰三角形AEP的底边长为5或4或5；故答案为：5或4或5．10．（2021秋•南关区校级期末）矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝．【分析】延长GH交AD于M点，由矩形的性质得出CD＝CE＝FG＝1，BC＝EF＝CG ＝3，BE∥AD∥FG，推出DG＝CG﹣CD＝2，∠HAM＝∠HFG，由ASA证得△AMH≌△FGH，得出AM＝FG＝1，MH＝GH，则MD＝AD﹣AM＝2，在Rt△MDG中，根据勾股定理得到GM，即可得出结果．【解答】解：延长GH交AD于M点，如图所示：∵四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，∴CD＝CE＝FG＝1，BC＝EF＝CG＝3，BE∥AD∥FG，∴DG＝CG﹣CD＝3﹣1＝2，∠HAM＝∠HFG，∵AF的中点H，∴AH＝FH，在△AMH和△FGH中，，∴△AMH≌△FGH（ASA）．∴AM＝FG＝1，MH＝GH，∴MD＝AD﹣AM＝3﹣1＝2，在Rt△MDG中，GM＝＝＝2，∴GH＝GM＝，故答案为：．11．（2021秋•婺城区期末）陈师傅应客户要求加工4个长为4cm、宽为3cm的矩形零件．在交付客户之前，陈师傅需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（）A．B．C．D．【分析】根据矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，能判定矩形，不符合题意；B、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形，不符合题意；C、对角相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状，符合题意；D、一组对边平行且相等，能判定平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，则能判定矩形，不符合题意．故选：C．12．如图，四边形ABCD是平行四边形，两条对角线交于点O，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（）A．∠ABC＝∠BCD B．∠ABC＝∠ADC C．AO＝BO D．AO＝DO【分析】利用矩形的判定、平行四边形的性质对各个选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，∴不能判定平行四边形ABCD为矩形，故选项B符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，∵AO＝BO，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD为矩形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，∵AO＝DO，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD为矩形，故选项D不符合题意；故选：B．13．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB＝DC【分析】根据矩形的判定定理（有一个角为直角的平行四边形是矩形）．先证四边形EFGH 是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，需要∠EFG＝90度．由此推出AC⊥BD．【解答】解：依题意得，四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，连接AC、BD，故EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，根据矩形的判定（有一个角为直角的平行四边形是矩形）故当AC⊥BD时，∠EFG＝∠EHG＝90度．四边形EFGH为矩形．故选：C．14．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE＝GF＝GC．（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；（2）当∠FGC与∠EFB满足怎样的关系时，四边形AEFG是矩形．请说明理由．【分析】（1）要证明该四边形是平行四边形，只需证明AE∥FG．根据对边对等角∠GFC ＝∠C，和等腰梯形的性质得到∠B＝∠C，则∠B＝∠GFC，得到AE∥FG．（2）在平行四边形的基础上要证明是矩形，只需证明有一个角是直角．根据三角形FGC 的内角和是180°，结合∠FGC＝2∠EFB和∠GFC＝∠C，得到∠BFE+GFC＝90°．则∠EFG＝90°，于是得到结论．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AB＝DC，∠B＝∠C，∵GF＝GC，∴∠C＝∠GFC，∠B＝∠GFC，∴AB∥GF，即AE∥GF，∵AE＝GF，∴四边形AEFG是平行四边形．（2）解：当∠FGC＝2∠EFB时，四边形AEFG是矩形，理由：∵∠FGC+∠GFC+∠C＝180o，∠GFC＝∠C，∠FGC＝2∠EFB，∴2∠GFC+2∠EFB＝180°，∴∠BFE+∠GFC＝90°．∴∠EFG＝90°．∵四边形AEFG是平行四边形，∴四边形AEFG是矩形．15．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，由平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，证出BE＝DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；（2）证出AB＝OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，证出EG＝CF，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，由（1）得：△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∴EG＝CF，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．考点二菱形的判定与性质知识点睛：1.菱形的判定方法：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
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北师大版数学八年级下：平行四边形综合题型分类(较难)
专题：平行四边形综合题型分类
重点知识回顾：
1．平行四边形性质：平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角对称性四个方面的特征进行
（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；
（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；
（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；
（4）对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心；
（5）面积：①S=底×高=ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．
2．平行四边形的判定（1）平行四边形的判别方法：
①定义：两组对边分别平行的四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形
（2）平行四边形的判别方法的选择：
一、填空
1、在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直
线BC 于点E ，作AF 垂直于直线CD 于点F ，若AB ＝5，BC ＝6，则CE ＋CF 的值为________________
2、若以A （-0.5，0），B （2，0），C （0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在第________象限。
3、如图，点D 是△ABC 的边AB 的延长线上一点，点F 是边BC 上的一个动点（不与点B 重合）.以BD 、BF 为邻边作平行四边形BDEF ，又
AP BE （点P 、E 在直线AB 的同侧），如果
BD B 1
4
A ，那么△PBC 的面积与△ABC 面积之比为___________________
4、如图，在平行四边形ABCD 中，AD=5，AB=3，AE 平分∠BAD 交BC 边于
点E ，则线段BE ，EC 的长度分别为________和______________
5、如图，过口ABCD 的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH ，那么图中的口AEMG 的面积S 1 与口HCFG 的面积S 2的大小关系是S 1 ____S 2 (填＞、＜、≥、≤、=号)
6、如图，在口ABCD 中，E 是CD 上的一点，DE ：EC=2：3，连接AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，则S △DEF ：S △EBF ：
S△ABF=___________________
7、如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为
圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部
分的面积是（结果保留π）．
8、如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作
OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长
为．
9、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，
DE⊥BC，CE//AD，若AC＝2，CE＝4，则四边形ACEB
的周长为。
10、已知点A（﹣1，0），B（2，﹣1），D（0，1）．请在直角
坐标系中找一点C与A、B、C、D四点构成平行四边形，则点C
的坐标为 ________________________ ．
11、如图，ABCD的顶
点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合．若△ACD的面积为3，则图中的阴影部分两个三角形的面积和为 .
二、综合题分类
1、如图，在ABCD中，点E在边BC上，点F在BC 的延长线上，且BE=CF．求证：∠BAE=∠CDF．
2、如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，且BE=AD，点F在AD上，
AF=AB，求证：△AEF≌△DFC．
3、如图，点G、E、F分别在ABCD的边AD、DC和BC上，DG=DC，CE=CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP．
求证：FP=EP．
4、如图，已知E是ABCD中BC边的中点，连接AE 并延长AE交DC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△FCE．
（2）连接AC．BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形(提示：对角线相等的平行四边形是矩形，或有一个内角是90°的平行四边形是矩形)
5、如图，已知ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连结AF、CE．
(1)求证：四边形AECF为平行四边形；
(2)当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB：AE的值．（菱形具备平行四边形的所有性质，同时还具有四边相等，对角线相互垂直的性质）
6、如图，在ABCD中，延长CD到E，使DE＝
CD，连接BE交AD于点F，交
AC于点G。
（1）求证：AF＝DF；
（2）若BC＝2AB，DE＝1，∠ABC＝60°，求FG的长。
7、在口ABCD中，对角线AC,BD交于点E，AC⊥BC，AB=8，∠ABC=30°，求BD的长。
若点P从点B出发沿B-A-D的路线以2cm/s的速度向点D移动，同时点Q从点C出发沿C-D的路线以1cm/s的速度向点D移动，当一点到达C时，另一点也停止移动。
当t取何值时，线段PQ将平行四边形ABCD的面积分为相等的两部分？
8、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当ODP
△是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标
9、如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）．（1）求G点坐标；（2）求直线EF解析式；（3）
点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由
10、如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边0A、08分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2—7x+12=0的两根(OA<0B)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒． (1)求A、B两点的坐标。
(2)求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标． (3)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由
11、如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连结AC交NP于Q，连结MQ．（1）点
（填M或N）能到达终点；（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；（3）是否存在点M，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由
12、直线
3
6
4
y x
=-+与坐标轴分别交与点A、B两点，点P、Q同时从O点出发，同时到
达A点，运动停止。
点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿O-B-A运动。
（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式。
（3
）当
48
5
S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四
个顶点M的坐标。