材料力学(第五讲)

Me =3qa2 A a 5qa/3 8a/3
M
q
B x
C 3a
FS
5qa2/3
qa/3 x x qa2/18
4qa2/3
第五章 弯曲内力
Me =3qa2 A FA a C 3a
q
B x FB
解：支反力为
∑MB = 0
3qa 2 + q × 2a × a − FA × 3a = 0
∑Y = 0
FB − q × 2a + FA = 0
§5-2 梁的约束与类型 •主要约束形式与反力
z 可动铰支座：垂直于支承平面的支反力 FR z 固定铰支座：支反力 FRx 与 FRy z 固定端：支反力 FRx , FRy 与矩为 M 的支反力偶
第五章 弯曲内力
第五章 弯曲内力
•常见静定梁
z 简支梁：一端固定铰支、另 一端可动铰支的梁 z 悬臂梁：一端固定、另一 端自由的梁 z 外伸梁：具有一个或两个 外伸部分的简支梁
哪些构件承受 弯曲载荷？
第五章 弯曲内力
•弯曲的定义、力学 特征与计算简图
上图：弯曲构件 下图：计算简图 外力特征：外力或外力偶的矢量垂直于杆轴 变形特征：杆轴由直线变为曲线 弯曲与梁：以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲 以弯曲为主要变形的杆件称为梁。 计算简图通常以轴线代表梁
第五章 弯曲内力
5 qa 3
1 2 M 2 = − qx2 2 0 ≤ x2 ≤ a
M
1 2 qa 2
(d )
第五章 弯曲内力 例：建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图
q A a B a qa2 C 可以不求支反力 建立坐标 建立剪力弯矩方程：
FS=-qx
(0 ≤ x ≤ a) (0 ≤ x < a) (a ≤ x < 2a) (a < x < 2a)
1、 校核剪力图 CB段 q=常量<0
Me =3qa2 q A FA a x C 3a FB B x
剪力图为向右下方 FS 倾斜的斜直线 因C点处无集中力 作用，剪力图在该 处无突变，故
5qa/3 8a/3 q MC qa/3 x M(x)
5 x-a FSC = FA = qa 3 FSC FS(x) 1 FSB = FSC − q (2a ) = − qa 即FSB = − FB 3
x
FS
M=-qx2/2 FS=-qa
FS:
M qa
_
x
M=qa2-qa(x-a/2)
M:
_
qa2/2 + qa2/2
_
在集中力偶作用处(包括支 座) 弯矩有突变
x qa2/2
第五章 弯曲内力 §5-5 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系
一、微积分关系的推导
取梁一长dx微段， 研究它的平衡
∑ Fy = 0 , FS + qdx − ( FS + dFS ) = 0
FS(x)
L-x
B FB
第五章 弯曲内力 3、作剪力图和弯矩图 F b a
A FS
C l
Fb l
B
x
M Fab l Fa l
Fb (0 < x < a ) FS ( x ) = l Fa FS ( x ) = − FB = − l (a < x < l )
在集中力作用处(包 括支座) 剪力有突变
Fb M (x) = x(0 ≤ x ≤ a ) l
•线形看微分，段值看积分。
校核: 两图右边回零点.
第五章 弯曲内力
利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图的步骤： 1．求支座反力； 2．分段确定剪力图和弯矩图的形状； 3 ．计算控制截面内力值，根据微分关系绘剪力图 和弯矩图； 4．确定 FS max 和 M
max
。
第五章 弯曲内力 例 试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系校核图 示的剪力图和弯矩图。
二、微积分关系的几何意义（用于快速画剪力弯矩图）
1. 微分关系确定线形（Fs斜率=q，M斜率=Fs) q=常数， Fs直线 : q>0，Fs上斜；q<0，Fs下斜；q=0，Fs水平； q=0(Fs水平),M直线： Fs >0，M上斜； Fs <0，M下斜； Fs =0，M水平。 q≠0 (Fs斜线),M曲线，q的符号确定M图的凹凸性： q>0，M凹；q<0，M凸（喻打伞）；q=0，M直线。 2. 积分关系确定各段起点、终点值(面积关系)。(也可用截面 法)
思考：均布载荷、集中载荷、集中力偶两 侧剪力是否相等？弯矩是否相等？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第五章 弯曲内力 §5-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图 •剪力、弯矩方程：剪力、 弯矩沿梁轴（x轴）变化的 解析表达式。 AC段(0<x1<a)： bF bF FS1 = , M1 = x1 l l CB段(0<x2<b)：
•剪力、弯矩图：表示剪力与弯矩沿梁轴变化的图线。 •方法：利用截面法，根据平衡关系，分段建立剪力、弯矩 方程（函数），然后画其函数图象。
1 FB = qa 3
5 FA = qa 3
第五章 弯曲内力
1、 校核剪力图 AC段 q=0 剪力图为水平直线 剪力值 FS 5qa/3 A FA x a
Me =3qa2 q C 3a FB
B x
5 FS = FA = qa 3
A FA
x
8a/3 M(x) FS(x)
qa/3 x
第五章 弯曲内力
aF aF x2 FS2 = − , M2 = l l
第五章 弯曲内力 例：试建立图示简支梁的剪 力、弯矩方程，画剪力、弯 矩图。 解：1、求支反力，由梁的平衡：
FAy=FBy=ql/2 2、建立坐标轴Ox轴 3、在截面x处截取左段为研 FAy 究对象，根据平衡条件：
x q A B
l
o
FAy
x
q M FS
第五章 弯曲内力
2、 校核弯矩图 Me =3qa2 A FS a 5qa/3 8a/3 5qa2/3 C 3a
q
AC段 B x 剪力=常量 弯矩图→斜率为 正值的斜直线 qa/3 x x qa2/18 弯矩值： 支座A：MA=0 C截面左侧:
第五章 弯曲内力
第五章 弯 曲 内 力
§5-1 引言 §5-2 梁的约束与类型 §5-3 剪力与弯矩 §5-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图 §5-5 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系 §5-6 刚架与曲梁的内力
第五章 弯曲内力
§5-1 引言 •弯曲实例
上图：水闸立柱 下图：跳板
第五章 弯曲内力
F F F
F
•静不定梁
约束反力数超过有效平衡方程数的梁（ Ch7 研究）
架在空中的悬臂梁
第五章 弯曲内力
“玻璃人行桥”从大峡谷南端的飞鹰峰 延伸出来，长约21米，距离谷底约 1220米。桥道宽约3米，两边由强化 玻璃包围。这座桥是悬臂式设计，即 U形一端用钢桩固定在峡谷岩石中， 另一端则悬在半空。为了避免“玻璃 人行桥”延伸在外的部分发生倾斜下 坠，在岩石中的固定端还安放了重达 220吨左右的钢管，以保证桥身平衡。 整座“玻璃人行桥”重约485吨，相当 于4架波音757喷气式飞机的总重量。 尽管如此，由于人行桥底部是钢梁， 足以承载两万人的重量，还能承受时 速160公里的大风。
FAy
B
a
C
x1
(a) FR1 = qx1
M1
FBy
x2
FS 2 FR 2 = qx2
3
AB段内力
4 qa 3
x1 4 qa 3
FS1
M2 x2
4 Fs1 = qa − qx1 3
BC段内力
M1 =
4 1 qax1 − qx12 3 2
(b)
qa
Fs
0 ≤ x1 ≤ 3a
Fs 2 = qx2
8 2 qa (c) 9
M (x ) = F A x − M
l
e
FS(x)
(0 ≤ x < a )
M = − l
e
(l − x )
(a < x ≤ l )
第五章 弯曲内力 3、作剪力图和弯矩图
A
a C
Me
b l
B
Fs
l x
Me FS ( x ) = l
M
Mea l Meb l x
M ( x ) = FA x − M e Me (l − x ) =− l
Me (↓) FB = l
Me (↑) FA = l
第五章 弯曲内力 2、 列剪力方程和弯矩方程
A FA
a
x
b C l M(x)
B FB Me M(x) A FA
x
M 剪力方程无需分段： FS ( x ) = FA = e (0 < x < l ) l
A FA
x
FS(x)
弯矩方程——两段： AC段： M M ( x ) = FA x = e x CB段：
FBy
FS=FAy-qx=q(l-2x)/2 M=FAyx-(qx2/2) =qx(l-x)/2 0< x<l
第五章 弯曲内力
q
FS=q(l-2x)/2 M= =qx(l-x)/2 0< x<l
A
B
l
o FS:
FS FAy
4、根据剪力、弯矩方程画 剪力、弯矩图
x
ql/2 +
_
FBy
注意事项： •载荷、剪力、弯矩图对齐 •标注段值、极值、正负号 •按工程图要求，请用工具 作图
AC段 x
B FB
Fb (0 < x < a ) FS ( x ) = l
Fb M (x) = x(0 ≤ x ≤ a ) l M(x) CB段
A FA
x
M(x) FS(x)
Fa (a < x < l ) FS ( x ) = − FB = − l Fa M ( x ) = FB (l − x) = (l − x) l (a ≤ x ≤ l )
结论：在集中力处，剪力图沿集中力方向跳跃（突变） 在集中力偶处，弯矩图跳跃，顺时针力偶向上。
第五章 弯曲内力
利用微积分关系画剪力弯矩图小结
Fs图: 斜率q=常数, Fs直线; q>0, 上斜;q<0,下斜 集中力F处, Fs按F大小, 方向跳 各段起终点Fs值=q图左边面积+集中力值(含支反力) M图: 斜率Fs=常数，M直线;Fs>0,上斜；Fs<0,下斜。 集中力偶Mo处, M图按Mo大小跳,Mo顺时钟上逆下。 各段起终点M值= Fs图左边面积+集中力偶值。 Fs =0处, M图极值点(或拐点) q>0处,M图凹; q<0处, M图凸(喻: 雨伞)
•剪力与弯矩的符号规定
剪力：使微段有沿顺时 针方向转动趋势为正 弯矩符号另一定义：使 横截面顶部受压为正
弯矩：使微段弯曲呈 下凹形为正
第五章 弯曲内力
•小结：任一指定截面剪力与弯矩的计算
n 假想地将梁切开，并任选一段为研究对象 o 画所选梁段的受力图，FS 与 M 宜均设为正 p 由 Σ Fy =0 计算 FS q 由 Σ MC =0 计算 M，C 为截面形心
(a)
∑M
略去 dx M + dM − qdx ⋅ − FSdx − M = 0 2
C
= 0,
(b)
dFS dM =q = FS dx dx
积分关系： FS = ∫ qdx ,
d2 M =q 2 dx
注意： q 向上为正 x 向右为正
M = ∫ FS dx
第五章 弯曲内力
dFS dM d2 M = q FS = ∫ qdx , M = ∫ FS dx =q = FS 2 dx dx dx
M ( x ) = FB (l − x) =
x
Fa (l − x) l (a ≤ x ≤ l )
第五章 弯曲内力 例 图示简支梁在C点受矩为Me 的集中力偶作用。试写出剪 力方程与弯矩方程,作梁的剪力图和弯矩图。
A FA
a
Me C l
b
B FB
解: 1、求支反力
∑M
A
=0
M e − FA × l = 0
x ql/2
M
M:
+
ql2/8
x
第五章 弯曲内力 例 图示简支梁受集中荷载F作用。试写出剪力方程与弯矩方 程,作梁的剪力图和弯矩图。 a
F C
l
b
A FA
x
B FB
解：1、求支反力
Fb FA = l
Fa FB = l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
第五章 弯曲内力 a
F C
l
b
A FA
第五章 弯曲内力 §5-3 剪力与弯矩
•梁的内力
分析方法：截面法 剪力－作用线沿所切 横截面的内力分量 弯矩－矢量沿所切横截面的 内力偶矩分量 由梁左段平衡求得 在m-m截面：
Fs ′
M′
FS－剪力 M－弯矩
FS = FAy − F1
M = FAy b − F1 (b − a )
注意：设正法。
第五章 弯曲内力
Me M ( x ) = FA x = x l
在集中力偶作用处(包括支 座) 弯矩有突变
第五章 弯曲内力
例：建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图 解：1、计算支座反力
A
3a
q
FR = 4qa
4 M = 0, F = qa ∑ B Ay 3 8 ∑ M A = 0 FBy = qa
FR = 4qa ，作用于AC梁中点。
第五章 弯曲内力
三、集中载荷情形
1. 集中力处（向上为正）
F q F左 M左 dx M右 F右 M q F左 M左 dx M右 F右
F左+q(x)dx+F=F右 M左+ F左dx+Fdx/2+q(x)dx2/2=M右 M左 = M右 F左+ F = F右，
2. 集中力偶处（顺时针为正）
F左+q(x)dx=F右 M左+ F左dx+M+q(x)dx2/2=M右 F左 = F右， M左+M = M右