压缩感知在高速(雷达)信号采集中的应用

2013雷达对抗原理期末报告题目：压缩感知在高速（雷达）信号采集中的应用院（系）信息与电气工程学院专业电子信息工程学生班级1002503学号100250311教师报告日期2013-11-151研究背景信号采样是模拟的物理世界通向数字的信息世界之必备手段。

多年来，指导信号采样的理论基础一直是着名的Nyquist采样定理。

定理指出，只有当采样速率达到信号带宽的两倍以上时，才能由采样信号精确重建原始信号。

可见，带宽是Nyquist采样定理对采样的本质要求。

但是，对于超宽带通信和信号处理、核磁共振成像、雷达遥感成像、传感器网络等实际应用[1]，信号的带宽变得越来越大，人们对信号的采样速率、传输速度和存储空间的要求也变得越来越高。

为了缓解对信号传输速度和存储空间的压力，当前常见的解决方案是信号压缩，如基于小波变换的JPEG2000 标准。

但是，信号压缩实际上是一种严重的资源浪费，因为大量的采样数据在压缩过程中被丢弃了，而它们对于信号来说是不重要的或者只是冗余信息。

从这个意义而言，我们得到以下结论：带宽不能本质地表达信号的信息，基于信号带宽的Nyquist 采样机制是冗余的或者说是非信息的。

下图是一个传统方法采样压缩过程[2]。

图1.1 传统的信号压缩过程2国内外在该方向的研究现状及分析压缩感知(Compressed Sensing or Compressive Sampling)理论由Donoho, Candes和Tao等人提出，它的出现是充分利用了信号在某变换域的稀疏性或者可压缩的性质，将较长的接收信号随机投影到一个较短的矢量上面，经过求解一个非线性最优化问题，将一组远低于奈奎斯特采样率得到的信号实现精确的重构，这样在一定程度上就减轻了采样系统硬件的负担。

雷达成像的原理是利用雷达接收端获得回波信号的反射特性在空间上分布的特点，因此根据雷达回波的信息来重建目标信息的过程就是雷达成像的最根本的体现。

雷达目标的电磁散射特性研究结果表明:在高频区域，雷达目标的回波可以认为是由较为重要的散射中心回波的合成，发射宽带信号的雷达可以获得的对分析有用的目标数量远小于组成这些散射中心的原始的数据样本数。

由以上分析可知，雷达目标的这种电磁特性达到了压缩感知理论对待压缩信号稀疏性的要求，为将CS理论运用于雷达成像的应用研究中提供了可能。

以上结论说明雷达回波与信号的稀疏理论相匹配，可以将压缩感知的相关理论成果与雷达成像的相关技术相结合。

近几年来，国内外的专家与研究机构对基于压缩感知的雷达成像技术陆续展开研究工作，在某些领域已经有了一定程度的进展。

为雷达接收端降低采样率，解决系统中的超大数据采集以及存储与传输的问题带来了巨大的变革。

3主要研究内容和研究方案3.1主要研究内容压缩感知（Compressive Sensing, or Compressed Sampling，简称CS），是近几年流行起来的一个介于数学和信息科学的新方向，挑战传统的采样编码技术，即Nyquist采样定理。

它不同于Nyquist 信号采样机制，是基于信号稀疏性提出一种称为压缩感知(compressed sensing)或压缩采样(compressive sampling)的新兴采样理论，成功实现了信号的同时采样与压缩。

下面是一个压缩感知的理论框架。

3.2压缩感知的基本理论和核心问题然而常见的自然信号在时域内几乎都是不稀疏的, 因而上述信号重构过程不能直接应用于自然信号的重构。

第一节信号稀疏表示理论指出,自然信号可以通过某种变换进行稀疏表示, 即ˆˆ=ψf x ， x 为该信号在变换域的稀疏表示。

考虑测量公式y f =Φ，并且f 是可以稀疏表示的, 即ˆˆ=ψf x ,则有（4）其中 Φ=Φψ为M ⨯N 的矩阵,被称为传感矩阵,如图3所示。

图3 压缩传感线性测量过程通过上述分析可以看到, 在压缩传感中, 两个非常重要的问题就是测量矩阵的设计和稀疏号的重构。

3.2.2 信号稀疏表示如果一个信号中只有少数元素是非零的,则该信号是稀疏的。

通常时域内的自然信号都是非稀疏的,但在某些变换域可能是稀疏的。

例如,对于一幅自然图像,几乎所有的像素值都是非零的,但是将其变换到小波域时,大多数小波系数的绝对值都接近于零，并且有限的大系数能够表示出原始图像的绝大部分信息。

根据调和分析理论, 一个长度为N 的一维离散时间信号f , 可以表示为一组标准正交基的线组合1Ni i i f x ψ==∑ or f x =ψ （5）其中, 12[,,.......]N ψψψψ=,i ψ为列向量, 1N ⨯列向量。

如果x 只有很少的大系数, 则称信号f 是可压缩的。

如果x 只有K 个元素为非零, 则称x 为信号f 的K 稀疏表示[5]。

3.2.3 测量矩阵y f x x =Φ=Φψ=Φ为了重构稀疏信号, Candés 和Tao 给出并证明了传感矩阵必须满足约束等距性条件[6]。

对于任意K 稀疏信号c 和(0,1)K δ∈常数,如果 ()222222(1)1K K c c c δδ-≤Φ≤+ T R ∀∈ （6） 成立,则称矩阵Φ满足约束等距性。

Baraniuk 在[4]中给出约束等距性的等价条件是测量矩阵Φ和稀疏表示的基ψ不相关,即要求Φ的行i φ不能由ψ的列i ψ稀疏表示,且ψ的列i φ不能由ψ的行i ψ稀疏表示。

直接构造一个测量矩阵使得 Φ=Φψ满足约束等距性,即保证矩阵中任意3K 列都不相关很难做到。

由于Φ是固定的,要使得 Φ=Φψ满足约束等距条件,可以通过设计测量矩阵Φ解决。

目前,对测量矩阵的研究是压缩感知理论的一个重要方面。

在该理论中,对观测矩阵的约束是比较宽松的,Donoho 在文献[6]中给出了观测矩阵所必需具备的三个条件,并指出大部分一致分布的随机矩阵都具备这三个条件,均可作为观测矩阵,如:部分Fourier 集、部分Hadamard 集、一致分布的随机投影( uniform Random Projection) 集等,这与对RIP 性质进行研究得出的结论相一致。

但是,使用上述各种观测矩阵进行观测后,都仅仅能保证以很高的概率去恢复信号,而不能保证百分之百地精确重构信号。

对于任何稳定的重构算法是否存在一个真实的确定性的观测矩阵仍是一个有待研究的问题。

3.2.4 信号重构算法信号重构算法是压缩传感理论的核心, 是指由M 次测量向量y 重构长度为N (M N )的稀疏信号x 的过程。

Candés 等证明了信号重构问题可以通过求解最小0l 范数问题(3)加以解决. 但Donoho 指出, 最小0l 范数问题是一个NP-hard 问题, 需要穷举x 中非零值的所有CKN 种排列可能, 因而无法求解[7].鉴于此, 研究人员提出了一系列求得次最优解的算法,主要包括最小1l 范数法、匹配追踪系列算法、迭代阈值法以及专门处理二维图像问题的最小全变分法等。

目前为止出现的重构算法都可归入以下三大类[9]：(1) 贪婪追踪算法:这类方法是通过每次迭代时选择一个局部最优解来逐步逼近原始信号. 这些算法包括MP 算法、OMP 算法[8] 、分段OMP 算法(StOMP)[3]和正则化OMP(ROMP) 算法[10](2) 凸松弛法:这类方法通过将非凸问题转化为凸问题求解找到信号的逼近,如BP算法、内点法、梯度投影方法[4]和迭代阈值法[4] 。

(3) 组合算法:这类方法要求信号的采样支持通过分组测试快速重建,如傅立叶采[5 ,6]、链式追踪[38]和HHS(Heavg Hitters on Steroids) 追踪[7]等。

4 压缩传感的应用及其展望直接信息采样特性使得压缩感知理论具有巨大吸引力和应用前景。

随之出现的是相关的理论完善和实践成果。

应用领域已涉及到众多领域如：CS 雷达、DCS（Distributed Compressed Sensing）理论、无线传感网络、图像采集技术的开发、医学图像处理、生物传感、光谱分析、超谱图像处理及遥感图像处理等。

在成像方面，压缩感知理论的出现激起了人们研究新型传感器的热情。

压缩感知的采样对昂贵的成像器件的设计产生重大影响。

在地震勘探成像和核磁共振成像中，对目标信号有望采用少量的随机观测次数就能获得高精度重构，取代传统数码相机拍照时采集大量像素的一种新型单像素CS相机已经得到论证，美国Rice大学也已经研制出“单像素相机”[10]。

压缩感知理论利用了信号的稀疏特性,将原来基于奈奎斯特采样定理的信号采样过程转化为基于优化计算恢复信号的观测过程。

也就是利用长时间积分换取采样频率的降低,省去了高速采样过程中获得大批冗余数据然后再舍去大部分无用数据的中间过程,从而有效缓解了高速采样实现的压力, 减少了处理、存储和传输的成本,使得用低成本的传感器将模拟信息转化为数字信息成为可能. 这种新的采样理论将可能成为将采样和压缩过程合二为一的方法的理论基础。

5 参考文献[1] E Candès . Compressive sampling[A] . Proceedings of the Inter2 national Congress of Mathematicians [ C] . Madrid ,Spain ,2006 ,3 :1433 - 1452.[2] E Candès ,J Romberg , Terence Tao. Robust uncertainty principles : Exact signal reconstru2ction from highly incomplete frequency information [J] . IEEE Trans . on Information Theory ,2006 ,52 (2) :4892509.[3] E Candès and J Romberg. Quantitative robust uncertainty principles and optimally sparse decompositions [J ] . Foundations of Comput Math ,2006 ,6 (2) :2272254.[4] DLDonoho , YTsaig. Extensions of compressed sensing [J] .Signal Processing. 2006 ,86 (3) :5332548.[5] Donoho D L. For most large underdetermined systems of lin-ear equations, the minimal l1 norm solution is also the spars-est solution. Communications on Pure and Applied Mathe-matics, 2006, 59(6): 797 [6] Chen S B, Donoho D L, Saunders M A. Atomic decomposi-tion by basis pursuit. SIAM Journal on Scientic Comput-ing[7] 张春梅,尹忠科,肖明霞. 基于冗余字典的信号超完备表示与稀疏分解[J] . 科学通报,2006 ,51 (6) :6282633.[8]石光明.压缩感知理论及其研究进展.电子学报，2009.05.[9] R Chartrand. Exact Reconstruction of Sparse Signals via Nonconvex Minimization [J] . IEEE Signal Processing Letters .2007 ,14 (10) :7072710.[10] R Tibshirani . Regression shrinkage and selection via the lasso[J] . The Journal of the Royal Statistical Society , Series B。