平面向量的线性运算 平面向量的加减法
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 向量的加法具备吗？你能否画图解释？
向量加r法r满足r交换r律和r 结r 合律r：r rr abba ( a + b ) + c a ( b c )
以上两个运算律可以推广到任意多个向量.
巩固知识 典型例题
例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流
速度为5 km/h，求该u船uur 的实际航行u速uur 度．
O
b
a
A
解 如图所示，以平面上任一点O
u u ur
为起点，作O A
=a，OuuBur
=b，连接BA，
u uur
则向量 B A 为所求，即
u uur BA
= a− b ．
B
运用知识 强化练习
计算：
uuu r uuu r
u u u r u u u r
1 A BA D ； 2 B CB A ．
即
u u u r u u u r u u u r O A O BB A ．
（7．2）
观察图可以得到：起点相同的
a－b
A
两个向量a、 b，其差a − b仍然是一
B
个向量，其起点是减向量b的终点，
b
a
终点是被减向量a的终点．
O
巩固知识 典型例题
例5 已知如图所示向量a 、b ，请画出向量a − b．
a b
探究一：当向量共线时，如何相加？
(1)同向
(2)反向
a
b
a
b
A
B
C
uuur r r
AC=a+b
B
CA
uuur r r AC=a+b
规 定 a0： 0aa
探究二：向量的加法是否具备交换律和结合律？
• 数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R， 有a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)
bb
ab
b
ba
B
B
作 法 ： 在 平点 面 O,作 内 OA 任 a,O 取B b一 ,则 BA ab.
• 要点:1.平移到同一起点；2.指向被减向量.
探究三：当向量共线时，如何相减？
(1)同向 a
(2)反向 a
b
ab
a
b
b
ab
探究四：平行四边形法则的两条对角线
D
a
A
b
C
ACab BDADABab
温故知新
零向量 长度等于 零 的向量，记作 0 单位向量 长度等于 1个单位 的向量
方向 相同或相反 的非零向量. 平行向量
向量a，b平行，记作 a∥b . (共线向量) 规定：零向量与任一向量 平行
长度 相等 且方向 相同 的向量. 相等向量 向量a，b相等，记作 a＝b
平面向量的线性运算
——向量的加法运算
任意向量a, b及任意实数 、 ，向量数乘运算满足如下的法则： 向量加法及数乘运算
1 1 a 在 形a ， 式 上1 与a 实 数 a 的 有； 关运算规
2 律的相去a 类括 似号，、因移a 此项 ，、实合数并a 运同； 算类中项
3 等运变算 形中，．a 可但 直是接，a 应要用注a 于意； 向向量量的的 ４ 运的算．a 与b 数的 运a 算 的意b ． 义是不同
u u u r
u u u r
1A D ； 2O A ．
动脑思考 探索新知
与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义
为向量a与向量b的差．即
a − b = a＋(−b)．
设a
uuur OA
，
b
uuur OB
，则
u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r O A O B O A ( O B ) = O A B O B O O A B A ．
B
动脑思考 探索新知
根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时，两臂 成什么角度时，双臂受力最小？
运用知识 强化练习
计算：
u u u r u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r
1 A B B C C D ； 2 O B B C C A ．
解
如图所示，A B 表示船速，A C 为水流 速度，由向量加法的平行四边形法则，
D
B
uuur AD
是船的实际航行速度，显然
uuur uuur2 uuur2 AD AB AC
122 52 =13．
C
A
tanCAD12 5
利用计算器求得 C A D6723
即船的实际航行速度大小是13km/h，其方向与河岸线的夹角约6723．
请画出图形来，分别验证这些法则．
巩固知识 典型例题
uuur
例6 在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图， A B ＝a，
uuur
uuur uuur
A D ＝b，试用a, b表示向量A O 、O D ．
解
uuur AC
＝a＋b，
uuur BD
＝b −
a，
因为O分别为AC，BD的中点，所以
uuur AO
从力的合成看向量运算
• 橡皮条在力F1与F2的作用下，从E点伸长到了O点； 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
• 问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？
F1+F2=F
E
O
E
O
F
F
F是以F1与F2为邻边所形成的 平行四边形的对角线
向量的加法运算
C源自文库
• 运动的合成
u u u r u u u r u u u r A B + B C =A C A
• 力的合成 F1 + F2 = F
F1 B
F2
F
数的加法启发我们，从运算的角度看， AC可以认为 是AB与BC的和，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的 合成可以看作向量的加法。
• 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 • 向量的加法法则：三角形法则、平行四边形法则
动脑思考 探索新知
u u u r u u u r u u u r
1 A B B C C D ； 2 O B B C C A ．
u u u r
u u u r
1A D ； 2O A ．
平面向量的线性运算
——向量的减法运算
预备知识：相反向量
• 类比实数的相反数的概率，定义相反向量：
– 与a长度相等，方向相反的向量， 叫做a的相反向
向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．
运用知识 强化练习
计算： （1）3(a − 2 b) − 2(2 a＋b)； （2）3 a − 2(3 a − 4 b)＋3(a − b)．
（1） − a − 8b ； （2）5b ．
自我反思 目标检测
向量、向量的模、向量相等是如何定义的？
当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、
|a||||a|
（7．3）
若| a | 0，则当 0 时, a的方向与a的方向相同，当 0 时， a的方向与a的方向相反．
由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当 0 时，有
a∥bab． （7．4）
动脑思考 探索新知
一般地，有 0a= 0, λ0 = 0 ．
数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于
达超市（B处），买了文具后，又沿着北偏东60°角方向行
A
走200 m到达学校（C处）（如
图）．王涛同学这两次位移的 总效果是从家（A处）到达了学
500m
C 200m
校（C处）．
uuur 位移A C
叫做位移
uuur AB
与位移
uuur BC
的和，记作
u u u r u u u r u u u r A C A BB C .
（1）a＋b与b＋a相等吗？请画出图来说明． （2）如果向量a和向量b共线，如何画出它们的和向量？
动脑思考 探索新知
a
b
B
a
b
A a+b
C
一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A
u u u r u u u r
uuur
依次作 A Ba， B Cb ， 则向量A C 叫做向量a与向量b的和，
u u u r
u u u r
1D B ； 2A C ．
创设情境 兴趣导入
uuur
观察下图可以看出向量O C与向量a共线，并且 uuur OC 3a
a
aa
a
OA B
C
3a是一个向量，其方向与a的方向相同,其模是a的模的3倍，即 |3a| = 3|a| ．
动脑思考 探索新知
一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作 a，它的模为
位移等，这种量叫做向量（矢量）
uuur
向量uu的uur 大小叫做向量的模．向量a, A B 的模依次
记作 a ，A B ．
向量a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量
a与向量b相等，记作a = b ．
继续探索 活动探究
读书部分：阅读教材相关章节 书面作业：教材习题７.1Ａ组（必做）
教材习题７.1Ｂ组（选做） 实践调查：试着用向量的观点解释
生活中的一些问题．
作业
• 向量加法的平行四边形法则: – 1.将向量平移到同一起点 – 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的 对角线
• 三角形法则推广为多边形法则：
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 多个向量相加，如：AB BC CD DE EF AF ，
这时也必须“首尾相连”.
从运动的合成看向量运算
• 在大陆和台湾没有直航之前，台湾同胞要到上海 探亲，得乘飞机要先从台北到香港，再从香港到 上海，那么这两次位移之和是什么？
u u u r u u u r u u u r 位移 A B + B C =A C
上海
台北 香港
C A
B
创设情境 兴趣导入
王涛同学从家中（A处）出发，向正南方向行走500 m到
u u u ru u u ru u u ru u u ru u u r A B A D A B B C A C ．
uuur
uuur
这说明，在平行四边形ABCD中，A C 所表示的向量就是A B 与
uuur
A D 的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法 具有以下的性质：
1uAuCur 2
1 2（a＋b）＝
1 2
a＋ 1 2
b，
uuur OD
1uBuDur
1（b
−
a）＝
1
a＋ 1
b，
22
22
1 2
a＋ 1 b和 2
1 2
a＋ 1 2
b 都叫做向量a，b的线性组合，或者说，
uuur uuur AO、 OD可以用向量a，b线性表示．
巩固知识 典型例题
一般地， a＋ b叫做a, b的一个线性组合（其中 ， 均为实数），如果l ＝ a＋ b，则称l可以用a，b线性表示．
巩固知识 典型例题
例4 用两条同样的绳子挂一个物体,设物体的重力为k，两条 绳子的方向与垂线的夹角为 ，求物体受到沿两条绳子的方向的 拉力 f 1 与 f 2 的大小．
解 利用平行四边形法则，可以得到
f2
f1
f1f22f1cosk，
k
所以
f1
k． 2 cos
运用知识 强化练习
计算：
u u u r u u u r u u u r
量，记作-a ; -a与a互为相反向量
– 规定：零向量的相反向量仍是零向量 – 所以: 1、-(-a)=a；2、a+(-a)=(-a)+a=0；
3、a=-b，b=-a，a+b=0 • 向量的减法：a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于
加上这个向量的相反向量
a
向量减法法则
a(b)
a
ab
b
b
b
a
O a A O aA
记作a＋b ，即
u u u ru u u ru u u r a b A B B C A C ． （7．1）
求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法
叫做向量加法的三角形法则．
动脑思考 探索新知
D
C 如图所示，ABCD为平行四边形，由于
A
uuur uuur
B ADBC， 根据三角形法则得
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0；
(2) a＋b = b＋a；
(3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
向量加法法则
b
已知 a ,b ,求 向作 量 a b 向 a 量
A· a
B
ab
b
作法：
C
1.在平面内任取一点 A
2.作 AB a , BC b
则向量 AC a b
o· a
A
b ab
B
C
作法：
1.在平面内任取一点 O
2.作 OA a , OB b
则向量 OC a b
位移的合成可以看作向量 加法三角形法则的物理模型
力的合成可以看作向量加法的 平行四边形法则的物理模型
向量加法法则总结与拓展
• 向量加法的三角形法则: – 1.将向量平移使得它们首尾相连 – 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾
向量加r法r满足r交换r律和r 结r 合律r：r rr abba ( a + b ) + c a ( b c )
以上两个运算律可以推广到任意多个向量.
巩固知识 典型例题
例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流
速度为5 km/h，求该u船uur 的实际航行u速uur 度．
O
b
a
A
解 如图所示，以平面上任一点O
u u ur
为起点，作O A
=a，OuuBur
=b，连接BA，
u uur
则向量 B A 为所求，即
u uur BA
= a− b ．
B
运用知识 强化练习
计算：
uuu r uuu r
u u u r u u u r
1 A BA D ； 2 B CB A ．
即
u u u r u u u r u u u r O A O BB A ．
（7．2）
观察图可以得到：起点相同的
a－b
A
两个向量a、 b，其差a − b仍然是一
B
个向量，其起点是减向量b的终点，
b
a
终点是被减向量a的终点．
O
巩固知识 典型例题
例5 已知如图所示向量a 、b ，请画出向量a − b．
a b
探究一：当向量共线时，如何相加？
(1)同向
(2)反向
a
b
a
b
A
B
C
uuur r r
AC=a+b
B
CA
uuur r r AC=a+b
规 定 a0： 0aa
探究二：向量的加法是否具备交换律和结合律？
• 数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R， 有a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)
bb
ab
b
ba
B
B
作 法 ： 在 平点 面 O,作 内 OA 任 a,O 取B b一 ,则 BA ab.
• 要点:1.平移到同一起点；2.指向被减向量.
探究三：当向量共线时，如何相减？
(1)同向 a
(2)反向 a
b
ab
a
b
b
ab
探究四：平行四边形法则的两条对角线
D
a
A
b
C
ACab BDADABab
温故知新
零向量 长度等于 零 的向量，记作 0 单位向量 长度等于 1个单位 的向量
方向 相同或相反 的非零向量. 平行向量
向量a，b平行，记作 a∥b . (共线向量) 规定：零向量与任一向量 平行
长度 相等 且方向 相同 的向量. 相等向量 向量a，b相等，记作 a＝b
平面向量的线性运算
——向量的加法运算
任意向量a, b及任意实数 、 ，向量数乘运算满足如下的法则： 向量加法及数乘运算
1 1 a 在 形a ， 式 上1 与a 实 数 a 的 有； 关运算规
2 律的相去a 类括 似号，、因移a 此项 ，、实合数并a 运同； 算类中项
3 等运变算 形中，．a 可但 直是接，a 应要用注a 于意； 向向量量的的 ４ 运的算．a 与b 数的 运a 算 的意b ． 义是不同
u u u r
u u u r
1A D ； 2O A ．
动脑思考 探索新知
与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义
为向量a与向量b的差．即
a − b = a＋(−b)．
设a
uuur OA
，
b
uuur OB
，则
u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r O A O B O A ( O B ) = O A B O B O O A B A ．
B
动脑思考 探索新知
根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时，两臂 成什么角度时，双臂受力最小？
运用知识 强化练习
计算：
u u u r u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r
1 A B B C C D ； 2 O B B C C A ．
解
如图所示，A B 表示船速，A C 为水流 速度，由向量加法的平行四边形法则，
D
B
uuur AD
是船的实际航行速度，显然
uuur uuur2 uuur2 AD AB AC
122 52 =13．
C
A
tanCAD12 5
利用计算器求得 C A D6723
即船的实际航行速度大小是13km/h，其方向与河岸线的夹角约6723．
请画出图形来，分别验证这些法则．
巩固知识 典型例题
uuur
例6 在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图， A B ＝a，
uuur
uuur uuur
A D ＝b，试用a, b表示向量A O 、O D ．
解
uuur AC
＝a＋b，
uuur BD
＝b −
a，
因为O分别为AC，BD的中点，所以
uuur AO
从力的合成看向量运算
• 橡皮条在力F1与F2的作用下，从E点伸长到了O点； 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
• 问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？
F1+F2=F
E
O
E
O
F
F
F是以F1与F2为邻边所形成的 平行四边形的对角线
向量的加法运算
C源自文库
• 运动的合成
u u u r u u u r u u u r A B + B C =A C A
• 力的合成 F1 + F2 = F
F1 B
F2
F
数的加法启发我们，从运算的角度看， AC可以认为 是AB与BC的和，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的 合成可以看作向量的加法。
• 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 • 向量的加法法则：三角形法则、平行四边形法则
动脑思考 探索新知
u u u r u u u r u u u r
1 A B B C C D ； 2 O B B C C A ．
u u u r
u u u r
1A D ； 2O A ．
平面向量的线性运算
——向量的减法运算
预备知识：相反向量
• 类比实数的相反数的概率，定义相反向量：
– 与a长度相等，方向相反的向量， 叫做a的相反向
向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．
运用知识 强化练习
计算： （1）3(a − 2 b) − 2(2 a＋b)； （2）3 a − 2(3 a − 4 b)＋3(a − b)．
（1） − a − 8b ； （2）5b ．
自我反思 目标检测
向量、向量的模、向量相等是如何定义的？
当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、
|a||||a|
（7．3）
若| a | 0，则当 0 时, a的方向与a的方向相同，当 0 时， a的方向与a的方向相反．
由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当 0 时，有
a∥bab． （7．4）
动脑思考 探索新知
一般地，有 0a= 0, λ0 = 0 ．
数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于
达超市（B处），买了文具后，又沿着北偏东60°角方向行
A
走200 m到达学校（C处）（如
图）．王涛同学这两次位移的 总效果是从家（A处）到达了学
500m
C 200m
校（C处）．
uuur 位移A C
叫做位移
uuur AB
与位移
uuur BC
的和，记作
u u u r u u u r u u u r A C A BB C .
（1）a＋b与b＋a相等吗？请画出图来说明． （2）如果向量a和向量b共线，如何画出它们的和向量？
动脑思考 探索新知
a
b
B
a
b
A a+b
C
一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A
u u u r u u u r
uuur
依次作 A Ba， B Cb ， 则向量A C 叫做向量a与向量b的和，
u u u r
u u u r
1D B ； 2A C ．
创设情境 兴趣导入
uuur
观察下图可以看出向量O C与向量a共线，并且 uuur OC 3a
a
aa
a
OA B
C
3a是一个向量，其方向与a的方向相同,其模是a的模的3倍，即 |3a| = 3|a| ．
动脑思考 探索新知
一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作 a，它的模为
位移等，这种量叫做向量（矢量）
uuur
向量uu的uur 大小叫做向量的模．向量a, A B 的模依次
记作 a ，A B ．
向量a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量
a与向量b相等，记作a = b ．
继续探索 活动探究
读书部分：阅读教材相关章节 书面作业：教材习题７.1Ａ组（必做）
教材习题７.1Ｂ组（选做） 实践调查：试着用向量的观点解释
生活中的一些问题．
作业
• 向量加法的平行四边形法则: – 1.将向量平移到同一起点 – 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的 对角线
• 三角形法则推广为多边形法则：
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 多个向量相加，如：AB BC CD DE EF AF ，
这时也必须“首尾相连”.
从运动的合成看向量运算
• 在大陆和台湾没有直航之前，台湾同胞要到上海 探亲，得乘飞机要先从台北到香港，再从香港到 上海，那么这两次位移之和是什么？
u u u r u u u r u u u r 位移 A B + B C =A C
上海
台北 香港
C A
B
创设情境 兴趣导入
王涛同学从家中（A处）出发，向正南方向行走500 m到
u u u ru u u ru u u ru u u ru u u r A B A D A B B C A C ．
uuur
uuur
这说明，在平行四边形ABCD中，A C 所表示的向量就是A B 与
uuur
A D 的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法 具有以下的性质：
1uAuCur 2
1 2（a＋b）＝
1 2
a＋ 1 2
b，
uuur OD
1uBuDur
1（b
−
a）＝
1
a＋ 1
b，
22
22
1 2
a＋ 1 b和 2
1 2
a＋ 1 2
b 都叫做向量a，b的线性组合，或者说，
uuur uuur AO、 OD可以用向量a，b线性表示．
巩固知识 典型例题
一般地， a＋ b叫做a, b的一个线性组合（其中 ， 均为实数），如果l ＝ a＋ b，则称l可以用a，b线性表示．
巩固知识 典型例题
例4 用两条同样的绳子挂一个物体,设物体的重力为k，两条 绳子的方向与垂线的夹角为 ，求物体受到沿两条绳子的方向的 拉力 f 1 与 f 2 的大小．
解 利用平行四边形法则，可以得到
f2
f1
f1f22f1cosk，
k
所以
f1
k． 2 cos
运用知识 强化练习
计算：
u u u r u u u r u u u r
量，记作-a ; -a与a互为相反向量
– 规定：零向量的相反向量仍是零向量 – 所以: 1、-(-a)=a；2、a+(-a)=(-a)+a=0；
3、a=-b，b=-a，a+b=0 • 向量的减法：a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于
加上这个向量的相反向量
a
向量减法法则
a(b)
a
ab
b
b
b
a
O a A O aA
记作a＋b ，即
u u u ru u u ru u u r a b A B B C A C ． （7．1）
求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法
叫做向量加法的三角形法则．
动脑思考 探索新知
D
C 如图所示，ABCD为平行四边形，由于
A
uuur uuur
B ADBC， 根据三角形法则得
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0；
(2) a＋b = b＋a；
(3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
向量加法法则
b
已知 a ,b ,求 向作 量 a b 向 a 量
A· a
B
ab
b
作法：
C
1.在平面内任取一点 A
2.作 AB a , BC b
则向量 AC a b
o· a
A
b ab
B
C
作法：
1.在平面内任取一点 O
2.作 OA a , OB b
则向量 OC a b
位移的合成可以看作向量 加法三角形法则的物理模型
力的合成可以看作向量加法的 平行四边形法则的物理模型
向量加法法则总结与拓展
• 向量加法的三角形法则: – 1.将向量平移使得它们首尾相连 – 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾