《2.3平面向量基本定理及坐标表示(一)》

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人教A版高中必修4数学2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》同步练习课件(共3课时)

人教A版高中必修4数学2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》同步练习课件(共3课时)

新知探究
题型探究
感悟提升

(1)∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=60° . 如图,延长AB至点D,使AB=BD, → → 则AB=BD, → → ∴∠DBC为向量AB与BC的夹角. ∵∠DBC=120° , → → ∴向量AB与BC的夹角为120° .
(2)∵E为BC的中点, ∴AE⊥BC, → → ∴AE与EC的夹角为90° .
新知探究 题型探究 感悟提升
1 → → → → → 1→ BC=FD=AD-AF=AD-2AB=a-2b, → → → → → → 1→ EF=DF-DE=-FD-DE=-BC-2DC
1 1 1 1 =-a-2b-2×2b=4b-a.
新知探究
题型探究
感悟提升
类型二 向量的夹角问题
→ → → → 提示 不相同,它们互补.AC与AB的夹角为∠CAB,而CA与AB 的夹角为π-∠CAB.
新知探究 题型探究 感悟提升
类型一
用基底表示向量
【例1】 如图,四边形OADB是以 → → OA=a,OB=b为边的平行四边形, 1 1 又BM=3BC,CN=3CD,试用a、b → → → 表示OM、ON、MN.
【例2】 已知|a|=|b|=2,且a与b的夹角为60°,则a+b与a的夹
角是多少?a-b与a的夹角又是多少? [思路探索] 以a,b为邻边作平行四边形,则a+b,a-b分别表示 对角线向量,利用平行四边形的知识求解.
新知探究
题型探究
感悟提升

→ → 如图所示,作 OA =a, OB =b,且∠
AOB=60° . → → 以 OA , OB 为邻边作平行四边形OACB,则 → → OC=a+b,BA=a-b. 因为|a|=|b|=2,所以平行四边形OACB是菱形,又∠AOB= → → → → 60° ,所以OC与OA的夹角为30° ,BA与OA的夹角为60° . 即a+b与a的夹角是30° ,a-b与a的夹角是60° .

精选-新人教版必修四高中数学2.3平面向量基本定理及坐标表示课件1

精选-新人教版必修四高中数学2.3平面向量基本定理及坐标表示课件1
1 e1
e
1
a
特别的
0 e e 1 1 2 2
e
2
2 e2
平面向量坐标的引入 不共线的向量 组基底. 特殊的基底;
e , e 叫做这一平面内 1 2
正交

那么当| |=| 与 垂直时,就可以 e 1 |=1e且 e1 e2 2 建立直角坐标系…
(一)平面向量坐标的概念 在直角坐标系内,我们分别 y (1)取基底: 与x轴方向,y轴方向相同的两个单 位向量i、j作为基底. (2) 得到实数对任作一个向量 : a, 由平面向量基本定理,有且只 有一对实数x、y,使得a=xi+yj. j 我们把(x,y)叫做向量a的坐标, o 记作 a ( x, y ) ⑴
(1)任一平面向量都有唯一的坐标;
(2)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标;当向 原点时,向量终点的坐标即为向量的坐标. (3)相等的向量有相等的坐标.
若 a b , a ( x , y ), b ( x , y ), 1 1 2 2
则 ( x , y ) ( x , y ), 即 x x , y y . 1 1 2 2 1 2 1 2
引入: 1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来 表示? 2.平面向量是否也有类似的表示呢?
y
b
a
A (a,b)
O
a
x
平面向量基本定理
如果 e 是同一平面内的两 共 1,e 2 对实数 使得 a 1, 2 1e 1 2e 2
那么对于这一平面内任 意向量 a ,有
其中 e 叫做这一平面所有 的 1,e 2


结论2:两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量 与差.

平面向量基本定理及坐标表示-高考数学复习

平面向量基本定理及坐标表示-高考数学复习
平面向量基本定理及坐标表示
1. 理解平面向量基本定理及其意义.
2. 借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
3. 会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.
4. 能用坐标表示平面向量共线的条件.
目录
1
C O N T E N T S
2
3
知识 逐点夯实
考点 分类突破
课时 跟踪检测
PART
3
3
2
3
目录
高中总复习·数学
平面向量的坐标运算
【例2】 (1)已知 a =(5,-2), b =(-4,-3),若 a -2 b
+3 c =0,则 c =(

目录
高中总复习·数学
1
解析:∵ a -2 b +3 c =0,∴ c =- ( a -2 b ).∵ a -2 b
3
1
=(5,-2)-(-8,-6)=(13,4),∴ c =- ( a -2
2
1
∴ =± ,设点 P ( m , n ),则 =( m , n ), =(6-

- y 1) ,| |=
(2 − 1 )2 +(2 − 1 )2
.

目录
高中总复习·数学
提醒
若 a =( x 1, y 1), b =( x 2, y 2),则 a = b
1 =2 ,
⇔ቊ = .
1
2
目录
高中总复习·数学
3. 平面向量共线的坐标表示
设 a =( x 1, y 1), b =( x 2, y 2), a ∥ b ⇔
不妨设 AB =1,则 CD = AD =2,∴ C (2,0),
A (0,2), B (1,2), E (0,1),∴ =

平面向量基本定理及坐标表示

平面向量基本定理及坐标表示

5.已知向量a=(8, 1 x),b=(x,1),其中x>0,若(a-
2
2b)∥(2a+b),则x的值为 4 .
解析 a-2b=(8-2x, 1 x-2),2a+b=(16+x,x+1),
2
由已知(a-2b)∥(2a+b),显然2a+b≠0,故有(8-2x,
1 x-2)= (16+x,x+1)
2
8-2x= (16+x)
A.m≠-2 C.m≠1
B.m≠ 1
2
D.m≠-1
解析 若点A、B、C不能构成三角形,则只能共线.
∵ABOBOA(2,-1)-(1,-3)=(1,2), ACOC OA ( m+1 , m-2 ) - ( 1 , -3 ) =
(m,m+1).
假设A、B、C三点共线,
则1×(m+1)-2m=0,即m=1.
知能迁移3 已知点O(0,0),A(1,2),B(4,
5)且 OPOAtAB,
(1)求点P在第二象限时,实数t的取值范围;
(2)四边形OABP能否为平行四边形?若能,求出
相应的实数t;若不能,请说明理由.
解 ∵O(0,0),A(1,2),B(4,5),
∴ OA =(1,2),AB =(4-1,5-2)=(3,3). (1)设P(x,y),则 OP =(x,y),若点P在第二
同理 NO1a(11)b
2 2n
由MO ∥NO 得MO = NO

1 1 2m (1 1 2n
)
1 2 1
2
① ②
①×②整理得m+n=2.
答案 2
题型二 向量的坐标运算 【例2】已知点A(1,0)、B(0,2)、C(-1,

高一数学人教A版必修4课件:2.3.1 平面向量基本定理

高一数学人教A版必修4课件:2.3.1 平面向量基本定理
明目标、知重点
跟踪训练 2 如图,已知△ABC 中,D 为 BC 的 中点,E,F 为 BC 的三等分点,若A→B=a,A→C
=b,用 a、b 表示A→D、A→E、A→F 解 A→D=A→B+B→D=A→B+12B→C =a+12(b-a)=12a+12b; A→E=A→B+B→E=A→B+13B→C
明目标、知重点
2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式,且分解 是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想,用向量解 决几何问题时,我们可以选择适当的基底,将问题中涉及的向 量向基底化归,使问题得以解决.
明目标、知重点
思考 3 如图,△ABC 中,A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同? 答 不相同,它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB,而C→A与A→B的夹 角为 π-∠CAB.
明目标、知重点
例1 已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,a=3e1-2e2, b=-2e1+e2,c=7e1-4e2,试用向量a和b表示c. 解 ∵a,b不共线,
→→ 以OA,OB为邻边作平行四边形 OACB,则


OC=a+b,BA=a-b.
∵|a|=|b|,∴平行四边形OACB为菱形.
明目标、知重点
∴O→C与O→A的夹角∠AOC=60°, B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC=30°. ∴a+b与a的夹角为60°,a-b与a的夹角为30°. 反思与感悟 求两个向量的夹角,关键是利用平移的方法使两个 向量的起点重合,根据向量夹角的概念确定夹角,再依据平面图 形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.

平面向量基本定理及坐标运算

平面向量基本定理及坐标运算

答案
D
解析
→ ⊥AB →, →, → 因为AB 分别以AB 1 2 所以以 A 为原点, 1 AB2所
在直线为 x 轴,y 轴建立平面直角坐标系.设 B1(a,0),B2(0,b), O(x,y), → =AB → +AB → =(a,b),即 P(a,b). 则AP 1 2 → |=|OB → |=1,得(x-a)2+y2=x2+(y-b)2=1. 由|OB 1 2 所以(x-a)2=1-y2≥0,(y-b)2=1-x2≥0. 1 → 2 2 1 由|OP|<2,得(x-a) +(y-b) <4, 1 即 0≤1-x +1-y <4.
x2-x12+y2-y12.
4.向量平行与垂直的条件 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)a∥b⇔ x1y2-x2y1=0 .
x1x2+y1y2=0 . a ± (3)a≠0,则与 a 平行的单位向量为 |a| .
(2)a、b 均不为 0 时,a⊥b⇔
→ ⊥AB → ,|OB → |=|OB → |=1,AP →= 5.(2013· 重庆)在平面上,AB 1 2 1 2 1 → → → → |的取值范围是( AB1+AB2.若|OP|<2,则|OA 5 A.(0, 2 ] 5 C.( 2 , 2] 5 7 B.( 2 , 2 ] 7 D.( 2 , 2] )
答案 A
解析
B 中不能是空间向量,C 中 λ1e1+λ2e2 一定在平面 α
内,D 中 λ1,λ2 是唯一的.
→ =(3,7),AB → =(-2,3),对称中心为 O, 2.在▱ABCD 中,AD → 等于( 则CO ) 1 B.(-2,-5) 1 D.(2,5)
1 A.(-2,5) 1 C.(2,-5)

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示6、平面向量基本定理:如果1e 、2e是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+.(不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底)7、平面向量的正交分解及坐标表示: ()y x y x ,=+=.8、分点坐标公式:设点P 是线段12P P 上的一点,1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ,()22,x y ,当12λP P =PP 时,点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭.(当时,就为中点公式。

)1=λ,设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ,则⑴ 段AB 中点坐标为()2121,y y x x ++,⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y y y x x x ++++.课堂训练 一、选择题1、平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C 满足OC OA OB αβ=+,其中α、β∈R,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为 ( )A 、3x+2y-11=0B 、(x-1)2+(y-2)2=5 C 、2x-y=0 D 、x+2y-5=02、若向量a =(x+3,x 2-3x -4)与相等,已知A (1,2)和B (3,2),则x 的值为A 、-1B 、-1或4C 、4D 、1或-43、已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个顶点的坐标是( )A 、(1,5)或(5,5)B 、(1,5)或(-3,-5)C 、(5,-5)或(-3,-5)D 、(1,5)或(5,-5)或(-3,-5)4、设i 、j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,且j i OA 24+=,j i 43+=,则△OAB 的面积等于( )A 、15B 、10C 、7.5D 、55、己知P 1(2,-1) 、P 2(0,5) 且点P 在P 1P 2的延长线上,|2|21PP P P =, 则P 点坐标为( )A 、(-2,11)B 、()3,34C 、(32,3)D 、(2,-7)6、一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是(5,7),(-3,5),(3,4),则第四个顶点的坐标不可能是。

2.3平面向量的基本定理及坐标表示(一)

2.3平面向量的基本定理及坐标表示(一)

B - e O e2 2
a
C
讨论:
⑵ 改变a的位置如下图两种情 况时, 怎样构造平行四边形 ?
C
A M
e1
a
N
'
e1
A B
O
e2 B
a
C
B e O e2 2
讨论:
⑵ 改变a的位置如下图两种情 况时, 怎样构造平行四边形 ?
C
A M
e1 e1
a
N
'
e1
A B
O
e2 B
B e O e2 2
N
B
M
C
a
e2
O
A
'
'
A
A
a
C
e1 e1
M
e1
O
a
e2
B N
C
'
e2 B
平面向量基本定理:
如果 e1 , e 2 是同一平面内两个不 共线的向量,那么对这 一平面内任 a 意一个向量a , 有且只有一对实数 1 , 2 , 使 a 1 e1 2 e 2 . a
(1)平面向量基本定理:
2.3.1平面向量基本定理
一、复习引入
如图, 有非零向量 a , 则 b 与 a 共线的 条件是什么?
a a
b
b
向量b与非零向量a共线 当且仅当有唯一一个实数λ,使b=λa
思考:
(1)给定平面内两个向量 e1 , e2 , 请你作出 向量 3e 2e , e 2e .
1 2 1 2
e1
a
e1
OAMaB NhomakorabeaC
显然: OM ON a

平面向量的基本定理及坐标运算

平面向量的基本定理及坐标运算

一、平面向量的基本定理(1)平面向量基本定理:如果1e 和2e 是一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任一向量a ,存在唯一的一对实数1a ,2a ,使a =1122a e a e +.(2) 基底:我们把不共线向量1e ,2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记作{}12,e e .1122a e a e +叫做向量a 关于基底{}12,e e 的分解式. 注:①定理中1e ,2e 是两个不共线向量;②a 是平面内的任一向量,且实数对1a ,2a 是惟一的; ③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底.(3)平面向量基本定理的证明:在平面内任取一点O ,作11OE e =,22OE e =,OA a =.由于1e 与2e 不平行,可以进行如下作图:过点A 作2OE 的平行(或重合)直线,交直线1OE 于点M ,过点A 作1OE 的平行(或重合)直线,交直线2OE 于点N ,于是依据平行向量基本定理,存在两个唯一的实数1a 和2a 分别有11OM a e =,22ON a e =,所以1122a OA OM ON a e a e ==+=+证明表示的唯一性:如果存在另对实数x ,y 使12OA xe ye =+,则112212a e a e xe ye +=+,即1122()()0x a e y a e -+-=,由于1e 与2e 不平行,如果1x a -与2y a -中有一个不等于0,不妨设20y a -≠,则1212x a e e y a -=--,由平行向量基本定理,得1e 与2e 平行,这与假设矛盾,因此10x a -=,20y a -=,即1x a =,2y a =.二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算:(1)向量的直角坐标:如果基底的两个基向量1e ,2e 互相垂直,则称这个基底为正交基底.在正交基底下分解向量,叫做正交分解.(2)向量的坐标表示:在直角坐标系中,一点A 的位置被点A 的位置向量OA 所唯一确定.设点A 的坐标为(,)x y ,由平面向量基本定理,有12(,)OA xe ye x y =+=,即点A 的位置向量OA 的坐标(,)x y ,也就是点A 的坐标;反之,点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA 的坐标.E 2E 1e 2e 1O ANMae1e 2axyO O yxae 2e 1平面向量的基本定理及坐标运算(3)向量的直角坐标运算:设12(,)a a a =,12(,)b b b =,则 ①1122(,)a b a b a b +=++;②1122(,)a b a b a b -=--;③1212(,)(,)a a a a a λλλλ==注:①两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差;②数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积.(4)若11(,)A x y ,22(,)B x y ,则向量2121(,)AB OB OA x x y y =-=--;即:一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标.(5)用平面向量坐标表示向量共线条件:设12(,)a a a =,12(,)b b b =,则12210a b a b -=就是两个向量平行的条件.若向量b 不平行于坐标轴,即10b ≠,20b ≠,则两个向量平行的条件是,相应坐标成比例.题型一、平面向量的基本定理【例1】 若已知1e 、2e 是平面上的一组基底,则下列各组向量中不能作为基底的一组是( )A .1e 与2e -B .31e 与22eC .1e +2e 与1e —2eD .1e 与21e【例2】 线段与互相平分,则可以表示为( )A .B .C .D . 【例3】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ,设AB a =,AD b =,用向量a 和b 表示向量BD ,AO .【例4】 如图,平行四边形ABCD 中,E F 、分别是BC DC 、的中点,G 为DE BF 、的交点,若AB =a ,AD =b ,试以a ,b 为基底表示DE 、BF 、CG .AB CD BD AB CD -1122AB CD -+1()2AB CD -()AB CD --GFE DCBA【例5】 设P 是正六边形OABCDE 的中心,若OA a =,OE b =,试用向量a ,b 表示OB 、OC 、OD【例6】 已知向量a ,b 不共线,()R c ka b k =+∈,d a b =-,如果c d ∥,那么( )A .1k =且c 与d 同向B .1k =且c 与d 反向C .1k =-且c 与d 同向D .1k =-且c 与d 反向【例7】 已知四边形ABCD 是菱形,点P 在对角线AC 上(不包括端点A ,C ),则AP 等于( )A .()AB AD λ+,(01)λ∈, B .()AB BC λ+,202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭, C .()AB AD λ+,202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭,D .()AB BC λ-,202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭, 【例8】 已知向量a b ,不共线,m n ,为实数,则当0ma nb +=时,有m n += 【例9】 在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是边CD 和BC 的中点.若AC AE AF λμ=+,其中λ,R μ∈,则λμ+= .【例10】证明:若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线,当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=,使得OC OB OA λμ=+.POE DCBAFEDCBAOCBA题型二、平面向量的坐标表示与运算【例11】设向量(23),AB =,且点A 的坐标为(12),,则点B 的坐标为 . 【例12】若(21),a =,(34),b =-则34a b +的坐标为_________. 【例13】设平面向量()()3,5,2,1a b ==-,则2a b -=( )A .()6,3B .()7,3C .()2,1D .()7,2【例14】已知(2,3),(1,2)a x b y =-=+,若a b =,则x = ,y = . 【例15】若()0,1A ,()1,2B ,()3,4C ,则AB -2BC = 【例16】若()3,2M -,()5,1N --且12MP =MN ,求P 点的坐标.【例17】已知向量()1,0a =,()0,1b =,()R c ka b k =+∈,d a b =-,如果那么( )A .且与同向B .且与反向C .且与同向D .且与反向【例18】已知向量()11a =,,()2b x =,若a b +与42b a -平行,则实数的值是( ) A .2- B .0 C .1 D .2【例19】在平面直角坐标系xoy 中,四边形ABCD 的边AB DC ∥,AD BC ∥,已知点()2,0A -,()6,8B ,()8,6C ,则D 点的坐标为___________.【例20】已知向量()3,1a =,()1,3b =,(),7c k =,若()a c -∥b ,则= . 【例21】已知()12a =,,()32b =-,,当ka b +与3a b -平行,k 为何值( )A .14 B .-14 C .-13 D .13【例22】已知(1,2),(3,2)a b ==-,当实数k 取何值时,k a +2b 与2a -4b 平行?//c d 1k =c d 1k =c d 1k =-c d 1k =-c d x k【例23】点(23),A 、(54),B 、(710),C ,若()R AP AB AC λλ=+∈,试求λ为何值时,点P 在一、三象限角平分线上.【练1】 在ABC △中,AB c =,AC b =.若点D 满足2BD DC =,则AD =( )A .2133b c +B .5233c b -C .2133b c -D .1233b c +【练2】 如图,在ABC △中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M N ,,若AB mAM =,AC nAN =,则m n +的值为.【练3】 已知两个向量()()121a b x ==,,,,若a b ∥,则x 的值等于( ) A .12-B .12C .2-D .2【练4】 若平面向量a ,b 满足1a b +=,a b +平行于轴,()21b =-,,则a = .DCBAONMCBAx 随堂练习【题1】 若向量()1,1a =,()1,1b =-,()4,2c =,则c = ( )A .3a +bB . 3a -bC .-a +3bD .a +3b【题2】 已知a =(4,2),b =(x ,3),且a ∥b ,则x 等于( )A .9B .6C .5D .3【题3】 已知平面向量a =(x ,1),b =(-x ,x 2),则向量a +b ( )A .平行于x 轴B .平行于第一、三象限的角平分线C .平行于y 轴D .平行于第一、四象限的角平分线【题4】 已知向量e 1与e 2不共线,实数x ,y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2,则x -y 等于( )A .3B .-3C .0D .2【题5】 已知向量(1,2)a =,(0,1)b =,设u a kb =+,2v a b =-,若u ∥v ,则实数k 的值为( )A .-1B .-12C .12D .1【题6】 设点A (2,0),B (4,2),若点P 在直线AB 上,且|AB |=2|AP |,则点P 的坐标为( )A .(3,1)B .(1,-1)C .(3,1)或(1,-1)D .无数多个【题7】 设(1,2),(2,3),a b ==若向量a b λ+与向量(4,7)c =--共线,则λ=.【题8】 已知向量a =(2,-1),b =(-1,m ),c =(-1,2),若(a +b )∥c ,则m =________.【题9】 已知A (-2,4),B (3,-1),C (-3,-4).设AB →=a ,BC →=b ,CA →=c ,且CM →=3c ,CN→=-2b .(1)求:3a +b -3c ;(2)求满足a =m b +n c 的实数m ,n .【题10】 在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →=a ,BD →=b ,则AF →=( ) A .14a +12b B .23a +13b C .12a +14bD .13a +23b课后作业。

2.3平面向量基本定理

2.3平面向量基本定理

当向量的始点在坐标原点时, 向量的坐标就是向量终点的坐标.
[思考尝试· 夯基]
1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)与 x 轴平行的向量的纵坐标为 0;与 y 轴平行的向量的横坐 标为 0.( √ )
(2)两个向量的终点不同, 则这两个向量的坐标一定不同. (× ) (3)当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐 标.( √ )
练习:P53步步高,例 2,跟踪训练3 例题讲解:P53 跟踪训练1.
练习:P54 当堂检测3,5
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
[知识提炼· 梳理]
1.平面向量共线的条件 向量 a(a≠0)与 b 共线, 当且仅当有唯一一个 实数 λ,使 b=λ_a.
2.平面向量共线的坐标表示: 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0,则 a,b 共 线⇔x1y2-x2y1=0.
[常规解答] 设 AC,BD 交于点 O, 1→ 1 → → 1→ 1 → → 则有AO=OC= AC= a,BO=OD= BD= b. 2 2 2 2 1 1 → → → → → 所以AB=AO+OB=AO-BO= a- b, 2 2 1 1 → → → BC=BO+OC= a+ b. 2 2
练习:步步高P51例3,跟踪训练3
2. 3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理
[知识提炼· 梳理] 1.平面向量基本定理
条件 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任意向量 a,有且只 有一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2 不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面 内所有向量的一组基底
→ =-OC → ,故 O 为 CM 的中点, 所以OM 1 1 1 所以 S△AOC= S△CAM= S△ABC= ×4=1. 2 4 4

平面向量基本定理及坐标表示

平面向量基本定理及坐标表示

石家庄市第十五中学“1+5”课堂学习流程
恳请同仁提出宝贵意见 谢谢大家!
石家庄十五中
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请同学们独立完成下题,注意前面所学知识的运用 .
1,如图所示,已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中 点,EF与AC交于点G,若AB=a, AD =b,用a,b表示 AG =________
1 , 2 是 的向量来表示,则对于每个 a ,
否唯一?并说明理由.
几何画板
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平面向量基本定理:若 e 1 , e 2 是同一平面内 的两个不共线向量,则对于这一平面内的 任意向量 a ,有且只有一对实数λ1,λ 2, 使 a 1 e1 2 e2 . 其中不共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一平面 内的所有向量的一组基底。
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课堂小结
请同学们谈谈这节课的收获?
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平面内任意 向量a
唯一有序 实数对( x, y )
用基底e1 , e2 唯一表示
唯一实数对 1 , 2
几何
代数
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作业: 【小结】
课本P100 练习 P102 3、4;
不共线
(2)
e1, e2
共线
e1
e1
e2
c
d
几何画板
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探究1:给定平面内任意两个向量 e1, e2 ,平面内
的任意向量 a 是否都可以用形如 λ1 e1 λ2 e2 的向量来

人教版数学必修四2.3.1平面向量基本定理及坐标表示

人教版数学必修四2.3.1平面向量基本定理及坐标表示


对于该平面内的任一向量 a ,
j o iB
x
有且只有一对实数x、y,可使
a xi +y j
这里,我们把(x,y)叫做向量的(直角)坐标,
记作
a (x, y)①来自①式叫做向量的坐标表示。
向量的坐标表示:
y
a
j
o
i
a xi y j
(1 )i _(1_,0_)_; ( 2 ) j _(0_,_1)_; ( 3 )0 _(0_,_0_) .
x
a ( x, y )
例1.如图,分别用基底 i ,j 表示向量 a、b 、c 、d ,并 求出它们的坐标。
A2
解:如图可知
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3)
同理
A
A1
b 2i 3 j (2,3); c 2i 3 j (2, 3); d 2i 3 j (2, 3).
• 2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
一、平面向量基本定理:
e e 如果
1、
是同一平面内的两个不共线
2
a 向量,那么对于这一平面内的任一向量
有且只有一对实数 1 、2 , 使
a 1e1 2e2
e e 我们把不共线的向量 、 叫做表示 12
这一平面内所有向量的一组基底。
平面向量基本定理:
向量的正交分解。
探索1: 以O为起点, ( P 3,2)为终点的向量
能否用坐标表示?如何表示?
y
P(3,2)
a
o
x
我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个 单位向量作为基底。
4
3
P(3,2)
2
2j 1 j
-2
2

2.3.1-2平面向量的基本定理及坐标表示

2.3.1-2平面向量的基本定理及坐标表示

q r a
uu uu r r 1、 1 、 2 是平面内的一组向量,则平面内任一向 e e
判断下列命题的是否真命题,并说明理由
uu uu r r e e 2、 1 、 2 是平面内的一组基底,若实数λ 、 2 使 1 λ uu r uu r r λ λ e1 +λ e2 = 0 ,则 1 =λ = 0 (真) 1 2 2 uu uu r r 3、如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线的向
r uu r uu r a =λ e1 +λ e2 1 2
uu r uu r 我们把不共线的向量 e 1 ,e 2 叫做 表示这一平面内所有向量的一组基底。
对定理的理解:
1)基底: 不共线的向量e1 e2。 同一平面可以有不同基底。 2)平面内的任一向量都可以沿两个不共 线的方向分解成两个向量的和的形式 3)分解是唯一的(给定基底后)
向量,叫做把向量正交分解。
4.向量的坐标表示:分别与x 轴、y 轴方向相同的两
单位向量i
、j 作为基底,任一向量a ,用这组基底可 表示为a =x i + y j, (x,y)叫做向量a的坐标
作业布置 课本P101,A组 1(作业本) P102, B组 3 ,4选作
练习册,预习新课
r uu r uu r λ 数对实数 λ 、 2 ,使 a =λ e1 +λ e2 1 1 2
r uu r uu r λ λ 量都可以表示为 a =λ e1 +λ e2 ,其中 1 、2 Î R (假) 1 2
r 量,那么对于这一平面内的任意向量 a ,可能有无
(假)
课堂练习 (1)已知ABCD为矩形,且AD=2AB,又△ADE为等腰三角 形,F为ED的中点, EA = e1 , EF = e 2 , 以 e1 , e 2 为基底 表示向量 uu r ur uu r e2 − e1 ___; AB = __________ _________ e2 AF = __________ 2 uu r ur uu r ur e2 − e1 ___; BD = __________ _________ e2 − e1 AD = __________ uur uur uur uuruur uu uur uur uu uur r r r uu ur r uur uur uu 2 uu 2 r ur uruu uu 2 2 uu r r r ur A F = B = F − F AE DA =e2B De2 =−− Ae1D − = A B e2 − ee1 −+ e1 e− = e e2 − e1 A E E = = AF = 2 FD uu r ur B A = e2 − e1

高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的坐标运算(1)课件苏教版必修4

高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的坐标运算(1)课件苏教版必修4
答案
知识点三 思考 1
平面向量的坐标运算
设i、j 是与x轴、y轴同向的两个单位向量,若设a =(x1 ,y1) ,b
=(x2,y2),则a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,根据向量的线性运算性质,向 量a+b,a-b,λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示?
答 a+b=(x1+x2)i+(y1+y2)j,
第2章 §2.3 向量的坐标表示
2.3.2 平面向量的坐标运算(一)
学习目标
1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念,要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 平面向量的正交分解
则(-1,2)=λ1(1,2)+λ2(-2,3)=(λ1-2λ2,2λ1+3λ2),
λ =1, 1 7 -1=λ1-2λ2, ∴ 解得 4 2=2λ1+3λ2, λ= . 2 7
1 4 ∴a=7e1+7e2.
解析答案
1
2
3
4
5
→ 1→ 4.已知两点 M(3,2),N(-5,-5),MP=2MN,则点 P
返回
题型探究
类型一 求向量的坐标
例1 如图,在直角坐标系xOy中,OA
重点难点 个个击破
= 4 , AB = 3 , ∠AOx = 45°, ∠OAB → → =105°, OA =a, AB =b.四边形 OABC为平行四边形. (1)求向量a,b的坐标;
解析答案
→ (2)求向量BA的坐标;

解析 因为点 P 在 MN 的延长线上,|MP|=2|PN|,
→ → 又MN=(0,5)-(2,-1)=(-2,6),所以MP=(-4,12),

平面向量的坐标与基本定理

平面向量的坐标与基本定理

平面向量的坐标与基本定理平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。

在平面直角坐标系中,我们可以用坐标表示平面中的向量,并且可以利用向量的坐标进行运算和推导。

本文将介绍平面向量的坐标表示方法以及基本定理的应用。

一、平面向量的坐标表示方法1. 平面直角坐标系在平面直角坐标系中,我们通常将横轴称为x轴,纵轴称为y轴。

一个平面向量可以用其在x轴和y轴上的投影(即坐标)表示。

例如,一个向量a在x轴上的投影为aₓ,在y轴上的投影为aᵧ。

那么向量a的坐标表示为(aₓ,aᵧ)。

2. 向量的坐标运算(1)向量的加法运算:设有两个向量a=(aₓ,aᵧ)和b=(bₓ,bᵧ),则它们的和向量c=a+b的坐标表示为(cₓ,cᵧ),其中cₓ=aₓ+bₓ,cᵧ=aᵧ+bᵧ。

(2)向量的数乘运算:设有一个向量a=(aₓ,aᵧ)和一个实数k,那么向量ka的坐标表示为(kaₓ,kaᵧ),其中kaₓ=kaₓ,kaᵧ=kaᵧ。

二、平面向量的基本定理1. 向量共线定理如果有两个非零向量a和b,它们的坐标表示分别为(aₓ,aᵧ)和(bₓ,bᵧ),那么a与b共线的充要条件是存在一个不为零的实数k,使得ka=b。

即a与b共线的条件是:aₓ/bₓ=aᵧ/bᵧ。

2. 平行四边形定理设有两个向量a=(aₓ,aᵧ)和b=(bₓ,bᵧ),那么以a和b为邻边的平行四边形的面积S等于向量a和b的叉乘的模长。

即S=|a×b|=|aₓbᵧ-aᵧbₓ|。

3. 向量的数量积向量的数量积是指两个向量之间的乘积。

设有两个向量a=(aₓ,aᵧ)和b=(bₓ,bᵧ),那么向量a和b的数量积a·b等于aₓbₓ+aᵧbᵧ。

三、平面向量的应用1. 判断向量共线根据向量共线定理,我们可以通过计算向量的坐标比值来判断向量是否共线。

如果两个向量的坐标比值相等,则它们共线;否则,它们不共线。

2. 计算平行四边形的面积根据平行四边形定理,我们可以通过计算向量的叉乘的模长来求平行四边形的面积。

2.3.1《平面向量的基本定理》 (1)

2.3.1《平面向量的基本定理》 (1)

例2.用基底 i , j 分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标. y
b 2i 3 j
b
(2, 3)
-4 -3 -2
c 2i 3 j c
(2, 3)
5
4
3 2
1
j
-1 O -1
i1
-2
B AB 2i 3 j
a
(2,3)
A
2 34
x
d
d 2i 3 j
(2, 3)
练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.
3.正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫 λ2 a2
a
做把向量正交分解.
F1
F2
λ1a1
G
重力G的分解就是正交分解
在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究 问题带来方便。
如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相 同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量a, 由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
AC
1 2
(a
b)
1 2
a
1b 2
MB 1 DB 1 (a b) 1 a 1 b
22
22
MC 1 AC 1 a 1 b
(2) 4e1 e2;
(3)
2e1
1 2
e2.
e1
1
e2
O 2 e2
C
2e1
OB
2e1
1 2
e2 ;
A
B
2.3.2平面向量正交分解及 坐标表示
F1
F2
G
G与F1,F2有什么关系? G=F1+F2

平面向量的基本定理及坐标表示

平面向量的基本定理及坐标表示

∵A,B,C三点共线,∴―A→B ,―A→C 共线,
∴-2×(4-k)=-7×(-2k),
解得k=-23.
课前·双基落实
答案:A
课·考点突破
课后·三维演练
平面向量的基本定理及坐标表示 结 束
2.(2017·贵阳监测)已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若 (m+n)∥(m-n),则λ=________. 解析:因为m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),又 (m+n)∥(m-n),所以(2λ+3)×(-1)=3×(-1),解得 λ=0. 答案:0
a∥b⇔ x1y2-x2y1=0 .
课前·双基落实 课堂·考点突破
课后·三维演练
平面向量的基本定理及坐标表示 结 束
[小题体验] 1.已知a=(4,2),b=(-6,m),若a∥b,则m的值为______.
答案:-3 2.(教材习题改编)已知a=(2,1),b=(-3,4),则3a+4b=_____.
课前·双基落实 课堂·考点突破
课后·三维演练
平面向量的基本定理及坐标表示 结 束
[谨记通法]
平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法 则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向 量的坐标. (2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则, 通过列方程(组)来进行求解.
课前·双基落实 课堂·考点突破
课后·三维演练
平面向量的基本定理及坐标表示 结 束
考点二 平面向量的坐标运算
[题组练透]
1.向量a,b满足a+b=(-1,5),a-b=(5,-3),则b为( )
A.(-3,4)
B.(3,4)
C.(3,-4)

平面向量的基本定理及坐标表示

平面向量的基本定理及坐标表示

例3、已知 ABCD的三个顶点 A、B、C的坐标分别为(2,1)、 (1,3)、(3, 4),求顶点D的坐标.
巩固练习: 已知A(1,1)、B(3, 0)、C(2, 5)是 平行四边形的三个顶点,求第 四个顶点D的坐标.
四、向量平行的坐标表示
设a (x1, y1),b (x2, y2 ),其 中b 0,则a b的充要条件是
a b x1 x2且y1 y2
4、向量平行的坐标表示
a b x1y2 x2 y1 0
六、作业
➢习题5.4第3、4、 7、8题.
➢ 完成《三维设计》
谢谢同学们
再 见
例1、如图,用基底i、j表示向量a、
b、c、d,并求出它们的坐标.A2 5 Nhomakorabea4
b
a
3
2
A
1 j -4 -3 -2 -1 o i 1 2 3
-1
-2
c
-3 d
-4
B
A1 4x
-5
三、平面向量的坐标运算
已知a (x1, y1),b (x2, y2 ),则
a b __(x_1___x_2_, _y_1 __y_2_)_____;
一、复 习 引 入
1、平面向量基本定理
已知e1、e2是同一平面内的两不共线向量, 那么对这一平面内的任意向量a,有且
只有一对实数1、2,使a 1e1 2 e2.
2、什么是平面向量的基底?
不共线向量e1、e2叫做这一平面内所有 向量的一组基底.
二、平面向量的坐标表示
在直角坐标系中,我们分别取与x轴、
a b _(_x_1___x_2_, _y_1 ___y_2 )_____; a ___(__x_1_, __x_2 )__________ .

平面向量基本定理及坐标表示

平面向量基本定理及坐标表示

5.已知▱ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐 标为_(_1_,_5)__. 设 D(x,y),则由A→B=D→C,得(4,1)=(5-x,6-y), 即41= =56- -xy, , 解得xy==15,.
题型一 平面向量基本定理的应用
例1 在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点, AE的延长线与CD交于点F. 若A→C=a,B→D=b,则A→F等于
∴y=27, 故选 A.
题型三 向量共线的坐标表示
命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标 例3 已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为_(_3_,3_)_.
方法一 由 O,P,B 三点共线,可设O→P=λO→B=(4λ,4λ), 则A→P=O→P-O→A=(4λ-4,4λ). 又A→C=O→C-O→A=(-2,6),
(2)已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且B→C=2A→D,
则顶点 D 的坐标为
A.(2,72)
B.(2,-12)
C.(3,2)
D.(1,3)
设 D(x,y),A→D=(x,y-2),B→C=(4,3),
又B→C=2A→D,∴34==22xy,-2, x=2,
考点自测
1.设e1,e2是平面内一组基底,那么 A.若实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0 B.空间内任一向量a可以表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2为实数) C.对实数λ1,λ2,λ1e1+λ2e2不一定在该平面内 D.对平面内任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对
A.(4,0)
B.(0,4)
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平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算
教学目的:
(1)了解平面向量基本定理;理解平面向量的坐标的概念;
(2)理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握应用向量解决实际问
题的重要思想方法;
(3)能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.
教学重点:平面向量基本定理.
教学难点:平面向量基本定理的理解与应用. 向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
教学过程:
一、 复习引入:
1.实数与向量的积:实数λ与向量a 的积是一个向量,记作:λa
(1)|λa |=|λ||a |;
(2)λ>0时λa 与a 方向相同;λ<0时λa 与a 方向相反;λ=0时λa =0
2.运算定律 结合律:λ(μa )=(λμ)a ;分配律:(λ+μ)a =λa +μa , λ(a +b )=λa +λb
3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线则:有且只有一个非零实数λ,使b =λa .
二、讲解新课:
1.思考:(1)给定平面内两个向量1e ,2e ,请你作出向量31e +22e ,1e -22e ,
(2)同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ11e +λ22e 的向量表示? 平面向量基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2使a =λ11e +λ22e .
2.探究:
(1) 我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;
(2) 基底不惟一,关键是不共线;
(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底e1、e2的条件下进行分解;
(4) 基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2是被a ,1e ,2e 唯一确定的数量
3.讲解范例:
例1已知向量
1
e,
2
e求作向量 2.5
1
e+3
2
e
例2
本题实质是
4.练习1:
1.设e1、e2是同一平面内的两个向量,则有( D )
A.e1、e2一定平行
B.e1、e2的模相等
C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)
D.若e1、e2不共线,则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+u e2(λ、u∈R)
2.已知向量a =e1-2e2,b =2e1+e2,其中e1、e2不共线,则a+b与c =6e1-2e2的关系(B)
A.不共线
B.共线
C.相等
D.无法确定
3.已知λ1>0,λ2>0,e1、e2是一组基底,且a =λ1e1+λ2e2,则a与e1不共线,a与e2不共线.(填共线或不共线).
5.向量的夹角:已知两个非零向量a
、b
,作a
A
O
,b
B
O
,则∠AOB= ,叫向量a 、b
的夹角,当 =0°,a
、b
同向,当 =180°,a
、b
反向,当 =90°,a
与b
垂直,记作a
⊥b。

6.平面向量的坐标表示
(1)正交分解:把向量分解为两个互相垂直的向量。

(2)思考:在平面直角坐标系中,每一个点都可以用一对有序实数表示,平面内的每一个向量,如何表示呢?
如图,在直角坐标系内,我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得yj
xi
a
…………○1
我们把)
,
(y
x叫做向量a的(直角)坐标,记作)
,
(y
x
a …………○2
其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,○2式叫做向量的坐标表示.与.a相等的向
....
.
),
R
(
,
OP
OB
OA
t
AB
t
AP表示



不共线
如图,
O A
B
P
.1
,
m
OB
n
OA
m
OP
AB
P
B
A
O

上,则
在直线
若点
三点不共线,


已知
量的坐标也为......),(y x . 特别地,)0,1( i ,)1,0( j ,)0,0(0 .
如图,在直角坐标平面内,以原点O 为起点作a ,则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi ,则向量的坐标),(y x 就是点A 的坐标;反过来,点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
7.讲解范例:
例2.教材P96面的例2。

8.课堂练习:P100面第3题。

三、小结:(1)平面向量基本定理;
(2)平面向量的坐标的概念;
四、课后作业:《习案》作业二十一。

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