《2.3平面向量基本定理及坐标表示(一)》

平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算

教学目的：

（1）了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念；

（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问

题的重要思想方法；

（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.

教学重点：平面向量基本定理.

教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 向量的坐标表示的理解及运算的准确性.

教学过程：

一、 复习引入：

1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa

（1）|λa |=|λ||a |；

（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =0

2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb

3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线则：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .

二、讲解新课：

1．思考：（1）给定平面内两个向量1e ，2e ，请你作出向量31e +22e ，1e -22e ，

（2）同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ11e +λ22e 的向量表示？ 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e .

2．探究：

(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2) 基底不惟一，关键是不共线；

(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量

3．讲解范例：

例1已知向量

1

e，

2

e求作向量 2.5

1

e+3

2

e

例2

本题实质是

4．练习1：

1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( D )

A.e1、e2一定平行

B.e1、e2的模相等

C.同一平面内的任一向量a都有a ＝λe1+μe2(λ、μ∈R)

D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+u e2(λ、u∈R)

2.已知向量a ＝e1-2e2，b ＝2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c ＝6e1-2e2的关系（Ｂ）

A.不共线

B.共线

C.相等

D.无法确定

３.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a ＝λ1e1+λ2e2，则a与e1不共线，a与e2不共线．(填共线或不共线).

5．向量的夹角:已知两个非零向量a

、b

，作a

A

O

，b

B

O

，则∠AOB＝ ，叫向量a 、b

的夹角，当 =0°，a

、b

同向，当 =180°，a

、b

反向，当 =90°，a

与b

垂直，记作a

⊥b

。6．平面向量的坐标表示

（1）正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。

（2）思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一个向量，如何表示呢？

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得yj

xi

a

…………○1

我们把)

,

(y

x叫做向量a的（直角）坐标，记作)

,

(y

x

a …………○2

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a相等的向

．．．．

.

),

R

(

,

OP

OB

OA

t

AB

t

AP表示

，

用

且

不共线

如图，

O A

B

P

.1

,

m

OB

n

OA

m

OP

AB

P

B

A

O

且

上，则

在直线

若点

三点不共线，

、

、

已知

量的坐标也为．．．．．．),(y x . 特别地，)0,1( i ，)1,0( j ，)0,0(0 .

如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a ，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi ，则向量的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.

7．讲解范例：

例2．教材P96面的例2。

8．课堂练习：P100面第3题。

三、小结：（1）平面向量基本定理；

（2）平面向量的坐标的概念；

四、课后作业：《习案》作业二十一